Thème - pmb.univ-saida.dz

République Algérienne Démocratique Et Populaire Ministère de l'enseignement supérieur de la recherche scientifique Université DR Moulay Tahar de Saida Faculté de technologie

Département : Génie civil et hydraulique

Spécialité : Master 2 structure

Mémoire pour l’obtention du diplôme de Master LMD en génie civil

Thème :

Présenté par : Sous la direction de :

Mlle.Rihi Wafaa -Dr Rabhi Mohamed

Mlle.Zaoui Khadouma Sara

Président du jury : M.Benlekhal N

Examinateur : M.Yeghnem R.

Année universitaire 2019/2020

Étude d’une tour à usage

multiple (RDC+12 étages) situé

dans la zone III

Remerciements

Avant tout nous remercions الله le tout puissant, de nous avoir guidé tout au long

de nos années d’études, ensuite l’aide et le support de plusieurs personnes, on

tient donc à témoigner notre reconnaissance aux personnes qui nous ont aidé de

loin ou de près afin de réaliser ce travail.

Nous tenons d’abord à remercier très chaleureusement notre encadreur

Dr.RABHI. Mohamed. Pour son aide, ses conseils, son encouragement et ses

critiques constructives, en saluant en lui son savoir faire, sa compétence et ses

connaissances dont il nous a fait profiter.

A notre président DR BENLAKHAL.N, nous vous remercions pour l’honneur

que vous nous faites en acceptant de présider le jury de notre travail. Recevez

cher maitre, l’expression de notre profonde reconnaissance et de notre estime.

On remercie Dr YEGHNEM.R, d’avoir accepté d’examiner notre travail. On est

très heureuses de vous voir participer à notre jury.

Et aux respectueux enseignants du département de génie civil en particulier les

enseignants de la spécialité structure, et a tous les étudiants et étudiantes de notre

promotion. Enfin, à toutes les personnes qui nous ont aidés à achever ce modeste

travail.

Dédicace

Après une grande vénération, soumission et obéissance a dieu tout puissant qui

nous a tous donné. Je dédie ce modeste travail :

A mon père pour son soutien et ses sacrifices durant toute ma vie et son souhait

de me voir réussir dans mes études.

A ma très chère mère pour l’appui moral et affectif

A mes sœurs, mes oncles et mes tantes

A toute ma famille (Benouis et Zaoui)

A mes chers amis(es).

A ma chère amie et binôme Rihi Wafaa qui a eu la patience de me supporter

durant la réalisation de ce mémoire, et qui ma soutenue et encouragée durant

tous les moments difficiles vécus.

A tous mes enseignants pour leurs orientations et leurs assistantes pour avoir le

maximum d’informations relatives a notre projet.

A mon encadreur DR.Rabhi Mohamed que je n’oublierai jamais ses bons

précieux conseils et ses importantes orientations.

Zaoui khadouma sara

Dédicace Je remercie Allah le tout puissant qui grâce à lui m’as fait trébucher pour me

permettre d’arriver à élaborer la présente thèse que je dédie à :

-A mes parents grâce à eux j’ai pu étudier. Et qui m’ont soutenu tout au long mon

cursus .En guise de reconnaissance, trouve ici mon amour filial.

Les inestimables sacrifices que vous m’avez consentis, vous avez tant souhaités

que je parvienne à ce but.

Je vous serrai reconnaissante toute ma vie, Qu’Allah vous accorde longue vie et

bonne santé.ma réussite et la votre.

-A mes sœurs votre présence à mes cotés m’a toujours donné l’impression d’être

proche de toute l’affection que j’ai pour vous. Je vous aime.

-A mon binôme ma confidente : Mlle Zaoui Sara conserve-moi ta profonde

amitié et ton immense amour et sois convaincue qu’il en est de même pour moi.

-A mes tantes et oncles (Kechra et Rihi).

-A tous ceux qui m’ont dispensé le savoir, A tous ceux qui ont participé de prés

ou de loin à l’élaboration de ce travail. A toutes les personnes participées

activement.

-A tous ceux qui me sont chers et que j’ai omis de citer.

Rihi Wafaa

ملخص :

طابقاً، للاستخدام السكني الواقع 12سمح لنا هذا المشروع بمعرفة إدراك وتصميم هيكل ذات طابق أرضي بالإضافة إلى

تمكنا من تحديد منطقة الجزائر القانون الواقي للزلازل في الجزائر هادئ وآمن، بموجب حي في الجزائر العاصمة في

العاصمة التي تعتبر المنطقة الثالثة.

للبناية العناصر المقاومة كل وتسليح الأبعاد تحديديتم ضمان استقرار الهيكل من خلال الأعمدة والعارضات والجدران،

(. وقد تم دراسة وتحليل هذا المشروع CBA93 BAEL 91) الجزائر في بها المعمول القوانين و المعايير طبق صمم

.(AutoCad 2014)تمت ترجمتها على مخطط تنفيذي باستخدام برمجة ( .Robot 2014)بواسطة برنامج

. الأعمدة والعارضات ,لجدران: البناء ، االكلمات المفتاحية

Abstract:

The objective of this work is the study and design of a multiple-use building (basment+ 12

floors) located in Algiers, classified as a zone of high seismicity zone (III). The resistance of

the structure to horizontal and vertical loads is ensured by a mixed bracing system (portal

frames / walls).

The sizing and calculation of all the resistant elements have been established in accordance

with the regulations in force (CBA93, BAEL91 / 99 and RPA99 version).

2003), the dynamic study was conducted using the numerical method based on finite elements

with software (ROBOT 2014). This study was translated into execution plans (formwork and

reinforcement) by AutoCAD 2014 software.

Keywords: Building, walls, gantries, bracing system, dynamic study.

Résumé :

L’objectif de ce travail est l’étude et la conception d’un bâtiment à usage multiple (RDC + 12

étages) implantée à Alger, classée comme une zone de sismicité élevée zone(III). La

résistance de la structure aux charges horizontales et verticales est assurée par un système de

contreventement mixte (portiques/voiles).

Le dimensionnement et le calcul de tous les éléments résistants ont été établis conformément

aux règlements en vigueur (CBA93, BAEL91/99 et RPA99 version 2003).

L’étude dynamique a été menée suivant la méthode numérique basée sur les éléments finis

avec le logiciel (ROBOT 2014). Cette étude a été traduite en plans d’exécution (coffrage et

ferraillage) par le logiciel AutoCAD 2014.

Mots clés : Bâtiment, voiles, portiques, système de contreventements, étude dynamique.

SOMMAIRE

Résumé

Introduction général

Chapitre I : Présentation du projet

I-1- Introduction…………………………………………………………………….01

I-2- Présentation de l’ouvrage……………………………………………………….01

I-3- Caractéristiques géométrique du projet………………………………………....01

I.4- Caractéristiques géométrique du sol…………………………………………....01

I-5- Règlement utilisés......................................................................................... .......01

I.6- Conception de la structure……………………………………………………...02

I.7- Méthode de coffrage………………………………………………………........03

I.8- Caractéristiques des matériaux…………………………………………….........03

I.8.1- Béton………………………………………………………………...…...03

I.8.2- Acier……………………………………………………………………...04

I.9- Les actions et sollicitations.........................................................................….......07

I.9.1- Les actions………………………………………………………………...07

I.9.1- Les sollicitations de calcul………………………………………………….....09

Chapitre II : Pré dimensionnement des éléments structuraux

II.1- Introduction……………………………………………………………………10

II.2- Pré dimensionnement et descente des charges………………………………...10

II.2.1- Pré dimensionnement des planchers……………………………………........10

II.2.1.1- Plancher à corps creux………………………………………………..10

II.3- Évaluation des charges et surcharges……………………………………..........12

II.3.1- Les charges permanentes ………………………………………………13

II.3.2- Les charge d’exploitation……………………………………………...15

II.4- Pré dimensionnement des poutres ……………...……………………………..15

II.4.1- Poutres principale………………………………………………………...16

II.4.2- Poutres secondaires………………………………………………………17

II.5- Pré dimensionnement des poteaux……………………………...……………..18

II.5.1- Loi de dégression………………………………………………………19

II.5.2- Exemple de calcul………………………………………………………22

II.6- Les voile de contreventements………………………………………………....27

Chapitre III : Etude des planchers

III.1- Introduction…………………………………………………………………...29

III.2- Calcul des planchers à corps creux…………………………………………....29

III.2.1- Pré dimensionnement des poutrelles…………………………………...29

III.2.2- Ferraillage des poutrelles……………………………………………....32

III.2.4- Ferraillage de la dalle de compression……………………………….. 59

Chapitre IV : Etude des éléments secondaire

IV.1- Introduction………………………………………………………………….61

IV.2- Étude de l’acrotère……………………………………………………….......61

IV.2.1- Définitions……………………………………………………………61

IV.2.2- Evaluation des charges……………………………………………….61

IV.2.3- Calcul des sollicitations………………………………………….........62

IV.2.4- Calcul de l’excentricité……………………………………………......62

IV.2.5- Calcul des armatures……………………………………………..……63

IV.2.6- Vérification de l’effort tranchant……………………………………..………64

IV-3- Étude de balcon……………………………………….………………..65

IV.3.1- Le pré dimensionnement………………………………………...65

IV.3.2-Evaluation des charges…………………………………………………66

IV.3.3 Calcul des sollicitations……………………………………….....67

IV.3.4- Calcul de ferraillage ...........................................................….....68

IV.3.5- Vérifications …………………………………………………………..69

IV.3.6-Calcul de longueur de contre poids………………………………….…70

IV.3.7- Calcul des sollicitations………………………………………………..70

IV.3.8 Calcul de ferraillage …………………………………………………....71

IV.3.9 Vérification……………………………………………………………..72

IV.4-Etude d’escalier……………………………………………………………...75

IV.4.1-Dimensionnement des marches et contres marches……………..75

IV.4.2-Descente des charges…………………………………………………...77

IV.4.3-Ferraillage de l’escalier……………………………………….......78

IV.4.4 Etude de l’ascenseur…………………………………………………..…..86

IV.4.1 Introduction…………………………………………………………..…..86

IV.4.2 Principe………………………………………………………………..….86

IV.4.3 Caractéristiques de l’ascenseur…………………………………………...88

IV.4.6 Combinaison fondamentale……………………………………………....93

IV.4.7 Etude du plancher……………………………………………………...…93

Chapitre V : Etude sismique

V.1-Introduction …………………………………………………………………..107

V.2- L’objectif de l’étude dynamique…………………………..………………….107

V.3-Définition de logiciel Autodesk robot Structural Analyse…………………….107

V.4-Les étapes de modélisation…………………………………………….............107

V.5-Choix de la méthode de calcul………………………………….......................108

V.6-CALCUL DE LA FORCE SISMIQUE TOTALE …………………...............111

V.7 Les résultats de l’analyse dynamique………………………….........................114

V-8 Analyse des résultats…………………………………………………………..118

V.8.1 Vérifications de la résultante des forces sismique …………......................118

V.8.2-Vérification de la période : [RPA99version 2003/4.2.4.4] .…………….…119

V-8-3.Vérification de l’effort normal réduit ………………………………….….119

V.8.4.Vérification de déplacement …………………………………………….…120

V.8.5.Vérification de l’effet P-Delta…………………………………....................121

V.8.6.Vérification de renversement……………………………………………..…125

Chapitre VI : Étude des portiques

VI.1-Introduction…………………………………………………………………....127

VI.2-Définitions……………………………………………………………………..127

VI.3 : Ferraillage des poutres………………………………………………………..128

VI.3-1: Calcul des sollicitations…………………………………………………....130

VI.3-2 : Exemple de calcul…………………………………………………………131

VI.4 Étude des poteaux ………………………………………………..........138

VI.4.1 recommandations du RPA99 (article 7.4.2.1) ……………………………..139

VI.4.2 Exemple de calcul ……………………………………………....................142

VI.4.3 Ferraillage longitudinal …………………………………………………....142

VI-4-4 Ferraillage transversal ………………………………………………….….147

VI.5 ETUDE DES VOILES DE CONTREVENTEMENT ………………………..150

VI.5.1 Introduction ………………………………………………………………..150

VI.5.2 Combinaison d’action …………………………………………………..….150

VI.5.3 Ferraillage des trumeaux ……………………………………………..........151

VI.5.4 Calcul du Ferraillage……………………………………………………....153

Chapitre VII : Etude de l’infrastructure

VII.1 Introduction…………………………………………………………….........158

VII.2 Choix de type de fondation ………………………………………………....158

VII.3 Etude du radier général ……………………………………………………...160

VII.3.1 Le pré dimensionnement…………………………………………………..161

VII.3.3 Calcul de l’épaisseur du radier …………………………………………...162

VII.3.4 Détermination de la hauteur de poutre de libage …………………………162

VII.3.4 Vérification de la stabilité du radier ……………………………………....162

VII.3.5 Evaluation des charges pour le calcul du radier ……………………...........163

VII-3-6 Ferraillage du radier ……………………………………………………….163

VII.3.7 Ferraillage des dalles ………………………………………………………163

VII.3.8 Ferraillage de la poutre de libage ……………………………………….….167

VII.3.9 Ferraillage de longrines ……………………………………………...........173

VII.2 Etude des voiles périphériques ………………………………………………174

VII.2.1 Introduction ………………………………………………………..............174

VII.2.2 Les dimensions du voile …………………………………………………....174

VII.2.3 Caractéristiques du sol ………………………………………………….….175

VII.2.4 Évaluation de charges et surcharges …………………………………….…175

VII.2.5 Ferraillage du voile ……………………………………………………….....175

Liste des Tableaux :

Tableau II.1 Descente des charges du plancher terrasse.

Tableau II.2 Descente des charges (Plancher étage courant).

Tableau II.3 Les charges d’exploitation.

Tableau II.4 Dimension des poutres principales.

Tableau II.5 Dimension des poutres secondaires.

Tableau II.6 Dimensions des poutres.

Tableau II.7 La dégression des charges pour le bâtiment.

Tableau II.8 La dégression des charges pour le bâtiment.

Tableau II.9 Tableau récapitulatif de vérification de longueur de flambement

Tableau III.1 Charge et combinaison de charges pour les poutrelles.

Tableau III.2 Les résultats de calcul à ELU méthode forfaitaire.

Tableau III.3 Les résultats de calcul à ELS méthode forfaitaire.

Tableau III.4 Les résultats de calcul à ELU méthode de Caquot.

Tableau III.5 Les résultats de calcul à ELS méthode de Caquot.

Tableau III.6 Les sollicitations maximales.

Tableau IV.1 Descente des charges pour balcon.

Tableau IV.2 Descente des charges de mur.

Tableau IV.3 Charge permanente de la volée.

Tableau IV.4 Charge permanente de palier.

Tableau IV.5 Combinaison d’action.

Tableau IV.6 Les dimensions de l’ascenseur.

Tableau IV.7 Caractéristiques des câbles.

Tableau IV.8 Tableau récapitulatif des résultats.

Tableau IV.9 Tableau récapitulatif des sollicitations maximales.

Tableau V.1 valeur de pénalités 𝑝𝑞.

Tableau V.2 Tableau section des poteaux.

Tableau V.3 Tableau section des poutres.

Tableau V.4 Résultat par robot.

Tableau V.5 Vérification de l’effort normal réduit au niveau des poteaux.

Tableau V.6 Vérifications des déplacements.

Tableau V.7 Vérifications P delta sens x.

Tableau V.8 Vérifications P delta sens y.

Tableau V.9 Vérifications renversement sens x.

Tableau V.10 Vérifications renversement sens y.

Tableau VI.1 Tableau récapitulatif des prescriptions du RPA.

Tableau VI.2 Tableau récapitulatif des moments fléchissant et des efforts tranchants

Tableau VI.3 Tableau récapitulatif du ferraillage des poutres.

Tableau VI.4 Tableau récapitulatif des prescriptions du RPA.

Tableau VI.5 Détermination des sollicitations des poteaux.

Tableau VI.6 Tableau récapitulatif.

Tableau VI.7 Tableau condition de l’espacement.

Tableau VI.8 Récapitulation de calcul des armatures longitudinales.

Tableau VII.1 Tableau récapitulatif des sections d’armature.

Tableau VII.2 Ferraillage des Voiles périphériques à l’ELU.

Tableau VII. 3 Vérifications des contraintes à l’ELS.

La Liste des figures

Figure I.1 : plancher a corps creux.

Figure I.2 : schéma de l’escalier.

Figure I-3.Diagramme de déformation – contrainte (εbc ; σbc) de béton.

Figure I-4.Diagramme de déformation de contrainte (εs ; σs).

Figure II.1.Coupe d’un plancher à corps creux.

Figure II.2 : Terrasse inaccessible.

Figure II.3 : coupe d’un plancher à corps creux.

Figure II.4 : Les dimensions d’une poutre.

Figure II.5 : Surface afférente du poteau central.

Figure II.6 : Voile de contreventement.

Figure III.1 Coupe transversale d’un plancher a corps creux.

Figure III-2 Schéma des poutrelles.

Figure III-3 Type d’une poutrelle continue.

Figure III-4 Terrasse ELU ; Terrasse ELS.

Figure III-4.Etage courant ELU ; Etage courant ELS.


Figure III-5 Etage courant ELU ; Etage courant ELS.

Figure III-6 Diagramme des moments de terrasse ELU.

Figure III-6 Diagramme des moments de terrasse ELS.

Figure III-6 Diagramme des moments d(étage courant ELS.

Figure III-6 Diagramme des moments d(étage courant ELU.


Figure III- 7 Etage courant ELU ; Etage courant ELS .

Figure III-8 Diagramme des moments terrasse ELU.

Figure III-8 Diagramme des moments terrasse ELS.

Figure III-8 Diagramme des moments Etage courant ELU.

Figure III-8 Diagramme des moments Etage courant ELS.

Figure III-9.Schéma de ferraillage de poutrelle.

Figure III.10 .Disposition constructive des armatures de la table de compression.

Figure IV-1.Schéma statique de l’acrotère.

Figure IV-1.Coupe verticale sur l’acrotère.

Figure IV-2 Schéma de ferraillage de l'acrotère.

Figure IV-4 Schéma de ferraillage du balcon.

Figure IV-5 Schéma de l’escalier.

Figure IV-6 Schéma de ferraillage de l’escalier.

Figure IV-7 Ascenseur électrique.

Figure IV.8 : Abaque de détermination des suspentes.

Figure IV.9 : schéma de la surface d’impact.

Figure IV.10 : Schéma de la dalle pleine d’ascenseur.

Figure IV.11 chargement de panneau.

Figure VI.12 panneau de la dalle.

Figure V-1 Modélisation de la structure.

Figure V-2 Spectre de réponse.

Figure VI-1- Ferraillage en travée et en appuis de la poutre principale.

Figure VI.2- Ferraillage en travée et en appuis de la poutre secondaire

Figure VI.3 : Direction des moments et efforts normal dans un poteau.

Figure VI-4 : schéma de la zone nodale.

Figure VI.2 : Ferraillage du poteau

Figure VI.3 Schéma de ferraillage du voile

Figure VII.1 Schéma d’une semelle isolée.

Figure VII.2 Schéma d’une semelle filante.

Figure VII.3 Schéma du radier.

Figure VII.4 Schéma de la dalle du radier.

Figure VII.5 Schéma statique du débord.

Figure VII.6 Dimensions du voile périphérique.

Figure VII.7 Diagramme des contraintes.

Figure VII.8 Schéma de ferraillage du voile périphérique.

Introduction générale :

L'aboutissement d'un projet de construction d'ouvrage de génie civil en général est le fruit d'un long

travail fait par une équipe ayant des domaines de compétences assez variés. L'ingénieur en structure

occupe une place de choix dans ce dispositif car ayant la lourde tâche de concevoir, d’analyser et de

dimensionner les différents éléments porteurs de l'ouvrage pour assurer sa fonctionnalité, sa résistance

mécanique pendant toute sa durée de vie sans risque pour l'usager et à moindre coût.

Etant des étudiantes futur ingénieurs en fin d’étude, On a réalisé notre mémoire spécialisé dans divers

domaines notamment celui du bâtiment. Le thème à traiter est l’étude d’ingénierie d’un bâtiment R+

12 dans la wilaya d’Alger Il porte donc sur le dimensionnement des structures qui est une étape

primordiale dans le processus de la conception des ouvrages.

Il s’agira dans le cadre de notre travail de faire une étude technique détaillée d’une tour R+12 dans la

zone III, afin de présenter une note de calcul, le plan de coffrage et de ferraillage de la structure. Le

présent document est une synthèse des travaux effectués. Il détaillera en annexe les différentes

démarches de calcul utilisé ainsi que les plans d’exécutions.

Il sera étudié dans le présent rapport plusieurs points à savoir :

La présentation du projet.

Les caractéristiques des matériaux.

Le pré-dimensionnement des éléments structuraux.

Le dimensionnement des éléments pré-dimensionnés.

L’étude des éléments secondaire.

L’étude sismique.

L’étude des portiques.

L’étude de l’infrastructure.

Chapitre I

Présentation du

projet

Chapitre I Présentation du projet

Etude d’une tour à usage multiple RDC + 12 Page 1

I.1) Introduction :

Le projet de fin d’étude consiste à étudier la structure d’un bâtiment en béton armé à usage

d’habitation.

Ce bâtiment est classé dans le groupe d’usage N°02 implanté à Alger, cette zone est classée

selon le règlement parasismique algérien comme une zone de forte séismicité (Zone III), le

site est considéré comme un site meuble (S3).

Cette structure est composée de :

- Le rez de chaussée a usage d’habitation.

- 12 étages à usage d’habitation.

- une terrasse inaccessible.

- Un acrotère h = 0.60 m.

I.2) Présentation de l’ouvrage :

Ce bâtiment est classé dans le groupe d’usage 02 implanté à Alger, cette zone est classée

selon le règlement parasismique algérien comme une zone de forte séismicité (Zone III) , le

site est considéré comme un site meuble (S3).

I.3) Les caractéristiques géométriques du projet :

La hauteur d’étage : 3.06 m

La hauteur totale sans acrotère : 39.78 m

La hauteur totale avec acrotère : 40.38 m

La longueur totale : 23.70 m

La largeur totale : 20.10 m

La surface totale : 476.37 m2

I.4) Les caractéristiques géométriques du sol :

Les essais mécaniques ont permis de déterminer une contrainte de sol de 1.6 bar.

- Le terrain est relativement plat.

- L’ancrage est de 2.00 m.

- Ce bâtiment est implanté sur un sol meuble.

I.5) Les règlements utilisés :

- BAEL 91.

- DTR.

- RPA.99 version 2003 (Règlement parasismique algérien).

- CBA 93.



I.6) Conception de la structure :

1) ossature de l’ouvrage :

On appel ossature l’association des éléments verticaux et horizontaux , on opte pour un

système de contreventement défini par poteaux , poutres et voiles qui assure la stabilité de ce

dernier , l’ossature a la fonction de résister a des efforts verticaux engendrés par les

surcharges permanente , d’exploitation , séisme et vent.

2) Plancher :

On distingue un type de plancher dans notre projet :

plancher à corps creux dans RDC et les 12 étages :

Figure I.1 : plancher a corps creux.

3) Escalier :

Sont des éléments non structuraux situé d’une suite régulière de marche , permettant

d’accéder a un étage , de passer d’un niveau a un autre en montant ou en descendant.

Dans notre cas on a un seul type d’escalier :



Escalier à deux volées et un palier de repos.

Figure I.2 : schéma de l’escalier.

4) Maçonnerie :

La maçonnerie de notre bâtiment sera exécutée en briques creuses, de murs extérieurs et intérieurs

avec des différentes épaisseurs suivant leur emplacement qui a pour objet d’isolation thermique et

phonique.

5) L’acrotère :

Est un élément de façade situé au dessus de la terrasse d’une hauteur de 60 cm.

6) Ascenseur :

L’ascenseur est un appareil fut indispensable pour faciliter le déplacement entre les différents étages

Les dimensions de la cabine carrée : L = m ; hauteur : m, La cage d’ascenseur sera réalisée en mur

voile de 20 cm d’épaisseur.

7) Fondation :

La fondation est l’élément qui permet de transmettre les charges et surcharges de la superstructure au

sol.

8) Revêtement :

Le revêtement du bâtiment est constitué par :

Étanchéité en ciment pour les faces extérieures de mur de façade, et en plâtre pour les

murs intérieurs.

Carrelage pour les planchers.

I.7) Méthode de coffrage :

Nous utilisons le coffrage traditionnel (en bois) et métallique de façon à limiter le temps d’exécution.

I.8) Les caractéristiques des matériaux :

I.8.1) Le béton :



1) Composition du béton :

Le béton est un assemblage de matériaux de construction composé de gravier, sable, ciment et

de l’eau.

Il a une bonne résistance à la compression et une faible résistance à la traction.

a) Gravier :

Est un granulat de roche, ensemble des petits Cailloux rouler.

b) Ciment :

Est un liant hydraulique (qui durci sous l’action de l’eau) utilisé dans la préparation du béton.

gravier 800 l/m3.

sable 400 l/m3.

ciment 350 Kg/m3 (7 sacs).

l’eau 160 ÷ 180 l/m3 (il est différent de l’été à l’hiver).

2) Resistance caractéristique du béton :

a) résistance a la compression :

Le béton est défini par sa résistance a la compression a 28 jours cette valeur est notée fc28 , elle est

déterminée par des essais de compression.

A partir de la résistance moyenne obtenue on calcule la résistance fc28 (dans notre cas fc28 =

25 Mpa).

b) Resistance a la traction :

Le béton résiste mal à la traction, sa résistance est donnée en fonction de la résistance à la

compression.

ftj = 0.6 + 0.06fcj

3) Déformation longitudinale du béton :

Module instantané : Ei = 11000 √fc283 = 32164,195MPa pour les charges d'une durée d'application

inférieure à 24 h.

Module différé : Eν = 3700 √fc283 = 10818,865 MPa pour les charges de longue durée d'application.

4) Méthode de calcul :

La Contrainte limite ultime :

σbc =0.85fc28

θ.γb

θ: coefficient qui dépend de la durée « d » d’application des charges.



θ = 1 si d > 24h (cas des bâtiments)

θ = 0,9 si 1h ≤ d ≤ 24h

θ = 0,85 si d < 1h

b : Coefficient de minoration du béton. ( b =1,50 cas courant, b =1,15 accidentelles).

Dans notre cas b =1.5 θ=1.

σbc= (0,85×25)

(1×1.5)= 14,17𝑀𝑃𝑎 (situations durables).

La contrainte limite ultime de cisaillement est :

𝜏u =Vu

bd

b : largeur de la section.

d : hauteur utile.

Vu : Effort tranchant.

La contrainte limite admissible de cisaillement est :

𝜏𝑢 = min [ 0,20×ƒcj

γb; 5] = 3,33MPa (Fissuration peu préjudiciable).

𝜏𝑢 = min [ 0,15×ƒcj

γb; 4] = 2,50MPa (Fissuration préjudiciable ou très préjudiciable).

Parabole

b

cbc

f 2885,0

Rectangle

2‰

3,5‰

εbc ‰

MPabc

Figure I.3: Diagramme de déformation – contrainte (εbc ; σbc) de béton.



Etat limite de service :

σbc = 0.6fc28 = 0.6 × 25 = 15 Mpa

Coefficient de poisson :

Le coefficient de poisson ν est égal à la déformation transversale sur la déformation longitudinale :

Pour le calcul a l’état limite ultime ν = 0,2.

Pour le calcul a l’état limite de service ν = 0.

I.8.2) Acier :

Les aciers utilisés dans la construction sont des alliages de fer et de carbone avec un faible

pourcentage de carbone, leurs rôle est d’absorbé les efforts de traction, cisaillement et de torsion.

a) Les armatures utilisées :

Pour les armatures longitudinales, on utilise des aciers à haute adhérence (H.A) de nuance FeE

400.

Pour les armatures transversales, on utilise des aciers ronds lisses (R.L) de nuance FeE 235.

Pour les dalles de compression, on utilise des treillis soudés (T.S).

Dans notre projet les armatures utilisées sont de type 01 ; FeE 400

b) Contrainte limite de l’acier :

- Etat limite ultime :

σs =fe

γs

Allongement

10‰

Raccourcissement

s

ef

- 10‰ ε s ‰

Figure I.4: Diagramme de déformation de contrainte (εs ; σs)

s

ef

s

ss

e

E

f

.

ss

e

E

f

.



ƒe : résistance élastique d’acier.

Pour FeE 400 :

σs = 400 Mpa (γs = 1.00 Cas accidentel).

σs = 348 Mpa (γs

= 1.15 Cas courant).

σs = ε × Es si ε ≤ 𝜀𝑙 (la loi de HOOK).

εl = ƒe

Es×γs

= 400

(1,15×2×105)= 1,74‰

Es : Module d’élasticité de l’acier Es = 2 × 10 5 Mpa.

Si εs ≤ εl σs = εs × Es

Si εs ≥ εl σs =fe

γs =

400

1.15 = 348 Mpa .

- Etat limite de service :

On ne limite pas la contrainte de l’acier sauf en état limite d’ouverture des fissures :

Fissuration peu nuisible : pas de limitation ;

Fissuration préjudiciable :

σst ≤ σst̅̅ ̅̅ = min (2

3× fe; 110 × √ηftj)

Fissuration très préjudiciable :

𝜎𝑠𝑡 ≤ 𝜎𝑠𝑡̅̅ ̅̅ =𝑚𝑖𝑛 (1

3× 𝑓𝑒; 90 × √𝜂𝑓𝑡𝑗)

𝞰 : Coefficient de fissuration

𝞰=1 pour les ronds lisses (RL)

I.9) Les actions et sollicitations :

I.9.1) Les actions :

γs: Coefficient de sécurité γs = 1.15 Cas courant.

γ s = 1.00 Cas accidentel.



Ce sont l’ensemble des forces et couples dus aux charges appliquées à la structure ainsi que les

conséquences des modifications statiques ou d’états (retrait, les variations de température, tassements

d’appuis) qui entraînent des déformations de la structure, elles proviennent donc :

Des charges permanentes

Des charges d’exploitation

Des charges climatiques

On distingue trois types d’actions.

Des charges permanentes (G) :

Ce sont des actions dont les variations de l’intensité sont rares ou négligeables par rapport à la valeur

moyenne, elles comportent :

Poids propre des éléments de construction.

Le poids et les poussées des terres des solides ou des liquides.

Le poids de revêtement et cloisons.

Les actions variables (𝑸𝒊):

Ce sont des actions d’une courte durée d’application dont l’intensité varie fréquemment dans le

temps, elles comportent en particulier :

Surcharge d’exploitation.

Charges appliquées au cours d’exécution (équipement de chantier).

Charges climatiques (vents, neige).

Actions de températures, du retrait ….etc.

Les actions accidentelles ( FA) :

Ce sont des actions dues à des phénomènes qui se produisent rarement et avec une faible durée

d’application citons :

Séisme.

Chocs de véhicules routiers.

Explosion.

Vent.

Hypothèse de calcul :

Les sections droites restent planes.

La résistance du béton tendu est négligée.

Il n'y a pas de glissement relatif entre les armatures et le béton.

Le raccourcissement relatif de la fibre de béton la plus comprimée est limité à :



En flexion : εbc = 3.5 ‰

En compression : εbc = 2 ‰

I.9.2) Les sollicitations de calcul :

Etat limite ultime :

p = 1.35G + 1.5Q {G ∶ charge permanente.

Q ∶ charge dexploitatoin.


p = G + Q

situation accidentelle :

P = G + Q + E. P = G + Q + 1,2 E. P = 0,8 G + E.

Conclusion :

Dans ce chapitre, On a cité les caractéristiques de notre projet, la description, le rapport

géotechnique et les différents matériaux qu’on a choisi pour le projet.

Chapitre II

Pré dimensionnement

des Eléments

structuraux

Chapitre II Pré dimensionnement des éléments structuraux

Étude d’une tour à usage multiple RDC+12 étages Page 10

II.1 Introduction :

Le pré dimensionnement a pour but de pré calculé des différents éléments résistants en

utilisant les règlements RPA 99 version 2003 et B.A.E.L 91. Cette étape représente le point

de départ et la base de la justification à la résistance, la stabilité et la durabilité de l’ouvrage

aux sollicitations verticales et horizontales, On pourra estimer les charges (Poids propres) et

les surcharges après déterminer les différentes épaisseurs et surfaces de chaque élément

porteur.

Une fois définie les sollicitations dans les sections ci-dessous on fera les calculs exact :

Sollicitations verticales : Elles sont dues aux charges permanentes et aux surcharges

d’exploitation de plancher, poutrelles, poutres et poteaux transmises au sol par les fondations.

Sollicitations horizontales : Elles sont dans la plupart du temps d’origine sismique et sont

prescrit par les éléments de contreventement constitué par les portiques.

II .2 Pré dimensionnement et descente des charges :

II.2.1 Pré dimensionnement des planchers :

Introduction :

Les planchers sont des aires planes séparant entre deux niveaux de construction supportant

des charges d’exploitations, des charges permanentes (cloisons, revêtement….) en les

transmettant sur des éléments porteurs verticaux (poteaux, voiles…) ,il constitue des dalles,

poutres principales, poutres secondaires et poutrelles.

On distingue deux types de planchers :

Plancher à corps creux.

Plancher à dalle pleine.

II.2.1.1 Plancher à corps creux :

Il est composé de 03 principaux éléments :

- Des éléments qui servent de coffrage perdu « Les entrevous ou corps creux ».

- Les poutrelles en béton armé ou précontraint qui assurent la tenue de l’ensemble et

reprennent les efforts de tractions grâce à leur armatures.

- Une dalle de compression « hourdis » coulée sur les entrevous qui reprend les efforts de

compression.




Le pré dimensionnement fait à partir de la condition de rigidité :

𝒍

𝟐𝟓≤ 𝐡𝐭 ≤

𝒍

𝟐𝟎

Avec :

L: la distance maximale entre axe, si les dimensions des appuis poteaux sont inconnus

selon C.B.A 93 :

ℎ𝑡 ≥ 𝐋

𝟐𝟐,𝟓

Tel que :

ht : L’épaisseur totale de ce plancher.

h : L’épaisseur du corps creux.

h0 : L’épaisseur de la dalle de compression.

L : est la plus grande portée entre nus d’appuis.



Dans ce cas L = 400 − 30 donc L = 370 cm

ℎ𝑡 ≥ 370

22,5= ht ≥ 16,44 cm

On doit choisir un plancher à corps creux de type

(16+4) ⇒{Hauteur de corps creux = 16 cm

hauteur de la dalle de compression = 4 cm

Condition d’isolation acoustique :

Le choix s’effectue à raison d’assurer une isolation acoustique :

L’isolation contre le bruit d’impacte : 2500 h ≥400 Kg/m2

⇒ h ≥ 16 cm

Contre le bruit aérien : 2500 h ≥350 Kg/m2

⇒ h ≥ 14 cm

Condition de résistance au feu :

E = 7 cm le plancher coupe feu une heure (1h).

E = 11 cm le plancher coupe feu deux heures (2h).

E = 17,5 cm pour quatre heures de coupe de feu (4h).

II.3 Evaluation des charges et surcharges:

Les charges réglementaires :

Les charges réglementaires sont en général deux types :

Les charges permanentes (G)

Les charges d’exploitations (Q)

a) Les charges permanentes :

Les charges permanentes sont obtenues à partir des dimensions géométriques des éléments de

l’ouvrage, déduit des plans et du poids volumique des matériaux les constituants.

b) Les charges d’exploitations :



Les planchers d’étage courant, Les charges d’exploitations sont définies par le document

technique règlementaire (D.T.R) et souvent l’utilisation d’étage.

Plancher de RDC usage d’habitation : Q = 1,50 KN/m2

Les planchers terrasse inaccessible : Q = 1 KN/m2

II.3.1 Les charges permanentes :

Plancher terrasse inaccessible :

Figure II.2 : Terrasse inaccessible.



Charge permanente totale : Gterrasse= 6.79 KN/m2

Plancher étage courant corps creux :


Tableau II.1 : Descente des charges du plancher terrasse.

Chargement Poids volumique

(KN/𝐦𝟐)

Charge

(KN/𝐦𝟑)

Gravier roule de protection (4cm).

20 0,8

Étanchéité multicouche (2cm) / 0,12

Forme de pente (12cm) 22 2,64

Isolation thermique en liège (4cm)

/ 0,16

Plancher à corps creux (16+4) / 2,8

Enduit en ciment (1,5cm) 18 0,27

∑𝐆𝐭𝐞𝐫𝐫𝐚𝐬𝐬𝐞 6,79



Charge permanente : G = 5,17 KN/m2

II.3.2 Charge d’exploitation :

Tableau II.3 : Les charges d’exploitations.

Etage Usage 𝐐 (𝐊𝐍 /𝐦𝟐)

Terrasse Terrasse inaccessible 1

Du

𝟏𝐞𝐫é𝐭𝐚𝐠𝐞 𝐚𝐮 𝟏𝟐 è𝐦𝐞é𝐭𝐚𝐠𝐞𝐬 Habitation 1,5

II.4 Pré dimensionnement des poutres :

Une poutre est l’élément de construction dont la longueur est très supérieure à ses autres

dimensions, employé dans de nombreux types de structures, son rôle est de supporter le

plancher et de transmettre directement les charges aux éléments porteurs (poteaux).

Le pré-dimensionnement des poutres se fait généralement en deux étapes :

Tableau II.2: Descente des charges (Plancher étage courant).

Chargement Poids Volumique

(KN/𝐦𝟑)

Charge

(KN/𝐦𝟐)

Carrelage (2cm) 20 0,4

Mortier de pose (2cm) 22 0,44

Lit de sable (2cm) 18 0,36

Plancher corps creux (16+4) / 2,8

Enduit en ciment 18 0,27

Cloison légère / 0,9

∑𝐆é𝐭𝐚𝐠𝐞 5,17



1-Choix des sections des poutres selon les formules empiriques données par le « BAEL 91

modifié 99 » et vérification après « RPA 99 version 2003 ».

2-Vérification de la flèche pour la section choisie

Le règlement RPA 99 (version 2003) impose section minimale des poutres [RPA 99

(Version 2003) ART 7.4.1] :

Min (a ; b) ≥ 30 cm en zones III.

Conformément au règlement BAEL 91 révisé 99 le pré dimensionnement des poutres doit

satisfaire aux :

Critère de flèche : L

15 ≤ hp ≤

L

10

Figure II.4 : Les dimensions d’une poutre

b : la largeur de la poutre.

h : la hauteur de la poutre.

L : la longueur de la poutre entre nus si les dimensions des appuis sont

connues.

Condition imposée par le R.P.A 99 (version 2003) [ART 7.5.1] :

h ≥ 30 cm

h ≥ 20 cm

h

b≤ 4

II.4.1 Poutre principale (P.P) :

Poutres principale P.P (b*h) cm2. h : La hauteur de la poutre h.

b : La largeur de la poutre b.

L : distance entre axe.



Tableau II.4 : Dimension des poutres principales

𝐋𝐦𝐚𝐱(𝐜𝐦) 𝟏

𝟏𝟓≤ 𝐡𝐩 ≤

𝟏

𝟏𝟎

(cm)

𝟎. 𝟑𝐡 ≤ 𝐛 ≤ 𝟎. 𝟕𝐡

(cm)

Le choix adopté

(𝐛 × 𝐡)

480 30 ≤ hp ≤ 45 13.5 ≤ b ≤ 37.5 (30× 45)

Vérification des conditions imprimées par RPA99 (Version 2003) :

h =30 ≥ 30 cm………C. V

b =30≥ 20 cm………C. V

h

b= 1 ≤ 4……… . . C. V

II.4.2 Poutres secondaires (P.S) :

Tableau II.5 : Dimension des poutres secondaires

𝐋𝐦𝐚𝐱(𝐜𝐦) 𝟏

𝟏𝟓≤ 𝐡𝐩 ≤

𝟏

𝟏𝟎

(cm)

𝟎. 𝟑𝐡 ≤ 𝐛 ≤ 𝟎. 𝟕𝐡

(cm)

Le choix adopté

(𝐛 × 𝐡)

450 30 ≤ hp ≤ 35 13.5 ≤ b ≤ 37.5 (30× 35)

Vérification des conditions imposées par RPA99 (version 2003) :

b=30

h=45



h =30 ≥ 30 cm………C.V

b = 30≥ 20 cm………C. V h=35

h

b= 1 ≤ 4……… . . C. V

La section des poutres pré dimensionnées est représentée dans le tableau suivant :

Tableau II.6 : Dimensions des poutres.

La largeur (b) La hauteur (h)

Poutres principales 30 35

Poutres secondaires 30 45

II.5 Pré dimensionnement des poteaux :

Un poteau est un élément qui assure la transmission verticale des charges d’une structure vers

un autre élément porteur, ou a la fondation. Les poteaux sont pré dimensionnés en

compression simple en effectuant les poteaux les plus sollicités de la structure, on utilise un

calcul basé sur l’évaluation des charges, on appliquant la loi de dégression.

On dimensionne la section des poteaux comme suit :

a- Critère de résistance.

b-Condition de stabilité.

c- Critère de stabilité de forme.

Donc la procédure de pré dimensionnement est :

Calcul de la surface reprise par chaque poteau.

Évaluation de l'effort normal ultime de la compression à chaque niveau.

La section des poteaux est alors calculée aux états limites ultimes (ELU) vis-à-vis de

la compression simple du poteau.

La section du poteau obtenue doit vérifier les conditions minimales imposées par le

règlement RPA99 version 2003.

Vérification des sections à l'ELS selon le CBA93.

b=30

b=30

b=30



II.5.1 Loi de dégression :

Comme il est rare que toutes les charges d’exploitations agissent simultanément, nous

appliquons pour leur détermination la loi de dégression qui consiste à réduire les charges

identiques à chaque étage de 10% jusqu’à 0,5Q.

Q : Charge d’exploitation.

Ce qui donne :Q0 +3+n

2n(Q1 + Q2 +…………+Qn) Donnée par 𝐥𝐞 𝐁𝐀𝐄𝐋 𝟗𝟏.



Tableau II.7 : La dégression des charges pour le bâtiment

Niveau des

planchers Surcharge

Surcharge

𝐊𝐍/𝐦𝟐

Terrasse Q0 1.00

12eme étage Q0 + Q1 2.5

11eme étage Q0 + 0.95(Q1 + Q2) 3.85

10eme étage Q0 + 0.90(Q1 + Q2 + Q3) 5.05

9eme étage Q0 + 0.85(Q1 + Q2 + Q3 + Q4) 6.10

8eme étage Q0 + 0.85(Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q6) 7.00

7eme étage Q0 + 0.75(Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q6 + Q7) 7.75

6eme étage

Q0 + 0.71(Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q6 + Q7 + Q8)

8.455

5eme étage

Q0 + 0.687(Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q6 + Q7 + Q8 + Q9) 9.244

4eme étage Q0 + 0.666(Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q6 + Q7 + Q8 + Q9 + Q10) 10

3eme étage Q0 + 0.65(Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q6 + Q7 + Q8 + Q9 + Q10 + Q11) 10.75

2eme étage Q0 + 0.636(Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q6 + Q7 + Q8 + Q9 + Q10 + Q11

+ Q11) 12.13

1eme étage

Q0 + 0.625(Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q6 + Q7+. . . …… . Q12)

13.5

RDC Q0 + 0.625(Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q6 + Q7+. . . …… . . . +Q12) 16.38



Calcul de la surface afférente :

Le pré dimensionnement est déterminé en supposant que les poteaux sont soumis à la

compression selon la formule suivante :

Nu = α [Br×fc28

0,9×γb+Asfe

γs]………. (1)

Nu = 1.35G + 1.5Q

NG: Effort normal dû aux charges permanentes.

NQ: Effort normal dû aux charges d′exploitations.

B : Surface de la section du béton (B = a × b).

γb: coefficient de sécurité pour le béton (γb = 1.50)……… . . situation durable.

γs: coefficient de sécurité pour le béton (γb = 1.15)……… . . situation accidentelle.

fe: Limite élastique de l′acier fe = (400MPa).

fc28: Contrainte caractéristique du béton à 28 jours ( fc28 = 25MPa).

As: Section d′acier comprimée.

Br: Section réduite d′un poteau, obtenue en réduisant de sa section réelle 1cm d′épaisseur sur toute sa

Périphérie[Br = (a − 0,02)(b − 0.02)] (cm2).

α =0.85

1+0.2(γ

35)2

Pour γ ≤ 50

α = 0.6(50/γ)2 Pour 50 ≤ γ ≤ 70

α =0.85

1+0.2(1)2⇒ α =

0.85

β

Br ≥β×Nu

σbc0.9

+0.85(A

Br).feγs

Avec :

σbc: résistance de calcul de béton

σbc = 0.85 ×fc28

γb= 14.17 MPa

Suivant les règles BAEL91 : il est préférable de prendre λ ≤ 35



β = 1 + 0.2(λ

35)2 ⇒ β = 1.2

A

Br= 1% =

1

100

D’après le [BAEL91 r99/art B.8.4.1]

Br ≥1.2×Nu

σbc0.9

+0.85(1

100).fe1.15

= 0.064.Nu

Conditions de RPA99/ (2003) : [RPA99 V 2003/art 7.4.1] :

Les dimensions de la section transversales des poteaux doivent satisfaire les conditions

suivantes :

{

Min(a, b) > 30𝑐𝑚…………(𝑎)

Min(a, b) ≥he

20…………(b)

1

4<

a

b< 4………………(c)

II.5.2 Exemple de calcul :

Pré dimensionnement du poteau du RDC :

3.7 0.3 3.7

Figure II.5 : Surface afférente du poteau central.

Saff = (3,8+4,2

2) × (

3,7+3,7

2)

Saff = 14,8 m2



Les longueurs afférentes :

PP ⇒ Laff =𝟒,𝟐+𝟑,𝟖

𝟐= 4 m

PS ⇒ Laff =3,7+3,7

2= 3,7 m

PU⇒ NPlancher+NPP+NPS+NPot

Nu =1,15 . Pu

GTotale = (GTerrasse + 12Gétage) = 6,79+6,05+(11× 5,17) = 69,71 KN/m2

QTotale =16,38 KN/m2

NPlancher = (1,35G + 1,5Q) ×S

=(1,35× 69,71 + 1,5 × 16,38)×14,8

NPlancher =1756,44 KN

Npp = 1,35(0,3 × 0,45 × 13) × 4 × 25 = 236,92 KN

Nps = 1,35(0,35 × 0,30 × 13) × 3,7 × 25 = 170,45 KN

Npoteau = 1,35(0,30 × 0,30 × 13) × 3,06 × 25 = 120,83 KN

Pu = 2284,64 KN

Nu = 1,15 × 2284,64 = 2627,33 KN

Section réduite du poteau :

βr = 0,64 × Nu = 0,64 × 2627,33 = 1681,49 cm2

βr = (a − 2) × (b − 2) ≥ 16 cm2

Avec : a = b

a = √1681,49 + 2 = 41,03 cm

Donc on prend une section de (50× 50) cm2 pour les poteaux de RDC

Vérification du RPA :

Poteau rectangle Zone III du RDC



{

Min(a, b) > 30𝑐𝑚……… . . (𝑎)

Min(a, b) ≥he

20…………… . (b)

a

b< 4……………………… . . (𝑐)

{

Min(50,50) > 30𝑐𝑚…………𝐶 𝑉

Min(a, b) = 50 ≥he

20…………C V

a

b= 1 < 4………………………𝐶 𝑉

Vérification de Longueur de flambement :

La longueur de flambement :

C’est la longueur du poteau, supposé articulé encastré, qui aurait même section et même

charge critique d'Euler que le poteau considéré

Pour un bâtiment à étages multiples, on a :

lf = 0,7 I0 Poteau au flambement :

λ =lf

imin⇒ imin = √

I

S Tel que ∶ λ ≤ 35

Calcul de la section et de moment d’inertie :

S = A × B ⇒ S = 50 × 50 = 2500 cm2

I =(b×a3)

12 ⇒ I =

(50×503)

12= 520833,33 cm4

Rayon de giration 𝐢𝐦𝐢𝐧:

imin = √I

S=

520833,33

2500= 14,43 cm

lf = 0,7 I0 = 0,7 × 408 = 285,6 cm

λmin =285,6

14,43= 19,79 < 35 → C V

Donc il n’y a pas de risque de flambement :



Tableau II.8 : La dégression des charges pour le bâtiment.

Étage

𝐒𝐀𝐟𝐟 (cm²)

𝐍𝐏𝐋𝐀𝐍𝐂𝐇𝐄𝐑

(KN)

𝐍𝐏𝐏

(KN)

𝐍𝐏𝐒 (KN)

𝐍𝐏𝐎𝐓

(KN)

𝐏𝐔

(KN)

𝐍𝐔

(KN)

𝐁𝐫 (cm²)

a

(cm)

a×b

(cm²)

RDC 14,8 1169,02 236,92 230,10 120,83 2284,64 1881,44 1204,12 34,70 36,70

1 14,8 1077,47 218,70 212,40 111,53 2275,34 1734,85 1110,30 33,32 35,32

2 14,8 985,70 200,47 194,71 102,24 2266,05 1588,01 1016,32 31,87 33,87

3 14,8 907,31 182,25 176,99 92,95 2256,76 1456,53 932,17 30,53 32,53

4 14,8 829,90 164,02 159,30 83,65 2247,46 1326,20 848,76 29,13 31,13

5 14,8 751,22 145,8 141,60 74,12 2237,93 1194,41 764,42 27,64 29,64

6 14,8 674,54 127,57 123,90 64,85 2228,66 1064,9 681,53 26,10 28,10

7 14,8 595,35 109,35 106,20 55,59 2219,4 932,53 596,81 24,42 26,42

8 14,8 515,63 91,12 88,49 46,32 2210,13 799,52 511,69 22,62 24,62

9 14,8 441,18 72,9 70,79 37,06 2200,87 672,60 430,46 20,74 22,74

10 14,8 343,41 54,67 53,09 27,79 2191,6 518,84 332,05 18,22 20,22

11 14,8 252,30 36,45 35,39 18,53 2182,34 372,76 238,56 15,44 20,22

12 14,8 157,86 18,22 17,69 9,26 2173,07 222,81 142,52 11,94 17,44



Tableau II.9 : tableau récapitulatif de vérification de longueur de flambement

Etage

Section (𝐚 ×

𝐛)

(𝐜𝐦)

Inertie (f)

(𝐜𝐦𝟒)

𝐢𝐦𝐢𝐧

(𝐜𝐦)

𝐥𝐟

(𝐜𝐦)

𝛌𝐦𝐢𝐧

(𝐜𝐦) Commentaire

RDC (45*45) 21333,33 11,54 214,2 18,56 c.v

1 (45*45) 21333,33 11,54 214,2 18,56 c.v

2 (40*40) 125052,08 10,10 214,2 21,20 c.v

3 (40*40) 125052,08 10,10 214,2 21,20 c.v

4 (40*40) 125052,08 10,10 214,2 21,20 c.v

5 (40*40) 125052,08 10,10 214,2 21,20 c.v

6 (40*40) 125052,08 10,10 214,2 21,20 c.v

7 (40*40) 125052,08 10,10 214,2 21,20 c.v

8 (35*35) 60750 8,21 214,2 26,09 c.v

9 (35*35) 60750 8,21 214,2 26,09 c.v

10 (35*35) 60750 8,21 214,2 26,09 c.v

11 (35*35) 60750 8,21 214,2 26,09 c.v

12 (35*35) 60750 8,21 214,2 26,09 c.v



II.6 Pré dimensionnement des voiles :

Les voiles sont des éléments rigides en béton armé, leurs pré dimensionnement est justifié par

l’article RPA99 Version 2003.Ces voiles servent à contreventer le bâtiment en reprenant les

efforts horizontaux (séisme et/ou vent) et à reprendre les efforts verticaux qu’ils transmettent

aux fondations D’après le RPA99 version 2003 les voiles sont considérés comme des

éléments satisfaisant la condition L > 4𝑒, et ils sont considérés comme des éléments linéaires

(poteaux) dans le cas opposés.

Figure II.6 : Voile de contreventement.

a) les voiles de contreventement :

L’épaisseur de voile doit satisfaire la condition de RPA99 :

{L ≥ 4 × A

A ≥he

20

D’où :

L : largeur du voile correspond à la portée maximale.

A : épaisseur de voile.

ℎ𝑒: la hauteur Libre d’étage.

L’épaisseur des voiles doit être déterminée en fonction de la hauteur libre de l’étage 𝐡𝐞 et les

conditions de rigidité aux extrémités selon le « RPA99 version 2003 ».

Dans notre cas :

RDC (𝐡𝐞 = 𝟑. 𝟎𝟔 𝐦)



A ≥he

20=

3.06−0.5

20= 0.128 m

amin ≥ max [15cm;he

20]

amin ≥ max [15cm;256

20]⇒ amin ≥ 15 cm

Nous adoptons alors : A = 15 cm

Conclusion :

Après le pré dimensionnement des éléments structuraux et l’application de toutes les

vérifications nécessaires, nous avons adopté les sections suivantes :

Poutre principales : 30× 45 cm2.

Poutre secondaire : 30 × 35 cm2.

Poteau du RDC au 1er étage : 45 × 45 cm2.

Poteau du 2 ème au 7 ème étage : 40 × 40 cm2.

Poteau du 8 ème au 12 ème étage : 35 × 35cm2.

Voile de 15 cm d’épaisseur.

Chapitre III

Etude des

planchers

Chapitre III Etude des planchers

Etude d’une tour a usage multiple RDC + 12 étages Page 29

III.1 Introduction :

Les planchers sont des éléments porteurs horizontaux, ils séparent le bâtiment a plusieurs

niveaux, parmi les principales fonctions que rempli un plancher, On peut citer :

- Support des charges verticales (permanentes et d’exploitations).

- Transmission des efforts horizontaux aux éléments de contreventement.

- isolation thermique et acoustique.

Dans notre étude on a deux types de planchers, un plancher à corps creux (16+4), et un

plancher en dalle pleine d’une épaisseur de 16 cm.

III.2 Plancher à corps creux :

Le plancher à corps creux est constitué par des éléments porteurs (poutrelles) et par des

éléments de remplissage.

Figure III.1 : coupe transversale d’un plancher à corps creux.

III.2.1 Le pré dimensionnement des poutrelles :

Dalle de compression Poutrelles

Corps

creux



- Les méthodes utilisées :

{

ht = 20 cmh1 = 16 cmh0 = 4 cm

Selon le BAEL 91 on a :

0.3 ht ≤ b0 ≤ 0.7 ht

b1 = min{

(Ln−b0)

2L

10

6h0 ≤ b1 ≤ 8h0

Avec :

Ln ∶ La distance entre axes des nervures (Ln= 60 cm) «DTRB.C.3/Annexe B».

[Selon le « DTR.B.C-22 » la distance Ln est généralement égale à 60 cm]

b0 : L’épaisseur de la nervure.

L : La distance maximale entre nus d’appuis de la travée considérée.

L = 4.2 – 0.3 = 3.90 m

h0 : La hauteur de la nervure.

0.3 × 20 ≤ b0 ≤ 0.7 × 20

6 cm ≤ b0 ≤ 14 cm

h0

h1

b

Ln

b0 L

Figure III.2 : schéma des poutrelles



Donc on prend : b0 = 12 cm

b1 = min{

(Ln−b0)

2L

10

6h0 ≤ b1 ≤ 8h0

b1 = min{

(60−12)

2= 24 cm

390

10 = 39 cm

6 × 4 ≤ b1 ≤ 8 × 4 → 24 ≤ b1 ≤ 32

Donc on prend : b1 = 24 cm

La largeur de la dalle de compression est :

b = 2× b1 + b0

b = 2 × 24 + 12 = 60 cm

Les types de poutrelles :

Type 01 :

A B C

4.5 4.1

ht = 20 cm

h0 = 4 cm

b = 60 cm

b0 = 12 cm

b1 = 24 cm

d = 0.9h = 18 cm

b = 60 cm

h0 = 4 cm

ht = 20 cm

b0 = 12 cm

b1 = 24 cm



Type 02 :

A B C D

4.5 2.9 4.5

Type 03 :

A B C D E F

4.1 4.5 2.9 4.5 4.1

III.2.2 Ferraillage des poutrelles :

Méthode de calcul :

Les méthodes utilisées pour le calcul des poutres sont :

- méthode forfaitaire (annexe E.1 du BAEL 91).

- Méthode de Caquot (BAEL91art b.6.210).

Méthode forfaitaire :

Pour l’application de cette méthode il faut que ces conditions soient vérifiées :

Les conditions d’application :

1) La charge d’exploitation Q ≤ max (2G, 5KN/m²).

2) fissuration peu préjudiciable

3) Les moments d’inerties sont identiques pour toutes les travées.

4) Le rapport des portées : 0.8 ≤𝐿𝑖

𝐿𝑖+1≤ 1.25 ……. Condition non vérifiée

Si une de ces conditions n’est pas vérifiée, On passe à la méthode forfaitaire.

Evaluation des charges :



Vérification des conditions de la méthode forfaitaire :

1) La charge d’exploitation Q est au plus égale à deux fois la charge permanente :

Q KN/m2 ≤ max {2 × G

5 KN/m2

- Plancher terrasse :

Q = 1KN/m2 ≤ max {2 × 6,39 = 12,78

5KN/m2 ….CV

- Plancher étage courant :

Q = 1,5 KN/m2 ≤ max {2 × 5,17 = 10,34

5KN/m2 ….CV

2) Le moment d’inertie est constant dans toutes les travées ….CV.

3) rapport des deux portées successives est compris entre [0,8 ; 1,25] :

Type 01 :

0,8 ≤Li

Li+1=

4,5

4,1= 1,09 ≤ 1,25

⇒ Condition Vérifiée.

0,8 ≤ Li

Li−1=

4,1

4,5= 0,91 ≤ 1,25

Type 02 :

0,8 ≤Li

Li+1=

4,50

2.90= 1,44 > 1,25

⇒ Condition non Vérifiée.

Tableau III.1 : charge et combinaison de charge pour les poutrelles.

Etage G

(KN/𝐦𝟐) Q

(KN/𝐦𝟐) b

(m)

ELU

(1,35G+1,5Q)×𝐛

ELS

(G+Q)× 𝐛

Terrasse

inaccessible 6,79 1 0,6 6,39 4,67

Etage

courant 5,17 1,5 0,6 5,53 4



0,8 ≤ Li

Li−1=

2.9

4,5= 0.64 ≤ 1,25

Type 03 :

0,8 ≤Li

Li+1=

2.9

4,5= 1.44 > 1,25

⇒ Condition non Vérifiée.

0,8 ≤ Li

Li−1=

4,5

2.9= 0.64 ≤ 1,25

4) La fissuration est non préjudiciable ……CV

Conclusion :

Les 04 conditions sont vérifiées pour Le types 01 de poutrelle de ce bâtiment on peut utiliser

la méthode forfaitaire.

Pour les types 2 et 3 les conditions ne sont pas vérifiées donc on calcule avec la méthode de

Caquot.

Application de la méthode forfaitaire :

Moments sur appuis :

0.2M0 0.6M0 0.2M0

0.2M0 0.5M0 0.5M0 0.2M0

0.2M0 0.5M0 0.4M0 0.4M0 0.5M0 0.2M0

1 2 3 i j n-1 n

Appui de rive Appui voisin de rive Appui intermédiaire

Figure III.3 type d’une poutrelle continue.



Moments en travées :

Mt +Mw+Me

2≥ max {

(1 + 0.3α)M0

1.05M0

Vérification :

Travée de rive : Mt ≥(1.2+0.3α)

2M0

Travée intermédiaire : Mt ≥(1+0.3α)

2M0

𝐌𝟎: Le moment maximal dans la travée indépendante.

𝐌𝐭: Le moment maximal dans la travée étudiée.

𝐌𝐰: Le moment sur l’appui gauche de la travée.

𝐌𝐞: Le moment sur l’appui droit de la travée.

𝛂: Le rapport de charge d’exploitation (Q) a la somme de charge permanente (G) et la charge

d’exploitation (Q). α =Q

G+Q

Efforts tranchants :

Tw =Mw−Me

L+

q.L

2

Te =Mw−Me

L−

q.L

2

Détermination des sollicitations (Terrasse) :

Type 01 :

α =Q

G+Q=

1

6,39+1= 0,13

1 2 3

4,5 m 4.1m

A l’état limite ultime (ELU) :

Calcul du moment en appuis :

M01 =Pu×L

2

8=

6,39×4,52

8= 16,17 KN.m

M021 = max{

M01 =Pu×L

2

8=

6,39×4,52

8= 16,17 KN.m

M02 =Pu×L

2

8=

6,39×4.12

8= 13,42 KN.m



M012 = 16,17 KN.m

Donc les moments en appuis sont :

0,2 M01 0,5 M012 0,2M02

4,5 m 4,1 m

Calcul des moments en travées :

a) Travée 1 :

3,23 9,70

4,5 m

Mt1 +Mw+Me

2≥ max {

(1 + 0,3 × α) × M0

1,05 × M0

Mt1 +3,23+9,70

2≥ max {

(1 + 0,3 × 0,13) × 16,17 = 16,801,05 × 16,17 = 16,97

Mt1 + 6,46 ≥ 16,97

Mt1 ≥ 16,97 − 6,46

Mt1 ≥ 10,51 KN.m

Vérification :

Mt1 +(1+0,3×α)×M0

2

Mt1 +(1+0,3×α)×16,17

2

Mt1 ≥ 10,51 KN.m

Donc : Mt1 ≥ 10,51 KN.m

a) Travée 02 :

9,70 2,58

4,1 m

Mt1 +9,70+2,58

2≥ max {

(1 + 0,3 × 0,13) × 13,42 = 13,941,05 × 13,42 = 14,09



Mt1 + 6,14 ≥ 14,09

Mt1 ≥ 14,09 − 6,14

Mt1 ≥ 7,95 KN.m

Vérification :

Mt1 +(1+0,3×α)×M0

2

Mt1 +(1+0,3×0,13)×14,09

2

Mt1 ≥ 7,31 KN.m

Donc : Mt1 ≥ 7,95 KN.m

Calcul des efforts tranchants :

a) Travée 01 :

3,23 9,70

4,5 m

Tw =P×L

2+

Mg−Mw

L

Tw =6,39×4,5

2+

9,70−3,23

4,5= 15,81 KN

Te = −P×L

2+

Mg−Mw

L

Te = −6,39×4,5

2+

9,70−3,23

4,5= −12,93 KN

b) Travée 02 :

9.70 2.58

4,1 m

Tw =P×L

2+

Mg−Mw

L

Tw =6,39×4,1

2+

2,58−9,70

4,1= 11,36 KN

Te = −P×L

2+

Mg−Mw

L



Te = −6,39×4,1

2+

2,58−9,70

4,1= −14,83 KN

A l’état limite de service (ELS) :

Calcul des moments en appuis :

M01 =Pu×L

2

8=

4,67×4,52

8= 11,82 KN.m

M021 = max{

M01 =Pu×L

2

8=

4,67×4,52

8= 11,82 KN.m

M02 =Pu×L

2

8=

4,67×4.12

8= 9,81 KN.m

M012 = 11,82 KN.m

Donc les moments en appuis sont :

2,36 7,09 1,96

4,5 m 4,1 m

Calcul du moment en travées :

a) travée 01 :

2,36 7,09

4,5 m

Mt1 +2,36+7,09

2≥ max {

(1 + 0,3 × 0,13) × 11,82 = 12,281,05 × 11,82 = 12,41

Mt1 + 4,72 ≥ 12,41

Mt1 ≥ 12,41 − 4,72

Mt1 ≥ 7,69 KN.m

Vérification :

Mt1 +(1+0,3×α)×M0

2

Mt1 +(1+0,3×0,13)×12,41

2

Mt1 ≥ 6,44 KN.m




b) Travée 02 :

7.09 1.86

4,1 m

Mt1 +7,09+1,86

2≥ max {

(1 + 0,3 × 0,13) × 9,81 = 10,19 KN1,05 × 9,81 = 10,30 KN

Mt1 + 4,47 ≥ 10,30

Mt1 ≥ 10,30 − 4,47

Mt1 ≥ 5,83 KN.m

Vérification :

Mt1 +(1+0,3×α)×M0

2

Mt1 +(1+0,3×0,13)×10,30

2

Mt1 ≥ 5,35 KN.m


Calcul des efforts tranchants :

a) Travée 01 :

2,36 7,09

4,5

Tw =P×L

2+

Mg−Mw

L

Tw =4,67×4,5

2+

7,09−2,36

4,5= 11,55 KN

Te = −P×L

2+

Mg−Mw

L

Te = −4,67×4,5

2+

7,09−2,36

4,5= −9,45 KN

b) Travée 02 :



7.09 1.86

4,1 m

Tw =P×L

2+

Me−Mw

L

Tw =4,67×4,1

2+

1,86−7,09

4,1= 8,29 KN

Te = −P×L

2+

Me−Mw

L

Te = −4,67×4,1

2+

1,86−7,09

4,1= −10,85 KN

Tableaux récapitulatifs des résultats obtenus :



A L’ELU :

A ELS :

Tableau III.2 : Les résultats de calcul à ELU méthode forfaitaire.

Etage Travée L

(m)

A ELU

𝐌𝟎

(KN.m)

𝐌𝐰

(KN.m)

𝐌𝐞

(KN.m)

𝐌𝐭

(KN.m)

𝐓𝐰

(KN)

𝐓𝐞 (KN)

Terrasse

inaccessible

0-1 4,5 16,17 3,23 9,70 10,51 15,81 -12,93

1-2 4,1 13,42 9,70 2,58 7,95 11,36 -14,83

Etage

courant

0-1

4,5

13,08

2,61

7,84

8,51

13,60

-11,28

1-2

4,1

11,61

7,84

2,32

7,11

9,99

-12,68

Tableau III-3 : Les résultats de calcul à ELS méthode

forfaitaire.

Etage Travée L

(m)

A ELS

𝐌𝟎

(KN.m)

𝐌𝐰

(KN.m)

𝐌𝐞

(KN.m)

𝐌𝐭

(KN.m)

𝐓𝐰

(KN)

𝐓𝐞 (KN)

Terrasse

inaccessible

0-1 4,5 11,82 2,36 7,09 7,69 11,55 -9,45

1-2 4,1 9,81 7,09 1,86 7,95 11,36 -14,83

Etage

courant

0-1

4,5

10,12

2,02

6,07

6,58

9,90

-8,10

1-2

4,1

8,40

6,07

1,68

4,95

7,12

-9,27



Diagrammes des moments type 01 :

Diagrammes des efforts tranchants type 01:



Méthode de Caquot :

Moment en appuis :

MAppuis = −q×(L1

′3+L2′3)

8.5(L1′+L2

′)

𝐿 : La longueur des travées

q : Le chargement

L′ = { 0.8L ∶ Travée intermediaire L ∶ travée de rive

Moment en travée :

MT =q×L

2x − (q ×

x2

2) − (Mi ×

x

L) − (Mi × (

x

L)) − (Mi−1 × (1 −

x

L))

x =L

2+

Mi−1−Mi

q×L

Tw =q×L

2+

Mi−1−Mi

L

Te =q×L

2− (q × L) +

Mi−1−Mi

L

Exemple de calcul de la méthode de Caquot :

Type 02 :

Terrasse à ELU :

qu = 6.39 KN/m

Calcul de moment en appuis :

MAppuis = −qu×(L1

′3+L2′3)

8.5(L1+L2)

MA = 0

MB = −6.39×(4.53+2.323)

8.5×(4.5+2.32)= −11.42 KN.m

MC = −6.39×(2.323+4.53)

8.5×(2.32+4.5)= −11.42 KN.m

MD = 0



Calcul du moment en travées :

Travée 1 :

x =L

2+

Mi−1−Mi

qu×L=

4.5

2+

0−11.42

6.39×4.5= 1.85

MT =qu×L

2x − (qu ×

x2

2) − (Mi ×

x

L) − (Mi−1 × (1 −

x

L))

MT =6.39×4.5

2× 1.85 − (6.39 ×

1.852

2) − (11.42 ×

1.85

4.5) = 10.96 KN.m

Tw =qu×L

2+

Mi−1−Mi

L=

6.39×4.5

2+

0−11.42

4.5= 11.83 KN

Te =qu×L

2− (qu × L) +

Mi−1−Mi

L=

6.39×4.5

2− (6.39 × 4.5) +

0−11.42

4.5= −16.91 KN

Travée 2 :

x =L

2+

Mi−1−Mi

qu×L=

2.9

2+

11.42−11.42

6.39×2.9= 1.45

MT =qu×L

2x − (qu ×

x2

2) − (Mi ×

x

L) − (Mi−1 × (1 −

x

L))

MT =6.39×2.9

2× 1.45 − (6.39 ×

1.452

2)—(11.42 ×

1.45

2.9) − (11.42 × (1 −

1.45

2.9)) =

6.63 KN.m

Tw =qu×L

2+

Mi−1−Mi

L=

6.39×2.9

2+

11.42−11.42

2.9= 9.26 KN

Te =qu×L

2− (qu × L) +

Mi−1−Mi

L=

6.39×2.9

2− (6.39 × 2.9) +

11.42−11.42

2.9= −9.26 KN

Travée 03 :

x =L

2+

Mi−1−Mi

qu×L=

4.5

2+

11.42−0

6.39×4.5= 2.64

MT =qu×L

2x − (qu ×

x2

2) − (Mi ×

x

L) − (Mi−1 × (1 −

x

L))

MT =6.39×4.5

2× 2.64 − (6.39 ×

2.642

2) − (11.42 × (1 −

1.85

4.5)) = 10.96 KN.m

Tw =qu×L

2+

Mi−1−Mi

L=

6.39×4.5

2+

11.42−0

4.5= 16.91 KN

Te =qu×L

2− (qu × L) +

Mi−1−Mi

L=

6.39×4.5

2− (6.39 × 4.5) +

11.42−0

4.5= −11.83 KN

Les tableaux présentant les résultats obtenus :



Tableau III.4 : Les résultats de calcul à ELU méthode de Caquot

ELU

Terrasse : 𝐆 = 𝟔. 𝟑𝟗 𝐊𝐍/𝐦

𝐌𝐚(𝐊𝐍.𝐦) Travées X 𝐌𝐭(𝐊𝐍.𝐦) 𝐓𝐰(𝐊𝐍) 𝐓𝐞(𝐊𝐍)

Type 02

0 A - B 1.85 10.96 11.83 -16.91

-11.42 B - C 1.45 6.63 9.26 -9.26

-11.42 C - D 2.64 10.96 16.91 -11.83

0 / / / / /

Type 03

0 A - B 1.61 8.37 10.34 -15.85

-11.28 B - C 2.38 6.83 15.21 -13.53

-7.51 C - D 1.45 6.71 9.26 -9.26

-7.51 D - E 2.11 6.85 13.53 -15.21

-11.28 E - F 2.48 8.39 15.85 -10.34

0 / / / / /

Types 02

Etage courant : 𝐆 = 𝟓. 𝟓𝟑 𝐊𝐍/𝐦

0 A - B 1.85 9.49 10.24 -14.63

-9.88 B - C 1.45 2.20 8.01 -8.01

-9.88 C - D 2.64 9.49 14.63 -10.24

0 / / / / /

Types 03

0 A - B 1.91 7.72 8.29 -13.34

-8.24 B - C 2.32 6.64 12.83 -12.21

-6.49 C - D 1.45 2.20 8.01 -8.01

-6.49 D - E 2.17 6.64 12.21 -12.83

-8.24 E - F 2.65 6.49 13.34 -8.29

0 / / / / /



Tableau III.5 : Les résultats de calcul à ELS méthode de Caquot

ELS

Terrasse : 𝐆 = 𝟒. 𝟔𝟕 𝐊𝐍/𝐦

𝐌𝐚(𝐊𝐍.𝐦) Travées X 𝐌𝐭(𝐊𝐍.𝐦) 𝐓𝐰(𝐊𝐍) 𝐓𝐞(𝐊𝐍)

Type 02

0 A - B 1.85 8.01 8.65 -12.36

-8.35 B - C 1.45 1.86 6.77 -6.77

-8.35 C - D 2.64 8.01 12.36 -8.65

0 / / / / /

Type 03

0 A - B 1.61 6.12 7.56 -11.58

-8.24 B - C 2.38 5.12 11.11 -9.89

-5.49 C - D 1.45 4.90 6.77 -6.77

-5.49 D - E 2.11 5.01 9.89 -11.11

-8.24 E - F 2.48 6.08 11.58 -7.56

0 / / / / /

Types 02

Etage courant : 𝐆 = 𝟒 𝐊𝐍/𝐦

0 A - B 1.85 6.86 7.41 -10.58

-7.14 B - C 1.45 1.45 5.80 -5.80

-7.14 C - D 2.64 4.20 10.58 -7.41

0 / / / / /

Types 03

0 A - B 1.61 4.24 6.47 -9.92

-7.06 B - C 2.38 4.27 9.52 -8.47

-4.70 C - D 1.45 4.20 5.8 -5.08

-4.70 D - E 2.04 4.26 8.47 -9.52

-7.06 E - F 2.48 5.24 9.92 -6.47

0 / / / / /



Diagrammes des moments Types 02 :

Diagrammes des moments Type 03 :



Diagrammes des efforts tranchants Types 02 :

Diagrammes d’effort tranchant Type 03 :



Les sollicitations maximales :

A ELU :

Terrasse :

Tableau III-6 : Les sollicitations maximales.

𝐌𝐚 𝐦𝐚𝐱 𝐌𝐭 𝐦𝐚𝐱 𝐓𝐦𝐚𝐱

Terrasse

ELU 11.42 10.96 16.91

ELS 8.35 8.01 12.36

Etage

courant

ELU 9.88 9.49 14.63

ELS 7.14 6.86 10.58



{

Ma = 11.42 KN/mMt = 10.96 KN/mT = 16.91 KN/m

Mtu = b × h0 × fbu(d −h0

2)

h0 = 0.04 m ; d = 0.9ht= 0.18 m ; b = 0.6 m

fbu =0.85×ft28

θ×γb=

0.85×25

1×1.5= 14.17 Mpa

Mtu = 0.6 × 0.04 ×14.17× (0.18 −0.04

2) × 103

Mtu = 54.51 KN.m

Mt(max) = 10.96 KN.m < Mtu = 54.41 KN.m

Vérification de l’existence des armatures comprimées :

At =Mt max

Z×δS

μu =Mt max

b×d2×fbu

μu =10.96×10−3

0.6×0.182×14.17 = 0.039

α = 1.25 (1 − √1 − 2μu)

α = 1.25× (1 − √(1 − 2 × 0.039)) → α = 0.049

Z = d (1−(0.4 × α))

Z = 0.18 (1−(0.4 × 0.049)) Z = 0.176

δs =fe

γs=

400

1.15= 348 Mpa

At =Mt max

Z×δs= (

10.96×10−3

0.176×348) × 104

At = 1.78 cm2

La condition de fragilité :

Amin = 0.23 × b × d ×ft28

fe

ft28 = 0.6 + 0.06fc28

ft28 = 0.6 + (0.06 × 25) = 2.1 Mpa



Amin = (0.23 × 0.6 × 0.18 ×2.1

400) × 104

Amin = 1.30 cm2

At = 1.78 cm2 > Amin = 1.30 cm2

At = max(At ; Amin) = 1.78 cm2

Le choix des barres : 3T12 → A = 3.39 𝐜𝐦𝟐

Détermination des armatures au niveau des appuis :

Mau = b0 × h0 × fbu (d −h0

2)

Mau = 0.12 × 0.04 × 14.17(0.18 −0.04

2) × 103

Mau = 10.88 KN.m

Mappuis(max) = 11.42 KN.m > Mau = 10.88 KN.m

Vérification de l’existence de l’armature comprimée :

Aa =Map(max)

Z×δs

μu =11.42×10−3

0.6×0.182×14.17= 0.041

α = 1.25(1 − √1 − 2 × 0.041) = 0.053

Z = 0.18(1 − (0.4 × 0.053)) = 0.176

δs = 348 Mpa

Aa = (11.42×10−3

0.176×348) × 104

Aa = 1.86 cm2

Les conditions de fragilité :

Amin = 0.23 × b0 × d ×ft28

fe

ft28 = 2.1 Mpa

Amin = (0.23 × 0.12 × 0.18 ×2.1

400) × 104 = 0.26 cm2

Aa = 1.86 cm2 > Amin = 0.26 cm

2

Aa = max(Aa; Amin) = 1.86 cm2



Choix des barres : 2T12 = 2.26 𝐜𝐦𝟐

Vérification a ELS :

Pour le béton : δb ≤ δbc̅̅ ̅̅ = 0.6fc28

Ou : α ≤γ−1

2+

fc28

100 avec γ =

Mu

Ms

En travée :

γ =Mu

Ms=

10.96

8.01= 1.36

α = 0.057 ≤1.36−1

2+

25

100= 0.43 C. V

En appui :

γ =Mu

Ms=

11.42

8.35= 1.36

α = 0.060 ≤1.36−1

2+

25

100= 0.43 C. V

Alors : δbc ≤ δbc̅̅ ̅̅ = 0.6fc28

Vérification de l’effort tranchant :

τlim = min ( 0.2fc28

γb ; 5 Mpa )

min ( 3.33 Mpa ; 5 Mpa )

τlim = 3.33 Mpa

Contrainte tangente :

τu =Tu max

b0×d=

16.91×10−3

0.12×0.18= 0.78 Mpa

Donc : τu = 0.78 Mpa < τlim = 3.33 Mpa C. V

Armatures transversales :

∅t ≤ min ( h

35 ; ∅l ;

b0

10 )

∅t ≤ min ( 5.71 ; 10 ; 12 )

∅t ≤ 5.71

On prend ∅t = 6 min

Choix 2 ∅ 6 → At = 0.57 cm2



Calcul d’espacement des armatures transversales :

D’après le BAEL91 :

𝑆𝑡 ≤0.9×𝑓𝑒×𝐴𝑡×(cos𝛼+sin 𝛼)

𝑏0×𝛾𝑠×(𝜏𝑢−0.3𝑓𝑡𝑗×𝐾)

K = 0 reprise de bétonnage

𝛼 = 90𝑜

𝑆𝑡1 =0.9×235×0.57×10−4

0.12×1.15×(0.76−0.3×0)= 0.1149 𝑚 = 11.49 𝑐𝑚

𝛿𝑡2 ≤ min(0.9𝑑 ; 40 𝑐𝑚)

𝛿𝑡2 ≤ min(16.2 ; 40) } 𝛿𝑡2 ≤ 16.2 𝑐𝑚

𝛿𝑡3 ≤𝐴𝑡×𝑓𝑒

𝑏0×0.4

𝛿𝑡3 ≤0.57×235

12×0.4→ 𝛿𝑡3 ≤ 27.90 𝑐𝑚

𝑆𝑡 = min (𝑆𝑡1; 𝑆𝑡2 , 𝑆𝑡3)

𝑆𝑡 = min [(16.2), (27.90), (10.52)]

On adopte : 𝛿𝑡 = 15 𝑐𝑚

Calcul de la flèche :

a) h

L≥

1

16

b) h

L≥

1

16×

Mt service

Ma service

c) A

b0×d≤

4.2

fe

L : La portée de la travée entre axes d'appuis.

Figure III.9 : Schéma de ferraillage de poutrelle.

En appuis En travées

3T10

3T10

1T10 2T12

2∅6



h : La hauteur totale de la section droite.

d : La hauteur utile de la section droite.

b0: La largeur de la nervure. Mt service: Le moment en travée maximal à E.L.S.

Ma service: Le moment en appui maximal à E.L.S. A : La section des armatures tendues.

fe: La limite élastique de l'acier utilisé (en MPa).

Vérification des conditions :

a) h

L=

20

450= 0.044 ≥

1

16 → C. N. V

b) ht

450=

20

450= 0.044 ≥

1

10×8.01

8.35= 0.095 → C. N. V

c) A

b0×d=

3.39

12×18= 0.016 ≤

4.2

400= 0.011 → C. N. V

Les trois conditions ne sont pas vérifiées donc le calcul de la flèche est nécessaire.

Etage courant :

{

G = GTOT × b

P = (G + Q) × b J = (Pplancher + cloison) × b

Pour b = 0.6 𝑚

{

G = 5.17 × 0.6 = 3.10 KN/ml

P = (5.17 + 1.5) × 0.6 = 4 KN/ml

J = (2.8 + 0.9) × 0.6 = 2.22 KN/ml

Calcul des moments fléchissant :

{

MG = 0.85 .

G .L2

8= 0.85 ×

3.10×4.52

8= 6.66 KN.m

MP = 0.85 .P .L2

8= 0.85

4×4.52

8= 8.60 KN.m

MJ = 0.85 .J .L2

8= 0.85 ×

2.22×4.52

8= 4.47 KN.m

Modèle de déformation longitudinal :

Ei = 11000 . √fc283 = 11000× √25

3= 32164.2 Mpa

Ev = 3700 . √fc283 = 3700 × √25

3= 10818.86 Mpa

Calcul du moment d’inertie :

𝑉2 =∑𝑆𝑖𝑌𝑖

𝑆𝑖

V2 =[(b×h0)(h−

h02)]+[b0(h−h0)(

h−h02

)]+[( η×As)(h−d)]

(b×h0)+b0(h−h0)+( η×As)



Avec :

η = 15 ; b = 0.6 ; h0 = 0.04 ; h = 0.2 ; As = 3.39 ; b0 = 0.12

V2 = 0.1235 m = 12.35 cm

V1 = ht − V2 = 20 − 12.35 = 7.65 cm

I0 =b×V1

3

3+

b0×V23

3−

(b−b0)(V1−h0)3

3+ η × As(d − V1)

2

I0 =60×7.653

3+

12×12.353

3−

(60−12)(7.65−4)3

3+ 15 × 3.39(18− 7.65)2 = 21157.65 cm4

Les contraintes dans l’acier suivant les sollicitations :

σs =M.η

I0. y

y : La distance entre armature tendue et l’axe neutre.

y = d − V1 = 18 − 7.65 = 10.35 cm

Calcul des contraintes suivant les sollicitations :

{

σSG =

MG .η

I0. y =

6.66×15

21157.65× 10.35 × 103 = 48.87 MPa

σSP =MP.η

I0. y =

8.60×15

21157.65× 10.35 × 103 = 63.11 MPa

σSJ =MJ .η

I0. y =

4.47×15

21157.65× 10.35 × 103 = 32.80 MPa

Le calcul de 𝛍𝐆 ; 𝛍𝐏 ; 𝛍𝐉 :

ρ =A

b0.d=

3.39

12×18= 0.016

{

𝜇𝐺 = 1 − (

1.75𝑓𝑡28

4.𝜌.σSG+𝑓𝑡28) = 1 − (

1.75×2.1

4×0.016×48.87+2.1) = 0.29

𝜇𝑃 = 1 − (1.75𝑓𝑡28

4.𝜌.σSP+𝑓𝑡28) = 1 − (

1.75×2.1

4×0.016×63.11+2.1) = 0.40

𝜇𝐽 = 1 − (1.75𝑓𝑡28

4.𝜌.σSJ+𝑓𝑡28) = 1 − (

1.75×2.1

4×0.016×32.80+2.1) = 0.12

Calcul des moments d’inertie fictif :

If =1.1×I0

1+λ.μ

{ λi =

0.05ft28

(2+3b0b)ρ=

0.05×2.1

(2+3×12

60)×0.016

= 2.52

λv =2

5λi =

2

5× 2.52 = 1.01

IfiG =

1.1×I0

1+λi.μG=

1.1×21157.65

1+2.52×0.29= 13446.62 cm4



IfvG =

1.1×I0

1+λv.μG=

1.1×21157.65

1+1.01×0.29= 18000.93 cm4

Ifip=

1.1×I0

1+λi.p=

1.1×21157.65

1+2.52×0.40= 11590.34 cm4

Ifij=

1.1×I0

1+λi.μi=

1.1×21157.65

1+2.52×0.12= 17869.63 cm4


fGi =MG .L

2

10.Ei.I fiG =

6.66×4.82×107

10×32164.20×13446.62= 0.35 cm

fGv =MG.L

2

10.Ev.I fvG =

6.66×4.82×107

10×10818.86×18000.93= 0.78 cm

fPi =MP.L

2

10.Ei .I fiP =

8.60×4.82×107

10×32164.20×11590.34= 0.41 cm

fJi =MJ .L

2

10.Ei .I fiJ =

4.47×4.82×107

10×32164.20×17869.63= 0.26 cm

∆ft = (fGv − fJi) + (fPi − fGi) = (0.78 − 0.26) + (0.41 − 0.35) = 0.58

La flèche admissible :

∆fmax =L

500=

450

500= 0.90 cm

Donc : ∆ft = 0.58cm < ∆fmax = 0.90 cm …………………. Condition vérifiée

Les contraintes dans l’acier suivant les sollicitations :

σ𝒔 =Mx×η

W= σs =

Mx

I0× y

y = d − V1 ⇒ y = 18 − 7,65 ⇒ y = 10,35

Calcul des contraintes suivant les sollicitations :

σsg =My×η

I0× y =

6.66×15

21157,65× 10,35 × 103 = 48.86 MPa

σsp =Mp×η

I0× y =

8.60×15

21157,65× 10,35 × 103 = 63.10 MPa

σsj =My×η

I0× y =

4.47×15

21157,65× 10,35 × 103 = 32.79 MPa

⇒ Calcul de 𝛍𝐲 ; 𝛍𝐩 ; 𝛍𝐣

Ρ =A

b0×d=

3,39

12×18= 0,016



μj= 1− [

1,75ft28

4×ρ×σsj+ft28] = 1 − [

1,75×2,1

4×0,016×32.79+2,1] = 0,12

μG= 1 − [

1,75ft28

4×ρ×σsg+ft28] = 1 − [

1,75×2,1

4×0,016×48.86+2,1] = 0,29

μp= 1− [

1,75ft28

4×ρ×σsp+ft28] = 1 − [

1,75×2,1

4×0,016×63.10+2,1] = 0,40

Calcul des moments d’inertie fictif :

If =1,1×I0

(1+λ×μ)

λi =0,05×ft28

(2+3b0b)×ρ

=0,05×2,1

(2+3×12

60)×0,016

= 2,52

λv =2

5× λi =

2

5× 2,52 = 1,01

Ifig=

1,1I0

(1+λi×Ug)=

1,1×21157,65

1+(2,52×0,29)= 13446.62 cm4

Ifvg=

1,1I0

(1+λv×Ug)=

1,1×21157,65

1+(1,01×0,29)= 18000.93 cm4

Ifip=

1,1I0

(1+λi×Up)=

1,1×21157,65

1+(2,52×0,40)= 11590.34 cm4

Ifij=

1,1I0

(1+λi×Uj)=

1,1×21157,65

1+(2,52×0,12)= 17869.63 cm4


fgi =Mg × l

2

10 × Ei × Ifig =

6.66 × 4,52 × 107

10 × 32164,20 × 13446.62= 0,31 cm

fgv =Mg × l

2

10 × Ev × Ifvg =

6.66 × 4,52 × 107

10 × 10818,87 × 18000.93= 0,69 cm

fji =Mj × l

2

10 × Ei × Ifij =

4.47 × 4,52 × 107

10 × 32164,20 × 17869.63= 0,23 cm

fpi =Mp × l

2

10 × Ei × Ifip =

8.60 × 4,52 × 107

10 × 32164,20 × 11590.34= 0.36 cm

La flèche totale :

Δfr = (fgv − fji) + (fpi − fgi) = (0.69 − 0,23) + (0,36 − 0,31) = 0,51 cm

La flèche admissible :



Δf max =L

500=

450

500= 0,96 cm………( L ≤ 5m)

Donc :

Δft = 0,51 cm < Δf max = 0,90 cm ⇒ CV

III.2.3 Ferraillage de la dalle de compression :

Pour le ferraillage de la dalle de compression, il faut suivre les conditions de BAEL(B.6.8,

42) :

La dalle de compression doit avoir une épaisseur minimale de 4 cm et être armée de

quadrillage des barres dont les dimensions des mailles ne doivent pas dépasser :

20 cm pour les armatures perpendiculaires aux nervures 𝐴⊥.

30 cm pour les armatures parallèles aux nervures 𝐴∏.

La section minimale de l’armature doit être :

Ln ≤ 50 cm ⇒ As ≥200

fe (cm2)

50 ≤ Ln ≤ 80 cm ⇒ As ≥ 4(Ln

fe)

Avec : fe = 400 MPa ; Ln = 60 cm

armatures perpendiculaires aux nervures 𝐴⊥

50 < Ln ≤ 80 cm ⇒ As ≥4×60

400= 0,6 cm2

φ ≤h0

10=

4

10= 0,4 cm

𝐎𝐧 𝐨𝐛𝐭𝐢𝐞𝐧𝐭 𝐩𝐨𝐮𝐫 ∶ φ = 6 mm

On prend : 5∅6/ml ⇒ A⊥ = 1.41 cm2/ml avec e = 20 cm

armatures parallèles aux nervures 𝐴∏

A∏ ≥A⊥

2 ⇒ A∏ ≥

1.41

2= 0.70cm2/ml

On prend : 5∅6/ml ⇒ A∏ = 1.41 cm2/ml avec e = 20 cm

Donc on a un treillis soudé d’un quadrillage à maille ∅6(200 × 200)mm2



TS∅𝟔

Figure III.10 : Disposition constructive des armatures de la table de compression.

Conclusion :

Dans ce chapitre on a calculées le plancher à corps creux avec deux méthodes de

calculs (forfaitaires et Caquot).

100 cm

100 cm

St

St/2

Chapitre IV

Etude des

éléments non

structuraux

Chapitre IV Etude des éléments non structuraux

Etude d’une tour a usage multiple RDC +12 Page 61

IV.1 Introduction :

Les éléments non structuraux dans le bâtiment sont les escaliers, l’acrotère, l’ascenseur et le

balcon ou (murs, cloison…ect).

IV.2 Etude de l’acrotère :

IV.2.1 Définition :

L’acrotère est assimilée à une console encastrée dans le plancher terrasse, son rôle est de

protéger le revêtement de la terrasse contre les eaux pluviales.

L’acrotère sera calculé en flexion composée sous l’effet d’un effort normal dû à son poids

propre WP et un moment de flexion de l’application de la charge FP.

Selon le RPA99 version 2003 (6.2.3) détermine l’application de la force horizontale FP pour

le calcul secondaire.

IV.2.2 Evaluation des charges :

a) Charges permanentes

Les dimensions de l’acrotère :

10 15cm cm

60cm

8cm 2cm

Lx

WP

60cm

Figure IV.1: Schéma statique de l’acrotère Figure IV.1: Coupe verticale sur l’acrotère



{h = 60 cme = 10 cm

Surface de l’acrotère :

𝑆 = 0.1 × 0.6 + 0.08 × 0.15 +0.02×0.15

2= 0.073 m2

Le poids propre de l’acrotère :

Wp = γb × s × 1 = 25 × 0.073 × 1 = 1.825 KN/ml

b) charges d’exploitations :

Q = 1 KN/ml

La force sismique :

Fp = 4.A. cpwp

A coefficient de l’accélération de zone ( zone 3 ) → A = 0.25

𝐶𝑝 facteur de force horizontale 𝐶𝑝 = 0.8

Fp = 4 × 0.25 × 0.8 × 1.825 = 1.46 KN/ml

IV.2.3 Calcul des sollicitations :


Mu = 1.5Fp × h = 1.5 × 1.46 × 0.6 = 1.314 KN.ml

Nu = 1.35Wp = 1.35 × 1.825 = 2.463 KN/ml


Ms = Fp × h = 1.46 × 0.6 = 0.876 KN.ml

Ns = Wp = 1.825 KN/ml

IV.2.4 Calcul de l’excentricité :

Vérification de flambement

A état limite ultime :

Avec :

e1 : Excentricité de résultante.

e2 : Excentricité due aux effets de second ordre.



ea : Excentricité additionnelle.

e1 =Mu

Nu=

1.314

2.463= 0.533

e2 =3Lf

2

104 .h(2 + α. ∅)

𝐿𝑓 ∶ Longueur de flambement.

∅ ∶ Le rapport de la déformation finale due au fluage à la déformation instantanée sous

charge considérée, ce rapport est généralement pris égal à 2.

𝛼: Le rapport du premier ordre, du aux charges permanentes et quasi-permanentes, au

moment total du premier ordre, ce moment étant pris avant application des coefficients 𝛾.

Lf = 2L0 = 2 × 0.6 = 1.2 m

α = 10 (1 −MU

1.5Ms) = 10 × (1 −

1.314

1.5×0.876) = 0

e2 =3×1.22

104 .0.1(2 + 0 × 2) = 0.000864 m

ea = max [2 cm ;L

250] = max [2 cm ;

60

250]

ea = 2 cm = 0.02 m

e = e1 + e2 + ea = 0.533 + 0.000864 + 0.02 = 0.55 m

e = 55 cm

IV.2.5 Calcul des armatures :

Ѱ1 =Nu

b×h×fbu=

2.463×10−3

0.1×1×14.17= 0.0017

Le tableau 𝜀 = 𝑓( Ѱ1) BAEL 91 P174 donne le coefficient égal 0.1666

𝑒𝑁𝑐 = 0.1666 × 1 = 0.1666

𝑒 > 𝑒𝑁𝑐 → La section est partiellement comprimée on calcul un moment de flexion fictif

Mfec = Nu (e + d −h

2) Tel que : d = 0.9h

Mfec = 2.463 × (0.55 + 0.9 −1

2) = 2.339 KN.m/ml

On calcule les armatures de la section étudiée soumise à une flexion simple de moment 𝑀𝑓𝑖𝑐



a) Les armatures longitudinales :

µu =Mfec

b×d2×fbu=

2.339×10−3

0.1×0.92×14.17= 0.002

µbu = 0.002 < µlim = 0.392 → section sans armatures comprimées A′ = 0

Bu = 1 − √1− 2µu = 1− √1 − 2 × 0.002 = 0.002

As fic =Bu×d×b×fbu

σs= (

0.002×0.9×0.1×14.17

348) × 104 = 0.08 cm2/ml

La section réelle d’acier tendue vaut :

As = As fic −Nu

σst= (0.08 × 10−4 −

2.463×10−3

348) × 104 = 0.009 cm2

La condition de non fragilité impose une section minimale d’armatures :

Amin = 0.23 × b × d ×ft28

fe= (0.23 × 0.1 × 0.9 ×

2.1

400) × 104 = 1.08 cm2

Choix des barres :

As = max(As; Amin) = 1.08 cm2

On adopte : 4T8 = 2.01 cm2 → St = 25 cm

b) Les armatures de répartition :

At =As

4 At =

2.01

4= 0.50 cm2

Le choix d’armature :

At = 0.50 cm2 4∅6 = 0.85 cm2 → St = 20 cm

IV.2.7 Vérification de l’effort tranchant :

Tmax = 1.5 Fp Tmax = 1.5 × 1.46

Tmax = 2.19 KN/ml

τmax =Tmax

b.d τmax =

2.19×10−3

0.1×0.9

τmax = 0.024 MPa

τadm = min[0.15 × fc28 ; 4 MPa ] min[0.15× 25 ; 4 MPa]

τadm = 3.75 MPa

Tmax = 2.19 KN/ml < τadm = 3.75 MPa…………… . . CV



Vérification au séisme :

Fp ≤ 1.5Q

Q = 1KN/ml Fp = 1.46 ≤ 1.5 × 1

Fp = 1.46 ≤ 1.5……………CV

Schéma de ferraillage :

IV.3 Etude de balcon :

Le balcon est constitué d’une dalle pleine il est considéré comme une console encastrée au

niveau de la poutre de rive.

Dans notre projet on a 2 types de balcon :

Type 01 : L = 1.40 m.

Type 02 : L = 1.90 m.

Le calcul ce fait pour une bande de 1 mètre linaire.

IV.3.1 Le pré dimensionnement :

L

30≤ eb ≤

L

10

{eb ∶ epaisseur du balcon.L ∶ la largeur du balcon.

Type 01 :

140

30≤ eb ≤

140

10 ⟹ 4.66 cm ≤ eb ≤ 14 cm

Figure IV.2: Schéma de ferraillage de l'acrotère

4∅6

4T8



Donc on adopte : 𝑒𝑏 = 15 𝑐𝑚

Type 02 :

190

30≤ eb ≤

190

10 ⟹ 6 cm ≤ eb ≤ 18 cm

Donc on adopte : eb = 15 cm

IV.3.2 Evaluation des charges :

Charge permanente G :

Tableaux IV.1 : Descente des charges pour balcon


(KN/𝐦𝟑) G

(KN/𝐦𝟐)

Carrelage (2 cm) 22 0.44

Mortier de pose (2 cm) 20 0.40

Lit de sable (2 cm) 18 0.36

Dalle pleine (15 cm) 25 3.75

Enduit en plâtre (2 cm) 10 0.20

Simple cloison / 0.90

∑𝐆 6.05

Pour une bande de 1ml :

G = 6.05 KN/m2

Charge d’exploitation Q :

Pour une bande de 1ml :

Q = 3.50 KN/ml

Charge concentrée F :



Tableau IV.2 : Descente des charges de mur.


(𝐊𝐍/𝐦𝟑) Charge (𝐊𝐍/𝐦𝟐)

Brique creuse (10 cm) / 0.90

Enduit en plâtre (2 cm) 10 0.20

Enduit extérieur (2 cm) 20 0.40

∑𝐅 1.50

La hauteur du mur est h = 1.2 m

F = 1.50 × 1.20 = 1.80 KN/m


Type 01 :

A L’ELU :

qu = 1.35G + 1.5Q = 1.35 × 6.05 + 1.5 × 3.5 = 13.16 KN/ml

Pu = 1.35 F = 1.35 × 1.8

Pu = 2.43 KN

Mu =qu×L

2

2+ Pu × L =

13.16×1.42

2+ 2.43 × 1.4 = 16.29 KN.m

1.40 m

G , q

𝐏

Figure IV-3 : Schéma du balcon.



Tu = qu × L+ Pu = 13.16 × 1.4 + 2.43 = 20.85 KN

A L’ELS :

qs = G+ Q = 6.05 + 3.5 = 9.55 KN/ml

Ps = F = 1.80 KN

Ms =qs×L

2

2+ Ps × L =

9.55×1.42

2+ 2.43 × 1.4 = 11.87 KN.m

Ts = qs × L + Ps = 9.55 × 1.4 + 2.43 = 15.17 KN

IV.3.4 Calcul de ferraillage :

b = 1 m ; h = 0.15 m ; d = 0.135 m

1) Les armatures longitudinales :

µbu=

Mu

σb×b×d2 =

16.29×10−3

14.17×1×0.1352= 0.063

µbu= 0.063 < µ

l= 0.392 ⟹ section non comprimée (A′ = 0)

α = 1.25(1 − √1 − 2µ) = 1.25 (1 − √1 − (2 × 0.063)) = 0.081

Zb = d × (1 − 0.4 × α) = 0.135 × (1 − (0.4 × 0.081)) = 0. .13

Acal =Mu

σs×zb= (

16.29×10−3

348×0.135) × 104 = 3.60 cm2

Amin = 0.23 × b × d ×ft28

fe= (0.23 × 1 × 0.135 ×

2.1

400) × 104

Amin = 1.63 cm2

At = 3.60 cm2 > Amin = 1.63 cm2

At(max) = 1.63cm2

Choix des barres : 4T12 ⟹ At = 4.52cm2

b) Armatures de répartition :

𝐴𝑟 =𝐴

4=

4.52

4= 1.13 𝑐𝑚2

𝐴𝑟 < 𝐴𝑚𝑖𝑛

Donc : 𝐴𝑟 = 1.63 𝑐𝑚2

Choix d’armatures : 4𝑇10 ⟹ At = 3.14 𝑐𝑚2



IV.3.5 Vérifications :

Vérification de la contrainte de cisaillement :

Tu = qu × L + Pu = 13.16 × 1.4 + 2.43 = 20.85 KN

τmax =Tmax

b×d=

20.85×10−3

1×0.135= 0.15 MPa

τadm = min {0.2 ×fc28

γb; 5 MPa} ⟹ min {0.2 ×

25

1.5; 5MPa}

τadm = 3.33 MPa

τmax = 0.15 MPa < τadm = 3.33 MPa………C. V

Vérification des contraintes :

Contrainte de béton comprimé :

σbc ≤ σbc̅̅ ̅̅

σbc̅̅ ̅̅ = 0.6 fcj = 15 MPa

Ou bien : α ≤γ−1

2+ 0.01fcj

γ =Mu

Ms ⟹ α ≤

MuMs−1

2+ 0.1 fcj

⟹ α = 0.081 < 0.207……… . C. V

Fissuration peu préjudiciable aucune vérification pour 𝜎𝑠

Vérification de la flèche :

Pour les éléments supportés en console la flèche f est :

f1 =qser×L

4

8 EI pour une charge uniformément répartie

f2 =pser×L

3

8 EI pour une charge concentrée

Donc : 𝑓𝑖 = 𝑓1 + 𝑓2

E : Le module de Young de béton E = 32164.20 Mpa

centre de gravité :

𝑌𝐺 =∑𝐴𝑖𝑌𝑖

∑𝑌𝑖=

100×15×8+15×4.52×13.5

100×15+15×4.52

Donc : 𝑉1 = 8.23 𝑐𝑚 ⟹ 𝑉2 = 7.71 𝑐𝑚



Moment d’inertie :

I =b×V1

3

3+

b×V23

3+ 15. As(d − V1)

2 ⟹ I = 36798.52 m4

f1 =qser×L

4

8 EI=

9.55×1.44

8×EI= 0.038cm

f2 =pser×L

3

8 EI=

1.80×1.43

8 EI= 0.0052 cm

fi = f1 + f2 = 0.043

fadm =L

250=

140

250= 0.56 cm

fi = 0.043 < fadm = 0.56………C. V

IV.3.6 Calcul de longueur de contre poids :

Poids du balcon :

ep = 15 cm

G1 = 0.15 × 1.4 × 1 × 25 = 5.25 KN

Poids de contre balancement :

𝑒𝑝 = 20 𝑐𝑚

G2 = 0.20 × Lc × 1 × 25 ⟹ G2 = 5 × Lc

60%× 𝐺1=𝐺2

0.60× 5.25 = 5 × Lc

Lc = 0.63 m

Donc on prend : Lc = 0.65 m


Type 02 :

A L’ELU :

qu = 1.35G+ 1.5Q = 1.35 × 6.05 + 1.5 × 3.5 = 13.16 KN/ml

Pu = 1.35 F = 1.35 × 1.8

Pu = 2.43 KN

Mu =qu×L

2

2+ Pu × L =

13.16×1.92

2+ 2.43 × 1.9 = 28.37 KN.m



Tu = qu × L + Pu = 13.16 × 1.9 + 2.43 = 27.43 KN

A L’ELS :

qs = G+ Q = 6.05 + 3.5 = 9.55 KN/ml

Ps = F = 1.80 KN

Ms =qs×L

2

2+ Ps × L =

9.55×1.92

2+ 2.43 × 1.9 = 21.85 KN.m

Ts = qs× L+ Ps = 9.55 × 1.9+ 2.43 = 20.57 KN

IV.3.8 Calcul de ferraillage :

b = 1 m ; h = 0.15 m ; d = 0.135 m

1) Les armatures longitudinales :

µbu=

Mu

σb×b×d2 =

28.37×10−3

14.17×1×0.1352 = 0.109

µbu= 0.109 < µ

l= 0.392 ⟹ section non comprimée (A′ = 0)

α = 1.25(1 − √1− 2µ) = 1.25 (1−√1 − (2 × 0.109)) = 0.144

Zb = d × (1− 0.4 × α) = 0.135 × (1 − (0.4 × 0.144)) = 0.127

Acal =Mu

σs×zb= (

28.37×10−3

348×0.127) × 104 = 6.41 cm2

Amin = 0.23 × b × d ×ft28

fe= (0.23 × 1 × 0.135 ×

2.1

400) × 104

Amin = 1.63 cm2

At = 6.41 cm2 > Amin = 1.63 cm2

At(max) = 6.41 cm2

Choix des barres : 𝟔𝐓𝟏𝟐 ⟹ 𝐀𝐭 = 𝟔. 𝟕𝟗 𝐜𝐦𝟐

2) Armatures de répartition :

Ar =A

4=

6.79

4= 1.69 cm2

Ar > Amin

Donc : Ar = 1.69 cm2

Choix d’armatures : 𝟒𝐓𝟏𝟎 = 𝟑. 𝟏𝟒 𝐜𝐦𝟐



IV.3.9 Vérifications :

Vérification de la contrainte de cisaillement :

Tu = qu× L+ Pu = 13.16 × 1.9+ 2.43 = 27.43 KN

τmax =Tmax

b×d=

27.43×10−3

1×0.135= 0.20 MPa

τadm = min {0.2 ×fc28

γb

; 5 MPa} ⟹ min {0.2 ×25

1.5; 5MPa}

τadm = 3.33 MPa

τmax = 0.20 MPa < τadm = 3.33 MPa………C.V


Contrainte de béton comprimé :

σbc ≤ σbc̅̅ ̅̅

σbc̅̅ ̅̅ = 0.6 fcj = 15 MPa

Ou bien : ≤ α =γ−1

2+ 0.01fcj

𝛾 =Mu

Mser⟹α ≤

(MuMser

−1)

2+ 0.01fcj

⟹ 𝛼 = 0.144 ≤ 0.359……… . 𝐶. 𝑉

Contrainte des aciers :

Fissuration peu préjudiciable aucune vérification pour 𝜎𝑠.


Pour les éléments supportés en console la flèche f est :

f1 =qser×L

4

8 EI pour une charge uniformément répartie.

f2 =pser×L

3

8 EI pour une charge concentrée.

Donc : fi = f1 + f2

E : Le module de Young de béton E = 32164.20 Mpa

centre de gravité :

YG =∑AiYi

∑Yi=

100×15×8+15×4.52×13.5

100×15+15×4.52



Donc : V1 = 8.23 cm ⟹ V2 = 7.71 cm

Moment d’inertie :

I =b×V1

3

3+

b×V23

3+ 15.As(d− V1)

2 ⟹ I = 36798.52 m4

f1 =qser×L

4

8 EI=

9.55×1.94×107

8×EI= 0.13cm

f2 =pser×L

3

8 EI=

1.80×1.93×107

8 EI= 0.013 cm

fi = f1 + f2 = 0.14

fadm =L

250=

190

250= 0.76 cm

fi = 0.14 < fadm = 0.76………C.V

Calcul de longueur de contre poids :

Poids du balcon :

ep = 15 cm

G1 = 0.15 × 1.9 × 1 × 25 = 7.12 KN

Poids de contre balancement :

ep = 20 cm

G2 = 0.20 × Lc × 1 × 25 ⟹ G2 = 5 × Lc

60%×G1=G2

0.60× 7.12 = 5 × Lc

Lc = 0.85 m

Donc on prend : Lc = 0.85 m



Figure IV.4 : schéma de ferraillage du balcon.

1,40 m 0,85 m

4cm

16cm

4T10 4T12

4T10



IV.4 Etude d’escalier :

Les escaliers sont des éléments non structuraux constitués d’une succession des gradins et

permettant le passage à pied entre les différents niveaux d’un bâtiment.

Figure IV.5 : Schéma de l’escalier

La marche : surface plane de l’escalier sur laquelle on pose le pied pour monter ou

descendre.

Le giron : la largeur. de la marche.

La contremarche : la face verticale située entre deux marches consécutives.

Palier de repos : L’escalier est équipé avec une petite dalle dite palier de repos, elle permet

aux utilisateurs de se reposer.

Garde corps : pour éviter le risque de chute.

IV.4.1 Dimensionnement des marches et contres marches :

Selon la formule de BLONDEL :

58 ≤ g + 2h ≤ 64



Avec :

h : hauteur de la marche (contre marche).

g : largeur de la marche. On prend : 2ℎ + 𝑔 = 64 cm H : hauteur entre les faces supérieurs des deux paliers successifs d'étage.

(𝐻 = 𝑛 × ℎ =ℎ𝑒2)

n : nombre de contre marche.

L : projection horizontale de la longueur total de la volée : 𝐿 = (𝑛 − 1)𝑔

On a {9 contre marches et 8 marches}

Donc on a 18 contre marches

h =H

n=

306

18= 17 cm

g =L

n−1

{g =240

9−1≅ 30 cm

Donc on prend {h = 17 cmg = 30 cm

D’après BLONDEL il faut que :

58 ≤ g + 2h ≤ 64 → 58 ≤ (30 + (2 × 17)) = 64 ≤ 64…………CV

L’inclinaison de la paillasse :

tan 𝛼 =ℎ

𝐿=

1.53

2.40= 0.637 → 𝛼 = 32.49 𝑜

La longueur de la paillasse :

L′ =L

cosα=

2.40

cos(32.49)= 2.84 m

Epaisseur de la paillasse :

L′

30< ep <

L′

20

284

30< ep <

284

20

9.46 cm < ep < 14.20 𝑐𝑚

On prend : 𝑒𝑝𝑎𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 = 15 𝑐𝑚



Epaisseur de palier :

epalier ≥Lpalier

10 epalier ≥

1.20

10

epalier > 0.12 𝑚

On prend : epalier = 15 cm

IV.4.2 Descente des charges :

a) Volée :

Tableau IV.3 : charge permanente de la

volée

Chargement L’épaisseur

(cm)

Les charges

(KN/𝒎𝟐)

Carrelage horizontal 2 0,44

Mortier de pose horizontal 2 0,40

Enduit en plâtre sous volée 0,23

Béton paillasse 15 4,62

Carrelage verticale 2 0,25

Mortier de pose verticale 2 0,25

Marche / 2,13

Gard Corps / 1

∑𝐆 9,12

Avec :

G = 9,12 KN/m2 𝑄 = 2,5 𝐾𝑁/𝑚2

b) Palier :



Tableau IV.4: charge permanente de palier

Chargement Epaisseur 𝑮

Carrelage 2 0,44

Mortier de pose 2 0,40

Enduit en plâtre 2 0,20

Dalle de palier 15 3,75

∑𝑮 4,80 KN/𝒎𝟐

Avec :

G = 4,80 KN/m2 𝑄 = 2,5 𝐾𝑁/𝑚2

Combinaison d’action :

Tableau IV.5 : combinaison d’action

Palier (KN/𝐦𝟐) Paillasse (KN/𝐦𝟐)

ELU 1.35G+1.5Q (1.35 × 4.8) + (1.5 × 2.5) = 10.23 (1.35 × 9.12) + (1.5 × 2.5) = 16.06

ELS G+Q 4.8 + 2.5 = 7.3 9.12 + 2.5 = 11.62

IV.4.3 Ferraillage de l’escalier :

Le calcul se fait par une bande de 1 ml

Calcul des sollicitations :



La figure ci-dessous présente un système hyperstatique. Les méthodes de résolution :

Méthode de trois moments (Clapeyron).

Méthode des forces.

Méthode des déplacements.

Schéma statique :

Degrés d’hyperstaticité :

D = nombre d’appuis : 2

D = 3 − 2 ⟹ D = 1

Donc le Système est 01 fois hyperstatique.

IV.4.4 Etude de la poutre palière :

Méthodes des trois moments :

Application de la méthode des forces et la méthode des 03 moments :

qeq =(qpail × Lpail) + (qpalier × Lpalier)

Lpail + Lpalier

2.40 1.20

qpail = 16.06 (KN/m2)

qpalier = 10.23 (KN/m2)

2.4 1.2



qeq =(16.06 × 2.40) + (10.23 × 1.20)

2.40 + 1.20= 14.11 KN/m2

0-1-2 :

{M0. L1 + 2M1(L1 + L2) + M2. L2 + 6EI. Δ1p = 0

M0 = 0 ; M2 = 0 ; L1 = 3.60 m ; L2 = 0

⟹ 7.20 M1 + 6EI. Δ1p = 0……… . (1)

Calcul des réactions et des moments en travées :

Travée 0-1 :

R0. L − 1 = 0 ⟹ R0 =1

L

m1(x) = R0. x ⟹ m1(x) =1

L. x

{m1(0) = 0 KN.m

m1(L) = 1 KN.m

Travée 1-2 :

𝑅1𝑑 . 𝐿 + 1 = 0⟹𝑅1

𝑑 = −1

𝐿

𝑚2(𝑥) = 𝑅1𝑑 . 𝑥 +1⟹ 𝑚2(𝑥) = −

1

𝐿. 𝑥 +1

L1 = 3.60 L2 = 0

M1 M1

3.60

qeq = 14.11 KN/m2



{𝑚2(0) = 1 𝐾𝑁.𝑚

𝑚2(𝑙) = 0 𝐾𝑁.𝑚

Les diagrammes des moments 𝒎𝟏,𝒎𝟐,𝑴𝒑:

Le calcul de 𝑴𝟏:

Δ1p = ∫Mp .m1

EI

l

0dx + ∫

Mp .m1

EI

l

0dx

Δ1p =qL3

24.EI

7.20M1 + 6EI ×q3

24EI ⟹ 7.20M1 +

qL3

4= 0

7.20M1 = −qL3

4 ⟹ M1 = −22.85 KN.m

Les moments en travées et en appuis :

𝑀𝑝

𝑚1

𝑚0



{Ma = 22.85 KN.mMt = 12.85 KN.m

Ferraillage d’escalier :

{Mau = 22,85 KN.m

Mtu = 12,85 KN.m

;{Maser = 16.49 KN.m

Mtser = 9,27 KN.m

1) En appui :

µbu =Ma max

b. d2. fbu=

22.85 × 10−3

1 × 0,1352 × 14,17= 0,08

µbu < µLs = 0,391 ⇒ Section non comprimée (A′ = 0)

α = 1,25. (1 − √1 − 2µbu) = 1,25 × (1 − √1 − (2 × 0,08)) = 0,10

z = d(1 − 0,4α) = 0,135 × (1 − 0,4 × 0,10) = 0,13

Aa =Mamax

z. σs= (

22.85 × 10−3

0,13 × 348) × 104 = 5,05 cm2

Vérification de la condition de non fragilité :

Amin =0,23.ft28 .b.d

fe

𝐴𝑚𝑖𝑛 =0,23×2,1×1×0,135

400= 𝟏, 𝟔𝟑 𝒄𝒎𝟐

⇒ 𝐴𝑎 > 𝐴𝑚𝑖𝑛 ………….. C.V

Le choix des barres : 𝟓𝐓𝟏𝟐 → 𝐀𝐭 = 𝟓.𝟔𝟓 𝐜𝐦𝟐 Avec espacement 𝑆𝑡 = 25 𝑐𝑚.

2) En travée :

µbu =Mt max

b.d2.fbu=

12.85×10−3

1×0,1352×14,17= 0,04

µ𝑏𝑢 < µ𝐿𝑠 = 0,392 ⇒ Section non comprimée (A′ = 0)

α = 1,25(1 − √1 − 2µbu) = 1,25 × (1 − √1 − (2 × 0,04)) = 0,05



z = d(1 − 0,4α) = 0,135 × (1 − 0,4 × 0,05) = 0,13

At =Mt max

z. σs= (

12.85 × 10−3

0,13 × 348) × 104 = 2,84 cm2

Vérification de la condition de non fragilité :

Amin =0,23.ft28 .b.d

fe

Amin =0,23×2,1×1×0,135

400= 1,63 cm2

⇒ At > Amin ………….. C.V

Choix des barres : 4T12 → A = 4,52 cm² Avec espacement 𝑆𝑡 = 25 𝑐𝑚.

Vérification à l’ELS :

Fissuration peu préjudiciable

{Flexion simple

section rectangulaire sans A′

Acier FeE400

→ α ≤γ−1

2+

fc28

100→ σb ≤ σb̅̅ ̅ = 0.6 × fc28 = 15Mpa

En appui :

𝛾 =𝑀𝑎𝑢

𝑀𝑎𝑠𝑒𝑟 =

22,85

16.49= 1,38

𝛼 = 0,11 <1,38 − 1

2+25

100

𝛼 = 0,11 < 0,44……………… C.V

En travée :

𝛾 =𝑀𝑡𝑢

𝑀𝑡𝑠𝑒𝑟 =

12,85

9,27= 1,38

𝛼 = 0,06 <1,38 − 1

2+25

100

𝛼 = 0,06 < 0,44……………… C.V

Donc les armatures calculées à l’ELU conviennent à l’ELS.




{VA = RA = 19.04 KNVB = RB = 31.74 KN

Pour l’effort tranchant, la vérification du cisaillement suffira. Le cas le plus défavorable

(𝑇𝑚𝑎𝑥 = 31.74 𝐾𝑁.𝑚) donc il faut vérifier que :

𝝉𝒖 ≤ 𝝉

𝜏𝑢 =𝑇𝑚𝑎𝑥

𝑏.𝑑=

31.74×10−3

1×0,135=0,23 MPa.

Fissuration peu préjudiciable :

τ = min {0,2

fc28

γb

5 MPa⇒τ = min {

3,33 MPa5 MPa

⇒ τ = 3,33 MPa

⇒ τu = 0,23MPa ≤ τ = 3,33 MPa…………………………… C.V



Schéma de ferraillage de l’escalier :

Figure IV.6 : Schéma de ferraillage de l’escalier



IV.4.4 Etude de l’ascenseur :

IV.4.1 Introduction :

Un ascenseur est un dispositif mobile assurant le déplacement des personnes (et des objets) en

hauteur sur des niveaux définis d’une construction.

Les dimensions, la construction et le contrôle en temps réel pendant l’usage des ascenseurs

permettent l’accès sécurisé des personnes, Cet appareil élévateur est installé la plus part du

temps dans une cage d’ascenseur (une trémie verticale fermée en générale à l’intérieur de

l’édifice), composée de trois constituants principaux :

-Cabine : organe de l’ascenseur destiné à recevoir les personnes et les charges à transporter :

-Treuil de levage de la poulie :est un cylindre horizontal mobil autour de son axe, sur lequel

se roule ou déroule un câble qui sert à entrainer la cabine et roule ses mouvements de monté

et de descente.

-Le contre poids : a pour objet d’équilibrer la cabine et la charge utile.

IV.4.2 Principe : Par ailleurs l’ascenseur est équipé d’un moteur situé dans la gaine permettant de gagner

d’avantage de place relativement simple, voici son mode de fonctionnement :

Un moteur électrique assure l’élévation de l’ascenseur ; suspendue à des câbles

métalliques la cabine d’ascenseur est munie d’un contrepoids destiné à la contrebalance



Figure IV.7 : Ascenseur électrique



IV.4.3 Caractéristiques de l’ascenseur :

Charges nominales : on distingue les charges suivantes (en kilogramme) 320-400-630-

800-1000-1250-1600-2000-2500.

Vitesse nominales : les vitesses les plus utilisées en mètre par seconde (m/s) sont : 0,4 -

0,62 - 1 - 1,6 – 2,5.

D’après la norme française NF-P82-209 répartit les ascenseurs en cinq classes suivantes :

Classe I : Ascenseurs destinés au transport des personnes.

Classe II : Ascenseurs destinés principalement au transport des personnes et,

accessoirement, des charges. Ils diffèrent des ascenseurs des classes I et III

essentiellement par l'aménagement intérieur de la cabine.

Classe III : Ascenseurs destinés au transport des lits.

Classe IV : Ascenseurs destinés principalement au transport des charges qui sont

généralement accompagnées par des personnes.

C’est ainsi que la norme NF-P82-208 a adopté plusieurs types de cabine selon la charge à

transporter et pour notre projet on a opté pour un ascenseur réservée pour 8 personnes, donc

on a une charge nominale de 630Kg pour une vitesse de 1,6m/s.



IV.4.4 Les dimensions de la cabine de l’ascenseur :

Descente des charges :

Charge d’exploitation : Q = 6,30 KN(8 personnes) Charge permanente :

1) Masse de la cabine :

Elle est composée de la somme des masses suivantes :

2 ) Masse de cotés :

La masse de la surface des côtés, augmentée de 15% à raison de 11,5 Kg/m2

3) Masse de la cabine :

Surface latérale 𝑆1:

S1 = (Lc + 2 × Pc) × Hc = (1,10 + (2 × 1,40)) × 2,20 = 8,58 m2

M1 = (11,5 + 0,1 × 11,5) × 8,58 = 1.085 KN

Tableau IV.6 : Les dimensions de l’ascenseur

Dimensions

𝐋𝐜: Largeur de la cabine 1,40m

𝐏𝐜: Profondeur de la cabine 1,40m

𝐋𝐆: Largeur de la gaine 1,60m

𝐏𝐆: Pronfondeur de la gaine: 1,60m

𝐇𝐜: Hauteur de la cabine 2,20m

𝐋𝐩; Largeur du passage libre 0,80m

𝐇𝐩: Hauteur du passage libre 2,00m

e : Épaisseur de la dalle machine 15cm

C : Hauteur de la course 41.98m



4) Masse du plancher 𝐌𝟐:

S2=Lc × Pc = 1,10 × 1,40 = 1,54 m2

M2 = 70 × 1,54 = 1.078 KN

5) Masse du toit 𝐌𝟑:

La masse du toit à raison de 20 Kg/m² :

S3 = Lc × Pc = 1,54 m2

M3 = 20 × 1,54 = 0.308 KN

6) Masse de l’arcade 𝐌𝟒:

La masse de l’arcade à raison de partie fixe de 60 Kg plus 60 Kg/m de largeur de cabine de

300 Kg à 600 Kg de charge :

M4 = 60 + (60 × Lc) = 60 + (60 × 1,10) = 0.126 KN

7) Masse de la porte de la cabine 𝐌𝟓 :

Partie fixe de 80 Kg plus 25 Kg/m² de surface de porte :

M5 = 80 + (25 × 0,80 × 2) = 0.120 KN

8) Masse du parachute 𝐌𝟔:

M6 = 0.100 KN (à prise amortie) ; (V >1m/s)

9) Masse des accessoires 𝐌𝟕 :

M7 = 0.80 KN

10) Masse des poulies de moulage𝐌𝟖:

Deux poulies supplémentaires (30 Kg environ par poulies) :

M8 = 30 × n = 30 × 2 = 0.60 KN(n = 2 poulies)

Donc le poids mort est égal à :

Pm = ∑ Mi8i=1

Pm = 108,54 + 107,80 + 30,8 + 126 + 120 + 100 + 80 + 60 = 7.731 KN

11) Masse du contre poids :

Mp = Pm +Q

2

Avec :



Mp:masse du contre poids

Pm: Poids mort

Q: charge en cabine

Mp = Pm +Q

2= 7.731 +

6.30

2= 10.88 KN

12) Masse du câble :

{D/d= 40 ⇒ d = D/40= 500/40= 12,5 m

Cs = 13

Figure IV.8 : Abaque de détermination des suspentes.

Avec :

D: diamètre de la poulie de moulage pris entre 400 et 800mm.

d : Diamètre du câble.

Cs: coefficient de sécurité (abaque de détermination des suspentes).

Cs =Cr

M⇒ Cr = Cs ×M

M : égal à la somme de la charge utile Q, poids mort Pm et la masse des câbles qui est

considérée comme négligeable par rapport aux deux autres.

Cr : charge de rupture effective.

Cr = Cs ×M ⇒ Cr = 13 × (6.30 + 7.731) = 182.40 KN

Pour obtenir la charge de rupture minimale nécessaire Cm , il convient de faire intervenir le

coefficient de sécurité de câblage qui est égal à 0.85 donc :

Cm =Cr

0.85=

182.40

0.85= 214.59 KN



Cm: Égal aussi

Cm = Cr(cable). n. m

Avec :

M: type de moulage

N: nombre de câble

Cr(Câble) : charge de rupture par câble en fonction du diamètre

d = 12.5 mm ⇒ Cr(câble) = 8152 Kg (voir tableau suivant) :

Caractéristiques des câbles :

Tableau IV.7 : caractéristiques des câbles

Diamètres des

câbles (𝐦𝐦) Diamètres des fils

(𝐦𝐦) Sections (𝐦𝐦𝟐)

Masse

linéaire (𝐊𝐠/𝐦)

Charge admissible

totale 𝐂𝐫(𝐊𝐠)

7.87 0.50 21.05 0.203 3223

9.48 0.60 30.26 0.293 4650

11.00 0.70 41.27 0.396 6232

12.60 0.80 53.34 0.515 8152

14.20 0.90 67.98 0.656 10805

15.50 1.00 83.84 0.810 12830

n =Cm

Cr×m=

214.59

81.52×2= 1.32

On prend : n = 2 câbles

13) Masse totale des câbles 𝐌𝐜:

Mc = ML × n

Avec :

ML:: Masse linéaire du diamètre d’un seul câble d = 12.5mm →ML= 0.515 Kg/ml

C : Course du câble (hauteur du course) ⇒ C = 47.26 m

Mc = 0.515 × 10−2 × 2 × 41,97 = 43.23 KN

14) Masse du treuil :



Mg = 12.00 KN

Résumé :

-Poids mort = 7.731KN

-Masse du câble = 43,23 × 10−2KN

-Masse du contre poids = 10.88 KN

-Treuil en haut + moteur = 12.00 KN

G = 31.04 KN

IV.4.6 Combinaison fondamentale :


qu = 1.35G + 1.5Q = (1.35 × 31.04) + (1.5 × 6.30) = 51.35 KN


qs = G+ Q = 31.04 + 6.30 = 37.34 KN

IV.4.7 Étude du plancher :

a) Vérification de la dalle au poinçonnement :

Il y’a un risque de poinçonnement de la dalle à cause de la force concentrée appliquée a l’un

des appuis de moteur (supposé de 4 appuis), chaque appui prend un quart (1/4) de la charge

totale.

Pour chacun des quatre appuis

qau =

qu

4=

51.36

4 ⇒ qa

u = 12.84 KN

qas =

qs

4=

37.34

4 ⇒ qa

s = 9.33 KN

D’après l’article A 5.2.4. Du B.A.E.L 91 :

Si : qau ≤

0.045×Uc×fc28×h

γb ⇒ Les armatures transversales ne sont pas nécessaire.

Avec :

𝐪𝐮:Charge utile pour chaque appui.

𝐔𝐜: Périmètre du contour au niveau du feuillet moyen défini par L’article A3.25.

𝐡: Epaisseur totale de la dalle 𝐞 = 𝟏𝟓𝐜𝐦



𝐔,𝐕 : Représentent les côtes du rectangle sur lequel la charge Qu s’applique, compte tenu de

la diffusion à 45 degré dans le béton tel que :

{𝐔:Dimension parallèle à Lx𝐕:Dimension parallèle à Ly

(a × b) : Surface d’impact= (10 × 10)

Figure IV.9 : schéma de la surface d’impact

U = V = a + 2 ×h

2= 10 + (2 ×

15

2) = 25 cm

U = V = b + 2 ×h

2= 10 + (2 ×

15

2) = 25 cm

Uc = 2 × U × V = 2 × [25 + 25] = 100 cm

qau = 12.84KN ≤ (

0.045×1000×25×150

1.5)= 112.5 KN ……….. Condition vérifiée

Conclusion : La dalle résiste au poinçonnement

b) Calcul des sollicitations :

L’étude des dalles soumise à des charges localisées sera faite à l’aide des abaques de

PIGEAUT et en plaçant les charges au centre : leur moment sera par mètre linéaire.

{Mx = qa × (M1 + V × M2)

My = qa × (M2 + V ×M1)

Avec :

𝐕: Coefficient de poisson

𝐌𝟏𝐞𝐭𝐌𝟐 : Ses dimensions, sont données à partir des rapports U/Lx ;U/Ly dans les abaques

suivants :



ρ =Lx

Ly

Etat limite ultime (ELU) :

Mxu = qa

u ×M1

Myu = qa

s ×M2

Etat limite de service (ELS) :

Mxser = qa

ser × (M1 + 0.2.M2)

Myser = qa

ser × (M2 + 0.2.M1)

La charge en 𝑚2 sera :

{

Qau =

qau

V × U=12.84

0,252= 205.44 KN/m2

Qaser =

qaser

U × V=9.33

0,252= 149.37 KN/m2

c) Calcul des moments dus aux charges concentrées :

Lorsque la charge n’est pas concentrique, on procède de la façon suivante :

Soit pour Fig. V.5 une dalle de dimension (Lx × Ly) soumise à une charge concentrique

(A) répartie sur un rectangle (U × V).

On divise la dalle en rectangles fictifs donnant les charges symétriques :

- 04 rectangles symétriques A.

- 02 rectangles symétriques B.

- 02 rectangles symétriques C.

- 01 rectangle au centre D.



Figure IV.10 : Schéma de la dalle pleine d’ascenseur.

On divise la dalle en rectangle fictif donnant des charges symétriques comme suite :

I

II

III VI

diII

V

Fig. : c Fig. : d

Fig. : a Fig. : b

UI UII

UIII UVI

VI

VIII

VIV

VII

Figure IV.11: chargement de panneau.



On cherche des moments produits par les rectangles :

I = 2A + 2B + 2C + D Fig. a

II = 2B + D Fig. b

III = 2C + D Fig. c

IV = D Fig. d

Il est évident que les moments produit par la charge non concentrique A seront donnés par :

A =I−II−III−IV

4

ρ =Lx

Ly=

1,90

2.10= 0,90 > 0,4 ⇒ La dalle porte dans les deux sens

Donc :

Mxc =MxI−MxII−MxIII−MxIV

4

Myc =MxI−MxII−MxIII−MxIV

4

Avec :

Mx = (M1 + v.M2) × qu = (M1 + v.M2) × (4 × Qa) ⇒ Mx/4 = (M1 + v.M2) × Qa

Mx = (M2 + v.M1) × qu = (M2 + v.M1) × (4 × Qa) ⇒ My/4 = (M1 + v.M2) × Qa

Q′a = Qa × S

S = U × V



Tableau IV.8 : Tableau récapitulatif des résultats.

/

I II III IV

𝐔 𝐞𝐧 [𝐦} 0.800 0.300 0.800 0.300

𝐕 𝐞𝐧 [𝐦] 0.800 0.800 0.300 0.300

𝐒 𝐞𝐧 [𝐦𝟐] 0.640 0.240 0.240 0.090

𝐔/𝐋𝐱 0.421 0.157 0.420 0.157

𝐕/𝐋𝐲 0.380 0.380 0.142 0.142

𝐌𝟏 0.118 0.178 0.130 0.235

𝐌𝟐 0.098 0.132 0.136 0.208

𝐐,𝐚𝐮 𝐞𝐧 [𝐍] 131483.6 49306.5 49306.5 18489.6

𝐐,𝐚𝐬 𝐞𝐧 [𝐍] 95539.2 35827.2 35827.2 13435.2

𝐌𝐱 𝐮 𝐞𝐧 [𝐍.𝐌] 15515.06 8776.55 6409.84 4415.55

𝐌𝐲 𝐮 𝐞𝐧 [𝐍.𝐌] 12885.39 6508.45 6705.68 3845.83

𝐌𝐱 𝐬𝐞𝐧 [𝐍.𝐌} 11178.08 6377.24 4657.53 3157.27

𝐌𝐲 𝐬 𝐞𝐧 [𝐍.𝐌] 9362.84 4729.19 4872.50 2794.50

𝐌𝐱𝐜 𝐮 𝐞𝐧 [𝐍.𝐌}

8779.25

𝐌𝐲𝐜 𝐮 𝐞𝐧 [𝐍.𝐌]

7486.33

𝐌𝐱𝐜 𝐬 𝐞𝐧 [𝐍.𝐌} 6342.52

𝐌𝐲𝐜 𝐬 𝐞𝐧 [𝐍.𝐌] 5439.75



D) Descentes des charges :

Dalle machine : (ep= 20 cm) ⇒ G = 0,20 × 25 = 5 KN/m2

La dalle n’est pas accessible, alors la surcharge d’exploitation Q = 1 KN/m2

Conditions fondamentales :

Etat limite ultime (ELU) :

qu = 1,35G + 1,5Q

qu = (1,35 × 5 + 1,5 × 1) = 8.25 KN/m2

Pour une bonde de 1m de largeur :

qu = 8.25 × 1 = 8.25 KN/ml

Etat limite de service (ELS) :

qser = G + Q

qser = 5 + 1 = 6 KN/m2

Pour une bande de 1 ml de largeur :

qser = 6 × 1 = 6 KN/ml

e) Détermination des sollicitations :



État limité ultime (ELU) :

A ELU⇒ {Mxu = µx

u. qx. Lx2

Myu = µy

u. Mxu

État limite de service (ELS) :

A ELS ⇒ {Mxu = µx

u. qx. Lx2

Myu = µy

u . Mxu

α =Lx

Ly=

1.9

2.10= 0.90 > 0.4 ⇒ 𝐷𝑜𝑛𝑐 𝑙𝑎 𝑑𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑠

Selon l’annexe E3 de BAEL 91 page 142 en déduit les valeurs des coefficients 𝜇𝑥 𝑒𝑡 𝜇𝑦 :

État limite ultime :

{µx = 0.046µy = 0.778

État limite de service :

{µx = 0.053µy = 0.846

Calcul des moments dus aux charges réparties :


0.5𝑀𝑦

0.75𝑀𝑦

0.5𝑀𝑦

0.5𝑀𝑥

0.75𝑀𝑥

0.5𝑀𝑥

𝐿𝑦 = 2.10

Figure VI.12 : panneau de la dalle.

𝐿𝑥 = 1.9



{Mxu = µx

u. qx. Lx2 = 0.046 × 825 × 1.902 = 136.99 Kg.m

Myu = µy

u. Mxu = 0.778 × 136.99 = 106.578 Kg.m


{Mxu = µx

u . qx . Lx2 = 0.053 × 600 × 1.902 = 114.790 Kg.m

Myu = µy

u. Mxu = 0.846 × 114.790 = 97.112 Kg.m

Moments totaux sollicitant la dalle machine :

Ce sont les moments dus aux charges concentrées et les moments dus aux charges réparties :


{Mxtu = (Mxc

u +Mxu) = (8779.25 + 1369.9) = 10149.15 KN.m

Mytu = (Myc

u +Myu) = (7486.33+ 1065.78) = 8552.11 KN.m


{Mxts = (Mxc

s +Mxs) = (6342.52+ 1147.90) = 7490.42 KN.m

Myts = (Myc

s +Mys) = (5439.75 + 971.12) = 6410.87 KN.m

Moment max en travées : Mt = 0.75 × Mxt

Moment max en appuis : Ma = −0.5 × Myt

Tableau IV.9- Tableau récapitulatif des sollicitations maximales.

𝐌𝐱𝐭𝐮

[KN.m]

𝐌𝐱𝐭𝐬

[KN.m]

𝐌𝐚𝐱𝐮

[KN.m]

𝐌𝐚𝐱𝐬

[KN.m]

𝐌𝐭𝐲𝐬

[KN.m]

𝐌𝐭𝐲𝐬

[KN.m]

𝐌𝐚𝐲𝐮

[KN.m]

𝐌𝐚𝐲𝐬

[KN.m]

Moment

Panneau 7611.84 5617.81 -5074.57 -3745.21 6414.08 4808.15 -4276.05 -3205.43

f) calcul du ferraillage de la dalle pleine :

Sens X-X :

En travée :

A ELU :

Mxtu = 7611.84 N.m

µu =Mtx

b×d2×fbu=

7611.84×10−6

1×0.1352×14.17



µu = 0.0295

µu = 0.0295 < µlim = 0.392 → section sans armature comprimé ( A′ = 0)

α = 1.25 × (1 − √1 − 2µu) = 1.25 × (1 − √1 − 2 × 0.0139))

α = 0.037

β = 1 − 0.4α ⇒ β = 0.985

Atx =Mtx

β×d×σs= (

7611.84×10−6

0.985×0.135×348) × 104 = 1.64 cm2/ml

Condition de fragilité :

Amin = 0.23 × b × d ×ft28

fe= 0.23 × 100 × 13.5 ×

2.1

400

Amin = 1.63 cm2

Choix des barres :

As = max(Acal, Amin) = 1.63 cm2

On adopte : 𝟒𝐓𝟏𝟐 = 𝟒. 𝟓𝟐 𝐜𝐦𝟐 → St = 25 cm

A ELS

Mtxs = 5617.81 N.m

Fissuration peu préjudiciable ⇒ Aucune vérification de σs

Flexion simple

Section rectangulaire sens A′

Acier FeE400

}⇒α ≤γ−1

2+

fc28

100⇒ σb ≤ σb̅̅ ̅ = 0.6 × fc28 = 15 MPa

Avec :

𝛾 =𝑀𝑡𝑢

𝑀𝑡𝑠 =

7611.84

5617.81⇒ 𝛾 = 1.35

1.35−1

2+

25

100= 0.42 > α = 0.037 ⇒ Condition vérifiée.

Conclusion :

σb ≤ σb̅̅ ̅ = 15 MPa ⇒ Les armatures calculées en ELU sont maintenues.

En appuis :

A ELU :

Maxu = − 5074.57 N.m



µu =Max

b×d2×fbu=

5074.57×10−6

1×0.1352×14.17

µu = 0.019

µu = 0.019 < µlim = 0.392 → section sans armature comprimée ( A′ = 0)

𝛼 = 1.25 × (1 − √1 − 2𝜇𝑢) = 1.25 × (1 − √1 − 2 × 0.019))

𝛼 = 0.024

𝛽 = 1 − 0.4𝛼 ⇒ 𝛽 = 0.990

𝐴𝑡𝑥 =Max

𝛽×𝑑×𝜎𝑠= (

5074.57×10−6

0.990×0.135×348) × 104 = 1.09 𝑐𝑚2/𝑚𝑙


Amin = 0.23 × b × d ×ft28

fe= 0.23 × 100 × 13.5 ×

2.1

400

Amin = 1.63 cm2

Choix des barres :



A ELS

Maxs = − 3745.21 N.m


Flexion simple


Acier FeE400

}⇒α ≤γ−1

2+

fc28

100⇒ σb ≤ σb̅̅ ̅ = 0.6 × fc28 = 15 MPa

Avec :

𝛾 =𝑀𝑎𝑢

𝑀𝑎𝑠 =

5074.57

3745.21⇒ 𝛾 = 1.35

1.35−1

2+

25

100= 0.42 > 𝛼 = 0.024 ⇒ Condition vérifiée.

Conclusion :


Sens y-y :

En travée :



A ELU :

Mtyu = 6414.08 N.m

µu =Mty

b×d2×fbu=

6414.08×10−6

1×0.1352×14.17

µu = 0.025


𝛼 = 1.25 × (1 − √1 − 2𝜇𝑢) = 1.25 × (1 − √1 − 2 × 0.025)

𝛼 = 0.031

𝛽 = 1 − 0.4𝛼 ⇒ 𝛽 = 0.987

𝐴𝑡𝑥 =Mty


6414.08×10−6

0.987×0.135×348) × 104 = 1.38 𝑐𝑚2/𝑚𝑙


Amin = 0.23 × b × d ×ft28

fe= 0.23 × 100 × 13.5 ×

2.1

400

Amin = 1.63 cm2

Choix des barres :



A ELS

Mtys = 4808.15 N.m


Flexion simple


Acier FeE400

}⇒α ≤γ−1

2+

fc28

100⇒ σb ≤ σb̅̅ ̅ = 0.6 × fc28 = 15 MPa

Avec :

𝛾 =𝑀𝑡𝑢

𝑀𝑡𝑠 =

6414.08

4808.15⇒ 𝛾 = 1.33

1.33−1

2+

25


Conclusion :




En appuis :

A ELU :

Mxtu = −4276.05 N.m

µu =May

b×d2×fbu=

4276.05×10−6

1×0.1352×14.17

µu = 0.016


𝛼 = 1.25 × (1 − √1 − 2𝜇𝑢) = 1.25 × (1 − √1 − 2 × 0.016))

𝛼 = 0.031

𝛽 = 1 − 0.4𝛼 ⇒ 𝛽 = 0.987

𝐴𝑡𝑥 =May


4276.05×10−6

0.987×0.135×348) × 104 = 0.92 𝑐𝑚2/𝑚𝑙


Amin = 0.23 × b × d ×ft28

fe= 0.23 × 100 × 13.5 ×

2.1

400

Amin = 1.63 cm2

Choix des barres :



A ELS

𝑀𝑡𝑥𝑠 = −3205.43 𝑁.𝑚


Flexion simple


Acier FeE400

}⇒α ≤γ−1

2+

fc28

100⇒ σb ≤ σb̅̅ ̅ = 0.6 × fc28 = 15 MPa

Avec :

𝛾 =𝑀𝑎𝑢

𝑀𝑎𝑠 =

4276.05

3205.43⇒ 𝛾 = 1.33

1.33−1

2+

25


Conclusion :




Vérification des contraintes de cisaillement :

Calcul de 𝐓𝐮 max :

Txu = qa

u + qu ×Lx

2

Txu = 12.84 + 8.25 ×

1.90

2= 20.67 KN

Calcul de 𝐓𝐮 :

Tu =Tmaxu

b×d=

20.67×10−3

1×0.135= 0.15 MPa

τu̅̅̅ = 0.05 × fc28 = 1.25 MPa

τu = 0.12 MPa < τu̅ = 1.25 MPa

Il n′y a pas de reprise de bétonnage}

⇒ Les armatures transversales ne sont pas nécéssaire


Condition de la flèche :[ BAEL 91/B.7.5] :

hd

Lx>

Mtxs

20.Mtxs

ρ =A

b×dx<

2

fe

Vérification si la flèche est nécessaire :

hd

Lx>

Mtxs

20.Mtxs ⇒

hd

Lx=

15

1.90. 0.079 >

5617.81

20×7490.42= 0.037………C. V

ρ =A

b×dx<

2

fe⇒

4.52

100×13.5= 0.0033 <

2

400= 0.005………C. V

Les 02 conditions sont vérifiées, donc le calcul de la flèche n’est pas nécessaire

Conclusion :

Dans le présent chapitre, nous avons jeté un coup d’œil sur tous les éléments qui concernent

l’ascenseur, et quelques méthodes de calcul soit les éléments : électriques, mécaniques et

électromécaniques, surtout la partie de la machine qui joue un rôle très intéressant.

Chapitre V

Etude sismique

Chapitre V Etude sismique


V Étude sismique :

V.1 Introduction :

Le séisme est un phénomène naturel, qui peut induire des dégâts naturels et humains

s’accompagne d’une libération soudaine d’une grande quantité d’énergie qui se traduit en

surface par des vibrations du sol, caractérisé par des secousses qui propagent sous forme

d’ondes dites « onde sismique ».

V.2 L’objectif de l’étude dynamique :

C’est la détermination de la caractéristique dynamique propre, prenant en considération le

comportement en vibration libre non-amortie, de ceci nous pouvons calculer les efforts et les

déplacements maximum au cours d’un séisme.

Le calcul de l’étude dynamique est souvent très complexe, C‘est pour cela la majeur partie du

temps on utilise la modélisation qui nous autorise de simplifier les problèmes pour pouvoir les

analyser.

La modélisation ce fait a l’aide d’un logiciel Autodesk Robot Structural Analyse

V.3 Définition de logiciel Autodesk robot Structural Analyse :

Logiciel robot permet d’exécuter rapidement des analyses et des simulations détaillées de

nombreuse structure et il est capable de calculer des modèles les plus complexes et de vérifier

les résultats obtenus.

V.4 Les étapes de modélisation :

La modélisation et le dimensionnement d’une structure se fait en différentes étapes :

1- La modélisation géométrique de la structure et de son chargement dans un premier

temps.

2- Description des propriétés des matériaux et des sections des éléments : les propriétés

du béton (Chapitre I).

3- Chargement de la structure :

- Charge permanente G : la charge permanente distribuée par les poutres

principales et secondaires.

- Charge d’exploitation Q : ce sont les charges distribuées par les poutres.

- Les forces sismiques E : contient les masses concentrées au centre de gravité de

chaque niveau et le spectre de réponse selon (X et Y).

4- Le calcul des combinaisons de charge ensuite, en tenant compte de la réglementation :



a. 1.35G+1.5Q

b. G+Q

c. 0.8 G±E

d. G+Q±E

e. G+Q±1,2 E

5- La vérification de tous les éléments contenus dans la structure.

6- Lancement de l’analyse.

7- Interprétation des résultats.

Figure V.1 : Modélisation de la structure

V.5 Choix de la méthode de calcul :

Le RPA.99 version 2003 propose 03 méthodes de calculs de sollicitations :



1) La méthode statique équivalente.

2) La méthode d’analyse modale spectrale.

3) La méthode d’analyse dynamique par accélérogrammes.

La méthode statique équivalente :

La méthode consiste à remplacer les forces dynamiques qui se développent dans la structure

par des forces statiques fictives dans les effets sont considérés équivalents à ceux de l’action

sismique.

Les forces sismiques équivalentes sont appliquées dans le plan horizontal et considérées

suivant deux directions orthogonales, généralement sont les axes principaux du plan

horizontal de la structure.

Vérification des conditions de la méthode statique équivalente :

Régularité en plan :

Lx

Ly=

23.70

20,10= 1,17 < 4 Condition vérifiée

Sens-X : l1+l2

Lx≤ 0,25 ⇒

1.50+1.50

23.70= 0.12 < 0,25 condition vérifiée.

Sens-Y : l1+l2

Ly≤ 0,25 ⇒

4.10+4.10

20.10= 0.40 > 0,25 condition non vérifiée.

La régularité en plan selon RPA.99 fig3.2n’est pas vérifier.

Régularité en élévation:

Sens-X : BMx

Bx≥ 0,67 ⇒

23.70

23.70= 1 > 0,67 condition vérifiée.

Sens-Y : BMy

By≥ 0,67 ⇒

23.10

20,10= 1.14 > 0,67 condition vérifiée.

La régularité en élévation selon RPA.99 fig.33 est vérifiée.

La conclusion :

Les conditions de la méthode statique équivalente ne sont pas vérifier, donc on va appliquer la

méthode dynamique modale spectrale.



Méthode dynamique modale spectrale :

L’analyse dynamique se prête probablement mieux à une interprétation réaliste du

comportement d’un bâtiment soumis à des charges sismiques que le calcul statique prescrit

par les codes. Elle servira surtout au calcul des structures dont la configuration est complexe

ou non courante et pour lesquelles la méthode statique équivalente reste insuffisante ou

inacceptable ou autre non-conforme aux conditions exigées par le RPA 99/version2003 pour

un calcul statique équivalent.

Hypothèse de calcul pour cette méthode :

Les planchers et les fondations doivent être rigides dans leurs plans (vis-à-vis des

déplacements horizontaux).

Les masses sont supposées concentrées au niveau du plancher.

seuls les déplacements horizontaux des nœuds sont pris en compte.

Le minimum de modes à retenir est de trois (3) dans chaque direction considérée.

Par cette méthode, il est recherché, pour chaque mode de vibration le maximum des effets

engendrés dans la structure par les forces sismiques représentées par un spectre de réponse de

calcul suivant



Figure V. 2 : Spectre de réponse.

V-6) CALCUL DE LA FORCE SISMIQUE TOTALE :

La force sismique totale V, appliquée à la base de la structure, calculée dans directions

horizontales orthogonales selon la formule 4.1 de RPA2003.

𝐕 =𝐀. 𝐃. 𝐐

𝐑. 𝐖

A : coefficient d’accélération de zone, donnée par le tableau 4.1 de RPA2003 suivant la zone

sismique et le groupe d’usage du bâtiment

D : facteur d’amplification dynamique qui dépend de la catégorie du site, de la période

fondamentale de la structure « T » et du facteur de correction d’amortissement « η » (formule

4.2 de RPA2003).

Q : facteur de qualité (formule 4.4 de RPA2003).

R : coefficient de comportement globale de la structure (tableau 4.3 de RPA2003).



W : poids totale de la structure.

Coefficient d’accélération de zone A :

Zone «III »a Alger, groupe d’usage « 2 »A = 0,25 (tableau 4.1 RPA2003).

Facteur d’amplification dynamique D :

D = {

2.5η 0 ≤ T ≤ T2

2.5η (T2 T⁄ )(2 3)⁄ T2 ≤ T ≤ 3 s

2.5η(T2 3)⁄ (2 3)⁄(3 T)⁄ (5 3)⁄

T ≥ 3 s

T2 : période caractéristique associée a la catégorie du site (tableau 4.7 de RPA2003).

η: facteur de correction d’amortissement (formule 4.3 de RPA2003)

η = √7/(2 + ε) ≥ 0,7

Où est le pourcentage d’amortissement critique fonction du matériau constitutif (tableau 4.2

de RPA2003) ε = 7 béton armée remplissage dense.

η = √7/(2 + 7) = 0.88 ≥ 0.7 ….. Condition vérifiée.

Estimation de la période fondamentale de la structure :

Les deux formules empiriques: (formule RPA.99)

𝑻 = 𝟎. 𝟎𝟗 ×𝒉𝒏

√𝑫

𝐓 = 𝐂𝐓 . 𝐡𝐧𝟑/𝟒

hn : La hauteur totale de la structure (hn = 39.78 m ).

D : la dimension du bâtiment mesurée à la base dans la direction de calcul considérée.

CT : coefficient fonction de système de contreventement et de type de remplissage (tableau 4.6

de RPA.99)

CT = 0,050 (contreventement assuré partiellement ou totalement par des voiles en béton armé,

des palés triangulaire et des murs en maçonnerie).

Sens- X {𝑇 = CT. hn

3/4 = 0.050 × 39.783 4⁄ = 0.79

𝑇 = 0.09 ×ℎ𝑛

√𝐷= 0.09 ×

39.78

√23.70= 0.73



Sens-Y {𝑇 = CT . hn

3/4 = 0.050 × 39.783 4⁄ = 0.79

𝑇 = 0.09 ×ℎ𝑛

√𝐷= 0.09 ×

39.78

√20.10= 0.80

On prend la valeur minimale :

TX = 0.73 s.

𝑇𝑌 = 0.79 𝑠.

D = {

2.5η 0 ≤ T ≤ T2

2.5η (T2 T⁄ )(2 3)⁄ T2 ≤ T ≤ 3 s

2.5η(T2 3)⁄ (2 3)⁄(3 T)⁄ (5 3)⁄

T ≥ 3 s

D’après le RPA.99(𝐓𝐚𝐛𝐥𝐞𝐚𝐮 𝟒. 𝟕),Site meuble(S3) {𝑇1 = 0.15 𝑠 .𝑇2 = 0.50 𝑠.

Sens-X :TX = 0.73 s ⟹T2 ≤ T ≤ 3 s

DX = 2.5η (T2 T⁄ )(2 3)⁄ ⟹ DX = 2.5 × 0.88 × (0.50

0.73)

2 3⁄

DX = 1.69

Sens-Y:TY = 0.79 s ⟹T2 ≤ T ≤ 3 s

DY = 2.5η (T2 T⁄ )(2 3)⁄ ⟹ DY = 2.5 × 0.88 × (0.50

0.79)

2 3⁄

DY = 1.60

Le facteur de qualité Q :

(Formule 4.4 de RPA2003)

𝐐 = 𝟏 + ∑ 𝐩𝐪

𝟔

𝐪=𝟏

.

Avec pq : valeur de pénalité :(voir tableau 4.4 de RPA2003)



Tableau VI.1 : valeur des pénalités Pq .

Critère de qualité q

Pq

Sens-X

Sens-Y

Condition minimale sur les files de contreventement 0,05 0,05

Redondance en plan 0.05 0.05

Régularité en plan 0 0.05

Régularité en élévation 0 0

Contrôle de la qualité des matériaux 0,05 0,05

Contrôle de la qualité d’exécution 0,1 0,1

𝐐 = 𝟏 + ∑ 𝐩𝐪

𝟔

𝐪=𝟏

1,25 1,30

Le coefficient de comportement R :

R = 5 (Un contreventement mixte voiles- portiques avec justification de l’interaction).

Poids totale de la structure :

Wi = ∑ WGi + β . WQi

Avec :

Wi : Le poids concentré au niveau du centre de masse du plancher.

WGi : Poids dû aux charges permanentes.

WQi : Surcharge d’exploitation.

𝛽: C’est le coefficient de pondération il est fonction de le type d’ouvrage et de la charge

d’exploitation, pour les étages a usage d’habitation β = 0.2 (tableau 4.5RPA.99).

V.7 Les résultats de l’analyse dynamique :

Les poteaux :



Tableau V.2 : tableau section des poteaux.

Les étages

Sections pré dimensionnées

Section finale

RDC

45 × 45

60 × 60

01

45 × 45

60 × 60

02

45 × 45

60 × 60

03

40 × 40

55 × 55

04

40 × 40

55 × 55

05

40 × 40

55 × 55

06

35 × 35

50 × 50

07

35 × 35

50 × 50

08

35 × 35

50 × 50

09

35 × 35

45 × 45

10

35 × 35

45 × 45

11

35 × 35

45 × 45

12

35 × 35

45 × 45

Les poutres :

Tableau V-3 : tableau section des poutres.

Les poutres Section pré dimensionnée Section finale

Poutre principale 30 × 45 35 × 45

Poutre secondaire 30 × 35 30 × 40



Les résultats donnés par le robot :

Tableau V.4 : résultats par robot.

Mode Période

[sec] Masse cumulée

UX % Masse cumulée

UY %

Masse modale

UX %

Masse modale UY %

Masse totale [t]

01 0,75 68,79 0,00 68,79 0,00 6616,09

02 0,73 68,79 67,13 0,00 67,13 6616,09

03 0,56 69,75 67,13 0,96 0,00 6616,09

04 0,23 84,90 67,13 15,15 0,00 6616,09

05 0,20 84,90 84,81 0,00 17,68 6616,09

06 0,17 84,90 85,91 0,00 1,11 6616,09

07 0,17 85,20 85,91 0,30 0,00 6616,09

08 0,16 85,44 85,91 0,24 0,00 6616,09

09

0,12 85,85 85,91 0,41 0,00 6616,09

10

0,11 90,92 85,91 5,06 0,00 6616,09

11 0,09 90,92 91,93 0,00 6,02 6616,09

12 0,08 91,29 91,93 0,37 0,00 6616,09

Les modes nécessaires :

Le premier mode :



Le deuxième mode :



Le troisième mode :

V.8 Analyse des résultats :

V.8.1 Vérifications de la résultante des forces sismique :

W = 66160.90 KN

Vérification si ∶ 𝑉𝑡 < 0.8𝑉.

𝐯 =𝑨 × 𝑫 × 𝑸

𝑹× 𝑾

Sens x :

𝑉𝑋 = (0.25×1.69×1.25

5) × 66160.90 = ⟹ 0.8 × 6988.24 = 5590.59 KN

VDyn > 0.8𝑉 ⟹ 6207,33KN > 5590.59 𝐾𝑁…. CV.

Sens Y :

𝑉𝑌 = (0.25×1.60×1.30

5) × 66160.90 = ⟹ 0.8 × 6880.73 = 5504.58 KN

VDyn > 0.8𝑉 ⟹ 6521,62KN > 5504.58 KN…. CV.



V.8.2 Vérification de la période : [RPA99version 2003/4.2.4.4] :

Sens x :

𝑇𝑑𝑦𝑛 𝑋 = 0.75 < 𝑇𝑠𝑡𝑠 𝑋 = 0.73 × 1.3 = 0.94……CV

Sens Y :

𝑇𝑑𝑦𝑛 𝑋 = 0.75 < 𝑇𝑠𝑡𝑠 𝑋 = 0.79 × 1.3 = 1.02……CV

V.8.3 Vérification de l’effort normal réduit :

L’effort normal réduit doit être vérifié pour éviter l’écrasement du béton, limiter le risque de

rupture fragile sous sollicitations d’ensemble dues au séisme, l’effort normal de compression

de calcul est limité par la condition suivante (7.2 de RPA2003).

𝐯 =𝐍𝐝

𝐁𝐜𝐟𝐜𝟐𝟖

≤ 𝟎, 𝟑𝟎

Nd : l’effort normal de calcul (N).

Bc : section brute de calcul (m²).

fc28 : la résistance caractéristique du béton fc28 = 25 Mpa.

Tableau V.5 : Vérification de l’effort normal réduit au niveau des poteaux.

Niveau (A×B) (𝐜𝐦𝟐)

𝐁𝐜 (𝐜𝐦𝟐)

𝐍𝐝 (KN)

𝐍𝐝

𝐁𝐜 . 𝐟𝐜𝟐𝟖 𝐕 =

𝐍𝐝

𝐁𝐜 . 𝐟𝐜𝟐𝟖≤ 𝟎. 𝟑𝟎

9+10+11+12étages (45 × 45) 2025 666.69 0.13 Vérifier

6+7+8 étages (50 × 50) 2500 1257.85 0.20 Vérifier

3+4+5 étages (55 × 55) 3025 1905.07 0.25 Vérifier

RDC + 1+2 étages (60 × 60) 3600 2589.84 0.28 Vérifier



V.8.4 Vérification de déplacement :

Selon le RPA99 2003 Les déplacements relatifs inter étage ne doivent pas dépasser les

1% 𝐡𝐞 .

Les déplacements sont calculés par la formule définie par le RPA99 2003 :

𝛅𝐊 = 𝐑 × 𝛅𝐞𝐤

𝜹𝑲 : Déplacement horizontal au niveau k.

R : Le coefficient de comportement.

𝜹𝒆𝒌 : Déplacement horizontal dû aux forces sismiques obtenues par robot2014.

Le déplacement horizontal relatif au niveau (K) par rapport au niveau (K-1) est égal :

∆𝐤= 𝛅𝐤 − 𝛅𝐤−𝟏



Tableau V.6 : Vérifications des déplacements.

𝛅𝐤 = 𝐑 × 𝛅𝐞𝐤

(cm)

∆𝒌= 𝜹𝒌 − 𝜹𝒌−𝟏

(cm)

𝐕𝐞𝐫𝐢𝐟𝐢𝐜𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧

Sens X Sens Y Sens X

Sens Y

< 𝟏%𝐡𝐞 = 𝟑. 𝟎𝟔

Niveau 𝐡𝐞

(cm)

12 306 13.50 14.20 0.90 1.10 Vérifier

11 306 12.70 13.0 1.0 1.20 Vérifier

10 306 11.70 11.80 1.10 1.30 Vérifier

09 306 10.70 10.50 1.20 1.30 Vérifier

08 306 9.50 9.20 1.20 1.30 Vérifier

07 306 8.30 7.90 1.30 1.30 Vérifier

06 306 7.10 6.60 1.30 1.30 Vérifier

05 306 5.80 5.30 1.30 1.20 Vérifier

04 306 4.50 4.10 1.20 1.20 Vérifier

03 306 3.30 2.90 1.10 1.0 Vérifier

02 306 2.20 1.90 1.0 0.90 Vérifier

01 306 1.20 1.0 0.80 0.70 Vérifier

RDC 306 0.40 0.40 0.40 0.40 Vérifier

V.8.5 Vérification de l’effet P-Delta :

Les effets de second ordre (ou effet P-Δ) peuvent être négligés dans le cas des bâtiments ou la

condition suivante est satisfaite à tous les niveaux :

𝛉 =𝐏𝐤×∆𝐤

𝐕𝐤×𝐡𝐤≤ 𝟎. 𝟏𝟎 RPA99/V2003 (Article 5.9)



𝐏𝐤 : Poids total de la structure et des charges d’exploitations associes au-dessus du niveau (k).

𝐕𝐤 : Effort tranchant d’étage au niveau k.

∆𝒌 : Déplacement relatif du niveau k par rapport au niveau k-1.

𝐡𝐤: Hauteur d’étage (k).

- Si 𝟎, 𝟏𝟎 < 𝛉𝐤 < 𝟎, 𝟐𝟎 les effets P-peuvent être pris en compte de manière approximative

en amplifiant les effets de l’action sismique calculés au moyen d’une analyse élastique du 1°

ordre par le facteur 𝟏

(𝟏−𝛉𝐤)

- Si 𝜃𝑘 > 0.20 la structure est partiellement instable et doit être redimensionnée.



Sens x :

Tableau V.7 : Vérifications P delta sens x.

Etage H

(m)

W

(KN)

𝐏𝐤

(KN)

∆𝐤

(m)

𝐕𝐤

(KN) 𝛉 observation

RDC 3.06 5584.20 69085.30 0.004 6186,39 0.014 Vérifier

01 3.06 5584.20 63501.10 0.008 6123,96 0.026 Vérifier

02 3.06 5584.20 57916.90 0.010 5963,61 0.031 Vérifier

03 3.06 5381.70 52332.70 0.012 5722,84 0.035 Vérifier

04 3.06 5402.80 46951.0 0.012 5424,11 0.033 Vérifier

05 3.06 5402.80 41548.20 0.013 5067,79 0.034 Vérifier

06 3.06 5217.90 36145.40 0.013 4653,60 0.032 Vérifier

07 3.06 5217.90 30927.50 0.013 4175,84 0.031 Vérifier

08 3.06 5217.90 25709.60 0.01 3631,57 0.023 Vérifier

09 3.06 4950.40 20491.70 0.012 3034,29 0.026 Vérifier

10 3.06 4950.40 15541.30 0.011 2361,68 0.023 Vérifier

11 3.06 4950.40 10590.90 0.010 1549,33 0.022 Vérifier

12 3.06 5640.50 5640.50 0.009 1563,67 0.010 Vérifier



Sens Y :

Tableau V.8 : Vérifications P delta sens y.

Etage H

(m)

W

(KN)

𝐏𝐤

(KN)

∆𝐤

(m)

𝐕𝐤

(KN) 𝛉 0.0

RDC 3.06 5584.20 69085.30 0.004 6502,15 0.013 Vérifier

01 3.06 5584.20 63501.10 0.007 6424,41 0.022 Vérifier

02 3.06 5584.20 57916.90 0.009 6241,05 0.027 Vérifier

03 3.06 5381.70 52332.70 0.010 5982,95 0.028 Vérifier

04 3.06 5402.80 46951.0 0.012 5677,42 0.032 Vérifier

05 3.06 5402.80 41548.20 0.012 5319,25 0.031 Vérifier

06 3.06 5217.90 36145.40 0.013 4900,91 0.030 Vérifier

07 3.06 5217.90 30927.50 0.013 4416,04 0.029 Vérifier

08 3.06 5217.90 25709.60 0.013 3863,72 0.028 Vérifier

09 3.06 4950.40 20491.70 0.013 3256,86 0.026 Vérifier

10 3.06 4950.40 15541.30 0.013 2565,04 0.025 Vérifier

11 3.06 4950.40 10590.90 0.012 1706,76 0.024 Vérifier

12 3.06 5640.50 5640.50 0.011 1632,51 0.012 Vérifier

Dans ce cas l’effet 𝑃 − ∆ est négligeable dans les deux sens X et Y.



V.8.6 Vérification de renversement :

𝐌𝐬

𝐌𝐫

=∑(𝐰𝐤 × 𝐛𝐢)

∑(𝐅𝐤 × 𝐡𝐤)≥ 𝟏. 𝟓𝟎

Ms : Moment de stabilité.

Mr : Moment de renversement.

wk : Le poids de chaque niveau.

Fk : La somme des forces sismique a la base.

hk : La hauteur d’étage.

bi : Centre de gravité de la structure plus 1 m.

Sens-X :

Tableau V.9 : Vérifications renversement Sens x.

Niveaux 𝐡𝐤 W 𝐛𝐢 𝐅𝐤 𝐌𝐫 𝐌𝐬

RDC 3.06 5584.20 10.20 294.82 868.91 56958,84

01 6.12 5584.20 10.20 366.37 2242.18 56958,84

02 9.18 5584.20 10.20 472.58 4338.28 56958,84

03 12.24 5381.70 10.20 589.66 7217.43 54893,34

04 15.30 5402.80 10.20 737.27 11280.23 55108,56

05 18.36 5402.80 10.20 916.74 16831.34 55108,56

06 21.42 5217.90 10.20 1066.09 22643.75 53222,58

07 24.48 5217.90 10.20 1263.55 30931.70 53222,58

08 27.54 5217.90 10.20 1499.38 41292.92 53222,58

09 30.60 4950.40 10.20 1563.28 47836.36 50494,08

10 33.66 4950.40 10.20 1970.54 66328.37 50494,08

11 36.72 4950.40 10.20 2247.18 82516.44 50494,08

12 39.78 5640.50 10.20 2326.20 92536.23 57533,1

∑(𝐾𝑁)

426864.14

704670,06



𝐌𝐬

𝐌𝐫=

704670.06

426864.14= 𝟏. 𝟔𝟓 ≥ 𝟏. 𝟓𝟎……….CV

La condition du renversement est vérifiée suivant X.

Sens-Y :

Tableau V.10 : Vérifications renversement Sens y.

Niveaux 𝐡𝐤 W 𝐛𝐢 𝐅𝐤 𝐌𝐫 𝐌𝐬

RDC 3.06 5584.20 10.34 182.32 557.89 57740,628

01 6.12 5584.20 10.34 245.63 1503.25 57740,628

02 9.18 5584.20 10.34 369.40 3391.09 57740,628

03 12.24 5381.70 10.34 444.57 5441.53 55646,778

04 15.30 5402.80 10.34 658.15 10069.69 55864,952

05 18.36 5402.80 10.34 854.36 15682.19 55864,952

06 21.42 5217.90 10.35 983.24 20884.01 54005,265

07 24.48 5217.90 10.35 1121.45 27453.09 54005,265

08 27.54 5217.90 10.35 1275.69 35132.50 54005,265

09 30.60 4950.40 10.36 1455.30 44532.18 51286,144

10 33.66 4950.40 10.36 1654.46 55689.12 51286,144

11 36.72 4950.40 10.36 1968.10 72268.63 51286,144

12 39.78 5640.50 10.36 2136.84 85003.49 58435,58

∑(𝐾𝑁)

377150.77

714908,373

𝐌𝐬

𝐌𝐫=

714908.373

377150.77= 𝟏. 𝟖𝟗 ≥ 𝟏. 𝟓𝟎……….CV

La condition du renversement est vérifiée suivant Y.

Chapitre VI

Etude des

portiques

Chapitre VI Étude des portiques


VI.1 Introduction :

Après avoir calculé les sollicitations, Nous allons étudier le ferraillage des éléments

structuraux (poteaux, poutres), à travers le logiciel d’analyse des structures (ROBOT 2014) ,

Qui a pour but la détermination des différents efforts internes des sections des éléments pour

différentes combinaisons de calcul, nous proposons de déterminer les sections d’aciers

nécessaires à la résistance et à la stabilité des éléments constructifs de notre ouvrage. Le

calcul des sections sera mené selon les règles du calcul de béton armé (C.B.A.93 et

R.P.A.99/V2003 et BAEL91 revisées99).

VI.2 Définitions :

Poteaux :

Ce sont des éléments porteurs chargés de reprendre les charges et surcharges issues des

différents niveaux pour les transmettre au sol par l’intermédiaire des fondations, leur rôle est

destiné à reprendre les actions horizontales dues aux séismes et aux vents et aux efforts

ramenés par les poutres , les sollicitations sont faites en flexion composée ou compression

simple.

Flexion composée :

Une section est sollicitée à la flexion composée lorsqu’elle est soumise à :

Un moment fléchissant (M)

Effort normal (N)

Effort tranchant (T)

Une section soumise à la flexion composée peut être l'une des trois cas suivants :

Section entièrement tendue SET

Section entièrement comprimée SEC

Section partiellement comprimée SPC

Poutres :

Les poutres sont des éléments porteurs horizontaux chargés de reprendre les charges et les

surcharges se trouvant sur les planchers pour les retransmettre aux poteaux. Leur mode de

sollicitation est la flexion simple, étant donné qu’elles subissent des efforts normaux très

faibles.

Flexion simple :

Une section est sollicitée en flexion simple lorsqu’elle est soumise à :

Un moment fléchissant (M)

Un effort tranchant (T)

Portiques :

C’est l’assemblage entre les poteaux et les poutres



Combinaisons d’actions :

Les combinaisons d'actions permettent de regrouper dans un même cas de charge plusieurs

actions différentes en supposant que chaque charge variable doit être, au moins une fois, une

charge dominante et les autres des charges d'accompagnement.

Pour faire le calcul nous distinguons les types de combinaisons suivantes :

Combinaisons fondamentales :

Selon le règlement BAEL91 (situation durable) :

{ELU : 1.35G + 1.5Q ELS ∶ G + Q

Combinaisons accidentelles :

Selon RPA 99 (situation accidentelle) :

{G + Q ± E0.8 G ± E

VI.3 : Ferraillage des poutres :

Les armatures sous l’effet des sollicitations les plus défavorables seront calculés à l’état

limite ultime.

Puis à l’état limite de service, Le calcul doit satisfaire les conditions de RPA 99 et BAEL

91.

On a deux types de poutres à étudier :

- Poutres principales (35× 𝟒𝟓).

- Poutres secondaires (30× 𝟒𝟎).

Recommandation exigées par le RPA99 (Version 2003) :

Armatures longitudinales :

1- Les armatures longitudinales doivent être à haute adhérence, et sans crochets.

2- Leur pourcentage totale minium sur toute la poutre sera de 0,7% en (zone III).

3 - Leur pourcentage total maximum sera de 4% en zone courante, et 6% en zone de

recouvrement.

4 -L’ancrage supérieur et inférieur dans les poteaux de rive et d’angle doit être effectué

conformément à la figure RPA 99 (Fig. 7.5) avec des Crochets à 90°.

5- La longueur minimale de recouvrement est de : 50 Ø en (zone III).



6- Les cadres des nœuds sont constitués de « 2U » superposés formant un carré ou un

rectangle.

7- On doit avoir un espacement maximum de 10 cm entre deux cadres et un minimum de trois

cadres par nœud.

8- Les poutres supportant de faibles charges verticales et sollicitées principalement par les

forces latérales sismiques doivent avoir des armatures symétriques avec une section en travée

au moins égale à la moitié de la section sur appui.

Armatures transversales : 1- La quantité d'armatures transversales minimales est donnée par : Atmin = 0.003 × s × b

2- L'espacement maximum entre les armatures transversales est déterminé comme suit :

{St = min (

h

4; 12∅1) … … … … en zone nodale

St ≤h

2… … … … … en zone courante

Avec :

b : largeur de la section.

h : la hauteur de la section.

St : L’espacement des armatures transversales.

∅1: Le diamètre utilisé le plus petit.

Recommandations exigées par le BAEL 91 Révisé 99 :

{Amin ≥ 0.23 × b × d ×fc28

fe… … … … … . . la condition de non fragilité

- Le pourcentage minimal des armatures longitudinales :

{Amin ≥ 0.001 × b × h

- Le diamètre des armatures transversales :

φt ≤ Min (h

35; φI;

b

10)

Avec :

φt : Diamètre des armatures transversales

φI : Diamètre des armatures longitudinales



Les armatures longitudinales sont déterminées sous deux cas de sollicitations suivantes :

1ercas : 𝐍𝐦𝐚𝐱 → 𝐍𝐜𝐨𝐫𝐫𝐞𝐬𝐩𝐞𝐧𝐝𝐚𝐧𝐭

2èmecas : 𝐌𝐦𝐚𝐱 → 𝐌𝐜𝐨𝐫𝐫𝐞𝐬𝐩𝐞𝐧𝐝𝐚𝐧𝐭

Tableau VI.1: tableau récapitulatif des prescriptions du RPA.

𝐀𝐦𝐢𝐧 𝐑𝐏𝐀

𝐜𝐦𝟐

𝐀𝐦𝐢𝐧 𝐁𝐀𝐄𝐋

𝐜𝐦𝟐

𝐀𝐦𝐚𝐱 𝐑𝐏𝐀

𝐜𝐦𝟐

Zone courante

𝐀𝐦𝐚𝐱 𝐑𝐏𝐀

𝐜𝐦𝟐

Zone de

recouvrement

Poutre

principale

(𝟑𝟓 × 𝟒𝟓)

7,875 1.46 63 94.5

Poutre

secondaire (𝟑𝟎 × 𝟒𝟎)

6 1.30 48 72

VI.3.1 Calcul des sollicitations :

Les efforts (M et N) obtenus avec le logiciel ROBOT 2014 sont récapitulés dans les tableaux

suivants :

Tableau VI-2 : Tableau récapitulatif des moments fléchissant et des efforts tranchants

²

Moment en appuis (KN. m) Moment en travée (KN. m)

Effort

tranchant

T (KN)

𝐌𝐚𝐮 𝐌𝐚

𝐬 𝐌𝐚𝐚𝐜𝐜 𝐌𝐭

𝐮 𝐌𝐭𝐬 𝐌𝐭

𝐚𝐜𝐜 T

Poutre

principale

(𝟑𝟓 × 𝟒𝟓)

79.57 57.76 162.23 72.90 52.88 158.80 113.08

Poutre

secondaire (𝟑𝟎 × 𝟒𝟎)

76.62 55.64 149.58 44.46 32.26 117.62 111.22

VI.3.2 : Exemple de calcul :

Ferraillage longitudinal :

Béton : γb = 1.5 ; fc28 = 25 MPa ; σbc14.17 MPa



Acier : γs = 1.15 ; FeE400 ; σs = 348 MPa

h = 45 cm ; b = 35 cm

Ferraillage en appuis :

État limite ultime (ELU):

Mau = 79.57 KN. m

µbu =Ma

u

b×d2×σbc=

79.57×10−3

0.35×0.4052×14.17= 0.097

µbu = 0.097 < µlim = 0.392 → section sans armature comprimé (A′ = 0)

α = 1,25(1 − √1 − 2µ = 1.25 × (1 − √1 − 2 × 0.097)) = 0.12

z = d × (1 − 0.4α) = 0.405 × (1 − (0.4 × 0.12)) = 0.38

As cal =Ma

u

σs×z= (

79.57×10.−3

348×0.38) × 104 = 6.01 cm2

État limite de service (ELS) :

Mas = 57.76 KN. m


Flexion simple


Acier FeE400

} ⇒α ≤γ−1

2+

fc28

100⇒ σb ≤ σb̅̅ ̅ = 0.6 × fc28 = 15 MPa

Avec :

γ =Ma

u

Mas =

79.57

57.76⇒ γ = 1.37

1.37−1

2+

25


Conclusion :

σb ≤ σb̅̅ ̅ = 15 MPa ⇒ Les armatures calculées a ELU sont maintenues.

Situation accidentelle :

Maacc = 162.23 KN. m

45 cm

A

35 cm



μu

=Ma

acc

b×d2×σbc=

162.23×10−3

0.35×0.4052×18.48= 0.15

μu

= 0.15 < μlim

= 0.392 → section sans armature comprimé ( A′ = 0)

α = 1.25 × (1 − √1 − 2μu) = 1.25 × (1 − √1 − 2 × 0.15)) = 0.20

z = d × (1 − 0.4 × α) = 0.405 × (1 − (0.4 × 0.20)) = 0.37

As cal =Ma

acc

z×σs= (

162.23×10−3

400×0.37) × 104 = 𝟏𝟎. 𝟗𝟔 𝐜𝐦𝟐

At = max (As cal ; As acc ; Amin RPA ; Amin

BAEL) = 10.96

Choix des armatures : 𝟔𝐓𝟏𝟔 = 𝟏𝟐. 𝟎𝟔 𝐜𝐦𝟐

1- Ferraillage en travée :

État limite ultime (ELU) :

Mtu = 72.90 KN. m

µbu =Mt

u

b×d2×σbc=

72.90×10−3

0.35×0.4052×14.17= 0.089

µbu = 0.089 < µlim = 0.392 → section sans armature comprimé (A′ = 0)

α = 1,25(1 − √1 − 2µ = 1.25 × (1 − √1 − 2 × 0.089)) = 0.12

z = d × (1 − 0.4α = 0.405 × (1 − (0.4 × 0.12)) = 0.38

As cal =Mt

u

σs×z= (

72.90×10.−3

348×0.38) × 104 = 5.51 cm2


Mts = 52.88KN. m


Flexion simple


Acier FeE400

} ⇒α ≤γ−1

2+

fc28

100⇒ σb ≤ σb̅̅ ̅ = 0.6 × fc28 = 15 MPa

Avec :

γ =Mt

u

Mts =

72.90

52.88⇒ γ = 1.37

1.37−1

2+

25


Conclusion :





Mtacc =158.80 KN. m

μu

=Mt

acc

b×d2×fbu=

158.80 ×10−3

0.35×0.4052×18.48= 0.15

μu = 0.15 < μlim = 0.392 → section sans armature comprimé ( A′ = 0)

α = 1.25 × (1 − √1 − 2μu) = 1.25 × (1 − √1 − 2 × 0.15)) = 0.20

z = d × (1 − 0.4 × α) = 0.405 × (1 − (0.4 × 0.20)) = 0.37

As cal =Mt

acc

z×σs= (

158.80×10−3

400×0.37) × 104 = 10.72 cm2

At = max (As cal ; As acc ; Amin RPA ; Amin

BAEL) = 10.72 cm2

Choix des armatures : 𝟔𝐓𝟏𝟔 = 𝟏𝟐. 𝟎𝟔 𝐜𝐦𝟐

Vérification des armatures tangentielle :

Tumax = 113.08KN

τu =Tu

b.d=

113.08×10−3

0.35×0.405= 0.79 MPa ≤ τu̅ = min (0,2

fc28

γb

; 5 MPa) = 3.33 MPa

τu ≤ τu̅ … … … … … condition vérifiée.

Ferraillage transversal :

ϕt ≤ min (h

35; ∅L min;

b

10)

h : hauteur totale de la poutre

∅L min : Diamètre maximal de l’armature longitudinale

b : la largeur de la poutre

ϕt ≤ min (45

35; ∅L min;

35

10)

⟹ On prend ∅t = 8 mm

Le choix : 4∅8 = 2.01 cm2

L’espacement des armatures transversales :



Selon le B.A.E.L 83 [1]:

δt1 ≤0.9×Fe×At(sin α+cos α)

b0×γs×(τu−0.3ft28 .K)

Avec :

α = 90∘

K=1 (Flexion simple)

Donc :

δt1 ≤ [0.9×235×2.01×10−4

0.35×(0.79−0.3×2.1×1)] × 102

δt1 ≤ 75.91 cm

δt2 ≤ min (0.9d ; 40 cm) = min (0.9 × 40.5 ; 40) cm = min (36.18; 40) = 36.18 cm

δt3 ≤At×fe

0.4 b=

2.01×235

0.4×35= 33.73 cm

Selon le RPA99 :

Zone nodale :

δt1 ≤ min (h

4; 12∅) = min (

45

4 ; 12 × 1.4) = 11.25 cm

Zone courante :

δt1 ≤h

2=

45

2= 22.5 cm

Donc on prend :

δt = 10 cm en zone nodale.

δt = 15 cm en zone courante.

Vérification des armatures transversales :

Zone nodale :

At = 0.003. s. b

At min = 0.003 × 10 × 35 = 1.05 cm2

Zone courante :

At min = 0.003 × 10 × 35 = 1.05 cm2

Vérification des contraintes à l’état limite de service (ELS) :

a. Contrainte de béton :



σbc =Mser

Iy < σbc̅̅ ̅̅ = 0.6 fc28

σb ≤ σb̅̅ ̅ = 0.60 fc28 = 0.6 × (25) = 15 MPa

Position de l’axe neutre :

y = 15.(As+A′s)

b[√1 +

b(d .As+d′.A′s

7,5(As+A′s)²

− 1] Avec A′s = 0

y = 15.14.20

35[√1 +

35×(45×14.20)

7,5(14.20)2− 1] ⟹ y = 23.40 cm

I =b.y3

3+ 15 × [As × (d − y)2 + A′

s(d − d)2] Avec A′s = 0

I =35×23.403

3+ 15 × [14.20 × (45 − 23.40)2] ⟹ I = 248861.16 cm4

Ms = 57.76KN. m Le cas le plus défavorable

σbc =Mser

Iy = [

57.76

248861.16× 23.40] × 103 = 5.43 MPa

σbc = 5.43 MPa < σbc̅̅ ̅̅ = 15 MPa … … … … … … CV

Contrainte d’acier :

Aucune vérification dans le cas de fissuration peu nuisible.

Vérification de la flèche de la poutre principale :

Le calcul de la flèche n’est pas nécessaire si les conditions sont toutes vérifiées

a) ht

L≥

1

16… … . . CV

b) ht

L≥

1

10.

M1

M0… … … . CV

c) A

b0.d≤

4,2

fe… … … … CV

Donc la vérification de la flèche n’est pas nécessaire

Recouvrement des armatures longitudinales :

Lr = 50∅ (𝐙𝐨𝐧𝐞 𝐈𝐈𝐈)

Lr ∶ Longeur de recouvrement.

∅ = 14 mm … … … … … … … … … Lr = 70 cm en 𝐳𝐨𝐧𝐞 𝐈𝐈𝐈 Pour ∶ ∅ = 1,4 cm

Le calcul de la poutre secondaire ce fait de la même façon que la poutre principale.



Tableau VI.3 : Tableau récapitulatif du ferraillage des poutres.

Section position 𝐀𝐬 𝐜𝐚𝐥 𝐀𝐬 Choix

des barres

𝐀𝐬𝐭𝐫𝐚𝐧𝐬𝐯 𝛅𝐭

Zone

courante

𝛅𝐭

Zone

nodale

Poutre

principale

Appuis 10.96 12.06 𝟔𝐓𝟏𝟔 4∅8 15 10

Travées 10.72 12.06 𝟔𝐓𝟏𝟔 4∅8 15 10

Poutre

secondaire

Appuis 9.01 9.24 𝟑𝐓𝟏𝟒 + 𝟑𝐓𝟏𝟒

4∅8 15 10

Travées 7.01 8.01 𝟑𝐓𝟏𝟒 + 𝟑𝐓𝟏𝟐

4∅8 15 10

Schéma de ferraillage des poutres :



40cm 40cm

30 cm 30 cm

4∅8

3T14

3T14 + 3T14

4∅8

3T14

+ 3T12

3T14

Figure VI.2- Ferraillage en travée et en appuis de la poutre secondaire

45cm 45cm

35 cm 35 cm

4∅8

3T16

6T16

4∅8

6T16

3T16

Figure VI-1- Ferraillage en travée et en appuis de la poutre principale



IV.4.1 Étude des poteaux :

Les poteaux sont des éléments verticaux constituant l’élément porteur du système planchers

poutre par point d’appui isolé. Donc les poteaux dans une structure représentent plusieurs

rôles.

Supporter les charges verticales (effort de compression dans les poteaux)

Participer à la stabilité transversale par le système poteaux-poutres pour reprendre les efforts

horizontaux :

1- Effet des efforts sismique.

2- Effet du vent.

3- Effet de changement de la température.

4- Effet de la dissymétrie des charges.

Les poteaux sont sollicités dans les deux sens (voir figure VI.3) ; ils sont calculés en fonction

de l’effort normal N et le moment M selon les cas suivants :

Nmax → Mcorr

Mmax → Ncorr

Nmin → Mcorr

Figure VI.3 : Direction des moments et efforts normal dans un poteau.

Les sollicitations sont calculées à l’aide de logiciel ROBOT 2014 sous les combinaisons

d’actions suivantes :



Combinaisons fondamentales :

D’après le BAEL 91 on a les cas suivants

Etat limite ultime (E L U)….. 1.35G+1.5Q

Etat limite de service (E L S)……… G+Q

Combinaison accidentelle :

D’après le RPA99 (Art5.2) on a le cas suivant

G + Q ± 1.2E

Nous distinguons 2 types de situation.

Situation durable :

Béton : γb = 1,5 ;fc28 = 25 MPa ; σbc = 14.17 MPa

Acier : γs = 1,5 ; Nuance E400 ; σs = 14.17 MPa


Béton : γb = 1,5 ;fc28 = 25 MPa ; σbc = 18.48 MPa

Acier : γs = 1,00 ; Nuance E400 ; σs = 400 MPa

VI.2.1 recommandations du RPA99 (article 7.4.2.1) :

A) Les armatures longitudinales :

Les armatures longitudinales doivent être à haute adhérence, droites et sans crochets.

Amin = 0,9 % de la section de béton (en zone III).

Amax = 4 % de la section de béton (en zone courante).

Amax = 6 % de la section de béton (en zone de recouvrement).

φmin = 12mm(Diamètre minimal utilisé pour les barres longitudinales).

La longueur minimale de recouvrement est de 50 ∅ (en zone III).

La distance ou espacement (St) entre deux barres verticales dans une face de poteau ne

doit pas dépasser 20 cm (en zone III).

Les jonctions par recouvrement doivent être faites si possible, en dehors des zones

nodales (zone critique).

Les longueurs à prendre en compte pour chaque barre des armatures longitudinales

dans la zone nodale sont l′eth′.

Avec :



l′ = 2h

h′ = max (he

6 ; b1 ; h1 ; 60cm)

he : la hauteur d’étage.

(b1 × h1) : La section du poteau.

Figure VI-4 : schéma de la zone nodale.

Les valeurs numériques relatives aux prescriptions du RPA sont apportées dans le tableau

suivant :

B) Les armatures transversales :

Les armatures transversales des poteaux sont calculées à partir de la formule suivante :

At

δt=

ρa × Tmax

h1 × fe

Tableau VI.4 : tableau récapitulatif des prescriptions du RPA.

Section du poteau

(cm²)

Amin RPA

(cm²)

Amax RPA (cm²)

Zone courante Zone de

recouvrement

60 × 𝟔𝟎 32.4 144 216

𝟓𝟓 × 𝟓𝟓 27.23 121 181.5

50 × 𝟓𝟎 22.5 100 150

45 × 𝟒𝟓 18.23 81 121.5



Avec :

Tmax : L’effort tranchant de calcul.

h1: Hauteur totale de la section brute.

fe : Contrainte limite élastique de l’acier d’armature transversale.

ρa: Coefficient correcteur qui tient compte du mode fragile de la rupture par effort tranchant,

il est pris égale à :

{2,5 si λg ≥ 5

3,75 si λg < 5 λg:Élancement géométrique.

δt: L’espacement des armatures transversales.

La valeur maximum de cet espacement dans la zone III est fixée comme suit :

{δt ≤ min(10∅l ; 15cm) Dans la zone nodale

δt′ ≤ 15∅l Dans la zone courante

Avec :

∅l: Diamètre minimal des armatures longitudinales du poteau.

Atmin = {

0,3% × δt ′ × b1 si λg ≥ 5 (1)

0,8% × δt′ × b1 si λg ≤ 3 (2)

Interpoler entre (1)et (2) si 3 < λg < 5

Avec :

λg: élancement géométrique du poteau qui est égale à :

λg = [lf

a ou

lf

b]

a et b : les dimensions de la section droite du poteau dans la direction de déformation

considérée.

lf : Longueur de flambement du poteau.

Les cadres et les étriers doivent ménager des ménagers des cheminées en nombre et

diamètre suffisants (Φ > 12 mm) pour permettre une vibration correcte du béton sur

toute la hauteur des poteaux.

Les cadres et les étriers doivent être fermés par des crochets à 135° ayant une longueur

droite de 10∅min.

Détermination des sollicitations :



Tableau VI-5: Détermination des sollicitations des poteaux.

𝟔𝟎 × 𝟔𝟎 𝟓𝟎 × 𝟓𝟎 𝟓𝟓 × 𝟓𝟓 𝟒𝟓 × 𝟒𝟓

ELU

Nmax 2589.84 1905.07 1257.85 666.69

Mcorr 3.45 21.27 25.85 26.43

Tmax 82.34 66.65 47.20 38.47

ELS

Nmax 1885.84 1386.84 915.68 483.58

Mcorr 2.50 13.48 18.71 19.14

Tmax 60.04 48.58 34.38 27.94

𝐆 + 𝐐± 𝟏. 𝟐𝐄

M max 251.39 122.38 121.53 111.49

Ncorr 2614.46 1220.98 482.89 104.96

Tmax 185.61 175.95 157.22 127.10

VI.2.2 Exemple de calcul :

Nous allons détailler le calcul du poteau au niveau du RDC, de section (60x60) cm2, ce

dernier sera calculé comme suite :

𝐍𝐦𝐚𝐱 → 𝐌𝐜𝐨𝐫𝐫𝐞𝐬𝐩𝐨𝐧𝐝𝐚𝐧𝐭

𝐌𝐦𝐚𝐱 → 𝐍𝐜𝐨𝐫𝐫𝐞𝐬𝐩𝐨𝐧𝐝𝐚𝐧𝐭

VI.2.3 Ferraillage longitudinal :

Combinaison fondamentale :(𝟏, 𝟑𝟓𝐆 + 𝟏, 𝟓𝐐)

Cas 1 :

{Nmax = 2589.84 KNMcorr = 3.45 KN. mTu = 82.34 KN

Situation durable :

Béton :γb = 1,5 ; fc28 = 25 MPa ; σbc = 14,17 MPa


Calcul de l’excentricité :

ea = max {2cm ; L

250} = max {2cm ;

306

250= 1,29 cm} = 2 cm

e1 =Mu

Nu+ ea =

3.45

2589.54+ 0,02 = 0,0213 m = 2,02 cm

b = 60

cm

h = 60 cm



a) Sollicitations ultimes corrigées par le flambement :

Elancement géométrique :

lf = 0,7. l = 0,7 × 3,06 = 2,14 m

λg =lf

h=

2,14

3.45= 0.62

20 ×e1

h= 20 ×

2,02

60= 0,67

⇒ λg = 0.67 < 𝑚𝑎𝑥{15 ; 0,67}…………………C.V

Calcul en flexion composée en tenant compte de l’excentricité du second ordre

forfaitairement.

e2 =3lf

2

104 . h(2 + αφ)

Avec :

lf : Longueur de flambement.

φ : Le rapport de la déformation finale due au fluage à la déformation instantanée sous charge

considérée.

{α = 10 (1 −

Mu

1,5Mser) = 10 (1 −

3.45

1,5 × 2.50) = 0,80

φ = 2

e2 =3 × 2,14²

104 × 0.60(2 + 0,80 × 2) = 0.0082 m

e0 = e1 + e2 = 0,0202 + 0.0082 = 0.0284 m

b) Sollicitations ultimes corrigées pour le calcul en flexion composée :

Mu = Nu × e0 = 2589.84 × 0.0284 = 73.55 KN. m

c) Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus :

eA = e0 + (d −h

2) = 0.0284 + (0,54 −

0,60

2) = 0,268 m

MUA = Nu × eA = 2589.84 × 0,268 = 694.07 KN. m

d) Ferraillage :

µbc = 0,8 ×h

d(1 − 0,4

h

d) = 0,8 ×

0,60

0,54(1 − 0,4 ×

0,60

0,54) = 0,49

µbu =MUA

fbu. b. d²=

694.07 × 10−3

14,17 × 0,6 × 0,54²= 0,27



µbu = 0,27 < µbc = 0,49 Section partiellement tendue (on calcule la section à la flexion

simple).

µbu = 0,27 < µlu = 0,392 Pas d’armatures comprimées (A′ = 0).

α = 1,25 (1 − √1 − 2µbu) = 0,40

β = 1 − 0,4α = 0,84

As =MUA

β. d. σs

=694.07 × 10−3

0,84 × 0,54 × 348× 104

⇒As = 43.96 cm²

Armatures en flexion composée :

A′ = 0

A = As −Nu

σs

= (43.96 × 10−4 −2589.84 × 10−3

348) × 104 = −30.46 cm²

A = −30.46 cm² < 0 On prendra Amin

Section minimale :

Selon le BAEL :

Amin =0,23 × ft28 × b0 × d

fe

Avec : ft28 = 2,1 MPa

Amin =0,23 × 2,1 × 0,60 × 0,54

400× 104 = 3.91 cm²

Selon le RPA 99 :

Amin = 0,9 % b. h = 0,009 × 60 × 60 = 32.4 cm²

On adopte 12 T 20 = 37.70 cm²

Combinaison accidentelle :

Cas 2 :

{Mmax = 251.39 KN. m Ncorr = 2324.27 KN Tu = 185.61 KN


Béton :γb = 1,15 ; fc28 = 25 MPa ; σbc = 18,48 MPa




Calcul de l’excentricité :

ea = max {2cm ; L

250} = max {2cm ;

306

250= 1,22 cm} = 2 cm

e1 =Mu

Nu+ ea =

251.39

2324.27+ 0,02 = 0,116 m

b) Sollicitations ultimes corrigées par le flambement :

Elancement géométrique :

lf = 0,7. l = 0,7 × 3,06 = 2,22 m

λg =lf

h=

2,22

0,60= 3.70

20 ×e1

h= 20 ×

11.6

60= 3.86

⇒λg = 3,86 < 5

Calcul en flexion composée en tenant compte de l’excentricité du second ordre

forfaitairement.

e2 =3lf

2

104 . h(2 + αφ)

Avec :


φ : Le rapport de la déformation finale due au fluage à la déformation instantanée sous charge

considérée.

{α = 10 (1 −

Mu

1,5Mser

) = 10 (1 −3.45

1,5 × 2.50) = 0,80

φ = 3.75

e2 =3 × 2,22²

104 × 0.60(2 + 0,80 × 2) = 0,009 m

e0 = e1 + e2 = 0.116 + 0,009 = 0,125 m

b) Sollicitations ultimes corrigées pour le calcul en flexion composée :

Mu = Nu × e0 = 2324.27 × 0,125 = 290.53 KN. m

c) Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus :

eA = e0 + (d −h

2) = 0,125 + (0,54 −

0,60

2) = 0,365 m



MUA = Nu × eA = 2324.27 × 0,365 = 848.35 KN. m

c) Ferraillage :

µbc = 0,8 ×h

d(1 − 0,4

h

d) = 0,8 ×

0,60

0,54(1 − 0,4 ×

0,60

0,54) = 0,49

µbu =MUA

fbu .b.d²=

848.35×10−3

18,48×0,6×0,54²= 0,262

µbu = 0,262 < µbc = 0,49 Section partiellement tendue (on calcule la section à la flexion

simple).

μbu = 0,262 < μlu = 0,392 Pas d’armatures comprimées (A′ = 0).

α = 1,25(1 − √1 − 2µbu) = 0,387

β = 1 − 0,4α = 0,845

As =MUA

β. d. σs=

848.35 × 10−3

0,84 × 0,54 × 400× 104

⇒As = 46.75 cm²

Armatures en flexion composée :

A′ = 0

A = As −Nu

σs= (46.75 × 10−4 −

2324.27 × 10−3

400) × 104 = −11.35 cm²

A = −11.35 cm² < 0 On prendra Amin

Section minimale :

Selon le BAEL :

Amin =0,23 × ft28 × b0 × d

fe

Avec : ft28 = 2,1 MPa

Amin =0,23 × 2,1 × 0,60 × 0,54

400× 104 = 3.91 cm²

Selon le RPA 99 :

Amin = 0,9 % b. h = 0,009 × 60 × 60 = 32.4 cm²

On adopte 12 T 20 = 37.70 cm²



Résultat du ferraillage longitudinal des poteaux :

VI-2-4 Ferraillage transversal :

Selon le RPA 99 :

At =δt × ρa × Tmax

h1 × fe

Dans la zone nodale :

St ≤ 10 cm ⇒ en zone III

λg = {Lf

a ou

Lf

b

⇒ λg = 2.14

0.60 = 3,56 < 5 ⇒ ρa= 3,56

⇒ At= ρa .Vu.t

h1.fe =

3.56 × 129330 × 15

60 × 235 × 100 = 4,89 cm²

Amin = 0,9 % b.h= 0,009 % × 0,60 × 0,60= 0,003 cm²

Dans la zone courante :

⇒St ≤ min (b1

2;

h1

2; 10 ∅1) ⇒ en zone III

At= ρa .Vu.t

h1.fe =

3.56 × 129330 × 18

60 × 235 × 100 = 5,87 cm²

Donc on prend :

St = 10 cm en zone nodale.

St = 15 cm en zone courante.

Vue le nombre important des poteaux à étudier, nous avons présenté un exemple de calcul

d'un type de poteau (60 × 60) cm². Le reste des calculs est présenté dans le tableau qui nous

Tableau VI.6 :Tableau récapitulatif.

Cas Section

(cm²)

N

(KN)

M

(KN.m)

Ainf

(cm²)

Asup

(cm²)

Amin

(cm²)

Amin

(cm²)

1 er cas 60 x 60 2589.84 3.45 - 30.46 0 3.91 32.40

2 ème cas 60 x 60 2324.27 251.39 - 11.35 0 3.91 32.40



indiquera les différentes sections d'armatures longitudinales et transversales pour chaque type

de poteau et selon les règlements utilisés BAEL 91 et le RPA 99.

Longueur de recouvrement :

Selon le RPA 99 (version 2003)

Lr = 50∅ Zone III

⇒ Lr = 50 × 2 = 100 cm

Calcul des espacements :

Selon le RPA99 :

At =φa .δ1 .Tmax

h .fe

Dans la zone III l’espacement entre les barres doit respecter les conditions suivantes :

{St ≤ 10 cm en zone nodale

St ≤ min (b1

2;

h1

2; 10 ∅1) en zone courante

Avec : ∅L Diamètre minimal des armatures longitudinales du poteau.

Donc on prend : St = 10 cm → en zone nodale.

St = 15 cm → en zone courante.

φa: Est en fonction de λg.

λg: Est l′elancement géométrique du poteau.

λg =lf

h=

286

60= 4.76 < 5

Tableau VI. 7:Tableau condition de l’espacement.

Section 𝐓𝐦𝐚𝐱

(KN) 𝐛𝟎 d 𝛕𝐮 𝛕𝐮 Commentaire

60× 𝟔𝟎 82.34 0.60 0.54 0.254 1.00 C.V

55× 𝟓𝟓 66.65 0.55 0.495 0.244 1.00 C.V

50× 𝟓𝟎 47.20 0.50 0.49 0.192 1.00 C.V

45× 𝟒𝟓 38.47 0.45 0.405 0.211 1.00 C.V



Donc : φa = 3.75

Tmax = 185.61 KN

𝑓𝑒 = 400 𝑀𝑃𝑎

Donc :

At =3.75×10×1865.61×103

60×400×100=

τu =Tmax

b0 × d=

34,17 × 10−3

0,60 × 0,585= 0,097 MPa

τu = ρd × fc28

Avec :

{ρd = 0,075 si λg ≥ 5

ρd = 0,04 si λg < 5

Tableau VI-8 : Récapitulation de calcul des armatures longitudinales

Poteau

(𝐜𝐦𝟐)

𝐀𝐦𝐢𝐧𝐑𝐏𝐀

(𝐜𝐦𝟐)

𝐀𝐦𝐢𝐧𝐁𝐀𝐄𝐋

(𝐜𝐦𝟐)

𝐀𝐚𝐝𝐨𝐩𝐭

(𝐜𝐦𝟐)

Choix

(𝐜𝐦𝟐)

𝐀𝐚𝐝𝐨𝐩𝐭

(𝐜𝐦𝟐)

Choix

(𝐜𝐦𝟐)

𝐒𝐭

(cm)

𝐒𝐭

(cm)

𝟔𝟎 × 𝟔𝟎 32.40 3.91 12T20 37.70 4T10 3.14 10 15

𝟓𝟓 × 𝟓𝟓 27.23 3.28 10T20 31.42 4T10 3.14 10 15

𝟓𝟎 × 𝟓𝟎 22.50 2.72 6T20+4T16 26.89 4T10 3.14 10 15

𝟒𝟓 × 𝟒𝟓 18.23 2.03 10T16 20.11 4T10 3.14 10 15



Détermination de la zone nodale :

{h’ = max(

he

6 , b1 , h1 , 60 cm)

L’ = 2h⇒{

h’ = max (306

6 , 60, 60, 60 cm) = 60cm.

L’ = 2 × 60 = 120 cm.

VI.3 ETUDE DES VOILES DE CONTREVENTEMENT :

VI.3.1 Introduction :

Les voiles sont des éléments destinés à reprendre les efforts horizontaux tels que le vent et

le séisme, et aussi à équilibrer la structure vis à vis de la rotation autour de l'axe vertical

passant par le centre de torsion.

Ils deviennent indispensables quand les portiques (poteaux, poutres) ne sont pas capables

de reprendre la totalité de ces efforts, et lorsqu’on veut atteindre la rigidité nécessaire.

VI.3.2 Combinaison d’action :

Les voiles seront calculés dans les deux directions horizontales et verticales, à la flexion

composée sous un effort normal de compression (F) et un moment de flexion (M), tirés à

partir des fichiers résultats du ROBOT 2014, sous les combinaisons de calcul suivantes :

G + Q + E …… (1).

0,8G± E ……… (2).

G + Q ± 1,2…… (3).

60 cm

60 cm

4∅10

5T20

5T20

Figure VI.2 : Ferraillage du poteau

2T20



VI.3.3 Ferraillage des trumeaux :

Pour le calcul des sections d'aciers nécessaires dans les voiles en flexion composée, on

procèdera de la manière suivante :

1) Détermination des sollicitations suivant le sens considéré.

2) Détermination de la nature de la section en flexion composée selon 3 cas :

Soit section entièrement tendue.

Soit section entièrement comprimée.

Soit section partiellement comprimée.

Tout en admettant que :{N > 0 𝑒𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛.N < 0 𝑒𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛.

3) Lorsque l'effort normal est un effort de compression, il est nécessaire de vérifier l'état

limite ultime de stabilité de forme de la pièce. C'est à dire que les sections soumises à la

flexion composée avec un effort normal de compression doivent être justifiées au

flambement.

Ferraillage minimum :

Le pourcentage minimum d'armatures verticales et horizontales des trumeaux dans la section

est donné comme suivant :

Globalement dans la section du voile : Amin=0,15%.h.b

En zone courante : Amin=0,10%.h .b[1]

On devra disposer le ferraillage suivant :

Des aciers verticaux.

Des aciers horizontaux.

a. Aciers verticaux :

- Lorsqu'une partie du voile est tendue sous l'action des forces verticales et horizontales,

l'effort de traction doit être pris en totalité par les armatures, le pourcentage minimum des

armatures verticales sur toute la zone tendue est de 0,2%.

- Il est possible de concentrer des armatures de traction à l'extrémité du voile ou du

trumeau, la section totale d'armatures verticales de la zone tendue devra rester au moins égale

à 0,20% de la section horizontales du béton tendu.

- Les barres verticales des zones extrêmes devraient être ligaturées avec des cadres

horizontaux dont l'espacement ne doit pas être supérieur à l'épaisseur du voile.



- Si des efforts importants de compression agissent sur l'extrémité, les barres verticales

doivent respecter les conditions imposées aux poteaux.

- Les barres verticales du dernier niveau doivent être munies de crochets. Mais au niveau

des parties courantes, la partie supérieure, toutes les autres barres n'ont pas de crochets

(jonction par recouvrement).

- A chaque extrémité du voile (trumeaux) l'espacement des barres doit être réduit de moitié

sur 1

10 de la largeur du voile (voir figure VII.4) cet espacement d'extrémité doit être au plus ou

égale à 15 cm.

b. Aciers horizontaux :

Les barres horizontales doivent être munies de crochets à 135° ayant une longueur de 10∅.

Dans le cas où il existe des talons de rigidité, les barres horizontales devront être ancrées

sans crochets si les dimensions des talons permettent la réalisation d'un ancrage droit.

Remarque :

L'espacement des barres horizontales et verticales doit être inférieur à la plus petite des

deux valeurs suivantes :

- St ≤ 1,5b.

- St ≤ 30 cm.

Avec :

{b ∶ L′épaisseur du voile en (cm).

Les deux nappes d'armatures doivent être avec au moins 4 épingles au mètre carré (m²).

Dans chaque nappe, les barres horizontales doivent être disposées vers l'extérieur. Le diamètre

des barres verticales et horizontales des voiles ne devrait pas dépasser 1

10 de l'épaisseur du

voile.

Les longueurs de recouvrement doivent être égales à :

40∅ pour les barres situées dans les zones où renversement du signe des efforts est

possible.



20∅ pour les barres situées dans les zones comprimées sous l'action de toutes les

combinaisons possibles de charge.

Le long des joints de reprise de coulage, l'effort tranchant doit être pris par les aciers de

couture dans la section doit être calculée avec la formule :

Avj =

1,1 × V

fe

Cette quantité doit s'ajouter à la section d'aciers tendus nécessaires pour équilibrer les

efforts de tractions dus aux moments de renversement.

VI.3.4 Calcul du Ferraillage

Le ferraillage se fera pour le panneau le plus défavorable suivant les deux directions.

Les sollicitations (M, N, T) :

On calcule une bande de largeur 1m et de 15 cm d’épaisseur.

Verticalement :{Nmax = − 261.08 KNMmax = 12.40 KN. m

- T = 5.02 KN

Horizontalement :{Nmax = −2035.64 KNMmax = 132.57 KN. m.

- T = 24.44 KN

Exemple de calcul :

a. Ferraillage de sens vertical : {Nmax = −261.08 KNMmax = 12.40 KN. m

Calcul de l'excentricité :

Le calcul du ferraillage de voile se fait avec une bande de 1 ml tel que :

h = 15 cm ; d = 13.5cm

eT = e1 + e2 +ea

15 cm

100 cm



⇒e1 = Mmax

Nmax

[2]= 12.40

261.08 = 0,047 m <

h

6 = 0,025 ⇒ on calcul la section à la Flexion simple

e2 = max {2cm ; L

250} = max {2cm ;

306

250= 1,22 cm} = 2 cm

e3 =3lf

2

104 . h(2 + αφ)

Avec :


φ : Le rapport de la déformation finale du au fluage à la déformation instantanée sous charge

considérée.

∅ = 2 ; lf = 0.7 × h =2.14 m

Mmax= 12.40 KN.m

µ = Mt

σb.b.d² =

12.40× 10−3

14,17 ×1 × 0,135² = 0,04

µ < µAB = 0,186 ⇒ A

MPa

f

A

Apoivot

s

es 348

15,1

400

0

α = 1.25(1 − √1 − 2µ) = 0.05

e3 =3×2,14²

104×0.60(2 + 0,05 × 2) = 0,0018 m

ea = e1 + e2 + e3 = 4.7 + 2 + 0.18 = 6.88 m

β = 1 − 0.4α = 0.98

Acal = Mt

β.d.σs=

12.40×10−3

0.98 × 13,5 × 348× 104= 0,026 cm²

- La condition de non-fragilité impose une section minimale d’armature :

Amin = 0,23.b.d.ft28

fe= 0,23 × 100 × 13,5 ×

2.1

400= 1,63 cm² (BAEL91 p 275)

Choix des barres :

As = 0,026 cm2 2T12= 2,26 cm2




Ms= 9.07 KN.m

Fissuration peu nuisible

Flexion simple⇒σs < σ¯s

Section rectangulaire

Acier FeE 400

On vérifie si : α ≤ γ−1

2 +

fc28

100

γ=Mu

Ms =

12.40

9.07 = 1.36

α = 0,05 < 1.36 ……………………………………………Condition vérifiée.

⇒Donc les armatures calculées à l’ELU conviennent.

- Selon BAEL modifier 99 :

A′s ≥ max{100× 15

1000 ; 0,23 × 100 × 13,5 ×

2,1

400}⇒A′s ≥ max{1,55 ; 1,63}= 1,63 cm²

A′s = 1,63 cm²

22, 63,1;004,0; cmcmAA ss

- Selon RPA modifier 99 :

Amin = 0,15% × b × h = 0,15% × 100 × 15 = 2,25cm²

Choix des barres :

𝟓 𝐓𝟏𝟐 ⟹ 𝐀 = 𝟓. 𝟔𝟓 𝐜𝐦𝟐

b. Ferraillage horizontal :

{Nmax = −2035.64 KNMmax = 132.57 KN. m

Calcul de l'excentricité :

eT = e1 + e2 +ea

⇒e1 = Mmax

Nmax =

132.57

2035.64 =0,065 m <

h

6 = 0,51 ⇒ on calcul la section à la Flexion simple

Mt = 132.57 KN.m



µ = Mt

σb.b.d² =

132.57× 10−3

14,17 ×1 × 0,135² = 0,50

µ < µAB = 0,186 ⇒A’

MPa

f

A

Apoivot

s

e

s 34815,1

400

0

α = 1.25(1 − √1 − 2µ) = 1.25

β = 1 − 0.4α = 0.50

Acal = Mt

β.d.σs=

132.57×10−3

0.50 × 13,5 × 348× 104= 0,56 cm²

- La condition de non-fragilité impose une section minimale d’armature :

Amin = 0,23.b.d.ft28

fe= 0,23 × 100 × 13,5 ×

2.1

400= 1,63 cm² (BAEL91 p 275)

Choix des barres :

As = 0,56 cm2 2T12 = 2,26cm2


Ms= 96.56 KN. m

Fissuration peu nuisible

Flexion simple⇒σs < σ¯s

Section rectangulaire

Acier FeE 400

On vérifie si : α ≤ γ−1

2 +

fc28

100

γ=Mu

Ms =

132.57

96.56 = 1.37

α = 1.25 < 1.37 ……………………………………………Condition vérifiée.

⇒Donc les armatures calculées à l’ELU conviennent.

- Selon BAEL modifier 99 :

A′s ≥max{100× 15

1000 ; 0,23 × 100 × 13,5 ×

2,1

400}⇒A′s ≥ max{1,55 ; 1,63}= 1,63 cm²



A′s = 1,63 cm²

22, 63,1;66,0; cmcmAA ss

- Selon RPA modifier 99 :

Amin = 0,15% × b × h = 0,15% × 100 × 15 = 2,25cm²

Choix des barres :

𝟓 𝐓𝟏𝟐 ⟹ 𝐀 = 𝟓. 𝟔𝟓 𝐜𝐦𝟐

L’espacement :

Dans la zone courante s ≤ min(1.5a; 30 cm) = 30 cm

On adopte : s = 20 cm

Dans la zone nodale 𝑠

2= 10 cm

Schéma de ferraillage du voile :

Figure VI.3 Schéma de ferraillage du voile

Chapitre VII

Etude de

l’infrastructure

Chapitre VII Etude de l’infrastructure


VII.1 Introduction :

Les fondations d’une construction sont constituées par les parties de l’ouvrage qui sont en

contacte avec le sol auquel elles transmettent les charges de la superstructure ; elles

constituent donc la partie essentielle de l’ouvrage puisque de leurs bonnes conception et

réalisation découle la bonne tenue de l’ensemble.

Les éléments de fondation transmettent les charges au sol, soit directement (radier, semelle

simple sur le sol), soit par l’intermédiaire d’un autre organe (pieux).

VII.2 Choix de type de fondation :

Le choix de la fondation dépend de plusieurs termes, on peut citer :

La capacité portante de sol (σ sol).

Le tassement (est ce qu’il y a un risque de tassement ou pas?).

Le type de la structure.

La charge transmise au sol.

La raison économique.

La facilité de la réalisation.

La distance entre axes des poteaux.

Après avoir déterminé le choix de type de fondation, On passe à la vérification des semelles

(semelle filante et semelle isolée), Si ces deux fondations ne sont pas applicables, On passera

au radier général.

Semelles isolées :

Vérification de la condition suivante :

𝐍

𝐒≤ 𝛔𝐬𝐨𝐥̅̅ ̅̅ ̅

𝐍 : L’effort normal agissant sur la semelle.

𝐒 : Surface d’appui de la semelle S = A × B

𝛔𝐬𝐨𝐥̅̅ ̅̅ ̅ : Contrainte admissible du sol.



C C’

Vue en plan Coupe C C’

Figure VII.1 : Schéma d’une semelle isolée

Avec :

a b : Les dimensions du poteau.

A B : Les dimensions de la semelle isolée.

Semelle intermédiaire (sous le poteau le plus sollicité) :

Le poteau le plus sollicité a une section carrée (b × h).

Nmax =2589.84 KN ; σsol̅̅ ̅̅ ̅ = 2 bars

On a :

a = b ; A = B et a

b=

A

B= 1 = K

N

S≤ σsol̅̅ ̅̅ ̅ ⇒ A × B ≥

N

σsol̅̅ ̅̅ ̅

A = B ⇒ B = √N

σsol̅̅ ̅̅ ̅

A = B = 3.59 m

Conclusion :

D’après les résultats, on a observé qu’il y a un assemblage entre les semelles suivants les deux

directions, donc le choix des semelles isolées dans notre cas ne convient pas.

Semelles filantes :

Choisissons une semelle filante, de largeur B et de longueur L située sous un portique formé

de 9 poteaux c’est le portique le plus sollicité.

Avec :



B : Largeur de la semelle.

L : Longueur de la semelle.

σsol̅̅ ̅̅ ̅ ≥N

S=

N

B × L⇒ B ≥

N

σsol̅̅ ̅̅ ̅ × L

N = ∑ Ni

Figure VII.2 : schéma de la semelle filante.

N1 = 1247.62 KN ; N2 = 1519.05 KN ; N3 = 2080.53 KN; N4 = 2324.27 KN ;

N5 = 2589.84 KN ; N6 = 2324.27 KN ; N7 = 2080.53 KN; N8 = 1519.05 KN

N9 = 1247.62 KN

N = ∑ Ni = 16932.78 KN

Donc :

B ≥ N

σsol̅̅ ̅̅ ̅̅ ×L=

16932.78

200×23.70⇒ B ≥ 3.57 m

Conclusion :

On observe qu’il y a un rapprochement des semelles filantes entres eux, donc on passe à un

radier général.

VII.3 Etude du radier général :

Le radier est une fondation superficielle travaillant comme un plancher renversé, La dalle prend appuis

sur des nervures. Il assure une bonne répartition des charges sous le sol donc il représente une bonne

solution pour éviter le tassement.

VII.3.1 Le pré dimensionnement :

N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9

0.6 0.6 1.5 3 3.7 2.6 3.7 2.6 3 1.5



Pré dimensionnement de la nervure :

Poids de la superstructure :

𝐆𝐭 : La charge permanente totale.

Qt : La charge d’exploitation totale.

𝐆𝐭 = 28353,10 KN

𝐐𝐭 = 10673,50 KN

Combinaison d’action :

ELU : Nu = 1,35 Gt + 1,5 Qt = 54286.93 KN

ELS : Nser = Gt + Qt = 39026.6 KN

Surface du radier :

La surface du radier est donnée par la formule suivante :

N

S≤ σsol̅̅ ̅̅ ̅

Selon le rapport du laboratoire de la mécanique des sols la contrainte du sol est :

σsol̅̅ ̅̅ ̅ = 𝟐 𝐛𝐚𝐫𝐬

Donc :

N = Nser = 39026.6 KN

S ≥N

σsol̅̅ ̅̅ ̅= 195.13 m²

On prend un débord de 60 cm de chaque côté dans les deux directions ce qui nous donne

une surface d’assise : Sradier = 530.37 m²

Vérification de l’effet de sous pression :

On doit vérifier que sous l’effet de sous pression hydrostatique, le bâtiment ne soulève pas.

P > α × S × γw × Z

Avec :

P : Poids de la structure.

α ∶ Coefficient de sécurité vis-à-vis du soulèvement, on prend α = 1,5.

S : Surface du radier.

γw : Poids volumique de l’eau.

Z ∶ Profondeur de l’infrastructure (Z = 2m)

1,5 × 530.37 × 10 × 2 = 15911.10 KN

P = 66160.90 KN > 15911.10 KN ⇒Il n’y a aucun risque de soulèvement de l’ensemble

VII.3.3 Calcul de l’épaisseur du radier :



L’épaisseur nécessaire du radier sera déterminée à partir des conditions suivantes :

1ère condition :

τu =Vu

b. d≤ 0,06 × fc28

Avec :

Vu : L’effort tranchant ultime Vu = Qu × L 2⁄

L : La longueur maximale d’une bande de 1m,

L = 4.80 m

Qu =Nu

Sradier=

54286.93

530.37= 102.35 KN/m²

Vu = 102.35 ×4.80

2 = 245.64 KN

Vu

b. d≤ 0,06 × fc28 d ≥

Vu

0,06 × fc28 × b

d ≥245.64 × 10−3

0,06 × 25 × 1 = 0,16 m

2ème condition :

L 25 ≤ d ≤ L 20⁄⁄ 0,19 ≤ d ≤ 0,24

On prend :

𝐝 = 𝟐𝟓 𝐜𝐦

h = d + e = 25 + 5 = 30 cm

𝐡 = 𝟑𝟎 𝐜𝐦

VII.3.4 Détermination de la hauteur de poutre de libage :

Pour pouvoir assimiler le calcul du radier à un plancher infiniment rigide, la hauteur de la

poutre de libage doit vérifier les conditions suivantes :

L 9⁄ ≤ h ≤ L 6 ⁄ 54 cm ≤ h ≤ 80 cm

On prend : 𝐡 = 𝟖𝟎 𝐜𝐦 ; 𝐛 = 𝟔𝟎 𝐜𝐦 ; 𝐝 = 𝟕𝟐 𝐜𝐦

La section de la poutre de libage : (60 × 80)cm²

VII.3.4 Vérification de la stabilité du radier :


En tenant compte du poids propre du radier (radier + poutres).

Grad = γb

× [hrad × Srad + hp × b × ΣL]

Grad = 25 × [0,30 × 530.37 + 0,80 × 0,60 × 263.40] = 9245.77KN

E.L.S Nser = 9245.7 + 39026.6 = 48272.37KN



Nser

Srad=

48272.37

530.37= 91.01 KN/m2 < σsol̅̅ ̅̅ ̅ = 200KN/m2 … … 𝐂. 𝐕

Vérification de condition de rigidité :

Pour un radier rigide, il faut que :

𝐋𝐦𝐚𝐱 ≤𝛑

𝟐× 𝐋𝐞 ; 𝐋𝐞 = √

𝟒𝐄𝐈

𝛃𝐛

𝟒

Avec :

Le :La longueur élastique, qui permet de déterminer la nature du radier (rigide ou

flexible).

I : Inertie de la poutre

I = bh3 12⁄ = 0,60 × 0,803/12 = 0,025 m4

E : Module d’élasticité du béton E = 32164,20 MPa

b : Largeur de la poutre b = 0,60 m

β : Coefficient de la raideur du sol β = 50 MN/m3

𝐿𝑒 = √4 × 32164,20 × 0,025

50 × 0,60

4

= 3.69 𝑚

𝐿𝑚𝑎𝑥 = 4.80𝑚 <𝜋

2× 𝐿𝑒 = 5.79 𝑚 … … … 𝑪. 𝑽

VII.3.5 Evaluation des charges pour le calcul du radier :

Poids unitaire du radier :

σrad = γb × h = 25 × 0,30 = 7,50 KN/m²

Q = σmax − σrad = 102.35 − 7,50 = 94.85 KN/m²

Donc la charge en « m² » à prendre en compte dans le calcul du ferraillage du radier

Q = 94.85 KN/m²

VII-3-6 Ferraillage du radier :

Le radier se calcule comme un plancher renversé appuyé sur les voiles et les poteaux, les

panneaux seront calculés comme des dalles appuyées sur 4 cotés et chargées par la contrainte

du sol.

VII.3.7 Ferraillage des dalles :



Figure VII.3 : Schéma de dalle du radier.

Pour l’exemple, on prend le panneau le plus défavorable (le plus grand). On fait le ferraillage

pour une bande de 1m.

α =Lx

Ly=

4.20

4.80= 0.87 > 0,4 la dalle porte dans les deux sens.

A l’ELU :

α = 0.87 {μx = 0.0486μy = 0.7244

Les moments :

{M0x = μx × Q × Lx

2 = 0.0486 × 94.85 × 4,22 = 81.31 KN. m M0y = μy × M0x = 0.7244 × 81.31 = 58.90 KN. m

Moments en appuis :

{Max = 0,5M0x

May = 0,5M0y{

Max = 40.65 KN. mMay = 29.45 KN. m

Moments en travées :

{M𝐭x = 0,75M0x

M𝐭y = 0,75M0y{

M𝐭x = 60.98 KN. m M𝐭y = 44.17 KN. m

En appui :

Sens X :

Max = 40.65 KN. m

μbu =Max

b. d2. fbu=

40.65 × 10−3

1 × 0,272 × 14,17= 0,039

μbu = 0,039 < μlim = 0,392 → sec𝐭ion sans arma𝐭ures comprimées(A′ = 0)

α = 1,25 × (1 − √1 − 2μbu) = 1,25 × (1 − √1 − 2 × 0,039 ) = 0,049

Zb = d(1 − 0,4α) = 0,27 × (1 − 0,4 × 0,049) = 0,26 m



As cal =Max

Zb.σs=

40.65×10−3

0,26×347,82= 4.49 cm2/ml

Choix des barres : 𝟓𝐓𝟏𝟐 = 𝟓, 𝟓𝟔 𝒄𝒎𝟐/𝒎𝒍

Sens Y :

May = 29.45 KN. m

μbu =May

b. d2. fbu=

29.45 × 10−3

1 × 0,272 × 14,17= 0,028

μbu = 0,028 < μlim = 0,392 → section sans armatures comprimées(A′ = 0)

α = 1,25 × (1 − √1 − 2μbu) = 1,25 × (1 − √1 − 2 × 0,028 ) = 0,035

Zb = d(1 − 0,4α) = 0,27 × (1 − 0,4 × 0,035 ) = 0,26 m

As cal =May

Zb. σs=

29.45 × 10−3

0,26 × 347,82= 3.25 cm2/ml

Choix des barres : 𝟓𝐓𝟏𝟐 = 𝟓, 𝟔𝟓 𝐜𝐦𝟐/𝐦𝐥

En travée :

Sens X :

Mtx = 60.98 KN. m

μbu =Mtx

b. d2. fbu=

60.98 × 10−3

1 × 0,272 × 14,17= 0,059


α = 1,25 × (1 − √1 − 2μbu) = 1,25 × (1 − √1 − 2 × 0,059 ) = 0,076

Zb = d(1 − 0,4α) = 0,27 × (1 − 0,4 × 0,076) = 0,26 m

As cal =Mtx

Zb. σs=

60.98 × 10−3

0,26 × 347,82= 6.74 cm2/ml

Choix des barres : 𝟓𝐓𝟏𝟒 = 𝟕. 𝟕𝟎 𝐜𝐦𝟐/𝐦𝐥

Sens Y :

Mty = 44.17 KN. m

μbu =Mty

b. d2. fbu=

44.17 × 10−3

1 × 0,272 × 14,17= 0,042




α = 1,25 × (1 − √1 − 2μbu) = 1,25 × (1 − √1 − 2 × 0,042 ) = 0,054

Zb = d(1 − 0,4α) = 0,27 × (1 − 0,4 × 0,054) = 0,26 m

As cal =Mty

Zb. σs=

44.17 × 10−3

0,26 × 347,82= 4.88 cm2/ml

Choix des barres :

𝟓𝐓𝟏𝟐 = 𝟓, 𝟔𝟓 𝐜𝐦𝟐/𝐦𝐥

Section minimale d’armatures : (BAEL 91 P 211) :

As min = 0,23. b. d.ft28

fe= 0,23 × 1 × 0,27 ×

2,1

400= 3,26 cm2/ml

Calcul d’espacement selon le B.A.E.L.99 :

St ≤ min(3h ; 33cm)

St ≤ min(240 cm ; 33cm) ⇒ St = 20 cm

Tableau VII.1 : récapitulatif des sections armatures.

Moments

(𝐊𝐍. 𝐦)

𝐀𝐬 𝐜𝐚𝐥

(𝐜𝐦𝟐

/𝐦𝐥)

𝐀𝐬 𝐦𝐢𝐧

(𝐜𝐦𝟐

/𝐦𝐥)

Choix

des

barres

𝐀𝐬 𝐚𝐝𝐨𝐩

(𝐜𝐦𝟐

/𝐦𝐥)

𝐒𝐭

(𝐜𝐦)

Sens

X .X

appuis 40.65 4.49 3.26 𝟓𝐓𝟏𝟒 7.70 20

travées 60.98 6.74 3.26 𝟓𝐓𝟏𝟒 7.70 20

Sens Y.Y appuis 29.45 3.25 3.26 𝟓𝐓𝟏𝟒 7.70 20

travées 44.17 4.88 3.26 𝟓𝐓𝟏𝟒 7.70 20

Figure VII.4 : Schéma de ferraillage de radier.

5T14 5T14



VII.3.8 Ferraillage de la poutre de libage :

Le rapport 𝛼 =𝐿𝑥

𝐿𝑦> 0,4 pour tous les panneaux constituants le radier, donc les charges

transmises par chaque panneau se subdivisent en deux charges trapézoïdales et deux charges

triangulaires. Pour le calcul du ferraillage, on prend le cas le plus défavorable dans chaque

sens et on considère des travées isostatiques.

a. Sens longitudinal Y :

Calcul de Q’ :

C'est la charge uniforme équivalente pour le calcul des moments.

Q′ =Q

2[(1 −

LX12

3 × LY12 ) × LX1 + (1 −

LX22

3 × LY12 ) × LX2]

Avec :

LX1 = 4.80 m

LY1 = 4,20 m

LX2 = 4.80 m

Q = 94.85 KN/m2

Q′ =94.85

2[(1 −

4.802

3 × 4,202) × 4.80 + (1 −

4.802

3 × 4,202) × 4.80] = 257.01 KN/m

Donc :

M0 =Q′ × L²

8=

257.01 × 4.802

8= 740.18 KN. m

Calcul du ferraillage :

Section minimale d’armatures : (BAEL 91 P 211) :

As min = 0,23. b. d.ft28

fe= 0,23 × 0,60 × 0,855 ×

2,1

400= 6,19 cm2

En travée :

Mt = 0,75M0 = 555.13 KN. m

b = 60 cm ; h = 80 cm ; d = 72 cm

μbu =Mt

fbu × b × d²=

555.13 × 10−3

14,17 × 0,60 × 0.72²= 0,12

μbu = 0,12 < μlu = 0,392



α = 1,25 × (1 − √1 − 2μbu) = 1,25 × (1 − √1 − 2 × 0,12 ) = 0,16

Zb = d(1 − 0,4α) = 0.72 × (1 − 0,4 × 0,16) = 0,67 m

At =Mt

Zb × σs=

555.13 × 10−3

0.67 × 347,82= 23.82 cm2

As = max(As cal et As min) = 23.82 cm2

Choix des barres :

𝟓𝐓𝟐𝟎 + 𝟓𝐓𝟏𝟔 → 𝐀 = 𝟐𝟓, 𝟕𝟔 𝐜𝐦𝟐

En appui :

Appui intermédiaire :

Ma = 0,5M0 = 370.09KN. m

μbu =Ma

fbu × b × d²=

370.09 × 10−3

14,17 × 0,60 × 0.72²= 0,083

μbu = 0,083 < μlu = 0,392

α = 1,25 × (1 − √1 − 2μbu) = 1,25 × (1 − √1 − 2 × 0,083 ) = 0,10

Zb = d(1 − 0,4α) = 0.72 × (1 − 0,4 × 0,10) = 0,69 m

Aa =Ma

Zb × σs=

370.09 × 10−3

0.69 × 347,82= 15.42 cm2


Choix des barres : 𝟓𝐓𝟏𝟔(𝐟𝐢𝐥) + 𝟓𝐓𝟏𝟒(𝐜𝐡𝐚𝐩) = 𝟏𝟕. 𝟕𝟓 𝐜𝐦𝟐

Appui de rive :

Ma = 0,2M0 = 148.03 KN. m

μbu =Ma

fbu × b × d²=

148.03 × 10−3

14,17 × 0,60 × 0.72²= 0,033

μbu = 0,033 < μlu = 0,392

α = 1,25 × (1 − √1 − 2μbu) = 1,25 × (1 − √1 − 2 × 0,033 ) = 0,041

Zb = d(1 − 0,4α) = 0.72 × (1 − 0,4 × 0,41) = 0,60 m

Aa =Ma

𝑍𝑏 × σs=

148.03 × 10−3

0.60 × 347,82= 7.09 cm2




Choix des barres :

𝟓𝐓𝟏𝟔 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟓 𝐜𝐦𝟐

b. Sens Transversal X :

Calcul de Q’ :

C'est la charge uniforme équivalente pour le calcul des moments.

Q′ =2

3× Q × LX1

Avec :

LX1 = 4.80 m

Q = 94.85 KN/m2

Donc :

Q′ =2

3× 94.85 × 4.80 = 303.52 KN/m

M0 =Q′×L²

8= 874.13 KN. m


En travée :

Mt = 0,75M0 = 655.59 KN. m

μbu =Mt

fbu × b × d²=

655.59 × 10−3

14,17 × 0,60 × 0.72²= 0,14

μbu = 0,14 < μlu = 0,392

α = 1,25 × (1 − √1 − 2μbu) = 1,25 × (1 − √1 − 2 × 0,14 ) = 0,20

Zb = d(1 − 0,4α) = 0.72 × (1 − 0,4 × 0,20) = 0,66 m

At =Mt

Zb × σs=

655.59 × 10−3

0.66 × 347,82= 28.55 cm2


Choix des barres :

𝟓𝐓𝟐𝟎 + 𝟓𝐓𝟐𝟎 → 𝐀 = 𝟑𝟏. 𝟒𝟐 𝐜𝐦𝟐



En appui :

Appui intermédiaire :

Ma = 0,5M0 = 437.06 KN. m

μbu =Ma

fbu × b × d²=

437.06 × 10−3

14,17 × 0,60 × 0,72²= 0,10

μbu = 0,10 < μlu = 0,392

α = 1,25 × (1 − √1 − 2μbu) = 1,25 × (1 − √1 − 2 × 0,10 ) = 0,13

Zb = d(1 − 0,4α) = 0.72 × (1 − 0,4 × 0,10) = 0,60 m

Aa =Ma

β × d × σs=

437.06 +× 10−3

0.60 × 347,82= 20.94 cm2


Choix des barres :

𝟓𝐓𝟐𝟎(𝐟𝐢𝐥) + 𝟓𝐓𝟏𝟔(𝐜𝐡𝐚𝐩) = 𝟐𝟓, 𝟕𝟔 𝐜𝐦𝟐

Appui de rive :

Ma = 0,2M0 = 174.82 KN. m

μbu =Ma

fbu × b × d²=

174.82 × 10−3

14,17 × 0,60 × 0,72²= 0,039

μbu = 0,039 < μlu = 0,392

α = 1,25 × (1 − √1 − 2μbu) = 1,25 × (1 − √1 − 2 × 0,039) = 0,049

Zb = d(1 − 0,4α) = 0.72 × (1 − 0,4 × 0,049) = 0.70 m

Aa =Ma

Zb × σs=

174.82 × 10−3

0.70 × 347,82= 7.18 cm2


Choix des barres :𝟓𝐓𝟏𝟔 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟓 𝐜𝐦𝟐

Armatures de peau :

Selon le BAEL 91, la hauteur de l'âme de la poutre :

ha ≥ 2(80 − 0,1fe) = 80 cm.



Dans notre cas ha = 80 cm (vérifiée), donc notre poutre est de grande hauteur, dans ce cas il

devient nécessaire d'ajouter des armatures supplémentaires sur les parois de la poutre

(armatures de peau).

Donc pour une poutre de section (h × b0) = ( 0,95 × 0,60 )m²

On a :

Asp = 3 × 2(b0 + h)[cm²]

Asp = 3 × 2( 0,60 + 0,80 ) = 8.4 cm²

On adopte :𝟒𝐓𝟐𝟎(𝐟𝐢𝐥) = 𝟏𝟐, 𝟓𝟕 𝒄𝒎²

Calcul du débord :

Le débord est considéré comme une console encastrée d’une longueurL = 60 cm

Le calcul se fait sur une bande de 1m

Figure VI.5 : Schéma du débord.

Sollicitations maximales :

qu =Nu

S× 1 =

54286.93

530.37× 1 = 102.35 KN. m

Mu =qu × L2

2=

102.35 × 0,62

2= 18.42 KN. m

qser =Nser

S× 1 =

39026.6

530.37× 1 = 73.58 KN

Mser =qser × L2

2=

73.58 × 0,62

2= 13.24 KN. m

60 cm




μbu =Mu

fbu × b × d²=

18.42 × 10−3

14,17 × 1 × 0,272= 0,017

μbu = 0,017 < μlu = 0,392

α = 1,25 × (1 − √1 − 2μbu) = 1,25 × (1 − √1 − 2 × 0,017 ) = 0,021

Zb = d(1 − 0,4α) = 0.27 × (1 − 0,4 × 0,021) = 0.26 m

As =Mu

Zb × σs=

18.42 × 10−3

0.26 × 347,82= 2.03 cm2/ml

Armatures de répartitions :

Ar =As

4=

2.03

4= 0,50/ml

Armatures minimales :

Amin =0,23 × ft28 × b × d

fe=

0,23 × 2,1 × 1 × 0,27

400= 3,26 cm2/ml

Choix des armatures :

Pour une bande de 1ml, on adopte : 𝟓𝐓𝟏𝟐 = 𝟓, 𝟔𝟓 𝐜𝐦𝟐/𝐦𝐥 pour les armatures longitudinales

et de répartitions.

VII.3.9 Ferraillage de longrines :

Une longrine est une poutre en béton armé disposée horizontalement, assure la répartition des

charges des éléments supportés (murs, poteaux, dalles)

La force maximale du poteau :

Nmax = Nu = 2589.84 KN (effort normal maximal du poteau)

Les longrines auront les dimensions minimales de (30 x 40)cm².

Les longrines doivent être calculées pour résister à la traction sous l’action d’une force égale à

F= (N/) 20 KN

Avec :

= coefficient fonction de la zone sismique et de la catégorie de site considéré (selon R.P.A

(=10)).

Donc :



F =N

F = 2589.84

10

F = 258.984 KN

As F

σs

As ≥ (258.984×10−3

348) × 10−4

AS 7.44 cm²

La section minimale :

Amin =0.6% x b x h

Amin =7.2 cm²

AS =7.44 cm² Amin =7.2 cm²

On adopte : 6T14 =9.24 cm²

Armatures transversales :

t min (h/35 ; b/10)

t min (400/35 ; 300/10)

t min (11.43 ; 30) t = 8 mm

Calcul de l’espacement :

St min (20 cm ; 15)

St min (20 cm ; 18 cm) St =15 cm

VII.2 Etude des voiles périphériques :

VII.2.1 Introduction :

D'après RPA99 version 2003, Le voile périphérique fonctionne comme un mur de

soutènement chargé en une surface, ou bien en d’autres termes est une caisse rigide assurant

l’encastrement de la structure et la résistance contre la poussée des terres.

le voile périphérique doit avoir les caractéristiques minimales suivantes :

- Épaisseur ≥ 15 cm.

- Il doit contenir deux nappes d’armatures.

- Le pourcentage minimal des armatures est de 0.1 % dans les deux sens.

- Les ouvertures dans le voile ne doivent pas réduire sa rigidité d’une manière importante.

Il est calculé comme une dalle supposée uniformément chargée par la poussée des terres.



VII.2.2 Les dimensions du voile :

La hauteur : h = 2 m

La longueur : L = 4.8 m

L’épaisseur : e = 20 cm

Figure VII.6 : Dimensions du voile périphérique.

VII.2.3 Caractéristiques du sol :

Le poids spécifique :γh

= 18 KN/m2

Angle de frottement : φ = 35°

La cohésion : C = 0

VII.2.4 Évaluation de charges et surcharges :

1. Calcul de la force de la poussée des terres :

p = γh

× h × (tg2 (π

4−

φ

2)) − 2 × C × tg (

π

4−

φ

2)

p = 18 × 2 × (tg2 (π

4−

35

2)) − 2 × 0 × tg (

π

4−

35

2)

p = 9.75 KN/m2

2. Surcharge accidentelle :

q = 10 KN/m2

Q = q × tg2 (π

4−

φ

2) = 10 × tg2 (

π

4−

35

2) = 2,71 KN/m2



VII.2.5 Ferraillage du voile :

Le voile périphérique sera calculé comme une dalle pleine sur quatre appuis uniformément

chargée, l’encastrement est assuré par le plancher, les poteaux et les fondations.

Etat limite ultime (E.L.U) :

Calcul des contraintes :

Figure VII.7 : Diagramme des contraintes.

σmoy =3σmax + σmin

4=

3 × 17.22 + 4,07

4= 13.93 KN/m2

qu = σmoy × 1ml = 13.93 × 1 = 13.93 KN/ml

Le voile périphérique se calcule comme un panneau de dalle sur quatre appuis, uniformément

chargé d’une contrainte moyenne tel que :

{

Lx = 2 Ly = 4.8

h = 20 cm ; b = 1 ml ; d = 18 cm

Calcul des sollicitations :

α =Lx

Ly=

2

4.8= 0.45 ⇒ dalle travail dans les deux sens.

α = 0,45 {μ

x= 0.1036

μy

= 0.2500



{M0x = μ

x× qu × Lx

2 = 0,1036 × 13.93 × 22 = 5.77 KN. m

M0y = μy

× M0x = 0,2500 × 5.77 = 1.44 KN. m

Moment en appuis :

{Max = 0,5M0x

May = 0,5M0y{

Max = 2.88 KN. mMay = 0.72KN. m

Moments en travée :

{M𝐭x = 0,75M0x

M𝐭y = 0,75M0y{

M𝐭x = 4.32 KN. m M𝐭y = 1.08 KN. m


Les résultats de calcul sont représentés dans le tableau suivant :

Avec :

- AminRPA = 0,1% × b × h

- AminBAEL = 0,23 × b × d ×

ft28

fe

Calcul d’espacement selon le RPA99 :

St = min(30cm ; 1,5h)

St = min(30cm ; 30cm) ⇒ St = 30cm

Etat limite service (E.L.S) :

σmin = Q = 2,71 KN/m2

σmax = G + Q = 12.46 KN/m2

Tableau VII.2 : Ferraillage des Voiles périphériques à l’ELU.

Moment

𝐊𝐍. 𝐦 𝛍𝐛𝐮 𝛂

𝐙𝐛

(𝐦)

𝐀𝐬 𝐜𝐚𝐥

(𝐜𝐦𝟐/𝐦𝐥)

𝐀𝐦𝐢𝐧𝐑𝐏𝐀


𝐀𝐦𝐢𝐧𝐁𝐀𝐄𝐋


𝐀𝐬 𝐚𝐝𝐨𝐩


Sens

xx

Appui 2.88 0,062 0,080 0,17 0.45 2 0.89 𝟓𝐓𝟏𝟐 = 𝟓, 𝟔𝟓

Travée 4.32 0,094 0,023 0,17 0.69 2 0.89 𝟓𝐓𝟏𝟐 = 𝟓, 𝟔𝟓

Sens

yy

Appui 0.72 0,015 0,018 0,17 0.11 2 0.89 𝟓𝐓𝟏𝟐 = 𝟓, 𝟔𝟓

Travée 1.08 0,023 0,029 0,17 0.17 2 0.89 𝟓𝐓𝟏𝟐 = 𝟓, 𝟔𝟓



σmoy =3σmax + σmin

4=

3 × 12.46 + 2,71

4= 10.02 KN/m2

qser = σmoy × 1ml = 10.02 × 1 = 10.02 KN/ml

α = 0,76 {μ

x= 0.1063

μy

= 0.3234

{M0x = μ

x× qser × Lx

2 = 0,1063 × 10.02 × 22 = 4.26 KN. m

M0y = μy

× M0x = 0,3234 × 4.26 = 1.37 KN. m

Moment en appuis :

{Max = 0,5M0x

May = 0,5M0y{

Max = 2.12 KN. mMay = 0.68 KN. m

Moments en travée :

{M𝐭x = 0,75M0x

M𝐭y = 0,75M0y{

M𝐭x = 3.19 KN. m M𝐭y = 1.02 KN. m


Pour α > 0.4 𝑜𝑛 𝑎 ∶

{Tux =

qu×Lx

2×

1

1+ρ

2

=9.75×2

2×

1

1+0.45

2

= 7.95 KN

Tux =qu×Lx

2=

9.75×2

2= 9.75 KN ≤ Tux = 7.95 KN

τu =Tu max

b0×d=

7.95×10−3

1×0.18= 0.044 MPa

- La contrainte limite :

τ̅u =0.07×fc28

γb

=0.07×25

1.5= 1.17 MPa

On a : τu = 0.044 MPa < τ̅u = 1.17 MPa ⟹ CV.

Donc il n’y aura pas d’armature d’âme (les armatures qui reprennent l’effort tranchant).

Vérification des contraintes à l’ELS :

- Pour le béton :

σbc =Mser

Iy



On vérifier : σbc ≤ σbc̅̅ ̅̅ = 0,60ƒc28

= 15 Mpa

- Pour l’acier :

Fissuration préjudiciable ⇒ σs = 15 ×Mser

I(d − y) ≤ σs̅̅̅ = min (

2ƒe

3 ; 110√η. ƒ

t28)

Schéma de ferraillage :

Tableau VII. 3 : Vérifications des contraintes à l’ELS.

𝐌𝐬

𝐊𝐍. 𝐦

𝐲

𝐜𝐦

I

𝐜𝐦𝟒

𝛔𝐛𝐜 ≤ 𝛔𝐛𝐜̅̅ ̅̅̅

𝐌𝐏𝐚 Obs

𝛔𝐬 ≤ 𝛔𝐬̅̅ ̅

𝐌𝐏𝐚 Obs

Sens

x-x

Appui 2.12 4,74 18451.27 0.54 < 15 C.V 22.82 < 201,63 C.V

Travée 3.19 4,74 18451.27 0.81 < 15 C.V 34.38 < 201,63 C.V

Sens

y-y

Appui 0.68 4,74 18451.27 0.17 < 15 C.V 7.33 < 201,63 C.V

Travée 1.02 4,74 18451.27 0.26 < 15 C.V 10.99 < 201,63 C.V



Figure VI.8 : Schéma de ferraillage du voile périphérique.

Conclusion générale :

Tout au long de la préparation de notre projet de fin d’étude, on a pu apprendre

connaissance des principales étapes à mesurer, il nous a aussi permis de

comprendre plusieurs facettes du métier d’un master et d’utiliser le logiciel

[Robot 2014 version 2003] pour modéliser une structure, nous nous sommes

rendus compte que le but d’un travail de recherche n’est pas forcément de

donner des réponses concrètes mais d’essayer de contribuer aux études, même si

cela pouvait être problématique par moment, cette étude a enrichi nos

connaissances le long de notre cursus, et on a tiré de nombreuses conclusions,

parmi celles-ci, on a pu obtenir ce qui suit :

La modélisation qui doit englober tous les éléments de la structure pour

permettre d’avoir un comportement proche de la réalité.

La disposition des voiles qui a un rôle important pour assurer la stabilité

et la sécurité d’une structure.

La réduction des efforts internes de flexion et de cisaillement au niveau

des poteaux à cause des voiles, qui ont donné lieu à des sections de

poteaux soumises à des moments relativement faibles.

Finalement nous espérons que ce travail soit le premier pas vers la vie

professionnelle et un guide pour ceux qui s’intéressent au métier d’ingénieur en

génie civil.

Bibliographies:

Règlements:

RPA 99 règlement parasismique algerien 2003.

BAEL 91calcule Béton armé aux Etats limites ultimes.

CBA 93 Conception et calcul des structures en béton armé.

DTR

Autres documents:

Memoire de fin d’étude.

Cahiers de cours.

Logiciels:

Robot structural 2014.

AutoCAD 2011.

Word 2007.

Excel 2007.

Les annexes:

Annexe 01:

Annexe 02:

𝛼 =𝐿𝑥𝐿𝑦

ELU 𝑣 = 0 ELS 𝑣 = 0.2

𝜇𝑥 𝜇𝑦 𝜇𝑥 𝜇𝑦 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45

0.46 0.47 0.48 0.49 0.50

0.41 0.52 0.53 0.54 0.55

0.56 0.57 0.58 0.59 0.60

0.61 0.62 0.63 0.64 0.65

0.66 0.67 0.68 0.69 0.70

0.71 0.72 0.73 0.74 0.75

0.76 0.77 0.78 0.79 0.80

0.1101 0.1088 0.1075 0.1062 0.1049 0.1036

0.1022 0.1008 0.0994 0.0980 0.0966

0.0951 0.0937 0.0922 0.0908 0.0894

0.0880 0.0865 0.0851 0.0836 0.0822

0.0808 0.0794 0.0779 0.0765 0.0751

0.0737 0.0723 0.0710 0.0697 0.0684

0.0671 0.0658 0.0646 0.0633 0.0621

0.0608 0.0596 0.0584 0.0573 0.0561

0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500

0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500

0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500

0.2500 0.2582 0.2703 0.2822 0.2984

0.3075 0.3205 0.3338 0.3472 0.3613

0.3753 0.3895 0.4034 0.4181 0.4320

0.4471 0.4624 0.4780 0.4938 0.5105

0.5274 0.5440 0.5608 0.5786 0.5959

0.0121 0.1110 0.1098 0.1087 0.1075 0.1063

0.1051 0.1038 0.1026 0.1013 0.1000

0.0987 0.0974 0.0961 0.0948 0.0936

0.0923 0.0910 0.0897 0.0884 0.0870

0.0857 0.0844 0.0831 0.0819 0.0805

0.0792 0.0780 0.0767 0.0755 0.0743

0.0731 0.0719 0.0708 0.0696 0.0684

0.0672 0.0661 0.0650 0.0639 0.0628

0.2854 0.2924 0.3000 0.3077 0.3155 0.3234

0.3319 0.3402 0.3491 0.3580 0.3671

0.3758 0.3853 0.3949 0.4050 0.4150

0.4254 0.4357 0.4456 0.4565 0.4672

0.4781 0.4892 0.5004 0.5117 0.5235

0.5351 0.5469 0.5584 0.5704 0.5817

0.5940 0.6063 0.6188 0.6315 0.6447

0.6580 0.6710 0.6841 0.6978 0.7111

0.81 0.82 0.83 0.84 0.85

0.86 0.87 0.88 0.89 0.90

0.91 0.92 0.93 0.94 0.95

0.96 0.97 0.98 0.99 1.00

0.0550 0.0539 0.0528 0.0517 0.0506

0.0496 0.0486 0.0476 0.0466 0.0456

0.0447 0.0437 0.0428 0.0419 0.0410

0.0401 0.0392 0.0384 0.0376 0.0368

0.6135 0.6313 0.6494 0.6678 0.6864

0.7052 0.7244 0.7438 0.7635 0.7834

0.8036 0.8251 0.8450 0.8661 0.8875

0.9092 0.9322 0.9545 0.9771 1.0000

0.0617 0.0607 0.0956 0.0586 0.0576

0.0566 0.0556 0.0546 0.0537 0.0528

0.0518 0.0509 0.0500 0.0491 0.0483

0.0474 0.0464 0.0457 0.0446 0.0441

0.7246 0.7381 0.7518 0.7655 0.7794

0.7932 0.8074 0.8216 0.8358 0.8502

0.8646 0.8799 0.8939 0.9087 0.9236

0.9385 0.9543 0.9694 0.9847 0.1000

Annexe 03:

Thème - pmb.univ-saida.dz

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