TP Asservissements et Régulation des systèmes linéaires et ...

Faculteacute du Geacutenie Electrique

Deacutepartement drsquoElectronique

TP Asservissements et Reacutegulation des systegravemes lineacuteaires et continus

Destineacute en prioriteacute aux eacutetudiants en geacutenie eacutelectrique (LICENCE 3egraveme anneacutee eacutelectronique et geacutenie biomeacutedical)

Polycopieacute reacutealiseacute par

Anneacutee Universitaire 2020 2021

Reacutepublique Algeacuterienne Deacutemocratique et Populaire

Ministegravere de lrsquoEnseignement Supeacuterieur et de la Recherche Scientifique

Universiteacute des Sciences et de la Technologie drsquoOran Mohamed Boudiaf

ZERHOUNI FATIMA ZOHRA eacutepouse ZEGRAR ZEGRAR MANSOUR

ZERHOUNI MrsquoHAMED HOUARI

Ce manuel de travaux pratiques peut aider les

eacutetudiants en geacutenie eacutelectrique (LICENCE 3egraveme anneacutee eacutelectronique et geacutenie biomeacutedical) qui doivent savoir

utiliser MATLAB dans leur cursus Ce TP porte sur la matiegravere asservissement et

reacutegulation

TP1 MISE A NIVEAU POUR LrsquoEXPLOITATION DES BOITES A OUTILS

DEMATLAB TOOLBOX MATLAB CONTROL ET SIMULINK

PARTIE I COMMANDES AVANCEES 2

I1 REPRESENTAION DrsquoUN POLYNOcircME 2

EXEMPLE 1 2

I2 OPERATIONS SUR LES POLYNOcircMES 2

I21 CALCUL DES RACINES DrsquoUN POLYNOcircME 2

EXEMPLE 2 2

EXEMPLE 3 3

I22 DERIVATION DE POLYNOcircMES 3

I23 EVALUATION DrsquoUN POLYNOcircME POUR UNE VALEUR DONNEE 3

EXEMPLE 4 3

I24 MULTIPLICATION DE POLYNOcircMES 3

EXEMPLE 5 4

I25 LES ZEROS ET LES POcircLES DrsquoUNE FONCTION 4

EXEMPLE 6 4

I26 LA TRANSFORMEE DE LAPLACE 5

EXEMPLE 7 6

I27 LA TRANSFORMEE INVERSE DE LAPLACE 6

EXEMPLE 8 6

PARTIE II CONTROL SYSTEM TOOLBOX ET SIMULINK 6

A CONTROL SYSTEM TOOLBOX 6

II1 DEFINITION DrsquoUN SYSTEME LINEAIRE 6

II11 DEFINITION DrsquoUN SYSTEME LINEAIRE PAR SA FONCTION DE

TRANSFERT

6

EXEMPLE 9 6

EXEMPLE 10 7

EXEMPLE 11 7

II12 DEFINITION DrsquoUN SYSTEME LINEAIRE PAR SES POLES ET ZEROS 7

EXEMPLE 12 8

EXEMPLE 13 8

II13 DEFINITION DrsquoUN SYSTEME LINEAIRE EN INTRODUISANT SA

FONCTION DE TRANSFERT DIRECTEMENT

9

SOMMAIRE

EXEMPLE14 9

B SIMULINK 9

II1 PRESENTATION 9

II2 QUELQUES BIBLIOTHEQUES 11

II21 BIBLIOTHEQUE SOURCE 11

III22 BIBLIOTHEQUE SINKS 12

III23 BIBLIOTHEQUE CONTINUOUS 12

III24 BIBLIOTHEQUE SIGNAL ET SYSTEMS 12

II25 BIBLIOTHEQUE MATH OPERATIONS 13

EXEMPLE 15 14

TP 1 MISE A NIVEAU POUR LrsquoEXPLOITATION DES BOITES A OUTILS DE

MATLAB

17

BIBLIOGRAPHIE 24

TP2 MODELISATION DES SYSTEMES SOUS MATLAB ET DIAGRAMMES FONCTIONNELS

25

II2 LA FONCTION (TRANSMITTANCE) DE TRANSFERT EQUIVALENTE(SCHEMAS DrsquoINTERCONNEXION) II21 MISE EN SERIE 25 EXEMPLE 1 25 II22 MISE EN PARALLELE 26 II23 BOUCLAGE 27 II23A) LE RETOUR NrsquoEST PAS UNITAIRE 27 EXEMPLE 27 II23B) LE RETOUR EST UNITAIRE 28 EXEMPLE 3 28 TP 2 MODELISATION DES SYSTEMES SOUS MATLAB ET DIAGRAMMES FONCTIONNELS

BIBLIOGRAPHIE 34 TP3 ANALYSE TEMPORELLE DES SYSTEMES LTI PREMIER ET

SECOND ORDRES ET DrsquoORDRE SUPERIEUR ET NOTION DE POLES

DOMINANTS SOUS MATLAB ET SIMULINK

35

321 MISE EN EQUATION 35

3221 REPONSE A UNE IMPULSION DE DIRAC 36

3222 REPONSE INDICIELLE 37

CARACTERISTIQUES TEMPORELLES DrsquoUN SYSTEME DU PREMIER ORDRE 38

A) LE DEPASSEMENT 38

B) TEMPS DE MONTEE (RISE TIME) 38

C) TEMPS DrsquoETABLISSEMENT A X 38

3223REPONSE TEMPORELLE DrsquoUN SYSTEME A UNE ENTREE

ARBITRAIRE DEFINIE PAR LrsquoUTILISATEUR (LA RAMPE)

39

EXEMPLE 1 40

33 EacuteTUDE DES SYSTEgraveMES DU SECOND ORDRE 47



3321 CARACTERISTIQUES TEMPORELLES 51

EXEMPLE 2 51

34 LES laquo POLES DOMINANTS raquo DrsquoUN SYSTEME 55

EXEMPLE3 56

TP3 ANALYSE TEMPORELLE DES SYSTEMES LTI PREMIER ET SECOND

ORDRE ET DrsquoORDRE SUPERIEUR ET NOTION DE POLES DOMINANTS SOUS

MATLAB ET SIMULINK

59

BIBLIOGRAPHIE

TP4 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SYSTEMESBODE NYQUIST BLACK

ANALYSE DES SYSTEMES DANS LE DOMAINE FREQUENTIEL 63 REPONSE HARMONIQUE (FREQUENTIELLE) 63 1 DIAGRAMME DE BODE 63 2 DIAGRAMME DE NYQUIST 64 3 DIAGRAMME DE BLACK ndash NICHOLS 64 EXEMPLE 1 64 EXEMPLE 2 68 TP4 ANALYSE FREQUENTIELLE DES SYSTEMES BODE NYQUIST BLACK 73

BIBLIOGRAPHIE 75

TP 5 ndash 6 STABILITE ET PRECISION DES SYSTEMES ASSERVIS

SYNTHESE DrsquoUN CORRECTEUR A AVANCE DE PHASE METHODE DE

REPONSE FREQUENTIELLE

STABILITE 76

5-1 CARTE DES ZEROS ET DES POLES 76

EXEMPLE 1 76

EXEMPLE 2 77

52 SYSTEMES DrsquoORDRE Nle 2 78

EXEMPLE 3 78

53 ENONCE DU CRITERE DE REVERS 79

DANS LE PLAN DE NYQUIST 79

CRITERE DE BLACK 80

DANS LE PLAN DE BODE 82

6 PRECISION STATIQUE 83

61 ECART DE POSITION 84

62 ECART DE VITESSE 84

63 ECART DrsquoACCELERATION 84

7 CORRECTEUR A AVANCE DE PHASE 85




86

BIBLIOGRAPHIE 91

Universiteacute des Sciences et de la Technologie drsquoOran Mohamed Boudiaf Faculteacute du geacutenie Electrique LICENCE L3

Deacutepartement dElectronique TP Asservissements continus et Reacutegulation

TP1 Mise agrave niveau pour lrsquoexploitation des boicirctes agrave outils de Matlab Toolbox Matlab control et Simulink hellip

PARTIE I COMMANDES AVANCEES

I1 REPRESENTAION DrsquoUN POLYNOcircME

Dans MATLAB un polynocircme F(p) de degreacute n est repreacutesenteacute sous la forme codeacutee drsquoun

vecteur ligne F de n+1 termes Ceux-ci sont les coefficients des puissances de p ordonneacutees par

valeurs deacutecroissantes

EXEMPLE 1

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2

Remarque Les puissances absentes sont repreacutesenteacutees par le terme 0

Lorsqursquoune instruction Matlab est suivie drsquoun lsquopoint virgulersquo le reacutesultat nrsquoest pas visualiseacute agrave lrsquoexeacutecution

I2 OPERATIONS SUR LES POLYNOcircMES

I21 CALCUL DES RACINES DrsquoUN POLYNOcircME

roots( ) calcule les racines du polynocircme

EXEMPLE 2

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2

roots(F)

ans =

2




-09670 + 00000i

05425 + 06834i

05425 - 06834i

-00590 + 05462i

-00590 - 05462i

I22 DERIVATION DE POLYNOcircMES

Polyder( ) reacutealise la deacuterivation du polynocircme

EXEMPLE 3

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2 F=[9 0 0 6 0 2] polyder (F)

ans =

45 0 0 12 0 rarr 451199011199014 + 01199011199013 + 01199011199012 + 121199011199011 + 01199011199010

I23 EVALUATION DrsquoUN POLYNOcircME POUR UNE VALEUR DONNEE

Polyval(fval) donne la valeur numeacuterique que prend le polynocircme lorsqursquoon lui applique la valeur numeacuterique val

EXEMPLE 4

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

polyval(F2)

ans =

314

I24 MULTIPLICATION DE POLYNOcircMES

z=conv(xy) creacutee le polynocircme 119963119963 = 119961119961 times 119962119962 sous sa forme deacuteveloppeacutee Le degreacute du

polynocircme z est la somme des degreacutes des polynocircmes x et y

3




EXEMPLE 5

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2

g=[1 2 5] rarr 11199011199012 + 21199011199011 + 51199011199010

g =

1 2 5

z=conv(Fg)

z =

9 18 45 6 12 32 4 10 rarr 91199011199017 + 181199011199016 + 451199011199015 + 61199011199014 + 121199011199013 + 321199011199012 + 41199011199011 + 101199011199010

I25 LES ZEROS ET LES POcircLES DrsquoUNE FONCTION

zero(sys) donne les racines du numeacuterateur

pole (sys) donne les racines du deacutenominateur

EXEMPLE 6

On calcule les zeacuteros et les pocircles de la fonction 119904119904119904119904119904119904 = 1199011199012+2119901119901+541199011199012+5119901119901+6

num=[1 2 5]

num =

1 2 5

den=[4 5 6]

den =

4 5 6

sys=tf(numden)

4




sys =

s^2 + 2 s + 5

---------------

4 s^2 + 5 s + 6

Continuous-time transfer function

zero(sys)

ans =

-10000 + 20000i

-10000 - 20000i

pole(sys)

ans =

-06250 + 10533i

-06250 - 10533i

I26 LA TRANSFORMEE DE LAPLACE

Matlab permet de calculer les transformeacutees de Laplace et les transformeacutees inverses de

Laplace

Syms deacutefinit les symboles t et shelliphelliphelliphellip

laplace calcule la transformeacutee de Laplace de lrsquoexpression donneacutee

EXEMPLE 7

syms t

f=sin(t)

F=laplace(f)

5




F =

1(s^2 + 1)

I27 LA TRANSFORMEE INVERSE DE LAPLACE

ilaplace calcule la transformeacutee inverse de Laplace de lrsquoexpression donneacutee

EXEMPLE 8

syms s

ilaplace(1(s^2 + 1))

ans =

sin(t)

PARTIE II CONTROL SYSTEM TOOLBOX ET SIMULINK

A CONTROL SYSTEM TOOLBOX

II1 DEFINITION DrsquoUN SYSTEME LINEAIRE

II11 DEFINITION DrsquoUN SYSTEME LINEAIRE PAR SA FONCTION DETRANSFERT

Sys=tf (num den) num crsquoest le polynocircme numeacuterateur

den crsquoest le polynocircme deacutenominateur

tf deacutefinit une fonction de transfert

Exemples

EXEMPLE 9

num=5

Remarque

Matlab utilise (s) qui est la variable (p) de la TL

6




den=[1 2] sys1=tf(numden)

sys1 = 5 ----- s + 2 Continuous-time transfer function

EXEMPLE 10

num=[7 5] den=[1 6 0] sys2=tf(numden) sys2 = 7 s + 5 --------- s^2 + 6 s Continuous-time transfer function

EXEMPLE 11

num=[1 2 4] den=[4 5 6] sys3=tf(numden) sys3 = s^2 + 2 s + 4 --------------- 4 s^2 + 5 s + 6 Continuous-time transfer function

II12 DEFINITION DrsquoUN SYSTEME LINEAIRE PAR SES POLES ET ZEROS

Sys= zpk (zerpolgain) zer vecteur ligne qui donne la liste des zeacuteros (Les zeacuteros sont les racines du numeacuterateur)

pol vecteur ligne qui donne la liste des pocircles (Les pocircles sont les racines du deacutenominateur)

gain est un scalaire crsquoest le gain global que lrsquoon peut mettre en facteur de lrsquoensemble

7




Exemples

EXEMPLE 12 zer=[ ] pol=[-2] gain=[1] sys1=zpk(zerpolgain) sys1 = 1 ----- (s+2) Continuous-time zeropolegain model

EXEMPLE 13

zer=[1 2] pol=[2 5] gain=[5] sys2=zpk(zerpolgain)

sys2 = 5 (s-1) (s-2) ------------- (s-2) (s-5) Continuous-time zeropolegain model

Remarque

La fonction roots( ) permet de calculer les racines drsquoun polynocircme et de deacuteterminer les

zeacuteros et les pocircles drsquoune fonction de transfert

8




II13 DEFINITION DrsquoUN SYSTEME LINEAIRE EN INTRODUISANT SAFONCTION DE TRANSFERT DIRECTEMENT

EXEMPLE 14

syms s s=tf(s) sys1=(1(s+2)^2)

sys1 =

1 ------------- s^2 + 4 s + 4


B SIMULINK

II1 PRESENTATION

Simulink est une interface graphique qui facilite lrsquoanalyse des systegravemes dans le

domaine temporel

Les systegravemes ne sont pas deacutecrits par des lignes de code Matlab mais simplement deacutefinis par

des blocs dont tous les eacuteleacutements sont preacutedeacutefinis dans des bibliothegraveques qursquoil suffit

drsquoassembler

Lorsque le scheacutema bloc du systegraveme que lrsquoon eacutetudie est repreacutesenteacute sous Simulink il est

possible drsquoanalyser sa reacuteponse temporelle pour des entreacutees diverses (eacutechelon rampehellip)

Pour lancer Simulink on procegravede agrave partir de la fenecirctre de commande de Matlab

Soit on tape agrave la suite du prompt Matlab (gtgt) tout simplement la commande Simulink

9




Soit depuis la barre drsquooutils de Matlab on clique sur lrsquoicocircne deacutedieacutee agrave Matlab

10




Ces deux actions ouvrent la fenecirctre Simulink Library Browser qui permet lrsquoaccegraves agrave la

Bibliothegraveque Simulink ainsi qursquoagrave drsquoautres bibliothegraveques (control system par exemple)

Simulink comme chaque bibliothegraveque importante comporte des compartiments Continuous

Discrete Sourcehellip qui contiennent les blocs

II2 QUELQUES BIBLIOTHEQUES

II21 Bibliothegraveque Source

Les blocs sont utiliseacutes pour geacuteneacuterer des signaux ils possegravedent une ou plusieurs sorties et

aucune entreacutee

Step geacutenegravere un eacutechelon drsquoamplitude reacuteglable

11




Ramp geacutenegravere une rampe de pente reacuteglable

Sin Wave geacutenegravere une sinusoiumlde drsquoamplitude pulsation et deacutephasage reacuteglables

Constant deacutelivre un signal constant dans le temps et de niveau reacuteglable

III22 Bibliothegraveque Sinks

Les blocs sont utiliseacutes pour lrsquoaffichage des signaux ils possegravedent une ou plusieurs entreacutees

Scope permet lrsquoaffichage des signaux geacuteneacutereacutes par une simulation dans une fenecirctre

speacutecifique diffeacuterente des fenecirctres Matlab On peut changer les paramegravetres tels que

lrsquoeacutechelle des temps des ordonneacutees le nombre de points agrave afficher par courbe On peut

zoomer sauvegarder imprimer

XY Graph permet le traceacute de deux signaux en mode XY(deux entreacutees de type

scalaire)

III23 Bibliothegraveque Continuous

Transfer Fcn Simule la fonction de transfert drsquoun systegraveme agrave temps continu Le

numeacuterateur et le deacutenominateur sont entreacutes par lrsquoutilisateur au niveau de la boite de

dialogue du bloc (entreacutes dans lrsquoordre deacutecroissant des puissances de la variable de

Laplace)

State-Space Simule le comportement drsquoun systegraveme agrave temps continu repreacutesenteacute dans

lrsquoespace drsquoeacutetat

Integrator Simule la fonction de transfert drsquoun inteacutegrateur pur

Derivative Simule la fonction de transfert drsquoun deacuterivateur pur

Transport Delay Simule un retard pur

III24 Bibliothegraveque Signal et Systems

Mux permet de passer de plusieurs entreacutees (scalaires ou vectorielles) agrave une sortie

unique vectorielle

Demux reacutealise lrsquoopeacuteration inverse drsquoun Mux seacutepare un vecteur en diffeacuterents sous-

secteurs ou mecircme en scalaires

In1 insert un port drsquoentreacutee

12




Out1 insert un port de sortie

II25 Bibliothegraveque Math Opeacuterations

Les blocs reacutealisent une fonction matheacutematique appliqueacutee aux signaux entrants

Abs la sortie de ce bloc est la valeur absolue de lrsquoentreacutee

Gain la sortie est un signal drsquoentreacutee multiplieacute par un gain (scalaire ou vectoriel) entreacute

par lrsquoutilisateur

Sum la sortie est la somme des entreacutees associeacutees agrave un signe + agrave laquelle on soustrait

les entreacutees associeacutees agrave un signe -

Sign donne le signe de lrsquoentreacutee si 1 rarr entreacutee gt 0

si 0 rarr entreacutee = 0

si -1 rarr entreacutee lt 0

En cliquant sur File New Model on ouvre une fenecirctre de travail Untitled (sans titre) pour

composer le nouveau scheacutema

Pour copier un bloc drsquoune bibliothegraveque Simulink dans la fenecirctre de travail on le seacutelectionne

en cliquant dessus avec le bouton gauche de la souris Tout en maintenant le bouton gauche

enfonceacute on se deacuteplace avec la souris jusqursquoagrave la fenecirctre de travail Simulink On relacircche le

13




bouton de la souris agrave lrsquoendroit ougrave lrsquoon souhaite positionner son bloc Le bloc se retrouve ainsi

dupliqueacute dans la fenecirctre de travail

EXEMPLE 15

On souhaite analyser la reacuteponse indicielle drsquoun systegraveme du premier ordre 119865119865(119901119901) = 1198961198961+120591120591119901119901

avec

119896119896 = 5 et 120591120591 = 2119904119904

Pour parameacutetrer un bloc Simulink on procegravede toujours de la mecircme faccedilon on ouvre la boite

de dialogue du bloc en double cliquant sur le bloc concerneacute puis on renseigne les diffeacuterents

champs de la boite de dialogue

Le bloc Step il y a quatre lignes agrave modifier

Pour un eacutechelon uniteacute continu agrave partir de lrsquoorigine des temps on aura

Le bloc Trans Func on deacuteclare le numeacuterateur et deacutenominateur

14




15




16




TP 1 Mise agrave Niveau pour lrsquoexploitation des boites agrave outils de Matlab

1 Objectif Lrsquoobjectif de ce TP est de familiariser les eacutetudiants agrave lrsquoutilisation du logicielMatlab-Simulink et la reacutealisation de programmes Matlab pour la simulation des systegravemesasservis

2 Introduction Comme entrevu le logiciel Matlab Matrix Laboratory est un langage decalcul matheacutematique baseacute sur la manipulation de variables matricielles

Simulink est un outil additionnel qui permet de faire la programmation graphique en faisant appel agrave des bibliothegraveques classeacutees par cateacutegories

Prise en main du logiciel

Exemple Essayer les instructions suivantes

help sin

help plot

Cliquer deux fois sur lrsquoicocircne MATLAB sur le bureau Quand MATLAB srsquoouvre une fenecirctre apparaicirct crsquoest la fenecirctre de commande Lrsquoenvironnement MATLAB se preacutesente sous la forme drsquoun espace de travail tout mot tapeacute agrave la suite de lrsquoinvite (gtgt) dans la fenecirctre de commande et termineacute par lrsquoappui sur touche ENTREE (validation) est interpreacuteteacute comme eacutetant une commande MATLAB Si sa syntaxe est valide la commande sera immeacutediatement exeacutecuteacutee sinon un message drsquoerreur sera deacutelivreacute Creacuteation de programme dans un fichier Cliquer sur laquo File raquo ensuite dans le menu deacuteroulant cliquer sur laquoNew raquo laquo M-Fileraquo Ceci fait apparaicirctre une nouvelle fenecirctre (lsquoEditorrsquo) dans laquelle on eacuteditera le texte du programme La commande help permet drsquoobtenir de lrsquoaide surun sujet une instruction ou une fonction On tape help suivi par le sujet

17




La commande clc permet drsquoeffacer (nettoyer) lrsquoeacutecran

Traccedilage de courbes On utilise lrsquoinstruction plot pour tracer un graphique 2D plot(xy) permet de tracer y en fonction de x y=f(x) avec x et y deux vecteurs de mecircme longueur

On deacutesire par exemple repreacutesenter la fonction f(t)=t pour 0le t le6120587120587 avec un pas de 12058712058710

Introduire alors la commande suivante

t=[0 pi10 6pi] f = t plot(t f)

On peut ajouter agrave plot un troisiegraveme paramegravetre pour indiquer la couleur et le type de traceacute (continu ou discontinu) de la courbe (Voir tableau 1)

Tableau 1

REMARQUE Les valeurs noteacutees () sont les valeurs par deacutefaut

On peut ajouter agrave la courbe obtenue les identifiants suivants

- Le titre de la figure title( )

- Le titre de lrsquoaxe des abscisses xlabel(x)

- Le titre de lrsquoaxe des ordonneacutees ylabel(y)

Un quadrillage (grille) reacutealiseacute par la commande grid donne plus de lisibiliteacute au graphique

La commande grid off supprime le quadrillage du graphique courant

REMARQUE

- On peut faire appel agrave lrsquoeacutediteur MATLAB en suivant le chemin suivant FileNewM-file - On peut eacutegalement acceacuteder agrave un fichier deacutejagrave enregistreacute pour le modifier en suivant FileOpenNom du fichier

18




Exercice 1

Soit la fonction suivante

y=sin(t) t le temps

Ecrire un programme sous Matlab pour tracer cette fonction pour 0le t le2120587120587 avec un pas de 120587120587100 et en indiquant sur la figure le titre (fonction sinusoiumldale) (temps en s) sur lrsquoaxe laquoX raquo et (amplitude) sur lrsquoaxe laquo Y raquo

Mettre la grille sur la figure

Exercice 2

Ecrire leacutequation suivante sous Matlab

y(t) = 5t4 + 5t2 + 8t ndash 1 t eacutetant le temps

Calculer les racines de y(t)

Calculer y(-l)y(1)y(2)

Calculer 119889119889119904119904(119905119905) 119889119889119905119905

Calculer z(t) = y(t)x(t) avec x(t) = 9t2+ t+ 5

Exercice 3

Ecrire sous Matlab les fonctions de transfert suivantes selon 2 meacutethodes

1198651198651(119901119901) =1

119901119901 + 6

1198651198652(119901119901) =119901119901 + 2

119901119901(119901119901 minus 5)

1198651198653(119901119901) = 7(119901119901 + 9)

1199011199012 + 2119901119901 + 5

1198651198654(119901119901) = 5(119901119901 minus 7)

1199011199012 + 099119901119901 + 04

19




Exercice 4

Ecrire un programme sous Matlab pour trouver les transformeacutees de Laplace des fonctions suivantes

e-at t7 sin wt cos wt

Exercice 5

Ecrire un programme sous Matlab pour trouver les transformeacutees inverses de

1199041199041(119901119901) = 3119901119901+11199011199012+8119901119901+3

1199041199042(119901119901) = 5119901119901(1199011199012+1199081199082)

1199041199043(119901119901) = 119890119890minus120587120587119901119901 1199041199044(119901119901) = ln(5 + 1199081199082

1199011199012 ) w constante

TRAVAIL SOUS SIMULINK

1 PRESENTATION DE SIMULINK

Comme preacuteciteacute SIMULINK est une extension du logiciel Matlab Simulink est lrsquointerface graphique de MATLAB qui permet de srsquoaffranchir du code et de la syntaxe pour la saisie des lignes de commandes MATLAB Crsquoest un logiciel de simulation de systegravemes variables dynamiques muni drsquoune interface graphique qui facilitera la saisie du modegravele la simulation du modegravele Afin de voir comment utiliser SIMULINK il faut lancer en premier lieu le logiciel MATLAB Taper la commande simulink dans la fenecirctre de commande MATLAB sera la prochaine eacutetape

La fenecirctre principale va ecirctre afficheacutee On seacutelectionne NewModel dans le menu File Une fenecirctre srsquoouvre avec un choix de scheacutemas-blocs

Selon notre conception voulue on ramegravene les blocs deacutesireacutes agrave partir de la fenecirctre principale de Simulink Elle comporte les diffeacuterentes bibliothegraveques

Les blocs choisis sont inseacutereacutes dans une fenecirctre de travail par laquo copier-collerraquo ou en glissant le bloc drsquoune fenecirctre agrave une autre gracircce agrave la souris

Afin de connecter deux blocs on pointe avec la souris sur la pointe du bloc et on enfonce le bouton droit de la souris Un trait se verra On pointe ensuite sur la face gauche du second bloc au niveau dune flegraveche et on relacircche le bouton de la souris Un trait entre les deux blocs apparaitra montrant la reacuteussite de la connexion

2 Deacuteroulement de la simulation

On deacutefinit les paramegravetres de la simulation qui porte sur lrsquoinstant du deacutebut de simulation lrsquoinstant de fin de simulation la peacuteriode de simulation la meacutethode drsquointeacutegration numeacuterique

20




utiliseacutee On va aller dans le menu laquo Simulation raquo puis sur laquo parameters raquo et speacutecifier les paramegravetres relatifs agrave la simulation Ce choix est important car les reacutesultats vont en deacutependre

Dans le menu laquo Simulation raquo on seacutelectionne laquostartraquo Pour lrsquoutilisation des blocs de visualisation (graph scope hellip) on paramegravetre ceux-ci en fonction des paramegravetres de la simulation

Pour interrompre la simulation en cours on va dans le menu laquo Simulation raquo et on clique sur laquo stop raquo

Exemple

Ici crsquoest la SIMULATION DrsquoUN SIGNAL SINUSOIDAL

On vise sa variation temporelle

Donc on lance Simulink On seacutelectionne NewModel dans le menu File Une fenecirctre de travail va srsquoouvrir On y inseacuterera les scheacutemas-blocs

On ouvre la bibliothegraveque Sources on seacutelectionne lrsquoicocircne laquoSignal generatorraquo en laquocliquantraquo une fois dessus On fait glisser ceci dans la fenecirctre de travail On ouvre Sinks et on seacutelectionne lrsquooscilloscope On fait glisser ce dernier dans la fenecirctre de travail A lrsquoaide de la souris on relie la sortie du bloc geacuteneacuterateur de signal agrave lrsquoentreacutee de lrsquooscilloscope Lrsquooscilloscope permet de visualiser une partie du signal agrave lrsquoeacutecran

21




On souhaite geacuteneacuterer une sinusoiumlde drsquoamplitude 5 V de freacutequence 2 Hz et de phase nulle agrave lrsquoorigine On configure les diffeacuterents blocs en cliquant deux fois sur chacun drsquoeux a) le bloc laquo signal generator raquo permet de deacutefinir la pulsation du signal en rads ou en Hzpour la freacutequence b) On configure lrsquooscilloscopec) On configure les paramegravetres de simulation en particulier la date de deacutebut (souvent 0) et ladate de fin (1 sec par exemple) dans la case blanche en dessous du menu Help La phase de parameacutetrage est donc acheveacutee On lance la simulation agrave lrsquoaide de la commande Start du menu Simulation On peut cliquer sur le bouton Run Le signal est obtenu sur lrsquooscilloscope (les axes peuvent ecirctre veacuterifieacutes) Voila ce qursquoon obtient

Exercice 6

En utilisant Simulink construisez un modegravele pour avoir la reacuteponse agrave un eacutechelon en boucle

ouverte et en boucle fermeacutee drsquoun systegraveme du premier ordre ∶ 1198961198961+120591120591119901119901

ayant un gain k=5 et une

constante de temps τ=30s

Exercice 7

Soit un circuit RC attaqueacute par un eacutechelon drsquoamplitude 24V avec R=50Ω C=100μF

22




Le condensateur est initialement deacutechargeacute 1-Etablissez le modegravele simulink de ce montage 2- Visualisez les courbes en fonction du temps de la tension et du courant obtenus au niveau du condensateur 3-Etablissez lrsquoeacutetude theacuteorique et interpreacutetez les reacutesultats obtenus

Exercice 8 Soit le circuit suivant on donne E=24V R=15 KΩ C=10nF L=10-4H

Le condensateur est initialement deacutechargeacute 1-Etablissez le modegravele Simulink du circuit 2-Visualisez les tensions E UC UR selon le temps 3-Faire lrsquoeacutetude theacuteorique et eacutetablissez les diverses eacutequations

23




BIBLIOGRAPHIE bull MRIVOIRE JL FERRIER laquo MATLAB SIMULINK STATEFLOWraquo EDITION TECHIP 2001 bull SLEBALLOIS laquo MATLABSIMULINK APPLICATION A LrsquoAUTOMATIQUELINEAIREraquo EDITION ELLIPSES 2001 bull VMINZU BLANG COMMANDE AUTOMATIQUE DES SYSTEMESLINEAIRES CONTINUS raquo EDITION ELLIPSES 2001 bull SLEBALLOIS PCODRON laquo AUTOMATIQUE SYSTEMES LINEAIRES ETCONTINUS raquo EDITION DUNOD 2006 bull SUBHAS CHAKRAVARTYlaquoTECHNOLOGY AND ENGINEERINGAPPLICATIONS OF SIMULINKraquo INTECH 2012 bull KATSUHOKO OGATA laquo MATLAB FOR CONTROL ENGINEERS raquobull ANDREW KNIGHT BASICS OF MATLAB AND BEYOND CHAPMAN ampHALLCRC BOCA RATON LONDON NEW YORK WASHINGTON DC 2000 bull SULAYMON ESHKABILOV laquoBEGINNING MATLAB AND SIMULINK FROMNOVICE TO PROFESSIONAL raquo APRESS UNITED STATES 2019 bull MIKHAILOV EUGENIY E laquoPROGRAMMING WITH MATLAB FORSCIENTISTS A BEGINNERrsquoS INTRODUCTION [FIRST EDITION] raquoCRC PRESS

2018 bull YGRANJON laquo ATOMATIQUE SYSTEMES LINEAIRES NON LINEAIRES ATEMPS CONTINU A TEMPS DISCRET REPRESENTATION DrsquoETAT raquo EDITION DUNOD 2010 bull PATRICK PROUVOST laquo AUTOMATIQUE CONTROLE ET REGULATION raquoEDITION DUNOD 2010 bull DINGYU XUEYANGQUAN CHENDEREK P ATHERTON laquo LINEARFEEDBACK CONTROL ANALYSIS AND DESIGN WITH MATLAB raquo JULY 3 2002 SPRINGER-VERLAG bull httpsfrscribdcomdoc119843662TRAVAUX-PRATIQUES-DE-STABILITE-DES-SYTEME-ASSERVIS bull httpswwwyoutubecomchannelUCUhgyeXjG3AsXn0DNFMsthwvideosdisable_polymer=1 bull httpswwwyoutubecomwatchv=Db8FqLvwj1Ybull httpwww-lagisuniv-lille1fr~bonnetOutils_SimulTD_Matlab_M1ASEpdfbull httpswwwcours-gratuitcomcours-matlabbull httpswwwexoco-lmdcombull w3cranuniv-lorrainefrpersohuguesgarnierEnseignementTP1_M4209cpdfbull httpsfrscribdcomdoc31886426Simulation-Des-Correcteurs-PIDbull httpwwwmediafirecomfile4sy4blu1g8sdsiccours-autom-SMP-S6pdfbull httpwww4ac-nancy-metzfrcpge-pmf-epinalCours_TD_SIIEleccours_asservissementpdf bull httpwwwacademiaedu3786186TRAVAUX_PRATIQUES_DE_STABILITC389_DES_SYTC389ME_ASSERVI

24

Universiteacute des Sciences et de la Technologie drsquoOran Mohamed BoudiafFaculteacute du geacutenie Electrique LICENCE L3

Deacutepartement dElectroniqueTP Asservissements continus et Reacutegulation

TP2 Modeacutelisation des systegravemes sous Matlab et diagrammes fonctionnels

II2 LA FONCTION (TRANSMITTANCE) DE TRANSFERT EQUIVALENTE

(SCHEMAS DrsquoINTERCONNEXION)

II21 MISE EN SERIE

EXEMPLE 1

Le systegraveme global est F(p) avec ()ܨ =ாேோாா

ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଶ(p)ܨଵ(p)ܨOu bien

ܨ = ݏ ݎ ଶܨଵܨ)ݏ )EXEMPLE

()ଵܨ =1

+ 1()ଶܨݐ =

+ 2

num1=[1]den1=[1 1]F1=tf(num1den1)

F1 =1

-----s + 1

Continuous-time transfer functionnum2=[1 2]

den2=[1 0]F2=tf(num2den2)

F2 =s + 2

-----s

Continuous-time transfer functionF= F1F2F =

s + 2-------s^2 + s

Continuous-time transfer functionF=series(F1F2)

F =s + 2

-------s^2 + s

Continuous-time transfer function 25




II22 MISE EN PARALLELE

EXEMPLE 2


ௌைோூா=

ௌ()

ா()

(p)ܨ = ଵ(p)ܨ + ଶ(p)ܨ

Ou bien ܨ = ݎ ଶܨଵܨ) )

EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2

26

num1=[1]den1=[1 1]F1=tf(num1den1)F1 =1-----s + 1Continuous-time transfer functionnum2=[1 2]den2=[1 0]F2=tf(num2den2)F2 =s + 2-----sContinuous-time transfer function

F=F1+F2F =s^2 + 4 s + 2-------------s^2 + sContinuous-time transfer function

F=parallel(F1F2)F =s^2 + 4 s + 2-------------s^2 + s





II23 BOUCLAGE

II23a) le retour nrsquoest pas unitaire


ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଶܨଵܨ) )

EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2

ܨ = ଶܨଵܨ) ) ne ܨ = ଵܨଶܨ) )

ܨ = ( ℎ ݎ ݐ ℎ ݎ (ݎݑݐ

Remarque

num1=[1]den1=[1 1]F1=tf(num1den1)F1 =1-----s + 1Continuous-time transfer functionnum2=[1 2]den2=[1 0]F2=tf(num2den2)F2 =s + 2-----s

F=feedback(F1F2)F =

s-------------s^2 + 2 s + 2


27




II23b) le retour est unitaire

Le systegraveme global est F avec (p)ܨ =ாேோாா

ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଵܨ) 1 )

EXEMPLE 3

Le systegraveme global est F

num1=[1]den1=[1 1]F1=tf(num1den1)F1 =1-----s + 1F=feedback(F11)

F =

1-----s + 2


(p)

28




ଵ(p)ܨ =1

+ 1 ଶ(p)ܨ =

+ 2

ଷ(p)ܨ =

+ 1 ସ(p)ܨ =

+ 2

+ 5

num1=[1]den1=[1 1]

F1=tf(num1den1)F1 =

1-----s + 1


num2=[1 2]den2=[1 0]

F2=tf(num2den2)F2 =

s + 2-----

sContinuous-time transfer function

num3=[1 0]den3=[1 1]F3=tf(num3den3)F3 =

s-----s + 1

Continuous-time transfer functionnum4=[1 2]den4=[1 5]F4=tf(num4den4)F4 =

s + 2-----s + 5

Continuous-time transfer functionS1=series(F1F2)S1 =

s + 2-------s^2 + s


s^2 + 2 s-------------s^2 + 6 s + 5

Continuous-time transfer functionF=feedback(S1S2)F =

s^3 + 8 s^2 + 17 s + 10--------------------------s^4 + 8 s^3 + 15 s^2 + 9 s





TP 2 Modeacutelisation des systegravemes sous Matlab et diagrammes fonctionnels

But du TP Maitrise de la repreacutesentation de quelques configurations de systegravemes

asservis par simulation sous matlab script et simulink (notion de scheacutemas

fonctionnels systegraveme en boucle ouverte systegraveme en boucle fermeacuteehellip)

Exercice 1

Ecrire un programme script sous Matlab pour trouver la fonction de transfert pour les

systegravemes suivants avec

()ଵܩ =60

ଶ5 + +2 1 ()ଶܩ =

120

+ 4

Figure1

30




Exercice 2

On considegravere les boucles de reacutegulation repreacutesenteacutees ci-dessous

Figure 2

1-Deacuteterminer la fonction de transfert en boucle ouverte FTBO(p) et la fonction de transfert enboucle fermeacutee FTBF(p) pour chaque cas 2-Ecrire un programme sous matlab pour deacuteterminer la fonction de transfert en boucle

ouverte FTBO(p) et la fonction de transfert en boucle fermeacutee FTBF(p) pour chaque cas

Exercice 3

On considegravere la boucle de reacutegulation repreacutesenteacutee sur la figure ci-dessous1-Deacuteterminer la fonction de transfert en boucle fermeacutee de ce systegraveme et donner son ordre

Avec

2-Ecrire un programm3-Reacutealiser sous Simu

-

-A- -B

Figure 3

()ܣ =1

()ܤ = ()ܥ =

1

ଶ

e sous Matlab pour trouver la fonction de transfert du systegravemelink le scheacutema et le simuler pour une entreacutee eacutechelon unitaire

31




Exercice 4

Soit un ensemble eacutelectromeacutecanique constitueacute un moteur eacutelectrique agrave courant continu caracteacuteriseacute par une constante de flux une constante de force contre eacutelectromotrice une reacutesistance interne dinduit ݎ une self-inductance un hacheur dont la fonction de transfert est supposeacutee ecirctre un gain constant une charge meacutecanique constitueacutee dune inertie J et dun couple perturbateur ܥ௫௧

On a le scheacutema suivant

1-Faire lrsquoimpleacutem= 200 ଶ

2- Observer la reacute3- Comment eacutevo

Exercice 5

1-Deacutetermfigure5-A ci dess

Figure 4

entation sous Simulink avec les valeurs suivantes= 10 ݎ ݎݏ = ߗ005 = ܪ2 = 150 = 10 ܣ ௫௧ܥ = 0mN

ponse (vitesse) de ce systegraveme pour un eacutechelon damplitude unitairelue cette sortie pour =௫௧ܥ 1400 mN

iner la fonction de transfert en boucle fermeacutee de ce systegraveme preacutesenteacute sur laous

32




Soit la boucle drsquoasservissement preacutesenteacutee sur la figure 5-B ci dessous

2-En deacuteveloppant un programme (script) sous Matlab afficher la fonction de transfert de cesystegraveme en boucle fermeacutee en utilisant zpkm3- Montrer que la boucle drsquoasservissement preacutesenteacutee sur la figure 5-B peut ecirctre repreacutesenteacuteeen nrsquoutilisant dans la chaicircne directe que des inteacutegrateurs boucleacutes agrave lrsquoaide de gainscorrectement choisis4-Tracer (sous SIMULINK) la reacuteponse indicielle de la boucle de reacutegulation preacutesenteacutee sur lafigure donneacutee et la boucle de reacutegulation trouveacutee en question 35-Conclure

Exercice 6

On considegravere la boucle de reacutegulation repreacutesenteacutee sur la figure 6 ci-dessous-En deacuteveloppant un programme (script) sous Matlab affichez la fonction de transfert de cesystegraveme En deacuteduire son ordre

A

vec

Figure 6

()ܣ =

+ 1()ܤ = ()ܥ =

1

()ܦ =

1

ଶ

33




BIBLIOGRAPHIE MRIVOIRE JL FERRIER laquo MATLAB SIMULINK STATEFLOWraquo EDITION TECHIP 2001 SLEBALLOIS laquo MATLABSIMULINK APPLICATION A LrsquoAUTOMATIQUE LINEAIREraquoEDITION ELLIPSES 2001 VMINZU BLANG COMMANDE AUTOMATIQUE DES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS raquoEDITION ELLIPSES 2001 SLEBALLOIS PCODRON laquo AUTOMATIQUE SYSTEMES LINEAIRES ET CONTINUS raquoEDITION DUNOD 2006 EacuteLISABETH BOILLOT laquoASSERVISSEMENTS ET REGULATIONS CONTINUS raquo VOLUME 2EDITIONS TECHNIP MOHAMMED KARIM FELLAHPOLYCOPIElaquoAUTOMATIQUE(1ET2)ASSERVISSEMENTS LINEAIRES CONTINUS raquo 2013 SUBHAS CHAKRAVARTYlaquoTECHNOLOGY AND ENGINEERING APPLICATIONS OFSIMULINKraquo INTECH 2012 KATSUHOKO OGATA laquo MATLAB FOR CONTROL ENGINEERS raquo Pearson 2007 ANDREW KNIGHT BASICS OF MATLAB AND BEYOND CHAPMAN amp HALLCRC BOCARATON LONDON NEW YORK WASHINGTON DC 2000 SULAYMON ESHKABILOV laquoBEGINNING MATLAB AND SIMULINK FROM NOVICE TOPROFESSIONAL raquo APRESS UNITED STATES 2019 MIKHAILOV EUGENIY E laquoPROGRAMMING WITH MATLAB FOR SCIENTISTS ABEGINNERrsquoS INTRODUCTION [FIRST EDITION] raquoCRC PRESS 2018 YGRANJON laquo ATOMATIQUE SYSTEMES LINEAIRES NON LINEAIRES A TEMPSCONTINU A TEMPS DISCRET REPRESENTATION DrsquoETAT raquo EDITION DUNOD 2010 PATRICK PROUVOST laquo AUTOMATIQUE CONTROLE ET REGULATION raquo EDITIONDUNOD 2010 DINGYU XUEYANGQUAN CHENDEREK P ATHERTON laquo LINEAR FEEDBACK CONTROLANALYSIS AND DESIGN WITH MATLAB raquo JULY 3 2002 SPRINGER-VERLAG httpsfrscribdcomdoc119843662TRAVAUX-PRATIQUES-DE-STABILITE-DES-SYTEME-ASSERVIS httpswwwyoutubecomchannelUCUhgyeXjG3AsXn0DNFMsthwvideosdisable_polymer=1 httpswwwyoutubecomwatchv=Db8FqLvwj1Y httpwww-lagisuniv-lille1fr~bonnetOutils_SimulTD_Matlab_M1ASEpdf httpswwwcours-gratuitcomcours-matlab httpswwwexoco-lmdcom w3cranuniv-lorrainefrpersohuguesgarnierEnseignementTP1_M4209cpdf httpsfrscribdcomdoc31886426Simulation-Des-Correcteurs-PID httpwwwmediafirecomfile4sy4blu1g8sdsiccours-autom-SMP-S6pdf httpwww4ac-nancy-metzfrcpge-pmf-epinalCours_TD_SIIEleccours_asservissementpdf httpwwwacademiaedu3786186TRAVAUX_PRATIQUES_DE_STABILITC389_DES_SYTC389ME_ASSERVI

34

Universiteacute des Sciences et de la Technologie drsquoOran Mohamed BoudiafFaculteacute du geacutenie Electrique

Deacutepartement dElectroniqueLICENCE L3

TP Asservissements continus et Reacutegulation

TP3 Analyse temporelle des systegravemes LTIPremier et second ordres et drsquoordre supeacuterieur et notion de pocircles dominants sous Matlab

et Simulink

Objectifs

- Eacutecrire des programmes sous Matlab et utiliser Simulink afin drsquoanalyser lesreacuteponses des systegravemes agrave des entreacutees diffeacuterentes- Etudier lrsquoinfluence de certains paramegravetres sur le comportement drsquoun systegraveme

31 ANALYSE DES SYSTEMES DANS LE DOMAINE TEMPOREL

Il y a plusieurs types de signaux applicables agrave un systegraveme On distingue certains appeleacutes

entreacutees de reacutefeacuterence (signaux tests) MATLAB dispose de plusieurs commandes qui

permettent drsquoinjecter un certain signal agrave un systegraveme deacutecrit sous forme de LTI Object et de

fournir la reacuteponse temporelle agrave ce signal Parmi ces commandes on distingue

step reacuteponse indicielle drsquoun systegraveme

impulse reacuteponse impulsionnelle drsquoun systegraveme

lsim reacuteponse temporelle drsquoun systegraveme agrave une entreacutee arbitraire deacutefinie par lrsquoutilisateur

32 SYSTEgraveMES DU PREMIER ORDRE321 Mise en eacutequationLes systegravemes du premier ordre sont reacutegis par des eacutequations diffeacuterentielles du premier degreacuteLeur fonction de transfert possegravede un pocircle Lrsquoeacutequation la plus couramment rencontreacutee est

ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)

Les deux constantes et k sont des nombres reacuteels positifs en geacuteneacuteral est appeleacutee constante de temps du systegravemek est appeleacutee gain statiqueCes systegravemes sont quelques fois appeleacutes systegravemes agrave une seule constante de temps

Prenant les conditions initiales nulles la fonction de transfert du systegraveme se calcule agrave partir delrsquoeacutequation diffeacuterentielle en utilisant la transformation de Laplace

35





et Simulink

pS(p) + S(p) = k E(p)

()ܩ =()

()ܧ=

1 +

3221 Reacuteponse agrave une impulsion de DiracSoit une entreacutee e(t) = δ(t) On a donc

E( p) = 1drsquoougrave

() =

1 + On calcule facilement s(t) agrave partir de la table des transformeacutees de Laplace

(ݐ)ݏ =

ఛష

ഓ ( tge 0)

La constante de temps du systegraveme peut ecirctre mise en eacutevidence sur la courbe (figure 1)Dans la fonction exponentielle deacutecroissante la tangente agrave lrsquoorigine coupe lrsquoasymptote (icilrsquoaxe des abscisses) au point drsquoabscisse

F

igure (1) Reacuteponse impulsionnelle drsquoun systegraveme du premier ordre

36





et Simulink

3222 Reacuteponse indicielleLrsquoentreacutee consiste en un eacutechelon e(t) = u(t) On a donc

()ܧ =1

drsquoougrave

() =

(1 + (

1

On calcule facilement s(t) agrave partir de la table des transformeacutees de Laplace

(ݐ)ݏ = ቀ1 minus ష

ഓቁ (tge 0)

Figure (2

) Reacuteponses indicielles drsquoun systegraveme du premier ordre

37





et Simulink

Caracteacuteristiques temporelles drsquoun systegraveme du premier ordre

On deacutefinit le temps du premier maximum comme eacutetant lrsquoinstant caracteacuterisant le premiermaximum

a) Le deacutepassementSoit ௫ la valeur maximale prise par s(t) et est la valeur finale (atteinte en reacutegime

permanent) On deacutefinit le deacutepassement maximal si ௫ gt par

ܦ = ௫ minus

Le deacutepassement relatif est un pourcentage selon

ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ

b) Temps de monteacutee (rise time) Il est noteacute tm Crsquoest le temps neacutecessaire agrave la reacuteponse pour eacutevoluer de 10 agrave 90 de 5 agrave 95ou de 0 agrave 100 de sa valeur finalePour les systegravemes du 2nd ordre peu amortis le temps de monteacutee de 0 agrave 100 est plusgeacuteneacuteralement prisPour les systegravemes tregraves amortis leacutevolution de 10 agrave 90 est plus souvent adopteacutee

c) Temps drsquoeacutetablissement agrave x () Le temps drsquoeacutetablissement agrave x (ou encore temps de reacuteponse agrave x) est le temps neacutecessairepour que la reacuteponse indicielle reste dans la marge ݔplusmn autour de la valeur finale On peut le deacutefinir comme le temps agrave partir duquel

ห(ݐ)ݏ minus หle ݔ

Geacuteneacuteralement x=10 ou 5Ces grandeurs caracteacuterisent complegravetement le comportement transitoire (en reacuteponse indicielle)drsquoun systegraveme donneacute

(ଶݐ)ݏ = ൬1 minus ௧మఛ ൰ = 09 rArr ଶݐ = minus ln (01)

ݐ = ଶݐ minus ଵݐ = ln(9) = 22

Temps de monteacuteeSoit t1 le temps pour lequel s(t1)=10 sfin de mecircme on note t2 le moment ou s(t2)=90 sfin

sfin = s (trarr infin) =k harr lim௧rarrinfin (ݐ)ݏ =kLe temps de monteacutee est le temps que met la reacuteponse indicielle pour passer de 10 agrave 90

(ଵݐ)ݏ = ቀ1 minus షభഓ ቁ = 01 rArr ଵݐ = minus ln (09)

38



TP3 Analyse temporelle des systegravemes LTI Premier et second ordre et drsquoordre supeacuterieur et notion de pocircles dominants sous Matlab

et Simulink

Systegraveme 119919119919(119953119953) =

119948119948120783120783 + 120649120649119953119953

Deacutepassement 0 Temps du 1er maximum Tm ND Temps de monteacutee tm 22 x 120591120591 Temps de reacuteponse agrave 10 tr10 23 x 120591120591 Temps d reacuteponse agrave 5 tr5 30 x 120591120591

119897119897prime119890119890119890119890119890119890119890119890119890119890119890119890 119889119889119890119890 119905119905119890119890119905119905119905119905119905119905119905119905119905119905119890119890 ∶ ɛ = lim119905119905rarrinfin

(119890119890(119905119905) minus 119904119904(119905119905))

3223Reacuteponse temporelle drsquoun systegraveme agrave une entreacutee arbitraire deacutefinie par lrsquoutilisateur (la rampe)

119890119890(119905119905) = 119905119905 119905119905119890119890(119905119905) 119864119864(119901119901) =

1199051199051199011199012

119878119878(119901119901) =119905119905119886119886

1199011199012(1 + 120591120591119901119901)= 119886119886(

1199051199051199011199012 minus

119905119905120591120591119901119901

+1199051199051205911205912

1 + 120591120591119901119901)

119904119904(119905119905) = 119905119905119886119886 1 minus 120591120591 + 120591120591119890119890minus119905119905120591120591 t ge 0

119904119904(119905119905119890119890) = 119886119886 1 minus 119890119890minus119905119905119890119890120591120591 = 09119886119886 rArr 11990511990511989011989010 = minus120591120591 ln(01)

11990511990511989011989010 = 23 120591120591


1199051199051198901198905 = 3 120591120591

Le temps de reacuteponse agrave 10 s(tr)=90 sfin


Remarque

La reacuteponse indicielle drsquoun systegraveme du premier ordre ne preacutesente pas de deacutepassement

39





et Simulink

Figure (3) Reacuteponses temporelles drsquoun systegraveme agrave une entreacutee rampe

EXEMPLE 1

Ecrire un programme sous MATLAB pour tracer la reacuteponse indicielle impulsionnelle et la reacuteponse agraveune rampe (ݐ)ݎ = ݐ5 pour le systegraveme suivant

()ܩ =2

+7 1Notre systegraveme est du premier ordre sous la forme

()ܩ =

1 + =

1 + ݒ = 2 =ݐ = 7

num=2den=[7 1]G=tf(numden)G =2-------7 s + 1Continuous-time transfer function

step(G)

impulse(G)

t=[00110]r=5ty=lsim(Grt)

plot(ty) 40





et Simulink

Figure A Reacuteponse indicielle Figure B Reacuteponse impulsionnelle


Figure C Reacuteponse agrave une rampe

41





et Simulink

Exemple1 Suite

Calculer du graphe de la reacuteponse indicielle preacuteceacutedente le deacutepassement le temps de reacuteponse agrave 5 le temps de reacuteponse agrave 10 le temps de monteacutee

POUR LIRE LES VALEURS DU GRAPHE

Saisie dun point agrave la souris (pour lire les valeurs du graphe)

ginput(1) et cliquer sur le point agrave mesurer Mesurer le temps de reacuteponse de H(s)

La commande ginput(N) permet de cliquer N points dans la fenecirctre graphique La commande

renvoie alors deux vecteurs lun contenant les abscisses lautre les ordonneacutees Utiliseacutee sans le

paramegravetre N la commande tourne en boucle jusqursquo agrave ce que la touche Entreacutee soit tapeacutee

42





et Simulink

le deacutepassement La reacuteponse indicielle drsquoun systegraveme du premier ordre ne preacutesente pas de deacutepassements

D=0

le temps de reacuteponse agrave 5

sfin =2 alors 095x 2=19 alors la projection de 19 va nous donner tr5Pour lire cette valeur on tape dans la command window [trstr]=ginput(1)

0 10 20 30 40 50 60 700

02

04

06

08

1

12

14

16

18

2Step Response

Time (seconds)

Amplitude

43





et Simulink

tr =210249 (temps de reacuteponse agrave 5) en s

str =18991 (asymp 19 = ((5ݎݐ)ݏ


Mecircme chose pour le tr10sfin =2 alors 09x2=18 alors la projection de 18 va nous donner tr10Pour lire cette valeur on tape dans command window [trstr]=ginput(1)

44





et Simulink


str =17981 asymp 18 = (10ݎݐ)ݏ

45





et Simulink

le temps de monteacutee

Le temps de monteacutee t2-t1 (voir la deacutemonstration en haut)s(t2)=09 x 2 =18 deacutejagrave calculeacutee t2=161730s(t1)=01x2=02 alors la projection de 02 va nous donner t2

t1 =07464

st1 =02081

tm= 161730 -07464=1542 s

46





et Simulink

Pour confirmer nos reacutesultats on peut les calculer theacuteoriquement

tr5 = 30 x = 7ݔ3 = ݏ21

tr10 = 23 x = 7ݔ23 = ݏ161

tm=22 x = 7ݔ22 = ݏ154

33 EacuteTUDE DES SYSTEgraveMES DU SECOND ORDRE331 Mise en eacutequationLes systegravemes du second ordre sont reacutegis par des eacutequations diffeacuterentielles du second degreacuteLeur fonction de transfert possegravede donc deux pocircles Lrsquoeacutequation la plus courammentrencontreacutee srsquoeacutecrit

1

ଶݓଶݏ

ଶݐ+

ߦ2

ݓ

ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)

Les trois constantes ݓ etߦ k sont des nombres reacuteels en geacuteneacuteral positifs w୬ la pulsation propre du systegraveme ξ est appeleacutee coefficient ou facteur drsquoamortissement k est le gain statique du systegraveme

La fonction de transfert du systegraveme se deacuteduit immeacutediatement de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle quireacutegit son fonctionnement en appliquant la transformation de Laplace aux deux membres

1

ଶݓ() +

ߦ2

ݓ() + () = ()ܧ

ݏ ∶ݐ ()ܩ =()

()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

332 Reacuteponse indicielleLrsquoentreacutee prise est un eacutechelon unitaire e(t) = u(t)

On a donc ∶ ()ܧ =ଵ

47





et Simulink

Drsquoougrave ∶ () =()ܩ

=

)ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1)

Trois cas sont agrave consideacuterer selon le signe du discriminant du polynocircme du deacutenominateur

On a ∆ =ଶߦ4

ଶݓminus

4

ଶݓ=

4

ଶݓଶߦ) minus 1)

a) Discriminant positifOn a ∆gt 0 ⟺ ltߦ 1

Dans ce cas on a

(ݐ)ݏ = ቐk u(t) minus

k

2ඥξଶ minus 1ቂቀξ + ඥξଶ minus 1ቁe୵ ቀஞ ඥஞమଵቁ୲minus ቀξ + ඥξଶ minus 1ቁe୵ ቀஞାඥஞ

మଵቁ୲ቃ

0 t lt 0

t ge 0

Lrsquoeacutetude de cette fonction montre la preacutesence drsquoune asymptote en K lorsque t rarr +infin et unetangente agrave lrsquoorigine nulle Les deux termes en exponentielle deacutecroissent drsquoautant pluslentement que ξ est grand Dans ce cas le signal s(t) tend moins rapidement vers sonasymptote La figure 4 preacutesente lrsquoeacutevolution de s(t) pour diverses valeurs de ξ

Figure (4) Reacute

La reacuteponse la plus rab) Discriminan

On a ∆= 0

Dans ce cas

ponse indicielle drsquoun systegraveme du second ordre agrave divers coefficients

drsquoamortissement

pide est obtenue pour un facteur drsquoamortissement tregraves proche de 1t nul

⟺ =ߦ 1

on a

48





et Simulink

(ݐ)ݏ = ൜ ݑ(ݐ) minus (1 + (ݐݓ

௪௧ t ge 00 gtݐ 0

Nous obtenons une reacuteponse qui tend tregraves rapidement vers lrsquoasymptote (voir figure 4)

c) Discriminant neacutegatifOn a ∆lt 0 ⟺ 0 lt gtߦ 1

Dans ce cas on a

(ݐ)ݏ = ൝(ݐ)ݑ minus క௪௧cos ඥ1ݓ) minus (ݐଶߦ +

క

ඥଵకమsin ඥ1ݓ) minus ൨(ݐଶߦ

0 gtݐ 0

ltݐ 0

La reacuteponse du systegraveme est formeacutee de la diffeacuterence de deux signaux le signal k u(t) et unsignal sinusoiumldal encadreacute par une enveloppe en exponentielle deacutecroissante qui tend donc vers0 en oscillant Le graphe de s(t) possegravede donc une asymptote vers la constante k lorsque ttend vers lrsquoinfini Le signal tend vers cette asymptote en preacutesentant un reacutegime dit oscillatoireamorti (voir figure 41)

Figure (41) Reacutepon

se indicielle drsquoun systegraveme du second ordre agrave coefficient drsquoamortissementInfeacuterieur agrave 1

49





et Simulink

ݓ = ඥ1ݓ minus ଶߦ

T =2π

ݓ=

2π

ඥ1ݓ minus ଶߦ

Remarques Les oscillations sont drsquoautant plus importantes (en amplitude et en dureacutee) que le

facteur drsquoamortissement est faible Srsquoil est nul le signal de sortie est une sinusoiumldeoscillant entre 0 et 2k

De la valeur de ߦ facteur drsquoamortissement deacutepend le type de reacuteponse du systegraveme

ndash Reacutegime amorti ξ gt 1 Dans le cas du reacutegime amorti la sortie du systegraveme tend drsquoautantplus lentement vers sa valeur finale k que ξ est grand

ndash Reacutegime critique ξ = 1 Le reacutegime critique est caracteacuteriseacute par la reacuteponse la plus rapidepossible le signal s(t) tend tregraves vite vers sa valeur finale sans oscillations

ndash Reacutegime oscillatoire amorti ξ lt 1 Dans le cas du reacutegime oscillatoire amorti la pulsationdu signal sinusoiumldal enveloppeacute par lrsquoexponentielle deacutecroissante a pour expression

Crsquoest la pseudo-pulsation du reacutegime oscillatoire amorti Elle est infeacuterieure agrave la pulsationݓ

On deacutefinit eacutegalement la pseudo-peacuteriode de ces oscillations par

Cette pseudo-peacuteriode est eacutegale agrave lrsquointervalle de temps correspondant agrave une alternancecomplegravete de la sinusoiumlde amortie (voir figure 41) Elle est drsquoautant plus grande que ߦ estproche de 1

50





et Simulink

3321 Caracteacuteristiques temporelles Les caracteacuteristiques transitoires drsquoun systegraveme ne deacutependent pas de lrsquoamplitude de lrsquoeacutechelonappliqueacute mais des deux facteurs ߦ (coefficient drsquoamortissement) et ݓ (pulsation propre) dece systegraveme

Systegraveme ()ܩ =()

()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

1gtߦ leߦ 1

Deacutepassement D100

(గక

ඥଵకమ)

0

Temps du premier maximum

minusඥ ߦ ND

Temps de reacuteponse agrave 10 minus

ߦminusඥ) (ߦ

minusߦ) ඥminus (ߦ


ߦminusඥ) (ߦ


EXEMPLE 2

Ecrire un programme en script sous Matlab pour tracer la reacuteponse indicielle drsquoun systegraveme du

2eacuteme ordre qui a les caracteacuteristiques suivantes

w୬= 10rds la pulsation propre du systegraveme ξ = 0375 coefficient ou facteur drsquoamortissement k=2 gain statique du systegraveme

Deacuteterminer

1) la valeur max sur la courbe

2) le temps du premier maximum

3) la valeur finale

4) En deacuteduire le premier deacutepassement

5) En deacuteduire le temps de reacuteponse agrave 5

51





et Simulink

0 02 04 06 08 1 12 140

05

1

15

2

25

3Step Response

Time (seconds)

Amplitude

num=200den=[1 75 100]sys=tf(numden)

sys =200

-----------------s^2 + 75 s + 100


step(sys)grid on

52





et Simulink

Dans la commande window tapez

gtgt [tempsamplitude]=ginput(1)

Vous aurez

Ensuite il faut lire la valeur dans la commande window temps = 03434 s (Temps du premier maximum )

53




TP3 Analyse temporelle des systegravemes LTIPremier et second ordres et drsquoordres supeacuterieur et notion de pocircles dominants sous Matlab

et Simulink

amplitude =

25575 (la valeur max sur la courbe)

Dans la commande window on tape

[tempsamplitudefin]=ginput(1)

Ensuite il faut lire la valeur dans la commande window

temps =13751 s

54





et Simulink

amplitudefin =19984 ( la valeur finale)Le deacutepassement relatif est un pourcentage selon

ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ

ܦ = ൬ 25575 minus 19984

19984100൰ݔ = 0279 asymp 28

Le temps de reacuteponse

tହ = minus1

ξw୬ln(005ඥ1 minus ξଶ)

ହݐ = minus1

10ݔ0375 ቀ005ඥ1 minus (0375)ଶቁ= 079 asymp ݏ08

34 Les laquo pocircles dominants raquo drsquoun systegraveme

Soient ଵ hellip les pocircles drsquoun systegraveme stable Le pocircle ou la paire de pocircles )lowast) est

dit dominant par rapport au pocircle si

|()| ≪ ห ()ห ne

En pratique est dominant par rapport agrave si |()| ≪ หݔ5 ()ห

55





et Simulink

Les pocircles dominants correspondent soit agrave une constante de temps eacuteleveacutee (reacuteponse lente) soit agrave

un amortissement faible (reacuteponse tregraves oscillatoire) Ils sont donc situeacutes pregraves de laxe des

imaginaires

EXEMPLE 3

Ecrire sous Matlab un programme en script pour tracer la reacuteponse indicielle du systegraveme defonction de transfert

()ܪ =6

ଶ5 + +6 1En deacuteduire le pocircle dominantTracer la carte des pocircles

Les pocircles de H(p) sont p1=-1 et p2= -15Apregraves deacutecomposition de la fonction de transfert

()ܪ = ൬30

4൰(

1

+5 1) minus ൬

6

4൰(

1

+ 1) = ()ଶܪ minus ()ଵܪ

syms ss=tf(s)

s =s

Continuous-time transfer functionH=6((1+s)(1+5s))

H =6

---------------5 s^2 + 6 s + 1

Continuous-time transfer functionstep(H)hold onh1=(64)(1(s+1))

h1 =15

-----s + 1

Continuous-time transfer functionstep(h1)h2=(304)(1(5s+1))

h2 =75

-------5 s + 1

Continuous-time transfer functionstep(h2)

56





et Simulink

Au bout de 5 ଵ( ଵ =1) la reacuteponse s1 tend vers sa valeur finale s1infin La sortie s du systegraveme

neacutevolue que sous linfluence de s2 Le sous-systegraveme H2 (son pocircle est p2 ) impose le reacutegime

transitoire du systegraveme On dit que le pocircle p2 est dominant par rapport agrave p1 Le systegraveme du 2e

ordre a une reacuteponse temporelle similaire agrave celle dun systegraveme du 1er ordre de constante de

temps τ2= 5

pz

hold off

pzmap(H)

map( ) Pour obtenir le diagramme de pocircles et zeacuteros

57





et Simulink

58





et Simulink

TP3 Analyse temporelle des systegravemes LTI

Premier et second ordre et drsquoordre supeacuterieur et notion de pocircles dominants sous

Matlab et Simulink

Objectifs


Etude des systegravemes de premier ordre

Exercice 1

Soit un systegraveme de premier ordre avec un gain statique k=1a) Ecrire un programme sous MATLAB pour tracer sur la mecircme figure la reacuteponse

indicielle agrave un eacutechelon unitaire pour diffeacuterentes valeurs de la constante du tempsτ = 05 15 3

b) Calculer le temps de reacuteponse agrave 5 pour chaque cas et donner votre conclusionc) Refaire la question a) pour τ = 22 10ହ s et k =1 et deacuteterminer theacuteoriquement puis

graphiquement le temps de reacuteponse agrave 5 et agrave 10 le deacutepassement et le temps demonteacutee

d) Simuler sous Simulink la reacuteponse indicielle du systegraveme pour τ = 22 10ହ s et k =1

Exercice 2

Soit un systegraveme de premier ordre suivant

F(p) =25

9p + 51-Ecrire un programme (en script) sous Matlab pour

a) tracer les reacuteponses impulsionnelle et indicielle de la fonction F(p)b) tracer sa reacuteponse agrave une rampe r(t)=(2t)u(t)

Etude des systegravemes de deuxiegraveme ordre

Exercice 3

Un systegraveme du deuxiegraveme ordre a pour fonction de transfert

59





et Simulink

()ܪ =

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

Avec k=1 =ݓ 1rds

Le facteur drsquoamortissement ξ varie ξ=04 1 157

1- Ecrire un programme sous Matlab pour tracer la reacuteponse indicielle pour les diffeacuterentes

valeurs de surߦ une mecircme figure

2- Pour ξ=04 et ݓ=1 rds et k=1 deacuteterminer graphiquement le temps du 1ier maximum

la valeur finale et le deacutepassement en

3- Simuler sous Simulink la reacuteponse indicielle du systegraveme pour ξ=04 ݓ=1 rds et

k=1

Les pocircles dominants

Soit le systegraveme suivant

()ܩ =132

ଷ + ଶ29 + +160 132

a) Donner son ordreb) Ecrire un programme sous Matlab pour deacuteterminer les pocircles du systegravemec) Ecrire un programme sous Matlab pour tracer la reacuteponse indicielle du systegravemed) En deacuteduire le pocircle dominante) Tracer la carte des pocircles (sous matlab)f) Donner votre conclusion

60





et Simulink

BIBLIOGRAPHIE MRIVOIRE JL FERRIER laquo MATLAB SIMULINK STATEFLOWraquo

EDITION TECHIP 2001 SLEBALLOIS laquo MATLABSIMULINK APPLICATION A LrsquoAUTOMATIQUE LINEAIREraquoEDITION ELLIPSES 2001 VMINZU BLANG COMMANDE AUTOMATIQUE DES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS raquoEDITION ELLIPSES 2001 SLEBALLOIS PCODRON laquo AUTOMATIQUE SYSTEMES LINEAIRES ET CONTINUS raquoEDITION DUNOD 2006 EacuteLISABETH BOILLOT laquoASSERVISSEMENTS ET REGULATIONS CONTINUS raquo VOLUME 2EDITIONS TECHNIP MOHAMMED KARIM FELLAHPOLYCOPIElaquoAUTOMATIQUE(1ET2)ASSERVISSEMENTS LINEAIRES CONTINUS raquo 2013 SUBHAS CHAKRAVARTYlaquoTECHNOLOGY AND ENGINEERING APPLICATIONS OFSIMULINKraquo INTECH 2012 KATSUHOKO OGATA laquo MATLAB FOR CONTROL ENGINEERS raquo Pearson 2007 ANDREW KNIGHT BASICS OF MATLAB AND BEYOND CHAPMAN amp HALLCRC BOCARATON LONDON NEW YORK WASHINGTON DC 2000 SULAYMON ESHKABILOV laquoBEGINNING MATLAB AND SIMULINK FROM NOVICE TOPROFESSIONAL raquo APRESS UNITED STATES 2019 MIKHAILOV EUGENIY E laquoPROGRAMMING WITH MATLAB FOR SCIENTISTS ABEGINNERrsquoS INTRODUCTION [FIRST EDITION] raquoCRC PRESS 2018 YGRANJON laquo ATOMATIQUE SYSTEMES LINEAIRES NON LINEAIRES A TEMPSCONTINU A TEMPS DISCRET REPRESENTATION DrsquoETAT raquo EDITION DUNOD 2010 PATRICK PROUVOST laquo AUTOMATIQUE CONTROLE ET REGULATION raquo EDITIONDUNOD 2010 DINGYU XUEYANGQUAN CHENDEREK P ATHERTON laquo LINEAR FEEDBACK CONTROLANALYSIS AND DESIGN WITH MATLAB raquo JULY 3 2002 SPRINGER-VERLAG httpsfrscribdcomdoc119843662TRAVAUX-PRATIQUES-DE-STABILITE-DES-SYTEME-ASSERVIS httpswwwyoutubecomchannelUCUhgyeXjG3AsXn0DNFMsthwvideosdisable_polymer=1 httpswwwyoutubecomwatchv=Db8FqLvwj1Y httpwww-lagisuniv-lille1fr~bonnetOutils_SimulTD_Matlab_M1ASEpdf httpsdocplayerfr63754073-Prise-en-main-de-matlab-et-simulinkhtml 7 Reacuteponse temporelle-cahier-de-prepafr rsaquo psi-buffon rsaquo download asiinsa-rouenfr rsaquo siteUV rsaquo auto rsaquo cours rsaquo cours2 - Reacuteponse temporelle des systegravemes dynamiquescontinus LTI wwwta-formationcom rsaquo acrobat-modules rsaquo reponse PDF - Module reacuteponse dun systegraveme lineacuteaire - taformation httpwww8umonctoncaumcm-cormier_gabrielAsservissementshtml httpswwwgooglefrurlsa=tamprct=jampq=ampesrc=sampsource=webampcd=ampcad=rjaampuact=8ampved=2ahUKEwiBr5KslJbqAhXiBWMBHS--ACoQFjAAegQIBhABampurl=https3A2F2Fdocplayerfr2F63754073-Prise-en-main-de-matlab-et-simulinkhtmlampusg=AOvVaw3dxZT5Rhtp_M_5hFGIrm2v httpswwwcours-gratuitcomcours-matlab httpswwwexoco-lmdcom w3cranuniv-lorrainefrpersohuguesgarnierEnseignementTP1_M4209cpdf httpsfrscribdcomdoc31886426Simulation-Des-Correcteurs-PID httpwwwmediafirecomfile4sy4blu1g8sdsiccours-autom-SMP-S6pdf httpwww4ac-nancy-metzfrcpge-pmf-epinalCours_TD_SIIEleccours_asservissementpdf

61





et Simulink

httpwwwacademiaedu3786186TRAVAUX_PRATIQUES_DE_STABILITC389_DES_SYTC389ME_ASSERVI

62



TP4 Analyse freacutequentielle des systegravemesBode Nyquist Black

Objectifs

Observer et analyser la reacuteponse freacutequentielle des systegravemes asservis en utilisant lesdiffeacuterentes preacutesentations graphiques le plan de Bode et de Nyquist et Black-Nichols

Etudier lrsquoinfluence de certains paramegravetres sur le comportement drsquoun systegraveme

ANALYSE DES SYSTEMES DANS LE DOMAINE FREQUENTIEL

MATLAB dispose de plusieurs commandes pour calculer et repreacutesenter la reacuteponse

harmonique drsquoun systegraveme deacutecrit sous forme de LTI Object Parmi ces commandes on

distingue

bode calcule |H(w)| et ArgH(w) et les trace dans le plan de Bode

nyquist calcule Re (H(w)) et Im (H(w)) et les trace dans le plan de Nyquist

nichols calcule ଵ|H(w)| et Arg H(w ) et les trace dans le plan de Black

Reacuteponse harmonique (freacutequentielle) On deacutefinit la reacuteponse harmonique (ou freacutequentielle) drsquoun systegraveme par sa reacuteponse agrave une entreacuteesinusoiumldale

1 Diagramme de BodeSoit la fonction de transfert noteacutee H(p) drsquoun systegraveme Pour p=jw on notera H(jw)On repreacutesente seacutepareacutement en fonction de la pulsation w (en rads) en eacutechelle logarithmique

Courbe de gain ௗ|(ݓ)ܩ| = 20 ଵ|(ݓ)ܪ|Courbe de phase φ(w) = Arg H(jw)

Remarques Le produit de deux fonctions de transfert se traduit dans le plan de Bode par la

somme des lieux respectifs La multiplication par k se traduit par la translation de ௗ de la courbe de gain

la courbe de phase restant inchangeacutee

63




2 Diagramme de Nyquist

On repreacutesente dans le plan complexe lrsquoextreacutemiteacute du vecteur image de H(jw) lorsque lapulsation w varie de 0 agrave +infin

)ܪ (ݓ = )ܪ] [(ݓ + ܫ )ܪ] [(ݓ = X + j Y )ܪ] [(ݓ = = X et ܫ )ܪ] [(ݓ =Y

Le point de coordonneacutees (X Y) deacutecrit alors une courbe gradueacutee dans le sens des w croissants

3 Diagramme de Black ndash Nichols

Le lieu de Black repreacutesente par une seule courbe le logarithme agrave base 10 du module de la

fonction de transfert en fonction de sa phase

Exemple 1 1) Faire lrsquoeacutetude theacuteorique pour tracer le diagramme de Bode de Nyquist de la fonction de

transfert drsquoun systegraveme du premier ordre avec un gain statique eacutegal agrave 1 et une constante

de temps eacutegale agrave 2μs

2) Ecrire un programme (en script) pour tracer le diagramme de Bode de Nyquist de la

fonction de transfert drsquoun systegraveme

Repreacutesentation de Bode

()ܪ =

1 + =

1

1 + 2 10

)ܪ (ݓ =1

1 + 2 10ݓ

)ܪ| |(ݓ =1

ට1 + (ݓݓ

)ଶAvec ݓ =

1

2 10rds

)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ|ܪ( |(ݓ = 20 ଵ

1

ඥ1 + 2ݓ) 10)ଶ

64




)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ

1

ට1 + (ݓݓ

)ଶ Avec ݓ =

1

2 10rds

= ݎܣminus ݐ (ݓ

ݓ)

Le module Pour w rarr 0 |G(jw)|ୠ rarr 0 Pour w rarr infin |G(jw)|ୠ rarr minus20logଵ(w0ݓ)

La phase Pour ݓ rarr 0 (ݓ) = 0

Pour ݓ rarrଵ

ఛ (ݓ) = minus

గ

ସ

Pour ݓ rarr infin (ݓ) = minusగ

ଶ

num=[1]den=[2e-06 1]sys=tf(numden)

sys =

1-----------2e-06 s + 1


bode(sys)grid on

65




Repreacutesentation de Nyquist

()ܪ =

1 +

)ܪ (ݓ =1

1 + ݓ=

1

1 + ( ଶ(ݓ+

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ

=1

1 + ( ଶ(ݓݐ =

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ

On remarque que Ylt0

)ܪ (ݓ = +

ଶݕ + ( minusݔ1

2)ଶ = (

1

2)ଶ

Crsquoest lrsquoeacutequation drsquoun cercle de rayon (ଵ

ଶ) et de centre (

ଵ

ଶ 0 )

Pour le point de deacutemarrage obtenu pour w=0 on a X=1 et Y=0

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Magnitude

(dB)

104

105

106

107

-90

-45

0

Phase(deg)

lieu de Bode pour un systeme du premier ordre

Frequency (rads)

66




nyquist(sys)

axis([0 1 -05 0])

67




Exemple 2

Consideacuterons un systegraveme de fonction de transfert en boucle ouverte G(p) placeacute dans une

boucle de reacutegulation agrave retour unitaire

()ܩ =2

(

100+ 1)ଷ

1) Ecrire G(p) sous la forme de trois fonctions en seacuterie

2) Ecrire un programme en script pour tracer le diagramme de Bode

3) Afficher sur le graphe la marge de gain sa pulsation correspondante (la pulsation

correspondant au deacutephasage eacutegal agrave minus π) et la marge de phase sa pulsation

correspondante (la pulsation de coupure agrave 0 dB)

4) Ecrire un programme en script pour tracer le diagramme de Nyquist et de Black

Nichols

num1=[2]den1=[001 1]sys1=tf(num1den1)

sys1 =2

----------001 s + 1

Continuous-time transfer functionnum2=[1]den2=[001 1]

sys2=tf(num2den2)sys2 =

1----------001 s + 1



1----------001 s + 1

Continuous-time transfer functionsys=sys1sys2sys3

sys =2

-----------------------------------1e-06 s^3 + 00003 s^2 + 003 s + 1

68




margin(s

correspon

eacutegal agrave minus π

-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

10-270

-180

-90

0

Phase(deg)

bode (sys)

grid on

110

210

3

Bode Diagram

Frequency (rads)

margin(sys)

grid on

ys) mesure de la marge de phase et de la marge de gain ainsi que des pulsations

dantes (la pulsation de coupure agrave 0 dB la pulsation correspondant au deacutephasage

) respectivement

69




-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

101

102

103

-270

-180

-90

0

Phase(deg)

Bode DiagramGm= 12 dB (at 173 rads) Pm= 676 deg (at 766 rads)

Frequency (rads)

nyquist (sys)

grid on

70




-1 -05 0 05 1 15 2-15

-1

-05

0

05

1

15Nyquist Diagram

Real Axis

ImaginaryAx

is

nichols(sys)

grid on

71




-270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Open-Loop

Gain(dB)

72




Objectifs

- Observer et analyser la reacuteponse freacutequentielle des systegravemes asservis en utilisant lesdiffeacuterentes repreacutesentations graphiques dans le plan de Bode de Nyquist et Black-Nichols- Etudier lrsquoinfluence de certains paramegravetres sur le comportement drsquoun systegraveme

Exercice 1

Soit un systegraveme de premier ordre suivant F(p) =ଶହ

ଽ୮ାହ

1-Ecrire un programme (en script) sous Matlab pour tracer les lieux de Bode Nyquist Black-Nichols de la fonction F(p)

2- en deacuteduire la marge de gain et sa pulsation correspondante (la pulsation correspondant audeacutephasage eacutegal agrave minus π) et la marge de phase sa pulsation correspondante (la pulsation de coupure agrave 0 dB )

Exercice 2 1) Ecrire un programme sous Matlab pour tracer les lieux de Bode Nyquist Black-

Nichols drsquoun SLCI (systegraveme lineacuteaire causal invariant) formeacute par 02 eacuteleacutements du

premier ordre mis en cascade

() =ܭ

(5 + ଵ9)( + ଶ)

Avec ଵ=02s ଶ=01s K=10

2) en deacuteduire la marge de gain et sa pulsation correspondante (la pulsation



3) refaire la question 2) pour ଵ=1s ଶ=05s

4) conclure

73




Exercice 3

Soit le montage suivant

1) Deacuteterminer la fonction de transfert H(p) pour ଵ = 1 ଶ = 22) Donner son ordre3) Lrsquoeacutecrire sous la forme canonique4) Identifier les paramegravetres de la forme canonique avec ceux donneacutes5) Ecrire un programme sous Matlab pour tracer le diagramme de Bode 6) En deacuteduire la marge de gain et sa la pulsation correspondante la pulsation

correspondant au deacutephasage eacutegal agrave minus π et la marge de phase sa pulsation


7) Ecrire un programme sous Matlab pour tracer les lieux de Black-Nichols et deNyquist

8) Refaire les questions 5) 6) et 7) pour ଵ = 05 ଶ = 059) Conclure

74





EDITION TECHIP 2001 SLEBALLOIS laquo MATLABSIMULINK APPLICATION A LrsquoAUTOMATIQUE LINEAIREraquo EDITIONELLIPSES 2001 VMINZU BLANG COMMANDE AUTOMATIQUE DES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS raquo EDITIONELLIPSES 2001 SLEBALLOIS PCODRON laquo AUTOMATIQUE SYSTEMES LINEAIRES ET CONTINUS raquo EDITIONDUNOD 2006 EacuteLISABETH BOILLOT laquoASSERVISSEMENTS ET REGULATIONS CONTINUS raquo VOLUME 2 EDITIONSTECHNIP MOHAMMED KARIM FELLAHPOLYCOPIElaquoAUTOMATIQUE(1ET2)ASSERVISSEMENTS LINEAIRES CONTINUS raquo 2013 SUBHAS CHAKRAVARTYlaquoTECHNOLOGY AND ENGINEERING APPLICATIONS OF SIMULINKraquoINTECH 2012 KATSUHOKO OGATA laquo MATLAB FOR CONTROL ENGINEERS raquo Pearson 2007 ANDREW KNIGHT BASICS OF MATLAB AND BEYOND CHAPMAN amp HALLCRC BOCA RATONLONDON NEW YORK WASHINGTON DC 2000 SULAYMON ESHKABILOV laquoBEGINNING MATLAB AND SIMULINK FROM NOVICE TOPROFESSIONAL raquo APRESS UNITED STATES 2019 MIKHAILOV EUGENIY E laquoPROGRAMMING WITH MATLAB FOR SCIENTISTS A BEGINNERrsquoSINTRODUCTION [FIRST EDITION] raquoCRC PRESS 2018 YGRANJON laquo ATOMATIQUE SYSTEMES LINEAIRES NON LINEAIRES A TEMPS CONTINU ATEMPS DISCRET REPRESENTATION DrsquoETAT raquo EDITION DUNOD 2010 PATRICK PROUVOST laquo AUTOMATIQUE CONTROLE ET REGULATION raquo EDITION DUNOD 2010 DINGYU XUEYANGQUAN CHENDEREK P ATHERTON laquo LINEAR FEEDBACK CONTROL ANALYSISAND DESIGN WITH MATLAB raquo JULY 3 2002 SPRINGER-VERLAG httpsfrscribdcomdoc119843662TRAVAUX-PRATIQUES-DE-STABILITE-DES-SYTEME-ASSERVIS httpswwwyoutubecomchannelUCUhgyeXjG3AsXn0DNFMsthwvideosdisable_polymer=1 httpswwwyoutubecomwatchv=Db8FqLvwj1Y httpwww-lagisuniv-lille1fr~bonnetOutils_SimulTD_Matlab_M1ASEpdf httpsdocplayerfr63754073-Prise-en-main-de-matlab-et-simulinkhtml 7 Reacuteponse temporelle-cahier-de-prepafr rsaquo psi-buffon rsaquo download asiinsa-rouenfr rsaquo siteUV rsaquo auto rsaquo cours rsaquo cours2 - Reacuteponse temporelle des systegravemes dynamiques continus LTI wwwta-formationcom rsaquo acrobat-modules rsaquo reponse PDF - Module reacuteponse dun systegraveme lineacuteaire - ta formation httpswwwcours-gratuitcomcours-matlabintroduction-a-l-utilisation-de-matlab-simulink-pour-l-automatique Fonction de transfertpersoimt-mines-albifr rsaquo automatique rsaquo td_tp rsaquo M1_tdm1 httpwww8umonctoncaumcm-cormier_gabrielAsservissementshtml httpswwwgooglefrurlsa=tamprct=jampq=ampesrc=sampsource=webampcd=ampcad=rjaampuact=8ampved=2ahUKEwiBr5KslJbqAhXiBWMBHS--ACoQFjAAegQIBhABampurl=https3A2F2Fdocplayerfr2F63754073-Prise-en-main-de-matlab-et-simulinkhtmlampusg=AOvVaw3dxZT5Rhtp_M_5hFGIrm2v httpswwwcours-gratuitcomcours-matlab httpswwwexoco-lmdcom w3cranuniv-lorrainefrpersohuguesgarnierEnseignementTP1_M4209cpdf httpsfrscribdcomdoc31886426Simulation-Des-Correcteurs-PID httpwwwmediafirecomfile4sy4blu1g8sdsiccours-autom-SMP-S6pdf httpwww4ac-nancy-metzfrcpge-pmf-epinalCours_TD_SIIEleccours_asservissementpdf httpwwwacademiaedu3786186TRAVAUX_PRATIQUES_DE_STABILITC389_DES_SYTC389ME_ASSERVI

75



Tp 5 ndash 6 Stabiliteacute et preacutecision des systegravemes asservisSynthegravese drsquoun correcteur agrave avance de phase meacutethode de reacuteponse freacutequentielle

Objectif Stabiliteacute et preacutecision des systegravemes asservis

Synthegravese drsquoun correcteur agrave avance de phase meacutethode de reacuteponse freacutequentielle

5 - STABILITE

5-1 Carte des zeacuteros et des pocirclesOn peut repreacutesenter graphiquement les pocircles et les zeacuteros drsquoune fonction de transfert dans unplan complexe On repreacutesente usuellement un pocircle par une croix (x) et un zeacutero par un rond(o) Cet ensemble est appeleacute carte des pocircles et des zeacuteros

Exemple 1

()ܪ =minus)2 4)

+) +)(1 3)On a Un zeacutero p=4 Deux pocircles reacuteels simples en p= -1 et p= -3

Programme sous Matlab Ecrire un programme sous Matlab pour tracer la carte des pocircles et des zeacuteros En deacuteduire lastabiliteacute du systegraveme

num=[2 -8]den=[1 4 3]

fvtool(numdenpolezero)

76




Le systegraveme est stable car tous les pocircles sont agrave gauche de lrsquoaxe imaginaire

Exemple 2

()ܪ =5

minus) 1)ଶ(ଶ + + 1)Un pocircle reacuteel double en p=1

Deux pocircles complexes conjugueacutes en = minus05 plusmn ටଷ

ଶ

Programme sous Matlab

-3 -2 -1 0 1 2 3 4-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

Real Part

ImaginaryPart

PoleZero Plot

num=[5]den=[1 -1 0 -1 +1] fvtool(numdenpolezero)

77




Le systegraveme est instable (un pocircle double agrave droite de lrsquoaxe imaginaire)

52 Systegravemes drsquoordre le

Pour un systegraveme du premier ordre

()ிܨ =()

ଵ+ ݒ ଵ gt 0

Le systegraveme est stable si

ଵ = minusబ

భݏ ଵ lt 0

Pour un systegraveme du deuxiegraveme ordre

()ிܨ =()

ଶଶ + ଵ+ ݒ ଶ gt 0

Le systegraveme est stable si les pocircles ଵ ݐ ଶ ont

൝ (ଵ) lt 0

ݐ (ଶ) lt 0

Exemple 3 Ecrire un programme sous Matlab pour deacuteterminer les pocircles des systegravemes suivantsEn deacuteduire la stabiliteacute du systegraveme

() =15

3 + 2

+ +3 1

-15 -1 -05 0 05 1 15

-1

-08

-06

-04

-02

0

02

04

06

08

1

Real Part

ImaginaryPa

rt

4 2

PoleZero Plot

78




Tous les pocircles sont agrave partie reacuteelle neacutegative alors le systegraveme est stable

()ܪ =20

3 + 2

+ +3 5

Il existe deux pocircles agrave partie reacuteelle positive alors le systegraveme est instable

53 Enonceacute du critegravere de Revers

Les critegraveres geacuteomeacutetriques permettent par lrsquoeacutetude de la repreacutesentation de la fonction de

transfert en boucle ouverte dans lrsquoun des plans de Bode Nyquist ou Black de deacuteterminer la

stabiliteacute drsquoun systegraveme en boucle fermeacutee

Dans le plan de Nyquist

den=[1 1 3 1]roots (den)ans =

-03194 + 16332i-03194 - 16332i-03611 + 00000i

den=[1 1 3 5]roots (den)

ans =

02013 + 18773i02013 - 18773i

-14026 + 00000i

Le critegravere de Nyquist simplifieacute ou critegravere du Rivers seacutenonce ainsisi en parcourant la courbe de reacuteponse harmonique en boucle ouverte dans le sens des pulsationscroissantes on laisse le point ndash1 agrave gauche le systegraveme en boucle fermeacutee est stable

79


Deacutepartement dElectronique

Tp 5 ndash 6 StabiliteacuteSynthegravese drsquoun correcteur agrave avance de phase meacutethode de reacuteponse freacutequentielle


niversitaire 20192020TP Asservissements continus et Reacutegulation

6 Stabiliteacute et preacutecision des systegravemes asservisdrsquoun correcteur agrave avance de phase meacutethode de reacuteponse freacutequentielle

Universiteacute des Sciences et de la Technologie drsquoOran Mohamed BoudiafLICENCE L3

Anneacutee

et preacutecision des systegravemes asservisdrsquoun correcteur agrave avance de phase meacutethode de reacuteponse freacutequentielle

Critegravere de Black

Le critegravere du Rivers peut aussi ecirctre exprimeacute dans le plan depoint (0 dB ndash180deg) Pour pouvoir appliquer le critegravere les conditions sont les mecircmes que pour lecritegravere de Nyquist le systegraveme en boucle ouverte ne doit compter aucun pocircle agrave partie reacuteellepositive

Le critegravere du Rivers peut aussi ecirctre exprimeacute dans le plan de BLACK Ici le point) Pour pouvoir appliquer le critegravere les conditions sont les mecircmes que pour le le systegraveme en boucle ouverte ne doit compter aucun pocircle agrave partie reacuteelle

le point ndash1 devient le) Pour pouvoir appliquer le critegravere les conditions sont les mecircmes que pour le le systegraveme en boucle ouverte ne doit compter aucun pocircle agrave partie reacuteelle

Un systegraveme lineacuteaire en boucle fermeacutee est stable si en parcourant le lieu de

reacuteponse harmonique en boucle ouverte dans le sens des pulsations croissantes o



Un systegraveme lineacuteaire en boucle fermeacutee est stable si en parcourant le lieu de BLACK de sa

reacuteponse harmonique en boucle ouverte dans le sens des pulsations croissantes on laisse le

point critique (0 dB ndash180deg) agrave droite) agrave droite

80








Anneacutee


81




Dans le plan de Bode

Un systegraveme sera stable en boucle fermeacutee si lorsque la courbe de phase passe par -180deg la

courbe de gain passe en dessous de 0dB

Remarque

Les valeurs de ఝܯ = 45deg et ܯ = 10 ܤ sont acceptables pour les systegravemes asservis

82




6 Preacutecision statique

La preacutecision est un paramegravetre cleacute dans lrsquoeacutetude des systegravemes asservis Crsquoest un des critegraveres

des performances du systegraveme

En boucle fermeacutee on voudrait que notre systegraveme

suive notre entreacutee imposeacutee en reacutegime permanent eacutetabli (preacutecision) eacutelimine les perturbations (rejet) ait une dynamique rapide

Pour un systegraveme asservi la preacutecision statique se caracteacuterise par la diffeacuterence en reacutegime

permanent entre le signal drsquoentreacutee et le signal de sortie Cette diffeacuterence srsquoappelle eacutecart ou

erreur et est noteacutee lsquoɛrsquo

O

E

f

Figure (61) Exemple de systegraveme

n deacutetermine lrsquoeacutecart entre W(p) et X(p) pour Y2(p) =0 et on obtient

ɛ() = ()

1 + ()ܪ()ܥ

n reacutegime permanent la valeur de ɛ peut ecirctre calculeacutee agrave lrsquoaide du theacuteoregraveme de la valeur

inale

ɛ = lim௧rarrஶ

[ɛ(ݐ)] = limrarr

[()ɛ] = limrarr

] ()

1 + ()ܪ()ܥ]

83




Cet eacutecart deacutepend du signal drsquoentreacutee Selon les signaux drsquoentreacutee on deacutefinit trois notions de

lrsquoeacutecart

Ecart de position Ecart de vitesse Ecart drsquoacceacuteleacuteration

61 Ecart de position

Le signal drsquoentreacutee est un eacutechelon de position (variation brusque en amplitude)

(ݐ)ݓ = ܣ (ݐ)ݑ ݐ () =

A constante

Lrsquoeacutecart dans ce cas est appeleacute eacutecart de position eacutecart statique Il est noteacute ɛ௦

62 Ecart de vitesse

Le signal drsquoentreacutee est un eacutechelon de vitesse ou rampe

(ݐ)ݓ = (ݐ)ݑݐ ݐ () =

మb constante

Lrsquoeacutecart appeleacute eacutecart de vitesse eacutecart de trainage est noteacute ɛ௩

63 Ecart drsquoacceacuteleacuteration

Le signal drsquoentreacutee est

(ݐ)ݓ = ଶݐ (ݐ)ݑ ݐ () =

యc constante

Lrsquoeacutecart dans ce cas est noteacute ɛ

()ܪ()ܥ =ܭ

()

Remarque

Pour le calcul de ɛ on deacutegage le nombre drsquointeacutegrations dans C()()ܪ On eacutecrit

Avec K constante T(0) =1α est le nombre drsquointeacutegrations ou classe du systegraveme

Plus le nombre drsquointeacutegrations est eacuteleveacute meilleure est la preacutecision du systegraveme asservi (voirtableau)

Un problegraveme se pose Quand le systegraveme possegravede des inteacutegrations La stabiliteacute est laquo menaceacutee raquoCrsquoest le dilemme preacutecision stabiliteacute

84




Entreacutee

Nbredrsquointeacutegrations

Echelon de position(ݐ)ݓ = ܣ (ݐ)ݑ

() =ܣ

A constante

Echelon de vitesse(ݐ)ݓ = (ݐ)ݑݐ

() =

ଶ

b constante

Echelon drsquoacceacuteleacuteration(ݐ)ݓ = ଶݐ (ݐ)ݑ

() =

ଷ

c constante

α = 0 ɛ௦ =

ܣ

1 + ܭ

ɛ௩ rarr infin ɛ rarr infin

ߙ = 1 ɛ௦=0 ɛ௩=

ɛ rarr infin

α = 2 ɛ௦=0 ɛ௩=0 ɛ =

ܭ

7

Remarque

En reacutegime permanent lerreur globale est la somme de lerreur par rapport agrave lrsquoentreacutee

consigne et de lerreur due au signal perturbateur

Correcteur agrave avance de phase

La fonction de transfert du correcteur est selon lrsquoeacutequation

()ܥ =

1 +

1 + gt 1

Le correcteur agrave avance de phase est une forme approcheacutee du correcteur PD qui estphysiquement irreacutealisable (condition de causaliteacute non veacuterifieacutee)

85




Certaines contraintes peuvent ecirctre satisfaites Augmentation de la marge de phase

Augmentation de la bande passante (

Erreurs en reacutegime permanent imposeacutees





Augmentation de la bande passante (donc augmentation de la rapiditeacute



Anneacutee


rapiditeacute baisse de t)

Figure (7Figure (71) Reacuteponse freacutequentielle du correcteur

86




Certaines constatations peuvent ecirctre deacutegageacutees

Introduction dun deacutephasage positif dougrave le nom de correcteur agrave avance de phase

Avance de phase maximale (la cloche)

௫ = ݎ ݏminus 1

+ 1ݎ

௫ gt 0

La pulsation correspondante est

ݓ ௫ =1

radic

Les effets de ce correcteur se reacutesument agrave une augmentation de la marge de stabiliteacute donc effet deacuterivateur

augmentation de la bande passante agrave 0dB ݓ ce qui montre que le systegraveme est plus

rapide en BF (diminution de ݐ ou de tr 5)

sensibiliteacute aux bruits provoqueacutes par lrsquoeacutelargissement de la bande passante BP

Pour reacutegler ce correcteur la deacutemarche agrave suivre consiste agrave

Calculer a pour avoir lavance de phase ௫ = ݎ ݏଵ

ାଵdeacutesireacutee

Calculer T de faccedilon agrave placer la cloche agrave la pulsation ݓ deacutesireacutee c agrave d

ݓ ௫ =1

radic= ݓ

Le gain freacutequentiel est augmenteacute de 20 ଵ agrave partir de w =ଵ

Ceci deacutecale la

pulsation ݓ du systegraveme corrigeacute en BO Calculer pour ramener ݓ agrave la bonne valeur

Un exemple peut ecirctre proposeacute selon

Le filtre passif est le filtre

()

()ܧ=

1

1 +

1 +

avec = 1 +ோభ

ோమ

et =ோభ ோమ

ோభ ାோమ

87




Objectifs Stabiliteacute et preacutecision des systegravemes asservis


Exercice 1

On considegravere un systegraveme de fonction de transfert en boucle ouverte G(p) deacutefinie par

()ܩ =

+) +)(1 2)ݒ gt 0

Pour k=21) Ecrire un programme sous Matlab (en script) pour eacutetudier la stabiliteacute de ce systegraveme en

boucle fermeacutee lorsqursquo il est placeacute dans une boucle drsquoasservissement agrave retour unitaireen utilisant la carte des pocircles et des zeacuteros

2) Veacuterifier vos reacutesultats en calculant les pocircles3) Refaire la question 1) et 2) pour k=74) Conclure

Exercice 2

Soit le systegraveme de fonction de transfert suivante

()1000

+) 10)ଶ

1) Ecrire un programme sous Matlab pour afficher la marge de gain et sa pulsationcorrespondante (la pulsation correspondant au deacutephasage eacutegal agrave minus π) et la marge dephase sa pulsation correspondante (la pulsation de coupure agrave 0 dB)

2) Discuter la stabiliteacute du systegraveme

Exercice 3

Un systegraveme asservi par un reacutegulateur de gain A est repreacutesenteacute par la figure suivante

88




pour ∶ A = 1 et ()ܤ =008

+20) 1)ଶ

1) Ecrire un programme sous Matlab pour deacuteterminer la fonction de transfert en boucleouverte et tracer la courbe de Nyquist en boucle ouverte

2) Le systegraveme boucleacute est il stable pourquoi (reacutepondre sans calculer la FTBF)

Exercice 4Soit le systegraveme suivant

1) Ecrire un pro2) En deacuteduire lrsquo3) Deacuteterminer lrsquo

Exercice 5On considegravere

1) Comment2) Ecrire un

systegraveme3) Ecrire un

corresponphase sa

On considegravereunitaire avec

()ܩ =3536

ଷ + ଶ15 + +75 125

gramme sous Matlab pour tracer la reacuteponse indicielle en boucle fermeacuteeerreur statiqueeacutecart de trainage

le systegraveme de fonction de transfert ci apregraves

()ܥ =

1 +

1 + gt 1

on appelle ce systegraveme programme sous Matlab pour tracer le diagramme de Bode de cePour = 1 a=358 T=0053programme sous Matlab pour afficher la marge de gain et sa pulsationdante (la pulsation correspondant au deacutephasage eacutegal agrave minus π) et la marge depulsation correspondante (la pulsation de coupure agrave 0 dB)

un systegraveme de fonction de transfert G(p) placeacute dans une boucle agrave retour

()ܩ =100

+) 1)ଶ

89




4) Ecrire un programme sous Matlab pour afficher la marge de gain et sa pulsationcorrespondante (la pulsation correspondant au deacutephasage eacutegal agrave minus π) et la marge de phase sa pulsation correspondante (la pulsation de coupure agrave 0 dB)

5) On souhaite corriger ce systegraveme de maniegravere agrave augmenter sa marge de phase Pourle corriger on introduit donc un correcteur agrave avance de phase eacutetudieacute en question1) Donner la nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte

6) Ecrire un programme sous Matlab pour tracer le diagramme de Bode de cesystegraveme

7) Ecrire un programme sous Matlab pour afficher la marge de gain et la pulsationcorrespondante (la pulsation correspondant au deacutephasage eacutegal agrave minus π) et la marge dephase sa pulsation correspondante (la pulsation de coupure agrave 0 dB) de la nouvellefonction de transfert

8) Conclure

90





EDITION TECHIP 2001 SLEBALLOIS laquo MATLABSIMULINK APPLICATION A LrsquoAUTOMATIQUE LINEAIREraquoEDITION ELLIPSES 2001 VMINZU BLANG COMMANDE AUTOMATIQUE DES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS raquoEDITION ELLIPSES 2001 SLEBALLOIS PCODRON laquo AUTOMATIQUE SYSTEMES LINEAIRES ET CONTINUS raquoEDITION DUNOD 2006 EacuteLISABETH BOILLOT laquoASSERVISSEMENTS ET REGULATIONS CONTINUS raquo VOLUME 2EDITIONS TECHNIP MOHAMMED KARIM FELLAHPOLYCOPIElaquoAUTOMATIQUE(1ET2)ASSERVISSEMENTS LINEAIRES CONTINUS raquo 2013 SUBHAS CHAKRAVARTYlaquoTECHNOLOGY AND ENGINEERING APPLICATIONS OFSIMULINKraquo INTECH 2012 KATSUHOKO OGATA laquo MATLAB FOR CONTROL ENGINEERS raquo Pearson 2007 ANDREW KNIGHT BASICS OF MATLAB AND BEYOND CHAPMAN amp HALLCRC BOCARATON LONDON NEW YORK WASHINGTON DC 2000 SULAYMON ESHKABILOV laquoBEGINNING MATLAB AND SIMULINK FROM NOVICE TOPROFESSIONAL raquo APRESS UNITED STATES 2019 MIKHAILOV EUGENIY E laquoPROGRAMMING WITH MATLAB FOR SCIENTISTS ABEGINNERrsquoS INTRODUCTION [FIRST EDITION] raquoCRC PRESS 2018 YGRANJON laquo ATOMATIQUE SYSTEMES LINEAIRES NON LINEAIRES A TEMPSCONTINU A TEMPS DISCRET REPRESENTATION DrsquoETAT raquo EDITION DUNOD 2010 PATRICK PROUVOST laquo AUTOMATIQUE CONTROLE ET REGULATION raquo EDITIONDUNOD 2010 DINGYU XUEYANGQUAN CHENDEREK P ATHERTON laquo LINEAR FEEDBACK CONTROLANALYSIS AND DESIGN WITH MATLAB raquo JULY 3 2002 SPRINGER-VERLAG httpsfrscribdcomdoc119843662TRAVAUX-PRATIQUES-DE-STABILITE-DES-SYTEME-ASSERVIS httpswwwyoutubecomchannelUCUhgyeXjG3AsXn0DNFMsthwvideosdisable_polymer=1 httpswwwyoutubecomwatchv=Db8FqLvwj1Y httpwww-lagisuniv-lille1fr~bonnetOutils_SimulTD_Matlab_M1ASEpdf httpsdocplayerfr63754073-Prise-en-main-de-matlab-et-simulinkhtml 7 Reacuteponse temporelle-cahier-de-prepafr rsaquo psi-buffon rsaquo download asiinsa-rouenfr rsaquo siteUV rsaquo auto rsaquo cours rsaquo cours2 - Reacuteponse temporelle des systegravemes dynamiquescontinus LTI wwwta-formationcom rsaquo acrobat-modules rsaquo reponse PDF - Module reacuteponse dun systegraveme lineacuteaire - taformation httpswwwcours-gratuitcomcours-matlabintroduction-a-l-utilisation-de-matlab-simulink-pour-l-automatique httpswwwacademiaedu25099906Cours_Travaux_dirigC3A9s_et_Travaux_pratiques Marges de stabiliteacute et performances des systegravemes lineacuteaires asservis asiinsa-rouenfr rsaquo siteUV rsaquoauto rsaquo cours rsaquo cours5 Correction des systegravemes lineacuteaires continus asservis - ASI asiinsa-rouenfr rsaquo siteUV rsaquo auto rsaquocours rsaquo cours6httpsbooksgoogledzbooksid=TUHW_jBcp3MCamppg=PA47amplpg=PA47ampdq=carte+des+poles+et+des+zero++stable+pole+C3A0+gaucheampsource=blampots=BieS09wFtPampsig=ACfU3U2eLm43G8P_O-cKMO8Jr-MaDQcCNAamphl=frampsa=Xampved=2ahUKEwjFkoPMyKDqAhUEUBUIHb2XCM0Q6AEwA3oECAoQAQv=onepageampq=carte20des20poles20et20des20zero2020stable20pole20C3A020gaucheampf=false 1 Fonction de transfert persoimt-mines-albifr rsaquo automatique rsaquo td_tp rsaquo M1_tdm1

91




httpsbooksgoogledzbooksaboutAutomatiquehtmlid=Wcu1oQEACAAJampredir_esc=y

MH ZERHOUNI polycopieacute cours et exercices asservissement et reacutegulation des systegravemes lineacuteairescontinus Deacutepartement drsquoeacutelectronique faculteacute du geacutenie eacutelectrique USTOMB 2019 (reacutefeacuterence utiliseacutee pour tousles TPs (de 1agrave 6) de cette matiegravere)

AUTOMATIQUE Systegravemes asservis lineacuteaires continus docinsainsa-lyonfr rsaquo polycop rsaquo download httpwww8umonctoncaumcm-cormier_gabrielAsservissementshtml httpswwwgooglefrurlsa=tamprct=jampq=ampesrc=sampsource=webampcd=ampcad=rjaampuact=8ampved=2ahUKEwiBr5KslJbqAhXiBWMBHS--ACoQFjAAegQIBhABampurl=https3A2F2Fdocplayerfr2F63754073-Prise-en-main-de-matlab-et-simulinkhtmlampusg=AOvVaw3dxZT5Rhtp_M_5hFGIrm2v httpswwwcours-gratuitcomcours-matlab httpswwwexoco-lmdcom w3cranuniv-lorrainefrpersohuguesgarnierEnseignementTP1_M4209cpdf httpsfrscribdcomdoc31886426Simulation-Des-Correcteurs-PID httpwwwmediafirecomfile4sy4blu1g8sdsiccours-autom-SMP-S6pdf httpwww4ac-nancy-metzfrcpge-pmf-epinalCours_TD_SIIEleccours_asservissementpdf httpwwwacademiaedu3786186TRAVAUX_PRATIQUES_DE_STABILITC389_DES_SYTC389ME_ASSERVI M VILLAIN laquo AUTOMATIQUE 2 SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES raquo EDITION ELLIPSES1996 P SIARRY laquo AUTOMATIQUE DE BASE raquo EDITION BERT 1993 C FRANCOIS laquo AUTOMATIQUE COMPORTEMENT DES SYSTEMES ASSERVIS raquo EDITION ELLIPSES 2014

92

TP1 Mise agrave niveau pour lrsquoexploitation des boicirctes agrave outils de Matlab(1)

TP2 Modeacutelisation des systegravemes sous Matlab et diagr


TP4 Analyse freacutequentielle des systegravemes

tp5-6

Ce manuel de travaux pratiques peut aider les

eacutetudiants en geacutenie eacutelectrique (LICENCE 3egraveme anneacutee eacutelectronique et geacutenie biomeacutedical) qui doivent savoir

utiliser MATLAB dans leur cursus Ce TP porte sur la matiegravere asservissement et

reacutegulation





EXEMPLE 1 2



EXEMPLE 2 2

EXEMPLE 3 3



EXEMPLE 4 3


EXEMPLE 5 4


EXEMPLE 6 4


EXEMPLE 7 6


EXEMPLE 8 6





TRANSFERT

6

EXEMPLE 9 6

EXEMPLE 10 7

EXEMPLE 11 7


EXEMPLE 12 8

EXEMPLE 13 8



9

SOMMAIRE

EXEMPLE14 9

B SIMULINK 9

II1 PRESENTATION 9







EXEMPLE 15 14


MATLAB

17

BIBLIOGRAPHIE 24


25





35










39

EXEMPLE 1 40





EXEMPLE 2 51


EXEMPLE3 56



MATLAB ET SIMULINK

59

BIBLIOGRAPHIE



BIBLIOGRAPHIE 75




STABILITE 76


EXEMPLE 1 76

EXEMPLE 2 77


EXEMPLE 3 78



CRITERE DE BLACK 80










86

BIBLIOGRAPHIE 91









EXEMPLE 1

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2






EXEMPLE 2

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2

roots(F)

ans =

2




-09670 + 00000i

05425 + 06834i

05425 - 06834i

-00590 + 05462i

-00590 - 05462i



EXEMPLE 3

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2 F=[9 0 0 6 0 2] polyder (F)

ans =

45 0 0 12 0 rarr 451199011199014 + 01199011199013 + 01199011199012 + 121199011199011 + 01199011199010



EXEMPLE 4

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

polyval(F2)

ans =

314




3




EXEMPLE 5

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2

g=[1 2 5] rarr 11199011199012 + 21199011199011 + 51199011199010

g =

1 2 5

z=conv(Fg)

z =

9 18 45 6 12 32 4 10 rarr 91199011199017 + 181199011199016 + 451199011199015 + 61199011199014 + 121199011199013 + 321199011199012 + 41199011199011 + 101199011199010




EXEMPLE 6


num=[1 2 5]

num =

1 2 5

den=[4 5 6]

den =

4 5 6

sys=tf(numden)

4




sys =

s^2 + 2 s + 5

---------------

4 s^2 + 5 s + 6


zero(sys)

ans =

-10000 + 20000i

-10000 - 20000i

pole(sys)

ans =

-06250 + 10533i

-06250 - 10533i



Laplace



EXEMPLE 7

syms t

f=sin(t)

F=laplace(f)

5




F =

1(s^2 + 1)



EXEMPLE 8

syms s


ans =

sin(t)








Exemples

EXEMPLE 9

num=5

Remarque


6






EXEMPLE 10


EXEMPLE 11






7




Exemples


EXEMPLE 13



Remarque



8





EXEMPLE 14


sys1 =

1 ------------- s^2 + 4 s + 4


B SIMULINK

II1 PRESENTATION


domaine temporel



drsquoassembler





9





10











aucune entreacutee


11














scalaire)





Laplace)








unique vectorielle




12




















13






EXEMPLE 15


avec

119896119896 = 5 et 120591120591 = 2119904119904







14




15




16










help sin

help plot


17










Tableau 1








REMARQUE


18




Exercice 1


y=sin(t) t le temps



Exercice 2





Calculer 119889119889119904119904(119905119905) 119889119889119905119905


Exercice 3


1198651198651(119901119901) =1

119901119901 + 6

1198651198652(119901119901) =119901119901 + 2

119901119901(119901119901 minus 5)

1198651198653(119901119901) = 7(119901119901 + 9)

1199011199012 + 2119901119901 + 5

1198651198654(119901119901) = 5(119901119901 minus 7)

1199011199012 + 099119901119901 + 04

19




Exercice 4



Exercice 5


1199041199041(119901119901) = 3119901119901+11199011199012+8119901119901+3

1199041199042(119901119901) = 5119901119901(1199011199012+1199081199082)

1199041199043(119901119901) = 119890119890minus120587120587119901119901 1199041199044(119901119901) = ln(5 + 1199081199082

1199011199012 ) w constante










20







Exemple





21





Exercice 6





Exercice 7


22







23






24






II21 MISE EN SERIE

EXEMPLE 1


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



()ଵܨ =1

+ 1()ଶܨݐ =

+ 2


F1 =1

-----s + 1



F2 =s + 2

-----s


s + 2-------s^2 + s


F =s + 2

-------s^2 + s






EXEMPLE 2


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2

26








II23 BOUCLAGE



ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଶܨଵܨ) )

EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2



Remarque


F=feedback(F1F2)F =

s-------------s^2 + 2 s + 2


27






ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଵܨ) 1 )

EXEMPLE 3



F =

1-----s + 2


(p)

28




ଵ(p)ܨ =1

+ 1 ଶ(p)ܨ =

+ 2

ଷ(p)ܨ =

+ 1 ସ(p)ܨ =

+ 2

+ 5

num1=[1]den1=[1 1]

F1=tf(num1den1)F1 =

1-----s + 1


num2=[1 2]den2=[1 0]

F2=tf(num2den2)F2 =

s + 2-----



s-----s + 1


s + 2-----s + 5


s + 2-------s^2 + s


s^2 + 2 s-------------s^2 + 6 s + 5


s^3 + 8 s^2 + 17 s + 10--------------------------s^4 + 8 s^3 + 15 s^2 + 9 s









Exercice 1



()ଵܩ =60

ଶ5 + +2 1 ()ଶܩ =

120

+ 4

Figure1

30




Exercice 2


Figure 2



Exercice 3


Avec


-

-A- -B

Figure 3

()ܣ =1

()ܤ = ()ܥ =

1

ଶ


31




Exercice 4





Exercice 5


Figure 4




32






Exercice 6


A

vec

Figure 6

()ܣ =

+ 1()ܤ = ()ܥ =

1

()ܦ =

1

ଶ

33





34





et Simulink

Objectifs











ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



35





et Simulink

pS(p) + S(p) = k E(p)

()ܩ =()

()ܧ=

1 +



() =


(ݐ)ݏ =

ఛష

ഓ ( tge 0)


F


36





et Simulink


()ܧ =1

drsquoougrave

() =

(1 + (

1



ഓቁ (tge 0)

Figure (2


37





et Simulink





ܦ = ௫ minus


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ










38




et Simulink

Systegraveme 119919119919(119953119953) =

119948119948120783120783 + 120649120649119953119953



(119890119890(119905119905) minus 119904119904(119905119905))


119890119890(119905119905) = 119905119905 119905119905119890119890(119905119905) 119864119864(119901119901) =

1199051199051199011199012

119878119878(119901119901) =119905119905119886119886

1199011199012(1 + 120591120591119901119901)= 119886119886(

1199051199051199011199012 minus

119905119905120591120591119901119901

+1199051199051205911205912

1 + 120591120591119901119901)

119904119904(119905119905) = 119905119905119886119886 1 minus 120591120591 + 120591120591119890119890minus119905119905120591120591 t ge 0


11990511990511989011989010 = 23 120591120591


1199051199051198901198905 = 3 120591120591



Remarque


39





et Simulink


EXEMPLE 1


()ܩ =2


()ܩ =

1 + =

1 + ݒ = 2 =ݐ = 7


step(G)

impulse(G)


plot(ty) 40





et Simulink




41





et Simulink

Exemple1 Suite








42





et Simulink


D=0



0 10 20 30 40 50 60 700

02

04

06

08

1

12

14

16

18

2Step Response

Time (seconds)

Amplitude

43





et Simulink


str =18991 (asymp 19 = ((5ݎݐ)ݏ



44





et Simulink


str =17981 asymp 18 = (10ݎݐ)ݏ

45





et Simulink



t1 =07464

st1 =02081

tm= 161730 -07464=1542 s

46





et Simulink


tr5 = 30 x = 7ݔ3 = ݏ21

tr10 = 23 x = 7ݔ23 = ݏ161

tm=22 x = 7ݔ22 = ݏ154


1

ଶݓଶݏ

ଶݐ+

ߦ2

ݓ

ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



1

ଶݓ() +

ߦ2

ݓ() + () = ()ܧ

ݏ ∶ݐ ()ܩ =()

()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1



47





et Simulink


=

)ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1)


On a ∆ =ଶߦ4

ଶݓminus

4

ଶݓ=

4



Dans ce cas on a


k


మଵቁ୲ቃ

0 t lt 0

t ge 0


Figure (4) Reacute


On a ∆= 0

Dans ce cas


drsquoamortissement


⟺ =ߦ 1

on a

48





et Simulink

(ݐ)ݏ = ൜ ݑ(ݐ) minus (1 + (ݐݓ

௪௧ t ge 00 gtݐ 0



Dans ce cas on a


క


0 gtݐ 0

ltݐ 0




49





et Simulink


T =2π

ݓ=

2π

ඥ1ݓ minus ଶߦ










50





et Simulink



()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

1gtߦ leߦ 1


(గక

ඥଵకమ)

0


minusඥ ߦ ND


ߦminusඥ) (ߦ



ߦminusඥ) (ߦ


EXEMPLE 2




Deacuteterminer



3) la valeur finale



51





et Simulink

0 02 04 06 08 1 12 140

05

1

15

2

25

3Step Response

Time (seconds)

Amplitude


sys =200

-----------------s^2 + 75 s + 100


step(sys)grid on

52





et Simulink



Vous aurez


53





et Simulink

amplitude =





temps =13751 s

54





et Simulink


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ

ܦ = ൬ 25575 minus 19984

19984100൰ݔ = 0279 asymp 28


tହ = minus1


ହݐ = minus1





|()| ≪ ห ()ห ne


55





et Simulink



imaginaires

EXEMPLE 3


()ܪ =6



()ܪ = ൬30

4൰(

1

+5 1) minus ൬

6

4൰(

1


syms ss=tf(s)

s =s


H =6

---------------5 s^2 + 6 s + 1


h1 =15

-----s + 1


h2 =75

-------5 s + 1


56





et Simulink





temps τ2= 5

pz

hold off

pzmap(H)


57





et Simulink

58





et Simulink



Matlab et Simulink

Objectifs



Exercice 1






Exercice 2


F(p) =25




Exercice 3


59





et Simulink

()ܪ =

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

Avec k=1 =ݓ 1rds







k=1



()ܩ =132

ଷ + ଶ29 + +160 132


60





et Simulink



61





et Simulink


62




Objectifs






distingue










63

















()ܪ =

1 + =

1

1 + 2 10

)ܪ (ݓ =1

1 + 2 10ݓ

)ܪ| |(ݓ =1

ට1 + (ݓݓ

)ଶAvec ݓ =

1

2 10rds

)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ|ܪ( |(ݓ = 20 ଵ

1

ඥ1 + 2ݓ) 10)ଶ

64




)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ

1

ට1 + (ݓݓ

)ଶ Avec ݓ =

1

2 10rds

= ݎܣminus ݐ (ݓ

ݓ)



Pour ݓ rarrଵ

ఛ (ݓ) = minus

గ

ସ


ଶ


sys =

1-----------2e-06 s + 1


bode(sys)grid on

65





()ܪ =

1 +

)ܪ (ݓ =1

1 + ݓ=

1

1 + ( ଶ(ݓ+

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ

=1

1 + ( ଶ(ݓݐ =

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ


)ܪ (ݓ = +

ଶݕ + ( minusݔ1

2)ଶ = (

1

2)ଶ


ଶ) et de centre (

ଵ

ଶ 0 )


-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Magnitude

(dB)

104

105

106

107

-90

-45

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

66




nyquist(sys)

axis([0 1 -05 0])

67




Exemple 2



()ܩ =2

(

100+ 1)ଷ







Nichols


sys1 =2

----------001 s + 1



1----------001 s + 1



1----------001 s + 1


sys =2

-----------------------------------1e-06 s^3 + 00003 s^2 + 003 s + 1

68




margin(s

correspon


-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

10-270

-180

-90

0

Phase(deg)

bode (sys)

grid on

110

210

3

Bode Diagram

Frequency (rads)

margin(sys)

grid on



) respectivement

69




-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

101

102

103

-270

-180

-90

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

nyquist (sys)

grid on

70




-1 -05 0 05 1 15 2-15

-1

-05

0

05

1

15Nyquist Diagram

Real Axis

ImaginaryAx

is

nichols(sys)

grid on

71




-270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Nichols Chart


Open-Loop

Gain(dB)

72




Objectifs


Exercice 1


ଽ୮ାହ






() =ܭ

(5 + ଵ9)( + ଶ)






4) conclure

73




Exercice 3







74






75






5 - STABILITE


Exemple 1

()ܪ =minus)2 4)



num=[2 -8]den=[1 4 3]


76





Exemple 2

()ܪ =5



ଶ


-3 -2 -1 0 1 2 3 4-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

Real Part

ImaginaryPart

PoleZero Plot


77







()ிܨ =()

ଵ+ ݒ ଵ gt 0


ଵ = minusబ

భݏ ଵ lt 0


()ிܨ =()



൝ (ଵ) lt 0

ݐ (ଶ) lt 0


() =15

3 + 2

+ +3 1

-15 -1 -05 0 05 1 15

-1

-08

-06

-04

-02

0

02

04

06

08

1

Real Part

ImaginaryPa

rt

4 2

PoleZero Plot

78





()ܪ =20

3 + 2

+ +3 5








-03194 + 16332i-03194 - 16332i-03611 + 00000i


ans =

02013 + 18773i02013 - 18773i

-14026 + 00000i


79








Anneacutee













80








Anneacutee


81







Remarque


82












O

E

f



ɛ() = ()

1 + ()ܪ()ܥ


inale

ɛ = lim௧rarrஶ

[ɛ(ݐ)] = limrarr

[()ɛ] = limrarr

] ()

1 + ()ܪ()ܥ]

83





lrsquoeacutecart




(ݐ)ݓ = ܣ (ݐ)ݑ ݐ () =

A constante


62 Ecart de vitesse


(ݐ)ݓ = (ݐ)ݑݐ ݐ () =

మb constante




(ݐ)ݓ = ଶݐ (ݐ)ݑ ݐ () =

యc constante


()ܪ()ܥ =ܭ

()

Remarque





84




Entreacutee



() =ܣ

A constante


() =

ଶ

b constante


() =

ଷ

c constante

α = 0 ɛ௦ =

ܣ

1 + ܭ


ߙ = 1 ɛ௦=0 ɛ௩=

ɛ rarr infin

α = 2 ɛ௦=0 ɛ௩=0 ɛ =

ܭ

7

Remarque





()ܥ =

1 +

1 + gt 1


85














Anneacutee




86







௫ = ݎ ݏminus 1

+ 1ݎ

௫ gt 0


ݓ ௫ =1

radic









ݓ ௫ =1

radic= ݓ


Ceci deacutecale la




()

()ܧ=

1

1 +

1 +

avec = 1 +ோభ

ோమ

et =ோభ ோమ

ோభ ାோమ

87






Exercice 1


()ܩ =

+) +)(1 2)ݒ gt 0




Exercice 2


()1000

+) 10)ଶ



Exercice 3


88




pour ∶ A = 1 et ()ܤ =008

+20) 1)ଶ








corresponphase sa


()ܩ =3536

ଷ + ଶ15 + +75 125



()ܥ =

1 +

1 + gt 1



()ܩ =100

+) 1)ଶ

89








8) Conclure

90






91







92





tp5-6





EXEMPLE 1 2



EXEMPLE 2 2

EXEMPLE 3 3



EXEMPLE 4 3


EXEMPLE 5 4


EXEMPLE 6 4


EXEMPLE 7 6


EXEMPLE 8 6





TRANSFERT

6

EXEMPLE 9 6

EXEMPLE 10 7

EXEMPLE 11 7


EXEMPLE 12 8

EXEMPLE 13 8



9

SOMMAIRE

EXEMPLE14 9

B SIMULINK 9

II1 PRESENTATION 9







EXEMPLE 15 14


MATLAB

17

BIBLIOGRAPHIE 24


25





35










39

EXEMPLE 1 40





EXEMPLE 2 51


EXEMPLE3 56



MATLAB ET SIMULINK

59

BIBLIOGRAPHIE



BIBLIOGRAPHIE 75




STABILITE 76


EXEMPLE 1 76

EXEMPLE 2 77


EXEMPLE 3 78



CRITERE DE BLACK 80










86

BIBLIOGRAPHIE 91









EXEMPLE 1

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2






EXEMPLE 2

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2

roots(F)

ans =

2




-09670 + 00000i

05425 + 06834i

05425 - 06834i

-00590 + 05462i

-00590 - 05462i



EXEMPLE 3

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2 F=[9 0 0 6 0 2] polyder (F)

ans =

45 0 0 12 0 rarr 451199011199014 + 01199011199013 + 01199011199012 + 121199011199011 + 01199011199010



EXEMPLE 4

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

polyval(F2)

ans =

314




3




EXEMPLE 5

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2

g=[1 2 5] rarr 11199011199012 + 21199011199011 + 51199011199010

g =

1 2 5

z=conv(Fg)

z =

9 18 45 6 12 32 4 10 rarr 91199011199017 + 181199011199016 + 451199011199015 + 61199011199014 + 121199011199013 + 321199011199012 + 41199011199011 + 101199011199010




EXEMPLE 6


num=[1 2 5]

num =

1 2 5

den=[4 5 6]

den =

4 5 6

sys=tf(numden)

4




sys =

s^2 + 2 s + 5

---------------

4 s^2 + 5 s + 6


zero(sys)

ans =

-10000 + 20000i

-10000 - 20000i

pole(sys)

ans =

-06250 + 10533i

-06250 - 10533i



Laplace



EXEMPLE 7

syms t

f=sin(t)

F=laplace(f)

5




F =

1(s^2 + 1)



EXEMPLE 8

syms s


ans =

sin(t)








Exemples

EXEMPLE 9

num=5

Remarque


6






EXEMPLE 10


EXEMPLE 11






7




Exemples


EXEMPLE 13



Remarque



8





EXEMPLE 14


sys1 =

1 ------------- s^2 + 4 s + 4


B SIMULINK

II1 PRESENTATION


domaine temporel



drsquoassembler





9





10











aucune entreacutee


11














scalaire)





Laplace)








unique vectorielle




12




















13






EXEMPLE 15


avec

119896119896 = 5 et 120591120591 = 2119904119904







14




15




16










help sin

help plot


17










Tableau 1








REMARQUE


18




Exercice 1


y=sin(t) t le temps



Exercice 2





Calculer 119889119889119904119904(119905119905) 119889119889119905119905


Exercice 3


1198651198651(119901119901) =1

119901119901 + 6

1198651198652(119901119901) =119901119901 + 2

119901119901(119901119901 minus 5)

1198651198653(119901119901) = 7(119901119901 + 9)

1199011199012 + 2119901119901 + 5

1198651198654(119901119901) = 5(119901119901 minus 7)

1199011199012 + 099119901119901 + 04

19




Exercice 4



Exercice 5


1199041199041(119901119901) = 3119901119901+11199011199012+8119901119901+3

1199041199042(119901119901) = 5119901119901(1199011199012+1199081199082)

1199041199043(119901119901) = 119890119890minus120587120587119901119901 1199041199044(119901119901) = ln(5 + 1199081199082

1199011199012 ) w constante










20







Exemple





21





Exercice 6





Exercice 7


22







23






24






II21 MISE EN SERIE

EXEMPLE 1


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



()ଵܨ =1

+ 1()ଶܨݐ =

+ 2


F1 =1

-----s + 1



F2 =s + 2

-----s


s + 2-------s^2 + s


F =s + 2

-------s^2 + s






EXEMPLE 2


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2

26








II23 BOUCLAGE



ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଶܨଵܨ) )

EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2



Remarque


F=feedback(F1F2)F =

s-------------s^2 + 2 s + 2


27






ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଵܨ) 1 )

EXEMPLE 3



F =

1-----s + 2


(p)

28




ଵ(p)ܨ =1

+ 1 ଶ(p)ܨ =

+ 2

ଷ(p)ܨ =

+ 1 ସ(p)ܨ =

+ 2

+ 5

num1=[1]den1=[1 1]

F1=tf(num1den1)F1 =

1-----s + 1


num2=[1 2]den2=[1 0]

F2=tf(num2den2)F2 =

s + 2-----



s-----s + 1


s + 2-----s + 5


s + 2-------s^2 + s


s^2 + 2 s-------------s^2 + 6 s + 5


s^3 + 8 s^2 + 17 s + 10--------------------------s^4 + 8 s^3 + 15 s^2 + 9 s









Exercice 1



()ଵܩ =60

ଶ5 + +2 1 ()ଶܩ =

120

+ 4

Figure1

30




Exercice 2


Figure 2



Exercice 3


Avec


-

-A- -B

Figure 3

()ܣ =1

()ܤ = ()ܥ =

1

ଶ


31




Exercice 4





Exercice 5


Figure 4




32






Exercice 6


A

vec

Figure 6

()ܣ =

+ 1()ܤ = ()ܥ =

1

()ܦ =

1

ଶ

33





34





et Simulink

Objectifs











ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



35





et Simulink

pS(p) + S(p) = k E(p)

()ܩ =()

()ܧ=

1 +



() =


(ݐ)ݏ =

ఛష

ഓ ( tge 0)


F


36





et Simulink


()ܧ =1

drsquoougrave

() =

(1 + (

1



ഓቁ (tge 0)

Figure (2


37





et Simulink





ܦ = ௫ minus


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ










38




et Simulink

Systegraveme 119919119919(119953119953) =

119948119948120783120783 + 120649120649119953119953



(119890119890(119905119905) minus 119904119904(119905119905))


119890119890(119905119905) = 119905119905 119905119905119890119890(119905119905) 119864119864(119901119901) =

1199051199051199011199012

119878119878(119901119901) =119905119905119886119886

1199011199012(1 + 120591120591119901119901)= 119886119886(

1199051199051199011199012 minus

119905119905120591120591119901119901

+1199051199051205911205912

1 + 120591120591119901119901)

119904119904(119905119905) = 119905119905119886119886 1 minus 120591120591 + 120591120591119890119890minus119905119905120591120591 t ge 0


11990511990511989011989010 = 23 120591120591


1199051199051198901198905 = 3 120591120591



Remarque


39





et Simulink


EXEMPLE 1


()ܩ =2


()ܩ =

1 + =

1 + ݒ = 2 =ݐ = 7


step(G)

impulse(G)


plot(ty) 40





et Simulink




41





et Simulink

Exemple1 Suite








42





et Simulink


D=0



0 10 20 30 40 50 60 700

02

04

06

08

1

12

14

16

18

2Step Response

Time (seconds)

Amplitude

43





et Simulink


str =18991 (asymp 19 = ((5ݎݐ)ݏ



44





et Simulink


str =17981 asymp 18 = (10ݎݐ)ݏ

45





et Simulink



t1 =07464

st1 =02081

tm= 161730 -07464=1542 s

46





et Simulink


tr5 = 30 x = 7ݔ3 = ݏ21

tr10 = 23 x = 7ݔ23 = ݏ161

tm=22 x = 7ݔ22 = ݏ154


1

ଶݓଶݏ

ଶݐ+

ߦ2

ݓ

ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



1

ଶݓ() +

ߦ2

ݓ() + () = ()ܧ

ݏ ∶ݐ ()ܩ =()

()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1



47





et Simulink


=

)ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1)


On a ∆ =ଶߦ4

ଶݓminus

4

ଶݓ=

4



Dans ce cas on a


k


మଵቁ୲ቃ

0 t lt 0

t ge 0


Figure (4) Reacute


On a ∆= 0

Dans ce cas


drsquoamortissement


⟺ =ߦ 1

on a

48





et Simulink

(ݐ)ݏ = ൜ ݑ(ݐ) minus (1 + (ݐݓ

௪௧ t ge 00 gtݐ 0



Dans ce cas on a


క


0 gtݐ 0

ltݐ 0




49





et Simulink


T =2π

ݓ=

2π

ඥ1ݓ minus ଶߦ










50





et Simulink



()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

1gtߦ leߦ 1


(గక

ඥଵకమ)

0


minusඥ ߦ ND


ߦminusඥ) (ߦ



ߦminusඥ) (ߦ


EXEMPLE 2




Deacuteterminer



3) la valeur finale



51





et Simulink

0 02 04 06 08 1 12 140

05

1

15

2

25

3Step Response

Time (seconds)

Amplitude


sys =200

-----------------s^2 + 75 s + 100


step(sys)grid on

52





et Simulink



Vous aurez


53





et Simulink

amplitude =





temps =13751 s

54





et Simulink


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ

ܦ = ൬ 25575 minus 19984

19984100൰ݔ = 0279 asymp 28


tହ = minus1


ହݐ = minus1





|()| ≪ ห ()ห ne


55





et Simulink



imaginaires

EXEMPLE 3


()ܪ =6



()ܪ = ൬30

4൰(

1

+5 1) minus ൬

6

4൰(

1


syms ss=tf(s)

s =s


H =6

---------------5 s^2 + 6 s + 1


h1 =15

-----s + 1


h2 =75

-------5 s + 1


56





et Simulink





temps τ2= 5

pz

hold off

pzmap(H)


57





et Simulink

58





et Simulink



Matlab et Simulink

Objectifs



Exercice 1






Exercice 2


F(p) =25




Exercice 3


59





et Simulink

()ܪ =

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

Avec k=1 =ݓ 1rds







k=1



()ܩ =132

ଷ + ଶ29 + +160 132


60





et Simulink



61





et Simulink


62




Objectifs






distingue










63

















()ܪ =

1 + =

1

1 + 2 10

)ܪ (ݓ =1

1 + 2 10ݓ

)ܪ| |(ݓ =1

ට1 + (ݓݓ

)ଶAvec ݓ =

1

2 10rds

)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ|ܪ( |(ݓ = 20 ଵ

1

ඥ1 + 2ݓ) 10)ଶ

64




)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ

1

ට1 + (ݓݓ

)ଶ Avec ݓ =

1

2 10rds

= ݎܣminus ݐ (ݓ

ݓ)



Pour ݓ rarrଵ

ఛ (ݓ) = minus

గ

ସ


ଶ


sys =

1-----------2e-06 s + 1


bode(sys)grid on

65





()ܪ =

1 +

)ܪ (ݓ =1

1 + ݓ=

1

1 + ( ଶ(ݓ+

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ

=1

1 + ( ଶ(ݓݐ =

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ


)ܪ (ݓ = +

ଶݕ + ( minusݔ1

2)ଶ = (

1

2)ଶ


ଶ) et de centre (

ଵ

ଶ 0 )


-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Magnitude

(dB)

104

105

106

107

-90

-45

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

66




nyquist(sys)

axis([0 1 -05 0])

67




Exemple 2



()ܩ =2

(

100+ 1)ଷ







Nichols


sys1 =2

----------001 s + 1



1----------001 s + 1



1----------001 s + 1


sys =2

-----------------------------------1e-06 s^3 + 00003 s^2 + 003 s + 1

68




margin(s

correspon


-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

10-270

-180

-90

0

Phase(deg)

bode (sys)

grid on

110

210

3

Bode Diagram

Frequency (rads)

margin(sys)

grid on



) respectivement

69




-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

101

102

103

-270

-180

-90

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

nyquist (sys)

grid on

70




-1 -05 0 05 1 15 2-15

-1

-05

0

05

1

15Nyquist Diagram

Real Axis

ImaginaryAx

is

nichols(sys)

grid on

71




-270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Nichols Chart


Open-Loop

Gain(dB)

72




Objectifs


Exercice 1


ଽ୮ାହ






() =ܭ

(5 + ଵ9)( + ଶ)






4) conclure

73




Exercice 3







74






75






5 - STABILITE


Exemple 1

()ܪ =minus)2 4)



num=[2 -8]den=[1 4 3]


76





Exemple 2

()ܪ =5



ଶ


-3 -2 -1 0 1 2 3 4-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

Real Part

ImaginaryPart

PoleZero Plot


77







()ிܨ =()

ଵ+ ݒ ଵ gt 0


ଵ = minusబ

భݏ ଵ lt 0


()ிܨ =()



൝ (ଵ) lt 0

ݐ (ଶ) lt 0


() =15

3 + 2

+ +3 1

-15 -1 -05 0 05 1 15

-1

-08

-06

-04

-02

0

02

04

06

08

1

Real Part

ImaginaryPa

rt

4 2

PoleZero Plot

78





()ܪ =20

3 + 2

+ +3 5








-03194 + 16332i-03194 - 16332i-03611 + 00000i


ans =

02013 + 18773i02013 - 18773i

-14026 + 00000i


79








Anneacutee













80








Anneacutee


81







Remarque


82












O

E

f



ɛ() = ()

1 + ()ܪ()ܥ


inale

ɛ = lim௧rarrஶ

[ɛ(ݐ)] = limrarr

[()ɛ] = limrarr

] ()

1 + ()ܪ()ܥ]

83





lrsquoeacutecart




(ݐ)ݓ = ܣ (ݐ)ݑ ݐ () =

A constante


62 Ecart de vitesse


(ݐ)ݓ = (ݐ)ݑݐ ݐ () =

మb constante




(ݐ)ݓ = ଶݐ (ݐ)ݑ ݐ () =

యc constante


()ܪ()ܥ =ܭ

()

Remarque





84




Entreacutee



() =ܣ

A constante


() =

ଶ

b constante


() =

ଷ

c constante

α = 0 ɛ௦ =

ܣ

1 + ܭ


ߙ = 1 ɛ௦=0 ɛ௩=

ɛ rarr infin

α = 2 ɛ௦=0 ɛ௩=0 ɛ =

ܭ

7

Remarque





()ܥ =

1 +

1 + gt 1


85














Anneacutee




86







௫ = ݎ ݏminus 1

+ 1ݎ

௫ gt 0


ݓ ௫ =1

radic









ݓ ௫ =1

radic= ݓ


Ceci deacutecale la




()

()ܧ=

1

1 +

1 +

avec = 1 +ோభ

ோమ

et =ோభ ோమ

ோభ ାோమ

87






Exercice 1


()ܩ =

+) +)(1 2)ݒ gt 0




Exercice 2


()1000

+) 10)ଶ



Exercice 3


88




pour ∶ A = 1 et ()ܤ =008

+20) 1)ଶ








corresponphase sa


()ܩ =3536

ଷ + ଶ15 + +75 125



()ܥ =

1 +

1 + gt 1



()ܩ =100

+) 1)ଶ

89








8) Conclure

90






91







92





tp5-6

EXEMPLE14 9

B SIMULINK 9

II1 PRESENTATION 9







EXEMPLE 15 14


MATLAB

17

BIBLIOGRAPHIE 24


25





35










39

EXEMPLE 1 40





EXEMPLE 2 51


EXEMPLE3 56



MATLAB ET SIMULINK

59

BIBLIOGRAPHIE



BIBLIOGRAPHIE 75




STABILITE 76


EXEMPLE 1 76

EXEMPLE 2 77


EXEMPLE 3 78



CRITERE DE BLACK 80










86

BIBLIOGRAPHIE 91









EXEMPLE 1

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2






EXEMPLE 2

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2

roots(F)

ans =

2




-09670 + 00000i

05425 + 06834i

05425 - 06834i

-00590 + 05462i

-00590 - 05462i



EXEMPLE 3

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2 F=[9 0 0 6 0 2] polyder (F)

ans =

45 0 0 12 0 rarr 451199011199014 + 01199011199013 + 01199011199012 + 121199011199011 + 01199011199010



EXEMPLE 4

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

polyval(F2)

ans =

314




3




EXEMPLE 5

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2

g=[1 2 5] rarr 11199011199012 + 21199011199011 + 51199011199010

g =

1 2 5

z=conv(Fg)

z =

9 18 45 6 12 32 4 10 rarr 91199011199017 + 181199011199016 + 451199011199015 + 61199011199014 + 121199011199013 + 321199011199012 + 41199011199011 + 101199011199010




EXEMPLE 6


num=[1 2 5]

num =

1 2 5

den=[4 5 6]

den =

4 5 6

sys=tf(numden)

4




sys =

s^2 + 2 s + 5

---------------

4 s^2 + 5 s + 6


zero(sys)

ans =

-10000 + 20000i

-10000 - 20000i

pole(sys)

ans =

-06250 + 10533i

-06250 - 10533i



Laplace



EXEMPLE 7

syms t

f=sin(t)

F=laplace(f)

5




F =

1(s^2 + 1)



EXEMPLE 8

syms s


ans =

sin(t)








Exemples

EXEMPLE 9

num=5

Remarque


6






EXEMPLE 10


EXEMPLE 11






7




Exemples


EXEMPLE 13



Remarque



8





EXEMPLE 14


sys1 =

1 ------------- s^2 + 4 s + 4


B SIMULINK

II1 PRESENTATION


domaine temporel



drsquoassembler





9





10











aucune entreacutee


11














scalaire)





Laplace)








unique vectorielle




12




















13






EXEMPLE 15


avec

119896119896 = 5 et 120591120591 = 2119904119904







14




15




16










help sin

help plot


17










Tableau 1








REMARQUE


18




Exercice 1


y=sin(t) t le temps



Exercice 2





Calculer 119889119889119904119904(119905119905) 119889119889119905119905


Exercice 3


1198651198651(119901119901) =1

119901119901 + 6

1198651198652(119901119901) =119901119901 + 2

119901119901(119901119901 minus 5)

1198651198653(119901119901) = 7(119901119901 + 9)

1199011199012 + 2119901119901 + 5

1198651198654(119901119901) = 5(119901119901 minus 7)

1199011199012 + 099119901119901 + 04

19




Exercice 4



Exercice 5


1199041199041(119901119901) = 3119901119901+11199011199012+8119901119901+3

1199041199042(119901119901) = 5119901119901(1199011199012+1199081199082)

1199041199043(119901119901) = 119890119890minus120587120587119901119901 1199041199044(119901119901) = ln(5 + 1199081199082

1199011199012 ) w constante










20







Exemple





21





Exercice 6





Exercice 7


22







23






24






II21 MISE EN SERIE

EXEMPLE 1


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



()ଵܨ =1

+ 1()ଶܨݐ =

+ 2


F1 =1

-----s + 1



F2 =s + 2

-----s


s + 2-------s^2 + s


F =s + 2

-------s^2 + s






EXEMPLE 2


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2

26








II23 BOUCLAGE



ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଶܨଵܨ) )

EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2



Remarque


F=feedback(F1F2)F =

s-------------s^2 + 2 s + 2


27






ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଵܨ) 1 )

EXEMPLE 3



F =

1-----s + 2


(p)

28




ଵ(p)ܨ =1

+ 1 ଶ(p)ܨ =

+ 2

ଷ(p)ܨ =

+ 1 ସ(p)ܨ =

+ 2

+ 5

num1=[1]den1=[1 1]

F1=tf(num1den1)F1 =

1-----s + 1


num2=[1 2]den2=[1 0]

F2=tf(num2den2)F2 =

s + 2-----



s-----s + 1


s + 2-----s + 5


s + 2-------s^2 + s


s^2 + 2 s-------------s^2 + 6 s + 5


s^3 + 8 s^2 + 17 s + 10--------------------------s^4 + 8 s^3 + 15 s^2 + 9 s









Exercice 1



()ଵܩ =60

ଶ5 + +2 1 ()ଶܩ =

120

+ 4

Figure1

30




Exercice 2


Figure 2



Exercice 3


Avec


-

-A- -B

Figure 3

()ܣ =1

()ܤ = ()ܥ =

1

ଶ


31




Exercice 4





Exercice 5


Figure 4




32






Exercice 6


A

vec

Figure 6

()ܣ =

+ 1()ܤ = ()ܥ =

1

()ܦ =

1

ଶ

33





34





et Simulink

Objectifs











ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



35





et Simulink

pS(p) + S(p) = k E(p)

()ܩ =()

()ܧ=

1 +



() =


(ݐ)ݏ =

ఛష

ഓ ( tge 0)


F


36





et Simulink


()ܧ =1

drsquoougrave

() =

(1 + (

1



ഓቁ (tge 0)

Figure (2


37





et Simulink





ܦ = ௫ minus


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ










38




et Simulink

Systegraveme 119919119919(119953119953) =

119948119948120783120783 + 120649120649119953119953



(119890119890(119905119905) minus 119904119904(119905119905))


119890119890(119905119905) = 119905119905 119905119905119890119890(119905119905) 119864119864(119901119901) =

1199051199051199011199012

119878119878(119901119901) =119905119905119886119886

1199011199012(1 + 120591120591119901119901)= 119886119886(

1199051199051199011199012 minus

119905119905120591120591119901119901

+1199051199051205911205912

1 + 120591120591119901119901)

119904119904(119905119905) = 119905119905119886119886 1 minus 120591120591 + 120591120591119890119890minus119905119905120591120591 t ge 0


11990511990511989011989010 = 23 120591120591


1199051199051198901198905 = 3 120591120591



Remarque


39





et Simulink


EXEMPLE 1


()ܩ =2


()ܩ =

1 + =

1 + ݒ = 2 =ݐ = 7


step(G)

impulse(G)


plot(ty) 40





et Simulink




41





et Simulink

Exemple1 Suite








42





et Simulink


D=0



0 10 20 30 40 50 60 700

02

04

06

08

1

12

14

16

18

2Step Response

Time (seconds)

Amplitude

43





et Simulink


str =18991 (asymp 19 = ((5ݎݐ)ݏ



44





et Simulink


str =17981 asymp 18 = (10ݎݐ)ݏ

45





et Simulink



t1 =07464

st1 =02081

tm= 161730 -07464=1542 s

46





et Simulink


tr5 = 30 x = 7ݔ3 = ݏ21

tr10 = 23 x = 7ݔ23 = ݏ161

tm=22 x = 7ݔ22 = ݏ154


1

ଶݓଶݏ

ଶݐ+

ߦ2

ݓ

ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



1

ଶݓ() +

ߦ2

ݓ() + () = ()ܧ

ݏ ∶ݐ ()ܩ =()

()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1



47





et Simulink


=

)ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1)


On a ∆ =ଶߦ4

ଶݓminus

4

ଶݓ=

4



Dans ce cas on a


k


మଵቁ୲ቃ

0 t lt 0

t ge 0


Figure (4) Reacute


On a ∆= 0

Dans ce cas


drsquoamortissement


⟺ =ߦ 1

on a

48





et Simulink

(ݐ)ݏ = ൜ ݑ(ݐ) minus (1 + (ݐݓ

௪௧ t ge 00 gtݐ 0



Dans ce cas on a


క


0 gtݐ 0

ltݐ 0




49





et Simulink


T =2π

ݓ=

2π

ඥ1ݓ minus ଶߦ










50





et Simulink



()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

1gtߦ leߦ 1


(గక

ඥଵకమ)

0


minusඥ ߦ ND


ߦminusඥ) (ߦ



ߦminusඥ) (ߦ


EXEMPLE 2




Deacuteterminer



3) la valeur finale



51





et Simulink

0 02 04 06 08 1 12 140

05

1

15

2

25

3Step Response

Time (seconds)

Amplitude


sys =200

-----------------s^2 + 75 s + 100


step(sys)grid on

52





et Simulink



Vous aurez


53





et Simulink

amplitude =





temps =13751 s

54





et Simulink


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ

ܦ = ൬ 25575 minus 19984

19984100൰ݔ = 0279 asymp 28


tହ = minus1


ହݐ = minus1





|()| ≪ ห ()ห ne


55





et Simulink



imaginaires

EXEMPLE 3


()ܪ =6



()ܪ = ൬30

4൰(

1

+5 1) minus ൬

6

4൰(

1


syms ss=tf(s)

s =s


H =6

---------------5 s^2 + 6 s + 1


h1 =15

-----s + 1


h2 =75

-------5 s + 1


56





et Simulink





temps τ2= 5

pz

hold off

pzmap(H)


57





et Simulink

58





et Simulink



Matlab et Simulink

Objectifs



Exercice 1






Exercice 2


F(p) =25




Exercice 3


59





et Simulink

()ܪ =

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

Avec k=1 =ݓ 1rds







k=1



()ܩ =132

ଷ + ଶ29 + +160 132


60





et Simulink



61





et Simulink


62




Objectifs






distingue










63

















()ܪ =

1 + =

1

1 + 2 10

)ܪ (ݓ =1

1 + 2 10ݓ

)ܪ| |(ݓ =1

ට1 + (ݓݓ

)ଶAvec ݓ =

1

2 10rds

)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ|ܪ( |(ݓ = 20 ଵ

1

ඥ1 + 2ݓ) 10)ଶ

64




)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ

1

ට1 + (ݓݓ

)ଶ Avec ݓ =

1

2 10rds

= ݎܣminus ݐ (ݓ

ݓ)



Pour ݓ rarrଵ

ఛ (ݓ) = minus

గ

ସ


ଶ


sys =

1-----------2e-06 s + 1


bode(sys)grid on

65





()ܪ =

1 +

)ܪ (ݓ =1

1 + ݓ=

1

1 + ( ଶ(ݓ+

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ

=1

1 + ( ଶ(ݓݐ =

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ


)ܪ (ݓ = +

ଶݕ + ( minusݔ1

2)ଶ = (

1

2)ଶ


ଶ) et de centre (

ଵ

ଶ 0 )


-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Magnitude

(dB)

104

105

106

107

-90

-45

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

66




nyquist(sys)

axis([0 1 -05 0])

67




Exemple 2



()ܩ =2

(

100+ 1)ଷ







Nichols


sys1 =2

----------001 s + 1



1----------001 s + 1



1----------001 s + 1


sys =2

-----------------------------------1e-06 s^3 + 00003 s^2 + 003 s + 1

68




margin(s

correspon


-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

10-270

-180

-90

0

Phase(deg)

bode (sys)

grid on

110

210

3

Bode Diagram

Frequency (rads)

margin(sys)

grid on



) respectivement

69




-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

101

102

103

-270

-180

-90

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

nyquist (sys)

grid on

70




-1 -05 0 05 1 15 2-15

-1

-05

0

05

1

15Nyquist Diagram

Real Axis

ImaginaryAx

is

nichols(sys)

grid on

71




-270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Nichols Chart


Open-Loop

Gain(dB)

72




Objectifs


Exercice 1


ଽ୮ାହ






() =ܭ

(5 + ଵ9)( + ଶ)






4) conclure

73




Exercice 3







74






75






5 - STABILITE


Exemple 1

()ܪ =minus)2 4)



num=[2 -8]den=[1 4 3]


76





Exemple 2

()ܪ =5



ଶ


-3 -2 -1 0 1 2 3 4-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

Real Part

ImaginaryPart

PoleZero Plot


77







()ிܨ =()

ଵ+ ݒ ଵ gt 0


ଵ = minusబ

భݏ ଵ lt 0


()ிܨ =()



൝ (ଵ) lt 0

ݐ (ଶ) lt 0


() =15

3 + 2

+ +3 1

-15 -1 -05 0 05 1 15

-1

-08

-06

-04

-02

0

02

04

06

08

1

Real Part

ImaginaryPa

rt

4 2

PoleZero Plot

78





()ܪ =20

3 + 2

+ +3 5








-03194 + 16332i-03194 - 16332i-03611 + 00000i


ans =

02013 + 18773i02013 - 18773i

-14026 + 00000i


79








Anneacutee













80








Anneacutee


81







Remarque


82












O

E

f



ɛ() = ()

1 + ()ܪ()ܥ


inale

ɛ = lim௧rarrஶ

[ɛ(ݐ)] = limrarr

[()ɛ] = limrarr

] ()

1 + ()ܪ()ܥ]

83





lrsquoeacutecart




(ݐ)ݓ = ܣ (ݐ)ݑ ݐ () =

A constante


62 Ecart de vitesse


(ݐ)ݓ = (ݐ)ݑݐ ݐ () =

మb constante




(ݐ)ݓ = ଶݐ (ݐ)ݑ ݐ () =

యc constante


()ܪ()ܥ =ܭ

()

Remarque





84




Entreacutee



() =ܣ

A constante


() =

ଶ

b constante


() =

ଷ

c constante

α = 0 ɛ௦ =

ܣ

1 + ܭ


ߙ = 1 ɛ௦=0 ɛ௩=

ɛ rarr infin

α = 2 ɛ௦=0 ɛ௩=0 ɛ =

ܭ

7

Remarque





()ܥ =

1 +

1 + gt 1


85














Anneacutee




86







௫ = ݎ ݏminus 1

+ 1ݎ

௫ gt 0


ݓ ௫ =1

radic









ݓ ௫ =1

radic= ݓ


Ceci deacutecale la




()

()ܧ=

1

1 +

1 +

avec = 1 +ோభ

ோమ

et =ோభ ோమ

ோభ ାோమ

87






Exercice 1


()ܩ =

+) +)(1 2)ݒ gt 0




Exercice 2


()1000

+) 10)ଶ



Exercice 3


88




pour ∶ A = 1 et ()ܤ =008

+20) 1)ଶ








corresponphase sa


()ܩ =3536

ଷ + ଶ15 + +75 125



()ܥ =

1 +

1 + gt 1



()ܩ =100

+) 1)ଶ

89








8) Conclure

90






91







92





tp5-6




39

EXEMPLE 1 40





EXEMPLE 2 51


EXEMPLE3 56



MATLAB ET SIMULINK

59

BIBLIOGRAPHIE



BIBLIOGRAPHIE 75




STABILITE 76


EXEMPLE 1 76

EXEMPLE 2 77


EXEMPLE 3 78



CRITERE DE BLACK 80










86

BIBLIOGRAPHIE 91









EXEMPLE 1

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2






EXEMPLE 2

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2

roots(F)

ans =

2




-09670 + 00000i

05425 + 06834i

05425 - 06834i

-00590 + 05462i

-00590 - 05462i



EXEMPLE 3

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2 F=[9 0 0 6 0 2] polyder (F)

ans =

45 0 0 12 0 rarr 451199011199014 + 01199011199013 + 01199011199012 + 121199011199011 + 01199011199010



EXEMPLE 4

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

polyval(F2)

ans =

314




3




EXEMPLE 5

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2

g=[1 2 5] rarr 11199011199012 + 21199011199011 + 51199011199010

g =

1 2 5

z=conv(Fg)

z =

9 18 45 6 12 32 4 10 rarr 91199011199017 + 181199011199016 + 451199011199015 + 61199011199014 + 121199011199013 + 321199011199012 + 41199011199011 + 101199011199010




EXEMPLE 6


num=[1 2 5]

num =

1 2 5

den=[4 5 6]

den =

4 5 6

sys=tf(numden)

4




sys =

s^2 + 2 s + 5

---------------

4 s^2 + 5 s + 6


zero(sys)

ans =

-10000 + 20000i

-10000 - 20000i

pole(sys)

ans =

-06250 + 10533i

-06250 - 10533i



Laplace



EXEMPLE 7

syms t

f=sin(t)

F=laplace(f)

5




F =

1(s^2 + 1)



EXEMPLE 8

syms s


ans =

sin(t)








Exemples

EXEMPLE 9

num=5

Remarque


6






EXEMPLE 10


EXEMPLE 11






7




Exemples


EXEMPLE 13



Remarque



8





EXEMPLE 14


sys1 =

1 ------------- s^2 + 4 s + 4


B SIMULINK

II1 PRESENTATION


domaine temporel



drsquoassembler





9





10











aucune entreacutee


11














scalaire)





Laplace)








unique vectorielle




12




















13






EXEMPLE 15


avec

119896119896 = 5 et 120591120591 = 2119904119904







14




15




16










help sin

help plot


17










Tableau 1








REMARQUE


18




Exercice 1


y=sin(t) t le temps



Exercice 2





Calculer 119889119889119904119904(119905119905) 119889119889119905119905


Exercice 3


1198651198651(119901119901) =1

119901119901 + 6

1198651198652(119901119901) =119901119901 + 2

119901119901(119901119901 minus 5)

1198651198653(119901119901) = 7(119901119901 + 9)

1199011199012 + 2119901119901 + 5

1198651198654(119901119901) = 5(119901119901 minus 7)

1199011199012 + 099119901119901 + 04

19




Exercice 4



Exercice 5


1199041199041(119901119901) = 3119901119901+11199011199012+8119901119901+3

1199041199042(119901119901) = 5119901119901(1199011199012+1199081199082)

1199041199043(119901119901) = 119890119890minus120587120587119901119901 1199041199044(119901119901) = ln(5 + 1199081199082

1199011199012 ) w constante










20







Exemple





21





Exercice 6





Exercice 7


22







23






24






II21 MISE EN SERIE

EXEMPLE 1


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



()ଵܨ =1

+ 1()ଶܨݐ =

+ 2


F1 =1

-----s + 1



F2 =s + 2

-----s


s + 2-------s^2 + s


F =s + 2

-------s^2 + s






EXEMPLE 2


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2

26








II23 BOUCLAGE



ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଶܨଵܨ) )

EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2



Remarque


F=feedback(F1F2)F =

s-------------s^2 + 2 s + 2


27






ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଵܨ) 1 )

EXEMPLE 3



F =

1-----s + 2


(p)

28




ଵ(p)ܨ =1

+ 1 ଶ(p)ܨ =

+ 2

ଷ(p)ܨ =

+ 1 ସ(p)ܨ =

+ 2

+ 5

num1=[1]den1=[1 1]

F1=tf(num1den1)F1 =

1-----s + 1


num2=[1 2]den2=[1 0]

F2=tf(num2den2)F2 =

s + 2-----



s-----s + 1


s + 2-----s + 5


s + 2-------s^2 + s


s^2 + 2 s-------------s^2 + 6 s + 5


s^3 + 8 s^2 + 17 s + 10--------------------------s^4 + 8 s^3 + 15 s^2 + 9 s









Exercice 1



()ଵܩ =60

ଶ5 + +2 1 ()ଶܩ =

120

+ 4

Figure1

30




Exercice 2


Figure 2



Exercice 3


Avec


-

-A- -B

Figure 3

()ܣ =1

()ܤ = ()ܥ =

1

ଶ


31




Exercice 4





Exercice 5


Figure 4




32






Exercice 6


A

vec

Figure 6

()ܣ =

+ 1()ܤ = ()ܥ =

1

()ܦ =

1

ଶ

33





34





et Simulink

Objectifs











ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



35





et Simulink

pS(p) + S(p) = k E(p)

()ܩ =()

()ܧ=

1 +



() =


(ݐ)ݏ =

ఛష

ഓ ( tge 0)


F


36





et Simulink


()ܧ =1

drsquoougrave

() =

(1 + (

1



ഓቁ (tge 0)

Figure (2


37





et Simulink





ܦ = ௫ minus


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ










38




et Simulink

Systegraveme 119919119919(119953119953) =

119948119948120783120783 + 120649120649119953119953



(119890119890(119905119905) minus 119904119904(119905119905))


119890119890(119905119905) = 119905119905 119905119905119890119890(119905119905) 119864119864(119901119901) =

1199051199051199011199012

119878119878(119901119901) =119905119905119886119886

1199011199012(1 + 120591120591119901119901)= 119886119886(

1199051199051199011199012 minus

119905119905120591120591119901119901

+1199051199051205911205912

1 + 120591120591119901119901)

119904119904(119905119905) = 119905119905119886119886 1 minus 120591120591 + 120591120591119890119890minus119905119905120591120591 t ge 0


11990511990511989011989010 = 23 120591120591


1199051199051198901198905 = 3 120591120591



Remarque


39





et Simulink


EXEMPLE 1


()ܩ =2


()ܩ =

1 + =

1 + ݒ = 2 =ݐ = 7


step(G)

impulse(G)


plot(ty) 40





et Simulink




41





et Simulink

Exemple1 Suite








42





et Simulink


D=0



0 10 20 30 40 50 60 700

02

04

06

08

1

12

14

16

18

2Step Response

Time (seconds)

Amplitude

43





et Simulink


str =18991 (asymp 19 = ((5ݎݐ)ݏ



44





et Simulink


str =17981 asymp 18 = (10ݎݐ)ݏ

45





et Simulink



t1 =07464

st1 =02081

tm= 161730 -07464=1542 s

46





et Simulink


tr5 = 30 x = 7ݔ3 = ݏ21

tr10 = 23 x = 7ݔ23 = ݏ161

tm=22 x = 7ݔ22 = ݏ154


1

ଶݓଶݏ

ଶݐ+

ߦ2

ݓ

ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



1

ଶݓ() +

ߦ2

ݓ() + () = ()ܧ

ݏ ∶ݐ ()ܩ =()

()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1



47





et Simulink


=

)ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1)


On a ∆ =ଶߦ4

ଶݓminus

4

ଶݓ=

4



Dans ce cas on a


k


మଵቁ୲ቃ

0 t lt 0

t ge 0


Figure (4) Reacute


On a ∆= 0

Dans ce cas


drsquoamortissement


⟺ =ߦ 1

on a

48





et Simulink

(ݐ)ݏ = ൜ ݑ(ݐ) minus (1 + (ݐݓ

௪௧ t ge 00 gtݐ 0



Dans ce cas on a


క


0 gtݐ 0

ltݐ 0




49





et Simulink


T =2π

ݓ=

2π

ඥ1ݓ minus ଶߦ










50





et Simulink



()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

1gtߦ leߦ 1


(గక

ඥଵకమ)

0


minusඥ ߦ ND


ߦminusඥ) (ߦ



ߦminusඥ) (ߦ


EXEMPLE 2




Deacuteterminer



3) la valeur finale



51





et Simulink

0 02 04 06 08 1 12 140

05

1

15

2

25

3Step Response

Time (seconds)

Amplitude


sys =200

-----------------s^2 + 75 s + 100


step(sys)grid on

52





et Simulink



Vous aurez


53





et Simulink

amplitude =





temps =13751 s

54





et Simulink


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ

ܦ = ൬ 25575 minus 19984

19984100൰ݔ = 0279 asymp 28


tହ = minus1


ହݐ = minus1





|()| ≪ ห ()ห ne


55





et Simulink



imaginaires

EXEMPLE 3


()ܪ =6



()ܪ = ൬30

4൰(

1

+5 1) minus ൬

6

4൰(

1


syms ss=tf(s)

s =s


H =6

---------------5 s^2 + 6 s + 1


h1 =15

-----s + 1


h2 =75

-------5 s + 1


56





et Simulink





temps τ2= 5

pz

hold off

pzmap(H)


57





et Simulink

58





et Simulink



Matlab et Simulink

Objectifs



Exercice 1






Exercice 2


F(p) =25




Exercice 3


59





et Simulink

()ܪ =

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

Avec k=1 =ݓ 1rds







k=1



()ܩ =132

ଷ + ଶ29 + +160 132


60





et Simulink



61





et Simulink


62




Objectifs






distingue










63

















()ܪ =

1 + =

1

1 + 2 10

)ܪ (ݓ =1

1 + 2 10ݓ

)ܪ| |(ݓ =1

ට1 + (ݓݓ

)ଶAvec ݓ =

1

2 10rds

)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ|ܪ( |(ݓ = 20 ଵ

1

ඥ1 + 2ݓ) 10)ଶ

64




)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ

1

ට1 + (ݓݓ

)ଶ Avec ݓ =

1

2 10rds

= ݎܣminus ݐ (ݓ

ݓ)



Pour ݓ rarrଵ

ఛ (ݓ) = minus

గ

ସ


ଶ


sys =

1-----------2e-06 s + 1


bode(sys)grid on

65





()ܪ =

1 +

)ܪ (ݓ =1

1 + ݓ=

1

1 + ( ଶ(ݓ+

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ

=1

1 + ( ଶ(ݓݐ =

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ


)ܪ (ݓ = +

ଶݕ + ( minusݔ1

2)ଶ = (

1

2)ଶ


ଶ) et de centre (

ଵ

ଶ 0 )


-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Magnitude

(dB)

104

105

106

107

-90

-45

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

66




nyquist(sys)

axis([0 1 -05 0])

67




Exemple 2



()ܩ =2

(

100+ 1)ଷ







Nichols


sys1 =2

----------001 s + 1



1----------001 s + 1



1----------001 s + 1


sys =2

-----------------------------------1e-06 s^3 + 00003 s^2 + 003 s + 1

68




margin(s

correspon


-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

10-270

-180

-90

0

Phase(deg)

bode (sys)

grid on

110

210

3

Bode Diagram

Frequency (rads)

margin(sys)

grid on



) respectivement

69




-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

101

102

103

-270

-180

-90

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

nyquist (sys)

grid on

70




-1 -05 0 05 1 15 2-15

-1

-05

0

05

1

15Nyquist Diagram

Real Axis

ImaginaryAx

is

nichols(sys)

grid on

71




-270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Nichols Chart


Open-Loop

Gain(dB)

72




Objectifs


Exercice 1


ଽ୮ାହ






() =ܭ

(5 + ଵ9)( + ଶ)






4) conclure

73




Exercice 3







74






75






5 - STABILITE


Exemple 1

()ܪ =minus)2 4)



num=[2 -8]den=[1 4 3]


76





Exemple 2

()ܪ =5



ଶ


-3 -2 -1 0 1 2 3 4-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

Real Part

ImaginaryPart

PoleZero Plot


77







()ிܨ =()

ଵ+ ݒ ଵ gt 0


ଵ = minusబ

భݏ ଵ lt 0


()ிܨ =()



൝ (ଵ) lt 0

ݐ (ଶ) lt 0


() =15

3 + 2

+ +3 1

-15 -1 -05 0 05 1 15

-1

-08

-06

-04

-02

0

02

04

06

08

1

Real Part

ImaginaryPa

rt

4 2

PoleZero Plot

78





()ܪ =20

3 + 2

+ +3 5








-03194 + 16332i-03194 - 16332i-03611 + 00000i


ans =

02013 + 18773i02013 - 18773i

-14026 + 00000i


79








Anneacutee













80








Anneacutee


81







Remarque


82












O

E

f



ɛ() = ()

1 + ()ܪ()ܥ


inale

ɛ = lim௧rarrஶ

[ɛ(ݐ)] = limrarr

[()ɛ] = limrarr

] ()

1 + ()ܪ()ܥ]

83





lrsquoeacutecart




(ݐ)ݓ = ܣ (ݐ)ݑ ݐ () =

A constante


62 Ecart de vitesse


(ݐ)ݓ = (ݐ)ݑݐ ݐ () =

మb constante




(ݐ)ݓ = ଶݐ (ݐ)ݑ ݐ () =

యc constante


()ܪ()ܥ =ܭ

()

Remarque





84




Entreacutee



() =ܣ

A constante


() =

ଶ

b constante


() =

ଷ

c constante

α = 0 ɛ௦ =

ܣ

1 + ܭ


ߙ = 1 ɛ௦=0 ɛ௩=

ɛ rarr infin

α = 2 ɛ௦=0 ɛ௩=0 ɛ =

ܭ

7

Remarque





()ܥ =

1 +

1 + gt 1


85














Anneacutee




86







௫ = ݎ ݏminus 1

+ 1ݎ

௫ gt 0


ݓ ௫ =1

radic









ݓ ௫ =1

radic= ݓ


Ceci deacutecale la




()

()ܧ=

1

1 +

1 +

avec = 1 +ோభ

ோమ

et =ோభ ோమ

ோభ ାோమ

87






Exercice 1


()ܩ =

+) +)(1 2)ݒ gt 0




Exercice 2


()1000

+) 10)ଶ



Exercice 3


88




pour ∶ A = 1 et ()ܤ =008

+20) 1)ଶ








corresponphase sa


()ܩ =3536

ଷ + ଶ15 + +75 125



()ܥ =

1 +

1 + gt 1



()ܩ =100

+) 1)ଶ

89








8) Conclure

90






91







92





tp5-6


CRITERE DE BLACK 80










86

BIBLIOGRAPHIE 91









EXEMPLE 1

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2






EXEMPLE 2

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2

roots(F)

ans =

2




-09670 + 00000i

05425 + 06834i

05425 - 06834i

-00590 + 05462i

-00590 - 05462i



EXEMPLE 3

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2 F=[9 0 0 6 0 2] polyder (F)

ans =

45 0 0 12 0 rarr 451199011199014 + 01199011199013 + 01199011199012 + 121199011199011 + 01199011199010



EXEMPLE 4

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

polyval(F2)

ans =

314




3




EXEMPLE 5

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2

g=[1 2 5] rarr 11199011199012 + 21199011199011 + 51199011199010

g =

1 2 5

z=conv(Fg)

z =

9 18 45 6 12 32 4 10 rarr 91199011199017 + 181199011199016 + 451199011199015 + 61199011199014 + 121199011199013 + 321199011199012 + 41199011199011 + 101199011199010




EXEMPLE 6


num=[1 2 5]

num =

1 2 5

den=[4 5 6]

den =

4 5 6

sys=tf(numden)

4




sys =

s^2 + 2 s + 5

---------------

4 s^2 + 5 s + 6


zero(sys)

ans =

-10000 + 20000i

-10000 - 20000i

pole(sys)

ans =

-06250 + 10533i

-06250 - 10533i



Laplace



EXEMPLE 7

syms t

f=sin(t)

F=laplace(f)

5




F =

1(s^2 + 1)



EXEMPLE 8

syms s


ans =

sin(t)








Exemples

EXEMPLE 9

num=5

Remarque


6






EXEMPLE 10


EXEMPLE 11






7




Exemples


EXEMPLE 13



Remarque



8





EXEMPLE 14


sys1 =

1 ------------- s^2 + 4 s + 4


B SIMULINK

II1 PRESENTATION


domaine temporel



drsquoassembler





9





10











aucune entreacutee


11














scalaire)





Laplace)








unique vectorielle




12




















13






EXEMPLE 15


avec

119896119896 = 5 et 120591120591 = 2119904119904







14




15




16










help sin

help plot


17










Tableau 1








REMARQUE


18




Exercice 1


y=sin(t) t le temps



Exercice 2





Calculer 119889119889119904119904(119905119905) 119889119889119905119905


Exercice 3


1198651198651(119901119901) =1

119901119901 + 6

1198651198652(119901119901) =119901119901 + 2

119901119901(119901119901 minus 5)

1198651198653(119901119901) = 7(119901119901 + 9)

1199011199012 + 2119901119901 + 5

1198651198654(119901119901) = 5(119901119901 minus 7)

1199011199012 + 099119901119901 + 04

19




Exercice 4



Exercice 5


1199041199041(119901119901) = 3119901119901+11199011199012+8119901119901+3

1199041199042(119901119901) = 5119901119901(1199011199012+1199081199082)

1199041199043(119901119901) = 119890119890minus120587120587119901119901 1199041199044(119901119901) = ln(5 + 1199081199082

1199011199012 ) w constante










20







Exemple





21





Exercice 6





Exercice 7


22







23






24






II21 MISE EN SERIE

EXEMPLE 1


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



()ଵܨ =1

+ 1()ଶܨݐ =

+ 2


F1 =1

-----s + 1



F2 =s + 2

-----s


s + 2-------s^2 + s


F =s + 2

-------s^2 + s






EXEMPLE 2


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2

26








II23 BOUCLAGE



ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଶܨଵܨ) )

EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2



Remarque


F=feedback(F1F2)F =

s-------------s^2 + 2 s + 2


27






ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଵܨ) 1 )

EXEMPLE 3



F =

1-----s + 2


(p)

28




ଵ(p)ܨ =1

+ 1 ଶ(p)ܨ =

+ 2

ଷ(p)ܨ =

+ 1 ସ(p)ܨ =

+ 2

+ 5

num1=[1]den1=[1 1]

F1=tf(num1den1)F1 =

1-----s + 1


num2=[1 2]den2=[1 0]

F2=tf(num2den2)F2 =

s + 2-----



s-----s + 1


s + 2-----s + 5


s + 2-------s^2 + s


s^2 + 2 s-------------s^2 + 6 s + 5


s^3 + 8 s^2 + 17 s + 10--------------------------s^4 + 8 s^3 + 15 s^2 + 9 s









Exercice 1



()ଵܩ =60

ଶ5 + +2 1 ()ଶܩ =

120

+ 4

Figure1

30




Exercice 2


Figure 2



Exercice 3


Avec


-

-A- -B

Figure 3

()ܣ =1

()ܤ = ()ܥ =

1

ଶ


31




Exercice 4





Exercice 5


Figure 4




32






Exercice 6


A

vec

Figure 6

()ܣ =

+ 1()ܤ = ()ܥ =

1

()ܦ =

1

ଶ

33





34





et Simulink

Objectifs











ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



35





et Simulink

pS(p) + S(p) = k E(p)

()ܩ =()

()ܧ=

1 +



() =


(ݐ)ݏ =

ఛష

ഓ ( tge 0)


F


36





et Simulink


()ܧ =1

drsquoougrave

() =

(1 + (

1



ഓቁ (tge 0)

Figure (2


37





et Simulink





ܦ = ௫ minus


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ










38




et Simulink

Systegraveme 119919119919(119953119953) =

119948119948120783120783 + 120649120649119953119953



(119890119890(119905119905) minus 119904119904(119905119905))


119890119890(119905119905) = 119905119905 119905119905119890119890(119905119905) 119864119864(119901119901) =

1199051199051199011199012

119878119878(119901119901) =119905119905119886119886

1199011199012(1 + 120591120591119901119901)= 119886119886(

1199051199051199011199012 minus

119905119905120591120591119901119901

+1199051199051205911205912

1 + 120591120591119901119901)

119904119904(119905119905) = 119905119905119886119886 1 minus 120591120591 + 120591120591119890119890minus119905119905120591120591 t ge 0


11990511990511989011989010 = 23 120591120591


1199051199051198901198905 = 3 120591120591



Remarque


39





et Simulink


EXEMPLE 1


()ܩ =2


()ܩ =

1 + =

1 + ݒ = 2 =ݐ = 7


step(G)

impulse(G)


plot(ty) 40





et Simulink




41





et Simulink

Exemple1 Suite








42





et Simulink


D=0



0 10 20 30 40 50 60 700

02

04

06

08

1

12

14

16

18

2Step Response

Time (seconds)

Amplitude

43





et Simulink


str =18991 (asymp 19 = ((5ݎݐ)ݏ



44





et Simulink


str =17981 asymp 18 = (10ݎݐ)ݏ

45





et Simulink



t1 =07464

st1 =02081

tm= 161730 -07464=1542 s

46





et Simulink


tr5 = 30 x = 7ݔ3 = ݏ21

tr10 = 23 x = 7ݔ23 = ݏ161

tm=22 x = 7ݔ22 = ݏ154


1

ଶݓଶݏ

ଶݐ+

ߦ2

ݓ

ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



1

ଶݓ() +

ߦ2

ݓ() + () = ()ܧ

ݏ ∶ݐ ()ܩ =()

()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1



47





et Simulink


=

)ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1)


On a ∆ =ଶߦ4

ଶݓminus

4

ଶݓ=

4



Dans ce cas on a


k


మଵቁ୲ቃ

0 t lt 0

t ge 0


Figure (4) Reacute


On a ∆= 0

Dans ce cas


drsquoamortissement


⟺ =ߦ 1

on a

48





et Simulink

(ݐ)ݏ = ൜ ݑ(ݐ) minus (1 + (ݐݓ

௪௧ t ge 00 gtݐ 0



Dans ce cas on a


క


0 gtݐ 0

ltݐ 0




49





et Simulink


T =2π

ݓ=

2π

ඥ1ݓ minus ଶߦ










50





et Simulink



()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

1gtߦ leߦ 1


(గక

ඥଵకమ)

0


minusඥ ߦ ND


ߦminusඥ) (ߦ



ߦminusඥ) (ߦ


EXEMPLE 2




Deacuteterminer



3) la valeur finale



51





et Simulink

0 02 04 06 08 1 12 140

05

1

15

2

25

3Step Response

Time (seconds)

Amplitude


sys =200

-----------------s^2 + 75 s + 100


step(sys)grid on

52





et Simulink



Vous aurez


53





et Simulink

amplitude =





temps =13751 s

54





et Simulink


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ

ܦ = ൬ 25575 minus 19984

19984100൰ݔ = 0279 asymp 28


tହ = minus1


ହݐ = minus1





|()| ≪ ห ()ห ne


55





et Simulink



imaginaires

EXEMPLE 3


()ܪ =6



()ܪ = ൬30

4൰(

1

+5 1) minus ൬

6

4൰(

1


syms ss=tf(s)

s =s


H =6

---------------5 s^2 + 6 s + 1


h1 =15

-----s + 1


h2 =75

-------5 s + 1


56





et Simulink





temps τ2= 5

pz

hold off

pzmap(H)


57





et Simulink

58





et Simulink



Matlab et Simulink

Objectifs



Exercice 1






Exercice 2


F(p) =25




Exercice 3


59





et Simulink

()ܪ =

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

Avec k=1 =ݓ 1rds







k=1



()ܩ =132

ଷ + ଶ29 + +160 132


60





et Simulink



61





et Simulink


62




Objectifs






distingue










63

















()ܪ =

1 + =

1

1 + 2 10

)ܪ (ݓ =1

1 + 2 10ݓ

)ܪ| |(ݓ =1

ට1 + (ݓݓ

)ଶAvec ݓ =

1

2 10rds

)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ|ܪ( |(ݓ = 20 ଵ

1

ඥ1 + 2ݓ) 10)ଶ

64




)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ

1

ට1 + (ݓݓ

)ଶ Avec ݓ =

1

2 10rds

= ݎܣminus ݐ (ݓ

ݓ)



Pour ݓ rarrଵ

ఛ (ݓ) = minus

గ

ସ


ଶ


sys =

1-----------2e-06 s + 1


bode(sys)grid on

65





()ܪ =

1 +

)ܪ (ݓ =1

1 + ݓ=

1

1 + ( ଶ(ݓ+

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ

=1

1 + ( ଶ(ݓݐ =

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ


)ܪ (ݓ = +

ଶݕ + ( minusݔ1

2)ଶ = (

1

2)ଶ


ଶ) et de centre (

ଵ

ଶ 0 )


-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Magnitude

(dB)

104

105

106

107

-90

-45

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

66




nyquist(sys)

axis([0 1 -05 0])

67




Exemple 2



()ܩ =2

(

100+ 1)ଷ







Nichols


sys1 =2

----------001 s + 1



1----------001 s + 1



1----------001 s + 1


sys =2

-----------------------------------1e-06 s^3 + 00003 s^2 + 003 s + 1

68




margin(s

correspon


-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

10-270

-180

-90

0

Phase(deg)

bode (sys)

grid on

110

210

3

Bode Diagram

Frequency (rads)

margin(sys)

grid on



) respectivement

69




-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

101

102

103

-270

-180

-90

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

nyquist (sys)

grid on

70




-1 -05 0 05 1 15 2-15

-1

-05

0

05

1

15Nyquist Diagram

Real Axis

ImaginaryAx

is

nichols(sys)

grid on

71




-270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Nichols Chart


Open-Loop

Gain(dB)

72




Objectifs


Exercice 1


ଽ୮ାହ






() =ܭ

(5 + ଵ9)( + ଶ)






4) conclure

73




Exercice 3







74






75






5 - STABILITE


Exemple 1

()ܪ =minus)2 4)



num=[2 -8]den=[1 4 3]


76





Exemple 2

()ܪ =5



ଶ


-3 -2 -1 0 1 2 3 4-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

Real Part

ImaginaryPart

PoleZero Plot


77







()ிܨ =()

ଵ+ ݒ ଵ gt 0


ଵ = minusబ

భݏ ଵ lt 0


()ிܨ =()



൝ (ଵ) lt 0

ݐ (ଶ) lt 0


() =15

3 + 2

+ +3 1

-15 -1 -05 0 05 1 15

-1

-08

-06

-04

-02

0

02

04

06

08

1

Real Part

ImaginaryPa

rt

4 2

PoleZero Plot

78





()ܪ =20

3 + 2

+ +3 5








-03194 + 16332i-03194 - 16332i-03611 + 00000i


ans =

02013 + 18773i02013 - 18773i

-14026 + 00000i


79








Anneacutee













80








Anneacutee


81







Remarque


82












O

E

f



ɛ() = ()

1 + ()ܪ()ܥ


inale

ɛ = lim௧rarrஶ

[ɛ(ݐ)] = limrarr

[()ɛ] = limrarr

] ()

1 + ()ܪ()ܥ]

83





lrsquoeacutecart




(ݐ)ݓ = ܣ (ݐ)ݑ ݐ () =

A constante


62 Ecart de vitesse


(ݐ)ݓ = (ݐ)ݑݐ ݐ () =

మb constante




(ݐ)ݓ = ଶݐ (ݐ)ݑ ݐ () =

యc constante


()ܪ()ܥ =ܭ

()

Remarque





84




Entreacutee



() =ܣ

A constante


() =

ଶ

b constante


() =

ଷ

c constante

α = 0 ɛ௦ =

ܣ

1 + ܭ


ߙ = 1 ɛ௦=0 ɛ௩=

ɛ rarr infin

α = 2 ɛ௦=0 ɛ௩=0 ɛ =

ܭ

7

Remarque





()ܥ =

1 +

1 + gt 1


85














Anneacutee




86







௫ = ݎ ݏminus 1

+ 1ݎ

௫ gt 0


ݓ ௫ =1

radic









ݓ ௫ =1

radic= ݓ


Ceci deacutecale la




()

()ܧ=

1

1 +

1 +

avec = 1 +ோభ

ோమ

et =ோభ ோమ

ோభ ାோమ

87






Exercice 1


()ܩ =

+) +)(1 2)ݒ gt 0




Exercice 2


()1000

+) 10)ଶ



Exercice 3


88




pour ∶ A = 1 et ()ܤ =008

+20) 1)ଶ








corresponphase sa


()ܩ =3536

ଷ + ଶ15 + +75 125



()ܥ =

1 +

1 + gt 1



()ܩ =100

+) 1)ଶ

89








8) Conclure

90






91







92





tp5-6









EXEMPLE 1

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2






EXEMPLE 2

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2

roots(F)

ans =

2




-09670 + 00000i

05425 + 06834i

05425 - 06834i

-00590 + 05462i

-00590 - 05462i



EXEMPLE 3

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2 F=[9 0 0 6 0 2] polyder (F)

ans =

45 0 0 12 0 rarr 451199011199014 + 01199011199013 + 01199011199012 + 121199011199011 + 01199011199010



EXEMPLE 4

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

polyval(F2)

ans =

314




3




EXEMPLE 5

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2

g=[1 2 5] rarr 11199011199012 + 21199011199011 + 51199011199010

g =

1 2 5

z=conv(Fg)

z =

9 18 45 6 12 32 4 10 rarr 91199011199017 + 181199011199016 + 451199011199015 + 61199011199014 + 121199011199013 + 321199011199012 + 41199011199011 + 101199011199010




EXEMPLE 6


num=[1 2 5]

num =

1 2 5

den=[4 5 6]

den =

4 5 6

sys=tf(numden)

4




sys =

s^2 + 2 s + 5

---------------

4 s^2 + 5 s + 6


zero(sys)

ans =

-10000 + 20000i

-10000 - 20000i

pole(sys)

ans =

-06250 + 10533i

-06250 - 10533i



Laplace



EXEMPLE 7

syms t

f=sin(t)

F=laplace(f)

5




F =

1(s^2 + 1)



EXEMPLE 8

syms s


ans =

sin(t)








Exemples

EXEMPLE 9

num=5

Remarque


6






EXEMPLE 10


EXEMPLE 11






7




Exemples


EXEMPLE 13



Remarque



8





EXEMPLE 14


sys1 =

1 ------------- s^2 + 4 s + 4


B SIMULINK

II1 PRESENTATION


domaine temporel



drsquoassembler





9





10











aucune entreacutee


11














scalaire)





Laplace)








unique vectorielle




12




















13






EXEMPLE 15


avec

119896119896 = 5 et 120591120591 = 2119904119904







14




15




16










help sin

help plot


17










Tableau 1








REMARQUE


18




Exercice 1


y=sin(t) t le temps



Exercice 2





Calculer 119889119889119904119904(119905119905) 119889119889119905119905


Exercice 3


1198651198651(119901119901) =1

119901119901 + 6

1198651198652(119901119901) =119901119901 + 2

119901119901(119901119901 minus 5)

1198651198653(119901119901) = 7(119901119901 + 9)

1199011199012 + 2119901119901 + 5

1198651198654(119901119901) = 5(119901119901 minus 7)

1199011199012 + 099119901119901 + 04

19




Exercice 4



Exercice 5


1199041199041(119901119901) = 3119901119901+11199011199012+8119901119901+3

1199041199042(119901119901) = 5119901119901(1199011199012+1199081199082)

1199041199043(119901119901) = 119890119890minus120587120587119901119901 1199041199044(119901119901) = ln(5 + 1199081199082

1199011199012 ) w constante










20







Exemple





21





Exercice 6





Exercice 7


22







23






24






II21 MISE EN SERIE

EXEMPLE 1


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



()ଵܨ =1

+ 1()ଶܨݐ =

+ 2


F1 =1

-----s + 1



F2 =s + 2

-----s


s + 2-------s^2 + s


F =s + 2

-------s^2 + s






EXEMPLE 2


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2

26








II23 BOUCLAGE



ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଶܨଵܨ) )

EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2



Remarque


F=feedback(F1F2)F =

s-------------s^2 + 2 s + 2


27






ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଵܨ) 1 )

EXEMPLE 3



F =

1-----s + 2


(p)

28




ଵ(p)ܨ =1

+ 1 ଶ(p)ܨ =

+ 2

ଷ(p)ܨ =

+ 1 ସ(p)ܨ =

+ 2

+ 5

num1=[1]den1=[1 1]

F1=tf(num1den1)F1 =

1-----s + 1


num2=[1 2]den2=[1 0]

F2=tf(num2den2)F2 =

s + 2-----



s-----s + 1


s + 2-----s + 5


s + 2-------s^2 + s


s^2 + 2 s-------------s^2 + 6 s + 5


s^3 + 8 s^2 + 17 s + 10--------------------------s^4 + 8 s^3 + 15 s^2 + 9 s









Exercice 1



()ଵܩ =60

ଶ5 + +2 1 ()ଶܩ =

120

+ 4

Figure1

30




Exercice 2


Figure 2



Exercice 3


Avec


-

-A- -B

Figure 3

()ܣ =1

()ܤ = ()ܥ =

1

ଶ


31




Exercice 4





Exercice 5


Figure 4




32






Exercice 6


A

vec

Figure 6

()ܣ =

+ 1()ܤ = ()ܥ =

1

()ܦ =

1

ଶ

33





34





et Simulink

Objectifs











ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



35





et Simulink

pS(p) + S(p) = k E(p)

()ܩ =()

()ܧ=

1 +



() =


(ݐ)ݏ =

ఛష

ഓ ( tge 0)


F


36





et Simulink


()ܧ =1

drsquoougrave

() =

(1 + (

1



ഓቁ (tge 0)

Figure (2


37





et Simulink





ܦ = ௫ minus


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ










38




et Simulink

Systegraveme 119919119919(119953119953) =

119948119948120783120783 + 120649120649119953119953



(119890119890(119905119905) minus 119904119904(119905119905))


119890119890(119905119905) = 119905119905 119905119905119890119890(119905119905) 119864119864(119901119901) =

1199051199051199011199012

119878119878(119901119901) =119905119905119886119886

1199011199012(1 + 120591120591119901119901)= 119886119886(

1199051199051199011199012 minus

119905119905120591120591119901119901

+1199051199051205911205912

1 + 120591120591119901119901)

119904119904(119905119905) = 119905119905119886119886 1 minus 120591120591 + 120591120591119890119890minus119905119905120591120591 t ge 0


11990511990511989011989010 = 23 120591120591


1199051199051198901198905 = 3 120591120591



Remarque


39





et Simulink


EXEMPLE 1


()ܩ =2


()ܩ =

1 + =

1 + ݒ = 2 =ݐ = 7


step(G)

impulse(G)


plot(ty) 40





et Simulink




41





et Simulink

Exemple1 Suite








42





et Simulink


D=0



0 10 20 30 40 50 60 700

02

04

06

08

1

12

14

16

18

2Step Response

Time (seconds)

Amplitude

43





et Simulink


str =18991 (asymp 19 = ((5ݎݐ)ݏ



44





et Simulink


str =17981 asymp 18 = (10ݎݐ)ݏ

45





et Simulink



t1 =07464

st1 =02081

tm= 161730 -07464=1542 s

46





et Simulink


tr5 = 30 x = 7ݔ3 = ݏ21

tr10 = 23 x = 7ݔ23 = ݏ161

tm=22 x = 7ݔ22 = ݏ154


1

ଶݓଶݏ

ଶݐ+

ߦ2

ݓ

ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



1

ଶݓ() +

ߦ2

ݓ() + () = ()ܧ

ݏ ∶ݐ ()ܩ =()

()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1



47





et Simulink


=

)ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1)


On a ∆ =ଶߦ4

ଶݓminus

4

ଶݓ=

4



Dans ce cas on a


k


మଵቁ୲ቃ

0 t lt 0

t ge 0


Figure (4) Reacute


On a ∆= 0

Dans ce cas


drsquoamortissement


⟺ =ߦ 1

on a

48





et Simulink

(ݐ)ݏ = ൜ ݑ(ݐ) minus (1 + (ݐݓ

௪௧ t ge 00 gtݐ 0



Dans ce cas on a


క


0 gtݐ 0

ltݐ 0




49





et Simulink


T =2π

ݓ=

2π

ඥ1ݓ minus ଶߦ










50





et Simulink



()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

1gtߦ leߦ 1


(గక

ඥଵకమ)

0


minusඥ ߦ ND


ߦminusඥ) (ߦ



ߦminusඥ) (ߦ


EXEMPLE 2




Deacuteterminer



3) la valeur finale



51





et Simulink

0 02 04 06 08 1 12 140

05

1

15

2

25

3Step Response

Time (seconds)

Amplitude


sys =200

-----------------s^2 + 75 s + 100


step(sys)grid on

52





et Simulink



Vous aurez


53





et Simulink

amplitude =





temps =13751 s

54





et Simulink


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ

ܦ = ൬ 25575 minus 19984

19984100൰ݔ = 0279 asymp 28


tହ = minus1


ହݐ = minus1





|()| ≪ ห ()ห ne


55





et Simulink



imaginaires

EXEMPLE 3


()ܪ =6



()ܪ = ൬30

4൰(

1

+5 1) minus ൬

6

4൰(

1


syms ss=tf(s)

s =s


H =6

---------------5 s^2 + 6 s + 1


h1 =15

-----s + 1


h2 =75

-------5 s + 1


56





et Simulink





temps τ2= 5

pz

hold off

pzmap(H)


57





et Simulink

58





et Simulink



Matlab et Simulink

Objectifs



Exercice 1






Exercice 2


F(p) =25




Exercice 3


59





et Simulink

()ܪ =

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

Avec k=1 =ݓ 1rds







k=1



()ܩ =132

ଷ + ଶ29 + +160 132


60





et Simulink



61





et Simulink


62




Objectifs






distingue










63

















()ܪ =

1 + =

1

1 + 2 10

)ܪ (ݓ =1

1 + 2 10ݓ

)ܪ| |(ݓ =1

ට1 + (ݓݓ

)ଶAvec ݓ =

1

2 10rds

)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ|ܪ( |(ݓ = 20 ଵ

1

ඥ1 + 2ݓ) 10)ଶ

64




)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ

1

ට1 + (ݓݓ

)ଶ Avec ݓ =

1

2 10rds

= ݎܣminus ݐ (ݓ

ݓ)



Pour ݓ rarrଵ

ఛ (ݓ) = minus

గ

ସ


ଶ


sys =

1-----------2e-06 s + 1


bode(sys)grid on

65





()ܪ =

1 +

)ܪ (ݓ =1

1 + ݓ=

1

1 + ( ଶ(ݓ+

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ

=1

1 + ( ଶ(ݓݐ =

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ


)ܪ (ݓ = +

ଶݕ + ( minusݔ1

2)ଶ = (

1

2)ଶ


ଶ) et de centre (

ଵ

ଶ 0 )


-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Magnitude

(dB)

104

105

106

107

-90

-45

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

66




nyquist(sys)

axis([0 1 -05 0])

67




Exemple 2



()ܩ =2

(

100+ 1)ଷ







Nichols


sys1 =2

----------001 s + 1



1----------001 s + 1



1----------001 s + 1


sys =2

-----------------------------------1e-06 s^3 + 00003 s^2 + 003 s + 1

68




margin(s

correspon


-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

10-270

-180

-90

0

Phase(deg)

bode (sys)

grid on

110

210

3

Bode Diagram

Frequency (rads)

margin(sys)

grid on



) respectivement

69




-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

101

102

103

-270

-180

-90

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

nyquist (sys)

grid on

70




-1 -05 0 05 1 15 2-15

-1

-05

0

05

1

15Nyquist Diagram

Real Axis

ImaginaryAx

is

nichols(sys)

grid on

71




-270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Nichols Chart


Open-Loop

Gain(dB)

72




Objectifs


Exercice 1


ଽ୮ାହ






() =ܭ

(5 + ଵ9)( + ଶ)






4) conclure

73




Exercice 3







74






75






5 - STABILITE


Exemple 1

()ܪ =minus)2 4)



num=[2 -8]den=[1 4 3]


76





Exemple 2

()ܪ =5



ଶ


-3 -2 -1 0 1 2 3 4-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

Real Part

ImaginaryPart

PoleZero Plot


77







()ிܨ =()

ଵ+ ݒ ଵ gt 0


ଵ = minusబ

భݏ ଵ lt 0


()ிܨ =()



൝ (ଵ) lt 0

ݐ (ଶ) lt 0


() =15

3 + 2

+ +3 1

-15 -1 -05 0 05 1 15

-1

-08

-06

-04

-02

0

02

04

06

08

1

Real Part

ImaginaryPa

rt

4 2

PoleZero Plot

78





()ܪ =20

3 + 2

+ +3 5








-03194 + 16332i-03194 - 16332i-03611 + 00000i


ans =

02013 + 18773i02013 - 18773i

-14026 + 00000i


79








Anneacutee













80








Anneacutee


81







Remarque


82












O

E

f



ɛ() = ()

1 + ()ܪ()ܥ


inale

ɛ = lim௧rarrஶ

[ɛ(ݐ)] = limrarr

[()ɛ] = limrarr

] ()

1 + ()ܪ()ܥ]

83





lrsquoeacutecart




(ݐ)ݓ = ܣ (ݐ)ݑ ݐ () =

A constante


62 Ecart de vitesse


(ݐ)ݓ = (ݐ)ݑݐ ݐ () =

మb constante




(ݐ)ݓ = ଶݐ (ݐ)ݑ ݐ () =

యc constante


()ܪ()ܥ =ܭ

()

Remarque





84




Entreacutee



() =ܣ

A constante


() =

ଶ

b constante


() =

ଷ

c constante

α = 0 ɛ௦ =

ܣ

1 + ܭ


ߙ = 1 ɛ௦=0 ɛ௩=

ɛ rarr infin

α = 2 ɛ௦=0 ɛ௩=0 ɛ =

ܭ

7

Remarque





()ܥ =

1 +

1 + gt 1


85














Anneacutee




86







௫ = ݎ ݏminus 1

+ 1ݎ

௫ gt 0


ݓ ௫ =1

radic









ݓ ௫ =1

radic= ݓ


Ceci deacutecale la




()

()ܧ=

1

1 +

1 +

avec = 1 +ோభ

ோమ

et =ோభ ோమ

ோభ ାோమ

87






Exercice 1


()ܩ =

+) +)(1 2)ݒ gt 0




Exercice 2


()1000

+) 10)ଶ



Exercice 3


88




pour ∶ A = 1 et ()ܤ =008

+20) 1)ଶ








corresponphase sa


()ܩ =3536

ଷ + ଶ15 + +75 125



()ܥ =

1 +

1 + gt 1



()ܩ =100

+) 1)ଶ

89








8) Conclure

90






91







92





tp5-6




-09670 + 00000i

05425 + 06834i

05425 - 06834i

-00590 + 05462i

-00590 - 05462i



EXEMPLE 3

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2 F=[9 0 0 6 0 2] polyder (F)

ans =

45 0 0 12 0 rarr 451199011199014 + 01199011199013 + 01199011199012 + 121199011199011 + 01199011199010



EXEMPLE 4

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

polyval(F2)

ans =

314




3




EXEMPLE 5

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2

g=[1 2 5] rarr 11199011199012 + 21199011199011 + 51199011199010

g =

1 2 5

z=conv(Fg)

z =

9 18 45 6 12 32 4 10 rarr 91199011199017 + 181199011199016 + 451199011199015 + 61199011199014 + 121199011199013 + 321199011199012 + 41199011199011 + 101199011199010




EXEMPLE 6


num=[1 2 5]

num =

1 2 5

den=[4 5 6]

den =

4 5 6

sys=tf(numden)

4




sys =

s^2 + 2 s + 5

---------------

4 s^2 + 5 s + 6


zero(sys)

ans =

-10000 + 20000i

-10000 - 20000i

pole(sys)

ans =

-06250 + 10533i

-06250 - 10533i



Laplace



EXEMPLE 7

syms t

f=sin(t)

F=laplace(f)

5




F =

1(s^2 + 1)



EXEMPLE 8

syms s


ans =

sin(t)








Exemples

EXEMPLE 9

num=5

Remarque


6






EXEMPLE 10


EXEMPLE 11






7




Exemples


EXEMPLE 13



Remarque



8





EXEMPLE 14


sys1 =

1 ------------- s^2 + 4 s + 4


B SIMULINK

II1 PRESENTATION


domaine temporel



drsquoassembler





9





10











aucune entreacutee


11














scalaire)





Laplace)








unique vectorielle




12




















13






EXEMPLE 15


avec

119896119896 = 5 et 120591120591 = 2119904119904







14




15




16










help sin

help plot


17










Tableau 1








REMARQUE


18




Exercice 1


y=sin(t) t le temps



Exercice 2





Calculer 119889119889119904119904(119905119905) 119889119889119905119905


Exercice 3


1198651198651(119901119901) =1

119901119901 + 6

1198651198652(119901119901) =119901119901 + 2

119901119901(119901119901 minus 5)

1198651198653(119901119901) = 7(119901119901 + 9)

1199011199012 + 2119901119901 + 5

1198651198654(119901119901) = 5(119901119901 minus 7)

1199011199012 + 099119901119901 + 04

19




Exercice 4



Exercice 5


1199041199041(119901119901) = 3119901119901+11199011199012+8119901119901+3

1199041199042(119901119901) = 5119901119901(1199011199012+1199081199082)

1199041199043(119901119901) = 119890119890minus120587120587119901119901 1199041199044(119901119901) = ln(5 + 1199081199082

1199011199012 ) w constante










20







Exemple





21





Exercice 6





Exercice 7


22







23






24






II21 MISE EN SERIE

EXEMPLE 1


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



()ଵܨ =1

+ 1()ଶܨݐ =

+ 2


F1 =1

-----s + 1



F2 =s + 2

-----s


s + 2-------s^2 + s


F =s + 2

-------s^2 + s






EXEMPLE 2


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2

26








II23 BOUCLAGE



ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଶܨଵܨ) )

EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2



Remarque


F=feedback(F1F2)F =

s-------------s^2 + 2 s + 2


27






ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଵܨ) 1 )

EXEMPLE 3



F =

1-----s + 2


(p)

28




ଵ(p)ܨ =1

+ 1 ଶ(p)ܨ =

+ 2

ଷ(p)ܨ =

+ 1 ସ(p)ܨ =

+ 2

+ 5

num1=[1]den1=[1 1]

F1=tf(num1den1)F1 =

1-----s + 1


num2=[1 2]den2=[1 0]

F2=tf(num2den2)F2 =

s + 2-----



s-----s + 1


s + 2-----s + 5


s + 2-------s^2 + s


s^2 + 2 s-------------s^2 + 6 s + 5


s^3 + 8 s^2 + 17 s + 10--------------------------s^4 + 8 s^3 + 15 s^2 + 9 s









Exercice 1



()ଵܩ =60

ଶ5 + +2 1 ()ଶܩ =

120

+ 4

Figure1

30




Exercice 2


Figure 2



Exercice 3


Avec


-

-A- -B

Figure 3

()ܣ =1

()ܤ = ()ܥ =

1

ଶ


31




Exercice 4





Exercice 5


Figure 4




32






Exercice 6


A

vec

Figure 6

()ܣ =

+ 1()ܤ = ()ܥ =

1

()ܦ =

1

ଶ

33





34





et Simulink

Objectifs











ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



35





et Simulink

pS(p) + S(p) = k E(p)

()ܩ =()

()ܧ=

1 +



() =


(ݐ)ݏ =

ఛష

ഓ ( tge 0)


F


36





et Simulink


()ܧ =1

drsquoougrave

() =

(1 + (

1



ഓቁ (tge 0)

Figure (2


37





et Simulink





ܦ = ௫ minus


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ










38




et Simulink

Systegraveme 119919119919(119953119953) =

119948119948120783120783 + 120649120649119953119953



(119890119890(119905119905) minus 119904119904(119905119905))


119890119890(119905119905) = 119905119905 119905119905119890119890(119905119905) 119864119864(119901119901) =

1199051199051199011199012

119878119878(119901119901) =119905119905119886119886

1199011199012(1 + 120591120591119901119901)= 119886119886(

1199051199051199011199012 minus

119905119905120591120591119901119901

+1199051199051205911205912

1 + 120591120591119901119901)

119904119904(119905119905) = 119905119905119886119886 1 minus 120591120591 + 120591120591119890119890minus119905119905120591120591 t ge 0


11990511990511989011989010 = 23 120591120591


1199051199051198901198905 = 3 120591120591



Remarque


39





et Simulink


EXEMPLE 1


()ܩ =2


()ܩ =

1 + =

1 + ݒ = 2 =ݐ = 7


step(G)

impulse(G)


plot(ty) 40





et Simulink




41





et Simulink

Exemple1 Suite








42





et Simulink


D=0



0 10 20 30 40 50 60 700

02

04

06

08

1

12

14

16

18

2Step Response

Time (seconds)

Amplitude

43





et Simulink


str =18991 (asymp 19 = ((5ݎݐ)ݏ



44





et Simulink


str =17981 asymp 18 = (10ݎݐ)ݏ

45





et Simulink



t1 =07464

st1 =02081

tm= 161730 -07464=1542 s

46





et Simulink


tr5 = 30 x = 7ݔ3 = ݏ21

tr10 = 23 x = 7ݔ23 = ݏ161

tm=22 x = 7ݔ22 = ݏ154


1

ଶݓଶݏ

ଶݐ+

ߦ2

ݓ

ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



1

ଶݓ() +

ߦ2

ݓ() + () = ()ܧ

ݏ ∶ݐ ()ܩ =()

()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1



47





et Simulink


=

)ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1)


On a ∆ =ଶߦ4

ଶݓminus

4

ଶݓ=

4



Dans ce cas on a


k


మଵቁ୲ቃ

0 t lt 0

t ge 0


Figure (4) Reacute


On a ∆= 0

Dans ce cas


drsquoamortissement


⟺ =ߦ 1

on a

48





et Simulink

(ݐ)ݏ = ൜ ݑ(ݐ) minus (1 + (ݐݓ

௪௧ t ge 00 gtݐ 0



Dans ce cas on a


క


0 gtݐ 0

ltݐ 0




49





et Simulink


T =2π

ݓ=

2π

ඥ1ݓ minus ଶߦ










50





et Simulink



()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

1gtߦ leߦ 1


(గక

ඥଵకమ)

0


minusඥ ߦ ND


ߦminusඥ) (ߦ



ߦminusඥ) (ߦ


EXEMPLE 2




Deacuteterminer



3) la valeur finale



51





et Simulink

0 02 04 06 08 1 12 140

05

1

15

2

25

3Step Response

Time (seconds)

Amplitude


sys =200

-----------------s^2 + 75 s + 100


step(sys)grid on

52





et Simulink



Vous aurez


53





et Simulink

amplitude =





temps =13751 s

54





et Simulink


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ

ܦ = ൬ 25575 minus 19984

19984100൰ݔ = 0279 asymp 28


tହ = minus1


ହݐ = minus1





|()| ≪ ห ()ห ne


55





et Simulink



imaginaires

EXEMPLE 3


()ܪ =6



()ܪ = ൬30

4൰(

1

+5 1) minus ൬

6

4൰(

1


syms ss=tf(s)

s =s


H =6

---------------5 s^2 + 6 s + 1


h1 =15

-----s + 1


h2 =75

-------5 s + 1


56





et Simulink





temps τ2= 5

pz

hold off

pzmap(H)


57





et Simulink

58





et Simulink



Matlab et Simulink

Objectifs



Exercice 1






Exercice 2


F(p) =25




Exercice 3


59





et Simulink

()ܪ =

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

Avec k=1 =ݓ 1rds







k=1



()ܩ =132

ଷ + ଶ29 + +160 132


60





et Simulink



61





et Simulink


62




Objectifs






distingue










63

















()ܪ =

1 + =

1

1 + 2 10

)ܪ (ݓ =1

1 + 2 10ݓ

)ܪ| |(ݓ =1

ට1 + (ݓݓ

)ଶAvec ݓ =

1

2 10rds

)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ|ܪ( |(ݓ = 20 ଵ

1

ඥ1 + 2ݓ) 10)ଶ

64




)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ

1

ට1 + (ݓݓ

)ଶ Avec ݓ =

1

2 10rds

= ݎܣminus ݐ (ݓ

ݓ)



Pour ݓ rarrଵ

ఛ (ݓ) = minus

గ

ସ


ଶ


sys =

1-----------2e-06 s + 1


bode(sys)grid on

65





()ܪ =

1 +

)ܪ (ݓ =1

1 + ݓ=

1

1 + ( ଶ(ݓ+

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ

=1

1 + ( ଶ(ݓݐ =

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ


)ܪ (ݓ = +

ଶݕ + ( minusݔ1

2)ଶ = (

1

2)ଶ


ଶ) et de centre (

ଵ

ଶ 0 )


-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Magnitude

(dB)

104

105

106

107

-90

-45

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

66




nyquist(sys)

axis([0 1 -05 0])

67




Exemple 2



()ܩ =2

(

100+ 1)ଷ







Nichols


sys1 =2

----------001 s + 1



1----------001 s + 1



1----------001 s + 1


sys =2

-----------------------------------1e-06 s^3 + 00003 s^2 + 003 s + 1

68




margin(s

correspon


-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

10-270

-180

-90

0

Phase(deg)

bode (sys)

grid on

110

210

3

Bode Diagram

Frequency (rads)

margin(sys)

grid on



) respectivement

69




-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

101

102

103

-270

-180

-90

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

nyquist (sys)

grid on

70




-1 -05 0 05 1 15 2-15

-1

-05

0

05

1

15Nyquist Diagram

Real Axis

ImaginaryAx

is

nichols(sys)

grid on

71




-270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Nichols Chart


Open-Loop

Gain(dB)

72




Objectifs


Exercice 1


ଽ୮ାହ






() =ܭ

(5 + ଵ9)( + ଶ)






4) conclure

73




Exercice 3







74






75






5 - STABILITE


Exemple 1

()ܪ =minus)2 4)



num=[2 -8]den=[1 4 3]


76





Exemple 2

()ܪ =5



ଶ


-3 -2 -1 0 1 2 3 4-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

Real Part

ImaginaryPart

PoleZero Plot


77







()ிܨ =()

ଵ+ ݒ ଵ gt 0


ଵ = minusబ

భݏ ଵ lt 0


()ிܨ =()



൝ (ଵ) lt 0

ݐ (ଶ) lt 0


() =15

3 + 2

+ +3 1

-15 -1 -05 0 05 1 15

-1

-08

-06

-04

-02

0

02

04

06

08

1

Real Part

ImaginaryPa

rt

4 2

PoleZero Plot

78





()ܪ =20

3 + 2

+ +3 5








-03194 + 16332i-03194 - 16332i-03611 + 00000i


ans =

02013 + 18773i02013 - 18773i

-14026 + 00000i


79








Anneacutee













80








Anneacutee


81







Remarque


82












O

E

f



ɛ() = ()

1 + ()ܪ()ܥ


inale

ɛ = lim௧rarrஶ

[ɛ(ݐ)] = limrarr

[()ɛ] = limrarr

] ()

1 + ()ܪ()ܥ]

83





lrsquoeacutecart




(ݐ)ݓ = ܣ (ݐ)ݑ ݐ () =

A constante


62 Ecart de vitesse


(ݐ)ݓ = (ݐ)ݑݐ ݐ () =

మb constante




(ݐ)ݓ = ଶݐ (ݐ)ݑ ݐ () =

యc constante


()ܪ()ܥ =ܭ

()

Remarque





84




Entreacutee



() =ܣ

A constante


() =

ଶ

b constante


() =

ଷ

c constante

α = 0 ɛ௦ =

ܣ

1 + ܭ


ߙ = 1 ɛ௦=0 ɛ௩=

ɛ rarr infin

α = 2 ɛ௦=0 ɛ௩=0 ɛ =

ܭ

7

Remarque





()ܥ =

1 +

1 + gt 1


85














Anneacutee




86







௫ = ݎ ݏminus 1

+ 1ݎ

௫ gt 0


ݓ ௫ =1

radic









ݓ ௫ =1

radic= ݓ


Ceci deacutecale la




()

()ܧ=

1

1 +

1 +

avec = 1 +ோభ

ோమ

et =ோభ ோమ

ோభ ାோమ

87






Exercice 1


()ܩ =

+) +)(1 2)ݒ gt 0




Exercice 2


()1000

+) 10)ଶ



Exercice 3


88




pour ∶ A = 1 et ()ܤ =008

+20) 1)ଶ








corresponphase sa


()ܩ =3536

ଷ + ଶ15 + +75 125



()ܥ =

1 +

1 + gt 1



()ܩ =100

+) 1)ଶ

89








8) Conclure

90






91







92





tp5-6




EXEMPLE 5

119865119865(119901119901) = 91199011199015 + 61199011199012 + 2

F=[9 0 0 6 0 2]

F =

9 0 0 6 0 2

g=[1 2 5] rarr 11199011199012 + 21199011199011 + 51199011199010

g =

1 2 5

z=conv(Fg)

z =

9 18 45 6 12 32 4 10 rarr 91199011199017 + 181199011199016 + 451199011199015 + 61199011199014 + 121199011199013 + 321199011199012 + 41199011199011 + 101199011199010




EXEMPLE 6


num=[1 2 5]

num =

1 2 5

den=[4 5 6]

den =

4 5 6

sys=tf(numden)

4




sys =

s^2 + 2 s + 5

---------------

4 s^2 + 5 s + 6


zero(sys)

ans =

-10000 + 20000i

-10000 - 20000i

pole(sys)

ans =

-06250 + 10533i

-06250 - 10533i



Laplace



EXEMPLE 7

syms t

f=sin(t)

F=laplace(f)

5




F =

1(s^2 + 1)



EXEMPLE 8

syms s


ans =

sin(t)








Exemples

EXEMPLE 9

num=5

Remarque


6






EXEMPLE 10


EXEMPLE 11






7




Exemples


EXEMPLE 13



Remarque



8





EXEMPLE 14


sys1 =

1 ------------- s^2 + 4 s + 4


B SIMULINK

II1 PRESENTATION


domaine temporel



drsquoassembler





9





10











aucune entreacutee


11














scalaire)





Laplace)








unique vectorielle




12




















13






EXEMPLE 15


avec

119896119896 = 5 et 120591120591 = 2119904119904







14




15




16










help sin

help plot


17










Tableau 1








REMARQUE


18




Exercice 1


y=sin(t) t le temps



Exercice 2





Calculer 119889119889119904119904(119905119905) 119889119889119905119905


Exercice 3


1198651198651(119901119901) =1

119901119901 + 6

1198651198652(119901119901) =119901119901 + 2

119901119901(119901119901 minus 5)

1198651198653(119901119901) = 7(119901119901 + 9)

1199011199012 + 2119901119901 + 5

1198651198654(119901119901) = 5(119901119901 minus 7)

1199011199012 + 099119901119901 + 04

19




Exercice 4



Exercice 5


1199041199041(119901119901) = 3119901119901+11199011199012+8119901119901+3

1199041199042(119901119901) = 5119901119901(1199011199012+1199081199082)

1199041199043(119901119901) = 119890119890minus120587120587119901119901 1199041199044(119901119901) = ln(5 + 1199081199082

1199011199012 ) w constante










20







Exemple





21





Exercice 6





Exercice 7


22







23






24






II21 MISE EN SERIE

EXEMPLE 1


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



()ଵܨ =1

+ 1()ଶܨݐ =

+ 2


F1 =1

-----s + 1



F2 =s + 2

-----s


s + 2-------s^2 + s


F =s + 2

-------s^2 + s






EXEMPLE 2


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2

26








II23 BOUCLAGE



ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଶܨଵܨ) )

EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2



Remarque


F=feedback(F1F2)F =

s-------------s^2 + 2 s + 2


27






ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଵܨ) 1 )

EXEMPLE 3



F =

1-----s + 2


(p)

28




ଵ(p)ܨ =1

+ 1 ଶ(p)ܨ =

+ 2

ଷ(p)ܨ =

+ 1 ସ(p)ܨ =

+ 2

+ 5

num1=[1]den1=[1 1]

F1=tf(num1den1)F1 =

1-----s + 1


num2=[1 2]den2=[1 0]

F2=tf(num2den2)F2 =

s + 2-----



s-----s + 1


s + 2-----s + 5


s + 2-------s^2 + s


s^2 + 2 s-------------s^2 + 6 s + 5


s^3 + 8 s^2 + 17 s + 10--------------------------s^4 + 8 s^3 + 15 s^2 + 9 s









Exercice 1



()ଵܩ =60

ଶ5 + +2 1 ()ଶܩ =

120

+ 4

Figure1

30




Exercice 2


Figure 2



Exercice 3


Avec


-

-A- -B

Figure 3

()ܣ =1

()ܤ = ()ܥ =

1

ଶ


31




Exercice 4





Exercice 5


Figure 4




32






Exercice 6


A

vec

Figure 6

()ܣ =

+ 1()ܤ = ()ܥ =

1

()ܦ =

1

ଶ

33





34





et Simulink

Objectifs











ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



35





et Simulink

pS(p) + S(p) = k E(p)

()ܩ =()

()ܧ=

1 +



() =


(ݐ)ݏ =

ఛష

ഓ ( tge 0)


F


36





et Simulink


()ܧ =1

drsquoougrave

() =

(1 + (

1



ഓቁ (tge 0)

Figure (2


37





et Simulink





ܦ = ௫ minus


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ










38




et Simulink

Systegraveme 119919119919(119953119953) =

119948119948120783120783 + 120649120649119953119953



(119890119890(119905119905) minus 119904119904(119905119905))


119890119890(119905119905) = 119905119905 119905119905119890119890(119905119905) 119864119864(119901119901) =

1199051199051199011199012

119878119878(119901119901) =119905119905119886119886

1199011199012(1 + 120591120591119901119901)= 119886119886(

1199051199051199011199012 minus

119905119905120591120591119901119901

+1199051199051205911205912

1 + 120591120591119901119901)

119904119904(119905119905) = 119905119905119886119886 1 minus 120591120591 + 120591120591119890119890minus119905119905120591120591 t ge 0


11990511990511989011989010 = 23 120591120591


1199051199051198901198905 = 3 120591120591



Remarque


39





et Simulink


EXEMPLE 1


()ܩ =2


()ܩ =

1 + =

1 + ݒ = 2 =ݐ = 7


step(G)

impulse(G)


plot(ty) 40





et Simulink




41





et Simulink

Exemple1 Suite








42





et Simulink


D=0



0 10 20 30 40 50 60 700

02

04

06

08

1

12

14

16

18

2Step Response

Time (seconds)

Amplitude

43





et Simulink


str =18991 (asymp 19 = ((5ݎݐ)ݏ



44





et Simulink


str =17981 asymp 18 = (10ݎݐ)ݏ

45





et Simulink



t1 =07464

st1 =02081

tm= 161730 -07464=1542 s

46





et Simulink


tr5 = 30 x = 7ݔ3 = ݏ21

tr10 = 23 x = 7ݔ23 = ݏ161

tm=22 x = 7ݔ22 = ݏ154


1

ଶݓଶݏ

ଶݐ+

ߦ2

ݓ

ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



1

ଶݓ() +

ߦ2

ݓ() + () = ()ܧ

ݏ ∶ݐ ()ܩ =()

()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1



47





et Simulink


=

)ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1)


On a ∆ =ଶߦ4

ଶݓminus

4

ଶݓ=

4



Dans ce cas on a


k


మଵቁ୲ቃ

0 t lt 0

t ge 0


Figure (4) Reacute


On a ∆= 0

Dans ce cas


drsquoamortissement


⟺ =ߦ 1

on a

48





et Simulink

(ݐ)ݏ = ൜ ݑ(ݐ) minus (1 + (ݐݓ

௪௧ t ge 00 gtݐ 0



Dans ce cas on a


క


0 gtݐ 0

ltݐ 0




49





et Simulink


T =2π

ݓ=

2π

ඥ1ݓ minus ଶߦ










50





et Simulink



()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

1gtߦ leߦ 1


(గక

ඥଵకమ)

0


minusඥ ߦ ND


ߦminusඥ) (ߦ



ߦminusඥ) (ߦ


EXEMPLE 2




Deacuteterminer



3) la valeur finale



51





et Simulink

0 02 04 06 08 1 12 140

05

1

15

2

25

3Step Response

Time (seconds)

Amplitude


sys =200

-----------------s^2 + 75 s + 100


step(sys)grid on

52





et Simulink



Vous aurez


53





et Simulink

amplitude =





temps =13751 s

54





et Simulink


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ

ܦ = ൬ 25575 minus 19984

19984100൰ݔ = 0279 asymp 28


tହ = minus1


ହݐ = minus1





|()| ≪ ห ()ห ne


55





et Simulink



imaginaires

EXEMPLE 3


()ܪ =6



()ܪ = ൬30

4൰(

1

+5 1) minus ൬

6

4൰(

1


syms ss=tf(s)

s =s


H =6

---------------5 s^2 + 6 s + 1


h1 =15

-----s + 1


h2 =75

-------5 s + 1


56





et Simulink





temps τ2= 5

pz

hold off

pzmap(H)


57





et Simulink

58





et Simulink



Matlab et Simulink

Objectifs



Exercice 1






Exercice 2


F(p) =25




Exercice 3


59





et Simulink

()ܪ =

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

Avec k=1 =ݓ 1rds







k=1



()ܩ =132

ଷ + ଶ29 + +160 132


60





et Simulink



61





et Simulink


62




Objectifs






distingue










63

















()ܪ =

1 + =

1

1 + 2 10

)ܪ (ݓ =1

1 + 2 10ݓ

)ܪ| |(ݓ =1

ට1 + (ݓݓ

)ଶAvec ݓ =

1

2 10rds

)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ|ܪ( |(ݓ = 20 ଵ

1

ඥ1 + 2ݓ) 10)ଶ

64




)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ

1

ට1 + (ݓݓ

)ଶ Avec ݓ =

1

2 10rds

= ݎܣminus ݐ (ݓ

ݓ)



Pour ݓ rarrଵ

ఛ (ݓ) = minus

గ

ସ


ଶ


sys =

1-----------2e-06 s + 1


bode(sys)grid on

65





()ܪ =

1 +

)ܪ (ݓ =1

1 + ݓ=

1

1 + ( ଶ(ݓ+

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ

=1

1 + ( ଶ(ݓݐ =

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ


)ܪ (ݓ = +

ଶݕ + ( minusݔ1

2)ଶ = (

1

2)ଶ


ଶ) et de centre (

ଵ

ଶ 0 )


-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Magnitude

(dB)

104

105

106

107

-90

-45

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

66




nyquist(sys)

axis([0 1 -05 0])

67




Exemple 2



()ܩ =2

(

100+ 1)ଷ







Nichols


sys1 =2

----------001 s + 1



1----------001 s + 1



1----------001 s + 1


sys =2

-----------------------------------1e-06 s^3 + 00003 s^2 + 003 s + 1

68




margin(s

correspon


-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

10-270

-180

-90

0

Phase(deg)

bode (sys)

grid on

110

210

3

Bode Diagram

Frequency (rads)

margin(sys)

grid on



) respectivement

69




-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

101

102

103

-270

-180

-90

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

nyquist (sys)

grid on

70




-1 -05 0 05 1 15 2-15

-1

-05

0

05

1

15Nyquist Diagram

Real Axis

ImaginaryAx

is

nichols(sys)

grid on

71




-270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Nichols Chart


Open-Loop

Gain(dB)

72




Objectifs


Exercice 1


ଽ୮ାହ






() =ܭ

(5 + ଵ9)( + ଶ)






4) conclure

73




Exercice 3







74






75






5 - STABILITE


Exemple 1

()ܪ =minus)2 4)



num=[2 -8]den=[1 4 3]


76





Exemple 2

()ܪ =5



ଶ


-3 -2 -1 0 1 2 3 4-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

Real Part

ImaginaryPart

PoleZero Plot


77







()ிܨ =()

ଵ+ ݒ ଵ gt 0


ଵ = minusబ

భݏ ଵ lt 0


()ிܨ =()



൝ (ଵ) lt 0

ݐ (ଶ) lt 0


() =15

3 + 2

+ +3 1

-15 -1 -05 0 05 1 15

-1

-08

-06

-04

-02

0

02

04

06

08

1

Real Part

ImaginaryPa

rt

4 2

PoleZero Plot

78





()ܪ =20

3 + 2

+ +3 5








-03194 + 16332i-03194 - 16332i-03611 + 00000i


ans =

02013 + 18773i02013 - 18773i

-14026 + 00000i


79








Anneacutee













80








Anneacutee


81







Remarque


82












O

E

f



ɛ() = ()

1 + ()ܪ()ܥ


inale

ɛ = lim௧rarrஶ

[ɛ(ݐ)] = limrarr

[()ɛ] = limrarr

] ()

1 + ()ܪ()ܥ]

83





lrsquoeacutecart




(ݐ)ݓ = ܣ (ݐ)ݑ ݐ () =

A constante


62 Ecart de vitesse


(ݐ)ݓ = (ݐ)ݑݐ ݐ () =

మb constante




(ݐ)ݓ = ଶݐ (ݐ)ݑ ݐ () =

యc constante


()ܪ()ܥ =ܭ

()

Remarque





84




Entreacutee



() =ܣ

A constante


() =

ଶ

b constante


() =

ଷ

c constante

α = 0 ɛ௦ =

ܣ

1 + ܭ


ߙ = 1 ɛ௦=0 ɛ௩=

ɛ rarr infin

α = 2 ɛ௦=0 ɛ௩=0 ɛ =

ܭ

7

Remarque





()ܥ =

1 +

1 + gt 1


85














Anneacutee




86







௫ = ݎ ݏminus 1

+ 1ݎ

௫ gt 0


ݓ ௫ =1

radic









ݓ ௫ =1

radic= ݓ


Ceci deacutecale la




()

()ܧ=

1

1 +

1 +

avec = 1 +ோభ

ோమ

et =ோభ ோమ

ோభ ାோమ

87






Exercice 1


()ܩ =

+) +)(1 2)ݒ gt 0




Exercice 2


()1000

+) 10)ଶ



Exercice 3


88




pour ∶ A = 1 et ()ܤ =008

+20) 1)ଶ








corresponphase sa


()ܩ =3536

ଷ + ଶ15 + +75 125



()ܥ =

1 +

1 + gt 1



()ܩ =100

+) 1)ଶ

89








8) Conclure

90






91







92





tp5-6




sys =

s^2 + 2 s + 5

---------------

4 s^2 + 5 s + 6


zero(sys)

ans =

-10000 + 20000i

-10000 - 20000i

pole(sys)

ans =

-06250 + 10533i

-06250 - 10533i



Laplace



EXEMPLE 7

syms t

f=sin(t)

F=laplace(f)

5




F =

1(s^2 + 1)



EXEMPLE 8

syms s


ans =

sin(t)








Exemples

EXEMPLE 9

num=5

Remarque


6






EXEMPLE 10


EXEMPLE 11






7




Exemples


EXEMPLE 13



Remarque



8





EXEMPLE 14


sys1 =

1 ------------- s^2 + 4 s + 4


B SIMULINK

II1 PRESENTATION


domaine temporel



drsquoassembler





9





10











aucune entreacutee


11














scalaire)





Laplace)








unique vectorielle




12




















13






EXEMPLE 15


avec

119896119896 = 5 et 120591120591 = 2119904119904







14




15




16










help sin

help plot


17










Tableau 1








REMARQUE


18




Exercice 1


y=sin(t) t le temps



Exercice 2





Calculer 119889119889119904119904(119905119905) 119889119889119905119905


Exercice 3


1198651198651(119901119901) =1

119901119901 + 6

1198651198652(119901119901) =119901119901 + 2

119901119901(119901119901 minus 5)

1198651198653(119901119901) = 7(119901119901 + 9)

1199011199012 + 2119901119901 + 5

1198651198654(119901119901) = 5(119901119901 minus 7)

1199011199012 + 099119901119901 + 04

19




Exercice 4



Exercice 5


1199041199041(119901119901) = 3119901119901+11199011199012+8119901119901+3

1199041199042(119901119901) = 5119901119901(1199011199012+1199081199082)

1199041199043(119901119901) = 119890119890minus120587120587119901119901 1199041199044(119901119901) = ln(5 + 1199081199082

1199011199012 ) w constante










20







Exemple





21





Exercice 6





Exercice 7


22







23






24






II21 MISE EN SERIE

EXEMPLE 1


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



()ଵܨ =1

+ 1()ଶܨݐ =

+ 2


F1 =1

-----s + 1



F2 =s + 2

-----s


s + 2-------s^2 + s


F =s + 2

-------s^2 + s






EXEMPLE 2


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2

26








II23 BOUCLAGE



ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଶܨଵܨ) )

EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2



Remarque


F=feedback(F1F2)F =

s-------------s^2 + 2 s + 2


27






ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଵܨ) 1 )

EXEMPLE 3



F =

1-----s + 2


(p)

28




ଵ(p)ܨ =1

+ 1 ଶ(p)ܨ =

+ 2

ଷ(p)ܨ =

+ 1 ସ(p)ܨ =

+ 2

+ 5

num1=[1]den1=[1 1]

F1=tf(num1den1)F1 =

1-----s + 1


num2=[1 2]den2=[1 0]

F2=tf(num2den2)F2 =

s + 2-----



s-----s + 1


s + 2-----s + 5


s + 2-------s^2 + s


s^2 + 2 s-------------s^2 + 6 s + 5


s^3 + 8 s^2 + 17 s + 10--------------------------s^4 + 8 s^3 + 15 s^2 + 9 s









Exercice 1



()ଵܩ =60

ଶ5 + +2 1 ()ଶܩ =

120

+ 4

Figure1

30




Exercice 2


Figure 2



Exercice 3


Avec


-

-A- -B

Figure 3

()ܣ =1

()ܤ = ()ܥ =

1

ଶ


31




Exercice 4





Exercice 5


Figure 4




32






Exercice 6


A

vec

Figure 6

()ܣ =

+ 1()ܤ = ()ܥ =

1

()ܦ =

1

ଶ

33





34





et Simulink

Objectifs











ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



35





et Simulink

pS(p) + S(p) = k E(p)

()ܩ =()

()ܧ=

1 +



() =


(ݐ)ݏ =

ఛష

ഓ ( tge 0)


F


36





et Simulink


()ܧ =1

drsquoougrave

() =

(1 + (

1



ഓቁ (tge 0)

Figure (2


37





et Simulink





ܦ = ௫ minus


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ










38




et Simulink

Systegraveme 119919119919(119953119953) =

119948119948120783120783 + 120649120649119953119953



(119890119890(119905119905) minus 119904119904(119905119905))


119890119890(119905119905) = 119905119905 119905119905119890119890(119905119905) 119864119864(119901119901) =

1199051199051199011199012

119878119878(119901119901) =119905119905119886119886

1199011199012(1 + 120591120591119901119901)= 119886119886(

1199051199051199011199012 minus

119905119905120591120591119901119901

+1199051199051205911205912

1 + 120591120591119901119901)

119904119904(119905119905) = 119905119905119886119886 1 minus 120591120591 + 120591120591119890119890minus119905119905120591120591 t ge 0


11990511990511989011989010 = 23 120591120591


1199051199051198901198905 = 3 120591120591



Remarque


39





et Simulink


EXEMPLE 1


()ܩ =2


()ܩ =

1 + =

1 + ݒ = 2 =ݐ = 7


step(G)

impulse(G)


plot(ty) 40





et Simulink




41





et Simulink

Exemple1 Suite








42





et Simulink


D=0



0 10 20 30 40 50 60 700

02

04

06

08

1

12

14

16

18

2Step Response

Time (seconds)

Amplitude

43





et Simulink


str =18991 (asymp 19 = ((5ݎݐ)ݏ



44





et Simulink


str =17981 asymp 18 = (10ݎݐ)ݏ

45





et Simulink



t1 =07464

st1 =02081

tm= 161730 -07464=1542 s

46





et Simulink


tr5 = 30 x = 7ݔ3 = ݏ21

tr10 = 23 x = 7ݔ23 = ݏ161

tm=22 x = 7ݔ22 = ݏ154


1

ଶݓଶݏ

ଶݐ+

ߦ2

ݓ

ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



1

ଶݓ() +

ߦ2

ݓ() + () = ()ܧ

ݏ ∶ݐ ()ܩ =()

()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1



47





et Simulink


=

)ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1)


On a ∆ =ଶߦ4

ଶݓminus

4

ଶݓ=

4



Dans ce cas on a


k


మଵቁ୲ቃ

0 t lt 0

t ge 0


Figure (4) Reacute


On a ∆= 0

Dans ce cas


drsquoamortissement


⟺ =ߦ 1

on a

48





et Simulink

(ݐ)ݏ = ൜ ݑ(ݐ) minus (1 + (ݐݓ

௪௧ t ge 00 gtݐ 0



Dans ce cas on a


క


0 gtݐ 0

ltݐ 0




49





et Simulink


T =2π

ݓ=

2π

ඥ1ݓ minus ଶߦ










50





et Simulink



()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

1gtߦ leߦ 1


(గక

ඥଵకమ)

0


minusඥ ߦ ND


ߦminusඥ) (ߦ



ߦminusඥ) (ߦ


EXEMPLE 2




Deacuteterminer



3) la valeur finale



51





et Simulink

0 02 04 06 08 1 12 140

05

1

15

2

25

3Step Response

Time (seconds)

Amplitude


sys =200

-----------------s^2 + 75 s + 100


step(sys)grid on

52





et Simulink



Vous aurez


53





et Simulink

amplitude =





temps =13751 s

54





et Simulink


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ

ܦ = ൬ 25575 minus 19984

19984100൰ݔ = 0279 asymp 28


tହ = minus1


ହݐ = minus1





|()| ≪ ห ()ห ne


55





et Simulink



imaginaires

EXEMPLE 3


()ܪ =6



()ܪ = ൬30

4൰(

1

+5 1) minus ൬

6

4൰(

1


syms ss=tf(s)

s =s


H =6

---------------5 s^2 + 6 s + 1


h1 =15

-----s + 1


h2 =75

-------5 s + 1


56





et Simulink





temps τ2= 5

pz

hold off

pzmap(H)


57





et Simulink

58





et Simulink



Matlab et Simulink

Objectifs



Exercice 1






Exercice 2


F(p) =25




Exercice 3


59





et Simulink

()ܪ =

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

Avec k=1 =ݓ 1rds







k=1



()ܩ =132

ଷ + ଶ29 + +160 132


60





et Simulink



61





et Simulink


62




Objectifs






distingue










63

















()ܪ =

1 + =

1

1 + 2 10

)ܪ (ݓ =1

1 + 2 10ݓ

)ܪ| |(ݓ =1

ට1 + (ݓݓ

)ଶAvec ݓ =

1

2 10rds

)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ|ܪ( |(ݓ = 20 ଵ

1

ඥ1 + 2ݓ) 10)ଶ

64




)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ

1

ට1 + (ݓݓ

)ଶ Avec ݓ =

1

2 10rds

= ݎܣminus ݐ (ݓ

ݓ)



Pour ݓ rarrଵ

ఛ (ݓ) = minus

గ

ସ


ଶ


sys =

1-----------2e-06 s + 1


bode(sys)grid on

65





()ܪ =

1 +

)ܪ (ݓ =1

1 + ݓ=

1

1 + ( ଶ(ݓ+

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ

=1

1 + ( ଶ(ݓݐ =

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ


)ܪ (ݓ = +

ଶݕ + ( minusݔ1

2)ଶ = (

1

2)ଶ


ଶ) et de centre (

ଵ

ଶ 0 )


-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Magnitude

(dB)

104

105

106

107

-90

-45

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

66




nyquist(sys)

axis([0 1 -05 0])

67




Exemple 2



()ܩ =2

(

100+ 1)ଷ







Nichols


sys1 =2

----------001 s + 1



1----------001 s + 1



1----------001 s + 1


sys =2

-----------------------------------1e-06 s^3 + 00003 s^2 + 003 s + 1

68




margin(s

correspon


-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

10-270

-180

-90

0

Phase(deg)

bode (sys)

grid on

110

210

3

Bode Diagram

Frequency (rads)

margin(sys)

grid on



) respectivement

69




-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

101

102

103

-270

-180

-90

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

nyquist (sys)

grid on

70




-1 -05 0 05 1 15 2-15

-1

-05

0

05

1

15Nyquist Diagram

Real Axis

ImaginaryAx

is

nichols(sys)

grid on

71




-270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Nichols Chart


Open-Loop

Gain(dB)

72




Objectifs


Exercice 1


ଽ୮ାହ






() =ܭ

(5 + ଵ9)( + ଶ)






4) conclure

73




Exercice 3







74






75






5 - STABILITE


Exemple 1

()ܪ =minus)2 4)



num=[2 -8]den=[1 4 3]


76





Exemple 2

()ܪ =5



ଶ


-3 -2 -1 0 1 2 3 4-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

Real Part

ImaginaryPart

PoleZero Plot


77







()ிܨ =()

ଵ+ ݒ ଵ gt 0


ଵ = minusబ

భݏ ଵ lt 0


()ிܨ =()



൝ (ଵ) lt 0

ݐ (ଶ) lt 0


() =15

3 + 2

+ +3 1

-15 -1 -05 0 05 1 15

-1

-08

-06

-04

-02

0

02

04

06

08

1

Real Part

ImaginaryPa

rt

4 2

PoleZero Plot

78





()ܪ =20

3 + 2

+ +3 5








-03194 + 16332i-03194 - 16332i-03611 + 00000i


ans =

02013 + 18773i02013 - 18773i

-14026 + 00000i


79








Anneacutee













80








Anneacutee


81







Remarque


82












O

E

f



ɛ() = ()

1 + ()ܪ()ܥ


inale

ɛ = lim௧rarrஶ

[ɛ(ݐ)] = limrarr

[()ɛ] = limrarr

] ()

1 + ()ܪ()ܥ]

83





lrsquoeacutecart




(ݐ)ݓ = ܣ (ݐ)ݑ ݐ () =

A constante


62 Ecart de vitesse


(ݐ)ݓ = (ݐ)ݑݐ ݐ () =

మb constante




(ݐ)ݓ = ଶݐ (ݐ)ݑ ݐ () =

యc constante


()ܪ()ܥ =ܭ

()

Remarque





84




Entreacutee



() =ܣ

A constante


() =

ଶ

b constante


() =

ଷ

c constante

α = 0 ɛ௦ =

ܣ

1 + ܭ


ߙ = 1 ɛ௦=0 ɛ௩=

ɛ rarr infin

α = 2 ɛ௦=0 ɛ௩=0 ɛ =

ܭ

7

Remarque





()ܥ =

1 +

1 + gt 1


85














Anneacutee




86







௫ = ݎ ݏminus 1

+ 1ݎ

௫ gt 0


ݓ ௫ =1

radic









ݓ ௫ =1

radic= ݓ


Ceci deacutecale la




()

()ܧ=

1

1 +

1 +

avec = 1 +ோభ

ோమ

et =ோభ ோమ

ோభ ାோమ

87






Exercice 1


()ܩ =

+) +)(1 2)ݒ gt 0




Exercice 2


()1000

+) 10)ଶ



Exercice 3


88




pour ∶ A = 1 et ()ܤ =008

+20) 1)ଶ








corresponphase sa


()ܩ =3536

ଷ + ଶ15 + +75 125



()ܥ =

1 +

1 + gt 1



()ܩ =100

+) 1)ଶ

89








8) Conclure

90






91







92





tp5-6




F =

1(s^2 + 1)



EXEMPLE 8

syms s


ans =

sin(t)








Exemples

EXEMPLE 9

num=5

Remarque


6






EXEMPLE 10


EXEMPLE 11






7




Exemples


EXEMPLE 13



Remarque



8





EXEMPLE 14


sys1 =

1 ------------- s^2 + 4 s + 4


B SIMULINK

II1 PRESENTATION


domaine temporel



drsquoassembler





9





10











aucune entreacutee


11














scalaire)





Laplace)








unique vectorielle




12




















13






EXEMPLE 15


avec

119896119896 = 5 et 120591120591 = 2119904119904







14




15




16










help sin

help plot


17










Tableau 1








REMARQUE


18




Exercice 1


y=sin(t) t le temps



Exercice 2





Calculer 119889119889119904119904(119905119905) 119889119889119905119905


Exercice 3


1198651198651(119901119901) =1

119901119901 + 6

1198651198652(119901119901) =119901119901 + 2

119901119901(119901119901 minus 5)

1198651198653(119901119901) = 7(119901119901 + 9)

1199011199012 + 2119901119901 + 5

1198651198654(119901119901) = 5(119901119901 minus 7)

1199011199012 + 099119901119901 + 04

19




Exercice 4



Exercice 5


1199041199041(119901119901) = 3119901119901+11199011199012+8119901119901+3

1199041199042(119901119901) = 5119901119901(1199011199012+1199081199082)

1199041199043(119901119901) = 119890119890minus120587120587119901119901 1199041199044(119901119901) = ln(5 + 1199081199082

1199011199012 ) w constante










20







Exemple





21





Exercice 6





Exercice 7


22







23






24






II21 MISE EN SERIE

EXEMPLE 1


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



()ଵܨ =1

+ 1()ଶܨݐ =

+ 2


F1 =1

-----s + 1



F2 =s + 2

-----s


s + 2-------s^2 + s


F =s + 2

-------s^2 + s






EXEMPLE 2


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2

26








II23 BOUCLAGE



ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଶܨଵܨ) )

EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2



Remarque


F=feedback(F1F2)F =

s-------------s^2 + 2 s + 2


27






ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଵܨ) 1 )

EXEMPLE 3



F =

1-----s + 2


(p)

28




ଵ(p)ܨ =1

+ 1 ଶ(p)ܨ =

+ 2

ଷ(p)ܨ =

+ 1 ସ(p)ܨ =

+ 2

+ 5

num1=[1]den1=[1 1]

F1=tf(num1den1)F1 =

1-----s + 1


num2=[1 2]den2=[1 0]

F2=tf(num2den2)F2 =

s + 2-----



s-----s + 1


s + 2-----s + 5


s + 2-------s^2 + s


s^2 + 2 s-------------s^2 + 6 s + 5


s^3 + 8 s^2 + 17 s + 10--------------------------s^4 + 8 s^3 + 15 s^2 + 9 s









Exercice 1



()ଵܩ =60

ଶ5 + +2 1 ()ଶܩ =

120

+ 4

Figure1

30




Exercice 2


Figure 2



Exercice 3


Avec


-

-A- -B

Figure 3

()ܣ =1

()ܤ = ()ܥ =

1

ଶ


31




Exercice 4





Exercice 5


Figure 4




32






Exercice 6


A

vec

Figure 6

()ܣ =

+ 1()ܤ = ()ܥ =

1

()ܦ =

1

ଶ

33





34





et Simulink

Objectifs











ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



35





et Simulink

pS(p) + S(p) = k E(p)

()ܩ =()

()ܧ=

1 +



() =


(ݐ)ݏ =

ఛష

ഓ ( tge 0)


F


36





et Simulink


()ܧ =1

drsquoougrave

() =

(1 + (

1



ഓቁ (tge 0)

Figure (2


37





et Simulink





ܦ = ௫ minus


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ










38




et Simulink

Systegraveme 119919119919(119953119953) =

119948119948120783120783 + 120649120649119953119953



(119890119890(119905119905) minus 119904119904(119905119905))


119890119890(119905119905) = 119905119905 119905119905119890119890(119905119905) 119864119864(119901119901) =

1199051199051199011199012

119878119878(119901119901) =119905119905119886119886

1199011199012(1 + 120591120591119901119901)= 119886119886(

1199051199051199011199012 minus

119905119905120591120591119901119901

+1199051199051205911205912

1 + 120591120591119901119901)

119904119904(119905119905) = 119905119905119886119886 1 minus 120591120591 + 120591120591119890119890minus119905119905120591120591 t ge 0


11990511990511989011989010 = 23 120591120591


1199051199051198901198905 = 3 120591120591



Remarque


39





et Simulink


EXEMPLE 1


()ܩ =2


()ܩ =

1 + =

1 + ݒ = 2 =ݐ = 7


step(G)

impulse(G)


plot(ty) 40





et Simulink




41





et Simulink

Exemple1 Suite








42





et Simulink


D=0



0 10 20 30 40 50 60 700

02

04

06

08

1

12

14

16

18

2Step Response

Time (seconds)

Amplitude

43





et Simulink


str =18991 (asymp 19 = ((5ݎݐ)ݏ



44





et Simulink


str =17981 asymp 18 = (10ݎݐ)ݏ

45





et Simulink



t1 =07464

st1 =02081

tm= 161730 -07464=1542 s

46





et Simulink


tr5 = 30 x = 7ݔ3 = ݏ21

tr10 = 23 x = 7ݔ23 = ݏ161

tm=22 x = 7ݔ22 = ݏ154


1

ଶݓଶݏ

ଶݐ+

ߦ2

ݓ

ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



1

ଶݓ() +

ߦ2

ݓ() + () = ()ܧ

ݏ ∶ݐ ()ܩ =()

()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1



47





et Simulink


=

)ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1)


On a ∆ =ଶߦ4

ଶݓminus

4

ଶݓ=

4



Dans ce cas on a


k


మଵቁ୲ቃ

0 t lt 0

t ge 0


Figure (4) Reacute


On a ∆= 0

Dans ce cas


drsquoamortissement


⟺ =ߦ 1

on a

48





et Simulink

(ݐ)ݏ = ൜ ݑ(ݐ) minus (1 + (ݐݓ

௪௧ t ge 00 gtݐ 0



Dans ce cas on a


క


0 gtݐ 0

ltݐ 0




49





et Simulink


T =2π

ݓ=

2π

ඥ1ݓ minus ଶߦ










50





et Simulink



()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

1gtߦ leߦ 1


(గక

ඥଵకమ)

0


minusඥ ߦ ND


ߦminusඥ) (ߦ



ߦminusඥ) (ߦ


EXEMPLE 2




Deacuteterminer



3) la valeur finale



51





et Simulink

0 02 04 06 08 1 12 140

05

1

15

2

25

3Step Response

Time (seconds)

Amplitude


sys =200

-----------------s^2 + 75 s + 100


step(sys)grid on

52





et Simulink



Vous aurez


53





et Simulink

amplitude =





temps =13751 s

54





et Simulink


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ

ܦ = ൬ 25575 minus 19984

19984100൰ݔ = 0279 asymp 28


tହ = minus1


ହݐ = minus1





|()| ≪ ห ()ห ne


55





et Simulink



imaginaires

EXEMPLE 3


()ܪ =6



()ܪ = ൬30

4൰(

1

+5 1) minus ൬

6

4൰(

1


syms ss=tf(s)

s =s


H =6

---------------5 s^2 + 6 s + 1


h1 =15

-----s + 1


h2 =75

-------5 s + 1


56





et Simulink





temps τ2= 5

pz

hold off

pzmap(H)


57





et Simulink

58





et Simulink



Matlab et Simulink

Objectifs



Exercice 1






Exercice 2


F(p) =25




Exercice 3


59





et Simulink

()ܪ =

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

Avec k=1 =ݓ 1rds







k=1



()ܩ =132

ଷ + ଶ29 + +160 132


60





et Simulink



61





et Simulink


62




Objectifs






distingue










63

















()ܪ =

1 + =

1

1 + 2 10

)ܪ (ݓ =1

1 + 2 10ݓ

)ܪ| |(ݓ =1

ට1 + (ݓݓ

)ଶAvec ݓ =

1

2 10rds

)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ|ܪ( |(ݓ = 20 ଵ

1

ඥ1 + 2ݓ) 10)ଶ

64




)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ

1

ට1 + (ݓݓ

)ଶ Avec ݓ =

1

2 10rds

= ݎܣminus ݐ (ݓ

ݓ)



Pour ݓ rarrଵ

ఛ (ݓ) = minus

గ

ସ


ଶ


sys =

1-----------2e-06 s + 1


bode(sys)grid on

65





()ܪ =

1 +

)ܪ (ݓ =1

1 + ݓ=

1

1 + ( ଶ(ݓ+

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ

=1

1 + ( ଶ(ݓݐ =

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ


)ܪ (ݓ = +

ଶݕ + ( minusݔ1

2)ଶ = (

1

2)ଶ


ଶ) et de centre (

ଵ

ଶ 0 )


-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Magnitude

(dB)

104

105

106

107

-90

-45

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

66




nyquist(sys)

axis([0 1 -05 0])

67




Exemple 2



()ܩ =2

(

100+ 1)ଷ







Nichols


sys1 =2

----------001 s + 1



1----------001 s + 1



1----------001 s + 1


sys =2

-----------------------------------1e-06 s^3 + 00003 s^2 + 003 s + 1

68




margin(s

correspon


-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

10-270

-180

-90

0

Phase(deg)

bode (sys)

grid on

110

210

3

Bode Diagram

Frequency (rads)

margin(sys)

grid on



) respectivement

69




-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

101

102

103

-270

-180

-90

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

nyquist (sys)

grid on

70




-1 -05 0 05 1 15 2-15

-1

-05

0

05

1

15Nyquist Diagram

Real Axis

ImaginaryAx

is

nichols(sys)

grid on

71




-270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Nichols Chart


Open-Loop

Gain(dB)

72




Objectifs


Exercice 1


ଽ୮ାହ






() =ܭ

(5 + ଵ9)( + ଶ)






4) conclure

73




Exercice 3







74






75






5 - STABILITE


Exemple 1

()ܪ =minus)2 4)



num=[2 -8]den=[1 4 3]


76





Exemple 2

()ܪ =5



ଶ


-3 -2 -1 0 1 2 3 4-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

Real Part

ImaginaryPart

PoleZero Plot


77







()ிܨ =()

ଵ+ ݒ ଵ gt 0


ଵ = minusబ

భݏ ଵ lt 0


()ிܨ =()



൝ (ଵ) lt 0

ݐ (ଶ) lt 0


() =15

3 + 2

+ +3 1

-15 -1 -05 0 05 1 15

-1

-08

-06

-04

-02

0

02

04

06

08

1

Real Part

ImaginaryPa

rt

4 2

PoleZero Plot

78





()ܪ =20

3 + 2

+ +3 5








-03194 + 16332i-03194 - 16332i-03611 + 00000i


ans =

02013 + 18773i02013 - 18773i

-14026 + 00000i


79








Anneacutee













80








Anneacutee


81







Remarque


82












O

E

f



ɛ() = ()

1 + ()ܪ()ܥ


inale

ɛ = lim௧rarrஶ

[ɛ(ݐ)] = limrarr

[()ɛ] = limrarr

] ()

1 + ()ܪ()ܥ]

83





lrsquoeacutecart




(ݐ)ݓ = ܣ (ݐ)ݑ ݐ () =

A constante


62 Ecart de vitesse


(ݐ)ݓ = (ݐ)ݑݐ ݐ () =

మb constante




(ݐ)ݓ = ଶݐ (ݐ)ݑ ݐ () =

యc constante


()ܪ()ܥ =ܭ

()

Remarque





84




Entreacutee



() =ܣ

A constante


() =

ଶ

b constante


() =

ଷ

c constante

α = 0 ɛ௦ =

ܣ

1 + ܭ


ߙ = 1 ɛ௦=0 ɛ௩=

ɛ rarr infin

α = 2 ɛ௦=0 ɛ௩=0 ɛ =

ܭ

7

Remarque





()ܥ =

1 +

1 + gt 1


85














Anneacutee




86







௫ = ݎ ݏminus 1

+ 1ݎ

௫ gt 0


ݓ ௫ =1

radic









ݓ ௫ =1

radic= ݓ


Ceci deacutecale la




()

()ܧ=

1

1 +

1 +

avec = 1 +ோభ

ோమ

et =ோభ ோమ

ோభ ାோమ

87






Exercice 1


()ܩ =

+) +)(1 2)ݒ gt 0




Exercice 2


()1000

+) 10)ଶ



Exercice 3


88




pour ∶ A = 1 et ()ܤ =008

+20) 1)ଶ








corresponphase sa


()ܩ =3536

ଷ + ଶ15 + +75 125



()ܥ =

1 +

1 + gt 1



()ܩ =100

+) 1)ଶ

89








8) Conclure

90






91







92





tp5-6






EXEMPLE 10


EXEMPLE 11






7




Exemples


EXEMPLE 13



Remarque



8





EXEMPLE 14


sys1 =

1 ------------- s^2 + 4 s + 4


B SIMULINK

II1 PRESENTATION


domaine temporel



drsquoassembler





9





10











aucune entreacutee


11














scalaire)





Laplace)








unique vectorielle




12




















13






EXEMPLE 15


avec

119896119896 = 5 et 120591120591 = 2119904119904







14




15




16










help sin

help plot


17










Tableau 1








REMARQUE


18




Exercice 1


y=sin(t) t le temps



Exercice 2





Calculer 119889119889119904119904(119905119905) 119889119889119905119905


Exercice 3


1198651198651(119901119901) =1

119901119901 + 6

1198651198652(119901119901) =119901119901 + 2

119901119901(119901119901 minus 5)

1198651198653(119901119901) = 7(119901119901 + 9)

1199011199012 + 2119901119901 + 5

1198651198654(119901119901) = 5(119901119901 minus 7)

1199011199012 + 099119901119901 + 04

19




Exercice 4



Exercice 5


1199041199041(119901119901) = 3119901119901+11199011199012+8119901119901+3

1199041199042(119901119901) = 5119901119901(1199011199012+1199081199082)

1199041199043(119901119901) = 119890119890minus120587120587119901119901 1199041199044(119901119901) = ln(5 + 1199081199082

1199011199012 ) w constante










20







Exemple





21





Exercice 6





Exercice 7


22







23






24






II21 MISE EN SERIE

EXEMPLE 1


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



()ଵܨ =1

+ 1()ଶܨݐ =

+ 2


F1 =1

-----s + 1



F2 =s + 2

-----s


s + 2-------s^2 + s


F =s + 2

-------s^2 + s






EXEMPLE 2


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2

26








II23 BOUCLAGE



ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଶܨଵܨ) )

EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2



Remarque


F=feedback(F1F2)F =

s-------------s^2 + 2 s + 2


27






ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଵܨ) 1 )

EXEMPLE 3



F =

1-----s + 2


(p)

28




ଵ(p)ܨ =1

+ 1 ଶ(p)ܨ =

+ 2

ଷ(p)ܨ =

+ 1 ସ(p)ܨ =

+ 2

+ 5

num1=[1]den1=[1 1]

F1=tf(num1den1)F1 =

1-----s + 1


num2=[1 2]den2=[1 0]

F2=tf(num2den2)F2 =

s + 2-----



s-----s + 1


s + 2-----s + 5


s + 2-------s^2 + s


s^2 + 2 s-------------s^2 + 6 s + 5


s^3 + 8 s^2 + 17 s + 10--------------------------s^4 + 8 s^3 + 15 s^2 + 9 s









Exercice 1



()ଵܩ =60

ଶ5 + +2 1 ()ଶܩ =

120

+ 4

Figure1

30




Exercice 2


Figure 2



Exercice 3


Avec


-

-A- -B

Figure 3

()ܣ =1

()ܤ = ()ܥ =

1

ଶ


31




Exercice 4





Exercice 5


Figure 4




32






Exercice 6


A

vec

Figure 6

()ܣ =

+ 1()ܤ = ()ܥ =

1

()ܦ =

1

ଶ

33





34





et Simulink

Objectifs











ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



35





et Simulink

pS(p) + S(p) = k E(p)

()ܩ =()

()ܧ=

1 +



() =


(ݐ)ݏ =

ఛష

ഓ ( tge 0)


F


36





et Simulink


()ܧ =1

drsquoougrave

() =

(1 + (

1



ഓቁ (tge 0)

Figure (2


37





et Simulink





ܦ = ௫ minus


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ










38




et Simulink

Systegraveme 119919119919(119953119953) =

119948119948120783120783 + 120649120649119953119953



(119890119890(119905119905) minus 119904119904(119905119905))


119890119890(119905119905) = 119905119905 119905119905119890119890(119905119905) 119864119864(119901119901) =

1199051199051199011199012

119878119878(119901119901) =119905119905119886119886

1199011199012(1 + 120591120591119901119901)= 119886119886(

1199051199051199011199012 minus

119905119905120591120591119901119901

+1199051199051205911205912

1 + 120591120591119901119901)

119904119904(119905119905) = 119905119905119886119886 1 minus 120591120591 + 120591120591119890119890minus119905119905120591120591 t ge 0


11990511990511989011989010 = 23 120591120591


1199051199051198901198905 = 3 120591120591



Remarque


39





et Simulink


EXEMPLE 1


()ܩ =2


()ܩ =

1 + =

1 + ݒ = 2 =ݐ = 7


step(G)

impulse(G)


plot(ty) 40





et Simulink




41





et Simulink

Exemple1 Suite








42





et Simulink


D=0



0 10 20 30 40 50 60 700

02

04

06

08

1

12

14

16

18

2Step Response

Time (seconds)

Amplitude

43





et Simulink


str =18991 (asymp 19 = ((5ݎݐ)ݏ



44





et Simulink


str =17981 asymp 18 = (10ݎݐ)ݏ

45





et Simulink



t1 =07464

st1 =02081

tm= 161730 -07464=1542 s

46





et Simulink


tr5 = 30 x = 7ݔ3 = ݏ21

tr10 = 23 x = 7ݔ23 = ݏ161

tm=22 x = 7ݔ22 = ݏ154


1

ଶݓଶݏ

ଶݐ+

ߦ2

ݓ

ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



1

ଶݓ() +

ߦ2

ݓ() + () = ()ܧ

ݏ ∶ݐ ()ܩ =()

()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1



47





et Simulink


=

)ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1)


On a ∆ =ଶߦ4

ଶݓminus

4

ଶݓ=

4



Dans ce cas on a


k


మଵቁ୲ቃ

0 t lt 0

t ge 0


Figure (4) Reacute


On a ∆= 0

Dans ce cas


drsquoamortissement


⟺ =ߦ 1

on a

48





et Simulink

(ݐ)ݏ = ൜ ݑ(ݐ) minus (1 + (ݐݓ

௪௧ t ge 00 gtݐ 0



Dans ce cas on a


క


0 gtݐ 0

ltݐ 0




49





et Simulink


T =2π

ݓ=

2π

ඥ1ݓ minus ଶߦ










50





et Simulink



()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

1gtߦ leߦ 1


(గక

ඥଵకమ)

0


minusඥ ߦ ND


ߦminusඥ) (ߦ



ߦminusඥ) (ߦ


EXEMPLE 2




Deacuteterminer



3) la valeur finale



51





et Simulink

0 02 04 06 08 1 12 140

05

1

15

2

25

3Step Response

Time (seconds)

Amplitude


sys =200

-----------------s^2 + 75 s + 100


step(sys)grid on

52





et Simulink



Vous aurez


53





et Simulink

amplitude =





temps =13751 s

54





et Simulink


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ

ܦ = ൬ 25575 minus 19984

19984100൰ݔ = 0279 asymp 28


tହ = minus1


ହݐ = minus1





|()| ≪ ห ()ห ne


55





et Simulink



imaginaires

EXEMPLE 3


()ܪ =6



()ܪ = ൬30

4൰(

1

+5 1) minus ൬

6

4൰(

1


syms ss=tf(s)

s =s


H =6

---------------5 s^2 + 6 s + 1


h1 =15

-----s + 1


h2 =75

-------5 s + 1


56





et Simulink





temps τ2= 5

pz

hold off

pzmap(H)


57





et Simulink

58





et Simulink



Matlab et Simulink

Objectifs



Exercice 1






Exercice 2


F(p) =25




Exercice 3


59





et Simulink

()ܪ =

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

Avec k=1 =ݓ 1rds







k=1



()ܩ =132

ଷ + ଶ29 + +160 132


60





et Simulink



61





et Simulink


62




Objectifs






distingue










63

















()ܪ =

1 + =

1

1 + 2 10

)ܪ (ݓ =1

1 + 2 10ݓ

)ܪ| |(ݓ =1

ට1 + (ݓݓ

)ଶAvec ݓ =

1

2 10rds

)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ|ܪ( |(ݓ = 20 ଵ

1

ඥ1 + 2ݓ) 10)ଶ

64




)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ

1

ට1 + (ݓݓ

)ଶ Avec ݓ =

1

2 10rds

= ݎܣminus ݐ (ݓ

ݓ)



Pour ݓ rarrଵ

ఛ (ݓ) = minus

గ

ସ


ଶ


sys =

1-----------2e-06 s + 1


bode(sys)grid on

65





()ܪ =

1 +

)ܪ (ݓ =1

1 + ݓ=

1

1 + ( ଶ(ݓ+

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ

=1

1 + ( ଶ(ݓݐ =

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ


)ܪ (ݓ = +

ଶݕ + ( minusݔ1

2)ଶ = (

1

2)ଶ


ଶ) et de centre (

ଵ

ଶ 0 )


-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Magnitude

(dB)

104

105

106

107

-90

-45

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

66




nyquist(sys)

axis([0 1 -05 0])

67




Exemple 2



()ܩ =2

(

100+ 1)ଷ







Nichols


sys1 =2

----------001 s + 1



1----------001 s + 1



1----------001 s + 1


sys =2

-----------------------------------1e-06 s^3 + 00003 s^2 + 003 s + 1

68




margin(s

correspon


-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

10-270

-180

-90

0

Phase(deg)

bode (sys)

grid on

110

210

3

Bode Diagram

Frequency (rads)

margin(sys)

grid on



) respectivement

69




-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

101

102

103

-270

-180

-90

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

nyquist (sys)

grid on

70




-1 -05 0 05 1 15 2-15

-1

-05

0

05

1

15Nyquist Diagram

Real Axis

ImaginaryAx

is

nichols(sys)

grid on

71




-270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Nichols Chart


Open-Loop

Gain(dB)

72




Objectifs


Exercice 1


ଽ୮ାହ






() =ܭ

(5 + ଵ9)( + ଶ)






4) conclure

73




Exercice 3







74






75






5 - STABILITE


Exemple 1

()ܪ =minus)2 4)



num=[2 -8]den=[1 4 3]


76





Exemple 2

()ܪ =5



ଶ


-3 -2 -1 0 1 2 3 4-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

Real Part

ImaginaryPart

PoleZero Plot


77







()ிܨ =()

ଵ+ ݒ ଵ gt 0


ଵ = minusబ

భݏ ଵ lt 0


()ிܨ =()



൝ (ଵ) lt 0

ݐ (ଶ) lt 0


() =15

3 + 2

+ +3 1

-15 -1 -05 0 05 1 15

-1

-08

-06

-04

-02

0

02

04

06

08

1

Real Part

ImaginaryPa

rt

4 2

PoleZero Plot

78





()ܪ =20

3 + 2

+ +3 5








-03194 + 16332i-03194 - 16332i-03611 + 00000i


ans =

02013 + 18773i02013 - 18773i

-14026 + 00000i


79








Anneacutee













80








Anneacutee


81







Remarque


82












O

E

f



ɛ() = ()

1 + ()ܪ()ܥ


inale

ɛ = lim௧rarrஶ

[ɛ(ݐ)] = limrarr

[()ɛ] = limrarr

] ()

1 + ()ܪ()ܥ]

83





lrsquoeacutecart




(ݐ)ݓ = ܣ (ݐ)ݑ ݐ () =

A constante


62 Ecart de vitesse


(ݐ)ݓ = (ݐ)ݑݐ ݐ () =

మb constante




(ݐ)ݓ = ଶݐ (ݐ)ݑ ݐ () =

యc constante


()ܪ()ܥ =ܭ

()

Remarque





84




Entreacutee



() =ܣ

A constante


() =

ଶ

b constante


() =

ଷ

c constante

α = 0 ɛ௦ =

ܣ

1 + ܭ


ߙ = 1 ɛ௦=0 ɛ௩=

ɛ rarr infin

α = 2 ɛ௦=0 ɛ௩=0 ɛ =

ܭ

7

Remarque





()ܥ =

1 +

1 + gt 1


85














Anneacutee




86







௫ = ݎ ݏminus 1

+ 1ݎ

௫ gt 0


ݓ ௫ =1

radic









ݓ ௫ =1

radic= ݓ


Ceci deacutecale la




()

()ܧ=

1

1 +

1 +

avec = 1 +ோభ

ோమ

et =ோభ ோమ

ோభ ାோమ

87






Exercice 1


()ܩ =

+) +)(1 2)ݒ gt 0




Exercice 2


()1000

+) 10)ଶ



Exercice 3


88




pour ∶ A = 1 et ()ܤ =008

+20) 1)ଶ








corresponphase sa


()ܩ =3536

ଷ + ଶ15 + +75 125



()ܥ =

1 +

1 + gt 1



()ܩ =100

+) 1)ଶ

89








8) Conclure

90






91







92





tp5-6




Exemples


EXEMPLE 13



Remarque



8





EXEMPLE 14


sys1 =

1 ------------- s^2 + 4 s + 4


B SIMULINK

II1 PRESENTATION


domaine temporel



drsquoassembler





9





10











aucune entreacutee


11














scalaire)





Laplace)








unique vectorielle




12




















13






EXEMPLE 15


avec

119896119896 = 5 et 120591120591 = 2119904119904







14




15




16










help sin

help plot


17










Tableau 1








REMARQUE


18




Exercice 1


y=sin(t) t le temps



Exercice 2





Calculer 119889119889119904119904(119905119905) 119889119889119905119905


Exercice 3


1198651198651(119901119901) =1

119901119901 + 6

1198651198652(119901119901) =119901119901 + 2

119901119901(119901119901 minus 5)

1198651198653(119901119901) = 7(119901119901 + 9)

1199011199012 + 2119901119901 + 5

1198651198654(119901119901) = 5(119901119901 minus 7)

1199011199012 + 099119901119901 + 04

19




Exercice 4



Exercice 5


1199041199041(119901119901) = 3119901119901+11199011199012+8119901119901+3

1199041199042(119901119901) = 5119901119901(1199011199012+1199081199082)

1199041199043(119901119901) = 119890119890minus120587120587119901119901 1199041199044(119901119901) = ln(5 + 1199081199082

1199011199012 ) w constante










20







Exemple





21





Exercice 6





Exercice 7


22







23






24






II21 MISE EN SERIE

EXEMPLE 1


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



()ଵܨ =1

+ 1()ଶܨݐ =

+ 2


F1 =1

-----s + 1



F2 =s + 2

-----s


s + 2-------s^2 + s


F =s + 2

-------s^2 + s






EXEMPLE 2


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2

26








II23 BOUCLAGE



ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଶܨଵܨ) )

EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2



Remarque


F=feedback(F1F2)F =

s-------------s^2 + 2 s + 2


27






ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଵܨ) 1 )

EXEMPLE 3



F =

1-----s + 2


(p)

28




ଵ(p)ܨ =1

+ 1 ଶ(p)ܨ =

+ 2

ଷ(p)ܨ =

+ 1 ସ(p)ܨ =

+ 2

+ 5

num1=[1]den1=[1 1]

F1=tf(num1den1)F1 =

1-----s + 1


num2=[1 2]den2=[1 0]

F2=tf(num2den2)F2 =

s + 2-----



s-----s + 1


s + 2-----s + 5


s + 2-------s^2 + s


s^2 + 2 s-------------s^2 + 6 s + 5


s^3 + 8 s^2 + 17 s + 10--------------------------s^4 + 8 s^3 + 15 s^2 + 9 s









Exercice 1



()ଵܩ =60

ଶ5 + +2 1 ()ଶܩ =

120

+ 4

Figure1

30




Exercice 2


Figure 2



Exercice 3


Avec


-

-A- -B

Figure 3

()ܣ =1

()ܤ = ()ܥ =

1

ଶ


31




Exercice 4





Exercice 5


Figure 4




32






Exercice 6


A

vec

Figure 6

()ܣ =

+ 1()ܤ = ()ܥ =

1

()ܦ =

1

ଶ

33





34





et Simulink

Objectifs











ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



35





et Simulink

pS(p) + S(p) = k E(p)

()ܩ =()

()ܧ=

1 +



() =


(ݐ)ݏ =

ఛష

ഓ ( tge 0)


F


36





et Simulink


()ܧ =1

drsquoougrave

() =

(1 + (

1



ഓቁ (tge 0)

Figure (2


37





et Simulink





ܦ = ௫ minus


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ










38




et Simulink

Systegraveme 119919119919(119953119953) =

119948119948120783120783 + 120649120649119953119953



(119890119890(119905119905) minus 119904119904(119905119905))


119890119890(119905119905) = 119905119905 119905119905119890119890(119905119905) 119864119864(119901119901) =

1199051199051199011199012

119878119878(119901119901) =119905119905119886119886

1199011199012(1 + 120591120591119901119901)= 119886119886(

1199051199051199011199012 minus

119905119905120591120591119901119901

+1199051199051205911205912

1 + 120591120591119901119901)

119904119904(119905119905) = 119905119905119886119886 1 minus 120591120591 + 120591120591119890119890minus119905119905120591120591 t ge 0


11990511990511989011989010 = 23 120591120591


1199051199051198901198905 = 3 120591120591



Remarque


39





et Simulink


EXEMPLE 1


()ܩ =2


()ܩ =

1 + =

1 + ݒ = 2 =ݐ = 7


step(G)

impulse(G)


plot(ty) 40





et Simulink




41





et Simulink

Exemple1 Suite








42





et Simulink


D=0



0 10 20 30 40 50 60 700

02

04

06

08

1

12

14

16

18

2Step Response

Time (seconds)

Amplitude

43





et Simulink


str =18991 (asymp 19 = ((5ݎݐ)ݏ



44





et Simulink


str =17981 asymp 18 = (10ݎݐ)ݏ

45





et Simulink



t1 =07464

st1 =02081

tm= 161730 -07464=1542 s

46





et Simulink


tr5 = 30 x = 7ݔ3 = ݏ21

tr10 = 23 x = 7ݔ23 = ݏ161

tm=22 x = 7ݔ22 = ݏ154


1

ଶݓଶݏ

ଶݐ+

ߦ2

ݓ

ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



1

ଶݓ() +

ߦ2

ݓ() + () = ()ܧ

ݏ ∶ݐ ()ܩ =()

()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1



47





et Simulink


=

)ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1)


On a ∆ =ଶߦ4

ଶݓminus

4

ଶݓ=

4



Dans ce cas on a


k


మଵቁ୲ቃ

0 t lt 0

t ge 0


Figure (4) Reacute


On a ∆= 0

Dans ce cas


drsquoamortissement


⟺ =ߦ 1

on a

48





et Simulink

(ݐ)ݏ = ൜ ݑ(ݐ) minus (1 + (ݐݓ

௪௧ t ge 00 gtݐ 0



Dans ce cas on a


క


0 gtݐ 0

ltݐ 0




49





et Simulink


T =2π

ݓ=

2π

ඥ1ݓ minus ଶߦ










50





et Simulink



()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

1gtߦ leߦ 1


(గక

ඥଵకమ)

0


minusඥ ߦ ND


ߦminusඥ) (ߦ



ߦminusඥ) (ߦ


EXEMPLE 2




Deacuteterminer



3) la valeur finale



51





et Simulink

0 02 04 06 08 1 12 140

05

1

15

2

25

3Step Response

Time (seconds)

Amplitude


sys =200

-----------------s^2 + 75 s + 100


step(sys)grid on

52





et Simulink



Vous aurez


53





et Simulink

amplitude =





temps =13751 s

54





et Simulink


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ

ܦ = ൬ 25575 minus 19984

19984100൰ݔ = 0279 asymp 28


tହ = minus1


ହݐ = minus1





|()| ≪ ห ()ห ne


55





et Simulink



imaginaires

EXEMPLE 3


()ܪ =6



()ܪ = ൬30

4൰(

1

+5 1) minus ൬

6

4൰(

1


syms ss=tf(s)

s =s


H =6

---------------5 s^2 + 6 s + 1


h1 =15

-----s + 1


h2 =75

-------5 s + 1


56





et Simulink





temps τ2= 5

pz

hold off

pzmap(H)


57





et Simulink

58





et Simulink



Matlab et Simulink

Objectifs



Exercice 1






Exercice 2


F(p) =25




Exercice 3


59





et Simulink

()ܪ =

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

Avec k=1 =ݓ 1rds







k=1



()ܩ =132

ଷ + ଶ29 + +160 132


60





et Simulink



61





et Simulink


62




Objectifs






distingue










63

















()ܪ =

1 + =

1

1 + 2 10

)ܪ (ݓ =1

1 + 2 10ݓ

)ܪ| |(ݓ =1

ට1 + (ݓݓ

)ଶAvec ݓ =

1

2 10rds

)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ|ܪ( |(ݓ = 20 ଵ

1

ඥ1 + 2ݓ) 10)ଶ

64




)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ

1

ට1 + (ݓݓ

)ଶ Avec ݓ =

1

2 10rds

= ݎܣminus ݐ (ݓ

ݓ)



Pour ݓ rarrଵ

ఛ (ݓ) = minus

గ

ସ


ଶ


sys =

1-----------2e-06 s + 1


bode(sys)grid on

65





()ܪ =

1 +

)ܪ (ݓ =1

1 + ݓ=

1

1 + ( ଶ(ݓ+

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ

=1

1 + ( ଶ(ݓݐ =

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ


)ܪ (ݓ = +

ଶݕ + ( minusݔ1

2)ଶ = (

1

2)ଶ


ଶ) et de centre (

ଵ

ଶ 0 )


-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Magnitude

(dB)

104

105

106

107

-90

-45

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

66




nyquist(sys)

axis([0 1 -05 0])

67




Exemple 2



()ܩ =2

(

100+ 1)ଷ







Nichols


sys1 =2

----------001 s + 1



1----------001 s + 1



1----------001 s + 1


sys =2

-----------------------------------1e-06 s^3 + 00003 s^2 + 003 s + 1

68




margin(s

correspon


-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

10-270

-180

-90

0

Phase(deg)

bode (sys)

grid on

110

210

3

Bode Diagram

Frequency (rads)

margin(sys)

grid on



) respectivement

69




-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

101

102

103

-270

-180

-90

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

nyquist (sys)

grid on

70




-1 -05 0 05 1 15 2-15

-1

-05

0

05

1

15Nyquist Diagram

Real Axis

ImaginaryAx

is

nichols(sys)

grid on

71




-270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Nichols Chart


Open-Loop

Gain(dB)

72




Objectifs


Exercice 1


ଽ୮ାହ






() =ܭ

(5 + ଵ9)( + ଶ)






4) conclure

73




Exercice 3







74






75






5 - STABILITE


Exemple 1

()ܪ =minus)2 4)



num=[2 -8]den=[1 4 3]


76





Exemple 2

()ܪ =5



ଶ


-3 -2 -1 0 1 2 3 4-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

Real Part

ImaginaryPart

PoleZero Plot


77







()ிܨ =()

ଵ+ ݒ ଵ gt 0


ଵ = minusబ

భݏ ଵ lt 0


()ிܨ =()



൝ (ଵ) lt 0

ݐ (ଶ) lt 0


() =15

3 + 2

+ +3 1

-15 -1 -05 0 05 1 15

-1

-08

-06

-04

-02

0

02

04

06

08

1

Real Part

ImaginaryPa

rt

4 2

PoleZero Plot

78





()ܪ =20

3 + 2

+ +3 5








-03194 + 16332i-03194 - 16332i-03611 + 00000i


ans =

02013 + 18773i02013 - 18773i

-14026 + 00000i


79








Anneacutee













80








Anneacutee


81







Remarque


82












O

E

f



ɛ() = ()

1 + ()ܪ()ܥ


inale

ɛ = lim௧rarrஶ

[ɛ(ݐ)] = limrarr

[()ɛ] = limrarr

] ()

1 + ()ܪ()ܥ]

83





lrsquoeacutecart




(ݐ)ݓ = ܣ (ݐ)ݑ ݐ () =

A constante


62 Ecart de vitesse


(ݐ)ݓ = (ݐ)ݑݐ ݐ () =

మb constante




(ݐ)ݓ = ଶݐ (ݐ)ݑ ݐ () =

యc constante


()ܪ()ܥ =ܭ

()

Remarque





84




Entreacutee



() =ܣ

A constante


() =

ଶ

b constante


() =

ଷ

c constante

α = 0 ɛ௦ =

ܣ

1 + ܭ


ߙ = 1 ɛ௦=0 ɛ௩=

ɛ rarr infin

α = 2 ɛ௦=0 ɛ௩=0 ɛ =

ܭ

7

Remarque





()ܥ =

1 +

1 + gt 1


85














Anneacutee




86







௫ = ݎ ݏminus 1

+ 1ݎ

௫ gt 0


ݓ ௫ =1

radic









ݓ ௫ =1

radic= ݓ


Ceci deacutecale la




()

()ܧ=

1

1 +

1 +

avec = 1 +ோభ

ோమ

et =ோభ ோమ

ோభ ାோమ

87






Exercice 1


()ܩ =

+) +)(1 2)ݒ gt 0




Exercice 2


()1000

+) 10)ଶ



Exercice 3


88




pour ∶ A = 1 et ()ܤ =008

+20) 1)ଶ








corresponphase sa


()ܩ =3536

ଷ + ଶ15 + +75 125



()ܥ =

1 +

1 + gt 1



()ܩ =100

+) 1)ଶ

89








8) Conclure

90






91







92





tp5-6





EXEMPLE 14


sys1 =

1 ------------- s^2 + 4 s + 4


B SIMULINK

II1 PRESENTATION


domaine temporel



drsquoassembler





9





10











aucune entreacutee


11














scalaire)





Laplace)








unique vectorielle




12




















13






EXEMPLE 15


avec

119896119896 = 5 et 120591120591 = 2119904119904







14




15




16










help sin

help plot


17










Tableau 1








REMARQUE


18




Exercice 1


y=sin(t) t le temps



Exercice 2





Calculer 119889119889119904119904(119905119905) 119889119889119905119905


Exercice 3


1198651198651(119901119901) =1

119901119901 + 6

1198651198652(119901119901) =119901119901 + 2

119901119901(119901119901 minus 5)

1198651198653(119901119901) = 7(119901119901 + 9)

1199011199012 + 2119901119901 + 5

1198651198654(119901119901) = 5(119901119901 minus 7)

1199011199012 + 099119901119901 + 04

19




Exercice 4



Exercice 5


1199041199041(119901119901) = 3119901119901+11199011199012+8119901119901+3

1199041199042(119901119901) = 5119901119901(1199011199012+1199081199082)

1199041199043(119901119901) = 119890119890minus120587120587119901119901 1199041199044(119901119901) = ln(5 + 1199081199082

1199011199012 ) w constante










20







Exemple





21





Exercice 6





Exercice 7


22







23






24






II21 MISE EN SERIE

EXEMPLE 1


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



()ଵܨ =1

+ 1()ଶܨݐ =

+ 2


F1 =1

-----s + 1



F2 =s + 2

-----s


s + 2-------s^2 + s


F =s + 2

-------s^2 + s






EXEMPLE 2


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2

26








II23 BOUCLAGE



ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଶܨଵܨ) )

EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2



Remarque


F=feedback(F1F2)F =

s-------------s^2 + 2 s + 2


27






ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଵܨ) 1 )

EXEMPLE 3



F =

1-----s + 2


(p)

28




ଵ(p)ܨ =1

+ 1 ଶ(p)ܨ =

+ 2

ଷ(p)ܨ =

+ 1 ସ(p)ܨ =

+ 2

+ 5

num1=[1]den1=[1 1]

F1=tf(num1den1)F1 =

1-----s + 1


num2=[1 2]den2=[1 0]

F2=tf(num2den2)F2 =

s + 2-----



s-----s + 1


s + 2-----s + 5


s + 2-------s^2 + s


s^2 + 2 s-------------s^2 + 6 s + 5


s^3 + 8 s^2 + 17 s + 10--------------------------s^4 + 8 s^3 + 15 s^2 + 9 s









Exercice 1



()ଵܩ =60

ଶ5 + +2 1 ()ଶܩ =

120

+ 4

Figure1

30




Exercice 2


Figure 2



Exercice 3


Avec


-

-A- -B

Figure 3

()ܣ =1

()ܤ = ()ܥ =

1

ଶ


31




Exercice 4





Exercice 5


Figure 4




32






Exercice 6


A

vec

Figure 6

()ܣ =

+ 1()ܤ = ()ܥ =

1

()ܦ =

1

ଶ

33





34





et Simulink

Objectifs











ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



35





et Simulink

pS(p) + S(p) = k E(p)

()ܩ =()

()ܧ=

1 +



() =


(ݐ)ݏ =

ఛష

ഓ ( tge 0)


F


36





et Simulink


()ܧ =1

drsquoougrave

() =

(1 + (

1



ഓቁ (tge 0)

Figure (2


37





et Simulink





ܦ = ௫ minus


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ










38




et Simulink

Systegraveme 119919119919(119953119953) =

119948119948120783120783 + 120649120649119953119953



(119890119890(119905119905) minus 119904119904(119905119905))


119890119890(119905119905) = 119905119905 119905119905119890119890(119905119905) 119864119864(119901119901) =

1199051199051199011199012

119878119878(119901119901) =119905119905119886119886

1199011199012(1 + 120591120591119901119901)= 119886119886(

1199051199051199011199012 minus

119905119905120591120591119901119901

+1199051199051205911205912

1 + 120591120591119901119901)

119904119904(119905119905) = 119905119905119886119886 1 minus 120591120591 + 120591120591119890119890minus119905119905120591120591 t ge 0


11990511990511989011989010 = 23 120591120591


1199051199051198901198905 = 3 120591120591



Remarque


39





et Simulink


EXEMPLE 1


()ܩ =2


()ܩ =

1 + =

1 + ݒ = 2 =ݐ = 7


step(G)

impulse(G)


plot(ty) 40





et Simulink




41





et Simulink

Exemple1 Suite








42





et Simulink


D=0



0 10 20 30 40 50 60 700

02

04

06

08

1

12

14

16

18

2Step Response

Time (seconds)

Amplitude

43





et Simulink


str =18991 (asymp 19 = ((5ݎݐ)ݏ



44





et Simulink


str =17981 asymp 18 = (10ݎݐ)ݏ

45





et Simulink



t1 =07464

st1 =02081

tm= 161730 -07464=1542 s

46





et Simulink


tr5 = 30 x = 7ݔ3 = ݏ21

tr10 = 23 x = 7ݔ23 = ݏ161

tm=22 x = 7ݔ22 = ݏ154


1

ଶݓଶݏ

ଶݐ+

ߦ2

ݓ

ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



1

ଶݓ() +

ߦ2

ݓ() + () = ()ܧ

ݏ ∶ݐ ()ܩ =()

()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1



47





et Simulink


=

)ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1)


On a ∆ =ଶߦ4

ଶݓminus

4

ଶݓ=

4



Dans ce cas on a


k


మଵቁ୲ቃ

0 t lt 0

t ge 0


Figure (4) Reacute


On a ∆= 0

Dans ce cas


drsquoamortissement


⟺ =ߦ 1

on a

48





et Simulink

(ݐ)ݏ = ൜ ݑ(ݐ) minus (1 + (ݐݓ

௪௧ t ge 00 gtݐ 0



Dans ce cas on a


క


0 gtݐ 0

ltݐ 0




49





et Simulink


T =2π

ݓ=

2π

ඥ1ݓ minus ଶߦ










50





et Simulink



()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

1gtߦ leߦ 1


(గక

ඥଵకమ)

0


minusඥ ߦ ND


ߦminusඥ) (ߦ



ߦminusඥ) (ߦ


EXEMPLE 2




Deacuteterminer



3) la valeur finale



51





et Simulink

0 02 04 06 08 1 12 140

05

1

15

2

25

3Step Response

Time (seconds)

Amplitude


sys =200

-----------------s^2 + 75 s + 100


step(sys)grid on

52





et Simulink



Vous aurez


53





et Simulink

amplitude =





temps =13751 s

54





et Simulink


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ

ܦ = ൬ 25575 minus 19984

19984100൰ݔ = 0279 asymp 28


tହ = minus1


ହݐ = minus1





|()| ≪ ห ()ห ne


55





et Simulink



imaginaires

EXEMPLE 3


()ܪ =6



()ܪ = ൬30

4൰(

1

+5 1) minus ൬

6

4൰(

1


syms ss=tf(s)

s =s


H =6

---------------5 s^2 + 6 s + 1


h1 =15

-----s + 1


h2 =75

-------5 s + 1


56





et Simulink





temps τ2= 5

pz

hold off

pzmap(H)


57





et Simulink

58





et Simulink



Matlab et Simulink

Objectifs



Exercice 1






Exercice 2


F(p) =25




Exercice 3


59





et Simulink

()ܪ =

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

Avec k=1 =ݓ 1rds







k=1



()ܩ =132

ଷ + ଶ29 + +160 132


60





et Simulink



61





et Simulink


62




Objectifs






distingue










63

















()ܪ =

1 + =

1

1 + 2 10

)ܪ (ݓ =1

1 + 2 10ݓ

)ܪ| |(ݓ =1

ට1 + (ݓݓ

)ଶAvec ݓ =

1

2 10rds

)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ|ܪ( |(ݓ = 20 ଵ

1

ඥ1 + 2ݓ) 10)ଶ

64




)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ

1

ට1 + (ݓݓ

)ଶ Avec ݓ =

1

2 10rds

= ݎܣminus ݐ (ݓ

ݓ)



Pour ݓ rarrଵ

ఛ (ݓ) = minus

గ

ସ


ଶ


sys =

1-----------2e-06 s + 1


bode(sys)grid on

65





()ܪ =

1 +

)ܪ (ݓ =1

1 + ݓ=

1

1 + ( ଶ(ݓ+

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ

=1

1 + ( ଶ(ݓݐ =

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ


)ܪ (ݓ = +

ଶݕ + ( minusݔ1

2)ଶ = (

1

2)ଶ


ଶ) et de centre (

ଵ

ଶ 0 )


-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Magnitude

(dB)

104

105

106

107

-90

-45

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

66




nyquist(sys)

axis([0 1 -05 0])

67




Exemple 2



()ܩ =2

(

100+ 1)ଷ







Nichols


sys1 =2

----------001 s + 1



1----------001 s + 1



1----------001 s + 1


sys =2

-----------------------------------1e-06 s^3 + 00003 s^2 + 003 s + 1

68




margin(s

correspon


-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

10-270

-180

-90

0

Phase(deg)

bode (sys)

grid on

110

210

3

Bode Diagram

Frequency (rads)

margin(sys)

grid on



) respectivement

69




-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

101

102

103

-270

-180

-90

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

nyquist (sys)

grid on

70




-1 -05 0 05 1 15 2-15

-1

-05

0

05

1

15Nyquist Diagram

Real Axis

ImaginaryAx

is

nichols(sys)

grid on

71




-270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Nichols Chart


Open-Loop

Gain(dB)

72




Objectifs


Exercice 1


ଽ୮ାହ






() =ܭ

(5 + ଵ9)( + ଶ)






4) conclure

73




Exercice 3







74






75






5 - STABILITE


Exemple 1

()ܪ =minus)2 4)



num=[2 -8]den=[1 4 3]


76





Exemple 2

()ܪ =5



ଶ


-3 -2 -1 0 1 2 3 4-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

Real Part

ImaginaryPart

PoleZero Plot


77







()ிܨ =()

ଵ+ ݒ ଵ gt 0


ଵ = minusబ

భݏ ଵ lt 0


()ிܨ =()



൝ (ଵ) lt 0

ݐ (ଶ) lt 0


() =15

3 + 2

+ +3 1

-15 -1 -05 0 05 1 15

-1

-08

-06

-04

-02

0

02

04

06

08

1

Real Part

ImaginaryPa

rt

4 2

PoleZero Plot

78





()ܪ =20

3 + 2

+ +3 5








-03194 + 16332i-03194 - 16332i-03611 + 00000i


ans =

02013 + 18773i02013 - 18773i

-14026 + 00000i


79








Anneacutee













80








Anneacutee


81







Remarque


82












O

E

f



ɛ() = ()

1 + ()ܪ()ܥ


inale

ɛ = lim௧rarrஶ

[ɛ(ݐ)] = limrarr

[()ɛ] = limrarr

] ()

1 + ()ܪ()ܥ]

83





lrsquoeacutecart




(ݐ)ݓ = ܣ (ݐ)ݑ ݐ () =

A constante


62 Ecart de vitesse


(ݐ)ݓ = (ݐ)ݑݐ ݐ () =

మb constante




(ݐ)ݓ = ଶݐ (ݐ)ݑ ݐ () =

యc constante


()ܪ()ܥ =ܭ

()

Remarque





84




Entreacutee



() =ܣ

A constante


() =

ଶ

b constante


() =

ଷ

c constante

α = 0 ɛ௦ =

ܣ

1 + ܭ


ߙ = 1 ɛ௦=0 ɛ௩=

ɛ rarr infin

α = 2 ɛ௦=0 ɛ௩=0 ɛ =

ܭ

7

Remarque





()ܥ =

1 +

1 + gt 1


85














Anneacutee




86







௫ = ݎ ݏminus 1

+ 1ݎ

௫ gt 0


ݓ ௫ =1

radic









ݓ ௫ =1

radic= ݓ


Ceci deacutecale la




()

()ܧ=

1

1 +

1 +

avec = 1 +ோభ

ோమ

et =ோభ ோమ

ோభ ାோమ

87






Exercice 1


()ܩ =

+) +)(1 2)ݒ gt 0




Exercice 2


()1000

+) 10)ଶ



Exercice 3


88




pour ∶ A = 1 et ()ܤ =008

+20) 1)ଶ








corresponphase sa


()ܩ =3536

ଷ + ଶ15 + +75 125



()ܥ =

1 +

1 + gt 1



()ܩ =100

+) 1)ଶ

89








8) Conclure

90






91







92





tp5-6





10











aucune entreacutee


11














scalaire)





Laplace)








unique vectorielle




12




















13






EXEMPLE 15


avec

119896119896 = 5 et 120591120591 = 2119904119904







14




15




16










help sin

help plot


17










Tableau 1








REMARQUE


18




Exercice 1


y=sin(t) t le temps



Exercice 2





Calculer 119889119889119904119904(119905119905) 119889119889119905119905


Exercice 3


1198651198651(119901119901) =1

119901119901 + 6

1198651198652(119901119901) =119901119901 + 2

119901119901(119901119901 minus 5)

1198651198653(119901119901) = 7(119901119901 + 9)

1199011199012 + 2119901119901 + 5

1198651198654(119901119901) = 5(119901119901 minus 7)

1199011199012 + 099119901119901 + 04

19




Exercice 4



Exercice 5


1199041199041(119901119901) = 3119901119901+11199011199012+8119901119901+3

1199041199042(119901119901) = 5119901119901(1199011199012+1199081199082)

1199041199043(119901119901) = 119890119890minus120587120587119901119901 1199041199044(119901119901) = ln(5 + 1199081199082

1199011199012 ) w constante










20







Exemple





21





Exercice 6





Exercice 7


22







23






24






II21 MISE EN SERIE

EXEMPLE 1


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



()ଵܨ =1

+ 1()ଶܨݐ =

+ 2


F1 =1

-----s + 1



F2 =s + 2

-----s


s + 2-------s^2 + s


F =s + 2

-------s^2 + s






EXEMPLE 2


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2

26








II23 BOUCLAGE



ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଶܨଵܨ) )

EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2



Remarque


F=feedback(F1F2)F =

s-------------s^2 + 2 s + 2


27






ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଵܨ) 1 )

EXEMPLE 3



F =

1-----s + 2


(p)

28




ଵ(p)ܨ =1

+ 1 ଶ(p)ܨ =

+ 2

ଷ(p)ܨ =

+ 1 ସ(p)ܨ =

+ 2

+ 5

num1=[1]den1=[1 1]

F1=tf(num1den1)F1 =

1-----s + 1


num2=[1 2]den2=[1 0]

F2=tf(num2den2)F2 =

s + 2-----



s-----s + 1


s + 2-----s + 5


s + 2-------s^2 + s


s^2 + 2 s-------------s^2 + 6 s + 5


s^3 + 8 s^2 + 17 s + 10--------------------------s^4 + 8 s^3 + 15 s^2 + 9 s









Exercice 1



()ଵܩ =60

ଶ5 + +2 1 ()ଶܩ =

120

+ 4

Figure1

30




Exercice 2


Figure 2



Exercice 3


Avec


-

-A- -B

Figure 3

()ܣ =1

()ܤ = ()ܥ =

1

ଶ


31




Exercice 4





Exercice 5


Figure 4




32






Exercice 6


A

vec

Figure 6

()ܣ =

+ 1()ܤ = ()ܥ =

1

()ܦ =

1

ଶ

33





34





et Simulink

Objectifs











ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



35





et Simulink

pS(p) + S(p) = k E(p)

()ܩ =()

()ܧ=

1 +



() =


(ݐ)ݏ =

ఛష

ഓ ( tge 0)


F


36





et Simulink


()ܧ =1

drsquoougrave

() =

(1 + (

1



ഓቁ (tge 0)

Figure (2


37





et Simulink





ܦ = ௫ minus


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ










38




et Simulink

Systegraveme 119919119919(119953119953) =

119948119948120783120783 + 120649120649119953119953



(119890119890(119905119905) minus 119904119904(119905119905))


119890119890(119905119905) = 119905119905 119905119905119890119890(119905119905) 119864119864(119901119901) =

1199051199051199011199012

119878119878(119901119901) =119905119905119886119886

1199011199012(1 + 120591120591119901119901)= 119886119886(

1199051199051199011199012 minus

119905119905120591120591119901119901

+1199051199051205911205912

1 + 120591120591119901119901)

119904119904(119905119905) = 119905119905119886119886 1 minus 120591120591 + 120591120591119890119890minus119905119905120591120591 t ge 0


11990511990511989011989010 = 23 120591120591


1199051199051198901198905 = 3 120591120591



Remarque


39





et Simulink


EXEMPLE 1


()ܩ =2


()ܩ =

1 + =

1 + ݒ = 2 =ݐ = 7


step(G)

impulse(G)


plot(ty) 40





et Simulink




41





et Simulink

Exemple1 Suite








42





et Simulink


D=0



0 10 20 30 40 50 60 700

02

04

06

08

1

12

14

16

18

2Step Response

Time (seconds)

Amplitude

43





et Simulink


str =18991 (asymp 19 = ((5ݎݐ)ݏ



44





et Simulink


str =17981 asymp 18 = (10ݎݐ)ݏ

45





et Simulink



t1 =07464

st1 =02081

tm= 161730 -07464=1542 s

46





et Simulink


tr5 = 30 x = 7ݔ3 = ݏ21

tr10 = 23 x = 7ݔ23 = ݏ161

tm=22 x = 7ݔ22 = ݏ154


1

ଶݓଶݏ

ଶݐ+

ߦ2

ݓ

ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



1

ଶݓ() +

ߦ2

ݓ() + () = ()ܧ

ݏ ∶ݐ ()ܩ =()

()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1



47





et Simulink


=

)ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1)


On a ∆ =ଶߦ4

ଶݓminus

4

ଶݓ=

4



Dans ce cas on a


k


మଵቁ୲ቃ

0 t lt 0

t ge 0


Figure (4) Reacute


On a ∆= 0

Dans ce cas


drsquoamortissement


⟺ =ߦ 1

on a

48





et Simulink

(ݐ)ݏ = ൜ ݑ(ݐ) minus (1 + (ݐݓ

௪௧ t ge 00 gtݐ 0



Dans ce cas on a


క


0 gtݐ 0

ltݐ 0




49





et Simulink


T =2π

ݓ=

2π

ඥ1ݓ minus ଶߦ










50





et Simulink



()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

1gtߦ leߦ 1


(గక

ඥଵకమ)

0


minusඥ ߦ ND


ߦminusඥ) (ߦ



ߦminusඥ) (ߦ


EXEMPLE 2




Deacuteterminer



3) la valeur finale



51





et Simulink

0 02 04 06 08 1 12 140

05

1

15

2

25

3Step Response

Time (seconds)

Amplitude


sys =200

-----------------s^2 + 75 s + 100


step(sys)grid on

52





et Simulink



Vous aurez


53





et Simulink

amplitude =





temps =13751 s

54





et Simulink


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ

ܦ = ൬ 25575 minus 19984

19984100൰ݔ = 0279 asymp 28


tହ = minus1


ହݐ = minus1





|()| ≪ ห ()ห ne


55





et Simulink



imaginaires

EXEMPLE 3


()ܪ =6



()ܪ = ൬30

4൰(

1

+5 1) minus ൬

6

4൰(

1


syms ss=tf(s)

s =s


H =6

---------------5 s^2 + 6 s + 1


h1 =15

-----s + 1


h2 =75

-------5 s + 1


56





et Simulink





temps τ2= 5

pz

hold off

pzmap(H)


57





et Simulink

58





et Simulink



Matlab et Simulink

Objectifs



Exercice 1






Exercice 2


F(p) =25




Exercice 3


59





et Simulink

()ܪ =

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

Avec k=1 =ݓ 1rds







k=1



()ܩ =132

ଷ + ଶ29 + +160 132


60





et Simulink



61





et Simulink


62




Objectifs






distingue










63

















()ܪ =

1 + =

1

1 + 2 10

)ܪ (ݓ =1

1 + 2 10ݓ

)ܪ| |(ݓ =1

ට1 + (ݓݓ

)ଶAvec ݓ =

1

2 10rds

)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ|ܪ( |(ݓ = 20 ଵ

1

ඥ1 + 2ݓ) 10)ଶ

64




)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ

1

ට1 + (ݓݓ

)ଶ Avec ݓ =

1

2 10rds

= ݎܣminus ݐ (ݓ

ݓ)



Pour ݓ rarrଵ

ఛ (ݓ) = minus

గ

ସ


ଶ


sys =

1-----------2e-06 s + 1


bode(sys)grid on

65





()ܪ =

1 +

)ܪ (ݓ =1

1 + ݓ=

1

1 + ( ଶ(ݓ+

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ

=1

1 + ( ଶ(ݓݐ =

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ


)ܪ (ݓ = +

ଶݕ + ( minusݔ1

2)ଶ = (

1

2)ଶ


ଶ) et de centre (

ଵ

ଶ 0 )


-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Magnitude

(dB)

104

105

106

107

-90

-45

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

66




nyquist(sys)

axis([0 1 -05 0])

67




Exemple 2



()ܩ =2

(

100+ 1)ଷ







Nichols


sys1 =2

----------001 s + 1



1----------001 s + 1



1----------001 s + 1


sys =2

-----------------------------------1e-06 s^3 + 00003 s^2 + 003 s + 1

68




margin(s

correspon


-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

10-270

-180

-90

0

Phase(deg)

bode (sys)

grid on

110

210

3

Bode Diagram

Frequency (rads)

margin(sys)

grid on



) respectivement

69




-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

101

102

103

-270

-180

-90

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

nyquist (sys)

grid on

70




-1 -05 0 05 1 15 2-15

-1

-05

0

05

1

15Nyquist Diagram

Real Axis

ImaginaryAx

is

nichols(sys)

grid on

71




-270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Nichols Chart


Open-Loop

Gain(dB)

72




Objectifs


Exercice 1


ଽ୮ାହ






() =ܭ

(5 + ଵ9)( + ଶ)






4) conclure

73




Exercice 3







74






75






5 - STABILITE


Exemple 1

()ܪ =minus)2 4)



num=[2 -8]den=[1 4 3]


76





Exemple 2

()ܪ =5



ଶ


-3 -2 -1 0 1 2 3 4-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

Real Part

ImaginaryPart

PoleZero Plot


77







()ிܨ =()

ଵ+ ݒ ଵ gt 0


ଵ = minusబ

భݏ ଵ lt 0


()ிܨ =()



൝ (ଵ) lt 0

ݐ (ଶ) lt 0


() =15

3 + 2

+ +3 1

-15 -1 -05 0 05 1 15

-1

-08

-06

-04

-02

0

02

04

06

08

1

Real Part

ImaginaryPa

rt

4 2

PoleZero Plot

78





()ܪ =20

3 + 2

+ +3 5








-03194 + 16332i-03194 - 16332i-03611 + 00000i


ans =

02013 + 18773i02013 - 18773i

-14026 + 00000i


79








Anneacutee













80








Anneacutee


81







Remarque


82












O

E

f



ɛ() = ()

1 + ()ܪ()ܥ


inale

ɛ = lim௧rarrஶ

[ɛ(ݐ)] = limrarr

[()ɛ] = limrarr

] ()

1 + ()ܪ()ܥ]

83





lrsquoeacutecart




(ݐ)ݓ = ܣ (ݐ)ݑ ݐ () =

A constante


62 Ecart de vitesse


(ݐ)ݓ = (ݐ)ݑݐ ݐ () =

మb constante




(ݐ)ݓ = ଶݐ (ݐ)ݑ ݐ () =

యc constante


()ܪ()ܥ =ܭ

()

Remarque





84




Entreacutee



() =ܣ

A constante


() =

ଶ

b constante


() =

ଷ

c constante

α = 0 ɛ௦ =

ܣ

1 + ܭ


ߙ = 1 ɛ௦=0 ɛ௩=

ɛ rarr infin

α = 2 ɛ௦=0 ɛ௩=0 ɛ =

ܭ

7

Remarque





()ܥ =

1 +

1 + gt 1


85














Anneacutee




86







௫ = ݎ ݏminus 1

+ 1ݎ

௫ gt 0


ݓ ௫ =1

radic









ݓ ௫ =1

radic= ݓ


Ceci deacutecale la




()

()ܧ=

1

1 +

1 +

avec = 1 +ோభ

ோమ

et =ோభ ோమ

ோభ ାோమ

87






Exercice 1


()ܩ =

+) +)(1 2)ݒ gt 0




Exercice 2


()1000

+) 10)ଶ



Exercice 3


88




pour ∶ A = 1 et ()ܤ =008

+20) 1)ଶ








corresponphase sa


()ܩ =3536

ଷ + ଶ15 + +75 125



()ܥ =

1 +

1 + gt 1



()ܩ =100

+) 1)ଶ

89








8) Conclure

90






91







92





tp5-6











aucune entreacutee


11














scalaire)





Laplace)








unique vectorielle




12




















13






EXEMPLE 15


avec

119896119896 = 5 et 120591120591 = 2119904119904







14




15




16










help sin

help plot


17










Tableau 1








REMARQUE


18




Exercice 1


y=sin(t) t le temps



Exercice 2





Calculer 119889119889119904119904(119905119905) 119889119889119905119905


Exercice 3


1198651198651(119901119901) =1

119901119901 + 6

1198651198652(119901119901) =119901119901 + 2

119901119901(119901119901 minus 5)

1198651198653(119901119901) = 7(119901119901 + 9)

1199011199012 + 2119901119901 + 5

1198651198654(119901119901) = 5(119901119901 minus 7)

1199011199012 + 099119901119901 + 04

19




Exercice 4



Exercice 5


1199041199041(119901119901) = 3119901119901+11199011199012+8119901119901+3

1199041199042(119901119901) = 5119901119901(1199011199012+1199081199082)

1199041199043(119901119901) = 119890119890minus120587120587119901119901 1199041199044(119901119901) = ln(5 + 1199081199082

1199011199012 ) w constante










20







Exemple





21





Exercice 6





Exercice 7


22







23






24






II21 MISE EN SERIE

EXEMPLE 1


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



()ଵܨ =1

+ 1()ଶܨݐ =

+ 2


F1 =1

-----s + 1



F2 =s + 2

-----s


s + 2-------s^2 + s


F =s + 2

-------s^2 + s






EXEMPLE 2


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2

26








II23 BOUCLAGE



ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଶܨଵܨ) )

EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2



Remarque


F=feedback(F1F2)F =

s-------------s^2 + 2 s + 2


27






ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଵܨ) 1 )

EXEMPLE 3



F =

1-----s + 2


(p)

28




ଵ(p)ܨ =1

+ 1 ଶ(p)ܨ =

+ 2

ଷ(p)ܨ =

+ 1 ସ(p)ܨ =

+ 2

+ 5

num1=[1]den1=[1 1]

F1=tf(num1den1)F1 =

1-----s + 1


num2=[1 2]den2=[1 0]

F2=tf(num2den2)F2 =

s + 2-----



s-----s + 1


s + 2-----s + 5


s + 2-------s^2 + s


s^2 + 2 s-------------s^2 + 6 s + 5


s^3 + 8 s^2 + 17 s + 10--------------------------s^4 + 8 s^3 + 15 s^2 + 9 s









Exercice 1



()ଵܩ =60

ଶ5 + +2 1 ()ଶܩ =

120

+ 4

Figure1

30




Exercice 2


Figure 2



Exercice 3


Avec


-

-A- -B

Figure 3

()ܣ =1

()ܤ = ()ܥ =

1

ଶ


31




Exercice 4





Exercice 5


Figure 4




32






Exercice 6


A

vec

Figure 6

()ܣ =

+ 1()ܤ = ()ܥ =

1

()ܦ =

1

ଶ

33





34





et Simulink

Objectifs











ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



35





et Simulink

pS(p) + S(p) = k E(p)

()ܩ =()

()ܧ=

1 +



() =


(ݐ)ݏ =

ఛష

ഓ ( tge 0)


F


36





et Simulink


()ܧ =1

drsquoougrave

() =

(1 + (

1



ഓቁ (tge 0)

Figure (2


37





et Simulink





ܦ = ௫ minus


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ










38




et Simulink

Systegraveme 119919119919(119953119953) =

119948119948120783120783 + 120649120649119953119953



(119890119890(119905119905) minus 119904119904(119905119905))


119890119890(119905119905) = 119905119905 119905119905119890119890(119905119905) 119864119864(119901119901) =

1199051199051199011199012

119878119878(119901119901) =119905119905119886119886

1199011199012(1 + 120591120591119901119901)= 119886119886(

1199051199051199011199012 minus

119905119905120591120591119901119901

+1199051199051205911205912

1 + 120591120591119901119901)

119904119904(119905119905) = 119905119905119886119886 1 minus 120591120591 + 120591120591119890119890minus119905119905120591120591 t ge 0


11990511990511989011989010 = 23 120591120591


1199051199051198901198905 = 3 120591120591



Remarque


39





et Simulink


EXEMPLE 1


()ܩ =2


()ܩ =

1 + =

1 + ݒ = 2 =ݐ = 7


step(G)

impulse(G)


plot(ty) 40





et Simulink




41





et Simulink

Exemple1 Suite








42





et Simulink


D=0



0 10 20 30 40 50 60 700

02

04

06

08

1

12

14

16

18

2Step Response

Time (seconds)

Amplitude

43





et Simulink


str =18991 (asymp 19 = ((5ݎݐ)ݏ



44





et Simulink


str =17981 asymp 18 = (10ݎݐ)ݏ

45





et Simulink



t1 =07464

st1 =02081

tm= 161730 -07464=1542 s

46





et Simulink


tr5 = 30 x = 7ݔ3 = ݏ21

tr10 = 23 x = 7ݔ23 = ݏ161

tm=22 x = 7ݔ22 = ݏ154


1

ଶݓଶݏ

ଶݐ+

ߦ2

ݓ

ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



1

ଶݓ() +

ߦ2

ݓ() + () = ()ܧ

ݏ ∶ݐ ()ܩ =()

()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1



47





et Simulink


=

)ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1)


On a ∆ =ଶߦ4

ଶݓminus

4

ଶݓ=

4



Dans ce cas on a


k


మଵቁ୲ቃ

0 t lt 0

t ge 0


Figure (4) Reacute


On a ∆= 0

Dans ce cas


drsquoamortissement


⟺ =ߦ 1

on a

48





et Simulink

(ݐ)ݏ = ൜ ݑ(ݐ) minus (1 + (ݐݓ

௪௧ t ge 00 gtݐ 0



Dans ce cas on a


క


0 gtݐ 0

ltݐ 0




49





et Simulink


T =2π

ݓ=

2π

ඥ1ݓ minus ଶߦ










50





et Simulink



()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

1gtߦ leߦ 1


(గక

ඥଵకమ)

0


minusඥ ߦ ND


ߦminusඥ) (ߦ



ߦminusඥ) (ߦ


EXEMPLE 2




Deacuteterminer



3) la valeur finale



51





et Simulink

0 02 04 06 08 1 12 140

05

1

15

2

25

3Step Response

Time (seconds)

Amplitude


sys =200

-----------------s^2 + 75 s + 100


step(sys)grid on

52





et Simulink



Vous aurez


53





et Simulink

amplitude =





temps =13751 s

54





et Simulink


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ

ܦ = ൬ 25575 minus 19984

19984100൰ݔ = 0279 asymp 28


tହ = minus1


ହݐ = minus1





|()| ≪ ห ()ห ne


55





et Simulink



imaginaires

EXEMPLE 3


()ܪ =6



()ܪ = ൬30

4൰(

1

+5 1) minus ൬

6

4൰(

1


syms ss=tf(s)

s =s


H =6

---------------5 s^2 + 6 s + 1


h1 =15

-----s + 1


h2 =75

-------5 s + 1


56





et Simulink





temps τ2= 5

pz

hold off

pzmap(H)


57





et Simulink

58





et Simulink



Matlab et Simulink

Objectifs



Exercice 1






Exercice 2


F(p) =25




Exercice 3


59





et Simulink

()ܪ =

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

Avec k=1 =ݓ 1rds







k=1



()ܩ =132

ଷ + ଶ29 + +160 132


60





et Simulink



61





et Simulink


62




Objectifs






distingue










63

















()ܪ =

1 + =

1

1 + 2 10

)ܪ (ݓ =1

1 + 2 10ݓ

)ܪ| |(ݓ =1

ට1 + (ݓݓ

)ଶAvec ݓ =

1

2 10rds

)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ|ܪ( |(ݓ = 20 ଵ

1

ඥ1 + 2ݓ) 10)ଶ

64




)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ

1

ට1 + (ݓݓ

)ଶ Avec ݓ =

1

2 10rds

= ݎܣminus ݐ (ݓ

ݓ)



Pour ݓ rarrଵ

ఛ (ݓ) = minus

గ

ସ


ଶ


sys =

1-----------2e-06 s + 1


bode(sys)grid on

65





()ܪ =

1 +

)ܪ (ݓ =1

1 + ݓ=

1

1 + ( ଶ(ݓ+

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ

=1

1 + ( ଶ(ݓݐ =

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ


)ܪ (ݓ = +

ଶݕ + ( minusݔ1

2)ଶ = (

1

2)ଶ


ଶ) et de centre (

ଵ

ଶ 0 )


-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Magnitude

(dB)

104

105

106

107

-90

-45

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

66




nyquist(sys)

axis([0 1 -05 0])

67




Exemple 2



()ܩ =2

(

100+ 1)ଷ







Nichols


sys1 =2

----------001 s + 1



1----------001 s + 1



1----------001 s + 1


sys =2

-----------------------------------1e-06 s^3 + 00003 s^2 + 003 s + 1

68




margin(s

correspon


-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

10-270

-180

-90

0

Phase(deg)

bode (sys)

grid on

110

210

3

Bode Diagram

Frequency (rads)

margin(sys)

grid on



) respectivement

69




-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

101

102

103

-270

-180

-90

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

nyquist (sys)

grid on

70




-1 -05 0 05 1 15 2-15

-1

-05

0

05

1

15Nyquist Diagram

Real Axis

ImaginaryAx

is

nichols(sys)

grid on

71




-270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Nichols Chart


Open-Loop

Gain(dB)

72




Objectifs


Exercice 1


ଽ୮ାହ






() =ܭ

(5 + ଵ9)( + ଶ)






4) conclure

73




Exercice 3







74






75






5 - STABILITE


Exemple 1

()ܪ =minus)2 4)



num=[2 -8]den=[1 4 3]


76





Exemple 2

()ܪ =5



ଶ


-3 -2 -1 0 1 2 3 4-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

Real Part

ImaginaryPart

PoleZero Plot


77







()ிܨ =()

ଵ+ ݒ ଵ gt 0


ଵ = minusబ

భݏ ଵ lt 0


()ிܨ =()



൝ (ଵ) lt 0

ݐ (ଶ) lt 0


() =15

3 + 2

+ +3 1

-15 -1 -05 0 05 1 15

-1

-08

-06

-04

-02

0

02

04

06

08

1

Real Part

ImaginaryPa

rt

4 2

PoleZero Plot

78





()ܪ =20

3 + 2

+ +3 5








-03194 + 16332i-03194 - 16332i-03611 + 00000i


ans =

02013 + 18773i02013 - 18773i

-14026 + 00000i


79








Anneacutee













80








Anneacutee


81







Remarque


82












O

E

f



ɛ() = ()

1 + ()ܪ()ܥ


inale

ɛ = lim௧rarrஶ

[ɛ(ݐ)] = limrarr

[()ɛ] = limrarr

] ()

1 + ()ܪ()ܥ]

83





lrsquoeacutecart




(ݐ)ݓ = ܣ (ݐ)ݑ ݐ () =

A constante


62 Ecart de vitesse


(ݐ)ݓ = (ݐ)ݑݐ ݐ () =

మb constante




(ݐ)ݓ = ଶݐ (ݐ)ݑ ݐ () =

యc constante


()ܪ()ܥ =ܭ

()

Remarque





84




Entreacutee



() =ܣ

A constante


() =

ଶ

b constante


() =

ଷ

c constante

α = 0 ɛ௦ =

ܣ

1 + ܭ


ߙ = 1 ɛ௦=0 ɛ௩=

ɛ rarr infin

α = 2 ɛ௦=0 ɛ௩=0 ɛ =

ܭ

7

Remarque





()ܥ =

1 +

1 + gt 1


85














Anneacutee




86







௫ = ݎ ݏminus 1

+ 1ݎ

௫ gt 0


ݓ ௫ =1

radic









ݓ ௫ =1

radic= ݓ


Ceci deacutecale la




()

()ܧ=

1

1 +

1 +

avec = 1 +ோభ

ோమ

et =ோభ ோమ

ோభ ାோమ

87






Exercice 1


()ܩ =

+) +)(1 2)ݒ gt 0




Exercice 2


()1000

+) 10)ଶ



Exercice 3


88




pour ∶ A = 1 et ()ܤ =008

+20) 1)ଶ








corresponphase sa


()ܩ =3536

ଷ + ଶ15 + +75 125



()ܥ =

1 +

1 + gt 1



()ܩ =100

+) 1)ଶ

89








8) Conclure

90






91







92





tp5-6














scalaire)





Laplace)








unique vectorielle




12




















13






EXEMPLE 15


avec

119896119896 = 5 et 120591120591 = 2119904119904







14




15




16










help sin

help plot


17










Tableau 1








REMARQUE


18




Exercice 1


y=sin(t) t le temps



Exercice 2





Calculer 119889119889119904119904(119905119905) 119889119889119905119905


Exercice 3


1198651198651(119901119901) =1

119901119901 + 6

1198651198652(119901119901) =119901119901 + 2

119901119901(119901119901 minus 5)

1198651198653(119901119901) = 7(119901119901 + 9)

1199011199012 + 2119901119901 + 5

1198651198654(119901119901) = 5(119901119901 minus 7)

1199011199012 + 099119901119901 + 04

19




Exercice 4



Exercice 5


1199041199041(119901119901) = 3119901119901+11199011199012+8119901119901+3

1199041199042(119901119901) = 5119901119901(1199011199012+1199081199082)

1199041199043(119901119901) = 119890119890minus120587120587119901119901 1199041199044(119901119901) = ln(5 + 1199081199082

1199011199012 ) w constante










20







Exemple





21





Exercice 6





Exercice 7


22







23






24






II21 MISE EN SERIE

EXEMPLE 1


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



()ଵܨ =1

+ 1()ଶܨݐ =

+ 2


F1 =1

-----s + 1



F2 =s + 2

-----s


s + 2-------s^2 + s


F =s + 2

-------s^2 + s






EXEMPLE 2


ௌைோூா=

ௌ()

ா()



EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2

26








II23 BOUCLAGE



ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଶܨଵܨ) )

EXEMPLE

ଵ(p)ܨ =1

+ 1ଶ(p)ܨݐ =

+ 2



Remarque


F=feedback(F1F2)F =

s-------------s^2 + 2 s + 2


27






ௌைோூா=

ௌ()

ா()

ܨ = ଵܨ) 1 )

EXEMPLE 3



F =

1-----s + 2


(p)

28




ଵ(p)ܨ =1

+ 1 ଶ(p)ܨ =

+ 2

ଷ(p)ܨ =

+ 1 ସ(p)ܨ =

+ 2

+ 5

num1=[1]den1=[1 1]

F1=tf(num1den1)F1 =

1-----s + 1


num2=[1 2]den2=[1 0]

F2=tf(num2den2)F2 =

s + 2-----



s-----s + 1


s + 2-----s + 5


s + 2-------s^2 + s


s^2 + 2 s-------------s^2 + 6 s + 5


s^3 + 8 s^2 + 17 s + 10--------------------------s^4 + 8 s^3 + 15 s^2 + 9 s









Exercice 1



()ଵܩ =60

ଶ5 + +2 1 ()ଶܩ =

120

+ 4

Figure1

30




Exercice 2


Figure 2



Exercice 3


Avec


-

-A- -B

Figure 3

()ܣ =1

()ܤ = ()ܥ =

1

ଶ


31




Exercice 4





Exercice 5


Figure 4




32






Exercice 6


A

vec

Figure 6

()ܣ =

+ 1()ܤ = ()ܥ =

1

()ܦ =

1

ଶ

33





34





et Simulink

Objectifs











ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



35





et Simulink

pS(p) + S(p) = k E(p)

()ܩ =()

()ܧ=

1 +



() =


(ݐ)ݏ =

ఛష

ഓ ( tge 0)


F


36





et Simulink


()ܧ =1

drsquoougrave

() =

(1 + (

1



ഓቁ (tge 0)

Figure (2


37





et Simulink





ܦ = ௫ minus


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ










38




et Simulink

Systegraveme 119919119919(119953119953) =

119948119948120783120783 + 120649120649119953119953



(119890119890(119905119905) minus 119904119904(119905119905))


119890119890(119905119905) = 119905119905 119905119905119890119890(119905119905) 119864119864(119901119901) =

1199051199051199011199012

119878119878(119901119901) =119905119905119886119886

1199011199012(1 + 120591120591119901119901)= 119886119886(

1199051199051199011199012 minus

119905119905120591120591119901119901

+1199051199051205911205912

1 + 120591120591119901119901)

119904119904(119905119905) = 119905119905119886119886 1 minus 120591120591 + 120591120591119890119890minus119905119905120591120591 t ge 0


11990511990511989011989010 = 23 120591120591


1199051199051198901198905 = 3 120591120591



Remarque


39





et Simulink


EXEMPLE 1


()ܩ =2


()ܩ =

1 + =

1 + ݒ = 2 =ݐ = 7


step(G)

impulse(G)


plot(ty) 40





et Simulink




41





et Simulink

Exemple1 Suite








42





et Simulink


D=0



0 10 20 30 40 50 60 700

02

04

06

08

1

12

14

16

18

2Step Response

Time (seconds)

Amplitude

43





et Simulink


str =18991 (asymp 19 = ((5ݎݐ)ݏ



44





et Simulink


str =17981 asymp 18 = (10ݎݐ)ݏ

45





et Simulink



t1 =07464

st1 =02081

tm= 161730 -07464=1542 s

46





et Simulink


tr5 = 30 x = 7ݔ3 = ݏ21

tr10 = 23 x = 7ݔ23 = ݏ161

tm=22 x = 7ݔ22 = ݏ154


1

ଶݓଶݏ

ଶݐ+

ߦ2

ݓ

ݏ

ݐ+ (ݐ)ݏ = (ݐ)



1

ଶݓ() +

ߦ2

ݓ() + () = ()ܧ

ݏ ∶ݐ ()ܩ =()

()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1



47





et Simulink


=

)ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1)


On a ∆ =ଶߦ4

ଶݓminus

4

ଶݓ=

4



Dans ce cas on a


k


మଵቁ୲ቃ

0 t lt 0

t ge 0


Figure (4) Reacute


On a ∆= 0

Dans ce cas


drsquoamortissement


⟺ =ߦ 1

on a

48





et Simulink

(ݐ)ݏ = ൜ ݑ(ݐ) minus (1 + (ݐݓ

௪௧ t ge 00 gtݐ 0



Dans ce cas on a


క


0 gtݐ 0

ltݐ 0




49





et Simulink


T =2π

ݓ=

2π

ඥ1ݓ minus ଶߦ










50





et Simulink



()ܧ=

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

1gtߦ leߦ 1


(గక

ඥଵకమ)

0


minusඥ ߦ ND


ߦminusඥ) (ߦ



ߦminusඥ) (ߦ


EXEMPLE 2




Deacuteterminer



3) la valeur finale



51





et Simulink

0 02 04 06 08 1 12 140

05

1

15

2

25

3Step Response

Time (seconds)

Amplitude


sys =200

-----------------s^2 + 75 s + 100


step(sys)grid on

52





et Simulink



Vous aurez


53





et Simulink

amplitude =





temps =13751 s

54





et Simulink


ܦ = ቆ ௫ minus

100ቇݔ

ܦ = ൬ 25575 minus 19984

19984100൰ݔ = 0279 asymp 28


tହ = minus1


ହݐ = minus1





|()| ≪ ห ()ห ne


55





et Simulink



imaginaires

EXEMPLE 3


()ܪ =6



()ܪ = ൬30

4൰(

1

+5 1) minus ൬

6

4൰(

1


syms ss=tf(s)

s =s


H =6

---------------5 s^2 + 6 s + 1


h1 =15

-----s + 1


h2 =75

-------5 s + 1


56





et Simulink





temps τ2= 5

pz

hold off

pzmap(H)


57





et Simulink

58





et Simulink



Matlab et Simulink

Objectifs



Exercice 1






Exercice 2


F(p) =25




Exercice 3


59





et Simulink

()ܪ =

ଶ

ଶݓ+

ߦ2ݓ

+ 1

Avec k=1 =ݓ 1rds







k=1



()ܩ =132

ଷ + ଶ29 + +160 132


60





et Simulink



61





et Simulink


62




Objectifs






distingue










63

















()ܪ =

1 + =

1

1 + 2 10

)ܪ (ݓ =1

1 + 2 10ݓ

)ܪ| |(ݓ =1

ට1 + (ݓݓ

)ଶAvec ݓ =

1

2 10rds

)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ|ܪ( |(ݓ = 20 ଵ

1

ඥ1 + 2ݓ) 10)ଶ

64




)ܩ| ௗ|(ݓ = 20 ଵ

1

ට1 + (ݓݓ

)ଶ Avec ݓ =

1

2 10rds

= ݎܣminus ݐ (ݓ

ݓ)



Pour ݓ rarrଵ

ఛ (ݓ) = minus

గ

ସ


ଶ


sys =

1-----------2e-06 s + 1


bode(sys)grid on

65





()ܪ =

1 +

)ܪ (ݓ =1

1 + ݓ=

1

1 + ( ଶ(ݓ+

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ

=1

1 + ( ଶ(ݓݐ =

(minus (ݓ

1 + ( ଶ(ݓ


)ܪ (ݓ = +

ଶݕ + ( minusݔ1

2)ଶ = (

1

2)ଶ


ଶ) et de centre (

ଵ

ଶ 0 )


-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Magnitude

(dB)

104

105

106

107

-90

-45

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

66




nyquist(sys)

axis([0 1 -05 0])

67




Exemple 2



()ܩ =2

(

100+ 1)ଷ







Nichols


sys1 =2

----------001 s + 1



1----------001 s + 1



1----------001 s + 1


sys =2

-----------------------------------1e-06 s^3 + 00003 s^2 + 003 s + 1

68




margin(s

correspon


-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

10-270

-180

-90

0

Phase(deg)

bode (sys)

grid on

110

210

3

Bode Diagram

Frequency (rads)

margin(sys)

grid on



) respectivement

69




-60

-40

-20

0

20

Magnitude

(dB)

101

102

103

-270

-180

-90

0

Phase(deg)


Frequency (rads)

nyquist (sys)

grid on

70




-1 -05 0 05 1 15 2-15

-1

-05

0

05

1

15Nyquist Diagram

Real Axis

ImaginaryAx

is

nichols(sys)

grid on

71




-270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Nichols Chart


Open-Loop

Gain(dB)

72




Objectifs


Exercice 1


ଽ୮ାହ






() =ܭ

(5 + ଵ9)( + ଶ)






4) conclure

73




Exercice 3







74






75






5 - STABILITE


Exemple 1

()ܪ =minus)2 4)



num=[2 -8]den=[1 4 3]


76





Exemple 2

()ܪ =5



ଶ


-3 -2 -1 0 1 2 3 4-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

Real Part

ImaginaryPart

PoleZero Plot


77







()ிܨ =()

ଵ+ ݒ ଵ gt 0


ଵ = minusబ

భݏ ଵ lt 0


()ிܨ =()



൝ (ଵ) lt 0

ݐ (ଶ) lt 0


() =15

3 + 2

+ +3 1

-15 -1 -05 0 05 1 15

-1

-08

-06

-04

-02

0

02

04

06

08

1

Real Part

ImaginaryPa

rt

4 2

PoleZero Plot

78





()ܪ =20

3 + 2

+ +3 5








-03194 + 16332i-03194 - 16332i-03611 + 00000i


ans =

02013 + 18773i02013 - 18773i

-14026 + 00000i


79








Anneacutee













80








Anneacutee


81







Remarque


82












O

E

f



ɛ() = ()

1 + ()ܪ()ܥ


inale

ɛ = lim௧rarrஶ

[ɛ(ݐ)] = limrarr

[()ɛ] = limrarr

] ()

1 + ()ܪ()ܥ]

83





lrsquoeacutecart




(ݐ)ݓ = ܣ (ݐ)ݑ ݐ () =

A constante


62 Ecart de vitesse


(ݐ)ݓ = (ݐ)ݑݐ ݐ () =

మb constante




(ݐ)ݓ = ଶݐ (ݐ)ݑ ݐ () =

యc constante


()ܪ()ܥ =ܭ

()

Remarque





84




Entreacutee



() =ܣ

A constante


() =

ଶ

b constante


() =

ଷ

c constante

α = 0 ɛ௦ =

ܣ

1 + ܭ


ߙ = 1 ɛ௦=0 ɛ௩=

ɛ rarr infin

α = 2 ɛ௦=0 ɛ௩=0 ɛ =

ܭ

7

Remarque





()ܥ =

1 +

1 + gt 1


85














Anneacutee




86







௫ = ݎ ݏminus 1

+ 1ݎ

௫ gt 0


ݓ ௫ =1

radic









ݓ ௫ =1

radic= ݓ


Ceci deacutecale la




()

()ܧ=

1

1 +

1 +

avec = 1 +ோభ

ோమ

et =ோభ ோమ

ோభ ାோమ

87






Exercice 1


()ܩ =

+) +)(1 2)ݒ gt 0




Exercice 2


()1000

+) 10)ଶ



Exercice 3


88




pour ∶ A = 1 et ()ܤ =008

+20) 1)ଶ








corresponphase sa


()ܩ =3536

ଷ + ଶ15 + +75 125



()ܥ =

1 +

1 + gt 1



()ܩ =100

+) 1)ଶ

89








8) Conclure

90






91







92





tp5-6

TP Asservissements et Régulation des systèmes linéaires et ...

Documents

Transcript of TP Asservissements et Régulation des systèmes linéaires et ...