cole des Mines de Nantes Anne 1

Mthodes Numriques

TP n 4 quations direntielles ordinaires

Les objectifs assigns ce TP sont : de se familiariser avec limplmentation de quelques unes des mthodes de rsolution des ODE vues

en CM ; dtudier les consquences pratiques du choix du pas de temps sur la convergence de la mthode,

en sappuyant sur la comparaison avec la solution littrale ; de dcouvrir les procdures odeXXX "prtes lemploi" de matlab (ou octave) en matire de

rsolution dODE

Programmation de la mthode de Runge-Kutta dordre 2

En cours, nous avons vu que lalgorithme de Runge-Kutta dordre 2 tait donn par

y = yi +t f(ti, yi)

2

yi+1 = yi +t f

(t+

t

2, y

).

Dans ce TP, on se propose donc de programmer cette mthode de rsolution dquations direntielles,applique au problme suivant :

y(t) = (t) y(t) o C ,

y(0) = 1 .

o le coecient peut ventuellement dpendre explicitement du temps.

1) Dans un premier temps, nous poserons = 5. Ecrire, sous la forme dune fonction prenant enargument la valeur du pas de temps t, un script permettant de calculer numriquement la solution duproblme test pour t [0 , 10].

2) Tracer, les solutions numriques obtenues pour direntes valeurs de t comprises entre 0.01 et 0.5ainsi que la solution thorique (un graphique par valeur de t). Que se passe-t-il dans le cas particuliero t = 0.4 ?

3) Sur la base des acquis de cours et du TD4 portant sur la stabilit, expliquez ce que vous avez constatprcdemment.

4) Compltez votre script pour que puisse maintenant dpendre du temps. Il est conseill de faireen sorte que son expression analytique soit donne en argument de la fonction o est implmente lamthode de Runge-Kutta (pour cela, il faudra aussi utiliser la commande eval, dcrite dans le guidematlab). Toutefois, en cas de dicult majeure avec cette mthode, on pourra tout aussi bien modier lecodage de la fonction directrice pour y faire apparatre la dpendance temporelle explicite de retenue la Q5.

5) Rsoudre ensuite le problme lorsque = ( t210 + t3 + 1) et nouveau, tester plusieurs valeurs det et comparer la solution littrale correspondante. Quelle valeur doit-on choisir pour t pour tre srque le schma ne diverge pas ?

Utilisation dun schma prencod sur MATLAB ou OCTAVE

Toujours pour cette forme de (t) adopte au point 5 ci-dessus, rsoudre lquation direntielle laide dun solveur prencod. Sous MATLAB, on pourra opter pour un schma de type RK4 (commande"ode45") ou "prdicteur-correcteur" de Matlab (commande "ode113"), cette dernire option ntant pas

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disponible sous octave 1. On en protera pour lire la documentation fournie ce sujet sur le logiciel devotre choix (une documentation assez rcente du package ODEPKG est disponible sur campus).

Comparer ensuite avec les solutions obtenues prcdemment, en faisant notamment varier loption deprcision absolue au sein de la commande "odeset". Que constater vous notamment au niveau du maillagetemporel ? Conclure.

1. Pour disposer de ces schmas prencods, il convient, sous octave, de commencer par charger le package "OdePkg" le plus simple est dutiliser la commande "pkg install -forge odepkg" en tant connect internet puis de les rendreaccessibles en tapant la commande "pkg load odepkg".

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