Le codage de Hamming

"Que penserons-nous d'une mécanique... qui non seulement peut

calculer... mais encore confirmer la certitude mathématique de ses

opérations par la faculté de corriger les erreurs possibles?" ( Edgar

Allan Poe, le joueur d'échecs de Maelzel ) .

I Les codes linéaires : codage et restitution d'un mot

binaire

1 - Codage.

2 - Décodage, correction.

3 - Fiabilité du résultat.

II Phase expérimentale

1 - Programmation maple

2 - Résultats, interprétations.

3 - Cadre et limites d'utilisation.

II . 2 - Résultats, interprétations.

message émis message reçu message décodé

II. 3 - Cadre et limites d'utilisation.

Schéma de Bernoulli :

- la probabilité d'erreur est la même pour chaque bit.

- elles sont indépendantes les unes des autres.

Erreurs aléatoires si bruit de fond electromagnétique => satellites.

+ Permet la correction sans répétition => utile si les distances sont

importantes.

- Mais Taille des mots fixée => inutilisable pour internet.

Erreurs en rafale et perte d'information possibles, exemple : rayure de CD.

Annexe A

Matrice de contrôle d'un code quelconque

On cherche S telle que ker S = C.

u C┴

Donc si G' est une matrice génératrice de C┴ alors elle est syndrome de C.

Une matrice de contrôle de C est la transposée d'une matrice génératrice

de C┴.

Probabilité d'exactitude du message décodé

Seuls sont exacts avant restitution de l'information :

les messages transmis sans erreur,

les messages n'ayant qu'une erreur.

Soit p la probabilité de mutation d'un bit, et q = 1 - p .

Donc pour Hamming (15,11) (ie n=15, r=11), avec p = 10-3

on trouve Pexa = 0,9999.

Sans correction, la probabilité d'exactitude serait

1/100 message est erroné sans correction,

1/10 000 message est erroné avec correction.