Toute affirmation doit être clairement et complètement justi ...€¦ · Première partie 1a....

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE CONCOURS D’ADMISSION 2016 FILIÈRE MP COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES – B – (X) (Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. Toute armation doit être clairement et complètement justifiée. On considère une variable aléatoire X discrète définie sur un espace probabilisé (Ω, A , P) dont la loi est donnée par : i N, P(X = x i )= p i 0 avec + i=0 p i =1, et où (x i ) i0 est une suite de réels strictement positifs distincts. On suppose que X admet une espérance finie notée m := E(X) > 0. Soit (X k ) k1 une suite de variables aléatoires définies sur (Ω, A , P), indépendantes et identiquement distribuées, de même loi que X. On note (S k ) k0 ses sommes partielles définies par S 0 =0, et pour n 1, S n = n k=1 X k . L’objet de ce problème est l’étude du nombre (aléatoire) d’éléments de la suite (S n ) n0 qui appartiennent à l’intervalle [a, b], défini pour ω Ω par N (a, b)(ω) = Card{k N | S k (ω) [a, b]} = + k=0 (S k [a,b]) (ω), et en particulier le comportement de N (a, b) quand a et b tendent vers l’infini. Première partie 1a. Justifier que pour tous 0 et n N, (N (0, )= n + 1) = (S n <S n+1 ) à un ensemble négligeable près. En déduire que, à des ensembles négligeables près, (S n )=(N (0, ) n + 1) et (S n ) (N (0, ) n + 1). 1b. On suppose dans cette question que X admet de plus une variance finie V . Montrer alors que ε > 0, n 1, P(S n n(m - ε)) V ε 2 n . 1 v. = { nulle C- INL . PCXEIRIV ) = 0 PCXE 6) =L 0=5.2 5,2 Sa L Sse -0 Nais ( w) = 9 t' CR - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D’ADMISSION 2016 FILIÈRE MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES – B – (X)

(Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

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Toute affirmation doit être clairement et complètement justifiée.

On considère une variable aléatoire X discrète définie sur un espace probabilisé (Ω,A ,P) dont la loiest donnée par :

∀i ∈ N, P(X = xi) = pi ! 0 avec+∞∑

i=0

pi = 1,

et où (xi)i!0 est une suite de réels strictement positifs distincts. On suppose que X admet une espérancefinie notée m := E(X) > 0.Soit (Xk)k!1 une suite de variables aléatoires définies sur (Ω,A ,P), indépendantes et identiquementdistribuées, de même loi que X. On note (Sk)k!0 ses sommes partielles définies par

S0 = 0, et pour n ! 1, Sn =n∑

k=1

Xk.

L’objet de ce problème est l’étude du nombre (aléatoire) d’éléments de la suite (Sn)n!0 qui appartiennentà l’intervalle [a, b], défini pour ω ∈ Ω par

N(a, b)(ω) = Cardk ∈ N | Sk(ω) ∈ [a, b] =+∞∑

k=0

(Sk∈[a,b])(ω),

et en particulier le comportement de N(a, b) quand a et b tendent vers l’infini.

Première partie

1a. Justifier que pour tous # ! 0 et n ∈ N, (N(0, #) = n + 1) = (Sn " # < Sn+1) à un ensemblenégligeable près. En déduire que, à des ensembles négligeables près,

(Sn " #) = (N(0, #) ! n+ 1) et (Sn ! #) ⊂ (N(0, #) " n+ 1).

1b. On suppose dans cette question que X admet de plus une variance finie V . Montrer alors que

∀ε > 0, ∀n ! 1, P(Sn " n(m− ε)) "V

ε2n.

1

v. = nulle C- INL. PCXEIRIV) = 0

PCXE6) =L .

0=5.2 5,2 Sa L Sse -

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2. Soit Y une variable aléatoire à valeurs dans N presque sûrement, et qui admet une espérance.Montrer que

E(Y ) =+∞∑

k=1

P(Y ! k).

3a. Montrer que pour tous n ∈ N et # ! 0,

P(Sn " #) " E(exp(#− Sn)),

puis queP(Sn " #) " e!E(exp(−X))n.

3b. En déduire que P(Sn " #) tend vers 0 quand n → +∞ et que

E(N(0, #)) "e!

1− E(exp(−X)).

3c. Montrer que pour tous x ∈ R, # ! 0, k ∈ N∗ et n ∈ N∗,

P(Sn−1 < x " Sn, N(x, x+ #) ! k) " P(Sn−1 < x " Sn)P(N(0, #) ! k),

puis que

E(N(x, x+ #)) "e!

1− E(exp(−X)).

Deuxième partie

Soit f : R → R une fonction. Si f est bornée, on note

‖f‖∞ = supx∈R

|f(x)|

sa norme uniforme. On appelle support de f l’adhérence de x ∈ R | f(x) (= 0. En particulier, si xn’appartient pas au support de f , alors f(x) = 0.

Soit K > 0 et g : R → R une fonction positive bornée à support dans [0,K]. On va étudier la suite defonctions fn : R → R définies pour n ! 0 par

fn(x) =n∑

k=0

E(g(x− Sk)).

4a. Montrer que pour tout x ∈ R, la suite (fn(x))n!0 est croissante. On note f(x) sa limite dansR ∪ +∞.

4b. Montrer que si g = [0,K], alors f(x) = E(N(x−K,x)).

4c. En déduire que pour tous x ∈ R et n ∈ N,

0 " fn(x) " ‖g‖∞eK

1− E(exp(−X)).

4d. Conclure que la suite de fonctions fn converge simplement vers une fonction f positive, bornéeet dont le support est inclus dans R+.

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5. Soit Y une variable aléatoire discrète, indépendante de X, et ϕ : R2 → R une fonction bornée.Montrer que

E(ϕ(X,Y )) =+∞∑

i=0

piE(ϕ(xi, Y )).

6a. Montrer que pour tous n ∈ N et x ∈ R,

fn+1(x) = g(x) ++∞∑

i=0

pifn(x− xi).

6b. Montrer que la fonction f vérifie l’égalité suivante sur R

f(x) = g(x) ++∞∑

i=0

pif(x− xi). (E)

7. Soit h : R → R une fonction bornée qui vérifie h(x) =+∞∑

i=0

pih(x− xi) pour tout x ∈ R.

7a. Montrer que pour tous x ∈ R et n ∈ N, on a h(x) = E(h(x− Sn)).

7b. En déduire que si de plus le support de h est inclus dans R+, alors pour tout x ∈ R, h(x) = 0.

7c. Conclure qu’il existe une unique fonction bornée à support dans R+ solution de (E).

8a. Montrer que l’ensemble ΛX :=⋃

n∈N

y ∈ R | P(Sn = y) > 0 est dénombrable et inclus dans R+.

On se donne une énumération de cet ensemble : ΛX = yi | i ∈ N.

8b. Montrer que pour tout x ∈ R,

fn(x) =n∑

k=0

+∞∑

i=0

P(Sk = yi)g(x− yi).

8c. En déduire qu’il existe une suite de réels positifs (qi)i!0 telle que pour tout x ∈ R,

f(x) =+∞∑

i=0

qig(x − yi), et∑

i∈N, yi∈[x−K,x]

qi = E(N(x−K,x)).

9a. Dans la formule précédente, montrer que la convergence de la série est normale sur tout segmentde R. On pourra utiliser la question 3c.

9b. On suppose que g est continue. Montrer que f est uniformément continue.

9c. On suppose que g est de classe C 1. Montrer que g′ bornée. En déduire que f est de classe C 1,que f ′ est bornée et uniformément continue et que pour tout x ∈ R,

f ′(x) = g′(x) ++∞∑

i=0

pif′(x− xi).

Troisième partie

Soit Λ un sous-ensemble non vide de R+∗ tel que

∀(x, y) ∈ Λ2, x+ y ∈ Λ.

On dit que Λ est stable par addition.

3

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10a. Montrer si (x, y) ∈ Λ2, (k, n) ∈ N × N∗ et k " n, alors nx+ k(y − x) ∈ Λ.

On définitΓ = z ∈ R

+ | ∃(x, y) ∈ Λ, z = y − x, et r(Λ) = inf Γ.

10b. Donner deux exemples de tels ensembles Λ, l’un pour lequel r(Λ) > 0 et l’autre pour lequelr(Λ) = 0.

11. Dans cette question, on suppose que r(Λ) > 0.

11a. Montrer qu’il existe (a, b) ∈ Λ2 tels que b− a ∈ [r(Λ), 2r(Λ)[.

On note d = b− a.

11b. Soient k, n ∈ N tels que k " n− 1. Montrer que

Λ ∩ [na+ kd, na+ (k + 1)d] = na+ kd, na+ (k + 1)d.

11c. Montrer qu’il existe n0 ∈ N tel que n0a+n0d > (n0+1)a puis qu’il existe k ∈ N tel que a = kd.

11d. En déduire que Λ ⊂ dZ, où dZ = kd | k ∈ Z.

12. On suppose maintenant que r(Λ) = 0.

12a. Soit η > 0. Montrer qu’il existe A ! 0 tel que pour pour tout x > A,

Λ ∩ [x, x+ η] (= ∅.

12b. Soit f : R → R une fonction uniformément continue. On suppose que pour toute suite (xn)n!0

à valeurs dans Λ telle que xn → +∞, f(xn) → 0 quand n → +∞. Montrer que f(x) → 0 quandx → +∞.

Quatrième partie

On suppose dans cette partie que pour tout d ! 0,

P(X ∈ dZ) < 1.

13. On considère une fonction h uniformément continue et bornée sur R telle que pour tout x ∈ R,h(x) " h(0) et

h(x) =+∞∑

i=0

pih(x− xi).

On rappelle que pour tous x ∈ R et n ∈ N , h(x) = E(h(x− Sn)) (question 7a).

13a. Montrer que pour tout n ∈ N et x ! 0 tels que P(Sn = x) > 0, on a h(−x) = h(0).

13b. Montrer que l’ensemble ΛX défini à la question 8a est stable par addition et que r(ΛX) = 0.

13c. En déduire que h(−x) → h(0) quand x → +∞.

13d. Conclure que h est une fonction constante.

On suppose dans toute la suite que g est de classe C 1, à support dans [0,K] avec K > 0. On rappelleque f est la limite croissante des fonctions fn et l’unique solution bornée et uniformément continue del’équation (E).

4

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14a. Prouver que la fonction x -→ supt!x

f ′(t) admet une limite finie quand x → +∞. On note

c := limx→+∞

supt!x

f ′(t).

14b. Montrer qu’il existe une suite yn → +∞ telle que f ′(yn) → c quand n → +∞.

On admet qu’il existe une sous-suite (tk)k!0 de (yn)n!0 telle que la suite de fonctions (ξk)k!0 définiespar

ξk : R → R, t -→ ξk(t) = f ′(t+ tk)

converge uniformément sur tout segment de R vers une fonction notée ξ.

14c. Montrer que ξ est constante, égale à c.

14d. Conclure que c = 0.

On montrerait de même que limx→+∞

inft!x

f ′(t) = 0, résultat que l’on admet dans toute la suite.

14e. En déduire que f ′(t) → 0 quand t → +∞.

14f. Montrer alors que pour tout # ! 0, f(t+ #)− f(t) → 0 quand t → +∞.

On suppose dans toute la suite de cette partie que seul un nombre fini de pi sont strictement positifs,et on pose

g0(x) =

P(X > x) si x ! 0,

0 si x < 0.

On admet que g0 est continue par morceaux et à support dans un segment de R+, intégrable sur R, et

que

∫ +∞

0g0(t)dt = E(X).

On note F l’ensemble des fonctions positives, bornées et à support dans un segment de R+. En utilisantla deuxième partie, pour tout g ∈ F , on note Lg l’unique solution de (E) bornée à support dans R+.

Nous dirons que la suite (tk)k!0 satisfait la propriété (P) si tk → +∞ et s’il existe une fonction continuebornée µ : R+ → R+, telle que pour toute fonction g de F continue par morceau,

Lg(tk) →

∫ +∞

0g(t)µ(t)dt quand k → +∞.

On admet que pour toute suite (xn)n!0 tendant vers l’infini, il existe une sous suite (tk)k!0 de (xn)n!0

qui satisfait la propriété (P).

15a. Montrer, en utilisant la question 14f, que pour tous g ∈ F ∩ C 1(R,R+) et # ! 0,

∫ +∞

0g(t)(µ(t + #)− µ(t))dt = 0.

15b. En déduire que µ est constante.

16a. Montrer que Lg0(x) = 1 pour x ! 0 et Lg0(x) = 0 pour x < 0.

16b. En déduire que µ(t) =1

E(X)pour tout t ! 0.

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Ë÷Ë:

Page 11: Toute affirmation doit être clairement et complètement justi ...€¦ · Première partie 1a. Justifier que pour tous # ! 0 et n ∈ N, (N(0,#)=n +1)=(S n" #

17. Conclure que pour tout g de F continue par morceaux,

+∞∑

k=0

E(g(x− Sk)) →1

E(X)

∫ +∞

−∞

g(t)dt quand x → +∞.

18. Soit # > 0 fixé. Déterminer le comportement de E(N(x, x+ #)) quand x → +∞.Interpréter le résultat. Ce résultat est-il vrai s’il existe d > 0 tel que P(X ∈ dZ) = 1 ?

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