Prepa-agreg 2007-2008

Topologie, analyse fonctionnelle

I “Questions de cours”

1 Tout ouvert borne de R est-il reunion finie d’intervalles ouverts?

2 Montrer que l’ensemble des matrices orthogonales est un compact de Mn(R).

3 Soit f : Rn → R une application continue verifiant lim‖x‖→∞ f(x) = +∞. Montrerque f est minoree et atteint sa borne inferieure.

4 Montrer qu’il existe un unique x ∈ [1;∞[ verifiant x− 4 = 3 sin(

1e− arctan(x)

π

).

5 Soit X un espace vectoriel norme, et soit E un sous-espace vectoriel de X dedimension finie. Montrer que E est ferme dans X.

6 Soit D ⊂ R un ensemble denombrable. Montrer que R \D est dense dans R.

7 Soit X un espace de Banach, et soit T ∈ L(X) un operateur compact. Montrerque Ker(T − Id) est de dimension finie.

8 Soit (K, d) un espace metrique compact. Montrer que l’ensemble des fonctionslipschitziennes est dense dans C(K,R).

9 Soit (fn) une suite de fonctions de classe C1 sur [0; 1], telle que fn(0) = 0 et∫ 1

0|f ′n(t)|2dt ≤ 1 pour tout n ∈ N. Montrer que (fn) possede une sous-suite uni-

formement convergente.

10 Soit H un espace de Hilbert, et soit E un sous-espace vectoriel de H. Montrerque E est dense dans H si et seulement si E⊥ = 0.

II Exercices courts

Exercice 1 Soit E un espace topologique separe et soit (xn)n∈N une suite d’elementsde E, convergente vers a ∈ E. Montrer que S = xn;∈ N ∪ a est compact.

Exercice 2 Soit (X, d) un espace metrique, et soit A une partie non vide de X.Pour x ∈ X, on pose d(x,A) = infd(x, u); u ∈ A. Montrer que l’applicationx 7→ d(x,A) est 1-lipschitzienne.

Exercice 3 Soit X un espace topologique separe.1 Montrer que si K1, K2 sont deux compacts de X tels que K1 ∩ K2 = ∅, alors ilexiste deux ouverts V1, V2 tels que Ki ⊂ Vi et V1 ∩ V2 = ∅.

1

2

2 Montrer que si X est un espace metrique, le meme resultat vaut pour des fermesK1, K2.

Exercice 4 Soient E,E ′ deux espaces metriques, f une application continue de Edans E ′, K une partie compacte de E. On suppose que la restriction f|K de f a Kest injective et que pour tout x ∈ K, il existe un voisinage ouvert Vx de x dans Etel que la restriction f|Vx de f a Vx soit injective. Prouver que dans ces conditions ilexiste un voisinage de U de K dans E tel que la restriction de f a U soit injective.

Exercice 5 Montrer que tout espace metrique compact est separable.

Exercice 6 Soit X un espace topologique, et soit C(X) l’algebre des fonctions con-tinues f : X → R. Pour f ∈ C(X), on pose Z(f) = x ∈ X; f(x) = 0. D’autrepart, on dit qu’une fonction e ∈ C(X) est un idempotent de C(X) si e2 = e. Mon-trer que l’application e 7→ Z(e) est une bijection de l’ensemble des idempotents deC(X) sur l’ensemble des parties ouvertes et fermees de X. Donner une CNS pour laconnexite de X portant sur les idempotents de C(X).

Exercice 7 (Suite decroissante de compacts connexes)Definition generale: Soit X un ensemble. Un prefiltre sur X est une famille E departies de X ayant les proprietes suivantes: toute intersection finie d’elements de Eest non vide et pour tous A,B ∈ E , il existe C ∈ E , C ⊂ A ∩B.1 On suppose que X est un espace topologique et que tous les elements du prefiltre Esont des compacts connexes. Montrer que leur intersection est un compact connexe.2 Soit (Kn) une suite decroissante de compacts connexes d’un espace topologique X.Montrer que ∩nKn est connexe.3 Le resultat de 2 est-il encore valable si les Kn sont seulement supposes fermes?

Exercice 8 (theoremes de Dini)Soit K un espace topologique compact, et soit (fn) une suite de fonctions, fn : K →R. On suppose que la suite (fn) converge simplement vers une fonction f : K → R.Montrer que dans chacun des deux cas suivants, la convergence est uniforme.

a La suite (fn) est croissante, et les fonctions f et fn sont continues.b K = [0; 1], les fonctions fn sont croissantes, et la fonction f est continue.

Exercice 9 Montrer que GLn(C) est un ouvert connexe et dense de Mn(C).

Exercice 10 Soient X un espace vectoriel norme, E un sous-espace vectoriel fermede X, et x0 ∈ X.1 Montrer que si F est de dimension finie, alors il existe un point u ∈ E tel que‖x0 − u‖ = d(x0, E). Y a-t-il toujours unicite de ce point u?

3

2 Que peut-on dire si dim(F ) =∞?

Exercice 11 Dans chacun des cas suivants, montrer que l’espace vectoriel norme Eest complet.1 E est l’espace des fonctions lipschitzienne f : [0; 1] → R, et ‖f‖ = ‖f‖∞ +

supx 6=y|f(x)−f(y)||x−y| .

2 E = x = (xn)n∈N ∈ RN;∑∞

0 |xn| <∞ et ‖x‖ =∑∞

0 |xn|.3 E est l’espace des fonctions continues f : R+ → R admettant une limite finie en+∞, et ‖f‖ = supx∈R+ |f(x)|.

Exercice 12 Soit `1 := x = (xn)n∈N ∈ RN;∑∞

0 |xn| < ∞, muni de sa normenaturelle. On pose K = x ∈ `1; ∀n ∈ N |xn| ≤ 2−n. Montrer que K est uncompact de `1.

Exercice 13 Soit X un espace de Banach.1 Montrer que si u ∈ L(X) verifie ‖u‖ < 1, alors Id− u est inversible, avec de plus‖(Id− u)−1‖ ≤ (1− ‖u‖)−1.2 Montrer que l’ensemble des operateurs inversibles est un ouvert de L(X).

Exercice 14 Soient X, Y deux espaces de Banach, et soit T ∈ L(X, Y ). Montrerque les proprietes suivantes sont equivalentes.

(1) Il existe une constante c > 0 telle que ‖T (x)‖ ≥ c ‖x‖ pour tout x ∈ X.(2) T est injectif et a image fermee.

Exercice 15 Soient X et Y deux espaces vectoriels normes, et soit (Tn) une suitedans L(X, Y ). On fait les hypotheses suivantes.

(a) supn ‖Tn‖ <∞.(b) Il existe une partie dense D ⊂ X telle que Tn(z)→ 0 pour tout z ∈ D.

Montrer que Tn(x)→ 0 pour tout x ∈ X.

Exercice 16 (normes matricielles subordonnees)1 Si ‖ . ‖ est une norme sur Rn, on note ||| . ||| la norme subordonnee sur Mn(R).Determiner ||| . ||| dans les cas suivants.

a ‖x‖ =∑n

1 |xi|.b ‖x‖ = supi |xi|.c ‖ . ‖ est la norme euclidienne.

2 Pour A = (aij) ∈Mn(C), on pose ‖A‖22 =∑

1≤i,j≤n

|aij|2 . Montrer que ‖ . ‖2 est une

norme sur Mn(C), et qu’elle est sous-multiplicative (‖AB‖2 ≤ ‖A‖2‖B‖2,). Est-ellesubordonnee a une norme sur Cn?

4

Exercice 17 (normes de formes lineaires)

1 Soit E l’espace vectoriel des polynomes d’une variable reelle x, muni de la norme‖ . ‖∞ definie par ‖P‖∞ = max0≤x≤1 |P (x)|. Pour a ∈ R, on note Φa : E → Rla forme lineaire definie par Φa(P ) = P (a). Determiner pour quels a ∈ R la formelineaire Φa est continue, et calculer ‖Φa‖ dans ce cas.2 Soit E = C([0; 1],R), muni de la norme de la convergence uniforme. Soit (an)n≥1

une suite dense dans [0, 1], par exemple Q∩ [0, 1] convenablement numerote. Montrerque la forme lineaire φ definie par

φ(f) =∞∑n=1

(−1)n

2nf(an)

est continue sur E, avec ‖φ‖ = 1.3 Soit toujours E = C([0, 1],R). Soit φ : E → R la forme lineaire definie par

φ(f) =

∫ 12

0

f(t)dt−∫ 1

12

f(t)dt.

Montrer que φ est continue, calculer sa norme et montrer que cette norme n’est pasatteinte, i.e. il n’existe aucune f ∈ E telle que ‖f‖ = 1 et |φ(f)| = ‖φ‖.

Exercice 18 (applications du theoreme du point fixe)

A Soit f : ]0;∞[→]0;∞[ une application de classe C1 verifiant |f ′(x)| ≤ f(x)2x

pourtout x > 0.1 Montrer que ∀x, y |Logf(x)− Logf(y)| ≤ 1

2|Log(x)− Log(y)|.

2 Montrer que f possede un unique point fixe.

B Soient λ, µ ∈ R verifiant k2 := λ2 + µ2 < 1. Montrer que pour tout (a, b) ∈ R2 lesysteme d’equations

x+ λ cosx+ µ sin y = ay − λ sinx+ µ cos y = b

possede une unique solution (x, y) ∈ R2.

C Soit φ : [0; 1]→ [0; 1] une fonction continue non identiquement egale a 1.

1 On pose k =∫ 1

0φ(t)dt. Montrer que k < 1.

2 Montrer que pour tout α ∈ R, il existe une unique fonction f ∈ C1([0; 1],R)verifiant f(0) = α et f ′(x) = f(φ(x)) pour tout x ∈ [0; 1].

Exercice 19 Soit (E, d) un espace metrique complet, et soit f : E → E une appli-cation verifiant

∀x, y ∈ E x 6= y d(f(x), f(y)) < d(x, y) .

1 Peut-on affirmer que f possede un point fixe?2 Que peut-on dire si E est compact?

5

Exercice 20 Montrer que toute fonction continue f : [0; 1]→ [0; 1] possede un pointfixe, et de meme pour toute fonction croissante f : [0; 1]→ [0; 1].

Exercice 21 (lemme d’Osgood)

1 Soit X un espace metrique complet, et soit F une famille de fonctions continuessur X, a valeurs reelles, ayant la propriete suivante: pour tout x ∈ X il existe uneconstante Mx ≥ 0 telle que

∀f ∈ F |f(x)| ≤Mx .

Montrer qu’il existe alors un ouvert non vide Ω ⊂ X et une constante M ≥ 0 telleque |f(x)| ≤M pour tout x ∈ Ω et tout f ∈ F .

2 Enoncer et demontrer le theoreme de Banach-Steinhaus.

Exercice 22 Montrer que R[X] n’est complet pour aucune norme. On pourra poserFn = P ∈ R[X]; deg(P ) ≤ n.

III Mini-problemes

Probleme 1 (espaces bien enchaines)

A Comment demontre-t-on que dans un espace vectoriel norme, tout ouvert connexeest connexe par arcs?

B Soit (X, d) un espace metrique. Pour ε > 0 donne, on appelle ε-chaine dans Xtoute suite finie (x0, . . . , xN) ⊂ X telle que d(xi, xi+1) < ε pour tout i < N . On ditque X est bien enchaine si pour tout ε > 0, deux points quelconques a, b ∈ X peuventtoujours etre relies par une ε-chaine, i.e. on peut trouver une ε-chaine (x0, . . . , xN)avec x0 = a et xN = b.1 Montrer que si l’espace metrique X est connexe, alors il est bien enchaine.2 Montrer que si (X, d) est compact et bien enchaine, alors X est connexe.3 Que peut-on dire si X n’est pas compact?

C Soit (E, d) un espace metrique, et soit ε > 0. On suppose que E est recouvertpar des boules ouvertes B1, . . . , BK de rayon ε. Montrer que pour toute ε-chaine(x0, . . . , xN) ⊂ E, on peut trouver une ε-chaine (x′0, . . . , x

′2K) de longueur 2K + 1

ayant les memes extremites, avec x′i ∈ x0; . . . ;xN pour tout i.

D Soit (E, d) un espace metrique compact, et soit (xn) une suite de points de E. Onsuppose qu’on a limn→∞ d(xn, xn+1) = 0.1 Soient a, b deux valeurs d’adherences de la suite (xn), et soit ε > 0. Montrer qu’onpeut trouver M ∈ N∗ tel que la propriete suivante ait lieu: pour tout n ∈ N, on peuttrouver une ε-chaine de la forme (a, xn,0, . . . , xn,M , b) avec xn,i ∈ xk; . . . k > n pourtout i ∈ 0, . . . ;M.

6

2 Montrer que l’ensemble des valeurs d’adherence de la suite (xn) est connexe.

E Soit E un espace metrique, et soit (Kn)n∈N une suite decroissante de compactsconnexes de E. Utiliser B et C pour montrer que K =

⋂n∈NKn est connexe.

F Demontrer directement les resultats de D2 et E (!).

Probleme 2 Soit (E, d) un espace metrique compact. On munit l’espace C(E,E) dela topologie de la convergence uniforme et on considere l’ensemble G des isometriesde E dans E.1a Soit a ∈ E et f ∈ G. Montrer que la suite (fn(a))n∈N admet a pour valeurd’adherence (fn = f · · · f).1b En deduire que toute isometrie f : E → E est bijective. Ce resultat serait-il vraiavec un espace E non compact?2 Montrer que G est un compact de C(E,E).

Probleme 3 (ideaux de C(K))Si K est un espace topologique, on note C(K) l’algebre des fonctions continues f :K → R.

1 Soient f1, f2, · · · , fn ∈ C(K). On suppose que les fi n’ont pas de zeros com-muns: ∩ni=1f

−1i (0) = ∅. Montrer qu’on peut trouver u1, . . . , un ∈ C(K) telles que

u1(x)f1(x) + u2(x)f2(x) + · · ·un(x)fn(x) = 1 pour tout x ∈ K. Que peut on dire del’ideal engendre par les fi dans C(K) ?2 Soit I un ideal de C(K).

a On suppose K compact. Montrer qu’une condition necessaire et suffisante pourque I = C(K) est ∩f∈If−1(0) = ∅.

b Montrer par un contre-exemple que si K n’est pas compact, cette condition n’estplus suffisante .3 On suppose K compact. Pour a ∈ K on pose Ia = f ∈ C(K); f(a) = 0.

a Montrer que Ia est un ideal maximal de C(K).b Montrer que tout ideal maximal de C(K) est du type Ia.

Probleme 4 (Theoreme de Korovkin; polynomes de Bernstein)Soit E = C([0, 1],R) muni de la norme ‖ . ‖∞. On dit qu’une application lineaireu : E → E est un operateur positif si:

f ∈ E, f ≥ 0⇒ u(f) ≥ 0.

1 Montrer que tout operateur positif est continu.2 Soit f ∈ E, et soit ε > 0. Montrer qu’il existe c > 0 tel que pour tout (x, y) ∈ [0, 1]2:

|f(x)− f(y)| ≤ ε+ c(y − x)2 .

7

3 Pour tout k ∈ N, on note ek l’element de E, ek(x) = xk. Soit (un)n∈N ∈ L(E)N

une suite d’operateurs positifs. On suppose que (un(ek))n≥0 converge vers ek dans Epour k = 0, 1, 2. Montrer que pour tout f ∈ E, (un(f))n converge vers f dans E.4 Pour toute fonction f : [0; 1] → R, on definit des polynomes Bnf , n ∈ N par laformule

Bnf(x) =n∑k=0

Cknf

(k

n

)xk(1− x)n−k .

Deduire de ce qui precede que pour toute fonction continue f : [0; 1] → R, lespolynomes Bnf convergent uniformement vers f sur [0; 1].

Probleme 5 (mauvaise approximation)

Soit X un espace de Banach de dimension infinie, et soit (en)n∈N une suite de vecteursde X lineairement independants. On pose E0 = 0 et En = V ectx1; . . . ;n pourn ≥. Enfin, soit (αn)n∈N une suite decroissante de nombres strictement positifstendant vers 0.

1 Soit k ∈ N. Montrer que si z ∈ X et si α ≥ d(z, Ek+1), alors on peut trouver λ ∈ Rtel que d(z + λek+1, Ek) = α.2 Montrer que pour tout n ∈ N, on peut trouver un vecteur xn ∈ En+1 tel qued(xn, Ek) = αk pour tout k ∈ 0; . . . ;n et ‖xn‖ = α0.3 Soit A = xn; n ∈ N. Montrer que pour tout ε > 0, il existe un sous-espace dedimension finie E ⊂ X tel que A ⊂ x; d(x,E) < ε. En deduire que A est unepartie relativement compacte de X.4 Montrer qu’il existe un vecteur x ∈ X tel que d(x,En) = αn pour tout n ∈ N.

Probleme 6 Soit E = C([0 ; 1]), muni de la norme ‖ . ‖∞. Pour f ∈ E, on definitTf ∈ E par

Tf(x) =

∫ x

0

f(t) dt .

1 Montrer que T est lineaire continue, et calculer ‖T‖.2 Montrer que ∀n ∈ N ∀x ∈ [0 ; 1] |T nf(x)| ≤ xn

n!‖f‖∞. En deduire la valeur de

‖T n‖, n ∈ N.3 Montrer que pour tout λ 6= 0, λId− T est inversible et ‖(λId− T )−1‖ ≤ 1

|λ|e1/|λ|.

Que peut-on dire pour λ = 0?

Probleme 7 (formule du rayon spectral)

1 Soit (αn)n∈N une suite de reels positifs telle que αm+n ≤ αmαn pour tous entiers

m et n. Montrer que la suite (α1/nn ) converge vers infn>0 α

1/nn .

2a Deduire de 1 que pour toute matrice A ∈Md(C) et pour toute norme faisant de

8

Md(C) une algebre normee (i.e. ‖AB‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖), la suite (‖An‖1/n) est conver-gente.2b Montrer que si ‖ . ‖ est une norme quelconque sur Md(C), alors la suite (‖An‖1/n)est convergente, et sa limite est independante de ‖ . ‖. On note cette limite ρ(A).3a Soit A ∈ Md(C). Montrer que si λ ∈ C est une valeur propre de A, alors|λ| ≤ ρ(A).3b Soit A ∈Md(C). On suppose que toutes les valeurs propres de A sont de modulestrictement inferieur a 1. En utilisant la decomposition D+N , montrer que An → 0quand n→∞. En deduire que ρ(A) < 1.3c On note σ(A) l’ensemble des valeurs propres d’une matrice A. Montrer que pourtoute matrice A ∈Md(C), on a

ρ(A) = sup|λ|; λ ∈ σ(A) .

Probleme 8 (Theoreme de Stampacchia)Dans tout l’exercice, H est un espace de Hilbert reel, et a : H × H → R est uneforme bilineaire. On suppose que a est continue, et qu’il existe une constante c > 0telle que

∀x ∈ H a(x, x) ≥ c ‖x‖2 .On fixe egalement une forme lineaire continue Φ : H → R, et un convexe ferme nonvide K ⊂ H. Le but de l’exercice est d’etablir le resultat suivant: il existe un uniqueu ∈ K tel que

(1) ∀h ∈ K a(u, h− u) ≥ Φ(h− u) .

A Pour tout x ∈ H, on note pK(x) le projete de x sur K, i.e. l’unique point de Kverifiant ‖x− pK(x)‖ = d(x,K).1 Montrer que pK(x) est l’unique point p ∈ K verifiant ∀h ∈ K 〈x− p, h− p〉 ≤ 0.2 Montrer que l’application pK : H → K est 1-lipschitzienne.

B Soit A : H → H un operateur lineaire continu verifiant

∀x ∈ H 〈A(x), x〉 ≥ c ‖x‖2.1 Montrer qu’on peut trouver ε > 0 tel que ‖Id− εA‖ < 1.2 Montrer que pour tout f ∈ H, il existe un unique u ∈ K tel que

pK(ε(f − A(u)) + u) = u.

C Demontrer le resultat souhaite. On pourra appliquer B a un operateur A conven-able et a un vecteur f ∈ H “representant” la forme lineaire Φ.

D Que devient (1) lorsque K est un sous-espace vectoriel (ferme) de H? Donner unedemonstration directe du resultat dans ce cas, en supposant que la forme bilineairea est symetrique.

9

Probleme 9 (theoreme du point fixe de Brouwer)

On note B la boule unite ouverte euclidienne de Rn. Le but de l’exercice est dedemontrer le theoreme de Brouwer : toute application continue f : B → Bpossede un point fixe.

A1 Soit f : B → B continue. En utilisant le theoreme de Stone-Weierestrass,montrer que pour tout ε >, il existe une fonction polynomiale Qε : Rn → Rn telleque Qε(B) ⊂ B et

supx∈B‖f(x)−Qε(x)‖ ≤ ε .

A2 En deduire que le theoreme de Brouwer est equivalent a l’enonce suivant: touteapplication f ∈ C∞(Rn,Rn) telle que f(B) ⊂ B possede un point fixe dans B.

B1 Soit g : Rn → Rn une application de classe C1. On suppose qu’on a g(B) ⊂ B etg(ξ) = ξ pour tout ξ ∈ ∂B. Pour t ∈ [0; 1], on definit vt : Rn → Rn par

vt(x) = (1− t)x+ tg(x) .

a Montrer qu’on peut trouver ε0 > 0 tel que pour tout t ≤ ε0, l’application vt estinjective sur B et verifie Jvt(x) > 0 sur B, ou la lettre J designe le determinantjacobien.b Montrer qu’on a vt(B) ⊂ B pour tout t ∈ [0; 1[, et que si t ≤ ε0, alors vt est unC1-diffeomorphisme de B sur B. On pourra verifier que vt(B) est ouvert et fermedans B.c Soit m la mesure de Lebesgue sur Rn. Montrer que la fonction t 7→

∫BJvt(x) dm(x)

est polynomiale sur R.d Deduire des questions precedentes que pour tout t ∈ [0; 1], on a∫

B

Jvt(x) dm(x) = m(B) .

B2 Montrer que si g : Rn → Rn est de classe C1 et si V ⊂ Rn est un ouvert tel queg(V ) ⊂ ∂B, alors Jg(x) ≡ 0 dans V .B3 Montrer qu’il n’existe pas d’application g : Rn → Rn de classe C1 verifiantg(B) ⊂ ∂B et g(ξ) = ξ pour tout ξ ∈ ∂B.

B Soit f : Rn → Rn de classe C1 et verifiant ‖f(x)‖ < 1 pour tout x ∈ Rn.1 On suppose que f ne possede pas de point fixe. Pour x ∈ Rn, on note g(x) lepoint d’intersection de la demi-droite ∆x = [f(x);x) avec ∂B. Justifier la definition,et montrer que l’application g est de classe C1 sur Rn.2 Montrer que f possede un point fixe.

C Conclure.

Probleme 10 (theoreme du point fixe de Browder)

10

Dans tout le probleme, K est une partie convexe fermee bornee non vide d’un espacede Hilbert reel H, et T : K → K est une application 1-lipschitzienne, c’est-a-direverifiant

∀x, y ∈ K ‖T (x)− T (y)‖ ≤ d(x, y) .

Le but du probleme est de montrer que T possede un point fixe.

A Soit a ∈ K. Pour n ∈ N∗, on definit Tn : K → E par Tn(x) =(1− 1

n

)T (x) + 1

na.

1 Montrer que Tn possede un unique point fixe xn ∈ K.2 Quelle est la limite de la suite (xn − T (xn))?3 On suppose K compact. Demontrer le resultat souhaite.

B Dans cette partie, ϕ : H → H une application continue verifiant

∀x, y ∈ H 〈ϕ(y)− ϕ(x), y − x〉 ≥ 0 .

1 Soit (xn) une suite de points de H. On suppose que (xn) converge faiblement versun point x ∈ H, et que (ϕ(xn)) converge en norme vers un point l ∈ H.a Montrer que 〈ϕ(xn), xn〉 tend vers 〈l, x〉.b En deduire qu’on a 〈l − ϕ(y), x − y〉 ≥ 0 pour tout y ∈ H, et par consequent〈l − ϕ(x± εh),±εh〉 ≥ 0 pour tout h ∈ H et tout ε > 0.c Montrer que l = ϕ(x).3 Deduire de 1 que ϕ(K) est une partie fermee de H.

C On rappelle que pour tout x ∈ H, il existe un unique point p(x) ∈ K tel que||x− p(x)|| = d(x,K). De plus, p(x) est caracterise par la propriete suivante :

∀z ∈ K 〈z − p(x), x− p(x)〉 ≤ 0 .

1a Montrer que pour x, y ∈ H, on a ||p(x) − p(y)||2 ≤ 〈p(x) − p(y), x − y)〉. Endeduire que l’application p : H → K est 1-lipschitzienne.1b Montrer que T p est egalement 1-lipschitzienne.2 En utilisant B, en deduire que l’ensemble x−T (x); x ∈ K est une partie fermeede H.D Conclure.

Probleme 11 (bases de Schauder)

Dans tout l’exercice, X est un espace de Banach sur K = R ou C. On dit qu’unesuite (ei)i∈N ⊂ X est une base de Schauder pour X si la propriete suivante estverifiee : pour tout x ∈ X, il existe une unique suite (xi) ∈ KN telle que

x =∞∑i=0

xiei ,

ou la serie converge dans X.

11

A Dans cette partie, on prend X = `p(N), 1 ≤ p ≤ ∞. Pour i ∈ N, soit ei ∈ `p(N)definie par ei = (0, . . . , 1, 0, 0, . . . ), ou le “1” apparait en position i.1 Montrer que si p <∞, alors la suite(ei)i∈N est une base de Schauder de X.2 Que peut on dire si p =∞?

B On revient au cas general. On suppose que X possede une base de Schauder(ei)i∈N. Pour n ∈ N, on definit une application lineaire πn : X → X par

πn

(∞∑i=0

xiei

)=

n∑i=0

xiei .

1 Montrer que les πn sont des projections.2 Pour x ∈ X, on pose |||x||| = supn∈N ‖πn(x)‖.a Montrer que ||| . ||| est une norme sur X.b Soit (xk)k∈N ⊂ X une suite de Cauchy pour la norme ||| . |||. Montrer que pourtout n ∈ N, la suite (πn(xk))k∈N converge (au sens de la norme originelle de X) versun point zn ∈ X, et que la suite (zn) converge vers un point x ∈ X. Montrer ensuiteque si n ≤ m, alors πn(zm) = zn, puis que πn(x) = zn pour tout n ∈ N.c Montrer que l’espace (X, ||| . |||) est complet. En deduire que ||| . ||| est equivalentea la norme originelle de X.3 Conclure que toutes les projections πn sont continues, et qu’on a

supn‖πn‖ <∞ .

C On suppose que X possede une base de Schauder. Montrer que si Z est unespace de Banach, alors tout operateur compact T : Z → X est limite d’une suited’operateurs de rangs finis.

D On suppose qu’il existe une suite de projections continue πn : X → X verifiantles proprietes suivantes:

(i) πn est de rang n+ 1 pour tout n ∈ N;(ii) πn+1πn = πn = πnπn+1;

(iii) πn(x)→ x pour tout x ∈ X.

1 Comment se traduit (ii) en termes d’images et de noyaux? Montrer que Im(πn) ∩ker(πn−1) est de dimension 1 pour tout n ≥ 1.3 Soit e0 un vecteur non nul de Im(π0), et pour tout n ≥ 1, soit en ∈ Im(πn) ∩ker(πn−1). Montrer que (en)n∈N est une base de Schauder de X.

E Dans cette question, X est l’espace C([0; 1],R) des fonctions continues sur [0; 1],muni de sa norme naturelle.1 Soit t0, . . . , tn ∈ [0; 1[ deux a deux distincts, avec t0 = 0. Pour f ∈ X, on note π(f)l’unique fonction continue interpolant f aux points t0, . . . , tn, 1 et affine par morceauxavec “noeuds” 0 = t0, . . . , tn, 1. Montrer que π : X → X est une projection lineairecontinue et calculer ‖π‖.

12

2 Montrer que X possede une base de Schauder.

F On suppose que X possede une base de Schauder (en)n∈N. Pour n ∈ N, on notee∗n ∈ X∗ la n-ieme “forme lineaire coordonnee”, definie par⟨

e∗n,∞∑i=0

xiei

⟩= xn .

0 Montrer que les e∗n sont continues.1 Soit (fn)n∈N une suite d’elements de X verifiant

∑∞n=0 ‖e∗n‖ ‖fn − en‖ < 1 .

a Montrer que la formule

R(x) =∞∑n=0

〈e∗n, x〉 (fn − en)

definit un operateur lineaire continu R : X → X, et que Id+R est inversible.b Montrer que (fn) est une base de Schauder de X

2 Dans cette question, on prend X = C([0; 1],R).a Montrer que X possede une base de Schauder formee de fonctions polynomiales.b On pose gn(t) = tn. La suite (gn)n∈N est-elle une base de Schauder de X?

Probleme 12 (formule de Poisson operatorielle; inegalite de von Neumann)A (formule de Poisson)1 Pour S ∈ L(H) verifiant ‖S‖ < 1, on pose

PS =∞∑1

Sn + Id+∞∑1

S∗n ,

ou S∗ est l’adjoint de l’operateur S. Justifier la definition de PS en montrant que lesdeux series convergent en norme dans L(H).2 Soit T ∈ L(H) verifiant ‖T‖ < 1.a Montrer que l’application θ 7→ Pe−iθT est continue de R dans L(H).

b Pour n ∈ N, calculer l’integrale (vectorielle)∫ 2π

0einθPe−iθT dθ.

c En deduire que pour tout polynome Q ∈ C[X], on a la “formule de Poisson”

Q(T ) =

∫ 2π

0

Q(eiθ)Pe−iθTdθ

2π·

B (inegalite de von Neumann)1 Montrer que si S ∈ L(H) verifie ‖S‖ < 1, alors on peut ecrire

PS = (Id− S∗)−1 − Id+ (Id− S)−1 = (Id− S∗)−1(Id− S∗S) (Id− S)−1 .

En deduire que PS est un operateur auto-adjoint et positif, c’est-a-dire verifiant〈PSx, x〉 ≥ 0 pour tout x ∈ H.

13

2 Soit [a ; b] un intervalle de R, et soit u : [a ; b] → L(H) continue. On supposeque pour tout t ∈ [a ; b], l’operateur u(t) est auto-adjoint positif. Soit egalementϕ : [a ; b]→ C continue.

a On note A l’operateur∫ baϕ(t)u(t) dt. Montrer que si x, y ∈ H, alors

|〈Ax, y〉| ≤ ‖ϕ‖∞[∫ b

a

〈u(t)x, x〉 dt]1/2 [∫ b

a

〈u(t)y, y〉 dt]1/2

.

b Deduire de a qu’on a∥∥∥∥∫ b

a

ϕ(t)u(t) dt

∥∥∥∥ ≤ ‖ϕ‖∞ ∥∥∥∥∫ b

a

u(t) dt

∥∥∥∥ .

3 Pour Q ∈ C[X], on pose ‖Q‖∞ = sup |Q(ζ)|; |ζ| = 1. Montrer que si T ∈ L(H)verifie ‖T‖ < 1, alors

‖Q(T )‖ ≤ ‖Q‖∞pour tout polynome Q ∈ C[X].4 Montrer que l’inegalite precedente est encore valable si on suppose seulement ‖T‖ ≤1. Cette inegalite s’appelle l’inegalite de von Neumann.

Probleme 13 (theoreme ergodique de von Neumann)

Dans tout l’exercice, H est un espace de Hilbert reel, et T : H → H une applicationlineaire continue verifiant ‖T‖ ≤ 1. Pour n ∈ N∗, on pose

Sn =1

n(Id+ T + · · ·+ T n−1) .

1a Montrer que pour tout x ∈ H, on a

||T ∗(x)− x||2 ≤ 2(||x||2 − 〈x, T (x)〉

).

1b En utilisant a, montrer qu’on a Ker(Id − T ) = Ker(Id − T ∗). En deduire unedecomposition de H a l’aide de Ker(Id− T ) et de Im(Id− T ).2 Calculer Sn(x) pour x ∈ Ker(Id − T ), et determiner limn→∞ Sn(x) pour x ∈Im(Id− T ).3 Montrer que pour tout x ∈ H, la suite (Sn(x)) converge vers π(x), ou π est laprojection orthogonale sur Ker(Id− T ).

Probleme 14 (projections)

Dans tout l’exercice, Z est un espace vectoriel norme sur R. On dit qu’une applicationlineaire p : Z → Z est une projection de Z si elle verifie p p = p. Si E est unsous-espace vectoriel de Z, on appelle projection de Z sur E toute projection pde Z verifiant Im(p) = E. Si p est une projection non continue, on pose ||p|| =∞.

A Montrer que pour tout sous-espace vectoriel E ⊂ Z, il existe une projection de Zsur E.

14

B1 Montrer que si p est une projection de Z, alors Im(p) = Ker(Id − p) et Z =Ker(p)⊕ Im(p).B2 Soit p une projection de Z.a Montrer que si p est continue, alors Ker(p) et Im(p) sont fermes dans Z.b On suppose que Z est un espace de Banach. Montrer que p est continue si etseulement si Ker(p) et Im(p) sont fermes dans Z.B3 Soit p : Z → Z une projection continue, avec p 6= 0.a Montrer qu’on a ||p|| ≥ 1.b On suppose que Z est un espace de Hilbert. Montrer qu’on a ||p|| = 1 si etseulement si p est une projection orthogonale.

C Soit E un sous-espace vectoriel ferme de Z.1 On suppose que E est de codimension finie. Montrer que toutes les projections deZ sur E sont continues.2 On suppose que E est de dimension finie. Soit (e1, . . . , en) une base de E.a Montrer qu’on peut trouver des formes lineaires continues x∗1, . . . , x

∗n ∈ Z∗ verifiant

〈x∗i , ei〉 = 1 pour tout i et 〈x∗i , ej〉 = 0 si i 6= j.b Montrer qu’il existe une projection continue de Z sur E, de norme inferieure ouegale a

∑n1 ‖x∗i ‖ ‖ei‖.

D Dans cette partie, E est un sous-espace ferme de Z. On pose

π(E,Z) = inf||p||; p projection de Z sur E .

1 Combien vaut π(E,Z) si Z est un espace de Hilbert?2 Dans cette question, on prend Z = (Rn, || . ||∞), et E est l’hyperplan d’equationx1 + · · ·+ xn = 0.a Soit T ∈ L(Z), et soit MT = (aij) la matrice de T dans la base canonique de Rn.Montrer qu’on a

||T || = max1≤i≤n

n∑j=1

|aij| .

b Soit α = (α1, . . . , αn) ∈ Rn verifiant∑n

1 αi = 1. On note pα la projection de Rn

sur E dans la direction de la droite Rα.(i) Pour t ∈ R, on pose ϕ(t) = |1 − t| + (n − 1)|t|. Calculer ||pα|| en fonction deϕ(α1), . . . , ϕ(αn).(ii) En deduire qu’on a ||pα|| ≥ 2(1 − 1

n). On pourra par exemple observer que la

fonction ϕ est convexe.c Calculer π(E,Z).3 Dans cette question, Z est quelconque, et on suppose que E est de dimension finie.On pose n = dim(E).

15

a Soit f une base de E. On definit Φ : En → R par Φ(x1, . . . , xn) = | det(x1, . . . , xn)|,ou le determinant est pris dans la base f . Montrer qu’il existe (e1, . . . , en) verifiant

∀(x1, . . . xn) ∈ BnE Φ(e1, . . . , en) ≥ Φ(x1, . . . , xn) ,

ou on a note BE la boule unite de E.b Montrer que (e1, . . . , en) est une base de E, et qu’on a ||ei|| = 1 pour tout i ∈1; . . . ;n.c On note (e∗1, . . . , e

∗n) la base duale de (e1, . . . , en) dans E∗.

(i) Pour x ∈ E et i ∈ 1; . . . ;n, exprimer |〈e∗i , x〉| a l’aide de Φ.(ii) Montrer que les formes lineaires e∗i sont toutes de norme 1.d Montrer qu’on a π(E,Z) ≤ dim(E).

E On note `∞ l’ensemble des suites bornees de nombres reels. On considerera leselements de `∞ comme des fonctions x : N → R. On munit `∞ de la norme ‖ . ‖∞,et on note c0 le sous-espace (ferme) de `∞ constitue par les suites tendant vers 0 al’infini. Le but de cette partie est de demontrer le resultat suivant: il n’existe pas deprojection continue de `∞ sur c0.

1 Soit (fi)i∈I une famille non denombrable d’elements de `∞, avec fi 6= 0 pour touti ∈ I.a Montrer qu’il existe n ∈ N et ε > 0 tels que l’ensemble i ∈ I; |fi(n)| ≥ ε est nondenombrable.b En deduire que l’ensemble

∑i∈J fi; J ⊂ I , J fini

n’est pas borne dans `∞.

2a Montrer qu’il existe une famille non denombrable (Ai)i∈I de parties de N verifiantles proprietes suivantes:

(1) tous les ensembles Ai sont infinis;(2) Ai ∩ Aj est fini si i 6= j.

Pour x ∈ R, on pourra considerer un ensemble du type Ax = rn(x); n ∈ N, ou(rn(x)) est une suite strictement croissante de rationnels tendant vers x.2b Montrer que pour tout ensemble fini J ⊂ I, on a

1Si∈J Ai

−∑i∈J

1Ai ∈ c0 .

Ici, bien sur, on note 1A ∈ `∞ la fonction indicatrice d’un ensemble A ⊂ N.3 Soit p une projection de l∞ sur c0, et soit q = Id − p. En utilisant 2b et 1 avecfi = q(1Ai), montrer que q n’est pas continue. Conclure.

Probleme 15 Si K est un espace metrique compact, on note C(K) l’ensemble desfonctions continues sur K. Le but de l’exercice est d’etablir le resultat suivant: pourun espace de Banach X, les proprietes suivantes sont equivalentes:

(1) X est separable;(2) X est lineairement isometrique a un sous-espace ferme de C(K), pour un

certain espace metrique compact K.

16

A Soit (K, d) un espace metrique compact.1 Montrer que K est separable.2 Soit D = an; n ∈ N un ensemble denombrable dense dans K. Pour n ∈ N, ondefinit fn : K → R par fn(x) = d(an, x). Montrer que si x, y ∈ K et x 6= y, alors ilexiste un entier n tel que fn(x) 6= fn(y).3 Montrer que si F = fn; n ∈ N est une partie denombrable de C(K), alors lasous-algebre de C(K) engendree par F est separable.4 Montrer que l’espace de Banach C(K) est separable.

B Soit X un espace de Banach separable. On note K la boule unite de X∗.1 Soit D = ai; i ∈ N un ensemble denombrable et dense dans la boule unite deX. Pour x∗, y∗ ∈ K, on pose

d(x∗, y∗) =∞∑0

2−i|〈x∗, ai〉 − 〈y∗, ai〉| .

a Montrer que d est une distance sur K.b Montrer qu’une suite (x∗n) ⊂ K converge dans K pour la distance d si et seulementsi 〈x∗n, x〉 converge pour tout x ∈ X, et qu’il revient encore au meme de dire que (x∗n)converge en tout point d’une partie dense de X.2 Pour x ∈ X, on definit une fonction fx : K → R par fx(x

∗) = 〈x∗, x〉. Montrerque fx est une fonction continue bornee sur (K, d), et qu’on a ||fx||∞ = ||x||.C Conclure.

Probleme 16 (adjoint Banachique)

Dans tout l’exercice, X et Y sont des espaces de Banach, et T : X → Y est uneapplication lineaire continue.

A1 Montrer que si y∗ ∈ Y ∗, on definit une forme lineaire continue T ∗(y∗) sur X enposant

〈T ∗(y∗), x〉 = 〈y∗, T (x)〉 .A2 Montrer que l’application T ∗ : Y ∗ → X∗ est lineaire continue. On dit que T ∗ estl’adjoint de l’operateur T .A3 Montrer qu’on a ‖T ∗‖ = ‖T‖.A4 Dans le cas ou X et Y sont des espaces de Hilbert, quel rapport y a-t-il entre T ∗

et l’adjoint hilbertien de T?

B Montrer que T ∗ est injectif si et seulement si Im(T ) est dense dans Y .

C Dans cette partie, on veut montrer l’equivalence des trois proprietes suivantes:

(1) T est surjectif;(2) il existe une constante c > 0 telle que ∀y∗ ∈ Y ∗ ||T ∗(y∗)|| ≥ c ||y∗||;

17

(3) T ∗ est injectif et a image fermee.

1 Montrer que (1) entraıne (2) a l’aide du theoreme de l’image ouverte.2 Montrer que (2) et (3) sont equivalentes.3a On suppose que (2) est verifiee. En notant B la boule unite de X, montrer

que C = T (B) contient la boule B(0, c). On pourra raisonner par l’absurde enremarquant que C est un convexe ferme de Y et en utilisant la forme geometriquedu theoreme de Hahn-Banach.3b Soit toujours B la boule unite de X, et soit α > 0. On suppose que T (αB)contient la boule B(0, 1). Montrer que pour tout y ∈ Y verifiant ‖y‖ ≤ 1, on peutconstruire une suite (xn) ⊂ X telle que ‖xn‖ ≤ α et∥∥∥∥∥y − T

(n∑i=0

2−ixi

)∥∥∥∥∥ ≤ 2−n−1

pour tout n ∈ N.3c Montrer que (2) entraıne (1).

D On pose Y1 = Im(T ), et on note T1 l’operateur T considere comme applicationlineaire continue de X dans Y1. Montrer qu’on a Im(T ∗1 ) = Im(T ∗).

E Montrer que Im(T ) est ferme dans Y si et seulement si Im(T ∗) est ferme dans X∗.

Probleme 17 (quotients)

Dans tout l’exercice, X est un espace vectoriel norme, et F est un sous-espace vec-toriel ferme de X. Pour x ∈ X, on note [x] la classe de x dans l’espace vectorielquotient X/F .1 Montrer que si x ∈ X, alors dist (x, F ) = inf‖x − f‖; f ∈ F ne depend que de[x].2 Montrer qu’on definit une norme sur X/F en posant ‖[x]‖ = dist (x, F ). Cettenorme s’appelle la norme quotient sur X/F .3 On suppose que X est un espace de Banach. Montrer que X/F muni de la normequotient est un espace de Banach. On pourra montrer que toute serie absolumentconvergente a termes dans X/F est convergente.4 Montrer que le dual de X/F s’identifie isometriquement a

F⊥ :=x∗ ∈ X∗; x∗|F = 0

.

5 Soit E un sous-espace vectoriel de X. Montrer que le dual de E s’identifieisometriquement a X∗/E⊥.

Probleme 18 Dans tout le probleme, (K, d) est un espace metrique compact. Onnote C(K) l’espace des fonctions continues sur K, a valeurs complexes.

18

A Dans cette partie, N est un ferme deK. On veut etablir le theoreme d’extensionde Tietze: si f : N → C est une fonction continue, alors il existe une fonctionf : K → C telle que f|N = f et ‖f‖∞ = ‖f‖∞.

1 Soit T : C(K) → C(N) l’application lineaire definie par T (u) = u|N . Montrer queT est continue et calculer ‖T‖.2 Montrer que A = Im(T ) est dense dans C(N).3a Montrer que pour toute fonction g ∈ Im(T ), on peut trouver une fonction g ∈C(K) telle que T (g) = g et ‖g‖∞ = ‖g‖∞. On pourra commencer par verifier quepour tout reel M ≥ 0, on peut trouver une fonction continue θM : C → C telle queθM(z) = z si |z| ≤M et |θM(z)| ≤M pour tout z ∈ C.3b Montrer que Im(T ) est complet pour la norme ‖ . ‖∞. On pourra verifier, a l’aidede a, que toute serie absolument convergente a termes dans Im(T ) converge dansIm(T ).4 Demontrer le resultat souhaite.

B On dit qu’un point x ∈ K est un point isole de K si le singleton x est unouvert de K. De maniere equivalente, x est isole si on peut trouver r > 0 tel que laboule ouverte B(x, r) ne contienne pas d’autre point que x. Dans toute la suite duprobleme, on notera Isol(K) l’ensemble des points isoles de K.1 Dans cette question, on prend K = [1 ; 2] ∪

1n; n ∈ N∗

∪ 0. Quels sont les

points isoles de K?2 Montrer que si K est denombrable, alors K possede au moins un point isole. Onpourra penser au theoreme de Baire.3 Que peut-on dire de K si tous les points de K sont isoles?4 Montrer que Isol(K) est (au plus) denombrable.5 Montrer qu’un point x ∈ K est isole si et seulement si x possede un voisinage Nde cardinalite finie.

D Dans cette partie, on fixe une fonction φ ∈ C(K), et on considere l’operateurTφ : C(K) → C(K) defini par Tφ(f) = φf . On veut etablir le resultat suivant :l’operateur Tφ est compact si et seulement si la fonction φ est nulle en tout point nonisole de K.1 Justifier la continuite de Tφ, et calculer ‖Tφ‖.2 Dans cette question, on suppose que l’operateur Tφ est compact.a Soit x0 ∈ K tel que φ(x0) 6= 0.(i) Justifier l’existence d’un nombre r > 0 tel que φ ne s’annule pas sur N := B(x0, r),puis montrer que l’operateur Tφ|N : C(N)→ C(N) est inversible.

(ii) En utilisant A, montrer que l’operateur Tφ|N est egalement compact. Que peut-on

en deduire sur la dimension de l’espace vectoriel C(N)?b En utilisant a et C5, montrer que φ est identiquement nulle sur K \ Isol(K).3 Dans cette question, on suppose que φ est identiquement nulle sur K \ Isol(K).Montrer que l’operateur Tφ est compact.

19

Probleme 19 (operateurs integraux)

A Soit K : [0; 1] × [0; 1] → C une fonction mesurable. On suppose que pour toutx ∈ [0; 1], la fonction Kx : [0; 1] → C definie par Kx(y) = K(x, y) est integrable, etque l’application x 7→ Kx est continue de [0; 1] dans L1([0; 1]).1 Montrer que ces hypotheses sont verifiees si K est une fonction continue.2 Pour f ∈ L∞[0; 1], on definit TKf : [0; 1]→ C par

TKf(x) =

∫ 1

0

K(x, y)f(y) dy .

a Justifier la definition, et montrer que TKf est une fonction continue.b Montrer que TK : L∞([0; 1])→ C([0; 1]) est une application lineaire continue.c Montrer que TK est un operateur compact.

B Soit θ :]0; 1] → R une fonction continue. On suppose qu’on a θ(x) 6= 0 pourtout x > 0, et limx→0

xθ(x)

= 0. Montrer qu’on definit un operateur compact

T : L∞([0; 1])→ C([0; 1]) en posant Tf(0) = 0 et

Tf(x) =1

θ(x)

∫ x

0

f(t) dt

pour x > 0.

C Pour f ∈ C([0; 1]), on definit Tf : [0; 1] → C par Tf(0) = f(0) et Tf(x) =1x

∫ x0f(t) dt si x > 0.

1 Montrer que T est une application lineaire continue de C([0; 1]) dans C([0; 1]).2a Pour ε ∈ ]0; 1/4[, on note fε : [0; 1]→ R la fonction continue valant 1 sur [2ε, 3ε],nulle sur [0; ε] et [4ε; 1], affine sur [ε; 2ε] et [3ε; 4ε]. Montrer que si ε < 4ε′ < 1/4,alors ‖T (fε)− T (fε′)‖∞ ≥ 1

3.

2b L’operateur T est-il compact?

Probleme 20 (interpolation de Lagrange)

Pour n ∈ N, on note Pn ⊂ C([0; 1],R) l’ensemble des fonctions polynomiales de degre

inferieur ou egal a n. Pour n ∈ N et i ∈ 0; . . . ;n, on pose x(n)i = i

n.

A Soit f ∈ C([0; 1]), et soit n ∈ N.a Quel est le noyau de l’application lineaire T : Pn → Rn+1 definie par T (P ) =

(P (x(n)0 ), . . . , P (x

(n)n ))?

b Montrer qu’il existe une unique fonction polynomiale P ∈ Pn verifiant ∀i ∈0; . . . ;n P (x

(n)i ) = f(x

(n)i ). Dans toute la suite ce polynome sera note πn(f).

c Montrer que πn est une projection de C([0; 1]) sur Pn.

20

B Soit n ∈ N. Pour i ∈ 0; . . . ;n, on definit lni ∈ Pn par

lni (x) =∏j 6=i

x− x(n)j

x(n)i − x

(n)j

.

1 Verifier que si f ∈ C([0; 1]), alors

πn(f) =n∑i=0

f(x(n)i )l

(n)i .

2 Montrer que la projection πn est continue.

3 On pose λn(x) =∑n

i=0 |l(n)i (x)|, et Λn = ||λn||∞. Calculer ||πn|| en fonction de Λn.

C1 Montrer que si n ∈ N∗, alors∏n

j=0 |12− j| ≥ 1

4(n− 1)!. En deduire que pour tout

i ∈ 0; . . . ;n, on a |l(n)i ( 1

2n)| ≥ Cin

4n2 .C2 Montrer qu’on a limn→∞ Λn = +∞.

D Est-il vrai que pour toute fonction f ∈ C([0; 1]), la suite (πn(f)) converge uni-formement vers f?

E1 Soit f ∈ C([0; 1]). Montrer que pour tout n ∈ N, on a

||f − πn(f)||∞ ≤ (1 + Λn)d(f,Pn) .

On pourra commencer par montrer que si P ∈ Pn, alors ||f−πn(f)||∞ ≤ ||f−P ||∞+||πn(f − P )||∞.E2 On admet qu’on a Λn ≤ 2n pour tout n ∈ N. Montrer que si f ∈ C([0; 1]) estla somme d’une serie entiere de rayon de convergence R > 2, alors (πn(f)) convergeuniformement vers f .

Probleme 21 (interpolation de Lagrange, bis)Le but du probleme est de montrer que l’interpolation de Lagrange n’est jamais unbon procede d’approximation uniforme pour toutes les fonctions continues.

A On note C2π l’espace des fonctions continues 2π-periodiques sur R (a valeurs com-plexes) muni de la norme ‖ . ‖∞. Pour n ∈ N, on note Pn ⊂ C2π l’ensemble despolynomes trigonometriques de degre au plus n. Si f ∈ C2π, on note Snf sa n-iemesomme partielle de Fourier,

Snf(x) =n∑−n

cn(f)eikx .

21

1a Montrer que Sn est une projection lineaire continue de C2π sur Pn, de normeinferieure ou egale a ||Dn||1, ou Dn est le noyau de Dirichlet :

Dn(t) =sin(n+ 1

2)t

sin t2

·

1b Montrer qu’on a en fait ||Sn|| = ||Dn||1.2 Soit n ∈ N et soit L une projection lineaire continue de C2π sur Pn.a Pour λ ∈ R, on definit τλ : C2π → C2π par τλf(t) = f(t − λ). Pour x ∈ R fixe,

calculer l’integrale∫ 2π

0τλ L τ−λf(x) dλ lorsque f est de la forme f(t) = eimt, m ∈ Z.

b Montrer que pour toute fonction f ∈ C2π et pour tout x ∈ R, on a

Snf(x) =1

2π

∫ 2π

0

τλ L τ−λf(x) dλ .

3 Soit n ∈ N. Montrer que si L est une projection lineaire continue de C2π sur Pn,alors

||L|| ≥ ||Dn||1 .

4 On note C+2π le sous-espace de C2π constitue par les fonctions paires, et P+

n l’ensemble

des polynomes trigonometriques pairs de degre au plus n. Etablir le meme resultatqu’en 3 pour une projection lineaire continue de C+

2π sur P+n .

B Si σ est une subdivision d’un intervalle [a ; b] et si f ∈ C([a ; b]), on note Lσfle polynome d’interpolation de Lagrange de f aux points de σ. En notant σ =(a0, . . . , an), le polynome Pσ est par definition l’unique polynome de degre inferieurou egal a n verifiant P (ai) = f(ai) pour tout i ∈ 0; . . . ;n.

1 Soit σ une subdivision de [−1; 1], et soit n+1 le nombre de points de σ. Montrer queLσ est une projection lineaire continue de C([−1; 1]) sur le sous-espace des polynomesde degre inferieur ou egal a n.2 On definit J : C([−1; 1]) → C2π par Jf(t) = f(cos t). Montrer que J est uneisometrie lineaire de C([−1; 1]) dans C2π. Quelle est l’image de J?3 Soit σ une subdivision de [−1; 1] et soit n + 1 le nombre de points de σ. Montrerqu’il existe une projection lineaire continue L de C+

2π sur P+n telle que ||L|| ≤ ||Lσ||.

C Soit [a ; b] un intervalle compact (non trivial) de R. Montrer que si (σk) est unesuite de subdivisions de [a ; b] de pas tendant vers 0, alors il existe une fonctionf ∈ C([a ; b]) telle que Lσkf ne converge pas uniformement vers f quand k tend versl’infini.

Probleme 22 (operateurs hypercycliques)

22

A Dans cette partie, X est un espace de Banach separable, et T : X → X est uneapplication lineaire continue. Pour tout x ∈ X, on pose

OT (x) = T n(x); n ∈ N ,

ou T n = T · · · T (n fois), avec la convention T 0 = Id. On dit qu’un vecteur x ∈ Xest hypercyclique pour T si OT (x) est dense dans X. On note HC(T ) l’ensembledes vecteurs hypercycliques pour T , et on dit que l’operateur T est hypercycliquesi HC(T ) 6= ∅.

1 Montrer qu’il existe une famille denombrable de boules ouvertes (Bi)i∈I verifiantla propriete suivante : pour tout ouvert non vide V ⊂ X, on peut trouver i ∈ I telque Bi ⊂ V .2 Pour i ∈ I, on pose Gi = x ∈ X; ∃n ∈ N T n(x) ∈ Bi.a Montrer que les Gi sont des ouverts de X.b Montrer qu’on a HC(T ) =

⋂i∈I Gi.

3 On suppose qu’il existe une partie dense Z ⊂ X et une application S : X → Xverifiant les proprietes suivantes :

(1) T S = Id;(2) pour tout z ∈ Z, on a lim

n→∞T n(z) = 0 = lim

n→∞Sn(z).

a Soient u, v ∈ Z. Pour n ∈ N, on pose xn = u+ Sn(v). Quelles sont les limites dessuites (xn) et (T n(xn))?b Deduire de a que la propriete suivante est verifiee : pour tout couple (U, V )d’ouverts non vides de X, on peut trouver un point x ∈ U et un entier n ∈ N telsque T n(x) ∈ V .c En utilisant 2 et b, montrer que T est hypercyclique.

B Dans cette partie, on note `1 l’espace vectoriel constitue par toutes les suitesx = (x(n))n∈N ∈ CN verifiant

∑∞0 |x(n)| < ∞. On munit `1 de la norme ‖ . ‖1

definie par

‖x‖1 =∞∑0

|x(n)| .

1 Montrer que `1 est un espace de Banach.2 Pour i ∈ N, on note ei l’element de `1 defini par ei(i) = 1 et ei(n) = 0 si n 6= i.Montrer que l’espace vectoriel Z engendre par la famille ei; i ∈ N est dense dansl1.3 Soit B : `1 → `1 l’application lineaire definie de la facon suivante : pour x =(x(0), x(1), x(2), . . . ) ∈ `1, on pose B(x) = (x(1), x(2), . . . ).a Montrer que B est continue et calculer ‖B‖.b Montrer qu’il existe une application lineaire B : `1 → `1 verifiant BB = Id et‖B(x)‖ = ‖x‖ pour tout x ∈ `1.4 Montrer que l’operateur T = 2B est hypercyclique.

23

Probleme 23 (fonctions continues nulle-part derivables)

Le but de cet exercice est de montrer qu’il existe “beaucoup” de fonctions f : [0; 1]→R qui sont continues sur [0; 1], mais derivables en aucun point. Pour tout reel λ > 0,on posera

Uλ =

f ∈ C([0; 1]); ∀x ∈ [0; 1] sup

y 6=x

|f(y)− f(x)||y − x|

> λ

.

Autrement dit:

Uλ = f ∈ C([0; 1]); ∀x ∈ [0; 1] ∃y |f(y)− f(x)| > λ|y − x| .

1 Montrer que pour tout λ > 0, l’ensemble Uλ est un ouvert de C([0; 1]).2 Soit λ > 0. Montrer que pour tout ε > 0, on peut trouver une fonction φ ∈ Uλtelle que ‖φ‖∞ < ε.3 Soit f : [0; 1]→ R une fonction lipschitzienne. On note k la constante de Lipschitzde f . Soit egalement µ > 0. Montrer que si φ ∈ Uµ et si µ > k, alors f + φ ∈ Uµ−k.4 Deduire de 2 et 3 que pour tout λ > 0, l’ouvert Uλ est dense dans C([0; 1]).5 Montrer que l’ensemble des fonctions f : [0; 1] → R continues et nulle partderivables est dense dans C([0; 1]).

Probleme 24 (theoreme d’Ekeland)

Dans tout le probleme, X est un espace de Banach reel. On note Lip(X) l’ensembledes fonctions ϕ : X → R lipschitziennes bornees. Pour ϕ ∈ Lip(X), on pose

‖ϕ‖Lip = ‖ϕ‖∞ + sup

|ϕ(x)− ϕ(y)|‖x− y‖

; x, y ∈ X, x 6= y

.

1 Montrer que (Lip(X), ‖ . ‖Lip) est un espace de Banach.2 Soit α > 0. Montrer que pour tout ε > 0, on peut trouver b ∈ Lip(X) verifiantb(0) > 0, ‖b‖Lip < ε et b(x) = 0 si ‖x‖ ≥ α.3 Soit f : X → R bornee inferieurement, et soit α > 0. On pose

Uα = ϕ ∈ Lip(X); ∃u ∈ X (f − ϕ)(u) < inf(f − ϕ)(x); ‖x− u‖ ≥ α .

a Montrer que Uα est un ouvert de Lip(X).b En utilisant des fonctions du type x 7→ b(x− u), pour b et u bien choisis, montrerque Uα est dense dans Lip(X).4 Soit g : X → R continue et bornee inferieurement. On suppose qu’il existe unesuite (un) ⊂ X telle que pour tout n ∈ N, on ait

g(un) < infg(x); ‖x− un‖ ≥ 2−n

.

a Montrer par l’absurde que si p ≤ q, alors ‖up − uq‖ < 2−p.b Montrer que g atteint sa borne inferieure.

24

5 Soit f : X → R continue et bornee inferieurement. Montrer que l’ensemble

ϕ ∈ Lip(X); f − ϕ atteint sa borne inferieureest dense dans Lip(X).6 Demontrer le theoreme d’Ekeland : si f : X → R est continue et borneeinferieurement, alors, pour tout ε > 0, on peut trouver un point x0 ∈ X tel que

∀x ∈ X f(x0) ≤ f(x) + ε‖x− x0‖ .7 Soit f : X → R differentiable et bornee inferieurement.a Montrer que pour tout ε > 0, on peut trouver un point x ∈ X tel que ‖Df(x)‖ ≤ ε.b Peut-on toujours trouver un point x tel que Df(x) = 0?