Torretti - El Paraiso de Cantor

El Paraso de CANtorLa tradicin conjuntistaen la filosofa matemtica

Roberto Torretti

El Paraso de Cantor

Roberto Torretti, 1998

A JOAQUN CORDUA Y ENRIQUE DTIGNY

SUMARIO

Prefacio xi .....................................................................................................

1 CONJUNTOS

1.1 La palabra conjunto en la matemtica del siglo XX ..............11.2 Conjunto (Menge) en el vocabulario de Cantor ...................71.3 Series trigonomtricas ...............................................................131.4 Diversos innitos .......................................................................211.5 Aritmtica transnita .................................................................291.6 Paradojas y losofemas .............................................................491.7 El Teorema del Buen Orden y el Axioma de Seleccin .......631.8 Axiomas para una teora de conjuntos .....................................71

1.8.1 Zermelo (1908) ......................................................................711.8.2 Qu est bien denido? ....................................................801.8.3 El Axioma de Reemplazo .....................................................871.8.4 Aportes de von Neumann .....................................................901.8.5 Zermelo (1930) ....................................................................102

2 CLCULOS

2.1 El programa de Hilbert ........................................................... 1152.2 Escritura conceptual .................................................................1292.3 Fundamentos de la aritmtica .................................................145

2.3.1 Peano (1889) ........................................................................1452.3.2 Dedekind (1888) ..................................................................1512.3.3 Frege (1884) ........................................................................159

2.4 La teora de los tipos lgicos .................................................1772.5 Aritmtica nitista ................................................................... 2112.6 Pruebas de consistencia ...........................................................219

2.6.1 Ackermann (1925) ...............................................................2192.6.2 Von Neumann (1927) ..........................................................2322.6.3 Herbrand (1931b) ................................................................241

2.7 El Entscheidungsproblem y el Teorema de Herbrand ...........247

Sumario viii

2.8 El clculo predicativo de primer orden es completo .............2732.9 El programa de Hilbert visto ms de cerca ...........................295

2.9.1 Axiomatizacin y formalizacin .........................................2952.9.2 Balbuceos formales (Hilbert 1904) ....................................2972.9.3 Teora de la prueba .............................................................3042.9.4 La investigacin de la consistencia de la matemtica

formalizada, a la luz del descubrimiento de Gdel ..........3162.10 Los Teoremas de Incompletud de Gdel ...............................321

2.10.1 Preliminares .........................................................................3212.10.2 La incompletud de la aritmtica .........................................3262.10.3 La indemostrabilidad de la consistencia ............................354

2.11 Funciones computables ..........................................................3592.11.1 Funciones recursivas generales ...........................................3612.11.2 La Tesis y el Teorema de Church ......................................3692.11.3 Las mquinas de Turing .....................................................3812.11.4 Diagramas y ejemplos .........................................................3832.11.5 Demostracin de resultados ................................................407

2.12 Consistencia de la aritmtica: la prueba de Gentzen ............4212.12.1 Un clculo aritmtico ..........................................................4232.12.2 Reducciones .........................................................................4292.12.3 Orden de las derivaciones e induccin transnita .............441

APNDICES

I Las deniciones cantorianas de conjunto bien ordenado ...........459II Ms sobre el buen orden ................................................................461III La cardinalidad de la segunda clase de ordinales .........................463IV El argumento de Burali-Forti ..........................................................465V La segunda demostracin del Teorema del Buen Orden

(Zermelo 1908) ................................................................................468VI Los axiomas de Zermelo (1908a) ..................................................471VII Independencia del Axioma de Seleccin (Fraenkel 1922a) ..........472VIII Denicin por induccin transnita (von Neumann 1928) ..........476IX El clculo predicativo .....................................................................480X Axiomas de la lgica (Frege 1879) ...............................................502XI Deniciones recursivas (Dedekind 1888) ......................................504XII Extensin y recorrido (Frege 1891, 1893a) ...................................509

Sumario ix

XIII Frmulas prenexas ...........................................................................516XIV El clculo de predicados mondicos es decidible .........................522XV El clculo proposicional es completo ............................................525XVI Una forma abstracta del Primer Teorema de

Incompletud de Gdel (Smullyan 1992) ........................................527XVII Nmeros de Gdel: Una alternativa ...............................................529XVIII Los axiomas del clculo de primer orden investigado por

Gdel (1930) son derivables en el clculo de secuentes propuesto por Gentzen (1938) ........................................................531

XIX Algunas ideas de Brouwer ..............................................................535

GLOSARIO .................................................................................................541

OBRAS CITADAS ......................................................................................551

ABREVIATURAS Y SMBOLOS .............................................................573

NDICE DE PERSONAS Y CONCEPTOS ..............................................575

PREFACIO

En los siglos XIX y XX la matemtica prolifera y orece como quizs ningn otro quehacer del espritu. Movidos por la misma riqueza y audacia de sus invenciones, algunos matemticos notables se ponen a reexionar sobre la naturaleza y alcance de su actividad. Su reexin es lo que se llama losca, y as la entienden; pero la conducen como matemticos que son, aunando libertad y rigor, fantasa ubrrima y precisin pedante, en el estilo propio de su disciplina. Esta losofa matemtica de la matemtica existe de dos mane-ras. Por una parte, hay una corriente ms o menos unitaria de pensamiento que ejerce una enorme inuencia sobre la investigacin matemtica y ha llegado a dominar la enseanza universitaria. Esta corriente se autodenomina clsica, pero la llamar conjuntista porque coloca al centro de la mate-mtica, en una forma u otra, la nocin de conjunto y trabaja en fortalecerla. Iniciada por Dedekind (1831-1916) y Cantor (1845-1918), incorpora logros de Frege (1848-1925), Peano (1858-1932), Whitehead (1861-1947) y Russell (1872-1970), y recibe aportes de Hilbert (1862-1943), Zermelo (1871-1953), Tarski (1902-1983), von Neumann (1903-1957), Gdel (1906-1978), Gent-zen (1909-1945), y muchos otros. Por otra parte, estn los adversarios del conjuntismo ilustres matemticos como Kronecker (1823-1891), Poincar (1854-1912), Brouwer (1881-1955) y Weyl (1885-1955), lsofos como Wittgenstein (1889-1951) y Lorenzen (1915-1994) que impugnan con poderosas razones sus ideas y prcticas ms arraigadas, sin que la masa de los matemticos les preste mucha atencin.

Este libro es una historia razonada de la tradicin conjuntista, desde los primeros escritos de Cantor hasta la publicacin de los teoremas de Cohen (1963) y su impacto inmediato. Hago una que otra alusin a Kronecker y me ocupo, cuando hace falta, de Poincar, pero la importante oposicin de Brouwer y Weyl slo la menciono al paso, sin analizarla, porque el propio Hilbert, que explcitamente dene su empresa losca como una defensa de las matemticas contra ellos, no se dio el trabajo de estudiarlos. Con todo, para el lector curioso, explico brevemente en el Apndice XIX algunas ideas

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Prefacio xii

de Brouwer que preceden y motivan la declaracin de guerra de Hilbert. En cambio, no me ha parecido oportuno examinar en el presente contexto la fundamentacin constructivista del anlisis, propuesta inicialmente por Weyl (1918), poco antes de su conversin al brouwerismo, y desarrollada mucho ms tarde por Lorenzen (1965) y Bishop (1967).

El libro consta de tres partes, correspondientes a tres etapas en la historia del conjuntismo. El presente volumen contiene las partes 1 y 2. La parte 3 todava no est escrita. La parte 1, titulada Conjuntos, se reere a la fun-dacin de la teora de conjuntos por Cantor, las paradojas que se le enrostran, y la axiomatizacin de la teora por Zermelo (1908) y sus continuadores. La parte 2, titulada Clculos gira en torno al programa de Hilbert para darle a la teora de conjuntos un fundamento intuitivo incontestable, garantizando as a los matemticos el disfrute del paraso que segn frase del mismo Hilbert Cantor ha creado para ellos. Estudia los antecedentes de dicho programa en las obras de Frege, Peano, Dedekind, Russell y Whitehead, y Skolem; su desarrollo en la dcada de 1920 por Hilbert y sus seguidores; y el inesperado escollo que le sali al encuentro con los hallazgos de Gdel. La parte 3, Modelos, examinar la contribucin al conjuntismo de los mtodos semnticos introducidos desde 1930 por Gdel y Tarski.

Pienso que el libro puede servir como introduccin histrica al tema. Para leerlo, no es preciso tener conocimientos previos al respecto, pero s el hbito de leer deniciones y demostraciones matemticas. Cualquiera que haya seguido cursos universitarios de matemticas por ms de un ao tiene ese hbito en la medida requerida aqu. Por otra parte, creo que una persona acostumbrada a leer prosa losca puede adquirirlo directamente en este mismo libro. Supongo, s, que el lector lsofo que se interese en l habr hecho estudios de lgica. Por otra parte, confo en que el lector con educa-cin matemtica pero sin estudios de lgica podr extraer del Apndice IX (pp. 480-502) toda la informacin requerida.

En general explico cada trmino tcnico la primera vez que lo uso. (El ndice analtico permitir ubicar rpidamente tales explicaciones). Pero la terminologa lgica se presenta sistemticamente en el Apndice IX, y en el Glosario que sigue a los apndices deno algunos trminos de uso comn entre los matemticos, que los lectores que vienen de la losofa tal vez desconocen (estos trminos se sealan con una ). Con rarsimas excepcio-nes, expresamente sealadas, me atengo a la terminologa estndar, aunque

Prefacio xiii

no me parece afortunada en todos los casos. Si las investigaciones lgico-matemticas a que se reere este libro hubiesen sido conducidas principal-mente por personas de habla castellana, con seguridad estaramos usando trminos ms eufnicos o elocuentes. Tal como han sido las cosas, tenemos que arreglrnoslas con palabras tan feas como completud (para nombrar la propiedad de ser o estar completo) o tan opacas como consistencia (para decir ausencia de contradiccin).

Las referencias bibliogrcas se dan en forma abreviada. Las abreviaturas se explican en la lista de obras citadas que va al nal. Constan, generalmente, del nombre del autor y el ao de publicacin. Cuando se cita ms de una obra de un autor aparecida en el mismo ao, la segunda, tercera, etc., se distinguen con las letras a, b, Cuando el ao de la edicin citada no informa sobre la cronologa de la obra, la referencia abreviada contiene, en vez de la fecha, una sigla alusiva al ttulo.

El libro se publica con el patrocinio de la Universidad Nacional Andrs Bello. Estoy muy agradecido a esta Universidad, y especialmente al Rector Joaqun Barcel, por su decisivo apoyo. Agradezco tambin a la Editorial Universitaria y en particular al editor, Sr. Braulio Fernndez, por su inters en la pronta aparicin del libro.

Escrib un borrador, muy prximo ya al presente texto, entre 1990 y 1994, cuando an ocupaba una ctedra de losofa en el Recinto de Ro Piedras de la Universidad de Puerto Rico. Hago pblico aqu mi agradecimiento al Rector y la Junta Universitaria por la liberalidad con que me concedieron el tiempo necesario para este proyecto. Doy asimismo las gracias a las bibliote-carias y bibliotecarios del Recinto que adquirieron y catalogaron de urgencia publicaciones nuevas que me hacan falta, hicieron venir en prstamo desde bibliotecas del continente otras ya agotadas, y con invariable amabilidad y diligencia atendieron a mi voraz demanda de fotocopias.

Jorge Lpez Fernndez, Francisco Rodrguez Consuegra y Matthias Schirn leyeron el susodicho borrador y propusieron importantes mejoras. Atendiendo a las indicaciones de Rodrguez Consuegra redact nuevamente buena parte del captulo sobre la teora de los tipos de Russell ( 2.4), y siguiendo el consejo de Schirn ampli bastante aunque no tanto, quizs, como l que-ra la discusin losca del programa de Hilbert ( 2.9). Doy aqu las gracias a estos buenos amigos por su valiosa ayuda. Como ninguno de ellos

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ha visto la versin nal, no puede caberles responsabilidad alguna por los errores que todava contiene.

Este libro, al igual que otros que he publicado anteriormente, no habra sido posible sin el apoyo continuo de Carla Cordua. Por la ndole del texto, esta vez fueron pocos los pasajes que le inig a medio redactar, pidindole que me puliera el estilo. Pero es claro que, de no ser por ella, todo este trabajo no me hubiera valido la pena.

Aunque mi acin a la losofa de las matemticas (y la fsica) data de los aos cuarenta, no habra alcanzado nunca la intensidad que se advertir en estas pginas, si Enrique dtigny y Joaqun Cordua no hubieran tenido la idea de llevarme, en los aos sesenta, a ensear losofa a la Facultad de Ciencias Fsicas y Matemticas de la Universidad de Chile. En recuerdo de esos buenos tiempos, les dedico el libro, con gratitud y afecto.

Santiago de Chile, 31 de mayo de 1998.

1CONJUNTOS

11.1 LA PALABRA CONJUNTO EN LA MATEMTICA DEL SIGLO XX

La palabra conjunto (alemn, Menge; francs, ensemble; ingls, set) gura destacadamente en la literatura matemtica contempornea. Los cur-sos y manuales universitarios suelen presentar su respectivo campo como una especie de conjuntos, caracterizada por ciertas condiciones que han de cumplir los elementos por lo dems indeterminados de cualquier conjunto de esa especie, o de ciertos otros conjuntos generados desde l mediante operaciones estndar. El estudio de ese campo consiste entonces en determinar las consecuencias de tales condiciones generales, o de otras, ms estrechas, mediante las cuales se caracterizan una o ms subespecies interesantes de la especie inicial.1

Aunque los matemticos ceden de buen grado a la tentacin de usar pala-bras corrientes del idioma en acepciones peculiarsimas inventadas por ellos, parece que toman la palabra conjunto en su signicado habitual o, en todo caso, en uno muy prximo a ste.2 Salvo por las dos excepciones que co-mentar en los prximos prrafos, la palabra conjunto normalmente designa en la literatura matemtica una coleccin de objetos de cualquier clase los

1 Vanse en el Glosario las deniciones de espacio topolgico, grupo, grupo abeliano. En lo sucesivo, el smbolo a continuacin de una palabra, o al comienzo y al nal de una expresin, sirve para advertir que esa palabra o expresin est explicada en el Glosario.

2 En su til Introduccin losca a la teora de conjuntos (1990), Stephen Pollard combate este parecer. Segn l, es una locura suponer que los conjuntos de los matemticos son objetos familiares a todo el mundo (p. 12) y la creencia de que el desarrollo de la teora matemtica de conjuntos ha sido signicativamente inuenciado por nociones tomadas directamente del pensamiento cotidiano es un mito (p. 14). Como reaccin contra la mana pedaggica de ensearle teora de conjuntos a los prvulos estas aseveraciones de Pollard son muy comprensibles, pero pervierten los hechos. El gemetra que habla del grupo formado por el conjunto de las simetras del cubo y el acionado a la msica que habla de tal o cual conjunto instrumental no emplean la palabra conjunto en acepciones radicalmente diferentes.

2 El Paraso de Cantor

elementos del conjunto reunidos en la realidad o en el pensamiento del estudioso. Objeto debe entenderse aqu en el sentido ms amplio posible, sin hacer diferencias entre lo real y lo imaginario, o entre lo sustancial y lo accidental. La reunin de tales o cuales elementos en un mismo conjunto puede fundarse en una propiedad comn o en una relacin entre ellos, pero no tiene que ser as. El conjunto de las tres virtudes teologales es sin duda ms interesante, pero no ms legtimo, matemticamente hablando, que aqul cuyos elementos son el perro de Las Meninas, el Pen de Gibraltar y la raz cuadrada de 2. La identidad de un conjunto depende total y exclusivamente de la identidad de sus elementos, la cual tiene que estar cabal y exactamente determinada para que el conjunto est denido. Esencial es que el conjunto formado reuniendo determinados objetos constituya a su vez un objeto en el amplio sentido indicado y pueda, por lo tanto, entrar como elemento en un nuevo conjunto.3 Los matemticos distinguen, s, entre los elementos contenidos en un conjunto y las partes (subconjuntos) incluidas en l. Por denicin, x es parte de y si y slo si todo elemento z de x es tambin un elemento de y (simblicamente: x y (z x z y)). Obsrvese que segn esta denicin todo conjunto es una parte de s mismo, y y. Si x y pero x y decimos que x es una parte propia de y (simblicamente: x y). En la conversacin ordinaria no distinguiramos con tanto celo entre contener un elemento e incluir una parte, pero, una vez que se lo explica, el distingo ciertamente parece razonable.

Paso a describir las dos excepciones a que alud. Consderese un con-junto con, digamos, cuatro elementos, a, b, c y d. Conforme a la prctica usual lo llamar el conjunto {a,b,c,d}. Los conjuntos {b,c} y {b,c,d} son obviamente partes de {a,b,c,d}. El complemento de {b,c} en {a,b,c,d} es el conjunto {a,d} formado al quitar de {a,b,c,d} los elementos de {b,c} (simblicamente: {a,b,c,d}\{b,c} = {a,d}). Cul es el complemento de

3 Como se puede ver, la nocin matemtica de conjunto nada tiene que ver con la no-cin lgica de clase o extensin de un concepto. Contrastando esta ltima con lo que Schrder llam dominio (Gebiet) y que corresponde casi exactamente a nuestra nocin de conjunto Frege (1895, p. 455) escribe: Considero fallido el intento de basar la extensin del concepto como clase no sobre el concepto sino sobre los objetos individuales. [] La extensin de un concepto no consta de los objetos que caen bajo el concepto, como un bosque de rboles, sino que tiene en el concepto mismo su nico sostn (Halt). As, el concepto tiene primaca lgica sobre su extensin.

1.1 La palabra conjunto 3

{b,c,d} en {a,b,c,d}? Para el matemtico la respuesta natural es {a}, el conjunto cuyo nico elemento es a. Tal respuesta desafa el uso ordinario del castellano, que respetbamos hasta hace un momento, cuando decamos que un conjunto era una coleccin de objetos (as, en plural). Por otra parte, hablar de conjuntos de un solo elemento o conjuntos unitarios (como dir en lo sucesivo) no es un abuso de lenguaje muy grave y tiene la ventaja de permitirnos denir la complementacin (esto es, la operacin de tomar el complemento) como una operacin algebraica sobre el conjunto de las partes de un conjunto dado.

La segunda excepcin es ms inquietante: la matemtica contempornea acepta unnimemente un objeto al que llama conjunto pero que no tiene elementos: el conjunto vaco, designado por el smbolo . Es evidente que, si existe, est incluido en todos los conjuntos (puesto que, si x es un conjunto cualquiera, no hay ningn elemento de que no sea a la vez un elemento de x). Este resultado, en virtud del cual todos los conjuntos, por heterog-neos que sean, incluyen una parte comn, exacerba la desconanza que inspira al sano sentido comn la idea misma de un conjunto sin elementos. Me parece que el principal motivo que induce a los matemticos a aceptar el conjunto vaco es algebraico: en presencia de y slo gracias a ella es posible conferir la estructura de un lgebra de Boole al conjunto de las partes de un conjunto cualquiera K (en adelante, PK). Consideremos la operacin de interseccin que asigna a dos conjuntos cualesquiera el con-junto de los elementos comunes a ambos. Volviendo a nuestro ejemplo del conjunto {a,b,c,d}, comprobamos que la interseccin de sus partes {b,c} y {a,c,d} es el conjunto unitario {c}, que tambin es una parte de {a,b,c,d} (simblicamente: {b,c} {a,c,d} = {c}). Cul es, empero, la interseccin de dos partes disjuntas de {a,b,c,d} (esto es, de dos partes que no tienen un elemento comn)? Diremos que la ecuacin x = {b,c} {a,d} no tiene solucin? que la interseccin no est denida sobre pares disjuntos? Eso es lo que dira, seguramente, cualquier persona sin educacin matemtica. Pero el matemtico puede eludir esta incmoda irregularidad gracias a que acepta la existencia del conjunto sin elementos , el cual por denicin es parte de cualquier conjunto y constituye la interseccin de cualquier par de conjuntos disjuntos. La matemtica haba dado ya pasos aparentemente mucho ms audaces cuando acept la existencia de soluciones para ciertas ecuaciones numricas tales como x = 5 9, 8x = 3, x2 = 2, x2 + 1 = 0.


Por otra parte, no se trata de conjurar la existencia de un objeto inexistente por un acto de hechicera intelectual.4 Basta jar cualquier objeto que no sea un conjunto y que por lo tanto no tenga elementos por ejemplo, el Polo Sur o la ira de Aquiles y decidir que se lo llamar conjunto. Con esta sola sencillsima convencin hacemos de ese objeto una parte (vaca) de todo conjunto, que funciona como cero en el lgebra de Boole denible en el conjunto de todas las partes de un conjunto dado: Si k es una de esas partes, tenemos que k = k y k = .5

Histricamente hubo tambin otro motivo aunque invlido para acep-tar el conjunto vaco . Para entender y apreciar este motivo hay que tener presente que un conjunto puede identicarse dando una lista de sus elementos (como hicimos con {a,b,c,d}) o especicando una o ms condiciones que satisfacen todos los miembros del conjunto y slo ellos. Simblicamente, el conjunto de todos los objetos x que cumplen una condicin K se escribe {x:Kx}. Por ejemplo, {x:x es un nmero primo y x < 16} = {2,3,5,7,11,13}. En las postrimeras del siglo XIX algunos lsofos pensaron por eso que un conjunto, en el sentido en que esta palabra empezaba a usarse en ciertas publicaciones matemticas, era lisa y llanamente lo mismo que en lgica se conoce como la extensin de un concepto. (Evidentemente, los nmeros contenidos en {2,3,5,7,11,13} constituyen la extensin del concepto nmero primo menor que 16). Visto de este modo, el conjunto coincide con la

4 Aunque algunos grandes matemticos se han expresado como si se tratara justamente de eso. As Dedekind (1888, p. 2) anuncia que en ese escrito no admitir el conjunto vaco aunque para otras investigaciones puede ser cmodo inventarlo. ([Wir wollen] das leere System, welches gar kein Element enthlt, aus gewissen Grnden hier ganz ausschlieen, obwohl es fr andere Untersuchungen bequem sein kann, ein solches zu erdichten.) En la primera axiomatizacin de la teora de los conjuntos, Ernst Zermelo se toma esta libertad. Postula all el siguiente:

Axioma II. Hay un conjunto (impropio), el conjunto cero 0, que no contiene ningn elemento.

(Zermelo 1908a, p. 263)

Lewis (1991) arbitrariamente dene el conjunto vaco como la fusin de todos los objetos individuales existentes (esto es, el objeto individual que comprende a todos los dems dentro de s). Esta denicin asegura que existe y est bien determinado como quiera que est constituido el universo.

5 George Boole introdujo el lgebra que lleva su nombre como una estructura discer-nible en el sistema lgico de las clases (extensiones de conceptos). Para ello tuvo

1.1 La palabra conjunto 5

extensin de cualquier concepto contradictorio ( = {x:x x} = {x:x es un cuadrado redondo}, etc.). Pero, como veremos en el Captulo 1.6, si bien todo conjunto identicado mediante una condicin tiene como elementos exactamente los objetos que caen en la extensin del concepto denido por ella, no toda condicin expresable en buen castellano identica un conjunto. No puede, entonces, darse por descontado que haya un conjunto que iden-tican las condiciones contradictorias.

que completar dicho sistema, por convencin terminolgica, con dos objetos que normalmente no se habran considerado como clases, a saber, el universo y la clase sin miembros:

Por clase se entiende usualmente una coleccin de individuos, a cada uno de los cuales se puede aplicar un nombre o descripcin particular; pero en esta obra el signicado del trmino se extender de modo que incluya el caso en que no existe ms que un solo individuo que responde al nombre o descripcin requeridos, as como los casos denotados por los trminos nada y universo, los cuales, considerados como clases, debe entenderse que comprenden, respectivamente, ningn ente (no beings) y todos los entes.

(Boole 1854, p. 28)

71.2 CONJUNTO (MENGE) EN EL VOCABULARIO DE CANTOR

Desde una perspectiva actual, podemos ver el conjuntismo en accin ya desde el comienzo mismo de la matemtica moderna en la Geometra de Descartes (1637). Al caracterizar cada gura geomtrica por la ecuacin que satisfacen las coordenadas de sus puntos, la geometra cartesiana representa en efecto la gura mediante el conjunto de los puntos incidentes en ella, seleccionados de entre todos los puntos del espacio por la condicin impuesta a sus coordenadas. Pero slo a nes del siglo XIX y principios del XX el enfoque conjuntista se har sentir con toda su fuerza gracias a la obra de Georg Cantor y a la inuencia que ejerce sobre las siguientes generaciones de matemticos.

En el Captulo 1.3 veremos cmo un problema clsico de la matemtica decimonnica llev a Cantor a considerar ciertos conjuntos de puntos de la recta, y de ah a la investigacin de tales conjuntos en general. Les dedica seis trabajos ber unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten (Sobre va-riedades lineales innitas de puntos) publicados en Mathematische Annalen entre 1879 y 1884. Ya en el tercero de ellos introduce consideraciones sobre una variedad (un agregado, un conjunto) de elementos pertenecientes a cualquier esfera conceptual (Cantor, GA, p. 150; citado infra), y el quinto versa sobre los Fundamentos de una teora general de las variedades, ttulo bajo el cual circula como folleto separado. Como puede verse por la frase recin citada, Cantor usa la palabra conjunto (Menge) como un sinnimo de lo que sola llamarse en su tiempo variedad o multiplicidad (Mannig-faltigkeit).1 Otros sinnimos utilizados por l son Gesamtheit (totalidad) e Inbegriff (arriba traducido agregado). La connotacin de estos vocablos se

1 La matemtica alemana toma el trmino Mannigfaltigkeit del vocabulario losco de Kant, probablemente a travs de Fries. Kant llamaba as a la variedad concreta de los datos de los sentidos, y tambin a la variedad, pluralidad o multiplicidad compren-didas en el espacio de la geometra, por una parte, y en el tiempo de la mecnica, por otra. En su leccin inaugural Sobre las hiptesis que estn en la base de la geometra (1854), Riemann usa el trmino con la misma amplitud con que luego lo emplear Cantor. Riemann distingue entre variedades discretas (diskrete Mannigfaltigkeiten),


explica al comienzo del ltimo trabajo que Cantor dedica al tema, Con-tribuciones a la fundamentacin de la teora de los conjuntos transnitos (Cantor 1895/97):

Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von be-stimmten wohlunterschiedenen Objekten m unsrer Anschauung oder un-seres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen.

Entendemos por conjunto cualquier reunin en un todo M de determinados objetos bien distinguidos m de nuestra intuicin o nuestro pensamiento (llamados elementos de M).

(Cantor, GA, p. 282)2

que constan de elementos, y variedades continuas (stetige Mannigfaltigkeiten), que constan de puntos. Sin embargo, en la literatura matemtica actual, el trmino alemn y sus equivalentes en otros idiomas (E. variedad; F. varit; I. manifold; IT. variet) se usan exclusivamente para referirse a objetos afines a las variedades continuas de Riemann.

2 En Fundamentos de una teora general de las variedades, 1, nota 1, Cantor haba dicho:

Por variedad (Mannigfaltigkeit) o conjunto (Menge) entiendo en general cualquier pluralidad que se deja concebir como unidad (jedes Viele, welches sich als Eines denken lt), es decir, cualquier agregado (Inbegriff) de elementos de-terminados que en virtud de una ley pueden ser combinados en un todo.

(Cantor, GA, p. 204)

Bernhard Bolzano haba utilizado el trmino Menge en una acepcin similar en su obra pstuma Paradojas del Innito (1851):

Einen Inbegriff, den wir einem [] Begriffe unterstellen, bei dem die Anordnung seiner Teile gleichgltig ist [], nenne ich eine Menge.

Llamo conjunto a un agregado subordinado a un concepto, cuando no importa el orden de sus partes.

(Bolzano 1964, p. 4)

El concepto que gobierna la formacin de un conjunto en el sentido de Bolzano puede equipararse a la ley que segn Cantor preside la combinacin de los elementos del conjunto en un todo. Es signicativo que en sus caracterizaciones ms tardas de la nocin de conjunto Cantor no haga alusin a la existencia de una ley tal. Veo aqu una evolucin comparable a la del concepto matemtico de funcin de dAlembert a Dirichlet (esbozada al comienzo del Captulo 1.3).

1.2 Conjunto en el vocabulario de Cantor 9

La frase reunin en un todo expresa, me parece, que un conjunto es l mismo un objeto, concebido como una cosa de por s, como dice Cantor en un pasaje paralelo (Cantor, GA, p. 411). La indicacin de que consta de objetos de nuestra intuicin o nuestro pensamiento no debe interpretarse como una restriccin encaminada a subordinar la nocin de conjunto al alcance de nuestras facultades mentales. Se dirige ms bien a subrayar que la ndole variopinta de los objetos reunidos en un conjunto en nada afecta su viabilidad. En el citado pasaje paralelo expresa la misma idea diciendo que dichos objetos pueden ser cosas concretas o conceptos abstractos. Estas dos categoras ontolgicas presumiblemente agotaban el reino de lo posible a ojos de Cantor. Ahora bien, intuicin y pensamiento son las facultades cognitivas tradicionalmente asociadas por la losofa alemana a lo concreto y lo abstracto. Por otra parte, es esencial que los elementos de un conjunto estn exactamente determinados y no se confundan entre ellos, ni con otras cosas que no son elementos del conjunto. En el pasaje arriba aludido del tercer trabajo sobre las variedades lineales innitas de puntos, esto se traduca en la exigencia de que los conjuntos bajo consideracin estuviesen bien denidos (wohldeniert):

Llamo bien denida una variedad (una totalidad, un conjunto) de ele-mentos pertenecientes a cualquier esfera conceptual si sobre la base de su denicin y como consecuencia del principio lgico del tercero excluido hay que considerar internamente determinado, por una parte, si un objeto cualquiera de la misma esfera conceptual pertenece o no como elemento a dicha variedad, y, por otra, si dos objetos pertenecientes al conjunto, no obstante diferencias formales en el modo como son dados, son o no iguales entre s.

(Cantor, GA, p. 150).

Cantor agrega que la decisin acerca de si un objeto dado a pertenece o no a un conjunto bien denido M, o es o no idntico a un objeto dado b generalmente no puede efectuarse con seguridad y precisin mediante los mtodos y aptitudes disponibles. Pero lo que importa no es esto, sino slo la determinacin interna, que en casos concretos, cuando los nes buscados lo requieran, se articular, perfeccionando los medios auxiliares, como una determinacin efectiva (externa). Cantor nada dice sobre los medios auxi-liares que permiten articular la determinacin efectiva de los elementos de


un conjunto bien denido; pero supongo que en todo caso sern variantes de los dos que mencion al nal del Captulo 1.1: o bien se da una lista de todos los elementos del conjunto, nombrando o describiendo a cada uno de una manera inequvoca; o bien se establece una condicin que cumplen todos los elementos del conjunto y slo ellos y un procedimiento para decidir si un objeto cualquiera satisface o no dicha condicin. El requisito de determina-cin interna podra entonces suponerse cumplido con slo prescribir tal con-dicin, aunque no se conozca el procedimiento de decisin correspondiente. La caracterizacin de conjunto que trascrib de las Contribuciones (GA, p. 282) signica, a mi modo de ver, que la teora general de los conjuntos concierne solamente a conjuntos bien denidos, en este sentido.

En suma, un conjunto en el sentido de Cantor es un objeto constituido por otros objetos los elementos del conjunto de tal modo que su iden-tidad depende de la determinacin precisa de cules objetos son elementos suyos y cules no.3 Esta nocin de conjunto concuerda en lo esencial con la expuesta en el Capitulo 1.1. De hecho, a pesar de su explcita insistencia en que los conjuntos constan de elementos bien distinguidos, Cantor se reere ocasionalmente a un conjunto que consiste de un solo elemento (GA, p. 98). En cambio, su postura con respecto al conjunto vaco es menos clara. En el N 1 de la serie Sobre variedades lineales innitas de puntos dice que conviene tener un smbolo que exprese la ausencia de puntos, para lo cual elegimos la letra O. P = O signica entonces que el conjunto de puntos P no contiene ni un solo punto, o sea que, estrictamente hablando, no existe como tal (GA, p. 146). As, pues, al mismo tiempo que niega la existencia del conjunto vaco, Cantor le pone un nombre, lo cual es quizs la va ms

3 La misma nocin de conjunto es adoptada por Dedekind en el inuyente ensayo que dedica por esos aos a la fundamentacin conjuntista de la aritmtica (aunque Dedekind dice sistema System en vez de conjunto Menge):

Ocurre muy a menudo que diversas cosas a, b, c por algn motivo son con-cebidas bajo un punto de vista comn y reunidas en la mente. Se dice entonces que forman un sistema S. [] Como objeto de nuestro pensamiento, tal sistema S (o sea una coleccin, o una variedad, o una totalidad [oder ein Inbegriff, oder Mannigfaltigkeit, oder Gesamtheit]) tambin es una cosa; est completamente determinado, cuando est determinado respecto de cada cosa si es o no un ele-mento de S.

(Dedekind 1888, pp. 1s.)

1.2 Conjunto en el vocabulario de Cantor 11

segura en matemticas como en literatura para darle realidad a una c-cin. En el N 6 de la misma serie da un paso ms hacia el reconocimiento del conjunto . Cantor considera all un conjunto de puntos P incluido en una regin H de un espacio n-dimensional G. Si H se descompone en un nmero nito o innito de regiones conexas disjuntas H1, H2, Hk,, P tambin se divide en un nmero correspondiente de partes disjuntas P1, P2, Pk,, donde P = H P ( = 1, 2,). Cantor comenta que P puede, entonces, ser igual a cero (Null), en caso de que ningn punto de P caiga dentro de la regin H (GA, p. 210). Cantor no dice que el cero que aqu se nombra sea un conjunto, pero lo ve sin duda como un objeto por derecho propio, y adems lo equipara a una parte de un conjunto. El lector advertir que el se presenta aqu justamente como la interseccin de dos conjuntos disjuntos. El pasaje sugiere, adems, que la letra O se le impuso a Cantor como smbolo cuando escriba el N1 por su parecido con el nmero 0.

13

1.3 SERIES TRIGONOMTRICAS

El problema matemtico que lleva a Cantor a ocuparse con determinados conjuntos de puntos de la recta concierne a la representacin de funciones reales mediante series trigonomtricas. Una funcin real es una aplicacin cuyos argumentos y valores son nmeros reales. Las deniciones modernas de nmero real datan de la poca de Cantor, y como l mismo fue el autor de una de ellas, es de suponer que no le contentaron las anteriores. Luego bosquejar la teora de los nmeros reales de Cantor. Entre tanto, para no pecar de excesivo anacronismo, entenderemos que una funcin real es una correspondencia entre las distancias (orientadas) determinables en dos rectas 1 y 2 en que se ha marcado un punto 0 y un punto a distancia +1 del 0. Diremos que tales rectas han sido parametrizadas. asigna a cada distancia x medida desde el 0 en la recta parametrizada 1 una distancia y = (x) me-dida desde el 0 en 2. Como hay un y slo un punto sobre cada recta a una dada distancia (orientada) del respectivo 0, se concibe naturalmente como una correspondencia entre puntos, una aplicacin del conjunto de los puntos situados en 1 en el conjunto de los puntos situados en 2. (La funcin puede tambin estar denida slo sobre una parte propia por ejemplo, un intervalo de la recta 1.)

Aunque los matemticos anteriores a Cantor no se expresaban en estos trminos, es difcil eludir la impresin de que pensaban de esta manera. En el siglo XVIII, algunos autores, como dAlembert, entienden al parecer que una funcin real tiene que denirse mediante operaciones algebraicas sobre la variable independiente x (y constantes); mientras que otros, ms atentos a las aplicaciones fsicas, piensan que ella puede ser cualquier correspon-dencia x (x) que represente una curva plana arbitraria (conforme a la convencin habitual que mide los argumentos x sobre el eje horizontal de las abscisas y los valores y = (x) sobre el eje vertical de las ordenadas). Estas dos nociones algebraica y geomtrica de una funcin real son demasiado estrechas en comparacin con la idea generalizada de funcin que Dirichlet introduce en 1837:


Sean a y b dos valores jos y sea x una cantidad variable tal que x toma paulatinamente todos los valores entre a y b. Si un nico y nito corresponde a cada x de modo que, mientras x recorre continuamente el intervalo desde a hasta b, y = (x) tambin vara gradualmente, se dice que y es una funcin continua o regular de x sobre este intervalo. No es necesario que y est sujeta a la misma regla con respecto a x a travs de todo el intervalo. Ni siquiera es necesario que la relacin pueda expresarse mediante operaciones matemticas.1

Dirichlet admite adems que la variacin paulatina concomitante de x y (x) se interrumpa para uno o ms valores de x. En otras palabras, puede tener una o ms discontinuidades. La matemtica posterior fue an ms liberal: la continuidad, interrumpida o no, no es un rasgo esencial del concepto de funcin.

Es de suponer que Joseph Fourier parta de la idea geomtrica de funcin cuando anunci en 1807 que cualquier funcin denida en un intervalo nito de la recta real digamos, en [, ] puede representarse mediante una serie trigonomtrica de este modo:

f xa

a nx b nxn nn

( ) cos= + +( )=

012

sen

(1)

donde los coecientes an (para n 0) y bn (para n 1) estn dados por:

a f x nx xn = 1

( )cos d (2)

y

b f x nx xn = 1

( )sen d (3)

Fourier demostr su tesis para algunos casos especiales y esboz, con escaso rigor, una demostracin general.2 Aos ms tarde, Dirichlet, en el escrito

1 Dirichlet, ber die Darstellung ganz willkrlicher Functionen durch Sinus und Cosinus-reihen, Repertorium der Physik, Berlin: Veit, 1837, vol. I, p. 152; citado por Mannheim 1964, pp. 52s.

2 Fourier, Thorie analytique de la chaleur (1822).

1.3 Series trigonomtricas 15

arriba citado, estableci ciertas condiciones sucientes para que una funcin pueda representarse de este modo y Riemann, en su Habilitationschrift de 1854, intent establecer condiciones necesarias. En este trabajo, Riemann dio la denicin de integral que todava sirve de base a la enseanza elemental del clculo y demostr varios resultados importantes. Pero la cuestin de las condiciones necesarias y sucientes de la representacin (1) qued y sigue pendiente.

Aunque no se sepan exactamente las condiciones en que una funcin real admite la representacin (1), es importante saber si esa representacin es nica, cuando existe, o si, por el contrario, una misma funcin puede representarse mediante dos o ms series trigonmetricas diferentes. Esta es la cuestin que Cantor abord y resolvi en varios artculos publicados entre 1870 y 1872.3 Cantor (1870) considera una funcin real denida en un intervalo nito I y representable mediante una serie trigonomtrica de la forma (1), convergente para todo x I. No presupone que sea integrable o que los coecientes de la serie (1) estn dados por (2) y (3). Tampoco requiere la convergencia uniforme de la serie (1) en I.4 La unicidad de la representacin (1) es un corolario del siguiente teorema:

[T1] La serie trigonomtrica en el lado derecho de la ecuacin (1) repre-senta la funcin constante (x) = 0 si y slo si an = bn = 0 para todo nmero no negativo n.

En efecto, si hay dos representaciones de una misma funcin g mediante series de la forma (1), la diferencia de las dos series, tomada trmino a trmino, representa la funcin (x) = 0. Pero esto supone, segn el teorema citado, que la diferencia entre coecientes homlogos de ambas series sea en

3 Los trabajos de Cantor aludidos a continuacin como todos sus escritos ms impor-tantes han sido resumidos en ingls por Dauben (1979), pero en esta parte, como en otras, la exposicin de Dauben tiene mucho que envidiarle a la claridad del original. J. Marshall Ash (1989) ofrece una demostracin rigurosa y detallada de los resultados de Cantor (1870).

4 Decimos que la serie ( )kk

x= 1 converge uniformemente al lmite (x) en el intervalo

I, si para cada nmero real positivo hay un entero positivo N() tal que, para todo x I y todo n > N(), |(x) ( )

kk

n

x= 1 | < .


cada caso igual a 0 o, en otras palabras, que las dos representaciones sean idnticas. El teorema T1 se deduce fcilmente del siguiente resultado, que Cantor demuestra utilizando un ingenioso articio aprendido de Riemann:

[T2] Si para todo x en el intervalo nito I,

lim( cos )n n na nx b nx

+ =

sen 0 (4)

entonces, lim limn

nn

na b = =

y0 0 .

En trabajos posteriores Cantor simplica la demostracin de esta proposi-cin conforme a una sugerencia que le hizo Kronecker y establece que ella sigue siendo vlida aunque haya valores excepcionales de x para los cuales la secuencia (4) no converge en absoluto o converge a un lmite distinto de 0. Es justamente a este propsito que presta atencin a ciertos conjuntos de puntos en el intervalo I, a n de determinar con precisin el conjunto de esos valores excepcionales. Cantor (1871) demuestra T2 y por lo tanto la unicidad de la representacin (1) para el caso de que haya un nmero arbitrariamente grande pero nito de valores excepcionales de x en cualquier intervalo nito dado. Cantor (1872) extiende las demostraciones anteriores a una familia de casos en que el intervalo nito I incluye un subconjunto in-nito de puntos x donde la secuencia (4) no converge o converge a un lmite diferente de 0. En dicho trabajo y al servicio de ese resultado Cantor introduce su teora de los nmeros reales que llama magnitudes numricas (Zahlengren) y hace sus primeras consideraciones sobre conjuntos de puntos. Paso a explicarlas.

Cantor dice que los nmeros racionales constituyen el fundamento para la determinacin del concepto ms amplio de magnitud numrica. Los racionales forman el dominio A (Cantor, GA, p. 92). Sea a0, a1, una secuencia innita de racionales, tal que para cada nmero racional > 0 hay un entero positivo N, de suerte que |am an| < siempre que N < m < n. Diremos que a1, a2, es una secuencia fundamental en el dominio A, y la designaremos (ai). (En vez de secuencia fundamental suele decirse secuencia de Cauchy.) Cantor asocia a cada secuencia fundamental en A un ndice sujeto a la condicin siguiente: Si (ai) y (bi) son dos secuencias fundamentales en A y para cada nmero racional > 0 hay un entero positivo


N tal que |an bn| < si N < n, se asocia un mismo ndice a las secuencias (ai) y (bi). Diremos en tal caso que (ai) y (bi) son secuencias equivalentes.

5 Si (ai) y (bi) son dos secuencias fundamentales en A asociadas a dos ndices diferentes y , decimos que < si hay un nmero racional positivo q y un entero positivo N tales que q < (bn an) si N < n. Cantor llama B al dominio formado por los ndices de las secuencias fundamentales de racionales. Claramente, la relacin < establece un orden lineal en B. Cantor dene asimismo la adicin y la multiplicacin en B:

ADICIN: Sean y los ndices asociados respectivamente a las secuencias (ai) y (bi). Entonces, la suma + es el ndice correspondiente a la se-cuencia (ai + bi), formada sumando esas dos secuencias trmino a trmino.

MULTIPLICACIN: Sean y los ndices asociados respectivamente a las se-cuencias (ai) y (bi). Entonces, el producto es el ndice correspondiente a la secuencia (aibi), formada multiplicando esas dos secuencias trmino a trmino.

En virtud de estas deniciones, los objetos que forman el dominio B merecen llamarse magnitudes numricas. Las operaciones as denidas coneren a B la estructura de un cuerpo ordenado (aunque Cantor no se expresa as). Su prximo paso consiste en formar secuencias fundamentales con elementos tomados de A y B. Ahora bien, el concepto de secuencia fundamental ex-plicado arriba puede sin duda extenderse al dominio B utilizando la adicin y el orden denidos en ste;6 pero sera preferible evitar la promiscuidad entre A y B. Esto se logra reemplazando cada elemento a de A incluido en

5 Como fcilmente se puede comprobar, la relacin entre (ai) y (bi) es una genuina relacin de equivalencia, puesto que es una relacin simtrica, transitiva y reexiva. Cabe, pues, entender que el ndice asociado a cada secuencia fundamental no es otra cosa que la clase de equivalencia a la que pertenece en virtud de esta relacin.

6 La adicin determina el 0 en B, a saber, aquel objeto cuya suma con cualquier otro es igual a este ltimo. Los dems objetos de B quedan entonces clasicados en positivos y negativos, segn sean mayores o menores que el 0. Si y estn en B, designa la suma de y el nico objeto de B cuya suma con es igual a 0. Una secuencia fundamental en B puede entonces denirse en los mismos trminos utilizados arriba para denir una secuencia fundamental en A, con una sola diferencia: > 0 debe ser un objeto de B, no de A.


una secuencia promiscua por el elemento de B correspondiente a la secuen-cia constante (a, a,) esto es, a la secuencia (ak) tal que ak = a para cada entero positivo k. Mediante un procedimiento anlogo al seguido para formar el dominio B, Cantor forma un dominio C de ndices asociados a las secuencias fundamentales en B, un dominio D de ndices asociados a las secuencias fundamentales en C, etc. La equivalencia de secuencias funda-mentales, as como el orden, la adicin y la multiplicacin de los ndices pertinentes se denen en cada nuevo dominio de una manera similar a la indicada en la construccin de B.

Es claro que el dominio B, aunque dotado de una estructura algebraica pa-recida a la de A, es esencialmente ms rico que ste. En efecto, si bien cada elemento de A corresponde, del modo explicado, a un elemento nico de B, hay elementos de B que no corresponden de este modo a ningn elemento de A. Por ejemplo, si (ai) es una secuencia en A tal que la secuencia de productos (aiai) es equivalente a la secuencia constante (2, 2,), no hay un nmero racional q tal que (ai) sea equivalente a la secuencia constante (q, q,) y por lo tanto el ndice de la secuencia (ai) no corresponde del modo antedicho a ningn elemento de A. En cambio, toda secuencia fundamental (i) de elementos de B equivale a alguna secuencia constante (, ,) en B, y otro tanto puede decirse de las secuencias fundamentales en C, D, etc. Por esta razn, los dominios C, D, son todos estructuralmente idnticos a B. Sea K uno cualquiera de estos dominios. Entonces hay una aplicacin biyectiva nica de B en K que respeta la relacin < y todas las relaciones determinadas por la adicin y la multiplicacin.7 Dicha aplicacin es lo que se llama un isomorsmo (porque retrata elmente una estructura en la otra) cannico (porque es nico en su gnero). Salvo una particular acin a la recurrencia innita, no veo qu pueda haber inducido a Cantor a reconocer los dominios C, D, como diferentes de B.

Por ltimo, Cantor coordina los elementos del dominio B con los puntos de una recta (parametrizada) cualquiera. Recuerda que, una vez que se ha jado el punto 0, las direcciones positiva y negativa desde el 0 y la unidad de distancia, cada punto p queda perfectamente individualizado por su dis-

7 Sea : B K la aplicacin en cuestin. Entonces, para cada , B, () < () si y slo si < ; ( + ) = () + (), y () = ()(). En particular, (0) es el 0 de K y (1) es el 1 de K.


tancia (orientada) al punto 0. Si esa distancia es un nmero racional a, el punto p queda asociado unvocamente a ese elemento de A. (Y tambin, por ende, al elemento nico de B que es el ndice de la secuencia constante (a, a,)). Pero si la distancia orientada de p al 0 no es un nmero racional, siempre habr una secuencia fundamental de racionales (ai) tal que (i) para cada entero positivo k hay un punto pk a distancia ak del 0, y (ii) todo in-tervalo centrado en p, por pequeo que sea, encierra innitos puntos de la secuencia (pi). Cantor resume esto diciendo que la distancia de p al punto 0 es igual a b, donde b es el ndice de la secuencia (ai). De este modo, a cada punto de la recta corresponde una y slo una magnitud numrica en B. Cantor reconoce que no es posible demostrar que exista la correspondencia inversa, en virtud de la cual a cada magnitud numrica le pertenece un determinado punto de la recta, cuya coordenada es igual a esa magnitud nu-mrica, en el sentido aqu explicado. Por eso la acepta simplemente como axioma. En virtud de este axioma, las magnitudes numricas obtienen una cierta objetividad, de la cual, sin embargo, son enteramente independientes (Cantor, GA, p. 97).

Establecida as por decreto la correspondencia entre las magnitudes numricas (nmeros reales) y los puntos de la recta, Cantor advierte que en lo sucesivo cuando hable de puntos se referir a las magnitudes numri-cas correspondientes. En aras de la brevedad llamar conjunto de valores (Wertmenge) a una multitud dada de tales magnitudes, y conjunto de puntos (Punktmenge) a la correspondiente multitud de puntos. Si P es un conjunto cualquiera de puntos contenidos en un intervalo nito, P determina otros conjuntos de puntos, que Cantor llama conjuntos derivados (abgeleitete Punktmengen). Se denen as. Un entorno de un punto p es un intervalo que contiene a p. Si cada entorno de p contiene innitos puntos del conjunto P, diremos que p es un punto lmite (Grenzpunkt tambin se dice punto de acumulacin) de P. El primer conjunto derivado P es el conjunto de todos los puntos lmite del conjunto P. El ( +1)-simo conjunto derivado P(+1) es el conjunto de todos los puntos lmite del -simo conjunto derivado P(). Por

8 Sea dicho de paso, aqu tenemos un ejemplo de conjunto unitario, propuesto por Cantor mismo. El texto, traducido, dice as: Si el conjunto P consiste de los puntos correspondientes a las abscisas 1, 1/2, 1/3,,1/n, el conjunto P consiste del solo punto 0 y no tiene un conjunto derivado. (Cantor, GA, p. 98).


ejemplo, si P es el conjunto de puntos a distancia 1, 1/2, 1/3, 1/4, del 0, el primer conjunto derivado P es el conjunto {0}.8 Evidentemente, si el -simo conjunto derivado P() de un conjunto de puntos P contiene slo un nmero nito de puntos, su ( +1)-simo conjunto derivado P(+1) no contiene ninguno. Hoy diramos que en tal caso P(+1) = , pero lo que dice Cantor es que si P() contiene slo un nmero nito de puntos, entonces P() no tiene conjunto derivado. El conjunto original P es entonces lo que Cantor llama un conjunto de puntos de la -sima especie (Punktmenge ter Art).

Recurriendo a estos conceptos, Cantor demuestra que la proposicin T2 sigue siendo vlida aunque sus condiciones no se cumplan en un conjunto de puntos de la -sima especie incluido en el intervalo I, cualquiera que sea el entero positivo (siempre, claro est, que esas condiciones estn satisfechas en el resto de I). Ello implica el siguiente teorema sobre la unicidad de la representacin (1):

Si la serie trigonomtrica

( ) ( cos )xa

a nx b nxn nn

= + +=

012

sen

representa a la funcin real en todos los puntos x del conjunto I\P, donde I es un intervalo nito de la recta real y P I es un conjunto de puntos tal que su conjunto derivado P(n) = para algn entero positivo n, entonces dicha representacin es nica.

21

1.4 DIVERSOS INFINITOS

Como veremos en el Captulo 1.5, con sus reexiones sobre los conjuntos derivados Cantor dio un primer paso decisivo para la construccin de la aritmtica del innito expuesta en los trabajos Sobre variedades lineales innitas de puntos de 18791884. Pero antes explicar ciertos hallazgos sobre conjuntos innitos que Cantor public en 1874 y 1878 y que contri-buyeron poderosamente a motivar sus estudios posteriores. Se reeren a lo que Cantor llama la potencia (Mchtigkeit), esto es, la numerosidad de un conjunto, que es la nica propiedad que lo caracteriza si se hace caso omiso de su estructura y de la naturaleza de sus miembros.1 Decimos que dos conjuntos a y b son equinumerosos, o que tienen la misma potencia, si hay una aplicacin biyectiva de a sobre b. En cambio, si hay una aplica-cin inyectiva de a en b, pero no hay una aplicacin biyectiva de a sobre b, diremos que b es ms numeroso que a, o que su potencia es mayor que la de a. Evidentemente, estas deniciones prescinden de la ndole de a y b, y de sus respectivos elementos. Utilizando estos conceptos, Cantor (1874) demuestra las proposiciones siguientes:

1 Tras explicar con admirable claridad y concisin la mdula de las investigaciones de Cantor sobre la representacin nica de funciones reales mediante series trigonomtricas, Maddy indica sugestivamente de qu modo el descubrimiento del teorema enunciado al nal del Capitulo 1.3 pudo conducirle a reexionar sobre la numerosidad de los conjun-tos innitos. Una vez que deni los reales en trminos de secuencias fundamentales, Cantor pudo extender su teorema de unicidad de 1870 a funciones que convergen slo en el complemento de un conjunto innito, aunque excepcional, de puntos.

Pero qu curioso conjunto de puntos era ste! Finito y bastante complejo, y sin embargo en cierto modo tan pequeo o tan bien portado con respecto a la totalidad de los reales, que resultaba inofensivo. Al parecer, esto puso a Cantor a pensar de cmo era que los conjuntos continuos, tales como los reales, se re-lacionan con conjuntos innitos discretos y al parecer ms pequeos, tales como los nmeros naturales.

(Maddy 1990, p. 108)


(I) El conjunto de todos los nmeros algebraicos y el conjunto de los enteros positivos {1, 2,} son equinumerosos.

(II) El conjunto de los nmeros reales comprendidos en un intervalo nito cualquiera es ms numeroso que el conjunto de los enteros positivos.

Cantor (1878) demuestra que:

(III) El conjunto de los puntos contenidos en un segmento recto es equi-numeroso con el conjunto de los puntos contenidos en un cuadrado o en un cubo o, en general, en cualquier hipercubo de dimensin arbitraria n.

Se llama nmero algebraico a cualquier nmero real que sea una solucin de una ecuacin con coecientes enteros, de la forma:

0 + 1x + 2x2 ++ nxn = 0 (1)

El ndice ms alto para el cual n 0 se llama el grado de la ecuacin (1). Una ecuacin de grado n admite a lo sumo n soluciones reales. Para que cada solucin corresponda a una sola ecuacin de la forma (1), Cantor requiere adems que 0 sea positivo y que todos los coecientes sean primos entre s (es decir, que no tengan un divisor comn). Digamos que una ecuacin que rene estas caractersticas es una ecuacin simplicada. Cantor asigna a cada nmero algebraico un entero positivo que llama su altura (Hhe) y que determina as: Sea u una solucin de una ecuacin simplicada de grado n con coecientes 0, 1,, n. Entonces la altura de u es igual a n 1 + |0| + |1| ++ |n|. Se comprueba fcilmente que no hay ms que una cantidad nita de nmeros algebraicos de una misma altura. Cantor observa que hay slo uno con altura 1, dos con altura 2, cuatro con altura 3. Digamos que el nmero algebraico u precede al nmero algebraico v si u tiene menor altura que v, o, en el caso de que tengan la misma altura, si u es menor que v. Evidentemente, los nmeros algebraicos ordenados de esta manera forman una secuencia innita, u1, u2,, en correspondencia biunvoca con los enteros positivos. Este resultado llama la atencin, ya que en cada entorno

1.4 Diversos innitos 23

de cualquier nmero real p hay innitos nmeros algebraicos.Para probar que todo intervalo real (, ) es ms numeroso que el conjunto

de los enteros positivos, Cantor considera una secuencia innita arbitraria de nmeros reales, todos diferentes, p1, p2,, y muestra que en cualquier intervalo (, ) hay por lo menos un nmero real que no pertenece a esa se-cuencia. Esto signica que ninguna aplicacin inyectiva del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los reales cubre todo el intervalo (, ). Vamos a recorrer en orden la secuencia hasta encontrar dos nmeros conte-nidos en (, ). Desgnemoslos 1 y 1, de tal modo que 1 < 1. (Notamos que si no hubiera ms que un nmero pr en contenido en (, ), cualquier elemento del interior de (, pr) sera un nmero real que no pertenece a ). Sigamos recorriendo la secuencia , hasta hallar dos nmeros contenidos en el intervalo (1, 1). Llammoslos 2 y 2, de modo que 2 < 2. Esta opera-cin se repetir tantas veces como d un resultado, designndose, en general, con n+1 y n+1 a los dos primeros miembros de la secuencia contenidos en el intervalo (n, n) y tales que n+1 < n+1. Hay dos posibilidades: o bien (P1) hay un entero positivo k tal que el interior de (k, k) no contiene dos nmeros de , en cuyo caso ninguno de los innitos nmeros reales mayores que k y menores que k pertenece a ; o bien (P2), no importa cun grande sea k, el intervalo (k, k) siempre contiene por lo menos dos nmeros de , en cuyo caso la secuencia innita creciente 1, 2,, acotada arriba por los i, converge a un lmite *, y la secuencia innita decreciente 1, 2,, acotada abajo por los i, converge a un lmite *. Si * < *, cual-quier nmero contenido en el intervalo (*, *) es un nmero real que no pertenece a . Si * = *, entonces * no pertenece a , puesto que, si * perteneciera a , tendramos que * = pr para cierto entero positivo r y las secuencias 1, 2, y 1, 2, son subsecuencias de denidas de tal modo que pr no puede estar contenido en el intervalo (r, r) (en el mejor de los casos, {1, 1} = {p1, p2} y el primer miembro de que puede estar contenido en (1, 1) es p3); en cambio, * est contenido en (r, r), cual-quiera que sea el entero positivo r. Por lo tanto, existe al menos un nmero real en el intervalo (, ) que no pertenece a la secuencia .

Cantor (1874) habla de los enteros positivos, de los nmeros algebraicos y de los nmeros reales en cierto intervalo nito como si cada una de estas


clases innitas de nmeros estuviera presente en su totalidad.2 El supuesto de que la investigacin matemtica se ocupa con conjuntos bien denidos que constan de innitos elementos est, por cierto, implcito ya en su teora de los nmeros reales, segn la cual cada uno de estos corresponde a una secuencia fundamental innita bien denida de nmeros racionales; o, para ser ms exacto, a una clase innita de tales secuencias.3 Este supuesto es contrario a la concepcin tradicional, heredada de Aristteles, segn la cual la innitud de los nmeros y otras clases de objetos matemticos que se maniesta en la posibilidad de producir otros nuevos, interminablemente, cada vez que se ha jado una cierta cantidad de ellos excluye el que pueda concebrselos como formando una totalidad acabada. Ms adelante veremos como Cantor deende en sus escritos loscos la actualidad del innito matemtico, contra esta idea aristotlica de un innito meramente potencial. Pero conviene examinar desde ya en qu medida la concepcin cantoriana del innito afecta no slo el enunciado sino tambin la demostracin de las proposiciones I y II.

Pienso que la demostracin de la proposicin I no presupone un innito actual. Cantor propone un mtodo para enumerar los nmeros algebraicos de modo que ninguno se omita. Para ello no es menester que los enteros positivos formen una totalidad dada de antemano. Basta irlos tomando en orden, uno a uno, de una fuente virtualmente inagotable, y asignarlos a los nmeros algebraicos conforme a una regla que asegure que ninguno de stos ser pasado por alto. Esto es lo que se logra con el mtodo propuesto. Su-pongamos que cuando enumeramos cierto nmero a cierto nmero algebraico b no ha sido enumerado todava. En tal caso, o bien b tiene mayor altura que a, o, si tiene la misma altura, es simplemente mayor que a. En ambos casos, le corresponde ser enumerado despus que a y, por consiguiente,

2 Cantor, GA, pp. 115, 116, menciona expresamente der Inbegriff aller ganzen positi-ven Zahlen, die reellen algebraischen Zahlen in ihrer Gesamtheit y die smtlichen reellen Zahlen, welche 0 und 1 sind.

3 Advirtase que si es una secuencia fundamental y se modican de cualquier manera los n primeros trminos de , donde n es un entero determinado, tan grande como se desee, se obtiene una secuencia fundamental equivalente a . As, la identidad de cada nmero real, segn la teora de Cantor, depende de la ltima parte innita de la secuencia fundamental que lo representa (esto es, de lo que resta de la secuencia despus de remover los n primeros trminos, para n jo, pero arbitrario).


su ausencia de entre los nmeros algebraicos enumerados antes que a no constituye una omisin.

En cambio, parece que la demostracin de la proposicin II depende esen-cialmente de que el conjunto de los enteros positivos est ya dado. Se trata de mostrar que, como quiera que este conjunto se inyecte en el dominio de los reales, la imagen de la inyeccin excluye por lo menos un nmero real de un determinado intervalo.4 Para probar la proposicin II Cantor considera, como vimos, una inyeccin cualquiera , cuya imagen realiza una de las alternativas que arriba llam P1 y P2. Ahora bien, slo se puede decidir que estamos frente a la alternativa P1 si hemos recorrido todos los valores de . De otro modo cmo se podra establecer que a lo sumo hay slo uno de esos valores dentro de cierto intervalo (k, k), determinado como se explic? Sin embargo, sera errado creer que la prueba de la proposicin II requiere que se sepa cul de las dos alternativas se cumple. Slo hace falta saber que, cualquiera que sea la aplicacin inyectiva de los enteros posi-tivos en los reales, tiene que cumplirse una de las dos. La argumentacin de Cantor va dirigida a mostrar que, en ambos casos, hay dentro del intervalo (, ) por lo menos un nmero real que no es un valor de . Como P1 es la negacin de P2, el principio lgico del tercero excluido implica que una tercera alternativa es imposible.5 (Segn L. E. J. Brouwer, la matemtica cantoriana es inaceptable justamente porque dicho principio lgico no vale en los dominios innitos; cf. Apndice XIX).

La demostracin de la proposicin III publicada por Cantor en 1878 es demasiado larga para reproducirla aqu.6 Pero una carta suya a Dedekind de 1877 contiene otra demostracin ms sencilla que voy a parafrasear. Inyec-taremos el interior de un cuadrado Q en el interior de un segmento S. Con este propsito le asignamos a cada punto en ste ltimo un nmero real x

4 Si el conjunto de los enteros positivos existe, no cabe duda de que hay por lo menos una aplicacin inyectiva del mismo en el dominio de los reales, a saber, la inclusin cannica que asigna a cada entero positivo z el nmero real correspondiente a la se-cuencia constante (z, z,).

5 P1 se cumple si para todo entero positivo k hay dos valores de la secuencia en el intervalo (k, k). P2 se cumple si hay un entero positivo k tal que en el intervalo (k, k) no hay dos valores de .

6 El texto alemn original aparece en Cantor, GA, pp. 119133. Dauben 1979, pp. 5866, da una buena parfrasis en ingls.


en el intervalo (0,1) y a cada punto en Q un par de coordenadas y,z del mismo intervalo. Cualquier nmero de ese intervalo puede expresarse de una sola manera como un decimal innito 0,123, donde cada i es un dgito y para cada entero positivo k hay otro entero h tal que k+h > 0. Algunos de esos nmeros pueden adems representarse mediante decimales nitos por ejemplo, 0,273999 = 0,274 pero excluiremos esta forma de expresin para evitar duplicaciones. Nuestra aplicacin inyectiva asigna al punto de Q con coordenadas y = 0,123 y z = 0,123 el punto de S correspondiente al nmero x = 0,112233 Dedekind objet a Cantor que esta aplicacin no es biyectiva. En efecto, su imagen no incluye ningn punto de S cuya coordenada se exprese mediante un decimal innito de la forma 0,12k0k+20k+40 (en el cual, indenidamente, a partir de cierto dgito, hay, dgito por medio, un cero). Cantor acept esta crtica y elabor otra demostracin ms engorrosa. Sin embargo, a la luz de un teo-rema demostrado (independientemente) por E. Schrder y F. Bernstein casi veinte aos ms tarde, el argumento original de Cantor resulta suciente para probar la proposicin III. Segn ese teorema, si un conjunto a es inyectable en un conjunto b y b es inyectable en a, a y b son equinumerosos.7 Como es claro que el segmento S se puede inyectar en el cuadrado Q (por ejemplo, mediante la aplicacin x x,x), la existencia de una aplicacin inyectiva de Q en S prueba que tienen la misma potencia. El mtodo seguido para denir la inyeccin de Q en S se deja extender fcilmente al caso en que Q sea un hipervolumen de cualquier dimensin.

La publicacin de la proposicin III vino a agravar la llamada crisis de la intuicin matemtica en el ltimo tercio del siglo XIX.8 Intuitivamente parece haber una diferencia irreductible entre un recta y una supercie o un volumen. Los matemticos conceptualizaban esa diferencia relacionndola con el nmero de coordenadas requerido para identicar cada punto de estos continuos (una, dos y tres, respectivamente). Por esta va, se haca fcil concebir los hiperespacios de ms de tres dimensiones: era cosa de incre-

7 Las primeras demostraciones del teorema de Schrder y Bernstein solan aducir premi-sas ms fuertes de lo necesario. Se hallar una demostracin ms econmica en Levy 1980, pp. 85s.

8 Se agrega a la curva sin direccin de Weierstra, una funcin real continua pero no diferenciable. Precede a la curva que llena una supercie de Peano, aplicacin continua de un segmento recto sobre un cuadrado.


mentar el nmero de coordenadas asignadas a sus puntos. Pero la proposicin III muestra que basta con una sola coordenada para identicar los puntos de un continuo de cualquier nmero de dimensiones. Dedekind sugiri que slo poda haber biyecciones continuas entre dominios equidimensionales. Pero trascurrirn ms de 30 aos antes de que Brouwer (1911, 1913) demuestre este teorema.9 Para ello hubo que encontrar primero una caracterizacin viable del concepto de nmero de dimensiones. (Cf. D. M. Johnson 1978/81).

Las proposiciones I y II distinguen dos clases de innito: el innito denu-merable de los enteros positivos y algebraicos, y el innito mayor de los nmeros reales. Cantor pronto conjurar una sucesin hiperinnita de in-nitos, cada cual ms numeroso que los anteriores. Junto a su demostracin de que todos los continuos son equinumerosos public una conjetura que luego intentar sin xito demostrar: Entre las variedades lineales innitas no se encuentran ms que dos potencias (Cantor, GA, p. 133), a saber, la de los enteros y la de los reales. En otras palabras: un continuo C nunca incluir un subconjunto D que sea a la vez menos numeroso que C y ms numeroso que los enteros positivos. Esta es la clebre Hiptesis del Conti-nuo de Cantor.

9 Cantor (1878) subraya que su rotulacin de cada punto del plano mediante una sola coordenada supone que la parametrizacin no sea continua, pero expresamente deja abierta la cuestin que ser resuelta por Brouwer (GA, p. 121).

29

1.5 ARITMTICA TRANSFINITA

Al comienzo del N 5 de la serie Sobre variedades lineales innitas de pun-tos, publicado en 1883, Cantor declara que sus investigaciones acerca de ese tema han alcanzado un punto desde el cual no puede dar ni un paso ms con naturalidad (zwanglos) si no extiende el concepto de nmero entero ms all de sus lmites acostumbrados. Esta es su justicacin o, si fuese menester, su excusa para introducir en ese escrito ideas aparentemente extraas. Como explica enseguida, se trata de ampliar o, ms bien, de continuar la serie de los nmeros enteros ms all del innito (GA, p. 165).

Cantor saba muy bien que la matemtica tradicional lo que habran llamado matemtica clsica en 1880 si este modo de expresarse hubiera sido corriente a la sazn admita el innito slo como una potencialidad inalcanzable y rechazaba de plano el innito actual.

Me parece que el innito matemtico, en la medida en que ha encontrado en la ciencia hasta la fecha una aplicacin justicada y provechosa, se presenta ante todo en la acepcin de una cantidad variable que, o bien crece ms all de todo lmite, o bien decrece hasta ser arbitrariamente pequea, pero que siempre sigue siendo nita. Llamo a este innito, el innito impropio (das Uneigentlich-unendliche).


Cantor patrocina, en cambio, una concepcin del innito matemtico como algo completamente determinado. Aduce como ejemplo el punto en el innito utilizado ya entonces en la teora de la funciones de una variable compleja. Pero, nos advierte,

mientras el punto en el innito del plano complejo se yergue solo frente a todos los puntos del dominio nito, aqu obtendremos no tan slo un nmero entero innito nico, sino una secuencia innita de tales nmeros, que se distinguen bien unos de otros y sostienen relaciones aritmticas regulares entre s y con los nmeros enteros nitos.



El avance al transnito procede en dos frentes. Ya conocemos uno. Vimos como Cantor demostraba que el conjunto de los nmeros reales (o de los puntos de la recta) incluye subconjuntos tales como el conjunto de los nme-ros enteros y el de los nmeros algebraicos (respectivamente, los puntos con coordenadas enteras y con coordenadas algebraicas), que son innitos pero menos numerosos que . Segn esto, en hay por lo menos dos modos o niveles diferentes de innitud. Cantor (1890/91) mostrar que, dado un con-junto cualquiera K, el conjunto de sus partes PK es siempre ms numeroso que K. Resulta entonces que, si sobreentendemos con Cantor que, dado un conjunto, tambin est dado el conjunto de sus partes, basta que haya una numerosidad innita, para que haya innitas otras mayores que ella. Cantor elaborar una aritmtica de tales numerosidades, con reglas precisas para la adicin, la multiplicacin, la exponenciacin. Esta lnea de avance tiene, con todo, un inconveniente: las numerosidades generadas por la operacin K PK se suceden, s, de menor a mayor, pero no hay cmo saber si no existen numerosidades intermedias entre la numerosidad de un conjunto K y la numerosidad de PK. Pero Cantor avanzar al transnito tambin por otro frente en el cual ese inconveniente no se presenta (al menos, si se acepta una hiptesis que l juzga verdadera).

Cuando comparamos la numerosidad de dos conjuntos innitos M1 y M2 con los mtodos de la Capitulo 1.4 lo que hacemos puede describirse as: Los elementos del conjunto M1 se emplean como ndices para enumerar los elementos del conjunto M2; si alcanzan para todos, M1 no es menos numeroso que M2; pero si, como quiera que se marquen los elementos de M2 con ndices tomados de M1, necesariamente queda alguno sin marcar, es claro que M2 es ms numeroso que M1. Si luego queremos comparar la numerosidad de M2 con la de un tercer conjunto M3 no podemos usar a M1 como conjunto de ndices, sino que tenemos que valernos de los elementos de M2 o M3. No es as como comparamos ordinariamente la numerosidad de conjuntos nitos. Antes bien, la serie de los enteros positivos, ordenada de menor a mayor, nos sirve aqu como nico sistema de ndices, con el cual enumeramos los elementos de cada uno de los conjuntos que queremos comparar. Por esta va, junto con averiguar que uno de los conjuntos as enumerados es ms numeroso que otro, se establece exactamente cuntas numerosidades intermedias hay entre las de esos dos conjuntos. La segunda lnea de avance seguida por Cantor provee una continuacin transnita de la sucesin ordenada de los enteros.

1.5 Aritmtica transnita 31

La idea de una tal continuacin surge con toda naturalidad del estudio de los conjuntos derivados de un conjunto de puntos. Cuando habl de ellos en el Captulo 1.3 me refer expresamente slo a conjuntos de la n-sima especie, cuyo n-simo conjunto derivado es nito, de suerte que el conjunto derivado (n + 1)-simo est vaco. Pero la recta incluye por cierto ms de un conjunto de puntos P tal que, para cualquier entero positivo n, el conjunto derivado P(n) . Tenemos adems que, si bien P(1) generalmente no es una parte de P (por ejemplo, si P es el conjunto de los puntos con coorde-nadas algebraicas, P(1) = ), en cambio, P(n+1) P(n) para todo n 1. Por ende, P(n) , la interseccin innita P i

i

( )

=

1

. Cantor llama a esta

interseccin la derivacin de orden y la designa con el smbolo P(). Considera en seguida la serie de sus conjuntos derivados P(+1), P(+2), Tambin P() tiene su derivacin de orden , generalmente no vaca. Cantor la designa con P(2). Prosiguiendo con estas construcciones conceptuales uno llega a derivaciones que es consecuente designar con P(n+m), donde n y m son nmeros enteros positivos (GA, p.147). La interseccin P k

k

( )

=1 debe llamarse entonces P(2). El prximo paso natural es formar derivacio-nes cuyo orden est dado por un polinomio en de grado n (n > 1). La interseccin innita de tales derivaciones es, lgicamente, P().

Avanzando de modo consecuente se ganan sucesivamente los ulteriores conceptos:

P(), P(+1), P(+n), P(n), P(

n), P(), etc.;

vemos aqu una generacin dialctica de conceptos que conduce cada vez ms lejos, mantenindose libre de toda arbitrariedad, como algo en s mismo necesario y consecuente.


Como el smbolo se utiliza tradicionalmente en matemticas para signicar el innito potencial a que tiende una cantidad variable no acotada, Cantor lo reemplaz en 1883, en su nuevo uso, por el smbolo , que emplearemos en adelante (GA, p. 195n.). El objeto surge, pues, como el primer ndice transnito en la serie de las derivaciones de un conjunto de puntos. Pero, al igual que los ndices nitos, y sus sucesores pueden separarse de esta


funcin y usarse para enumerar los elementos de otros conjuntos. Tomados as en abstracto constituyen, segn Cantor, una continuacin natural de la serie de los enteros positivos, suciente para medir todas las diversas nu-merosidades, en sucesin ascendente, presentes en la naturaleza corprea y espiritual (GA, p. 199).

Antes de hacer esta asombrosa aseveracin, Cantor explica ciertos concep-tos que precisan su sentido y alcance. Para facilitar la exposicin adoptar ciertas convenciones. Llamar ordinales a los elementos nitos y trans-nitos de la serie cantoriana de enteros (este trmino, de uso corriente, corresponde al alemn Ordnungszahlen que Cantor emplea en sus publi-caciones desde 1887; GA, p. 388). Siguiendo la prctica actual, entender que el primer ordinal es el 0, no el 1 (cf. Cantor, GA, p. 445). Para denotar ordinales en general usar las minsculas del alfabeto griego, aunque recurrir a la cursiva minscula de nuestro alfabeto cuando quiera referirme espec-camente a un ordinal nito, esto es, a un predecesor de . La expresin < signica que precede a en la sucesin de los ordinales. Puede lersela es menor que o es mayor que . Por ahora hasta el Captulo 1.8 designar con [] al conjunto de todos los ordinales menores que un cierto ordinal . (Hoy da no se necesita un smbolo especial para designarlo, desde que von Neumann caracteriz los ordinales de tal modo que = [] = {: < }, por denicin; vase la Seccin 1.8.4.) Tenemos, entonces, que [] [] si < . Si los elementos de un conjunto K se dejan enumerar exhaustivamente utilizando en orden todos los predecesores del ordinal , dir que es un enumerador de K. (Con este trmino articial traduzco aqu el vocablo alemn Anzahl, que Cantor usa en esta acepcin).

Obviamente, si es un enumerador de K, los conjuntos K y [] son equinumerosos. Si K es un conjunto nito, es decir, si algn k < es un enumerador de K, entonces, no importa cmo K se enumere, su enumerador es siempre el mismo. Cabe armar, pues, que k mide la numerosidad de K o, como decimos ordinariamente en castellano, que k es el nmero de los elementos de K. (As, por ejemplo, 4 es el nmero de los evangelios porque, en cualquier orden que se los tome, se los puede enumerar con los ordina-les del conjunto [4] = {0, 1, 2, 3}). Pero si K es innito, admitir distintos enumeradores segn el orden en que se enumeren sus elementos. Por ejem-plo, si K = [], su enumerador es si los elementos de K se toman en el orden habitual; pero es 2 si se los enumera en el orden siguiente: primero


el 0 y el 1, seguidos de todos los nmeros primos, 2, 3, 5, 7,; luego los cuadrados de los nmeros primos; luego sus respectivos cubos;; luego la n-sima potencia de cada primo, en orden ascendente; luego Por eso, Cantor cree necesario distinguir entre el nmero (Zahl) y el enumerador (Anzahl) de un conjunto.1

Evidentemente, una vez determinado el orden en que debe enumerarse un conjunto K, se ja de modo inequvoco su enumerador. De hecho, la enumera-cin exhaustiva de K por el conjunto ordenado [] introduce (o presupone) en K un orden particularsimo, a saber, el orden de los predecesores de en la sucesin de los ordinales. Dicho orden tiene ciertas caractersticas ge-nerales, cualquiera que sea . Desde luego, rene todos los requisitos de lo que se llama un orden lineal, a saber, (i) si , [], se cumple en todo caso una y slo una de estas tres alternativas: < , o < , o = ; (ii) si , , , < y < , entonces < .2 Pero no todo orden lineal concuerda con el orden de sucesin de los elementos de [], para algn ordinal . Considrese, por ejemplo, el conjunto de los enteros negativos, ordenados de menor a mayor, o el conjunto {cos x: 0 x }, ordenado por la magnitud del argumento x. Si es un ordinal cualquiera, el conjunto

1 Conviene observar que este distingo es tan ajeno al alemn como al castellano. En la vida diaria, Anzahl se usa en frases como eine groe Anzahl Kinder (un gran nmero de nios), eine Anzahl von 100 (un centenar). El uso matemtico en tiempos de Cantor puede ilustrarse con el siguiente pasaje de Lipschitz, que Kronecker cita con aprobacin en Sobre el concepto de nmero (1887, p. 342n.; cursiva ma):

Wenn man bei der Betrachtung getrennter Dinge von der Merkmalen absieht, durch welche sich die Dinge unterscheiden, so bleibt der Begriff der Anzahl der betrachteten Dinge zurck.

Cuando en la consideracin de cosas separadas se prescinde de los caracteres que las distinguen resta el concepto del nmero de las cosas consideradas.

Anzahl se caracteriza aqu prcticamente en los mismos trminos en que Cantor (1895/97, 1; GA, p. 282) dene Kardinalzahl (nmero cardinal). Por esos mis-mos aos, Frege conri a Anzahl un signicado tcnico especial distinto del que le da Cantor, mediante esta denicin: La Anzahl correspondiente al concepto F es la extensin del concepto equinumeroso con el concepto F (1884, 68; pp. 7980). Tambin esta nocin es afn a la cantoriana de nmero cardinal.

2 El orden lineal as denido concuerda con lo que Cantor llama un orden simple (GA, pp. 296, 444). Sus deniciones tardas de conjunto bien ordenado presuponen explci-tamente que se trata de un conjunto ordenado simplemente (GA, pp. 312, 444).


[] es lo que Cantor llama un conjunto bien ordenado por la relacin


BO Un conjunto linealmente ordenado M se dice bien ordenado si cada parte no vaca A M tiene un primer elemento.

Como es obvio, un conjunto innito numerable, esto es, un conjunto equi-numeroso con el conjunto [] de los enteros positivos nitos, queda bien ordenado por cualquier aplicacin biyectiva de [] sobre l. Pero ello, evi-dentemente, no implica que cualquier conjunto admita un ordenamiento de este tipo. Por ejemplo, como el lector fcilmente adivinar, no se conoce ningn procedimiento para bien ordenar el conjunto innito de los puntos de un cuadrado. Ello no obstante, a la citada explicacin del concepto de buen orden por Cantor sigue la siguiente extraordinaria declaracin:

El concepto de conjunto bien ordenado resulta ser fundamental para toda la teora de las variedades (Mannigfaltigkeitslehre). Que siempre es posi-ble reducir cada conjunto bien denido a la forma de un conjunto bien ordenado es una ley del pensamiento, a mi modo de ver, bsica y fecunda, y especialmente notable por su universalidad, a la cual retornar en un trabajo posterior.

(Cantor, GA, p. 169).

Ms tarde, Cantor no volver a calicar esta proposicin tan poco evidente como ley del pensamiento, y hasta har un intento por demostrarla, que explico en el Capitulo 1.6. En el Captulo 1.7 y en el Apndice VI considerar las demostraciones publicadas por Zermelo en 1904 y 1908. Desde entonces la proposicin se conoce como el Teorema del Buen Orden y as me referir a ella en lo sucesivo. Veremos que, al igual que el clebre Postulado V de Euclides, no puede demostrrsela a menos que se acepte otra proposicin que no es ms obvia. Me parece, por eso, que Cantor puso de maniesto un certero instinto matemtico cuando intent hacer pasar el Teorema del Buen Orden por un principio del pensamiento que no requiere demostracin (as como Euclides mostr su genio al dar rango axiomtico al Postulado V). Para su programa, el Teorema del Buen Orden era indispensable: la sucesin de los ordinales alcanza para enumerar todo lo que se presente en

no vaca, no tiene una que carezca de un primer elemento. BO equivale a BO1 BO2 BO3 si y slo si M . Como Cantor no contemplaba la existencia de entenda seguramente que el conjunto al que se reere la condicin BO no estaba vaco.


la naturaleza corprea y espiritual si pero slo si cada conjunto puede ordenarse bien. A menos que todo conjunto sea bien ordenable no se justica el tono triunfalista del siguiente pasaje:

Una de las tareas ms importantes de la teora de los conjuntos, que creo haber resuelto en lo principal en [el escrito N 5 de 1883], consiste en la exigencia de determinar las distintas valencias o potencias [esto es, las numerosidades] de las variedades presentes en la totalidad de la naturaleza, en la medida en que sta se abre a nuestro conocimiento. Lo he logrado mediante la formacin del concepto general del enumerador de un conjunto bien ordenado, o, lo que es lo mismo, del concepto de nmero ordinal.

(Cantor 1887; GA, pp. 387s.)

En el citado escrito N 5 Cantor formula tres principios que segn l presiden la generacin de los ordinales. Observa que la serie de los enteros positivos nitos 1, 2, 3,, n, surge del repetido postular y reunir (Setzung und Vereinigung) unidades que se consideran iguales. El nmero n es a la vez la expresin de un determinado nmero nito de tales postulaciones sucesivas y de la reunin de las unidades postuladas en un todo (GA, p. 195). La doble operacin descrita ilustra un primer principio generador (Erzeugungsprinzip): el principio de la adicin de una unidad a un nmero ya formado, el cual, segn Cantor, desempea tambin un papel esencial en la generacin de los enteros transnitos. Los nmeros formados de este modo constituyen lo que Cantor llama la primera clase de nmeros o la Clase (I).

Aunque sera contradictorio hablar de un nmero mximo de la Clase (I), no hay nada chocante (nichts Anstiges) en concebir un nuevo nmero, que llamaremos , y que ha de ser la expresin de que todo el agregado (I) est dado en su sucesin natural conforme a la ley (al modo como n es la expresin de que un cierto nmero nito de unidades est reunido en un todo).


Si a la postulacin del nmero siguen nuevas postulaciones de la unidad se obtienen, mediante el primer principio, los nuevos nmeros + 1, + 2,, + n, No habr entre ellos un nmero mximo que siga a todos los otros, pero se puede pensar en un nmero nuevo 2, que exprese


la reunin de aqullos en un todo. Aplicando el primer principio a 2 se obtienen los nmeros 2 + 1, 2 + 2,, 2 + n,5 Al lector des-prevenido esta proliferacin de nmeros le parecer un truco de ilusionista, pero vimos arriba, a propsito de la formacin de los conjuntos derivados de ciertos conjuntos de puntos, que la sucesin descrita aqu en abstracto por Cantor admite aplicaciones perfectamente bien denidas. (Pinsese tambin en esto: es el enumerador del conjunto de los nmeros pares; si a ese conjunto vamos agregando los impares 1, 3, 5, y prescribimos que se los enumere en orden de llegada, es claro que se necesitarn los enume-radores + 1, + 2, + 3,).

La funcin lgica que nos ha suministrado los dos nmeros y 2 es maniestamente distinta de la del primer principio generador. La llamo el segundo principio generador de nmeros reales enteros, que deno con ms precisin as: cuando hay una sucesin determinada cualquiera de nmeros enteros reales denidos, ninguno de los cuales es el mayor de todos ellos, se crea en virtud de este segundo principio generador un nmero nuevo, que se concibe como lmite de todos esos nmeros, vale decir, se lo dene como el prximo sucesor de todos ellos (als die ihnen allen nchst grere Zahl).


Corrientemente se llama ordinal sucesor a uno generado conforme al primer principio y ordinal lmite a uno generado conforme al segundo. Un ordinal lmite no es el sucesor inmediato de otro ordinal; en cambio, cabe describir-lo como el sucesor prximo de los ordinales que le preceden, en cuanto l mismo precede a cualquier otro ordinal mayor que todos sus predecesores. Cantor observa que el ordinal y los primeros ordinales sucesores y ordi-nales lmites que le siguen tienen la propiedad de que el conjunto de sus respectivos predecesores es numerable.6 Cantor hace de esta propiedad la caracterstica esencial de lo que llama la segunda clase de nmeros o Clase

5 Como luego veremos, la multiplicacin de ordinales no es conmutativa si uno de los factores es transnito. En particular, 2 = 2. Por eso, Cantor llamar ms tarde 2 al nmero introducido aqu bajo la designacin 2 (GA, p. 389).

6 Desde luego, tienen esta propiedad los ordinales transnitos 2 y 2 que he aducido como ejemplos, puesto que ellos enumeran, respectivamente, (i) el conjunto ordenado


(II). Dicha propiedad puede verse como un tercer principio de inhibicin o limitacin (Hemmungs- oder Beschrnkungsprinzip), en virtud del cual: (a1) Todo ordinal transnito formado conforme a los principios gene-

radores tiene un conjunto de p

Torretti - El Paraiso de Cantor

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