Thème 5: Fonctions, études du signe et esquisses

OPTION SANTÉ FONCTIONS, ÉTUDES DU SIGNE ET ESQUISSES 1

3CSanté – JtJ 2021

Thème 5: Fonctions, études du signe et esquisses

Introduction:

Dans ce chapitre, nous étudierons une démarche permettant d’esquisser le graphe de fonctions polynomiales de degré supérieur à 2 mais également le

graphe de fonctions rationnelles de type f (x) =polynôme

polynôme.

Nous utiliserons un nouvel outil : le tableau de signes de f (x). Mais avant ceci assurons-nous que cette fonction rationnelle f soit bien définie pour toutes les valeurs que nous serons amenées à utiliser. Il s'agira donc de poser l'ensemble de définition de la fonction f.

5.1 Notion d’ensemble de définition

Définition:

Considérons une fonction donnée par la formule y = f (x) . L’ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles on peut utiliser cette formule s’appelle l’ensemble de définition de la fonction. On le note ED.

Méthode:

Pour trouver l’ensemble de définition d’une fonction, on cherche s’il y a des valeurs interdites pour lesquelles on ne peut pas faire le calcul.

On se souviendra en particulier qu’il est interdit de diviser par zéro.

Modèle 1:

Déterminer ED :

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f définie par:

f (x) =1

x − 3

Quelles constatations peut-on faire sur sa représentation graphique proposée ci-dessus ?

x−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6 f

2 THÈME 5


Modèle 2:

Déterminer ED :

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f définie par:

f (x) =x

2x2 − 5x −12

Le graphique ci-dessus confirme-t-il le calcul précédent?

Exercice 5.1:

Donner l’ensemble de définition de la fonction f si :

a) f (x) =x(x + 4)3− 2x

b) f (x) =2x

16 − x 2

c) f (x) =x − 3x 2 + x

d) f (x) = x −1

x

e) f (x) =3

x 2 − 9x +14 f) f (x) =

x 2 + x +1−2x 2 − 3

g) f (x) =−5(4 − x)2

(1− x 2)(2 − x)

x−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

y

−3

−2

−1

1

2

3

4 f



5.2 De l’esquisse au tableau de signes :

Modèle 3 :

De l’esquisse au tableau de signes:

Considérons la fonction f définie par f (x) = 2x – 5.

a) Représenter cette fonction sur le système d’axes

b) Compléter les solutions des in/équations ci-dessous :

• 2x – 4 < 0

S =

• 2x – 4 = 0

S =

• 2x – 4 > 0

S =

c) En déduire le tableau de signe de f.

Modèle 4 :


Déterminer le tableau de signes de la fonction f représentée ci-dessous.

x

y

y

x-3 3

-40

-30

-20

-10

10

4 THÈME 5


Exercice 5.2:

Déterminer le tableau de signes des fonctions f représentées ci-dessous :

a) b)

c) d)

e) f)

Modèle 5 :


Déterminer le tableau de signes de la fonction f représentée ci-dessous.

x-3 3

y

-3

3

x-3 3

y

-3

3

x-3 3

y

-3

3

x-3 3

y

-6

6

x3 6

y

15

30

x3 6

y

9

9

18

27

x-6 -3 3 6

-6

-3

3

6 y



Exercice 5.3:

Déterminer le tableau de signes des fonctions f représentées ci-dessous :

a) b)

c)

5.2 Tableau de signes d’une fonction du 1er degré:

Le graphique d’une fonction f du 1er degré est toujours une droite. Ainsi donc, le tableau de signes s’obtiendra directement en résolvant l’équation f (x) = 0 et en observant le signe de sa pente.

Modèle 6 :

Fonction du 1er degré:

Étudier le signe de la fonction f définie par f (x) = 2x – 3.

x-3 3

y

-3

3

6

9

x-3 3

-6

-3

3

6y

x-3 3

-6

-3

3

6 y

6 THÈME 5


Exercice 5.4:

Étudier le signe des fonctions suivantes :

a) f (x) = 5x + 3 b) f (x) = 2 – 3x c) f (x) = -2(x + 1/3)

d) f (x) = 7(x – 7) e) f (x) = -8x f) f (x) = -8x – 5

5.3 Tableau de signe d’une fonction du 2ème degré:

Le graphique d’une fonction f du 2ème degré est toujours une parabole. Ainsi donc, le tableau de signes s’obtiendra directement en résolvant l’équation f (x) = 0 et en observant le signe sur son esquisse.

Modèle 7 :

Fonction du 2ème degré:

Considérons la fonction f définie par f (x) = 2x2 + 5x – 3. Après avoir représenté son graphe sur une esquisse, en déduire son tableau de signes.

Modèle 8 :

Fonction du 2ème degré:

Étudier le signe de la fonction f définie par f (x) = -3x2 + 2x – 1.



Exercice 5.5:


a) f (x) = (x + 1)(x – 2) b) f (x) = (-2x + 3)(-3x + 2)

c) f (x) = (3x – 3)(-3 + 2x) d) f (x) =(x + 2)2

e) f (x) = -(4 – x2) f) f (x) = (x – 7) – (2x – 8)

Exercice 5.6:


a) f (x) = 2x2 – 5x + 3 b) f (x) = -3x2 + 14x + 5

c) f (x) = -2x2 + 7x – 9 d) f (x) = -9x2 + 6x – 1

e) f (x) = 6x2 + 17x + 5 f) f (x) = 25x2 – 20x + 4

g) f (x) = 3x2 – 8x + 10 h) f (x) = x2 + 4

i) f (x) = x2 + 2x – 2

5.4 Tableau de signes d’une fonction polynomiale

Les études de signes de ces fonctions font appel aux propriétés suivantes:

(1) La factorisation (2) l’étude du signe des facteurs simples :

ax + b et ax2 + bx + c

(3) La règle des signes:

Signe de A(x) + + – – Signe de B(x) + – + –

Signe de A(x) · B(x) ou A(x)

B(x)

Modèle 9 :

Fonction polynomiale:

Étudier le signe de la fonction f définie par f (x) = -2x(x2 – 2x – 3), puis en déduire une esquisse de f.

8 THÈME 5


Exercice 5.7:

Étudier le signe des fonctions suivantes puis en déduire l’esquisse du graphique :

a) f (x) = (x + 1)(x – 4)(2 – x) b) f (x) = (x – 9)(x – 3)(x + 2)

c) f (x) = (x – 7)(2x2 – 4x – 6) d) f (x) = -x(x + 3)(x – 4)

e) f (x) = (x2 – x – 6)(x2 + 10x + 9) f) f (x) = (x + 1)3 (x – 5)2

5.5 Tableau de signes d’une fonction rationnelle

Modèle 10 :

Fonction rationnelle:

Étudier le signe de la fonction f définie par f (x) = x −1

(5 − x)( x − 2),

puis en déduire une esquisse de f.

Modèle 11 :

Fonction rationnelle:

Étudier le signe de la fonction f définie par f (x) = x −1

x2 + 4,

puis en déduire une esquisse de f.



Exercice 5.8:

Déterminer ED, étudier le signe puis en déduire l’esquisse du graphe de f.

a) f (x) = x − 3

x2 − 3x + 2 b) f (x) =

3x 2 − 7x − 20

x2 + 4x −12

c) f (x) = (x + 2)(x − 3)(x + 7)

x(x − 2)(x +1) d) f (x) =

−x(x2 + 4x + 4)

x −1

e) f (x) = −x3 + x2 + 6x

x2 + 9 f) f (x) =

−3

x2

5.6 De l’esquisse à la fonction:

En étudiant l’esquisse d’une fonction, on peut repérer ses zéros ainsi que ses valeurs interdites. On peut alors imaginer de quelle fonction il peut s’agir. La lecture de l’ordonnée à l’origine sur l’esquisse permet de confirmer ou de corriger la fonction proposée.

Modèle 12 :

De l’esquisse à la fonction:

En étudiant l’esquisse ci-dessous, deviner de quelle fonction il peut s’agir.

-5

80

4-2 x

y

10 THÈME 5


Modèle 13 :

De l’esquisse à la fonction:

En étudiant l’esquisse ci-dessous, deviner de quelle fonction il peut s’agir.

Exercice 5.9:

En étudiant les esquisses ci-dessous, deviner de quelles fonctions il peut s’agir.

a) b)

c) d)

3

3/5

5 x

y

-1

-6

-2 x

y

3

12

-2 x

y

3

-2-2 x

y

1 1

-1/2 x

y

-2



Exercice 5.10:

En étudiant les esquisses ci-dessous, deviner de quelles fonctions il peut s’agir.

a) b)

c) d)

Exercice 5.11:

On considère la fonction f définie par:

f (x) =x3 − 4x2 + x + 6

x3 + 4x2

a) Montrer que f (-1) = 0. b) En déduire un début de factorisation du numérateur de f. c) Factoriser le numérateur et le dénominateur au maximum d) À l'aide d'un tableau de signes, esquisser le graphe de f.

Exercice 5.12:

Effectuer une démarche comparable avec la fonction g définie par:

g(x) =x3 −3x − 2x2 − 2x +1

-6

-2 x

y

1

1

-2 x

y

-2

0

x

y

3-2

-3/2

4-3

x

y

2-4

12 THÈME 5


5.7 Pour aller un peu plus loin:

Ou comment utiliser les quelques informations que nous avons au sujet d’une fonction afin d’en compléter l’esquisse.

Modèle 14 :

De l’esquisse à … l’esquisse:

On considère la fonction f définie par:

f (x) =x 3 + 8x 2 − 21x −108

x 2 + 2x −15

dont on donne un début de l’esquisse. Compléter celle-ci pour que le graphe corresponde bien à f.



Exercice 5.13:

Compléter les esquisses afin que le graphe corresponde bien aux fonctions f données.

a) f (x) =x 3 − 9x 2 +11x + 21

x 2

b) f (x) =2x 3 − x 2 − 25x −122x 2 − 3x − 5

c) f (x) =x + 3

x 3 − x 2 −16x +16

14 THÈME 5


d) f (x) =2x 3 −11x 2 − 8x + 802x 3 −11x 2 +16x − 7

QU

EL

QU

ES

RÉ

PO

NS

ES

AU

X E

XE

RC

ICE

S

3CS

anté

– J

tJ 2

021

O

ptio

n sa

nté

Que

lque

s ré

pons

es :

Thè

me

5 O

ptio

n Sa

nté

Exe

rcic

e 5.

1:

a) E

D =

IR –

{3/

2}

b) E

D =

IR –

{±4

}

c)

ED =

IR –

{0

; -1}

d)

ED =

IR –

{0}

e)

ED =

IR –

{2

; 7}

f) E

D =

IR

g)

ED =

IR –

{-1

; 1

; 2}

Exe

rcic

e 5.

2:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Exe

rcic

e 5.

3:

a)

b)

c)

Exe

rcic

e 5.

4:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Exe

rcic

e 5.

5:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

QU

EL

QU

ES

RÉ

PO

NS

ES

AU

X E

XE

RC

ICE

S

Opt

ion

San

té

3C

San

té –

JtJ

202

1

Exe

rcic

e 5.

6:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

(uti

lise

z la

fam

euse

form

ule

!!)

Exe

rcic

e 5.

7:

On

ne p

ropo

se c

i-de

ssou

s qu

e la

der

nièr

e lig

ne d

u ta

blea

u de

sig

nes.

Les

es

quis

ses

dem

andé

es s

eron

t vue

s en

sem

bles

.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Exe

rcic

e 5.

8:

On

ne p

ropo

se c

i-de

ssou

s qu

e la

der

nièr

e lig

ne d

u ta

blea

u de

sig

nes.

Les

es

quis

ses

dem

andé

es s

eron

t vue

s en

sem

bles

.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Exe

rcic

e 5.

9:

a) f(x)=x2−x−6

b)

f(x)=−2x2+2x+12

c)

f(x)=x+2

x−1

d)

f(x)=x−1

x+2

QUELQUES RÉPONSES AUX EXERCICES

3CSanté – JtJ 2021 Option santé

Exercice 5.10: a) f (x) = 3 ⋅x + 2x −1 =

3(x + 2)x −1 =

3x + 6x −1

b) f (x) = 4 ⋅x −1x + 2 =

4(x −1)x + 2 =

4x − 4x + 2

c) f (x) =x

(x + 2)(x − 3) =x

x 2 − x − 6 ou f (x) =

−xx2 − x − 6

??

comment peut-on s’assurer de la bonne réponse ?

d) f (x) = −1⋅(x − 4)(x + 3)(x − 2)(x + 4) =

−x 2 + x +12x 2 + 2x − 8

Exercice 5.11: b) f (x) =(x +1)(……)

……

c) f (x) =(x +1)(x − 2)(x −3)

x2 (x + 4)

Exercice 5.12: c) g(x) =(x +1)2(x − 2)(x −1)2

Exercice 5.13: Le corrigé sera vu ensemble.

x−1 2 3

y

x−1 1 2

y

−2

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