Thème 5: Fonctions, études du signe et esquisses
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Microsoft Word - Theme 5 Esquisses.docx3CSanté – JtJ 2021
Introduction:
Dans ce chapitre, nous étudierons une démarche permettant d’esquisser le graphe de fonctions polynomiales de degré supérieur à 2 mais également le
graphe de fonctions rationnelles de type f (x) = polynôme
polynôme .
Nous utiliserons un nouvel outil : le tableau de signes de f (x). Mais avant ceci assurons-nous que cette fonction rationnelle f soit bien définie pour toutes les valeurs que nous serons amenées à utiliser. Il s'agira donc de poser l'ensemble de définition de la fonction f.
5.1 Notion d’ensemble de définition
Définition:
Considérons une fonction donnée par la formule y = f (x) . L’ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles on peut utiliser cette formule s’appelle l’ensemble de définition de la fonction. On le note ED.
Méthode:
Pour trouver l’ensemble de définition d’une fonction, on cherche s’il y a des valeurs interdites pour lesquelles on ne peut pas faire le calcul.
On se souviendra en particulier qu’il est interdit de diviser par zéro.
Modèle 1:
Déterminer ED :
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f définie par:
f (x) = 1
Quelles constatations peut-on faire sur sa représentation graphique proposée ci-dessus ?
x−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f définie par:
f (x) = x
2x2 − 5x −12
Exercice 5.1:
Donner l’ensemble de définition de la fonction f si :
a) f (x) = x(x + 4) 3− 2x
b) f (x) = 2x
d) f (x) = x − 1
x
g) f (x) = −5(4 − x)2
(1− x 2)(2 − x)
x−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
y
−3
−2
−1
1
2
3
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Modèle 3 :
Considérons la fonction f définie par f (x) = 2x – 5.
a) Représenter cette fonction sur le système d’axes
b) Compléter les solutions des in/équations ci-dessous :
• 2x – 4 < 0
Modèle 4 :
De l’esquisse au tableau de signes:
Déterminer le tableau de signes de la fonction f représentée ci- dessous.
x
y
y
Exercice 5.2:
Déterminer le tableau de signes des fonctions f représentées ci- dessous :
a) b)
c) d)
e) f)
Modèle 5 :
De l’esquisse au tableau de signes:
Déterminer le tableau de signes de la fonction f représentée ci- dessous.
x-3 3
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Exercice 5.3:
Déterminer le tableau de signes des fonctions f représentées ci- dessous :
a) b)
5.2 Tableau de signes d’une fonction du 1er degré:
Le graphique d’une fonction f du 1er degré est toujours une droite. Ainsi donc, le tableau de signes s’obtiendra directement en résolvant l’équation f (x) = 0 et en observant le signe de sa pente.
Modèle 6 :
Fonction du 1er degré:
Étudier le signe de la fonction f définie par f (x) = 2x – 3.
x-3 3
Étudier le signe des fonctions suivantes :
a) f (x) = 5x + 3 b) f (x) = 2 – 3x c) f (x) = -2(x + 1/3)
d) f (x) = 7(x – 7) e) f (x) = -8x f) f (x) = -8x – 5
5.3 Tableau de signe d’une fonction du 2ème degré:
Le graphique d’une fonction f du 2ème degré est toujours une parabole. Ainsi donc, le tableau de signes s’obtiendra directement en résolvant l’équation f (x) = 0 et en observant le signe sur son esquisse.
Modèle 7 :
Fonction du 2ème degré:
Considérons la fonction f définie par f (x) = 2x2 + 5x – 3. Après avoir représenté son graphe sur une esquisse, en déduire son tableau de signes.
Modèle 8 :
Fonction du 2ème degré:
Étudier le signe de la fonction f définie par f (x) = -3x2 + 2x – 1.
OPTION SANTÉ FONCTIONS, ÉTUDES DU SIGNE ET ESQUISSES 7
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Étudier le signe des fonctions suivantes :
a) f (x) = (x + 1)(x – 2) b) f (x) = (-2x + 3)(-3x + 2)
c) f (x) = (3x – 3)(-3 + 2x) d) f (x) =(x + 2)2
e) f (x) = -(4 – x2) f) f (x) = (x – 7) – (2x – 8)
Exercice 5.6:
Étudier le signe des fonctions suivantes :
a) f (x) = 2x2 – 5x + 3 b) f (x) = -3x2 + 14x + 5
c) f (x) = -2x2 + 7x – 9 d) f (x) = -9x2 + 6x – 1
e) f (x) = 6x2 + 17x + 5 f) f (x) = 25x2 – 20x + 4
g) f (x) = 3x2 – 8x + 10 h) f (x) = x2 + 4
i) f (x) = x2 + 2x – 2
5.4 Tableau de signes d’une fonction polynomiale
Les études de signes de ces fonctions font appel aux propriétés suivantes:
(1) La factorisation (2) l’étude du signe des facteurs simples :
ax + b et ax2 + bx + c
(3) La règle des signes:
Signe de A(x) + + – – Signe de B(x) + – + –
Signe de A(x) · B(x) ou A(x)
B(x)
Modèle 9 :
Fonction polynomiale:
Étudier le signe de la fonction f définie par f (x) = -2x(x2 – 2x – 3), puis en déduire une esquisse de f.
8 THÈME 5
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Exercice 5.7:
Étudier le signe des fonctions suivantes puis en déduire l’esquisse du graphique :
a) f (x) = (x + 1)(x – 4)(2 – x) b) f (x) = (x – 9)(x – 3)(x + 2)
c) f (x) = (x – 7)(2x2 – 4x – 6) d) f (x) = -x(x + 3)(x – 4)
e) f (x) = (x2 – x – 6)(x2 + 10x + 9) f) f (x) = (x + 1)3 (x – 5)2
5.5 Tableau de signes d’une fonction rationnelle
Modèle 10 :
Fonction rationnelle:
Étudier le signe de la fonction f définie par f (x) = x −1
(5 − x)( x − 2) ,
Modèle 11 :
Fonction rationnelle:
Étudier le signe de la fonction f définie par f (x) = x −1
x2 + 4 ,
OPTION SANTÉ FONCTIONS, ÉTUDES DU SIGNE ET ESQUISSES 9
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Exercice 5.8:
Déterminer ED, étudier le signe puis en déduire l’esquisse du graphe de f.
a) f (x) = x − 3
x2 − 3x + 2 b) f (x) =
3x 2 − 7x − 20
x(x − 2)(x +1) d) f (x) =
−x(x2 + 4x + 4)
x2 + 9 f) f (x) =
−3
x2
5.6 De l’esquisse à la fonction:
En étudiant l’esquisse d’une fonction, on peut repérer ses zéros ainsi que ses valeurs interdites. On peut alors imaginer de quelle fonction il peut s’agir. La lecture de l’ordonnée à l’origine sur l’esquisse permet de confirmer ou de corriger la fonction proposée.
Modèle 12 :
De l’esquisse à la fonction:
En étudiant l’esquisse ci-dessous, deviner de quelle fonction il peut s’agir.
-5
80
De l’esquisse à la fonction:
En étudiant l’esquisse ci-dessous, deviner de quelle fonction il peut s’agir.
Exercice 5.9:
En étudiant les esquisses ci-dessous, deviner de quelles fonctions il peut s’agir.
a) b)
c) d)
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Exercice 5.10:
En étudiant les esquisses ci-dessous, deviner de quelles fonctions il peut s’agir.
a) b)
c) d)
Exercice 5.11:
f (x) = x3 − 4x2 + x + 6
x3 + 4x2
a) Montrer que f (-1) = 0. b) En déduire un début de factorisation du numérateur de f. c) Factoriser le numérateur et le dénominateur au maximum d) À l'aide d'un tableau de signes, esquisser le graphe de f.
Exercice 5.12:
Effectuer une démarche comparable avec la fonction g définie par:
g(x) = x3 −3x − 2 x2 − 2x +1
-6
5.7 Pour aller un peu plus loin:
Ou comment utiliser les quelques informations que nous avons au sujet d’une fonction afin d’en compléter l’esquisse.
Modèle 14 :
On considère la fonction f définie par:
f (x) = x 3 + 8x 2 − 21x −108
x 2 + 2x −15
dont on donne un début de l’esquisse. Compléter celle-ci pour que le graphe corresponde bien à f.
OPTION SANTÉ FONCTIONS, ÉTUDES DU SIGNE ET ESQUISSES 13
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Exercice 5.13:
Compléter les esquisses afin que le graphe corresponde bien aux fonctions f données.
a) f (x) = x 3 − 9x 2 +11x + 21
x 2
b) f (x) = 2x 3 − x 2 − 25x −12 2x 2 − 3x − 5
c) f (x) = x + 3
x 3 − x 2 −16x +16
14 THÈME 5
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d) f (x) = 2x 3 −11x 2 − 8x + 80 2x 3 −11x 2 +16x − 7
Q U
E L
Q U
E S
R É
P O
N S
E S
A U
X E
X E
R C
IC E
b)
c)
Exercice 5.10: a) f (x) = 3 ⋅ x + 2 x −1 =
3(x + 2) x −1 =
3x + 6 x −1
4(x −1) x + 2 =
4x − 4 x + 2
c) f (x) = x
(x + 2)(x − 3) = x
−x x2 − x − 6
d) f (x) = −1⋅ (x − 4)(x + 3) (x − 2)(x + 4) =
−x 2 + x +12 x 2 + 2x − 8
Exercice 5.11: b) f (x) = (x +1)(……)
……
x2 (x + 4)
Exercice 5.13: Le corrigé sera vu ensemble.
x −1 2 3
Introduction:
Dans ce chapitre, nous étudierons une démarche permettant d’esquisser le graphe de fonctions polynomiales de degré supérieur à 2 mais également le
graphe de fonctions rationnelles de type f (x) = polynôme
polynôme .
Nous utiliserons un nouvel outil : le tableau de signes de f (x). Mais avant ceci assurons-nous que cette fonction rationnelle f soit bien définie pour toutes les valeurs que nous serons amenées à utiliser. Il s'agira donc de poser l'ensemble de définition de la fonction f.
5.1 Notion d’ensemble de définition
Définition:
Considérons une fonction donnée par la formule y = f (x) . L’ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles on peut utiliser cette formule s’appelle l’ensemble de définition de la fonction. On le note ED.
Méthode:
Pour trouver l’ensemble de définition d’une fonction, on cherche s’il y a des valeurs interdites pour lesquelles on ne peut pas faire le calcul.
On se souviendra en particulier qu’il est interdit de diviser par zéro.
Modèle 1:
Déterminer ED :
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f définie par:
f (x) = 1
Quelles constatations peut-on faire sur sa représentation graphique proposée ci-dessus ?
x−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f définie par:
f (x) = x
2x2 − 5x −12
Exercice 5.1:
Donner l’ensemble de définition de la fonction f si :
a) f (x) = x(x + 4) 3− 2x
b) f (x) = 2x
d) f (x) = x − 1
x
g) f (x) = −5(4 − x)2
(1− x 2)(2 − x)
x−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
y
−3
−2
−1
1
2
3
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Modèle 3 :
Considérons la fonction f définie par f (x) = 2x – 5.
a) Représenter cette fonction sur le système d’axes
b) Compléter les solutions des in/équations ci-dessous :
• 2x – 4 < 0
Modèle 4 :
De l’esquisse au tableau de signes:
Déterminer le tableau de signes de la fonction f représentée ci- dessous.
x
y
y
Exercice 5.2:
Déterminer le tableau de signes des fonctions f représentées ci- dessous :
a) b)
c) d)
e) f)
Modèle 5 :
De l’esquisse au tableau de signes:
Déterminer le tableau de signes de la fonction f représentée ci- dessous.
x-3 3
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Exercice 5.3:
Déterminer le tableau de signes des fonctions f représentées ci- dessous :
a) b)
5.2 Tableau de signes d’une fonction du 1er degré:
Le graphique d’une fonction f du 1er degré est toujours une droite. Ainsi donc, le tableau de signes s’obtiendra directement en résolvant l’équation f (x) = 0 et en observant le signe de sa pente.
Modèle 6 :
Fonction du 1er degré:
Étudier le signe de la fonction f définie par f (x) = 2x – 3.
x-3 3
Étudier le signe des fonctions suivantes :
a) f (x) = 5x + 3 b) f (x) = 2 – 3x c) f (x) = -2(x + 1/3)
d) f (x) = 7(x – 7) e) f (x) = -8x f) f (x) = -8x – 5
5.3 Tableau de signe d’une fonction du 2ème degré:
Le graphique d’une fonction f du 2ème degré est toujours une parabole. Ainsi donc, le tableau de signes s’obtiendra directement en résolvant l’équation f (x) = 0 et en observant le signe sur son esquisse.
Modèle 7 :
Fonction du 2ème degré:
Considérons la fonction f définie par f (x) = 2x2 + 5x – 3. Après avoir représenté son graphe sur une esquisse, en déduire son tableau de signes.
Modèle 8 :
Fonction du 2ème degré:
Étudier le signe de la fonction f définie par f (x) = -3x2 + 2x – 1.
OPTION SANTÉ FONCTIONS, ÉTUDES DU SIGNE ET ESQUISSES 7
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Étudier le signe des fonctions suivantes :
a) f (x) = (x + 1)(x – 2) b) f (x) = (-2x + 3)(-3x + 2)
c) f (x) = (3x – 3)(-3 + 2x) d) f (x) =(x + 2)2
e) f (x) = -(4 – x2) f) f (x) = (x – 7) – (2x – 8)
Exercice 5.6:
Étudier le signe des fonctions suivantes :
a) f (x) = 2x2 – 5x + 3 b) f (x) = -3x2 + 14x + 5
c) f (x) = -2x2 + 7x – 9 d) f (x) = -9x2 + 6x – 1
e) f (x) = 6x2 + 17x + 5 f) f (x) = 25x2 – 20x + 4
g) f (x) = 3x2 – 8x + 10 h) f (x) = x2 + 4
i) f (x) = x2 + 2x – 2
5.4 Tableau de signes d’une fonction polynomiale
Les études de signes de ces fonctions font appel aux propriétés suivantes:
(1) La factorisation (2) l’étude du signe des facteurs simples :
ax + b et ax2 + bx + c
(3) La règle des signes:
Signe de A(x) + + – – Signe de B(x) + – + –
Signe de A(x) · B(x) ou A(x)
B(x)
Modèle 9 :
Fonction polynomiale:
Étudier le signe de la fonction f définie par f (x) = -2x(x2 – 2x – 3), puis en déduire une esquisse de f.
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Exercice 5.7:
Étudier le signe des fonctions suivantes puis en déduire l’esquisse du graphique :
a) f (x) = (x + 1)(x – 4)(2 – x) b) f (x) = (x – 9)(x – 3)(x + 2)
c) f (x) = (x – 7)(2x2 – 4x – 6) d) f (x) = -x(x + 3)(x – 4)
e) f (x) = (x2 – x – 6)(x2 + 10x + 9) f) f (x) = (x + 1)3 (x – 5)2
5.5 Tableau de signes d’une fonction rationnelle
Modèle 10 :
Fonction rationnelle:
Étudier le signe de la fonction f définie par f (x) = x −1
(5 − x)( x − 2) ,
Modèle 11 :
Fonction rationnelle:
Étudier le signe de la fonction f définie par f (x) = x −1
x2 + 4 ,
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Exercice 5.8:
Déterminer ED, étudier le signe puis en déduire l’esquisse du graphe de f.
a) f (x) = x − 3
x2 − 3x + 2 b) f (x) =
3x 2 − 7x − 20
x(x − 2)(x +1) d) f (x) =
−x(x2 + 4x + 4)
x2 + 9 f) f (x) =
−3
x2
5.6 De l’esquisse à la fonction:
En étudiant l’esquisse d’une fonction, on peut repérer ses zéros ainsi que ses valeurs interdites. On peut alors imaginer de quelle fonction il peut s’agir. La lecture de l’ordonnée à l’origine sur l’esquisse permet de confirmer ou de corriger la fonction proposée.
Modèle 12 :
De l’esquisse à la fonction:
En étudiant l’esquisse ci-dessous, deviner de quelle fonction il peut s’agir.
-5
80
De l’esquisse à la fonction:
En étudiant l’esquisse ci-dessous, deviner de quelle fonction il peut s’agir.
Exercice 5.9:
En étudiant les esquisses ci-dessous, deviner de quelles fonctions il peut s’agir.
a) b)
c) d)
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Exercice 5.10:
En étudiant les esquisses ci-dessous, deviner de quelles fonctions il peut s’agir.
a) b)
c) d)
Exercice 5.11:
f (x) = x3 − 4x2 + x + 6
x3 + 4x2
a) Montrer que f (-1) = 0. b) En déduire un début de factorisation du numérateur de f. c) Factoriser le numérateur et le dénominateur au maximum d) À l'aide d'un tableau de signes, esquisser le graphe de f.
Exercice 5.12:
Effectuer une démarche comparable avec la fonction g définie par:
g(x) = x3 −3x − 2 x2 − 2x +1
-6
5.7 Pour aller un peu plus loin:
Ou comment utiliser les quelques informations que nous avons au sujet d’une fonction afin d’en compléter l’esquisse.
Modèle 14 :
On considère la fonction f définie par:
f (x) = x 3 + 8x 2 − 21x −108
x 2 + 2x −15
dont on donne un début de l’esquisse. Compléter celle-ci pour que le graphe corresponde bien à f.
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Exercice 5.13:
Compléter les esquisses afin que le graphe corresponde bien aux fonctions f données.
a) f (x) = x 3 − 9x 2 +11x + 21
x 2
b) f (x) = 2x 3 − x 2 − 25x −12 2x 2 − 3x − 5
c) f (x) = x + 3
x 3 − x 2 −16x +16
14 THÈME 5
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d) f (x) = 2x 3 −11x 2 − 8x + 80 2x 3 −11x 2 +16x − 7
Q U
E L
Q U
E S
R É
P O
N S
E S
A U
X E
X E
R C
IC E
b)
c)
Exercice 5.10: a) f (x) = 3 ⋅ x + 2 x −1 =
3(x + 2) x −1 =
3x + 6 x −1
4(x −1) x + 2 =
4x − 4 x + 2
c) f (x) = x
(x + 2)(x − 3) = x
−x x2 − x − 6
d) f (x) = −1⋅ (x − 4)(x + 3) (x − 2)(x + 4) =
−x 2 + x +12 x 2 + 2x − 8
Exercice 5.11: b) f (x) = (x +1)(……)
……
x2 (x + 4)
Exercice 5.13: Le corrigé sera vu ensemble.
x −1 2 3
