ASDS  TS-­‐SPE   THÈME  :  MATÉRIAUX  /  CONDUCTEURS  ET  SEMI-­‐CONDUCTEURS   PAGE  1  /  3  

Problème  à  résoudre  :  des  supraconducteurs  pour  l’imagerie  médicale  Un  champ  magnétique  intense  «  11,7  teslas,  c'est  la  valeur  du  champ  magnétique  du  futur  aimant  Iseult  qui  rejoindra  en  2012  NeuroSpin,  centre  de  neuro-­‐imagerie  situé  au  CEA  à  Saclay.  Objectifs:  étudier,  mieux  diagnostiquer  et  traiter  des  maladies.»  

Extrait  de  Les  défis  du  CEA,  ri'  137,  fév.  2009.  Le  solénoïde:  une  bobine  longue  •  Le  passage  d'un  courant  électrique  d'intensité  1  dans  un  solénoïde  (bobine  longue)  contenant  n  spires  circulaires  par  mètre,  crée  au  centre  du  solénoïde  un  champ  magnétique  8,  pratiquement  uniforme  et  parallèle  à  l'axe  et  de  valeur    

𝑩 = 𝟒.𝝅.𝟏𝟎!𝟕𝒏. 𝑰  -­‐  avec  B  en  tesla  (T)  et  I  en  ampère  (A).    •  La  résistance  R  d'un  fil  métallique  de  longueur  l    de  section  s  et  de  résistivité  𝜌  est  donnée  par  la  relation    

𝑹 = 𝝆.𝒍𝑺  

-­‐    avec  R  en  ohm  (Ω),  𝒍  en  mètre  (m),  𝑺  enmètre  carré  (𝑚!)  et  p  en  ohm-­‐mètre  (Ω.m)    •  Un  conducteur  de  résistance  R  parcouru  par  un  courant  électrique  d'intensité  𝑰  s'échauffe  (effet  Joule)  et  reçoit  une  puissance  électrique  PJ  telle  que    

𝑷𝑱 = 𝑹𝑰𝟐  -­‐  avec  PJ  en  watt  (W),  𝑹  en  ohm  (Ω)  et  𝐈    en  ampère  (A)    •  Lorsque  la  température  d’un  corps  de  masse  m  et  de  capacité  thermique  massique  c,  varie  de  ∆𝑇  l'énergie  thermique  mise  en  jeu  vaut  

𝑬 = 𝒎. 𝒄.∆𝜽  -­‐  avec  𝑬  joule  (J),  𝒎  en  kilogramme  (kg),  c  en  J.  kg-­‐1.  °C-­‐1  et  .∆𝜽  en  degré  Celsius  (°C).    Le  cuivre:  un  bon  conducteur  électrique  Le  cuivre,  bon  conducteur  électrique,  est  souvent  utilisé  pour  fabriquer  des  bobines  magnétiques.  Les  caractéristiques  physiques  de  ce  métal  sont  les  suivantes:  -­‐  masse  volumique:  𝜇 =  8,92. 10!  𝑘𝑔 ·𝑚!!;  -­‐  capacité  thermique  massique:  𝑐   =  390  𝐽. 𝑘𝑔!!  °𝐶!!  ;  -­‐  résistivité  électrique:  𝛒   =  𝟏,𝟕.𝟏𝟎!𝟖  𝛀.𝐦    -­‐  température  de  fusion:  𝛉𝐟𝐮𝐬  =  1083  °C.  Problème  à  résoudre      Peux  –t-­‐  on  réaliser  un  champ  magnétique  B  de  11,7  T  à  l’aide  d’un  solénoïde  de  diamètre  D  =  1,00  m,  de  longueur  L=  1,00  m  et  formé  de  l’enroulement  d’une  seule  rangée  de  spires  jointives  de  cuivre  recouvert  d’un  film  isolant.  Le  fil  de  cuivre  à  un  diamètre  d=1,00  mm,  on  néglige  l’épaisseur  du  film  isolant  qui  l’enrobe.  (voir  l’aide  à  la  résolution  au  bas  de  page  160)  Le  solénoïde  peut-­‐il  supporter  l’intensité  du  courant  nécessaire  pour  produire  le  champ  magnétique  demandé.  Ce  qui  limite  la  possibilité  d’obtenir  un  tel  champ  magnétique  résulte  de  l’échauffement  du  fil  conducteur  constituant  du  solénoïde  du  à  l’effet  joule,  lequel  dépend  de  la  résistance  du  fil  de  cuivre  et  de  l’intensité  du  courant  qui  devrait  le  traverser.    On  nous  donne  certaines  caractéristiques  du  métal  qui  le  constitue  notamment  sa  température  de  fusion  et  sa  capacité  thermique  massique.    L’échauffement  du  fil  de  cuivre  pourrait  il  entrainer  sa  fusion.  Connaissant  l’intensité  du  courant  qui  le  traverse  on  peut  tenter  d’avoir  une  idée  de  la  durée  fonctionnement  qui  porterait  ce  fil  à  sa  température  de  fusion    Première  étape  :  détermination  de  l’intensité  I  du  courant  traversant  le  solénoïde  pour  obtenir  un  champ  magnétique  B  =  11,7  T      On    sait  que    

𝑩 = 𝟒.𝝅.𝟏𝟎!𝟕𝒏. 𝑰  

𝑰 =𝑩

𝟒.𝝅.𝟏𝟎!𝟕𝒏  

 𝒏 =

𝑳𝒅  

𝑰 =𝑩

𝟒.𝝅.𝟏𝟎!𝟕. 𝑳𝑫

 

 𝒏 = 𝑳𝒅= 𝟏

𝟏.𝟏𝟎!𝟑=𝟏𝟎𝟑  

𝑰 =𝟏𝟏,𝟕

𝟒.𝝅.𝟏𝟎!𝟕.𝟏𝟎𝟑  

𝑰 = 𝟗,𝟑𝟏.𝟏𝟎𝟑  𝑨  deuxième  étape  :  déterminer  la  puissance  dissipée  par  effet  joule  du  fait  du  passage  du  courant  dans  le  conducteur  

𝑷𝑱 = 𝑹𝑰𝟐  

or  𝑹 = 𝝆.𝒍.𝑺  

𝒍  représente  la  longueur  du  fil  ;  le  solénoïde  peut  être  considéré  comme  une  juxtaposition  de  spires  circulaires  jointives    

𝒍 = 𝝅.𝑫.𝒏  

𝒔 = 𝝅.𝒅𝟐

𝟐

 

𝑹 =  𝝆.𝝅.𝑫.𝒏.

𝝅. 𝒅𝟐𝟐  

𝑹 =𝟒.𝝆.𝑫.𝒏.

𝒅𝟐  

𝑹 =𝟒×𝟏,𝟕×𝟏,𝟎.𝟏𝟎!𝟖×𝟏𝟎𝟑.

𝟏𝟎!𝟑 𝟐  

𝑹 = 𝟔𝟖  𝛀  la  puissance  dissipée  par  effet  joule    

𝑷𝑱 = 𝟔𝟖× 𝟗,𝟑𝟏.𝟏𝟎𝟑 𝟐      

𝑷𝑱 = 𝟓,𝟖𝟗.𝟏𝟎𝟗  𝑾  Troisième  étape  :  détermination  de  l’énergie  nécessaire  que  doit  recevoir  le  fil  pour  fondre     𝚫E = 𝒎. 𝒄.𝚫𝜽       𝒎 = 𝝁.𝑽         𝑽 = 𝒔. 𝒍       𝒎 = 𝝁. 𝒔. 𝒍  

      𝒔 =  𝝅. 𝒅𝟐𝟐  

      𝒍 =  𝝅.𝑫.𝒏  

  𝒎 = 𝝁.𝝅. 𝒅𝟐𝟐.𝝅.𝑫.𝒏  

    𝒎 = 𝝁.𝝅𝟐.𝒅𝟐.𝑫.𝒏𝟒  

    𝚫𝜽  représente  la  variation  de  température  entre  de  la  température  𝜃! = 20°𝐶  et  la  température  finale  θ!"#  =  1083  °C  qui  serait  la  température  de  fusion  du  fil  de  cuivre  𝚫𝜽 = 𝜽𝑭 − 𝜽𝒊     𝚫E = 𝒎. 𝒄.𝚫𝜽  devient    

𝚫E =𝝁.𝝅𝟐.𝒅𝟐.𝑫.𝒏

𝟒. 𝒄. 𝜽𝑭 − 𝜽𝒊  

 

𝚫E =𝝁.𝝅𝟐.𝒅𝟐.𝑫.𝒏. 𝒄. 𝜽𝑭 − 𝜽𝒊

𝟒  

   

 𝝁 =  𝟖,𝟗𝟐.𝟏𝟎𝟑  𝒌𝒈.  𝒎!𝟑;  �𝐝 = 𝟏,𝟎𝟎  𝐦𝐦 =  𝟏,𝟎𝟎.𝟏𝟎!𝟑𝒎 𝐃   =  𝟏,𝟎𝟎  𝐦 𝒏 = 𝑳

𝒅= 𝟏

𝟏.𝟏𝟎!𝟑= 𝟏𝟎𝟑  𝒔𝒑𝒊𝒓𝒆𝒔

𝒄   =  𝟑𝟗𝟎  𝑱.𝒌𝒈!𝟏  °𝑪!𝟏 𝜽𝑭 = 𝛉𝐟𝐮𝐬  =  1083  °C    𝜽𝒊 = 𝟐𝟓°𝑪

𝚫E =  𝟖,𝟗𝟐.𝟏𝟎𝟑  .𝝅𝟐. 𝟏,𝟎𝟎.𝟏𝟎!𝟑 𝟐.𝟏,𝟎𝟎  .𝟏𝟎𝟑.𝟑𝟗𝟎. 𝟏𝟎𝟖𝟑 − 𝟐𝟓

𝟒  

   

𝚫E = 𝟗,𝟏𝟐.𝟏𝟎𝟔  𝑱    quatrième  étape  :  détermination  de  la  durée  𝚫𝒕  au  bout  de  laquelle  la  température  de  fusion  du  fil  de  cuivre  est  atteinte  en  supposant  que  l’énergie  thermique  produite  par  effet  joule    Δ𝐸!  n’est  pas  échangée  avec  l’extérieur,  mais  est  utilisée  intégralement  à  élever  la  température  du  fil  de  cuivre    alors    

𝚫𝑬𝑱 = 𝚫E  or  𝚫𝑬𝑱 = 𝑷𝒋.𝚫𝐭  

𝚫𝑬𝑱 = 𝚫E  𝑷𝒋.𝚫𝐭 = 𝚫E  

𝚫𝐭 =𝚫E𝑷𝒋  

𝚫𝐭 =𝟗,𝟏𝟐.𝟏𝟎𝟔  

𝟓,𝟖𝟗.𝟏𝟎𝟗      

 𝚫𝐭 = 𝟏,𝟓𝟓  .𝟏𝟎!𝟑  𝒔  

soit  un  peu  plus  d’un  millième  de  seconde  Il  est  impossible  de  réaliser  de  façon  durable,  donc  utilisable,  un  champ  magnétique  de  11,7  T  avec  un  solénoïde  en  cuivre  ;  celui-­‐ci  fondrait  rapidement  du  fait  de  l’effet  joule  lié  à  sa  résistance  électrique  Seule  l’utilisation  de  matériaux  supraconducteurs  à  très  basse  température  permet  la  création  d’un  tel  champ  Car  le  passage  du  courant  dans  un  supraconducteur  ne  s’accompagne  d’aucun  effet  joule