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Théorie des Jeux - Jeux non coopératifs avec information ... · Le probl eme majeur dans ce cas...
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Th´ eorie des Jeux Jeux non coop´ eratifs avec information incompl` ete Marc Plantevit [email protected]
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Theorie des Jeux
Jeux non cooperatifs avec information incomplete
Marc Plantevit
Les jeux en information incomplete (ou les jeux bayesiens) cherchent aanalyser les situations ou les joueurs ne connaissent pas parfaitement lesdonnees du jeu.
ProblemeLe probleme majeur dans ce cas est bien sur l’incompletude : si lesjoueurs ne connaissent pas parfaitement le jeu, comment peuvent-ilsreagir de maniere rationnelle et a quel type de resultats pourrons-nousaboutir dans ce type de jeu ?
2Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
Concepts etudies
Nous considerons dans cette partie l’analyse des jeux statiques eninformation incomplete :
completer l’information avec la methode de Harsanyi ;
les types d’un joueur ;
la forme normale des jeux statiques bayesiens ;
les croyances des joueurs dans un jeu bayesien ;
la regle de Bayes ;
la definition des strategies dans un jeu bayesien ;
les strategies melangeantes et separatrices ;
l’equilibre de Nash bayesien.
3Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
Plan
1 Le role de la nature
2 Ex : duopole
3 Equilibre de Nash bayesien
4Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
Harsanyi (1967-68) a le premier developpe l’outil necessaire a lamodelisation de ce type de situation qui correspond a l’incompletude del’information dans un jeu strategique.
Considerons un jeu strategique J opposant deux joueurs.
Le joueur 1 connait parfaitement les gains resultant de chaque pairede strategies possibles, tandis que le joueur 2 ne les connait pasparfaitement.
Chacun connait neanmoins la liste des strategies qui est a ladisposition de chaque joueur.
Supposons qu’elles soient en nombre fini.
Comme le joueur 2 ne connait pas precisement les gains du jeuauquel il participe, il possede des croyances sur ces gains.
5Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
Ces croyances sont representees sous la forme d’un ensemble defonctions de gains possibles et de probabilites attachees a chacunede ces fonctions.
Notons par Jk le jeu correspondant a la k-ieme fonction de gain etpk la probabilite que le vrai jeu auquel le joueur est confronte soit Jk .
Chacun de ces jeux a exactement la meme structure, sinon le joueur2 pourrait deviner a quel jeu il participe en observant cette structure.
De plus, le joueur 2 sait que le joueur 1 connaıt parfaitement le jeu.
La maniere dont le joueur 2 percoit le jeu peut etre representee,selon Harsanyi, par un coup initial d’un joueur fictif, la Nature, quichoisit le jeu.
Harsanyi propose donc de remplacer le jeu strategique eninformation incomplete J par un jeu sequentiel en informationcomplete (mais imparfaite), J0, ou la Nature joue le premier.
6Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
Passage a l’information imparfaite.
La strategie du joueur 1 va prescrire une action differente pourchacun des jeux possibles.
tandis que la strategie du joueur 2 ne precisera qu’une seule actionpour tous les jeux, independamment du choix de la Nature.
7Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
Plan
1 Le role de la nature
2 Ex : duopole
3 Equilibre de Nash bayesien
8Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
Considerons un duopole produisant un bien homogene dont lademande inverse est donnee par ppQq � A � Q.
Les fonctions de cout des deux firmes qui se font concurrence enquantites sont donnees par
Ci pqi q � ciqi , i � 1, 2
avec c1 est parfaitement connu par les deux firmes, tandis qu’ilexiste une incertitude pour la firme 1 sur c2 car elle ne l’observepas : c2 P tcF , cEu avec cE ¡ c1 ¡ cF . PrcF s � α � 1 � PrcE sdonne la probabilite que la firme 2 ait des couts faibles.
La firme 2 connait bien sur ses couts.
La fonction de meilleure reponse de la firme 2 depend de son type decout :
maxq2
pA � q�1 � q2qq2 � cF q2, si c2 � cF
maxq2
pA � q�1 � q2qq2 � cE q2, si c2 � cE
9Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
La production optimale de la firme dependra bien sur de ses couts etla firme 1 doit tenir compte de cela. Soit q�2 pcF q la quantite qu’elleattend du type faible et q�2 pcE q, celle attendue du type eleve.
La firme 1 sait que la probabilite de faire face au type F est α. Elledoit alors maximiser son profit espere
maxq1
rpA�q1�q�2 pcF qqq1�c1q1s�p1�αqrpA�q1�q�2 pcE qqq1�c1q1s
10Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
Les meilleures reponses des firmes resulteront alors des conditions depremier ordre de ces problemes.
q�2 pq1, cF q �A � q1 � cF
2
q�2 pq1, cE q �A � q1 � cE
2
et nous avons alors
q�2 pq1; cF q ¡ q�2 pq1; cE q,@q1 et
E rq2s �A � q1 � E rc2s
2
11Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
Le probleme de la firme 1 devient alors :
maxq1
pA � q1 � E rq2s � c1q q1
et il conduit a la fonction de meilleure reponse suivante :
q�1 pq2q �A � E rq2s � c1
2
ñ q�1 pq2q �A � rαq�2 pcF q � p1 � αqq�2 pcE qs � c1
2
12Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
Duopole de Cournot en information incomplete
Dans ce jeu simultane, l’equilibre de Nash correspond a une situationdont aucune firme n’a interet a devier ; ce qui correspond a l’intersectionde q�1 pq2q avec E rq2s (point E ci-dessus)
13Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
Du fait de l’incertitude de la firme 1, les deux types de la firme 2 setrouvent lies
q�1 �A � E rc2s � 2c1
3
q�2 pcF q �2A � E rc2s � 2c1 � 3cF
6
q�2 pcE q �2A � E rc2s � 2c1 � 3cE
6
avec q�2 pcF q ¡ q�2 pCE q puisque cE ¡ cF (resp. qF2 et qE
2 )On peut reecrire ces quantites d’equilibre pour faciliter la comparaisonavec la production de la firme 2 en information complete (les points EF
et EE representent les equilibres qu’on eu en information complete).
14Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
q�i �A � 2ci � cj
3, i � j � 1, 2
q�2 pcF q �A � 2cF � c1
3� pcE � cF qp1 � αq
A � 2cF � c1
3
q�2 pcE q �A � 2cF � c1
3� αpcE � cF q ¡
A � 2cE � c1
3
Dans l’equilibre de Nash avec information incomplete, la firme avecdes couts eleves produit plus que ses quantites de Cournot et celleavec des couts faibles est amenee a produire moins que ses quantitesen information complete : l’incertitude de son concurrent l’empechede profiter pleinement de ses couts faibles car elle sait que lareaction de son concurrent va resulter d’une esperance qui inclutnecessairement cE :
q�1 |cF q�1 q�1 |cE
et la firme 2 doit en tenir compte pour eviter une baisse trop fortedu prix.
15Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
Plan
1 Le role de la nature
2 Ex : duopole
3 Equilibre de Nash bayesien
16Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
Equilibre de Nash bayesien
Chaque fois que l’incertitude porte sur une des caracteristiques d’unjoueur, nous pouvons representer les differents etats de la Nature commedes types differents de ce joueur.
Quand l’incertitude porte sur une autre caracteristique du jeu, il estquand meme souvent possible d’utiliser cette approche pour completerl’information, en modifiant notamment les gains des joueurs enconsequence pour les rendre dependants de son type : ui ps; ti q qui estconnu par le joueur i pour tout type possible ti de ce joueur.
17Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
Dans le jeu precedent : t2 P tcE , cF u et t1 P tc1u et les fonctions de gainssont π1pq1, q2; c1q pour le joueur 1, π2pq1, q2; cE q et π2pq1, q2; cF q pourle joueur 2.
Etant donnes les types possibles de tous les joueurs (contenus dans Ti
pour chaque joueur), t � pt1, . . . , tnq represente une distributionparticuliere des types des joueurs t P T � XiPI Ti .
Dans notre exemple de duopole T � tpc1, cF q, pc1, cE qu avec T 1 � tc1uet T2 � tcF , cEu.
18Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
Nous pouvons alors noter, comme pour un profil de strategies, part�i � pt1, . . . , ti�1, ti�1, . . . , tnq une distribution particuliere des types detous les joueurs sauf celui du joueur i .
Dans cette approche le joueur i connait son propre type ti mais il a justeune distribution de probabilites conditionnelles sur les types des autresjoueurs : pi pt�i |ti q.
Si les types des joueurs sont independants, cette distribution se reduit api pt�i q comme c’est le cas dans notre exemple.
La representation en termes de types nous permet de formuler un cadregeneral pour analyser ce type de jeux.
19Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
Definition : Jeu bayesien statique
Un jeu bayesien statique en forme normale est decrit par les elementssuivants :
Un ensemble de n joueurs : I � t1, 2, . . . , nu.
Pour chaque joueur i , i P I ,
un ensemble d’action Ai , qui contient toutes les actions possiblesde ce joueur et un ensemble Ti qui contient les differents typespossibles de ce joueur. ai P Ai est une action particuliere du joueur iet ti P Ti est un type du joueur i . Soit T � XiPITi l’ensemble destypes des joueurs et t P T , un profil de types.une fonction de gain (VNM), ui qui represente les preferences dujoueur i et qui donne la valeur pour le joueur i de chaque resultat dujeu etant donnee la distribution des types :
ui : pXiPIAi qXT Ñ R
pa1, a2, . . . , an; t1, t2, . . . , tnq ÞÑ ui pa; tq
20Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
une distribution de probabilites pi qui donne ses croyances quantaux types des autres joueurs
pi : T Ñ r0, 1s
pt1, t2, . . . , tnq ÞÑ pi pt�i |ti q
qui resulte de la regle de Bayes quand elle peut etre appliqueeapres la revelation de son type au joueur i
pi pt�i |ti q �ppt�i , ti q
ppti q�
ppt�i , ti q°t�iPT�i
ppt�i , ti q
Le dernier element de cette definition donne son nom a ce type dejeux.
21Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
Les strategies d’un joueur dans ce jeu doivent etre construites a partir del’ensemble des actions du joueur et de son ensemble de types :
DefinitionUne strategie du joueur i n’est pas directement donnee dans la definitiondu jeu mais elle est definie de maniere a preciser une action pour chaquetype ti P Ti a partir de l’ensemble des actions Ai :
si : Ti Ñ Ai
ti ÞÑ si pti q � ai
22Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
On parle alors de :
strategie separatrice quand chaque type choisit une actiondifferente et de
strategie melangeante (pooling strategy) quand tous les types dujoueur choisissent la meme action.
23Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
Equilibre de Nash bayesien
L’equilibre de Nash en strategies pures d’un jeu statique bayesienest un profil de strategies s� � ps�1 , . . . , s
�
n q si s�i pti q est la solution duprobleme suivant pour chaque joueur i et pour chacun des types ti P Ti
de ce joueur p@i ,@ti P Ti q :
maxaiPAi
¸
t�iPT�i
ui
�s�1 pt1q, . . . , s
�
i�1pti�1q, ai , s�
i�1pti�1q, . . . , s�
n ptnq; t�
pi pt�i |ti q
24Le role de la nature Ex : duopole Equilibre de Nash bayesien
