These ECL1997-40 BenHadjSlama

No D'ORDRE : E.C.L. 97-40

THESE ANNEE 1997

Prsente devant

L'ECOLE CENTRALE DE LYON

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR (Arrt du 30/03/1992)

Spcialit: Gnie Electrique Prpare au sein de

L'ECOLE DOCTORALE ELECTRONIQUE, ELECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE

DE LYON

Par

Jaleleddine BEN HADJ SLAMA

MODELISATION DU RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE DES CIRCUITS

D'ELECTRONIQUE DE PUISSANCE. APPLICATION A UN HACHEUR.

Soutenue le 09 Dcembre 1997 devant la commission d'examen:

JURY : MM. B. JECKO Professeur - IRCOM - Universit de Limoges B. DEMOULIN Professeur - LRPE - Universit de Lille F. FOREST Professeur - LESIR - ENS Cachan Ph. AURIOL Professeur - CEGELY - Ecole Centrale de Lyon G. ROJAT Matre de Confrences - CEGELY - ECL J. ROUDET Professeur - LEG - ENSIEG F. COSTA Matre de Confrences - LESIR - ENS Cachan L. NICOLAS Charg de recherches CNRS - CEGELY - ECL

Prsident Rapporteur

Rapporteur Examinateur Examinateur Examinateur Invit Invit

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ma mre, mon pre

Llf i l tous les membres de ma famille

Pour atteindre les sommets il faut allonger ses veilles >> JWl2+#LLL1.'+

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RESUME

L'tude de la compatibilit lectromagntique (CEM) est devenue un passage oblig pour les concepteurs de circuits d'lectronique de puissance. La complexit des phnomnes qui entrent en jeu lors de cette tude fait de plus en plus sentir le besoin d'un outil CAO de prdiction des perturbations lectromagntiques conduites et rayonnes. Le prsent travail est consacr la modlisation du rayonnement lectromagntique des circuits d'lectronique de puissance.

La premire mthode propose est base sur une approche analytique du problme, o les couplages dans le circuit sont quantifis de manire approximative. Dans le cas de circuits complexes, ces approximations ne sont plus suffisantes et il devient indispensable d'utiliser une mthode numrique afin de tenir compte de tous les couplages. L'tat de l'art en matire de mthodes numriques nous montre qu'en l'tat actuel des choses, aucune mthode n'est compltement adapte notre application. Nanmoins, notre choix s'est fix sur la mthode des moments qui rpond le plus notre cahier des charges. Etant donne que celle-ci ne rsout pas les systmes non linaires, et sachant que notre rsolution doit tenir compte de la prsence de composants non linaires, nous proposons un couplage avec un simulateur de circuits afin de linariser notre problme. La mthode est mise en oeuvre pour permettre la rsolution de problmes avec structures filaires en trois dimensions. Ensuite, elle est applique pour calculer le rayonnement d'un circuit de type hacheur. Les rsultats de calcul sont complts par une valuation exprimentale du rayonnement.

Afin d'amliorer les rsultats numriques, nous examinons la validit de l'hypothse "fil fin" adopte pour modliser les pistes de circuits imprims. Finalement, nous proposons une hypothse plus prcise qui permet de tenir compte de l'effet de peau et de l'effet de proximit dans les pistes.

Mots cls : Compatibilit lectromagntique (CEM), rayonnement lectromagntique, lectronique de puissance, mthode des moments, mthodes numriques.

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ABSTRACT

The study of electromagnetic compatibility becomes an obligated passage for designers

of power electronics circuits. The complexity of phenomena that come into action in that study

makes more and more necessary the use of a CAD tool for prediction of radiated and conducted

electromagnetic perturbations.

The present work is devoted to modelling electromagnetic interference from power electronic

circuits.

The first proposed method is based on an analytic approach of the problem where the

coupling in the circuit are approximately quantified. In the case of complicated circuit, these

approximations are not sufficient, so the use of a numerical method becomes indispensable to

take into account al1 the coupling in the circuit.

The study of numerical methods shows that in the actual state of things, no-method is well

adapted to Our application. Nevertheless, Our choice was fixed on the moments method which is

the best when responding to specifications. While this method don't solve non-linear problems,

it can not take into account non-linear components. So we propose its coupling with a temporal

resolution to make linear the resolution. The method is implemented to solve problems with

wire structures in three dimensions. After, it is applied to calculate i~terference from a circuit of

a chopper. Numerical results are completed with an experimentai evaluation of the radiated

field.

To improve numerical results, we investigate the > used when

modelling printed circuit board (PCB). Finally, we propose a more accurate mode1 which take

into account skin and nearby effects in the PCB.

Kevwords : Electromagnetic compatibility (EMC), electromagnetic radiation, power

electronic, moments method, numerical methods.

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AVANT PROPOS

Ce travail a t ralis au Centre de Gnie Electrique de Lyon (CEGELY) sous la direction de Monsieur G. Rojat. Qu'il trouve ici l'expression de ma sincre reconnaissance pour sa disponibilit et pour le soin apport la direction scientifique de ces recherches. J'adresse mes sincres remerciements :

Monsieur B. JECKO, professeur l'universit de Limoges, responsable de l'quipe Electromagntisme de l'IRCOM, pour l'honneur qu'il m'a fait en acceptant la prsidence de ce

jury. Monsieur B. DEMOULIN, professeur l'universit de Lille et Monsieur F. FOREST,

professeur 1'Ecole Normale de Cachan, qui ont accept d'tre les rapporteurs de ce travail. Monsieur J. Roudet, professeur I'ENSIEG, d'avoir accept d'examiner mon travail et

de faire partie du jury. Monsieur Ph. Auriol, professeur 1'Ecole Centrale de Lyon, responsable de la formation

doctorale, de m'avoir accueilli dans son quipe et accept de faire partie de mon jury de thse. Monsieur F. Costa, Matre de Confrences 1'Ecole Normale de Cachan et Monsieur L.

Nicolas, charg de recherches CNRS 1'Ecole Centrale de Lyon pour l'intrt manifest l'gard de ce travail et de faire partie du jury.

Tout le personnel du laboratoire d'lectrotechnique de 1'Ecole Centrale de Lyon qui de loin ou de prs ont contribu la ralisation de ce travail. Je n'oublierai pas de mentionner tous mes collgues chercheurs, avec lesquels ce fut toujours trs agrable de travailler et surtout pour la bonne ambiance durant ces trois annes de thse et les discussions scientifiques souvent intressantes concernant des domaines de recherches varis.

Enfin, j'adresse toute ma gratitude et mes sincres remerciements ma famille en Tunisie et mes amis en France pour leur soutien moral.

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Table des matires

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PRESENTATION GENERALE

I . Gnralits sur la compatibilit lectromagntique .............................................................. 7 II . La CEM en lectronique de puissance .................................................................................. 8

1 , ......................................................................................................... III . Originalit de 1 etude 10

Chapitre 1 : CALCUL ANALYTIQUE DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE RAYONNE PAR LES CIRCUITS DE L'ELECTRONIQUE DE PUISSANCE

Introduction .............................................................................................................................. 13 I . Rappels sur le calcul du champ lectromagntique ............................................................. 14

1.1 . Les quations de Maxwell ................................................................................................. 14 1.2 . Dtermination du potentiel vecteur magntique ............................................................ 15

.................................................................... II . Calcul du champ lectromagntique rayonn 16 11.1 . Les hypothses de calcul .................................................................................................. 17 11.2 . Calcul du champ magntique rayonn H ....................................................................... 18 11.3 . Calcul du champ lectrique rayonn E .......................................................................... 19 11.4 . Calcul de K(l) l'aide du logiciel PHI3D ....................................................................... 21

III . Mise en oeuvre de la mthode analytique ......................................................................... 23 111.1 . La mthodologie de calcul .............................................................................................. 23 111.2 . Le logiciel PACTE .......................................................................................................... 24 III3 . Le circuit tudi: Hacheur commutation force ....................................................... 24

............................................................................................................................. IV . Rsultats 27 IV.l . Les rsultats de simulation sur PACTE ........................................................................ 27 IV.2 . Les rsultats de calcul du champ magntique .............................................................. 28 IV.3 . Les rsultats de calcul du champ lectrique ................................................................. 30

.................................................................................................. IV.4 . Discussion des rsultats 32 ......................................................................................................................... Conclusion 3 2

Chapitre II : METHODES NUMERIQUES ET COMPATIBILITE ELECTROMAGNETIQUE EN ELECTRONIQUE DE PUISSANCE

............................................................................................................................ Introduction 3 4 1 . La mthode des lments finis ............................................................................................. 35

1.1 . Descriptif de la mthode ...................................... .. ........................................................... 35

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1.2 . Avantages et inconvnients de la mthode des EF dans le cas de circuits de l'lectronique de puissance ........................................................................................................ 37

2 . La mthode des diflrencesfinies dans le domaine temporel ........................................ 37 2.1 . Descriptif de la mthode ................................................................................................... 38 2.2 . Avantages et inconvnients de l'application de cette mthode ...................................... 40

3 . La mthode des lignes de transmission ............................................................................... 41 3.1 . Descriptif de la mthode ................................................................................................... 41 3.2 . Avantages et inconvnients de l'application de cette mthode ...................................... 42

4 . La Mthode des quations Intgrales aux Frontires ........................................................ 43 4.1 . Descriptif de la mthode ................................................................................................... 43 4.2 . Avantages et inconvnients de l'application de cette mthode ...................................... 44

.................................................................................................... 5 . La Mthode des Moments 45 5.1 . Descriptif de la mthode ................................................................................................... 45 5.2 . Avantages et inconvnients de l'application de cette mthode ...................................... 46

................................................................................................................................ Conclusion 47

Chapitre III : LA METHODE DES MOMENTS ET SA MISE EN OEUVRE

.............................................................................................................................. Introduction 50 I . L'quation intgrale pour l'espace libre .............................................................................. 51

1.1 . Equation Intgrale du champ lectrique ......................................................................... 51 Cas d'un fil fin .................................................................................................................................. 53

1.2 . L'quation intgrale du champ magntique .................................................................... 54 Cas d'une structure surfacique ......................................................................................................... 55

1.3 . L'quation hybride lectrique . magntique ................................................................... 56 II . Rsolution par la mthode des moments ............................................................................. 57

11.1 . Technique de la mthode des moments .......................................................................... 58 11.2 . Application de la mthode des moments ........................................................................ 59 11.3 . Choix des fonctions bases et des fonctions tests ............................................................. 60 11.4 . Rpartition du courant dans la structure filaire ........................................................... 61 11.5 . Conditions aux limites du courant .................................................................................. 62

...................................... 11.6 . Calcul du champ rayonn .. ........................................................ 63 III . Mise en oeuvre de l'application aux circuits linaires ...................................................... 64

111.1 . La topologie du circuit .................................................................................................... 64 ............................................................................................... . . III 2 Les composants linaires 66

.......................................................................................... III3 . Le plan de masse et/ou le sol 67 ..................................................................................................... a . Mthode de la thorie des images 67

b . Mthode des coefficients de rflexion ....................................................................................... 67 . c La mthode de Sommerfeld-Norton .................................................................................................. 68

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111.4 . Les sources d'excitation .................................................................................................. 69 ............................................................................. 111.5 . Limites de la mthode des moments 70

I V . Extension de l'application aux circuits non linaires ........................................................ 71 . ........................................................................................... IV.l Dcomposition du problme 72

IV.2 . Rsolution du problme global ...................................................................................... 74 Conclusion ................................................................................................................................ 75

Chapitre IV : TECHNIQUES EXPERPMENTALES

Introduction .............................................................................................................................. 77 I . METROLOGIE EN MATIERE DE CEM ............................................................................. 78

1.1 . Mesure des grandeurs lectriques .................................................................................... 78 1.1 . La sonde de tension ...................................................................................................................... 79 1.2 . La sonde de courant ...................................................................................................................... 80

1.2 . Mesure des grandeurs lectromagntiques rayonnes ................................................... 80 ................................................................................................................ 2.1 . Les antennes de mesure 80

.................................................................................................................. 2.2 - L'analyseur de spectre 81 ............................................................................ 2.3 - Configuration de la mesure du champ rayonn 83

1.3 . Prcautions prendre lors des mesures .......................................................................... 85 ......................................................................................... II . LE PROTOTYPE DE L'ETUDE 86

11.1 . Le hacheur commutation force .................................................................................. 86 11.2 . Dimensionnement du hacheur ......................................................................................... 87 11.3 . Analyse fine de la commutation du hacheur .................................................................. 88

3.1 . Le mcanisme de Blocage B ..................................................................................................... 90 3.2 . Le mcanisme de l'Amorage A ............................................................................................... 94

Conclusion ................................................................................................................................ 98

Chapitre V : RESULTATS ET VALIDATIONS

............................................................................................................................ Introduction 100 I . Rsultats et discussions ...................................................................................................... 100

1.1 . Mesure du champ lectrique rayonn ........................................................................... 100 1.2 . Calcul du champ lectrique rayonn ............................................................................. 102

................................................................................................... 1.3 . Discussion des rsultats 103 .................................................................................... II . Exploitation du module de calcul 1 0 5

Etude de l'influence des grandeurs lectriques ..................................................................... 105 ................................................ 1 . Influence de l'amplitude de la tension d'alimentation E 106

2 . Influence de l'amplitude du courant de charge IO .......................................................... 108 ....................................................................... 3 . Influence de la frquence de dcoupage fd 110

.............................................................................................................................. Conclusion 112

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Chapitre VI : PISTES DE CIRCUITS IMPRIMES ET APPROXIMATION FILS FINS

........................................................................................................................... Introduction 1 1 4 ....................................................................................................... Z . L'approximation fil fin 114

............................................................................... . 1.1 Diamtre du fil gale l'paisseur e 115 1.2 . Diamtre de fil calcul en fonction de e et de w (N=I) .................................................. 116 1.3 . Diamtre de fil calcul en fonction de e. de w et de M ................................................... 117

................................................................................ II . Influence du nombre de conducteurs I I 8 ........... 11.1 . Variation du champ lectrique E en fonction du nombre de conducteurs N 119

11.2 . Variation du champ magntique H en fonction du nombre de conducteurs N ........ 122 11.3 . Etude de la distribution du courant .............................................................................. 123

III . Influence d'un coude entre deux pistes ............................................................................ 125

.............................................................................................................................. Conclusion 131

............................................................................................. CONCLUSION GENERALE 133

.............................................................................................. Rfrences Bibliographiques 1 3 7

............................................................................................................................. ANNEXES 145 ................................................................................................................................... Notations 145

........................................................................................................................... Terminologies 146

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PRESENTATION GENERALE

I . Gnralits sur la compatibilit lectromagntique ......................................................... 7

II . La CEM en lectronique de puissance ................................................................................. 8 1 ,

......................................................................................................... III . Originalit de 1 etude 10

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Prsentation gnrale

I - Gnralits sur la compatibilit lectromaqntique

La miniaturisation de plus en plus pousse des composants lectriques et lectroniques, la

complexit des systmes de contrles et de commande ainsi que la concentration dans un

mme milieu d'appareils dont les niveaux de puissance et de sensibilit sont trs diffrents, a

fait de la compatibilit lectromagntique une discipline scientifique obligatoire pour le bon

fonctionnement des systmes lectriques.

La compatibilit lectromagntique (CEM) est l'aptitude d'un dispositif, d'un appareil ou d'un

systme fonctionner dans son environnement lectromagntique de faon satisfaisante et

sans produire des perturbations lectromagntiques intolrables pour tout ce qui se trouve

dans cet environnement.

Les sources de perturbations lectromagntiques peuvent avoir une origine naturelle ou

artificielle. La foudre, les dcharges lectrostatiques et les rayonnements cosmiques

constituent les principales sources naturelles. Les perturbations d'origines artificielles peuvent

tre volontaires ou fortuites. Parmi les sources volontaires, nous pouvons citer les metteurs

radio ou T.V., les signaux de tlcommunication, les radars ... Les perturbations involontaires

proviennent essentiellement des rseaux de distribution d'lectricit, des installations

industrielles, des dispositifs de l'lectronique de puissance tels les convertisseurs statiques, les

alimentations dcoupage et de tous les appareils lectriques grand public.

La propagation des perturbations lectromagntiques se fait selon deux modes qui sont le

rayonn et le conduit.

Les perturbations conduites sont caractrises par les courants induits dans les conducteurs

et cbles. Dans ce cas on parle de mode diffrentiel (ou symtrique), ou par les tensions

induites et dans ce cas on parle de mode commun (ou asymtrique).

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Prsentation gnrale

Les perturbations rayonnes en un point quelconque sont caractrises par un champ

lectromagntique possdant une composante lectrique E et une composante magntique

H.

II - La CEM en lectronique de puissance

L'volution des technologies dans l'lectronique de puissance a permis un accroissement

important du nombre de convertisseurs statiques dans tous les domaines industriels et grand

public. L'augmentation de la puissance et de la rapidit de ces convertisseurs a fait que ces

derniers crent des perturbations lectromagntiques de plus en plus importantes. L'tude de la

compatibilit lectromagntique est devenue donc un passage obligatoire pour les concepteurs

de circuits en lectronique de puissance.

Com~osants non linaires Composants linaires A'

Plan de masse / ~ i l e c t r i ~ u e /

Figure 1 : Le circuit de convertisseur statique.

Dans un circuit de convertisseur statique, on retrouve les lments suivants (Figure 1):

Pistes de circuits imprims (CI).

Cbles de connexion.

Plans de masses.

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Prsentation gnrale

Composants discrets : linaires (rsistances, condensateurs, inductances ...) ou non linaires

(transistors, diodes ...).

Dilectriques et chssis.

La configuration du circuit de convertisseur statique et la disposition de ses diffrents

lments dfinit les diffrents couplages qui existent. Ces couplages crent et amplifient les

perturbations lectromagntiques.

Tous les couplages possibles en CEM existent dans un circuit de convertisseur statique. Ces

couplages peuvent tre entre lments du circuit ou entre le circuit et son environnement

r11[21.

Les couplages entre les lments du circuit sont les suivants:

Le couplage par impdance de masse: tout conducteur possde une impdance non nulle.

Ainsi, tout courant circulant dans le conducteur gnre une diffrence de potentiel (d.d.p.)

ses bornes. Cette d.d.p. est d'autant plus leve que les fronts de courant et les inductances

parasites sont importants.

Le couplage circuit-chssis: ce couplage est d aux condensateus existants entre les

diffrents conducteurs et le plan de masse. La variation du potentiel dans les conducteurs

cre donc un courant de dplacement des conducteurs vers le plan de masse.

Le couplage par diaphonie inductive: le courant circulant dans un fil cre autour de ce fil

un champ magntique. La variation de ce champ magntique cre une d.d.p. dans les

boucles voisines.

Le couplage par diaphonie capacitive: la diffrence de potentiel entre un conducteur et son

environnement gnre autour de ce conducteur un champ lectrique. La variation de ce

champ cre un courant inject dans les conducteurs proches.

Les couplages entre le circuit et son environnement sont les suivants:

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Prsentation gnrale

e Le couplage champ fil: la variation d'un champ lectrique incident sur un fil cre un

courant dans le conducteur.

Le couplage champ boucle: la variation d'un champ magntique embrassant une boucle

cre une d.d.p. aux bornes de celle-ci.

La connaissance de ces couplages est ncessaire pour pouvoir dterminer et contrler les

perturbations dans le circuit. Cependant, il est trs difficile de quantifier ou de prvoir ces

couplages sans l'aide d'outils numriques trs performants.

III - Oriqinalit de l'tude

Plus un produit se rapproche de sa phase finale, plus le cot de la CEM est important. Il est

donc ncessaire de "penser CEM" lors de la conception des circuits de l'lectronique de

puissance. La complexit des phnomnes qui entrent en jeu lors de l'tude de la CEM des

circuits de l'lectronique de puissance fait de plus en plus sentir le besoin d'un outil CAO de

prdiction des perturbations lectromagntiques rayonnes par ces circuits. Cet outil

permettrait la prise en compte de la compatibilit lectromagntique au stade de la conception

des circuits. C'est dans cet axe que se situent nos recherches menes au Centre de gnie

lectrique de Lyon (CEGELY).

Nos travaux se prsentent sous forme de six chapitres:

Le chapitre 1 prsente une mthode de calcul analytique du champ lectromagntique

rayonn par les circuits de l'lectronique de puissance. Cette mthode reprsente la suite de

travaux de recherche mens, dans notre laboratoire, par Bei Lu et A. Puzo. Les rsultats

obtenus par cette mthode sont prsents et compars aux rsultats de mesures.

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Prsentation gnrale

Le chapitre II prsente les diffrentes mthodes numriques utilises en

lectromagntisme tout en tudiant leur application la CEM des circuits de l'lectronique de

puissance, en vue de choisir la mthode la plus adapte notre tude.

Le chapitre III prsente, avec plus de dtail, la mthode des moments qui sera utilise

et explique sa mise en oeuvre pour le cas de circuits de l'lectronique de puissance.

Le chapitre IV, intitul techniques exprimentales, est constitu de deux parties. La

premire partie prsente la mtrologie en matire de CEM et les prcautions prendre lors des

mesures CEM. La deuxime partie s'intresse au prototype utilis lors nos mesures pour la

validation des rsultats numriques.

Le chapitre V prsente les rsultats numriques obtenus par la mthode des moments

expose en chapitre III et les confronte aux rsultats exprimentaux.

Le chapitre VI, intitul pistes de circuits imprims et approximation fil fin, s'intresse

l'approximation dj utilise dans le chapitre III et essaye de l'affiner dans le but d'amliorer

les rsultats exposs en chapitre V.

Enfin, en dernire partie, nous prsentons une synthse gnrale sur ce travail ainsi que

ses diffrentes perspectives.

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Chapitre 1 CALCUL ANALYTIQUE DU CHAMP

ELECTROMAGNETIQUE RAYONNE PAR LES CIRCUITS DE L'ELECTRONIQUE DE

PUISSANCE

............................................................................................................................ Introduction 1 3

I . Rappels sur le calcul du champ lectromagntique .......................................................... 14

1.1 . Les quations de Maxwell ................................................................................................. 14

1.2 . Dtermination du potentiel vecteur magntique ........................................................... 15

II . Calcul du champ lectromagntique rayonn ................................................................. 16

11.1 . Les hypothses de calcul .................................................................................................. 17

11.2 . Calcul du champ magntique rayonn H ....................................................................... 18

11.3 . Calcul du champ lectrique rayonn E .......................................................................... 19

11.4 . Calcul de K(l) l'aide du logiciel PHI3D ....................................................................... 21

....................................................................... III . Mise en oeuvre de la mthode analytique 23

.............................................................................................. 111.1 . La mthodologie de calcul 23

111.2 . Le logiciel PACTE .......................................................................................................... 24

111.3 . Le circuit tudi: Hacheur commutation force ....................................................... 24

............................................................................................................................ IV . Rsultats 27

IV.l . Les rsultats de simulation sur PACTE ........................................................................ 27

IV.2 . Les rsultats de calcul du champ magntique .............................................................. 28

IV.3 . Les rsultats de calcul du champ lectrique ................................................................. 30

IV.4 . Discussion des rsultats .................................................................................................. 32

Conclusion ............................................................................................................................... 32

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Chapitre 1 Calcul analytique du champ EM rayonn par les circuits

Introduction

Dans un circuit de l'lectronique de puissance, les principales sources de rayonnement

lectromagntique sont les fils de connexion et les pistes de circuits imprims (C.I.). En effet,

la variation de la tension et du courant dans le circuit fait que les fils de connexion et les pistes

de C.I. se comportent comme des antennes rayonnantes en champ lectrique et magntique.

Dans ce chapitre, nous prsentons une mthode de calcul analytique du champ

lectromagntique rayonn par les circuits de l'lectronique de puissance. Le circuit en

question est dcompos en branches lmentaires et nous calculons les champs lectrique et

magntique rayonns par chaque branche.

Aprs un rappel thorique sur l'valuation du champ produit par une distribution de courant

volumique, nous exprimons les champs lectrique et magntique produits par toutes les

branches lmentaires du circuit. Ce champ total dpend des grandeurs lectriques dans

chaque branche. Lors de la mise en oeuvre de cette mthode analytique, nous utilisons un

logiciel de type circuit pour le calcul des grandeurs lectriques. Le modle de circuit simul

sur le logiciel tient compte des composants parasites dus aux diffrents couplages. Ces

composants parasites dpendent de la topologie du circuit.

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1 - Rappels sur le calcul du champ lectromaqntique

1.1 - Les quations de Maxwell

Considrons un milieu isotrope et homogne, de permittivit E, et de permabilit p,. La

propagation du champ lectromagntique s'effectue dans l'espace libre selon les quations de

Maxwell qui s'expriment sous la forme suivante:

divD = p,

divB = O

Avec :

E : vecteur champ lectrique.

B : vecteur induction magntique.

H : vecteur champ magntique.

J : vecteur densit de courant.

D : vecteur induction lectrique.

et p, : densit volumique de charge.

A partir de l'quation (Eq 1.4), on peut dduire qu'il existe un potentiel vecteur magntique A

tel que:

B = rotA

Le champ magntique H s'crit alors:

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1 H = -rotA (Eq 1.6) Po

De mme, le champ lectrique E s'exprime en fonction du potentiel vecteur magntique A et

du potentiel scalaire lectrique @.

Ainsi, connaissant A et @, on peut calculer le champ lectrique et magntique en tout point de

l'espace.

1.2 - Dtermination du potentiel vecteur magntique

En utilisant la jauge de Lorentz

et les quations de Maxwell, l'ensemble projet dans le plan frquentiel, on obtient l'quation

diffrentielle rgissant le potentiel vecteur magntique A:

AA + p 0 & , o 2 ~ = -po J

M(r) point d'observation

X

Figure 1.1 - Disposition du calcul.

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La solution, en un point M(r), de cette quation est de la forme:

(Eq 1.10)

O R est le volume o circule le courant J, R =Ir -n 1 est la distance entre le point 2 n d'observation M(r) et le point M(rl) o circule le courant (figure 1. l), = - est le nombre a

C d'onde, 1 = - est la longueur d'onde, c est la vitesse de la lumire et f la frquence f

d'excitation. Le terme e-lPR traduit l'effet de propagation. Lors du calcul en champ proche

[I. 1][1.2], ce terme est souvent pris gale 1. En effet, en champ proche, la distance R entre le

point d'observation et le point o circule le courant est ngligeable compare la longueur

d'onde (R

Chapitre 1 Calcul analytique du champ EM ravonn par les circuits

11.1 - Les hypothses de calcul

Nous supposons que les composants du circuit sont parfaits et de faibles dimensions, ainsi le

rayonnement du circuit est d uniquement celui de la topologie. Un circuit de convertisseur

de puissance peut tre dcompos en mailles et branches (Figure L2). Pour calculer le champ

lectromagntique rayonn par le convertisseur, nous allons calculer le champ rayonn par

toutes les mailles et les branches lmentaires. Une branche est modlise par une portion de

conducteur droit soumis une diffrence de potentiel. Une maille est modlise par une

boucle rectangulaire parcourue par un courant.

z A

branches du circuit

Y -3.

X

Figure 1.2 - Dcomposition du circuit en branches et mailles.

Pour simplifier les calculs nous adoptons les hypothses suivantes:

Les conducteurs sont filiformes.

Le circuit du convertisseur est plan (par exemple dans le plan XY). La composante selon

l'axe Z du potentiel vecteur magntique A est donc nulle.

Pour une branche lmentaire AB, nous adoptons la convention d'orientation suivante: le

courant entre en A et sort en B.

e Pour une branche lmentaire AB, nous supposons que le courant est constant tout le long

de la branche.

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* Sachant que les mailles sont rectangulaires, nous orientons le repre de manire ce que

AB soit parallle l'axe X ou l'axe Y.

La propagation du champ lectromagntique s'effectue dans l'espace libre.

Pour tenir compte de la prsence du plan de masse, nous supposons que la conductivit de

ce dernier est infinie et que ses dimensions sont importantes par rapport celles du circuit.

Nous utilisons de ce fait la thorie des images [I.5].

11.2 - Calcul du champ magntique rayonn H

Soit I le courant qui circule dans une branche lmentaire AB du circuit (Figure 1.3).

Figure 1.3 - Une branche lmentaire AB du circuit.

A partir de l'quation (Eq 1. IO), nous avons:

(Eq 1.12)

Le terme e- jpR est dcompos en une partie relle et une partie imaginaii-e. En utilisant (Eq

I.6), nous calculons le vecteur champ magntique H. Le produit du courant I par jw (dans le

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a I domaine frquentiel) correspond sa drive par rapport au temps - (dans le domaine a t

temporel). Nous remplaons donc dans l'expression des composantes de H le terme juZ par

ar -. Nous obtenons en un point M~xo,Yo,zo), les composantes du champ magntique H rayonn a t

par toutes les branches AB:

avec :

(Eq 1.13)

(Eq 1.14)

(Eq 1.15)

(Eq 1.16)

Le champ rayonn H est alors exprim en fonction du courant circulant dans la branche du

circuit, de sa drive et de la topologie du circuit (coordonns des diffrents points).

11.3 - Calcul du champ lectrique rayonn E

Une branche AB est une antenne rayonnante en champ lectrique si elle est porte un

potentiel variable. Chaque antenne est caractrise par sa longrieur 1, sa hauteur par rapport au

plan de masse h et son diamtre a. Pour simplifier les calculs, le conducteur antenne est

suppos parallle au plan de masse.

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Le champ lectrique rayonn est fonction des paramtres gomtriques de l'antenne et de la

distribution totale de la charge du conducteur. Cette charge totale Q se dcompose en deux

types de charges [I.3] (Figure 1.4):

Une distribution linique de charges pl constante et uniformment rpartie le long du

conducteur.

Une distribution de charges ponctuelles q situes aux deux extrmits du conducteur et

traduisant la non-linarit des bords.

conducteur rayonnant

Figure 1.4 - Modle de distribution des charges sur un conducteur.

Nous introduisons un rapport K(1) reprsentant la valeur relative de la charge rpartie par

rapport la charge isole:

(Eq 1.17)

Ce rapport K(1) dpend de la longueur du conducteur 1, de son diamtre et de sa hauteur h par

rapport au plan de masse. Pour l'valuation de ce rapport en fonction de la longueur 1 nous

utilisons le logiciel de calcul lectromagntique en trois dimensions PHI3D [I.6] dvelopp au

CEGELY.

A partir de l'quation (Eq I.7), en un point M(r), nous exprimons le champ lectrique E

rayonn par tous les segments AB:

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r - r l r - r, a A (Eq 1.18)

D'aprs l'quation (Eq I.12), le troisime terme du second membre de (Eq 1.18) peut tre

a I calcul en fonction de - .

a t

pl et q s'expriment en fonction de la charge totale Q et du rapport K(1). Or:

Q=C.V (Eq 1.19)

O C est la capacit du condensateur entre le fil et le plan de masse. C peut tre exprime en

fonction de K(1) [I.l], donc d'aprs (Eq I.18), E peut tre calcul en fonction de K(l), de V et

11.4 - Calcul de K(I) l'aide du logiciel PH13D

PHI3D est un logiciel de CAO qui permet le calcul des champs lectriques et magntiques

dans les dispositifs tridimensionnels. Bas sur la mthode des quations intgrales de

frontire, ce logiciel rsout des problmes d'lectrostatique, de conduction lectrique

volumique, de magntostatique linaire et de magntodynamique trs faible paisseur de

peau [I.6].

Pour calculer le rapport K(l), nous allons modliser sur PHI3D un conducteur de longueur 1

reprsentant une piste de circuit imprim situe une hauteur h du plan de masse (Figure 1.5).

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antenne conductrice

Figure 1.5 - Modlisation d'une piste C.I. sur PHZ3D.

La Figure 1.6 reprsente la rpartition des quipotentielles entre le conducteur (ou la piste du

circuit imprim) et le plan de masse.

En calculant la distribution du flux l'aide de PHZ3D, on dduit la valeur de la capacit du

condensateur entre la piste C.I. et le plan de masse. Ensuite, l'aide de l'quation (Eq 1.20)

[I. 11 nous calculons le coefficient K(1):

(Eq 1.20)

maximal

lasse

Figure 1.6 - Equipotentielles entre piste C.I. et plan de masse.

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111 - Mise en oeuvre de la mthode analvtique

111.1 - La mthodologie de calcul

Nous avons montr dans le paragraphe prcdent que le champ lectromagntique rayonn

dpend des grandeurs lectriques du circuit. En effet, il dpend du courant dans chaque

branche, de la drive du courant par rapport au temps, et du potentiel des diffrentes

branches. Il faut donc calculer ces grandeurs de manire exacte. Le calcul de ces grandeurs

ncessite la connaissance des composants du circuit, y compris les composants parasites dus

au couplage du circuit avec son milieu extrieur.

Les composants d'un circuit de l'lectronique de puissance sont soumis des contraintes

lectriques importantes. En effet, nous avons des variations importantes de courants et de

tensions dans le circuit. Dans ces conditions, le fonctionqement des composants est diffrent

de celui des lments idaux. Nous sommes donc amens dfinir des modles quivalents

associant les lments parasites au fonctionnement principal [1.2]. La simulation fine du

comportement lectrique des convertisseurs statiques ncessite d'affiner et de quantifier ces

modles. Le circuit quivalent tenant compte des diffrents composants parasites est simul

sur un logiciel de type circuit. Dans notre tude, nous utilisons le logiciel PACTE [I.7]. Les

rsultats de simulation du circuit par PACTE nous permettent de connatre les diffrentes

valeurs du courant, de sa drive et de la tension dans les diffrentes branches du circuit. Ces

grandeurs sont ensuite utilises pour le calcul du champ lectromagntique rayonn.

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111.2 - Le logiciel PACTE

Le logiciel de simulation de circuits que nous avons utiiis est PACTE [I.7]. Ce logiciel a t

conu et dvelopp au CEGELY-INSA. II possde une vaste bibliothque de modles de

semi-conducteurs. Ces modles sont bass sur la rsolution des quations en partitionnant le

composant en rgions o un phnomne physique unique est considr comme prpondrant.

La mise en oeuvre de ces modles a conduit une mthode d'analyse de circuits du type

"bondgraph" (graphes de liens). Cette mthode est couple un rseau de Ptri pour

reprsenter les transitions.

111.3 - Le circuit tudi: Hacheur commutation force

Afin de pouvoir valider les rsultats de simulation, nous avons utilis une structure de

commutation lmentaire qui a t dj tudie exprimentalement au sein de notre

laboratoire [1.1][1.2]. C'est un hacheur commutation force (Figure 1.7). La cellule de

commutation est constitue d'un transistor Mosfet et d'une diode de roue libre DRL. Nous

avons dans le circuit, un circuit d'aide la commutation (Dl, RI et C l ) et un circuit crteur

(02, R2, C2). Le circuit est dimensionn pour fonctionner E=lOOV, ZO=8A et une

frquence de dcoupage f=lOOkHz. L'entre du circuit est filtre par un condensateur de 1OpF.

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expressions analytiques du couplage des conducteurs (ou pistes de C.I.) entre eux ou avec le

botier (ou le radiateur). Les formules donnant les expressions des composants parasites sont

prsentes dans le tableau 1.1.

Po 4h Lp = - ln(-) 2 7 ~ d

2nr , c p = 4h

ln(-) d Tableau 1.1 - Expressions analytiques des composants parasites [1.3].

Po 2 0 Lp = -ln(-) TL d

~ E o Cp = 2 0 ln(?)

Po 8h L Lp = -ln(- + -1 2n L 4h

2m0 c p = 8h L ln(- + -)

L 4h

Po n d Lp = -ln(-) n L

c p = *&O n d ln(--) L

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Ces Formules supposent que le courant soit rparti de manire uniforme dans les conducteurs

ce qui n'est plus vrai pour des frquences suprieures une valeur limite fo calcule en prenant

une paisseur de peau gale la moiti de la largeur du conducteur.

La Figure 1.8 reprsente le modle du hacheur tenant compte des composants parasites. Les

composants parasites rajouts sont reprsents en gras.

I I Radiateur connect la masse Figure 1.8 - Schma du hacheur commutation force avec les composants parasites.

Les valeurs des diffrents composants parasites de notre prototype d'tude (voire chapitre V)

sont prsentes dans le tableau 1.2.

composant parasite 11 12 10 13 le

1 1

Tableau 1.2 - Valeurs des composants parasites [I.3].

sa valeur l y H 5nH

80nH 50nH 30nH

"-

CP Cd

7pF 1 OvF

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IV - Rsultats

IV.l - Les rsultats de simulation sur PACTE

Figure I.9.b - Rsultats de mesures [I.2]. Figure 1.9 - Comparaison des rsultats de simulation sur PACTE aux rsultats de mesures.

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Chapitre 1 Calcul analvtique du champ EM rayonn par les circuits

Le circuit du hacheur avec les composants parasites de la figure 1.8 a 6t simul sur le logiciel

PACTE. La figure I.9.a prsente quelques rsultats obtenus lors du blocage du hacheur. Ces

rsultats sont compars aux rsultats de mesures obtenues par A. Puzo (Figure I.9.b). Pour ces

deux courbes, nous prsentons le courant et la tension aux bornes du Mosfet lors de son

blocage, ainsi que le courant du condensateur C2.

Nous constatons une assez bonne correspondance entre mesures et simulations, d'o la

validit des modles proposs en figure 1.8. Les rsultats de cette simulation peuvent donc tre

utiliss pour le calcul du champ lectromagntique rayonn comme nous l'avons dvelopp

pians les paragraphes prcdents.

IV.2 - Les rsultats de calcul du champ magntique

Champ Hz rayonne au dessus du circuit [avant et apres Fltragt) 5 ( 1 I I 1 I 1 l

Figure 1.10 - Composante Hz du Champ magntique rayonn lors de l'ouverture du Mosfet (rsultats de simulation).

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Les calculs ont t effectus en un point situ 50mm au-dessus de la boucle compose par le

Mosfet, la diode de roue libre, l'inductance L et le condensateur Ce. Le champ magntique

calcul lors de l'ouverture du Mosfet est prsent en Figure 1.10.

Repariition tequenlielle de tb (apres Iiimge)

Composante Hz myonnee lors de i ouvehie du Mos (apres Mmge) 3 , 1

a. calcule ensuite filtre. b. mesure [I.2]. Figure 1.1 1 - Composante Hz du Champ magntique rayonn lors de l'ouverture du Mosfet.

Les mesures ont t effectues l'aide d'une antenne boucle de diamtre 6cm qui permet de

mesurer la composante Hz du champ [I.2]. L'allure du champ mesur est donne dans la

Figure 1.11 .b. La bande passante de l'antenne de mesure utilise est limite entre IOOkHz et

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IOOMHz. Ces antennes filtrent le signal mesur, ce qui explique la prsence de basses

frquences dans le signal calcul qui n'existent pas dans le signal mesur. Afin de pouvoir

comparer les rsultats de simulation avec ceux des mesures, nous avons filtr le signal calcul

(figure 1.10). Nous avons utilis un filtre passe haut de Butter d'ordre 1. Le signal filtr est

ensuite, compar au signal mesur (figure 1.11).

Les rsultats prsents en figure 1.1 1 ont t obtenus lors de l'ouverture du Mosfet car c'est le

moment de la priode o les champs rayonns sont les plus in~portants.

Globalement, nous remarquons que les signaux calculs ressemblent bien aux signaux

mesurs (du point de vue forme et amplitude).

IV.3 - Les rsultats de calcul du champ lectrique

Les sources de rayonnement en champ lectrique sont reprsentes par tous les conducteurs

lis au drain du Mosfet. Les autres conducteurs tant au mme potentiel que celui de la masse

du circuit (en rgime dynamique), ils produisent un champ lectrique ngligeable. Le point de

calcul est le mme que celui de la mesure; il est 5mm au-dessus du circuit. Le champ

lectrique calcul est donn en figure 1.12.

Les mesures du champ lectrique ont t effectues l'aide d'une antenne active compose

d'un monopole, d'un circuit d'amplification et d'un cble coaxial 50Q [I.2]. La bande passante

de cette antenne est de 100kHz-50MHz. Les rsultats de mesure sont prsents en figure 1.. 13.

Ces rsultats montrent une concordance entre le champ lectrique mesur et le champ

lectrique calcul. En effet, dans les deux cas, le champ lectrique est une image de la tension

Drain-Source du Mosfet (le terme [ -- 2) de l'quation (Eq 1.7) est ngligeable). Ainsi, les

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Chapitre 1 Calcul analytiaue du champ EM rayonn par les circuits

deux champs ont la mme allure. De mme, les valeurs des amplitudes sont trs proches (de

l'ordre de 2.000V/m).

Figure 1.12 - Composante Ex du Champ lectrique rayonn (rsultats de simulation ).

temps: 150nsldiv maured (Imvfdjv)

Figure 1.13 - Composante Ex du Champ lectrique rayonn (rsultats de mesure) [I.2].

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Chapitre 1 Calcul analyticiue du champ EM rayonn par les circuits

IV.4 - Discussion des rsultats

Les rsultats de calcul concordent avec ceux des mesures. Cependant, lors des simulations,

nous avons remarqu que les amplitudes des champs rayonns varient de manire

considrable en fonction de la position du point de calcul. Les dimensions et les formes

encombrantes des antennes de mesure ne permettent pas la connaissance de manire exacte du

point de mesure. De mme, lors des mesures en champ proche un couplage supplmentaire

entre le circuit et l'antenne de mesure se cre. Ce couplage introduit des erreurs au niveau de

la mesure du champ rayonn [I. 1 l][I. 121. Il dpend des dimensions de l'antenne ainsi que des

dispositions de mesures, sa modlisation est donc trs difficile mettre en oeuvre.

Conclusion

Le calcul du champ lectromagntique rayonn par la mthodt. analytique dpend de

grandeurs gomtriques et lectriques du circuit. Le calcul des grandeurs lectriques se fait en

utilisant un simulateur de circuits. Lors de cette simulation, la modlisation des couplages

dans le circuit se fait de manire grossire en injectant des composants parasites calculs

partir de formules analytiques. Cette mthode a t applique un circuit de type hacheur. Les

rsultats numriques obtenus en champ proche sont en accord avec les rsultats

exprimentaux. Dans le cas de circuits complexes, l'utilisation des formules analytiques pour

le calcul des couplages n'est plus suffisante et il devient indispensable d'utiliser une mthode

numrique afin de calculer les diffrents couplages du circuit de manire exacte.

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Chapitre II METHODES NUMERIQUES ET

COMPATIBILITE ELECTROMAGNETIQUE EN ELECTRONIQUE DE PUISSANCE

Introduction ............................................................................................................................. 34

.......................................................................................... 1 . La mthode des lments finis 3 5 1.1 . Descriptif de la mthode ................................................................................................... 35

1.2 . Avantages et inconvnients de la mthode des EF dans le cas de circuits de l'lectronique de puissance ........................................................................................................ 37

2 . La mthode des diffrences finies dans le domaine temporel ........................................... 37 2.1 . Descriptif de la mthode ................................................................................................... 38

2.2 . Avantages et inconvnients de l'application de cette mthode ...................................... 40

3 . La mthode des lignes de transmission .............................................................................. 41

3.1 . Descriptif de la mthode ................................................................................................... 41


4 . La Mthode des quations Intgrales aux Frontires ...................................................... 43 4.1 . Descriptif de la mthode ................................................................................................... 43


5 . La Mthode des Moments .................................................................................................. 45

5.1 . Descriptif de la mthode ................................................................................................... 45

...................................... 5.2 . Avantages et inconvnients de l'application de cette mthode 46

Conclusion ............................................................................................................................... 47

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Introduction

Nous avons vu dans le chapitre prcdent que pour dterminer le rayonnement du circuit de

manire prcise, en tenant compte de tous les couplages entre les lments du circuit ainsi que

du couplage circuit milieu extrieur, il faut utiliser une mthode numrique permettant le

calcul exact du champ. En lectromagntisme, il existe plusieurs mthodes numriques. Nous

pouvons citer l a mthode des lments finis, la mthode des diffrences finies, la mthode des

lignes de transmission, la mthode des quations intgrales aux frontires et la mthode des

moments.

Le choix de la mthode numrique utiliser dpend de la nature du problme rsoudre.

Dans notre cas, nous cherchons calculer le rayonnement lectromagntique des circuits de

l'lectronique de puissance. Ainsi, la mthode numrique que nous allons choisir doit tenir

compte de la prsence de conducteurs de formes gomtriques complexes forms par des

pistes de circuits imprims de faibles paisseurs et des fils fins. En gnral, la topologie du

circuit est en trois dimensions (3D) et ne prsente pas de symtries. De mme, il faut tenir

compte de la prsence de dilectriques, de plans de masse, de composants linaires, de

composants non linaires, de blindages et d'ouvertures dans les blindages lII.21. Cette

mthode doit permettre le calcul du champ rayonn des distances assez importantes par

rapport aux dimensions des circuits (10 mtres par exemple) ainsi que le calcul de

perturbations conduites. En mme temps, cette mthode doit traiter le problme du type circuit

d la prsence de composants discrets dans le circuit.

Afin de choisir la mthode numrique qui rpond notre cahier des charges, nous prsentons,

dans ce chapitre, les diffrentes mthodes numriques les plus utilises en lectromagntisme

tout en mettant en vidence les avantages et les inconvnients de leur application la

compatibilit lectromagntique en lectronique de puissance [II. 11.

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Chapitre II Mthodes numriques et CEM en lectronique de puissance

1 - La mthode des lments finis

La mthode des lments finis (MEF) a t largement dveloppe dans le domaine de la

mcanique pour analyser des problmes de matriaux et de structures. Elle a ensuite t

utilise en lectricit pour rsoudre des problmes non homognes et de gomtrie complexe.

1.1 - Descriptif de la mthode

[IL51 [II.6] [II.7]

La premire tape de la mthode des EF consiste diviser l'espace modliser en petits

lments ou pices de formes arbitraires et qui peuvent tre plus petits l o les dtails de la

gomtrie le ncessitent. La taille de ces lments est choisie en fonction des problmes

physiques locaux. Dans chaque lment, on suppose que la variation de la quantit de champ

est simple (en gnral linaire). Le champ est donc dcrit par un ensemble de fonctions

linaires.

Structure gomtrique Modle Elments Finis

Figure II. 1 - Exemple de modlisation lments Finis

La figure 11.1 prsente un exemple de subdivision en lments finis. Le modle contient les

informations concernant la gomtrie, les constantes des matriaux, les excitations et les

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conditions aux limites. Chaque coin d'lment est appel noeud. Le but de la mthode des

lments finis est de dterminer la quantit de champ chaque noeud.

La plupart des mthodes des EF sont bases sur des techniques variationnelles c. . d. en

cherchant minimiser ou maximiser une expression considre comme stationnaire quand on

a la bonne solution. Gnralement, la solution est obtenue en minimisant une nergie

fonctionnelle associe au problme et qui peut tre reprsente par exemple sous la forme:

(Eq 11.1)

Les deux premiers termes de l'intgrale reprsentent l'nergie obtenue en champ magntique et

lectrique et le troisime terme est l'nergie dissipe par les courants conduits. On exprime

ensuite H en fonction de E, on drive la fonctionnelle par rapport E et en prenant la drive

gale zro, on obtient une quation de la forme f(J,E)=O. La fonction f est approxime

l'ordre k en chacun des N noeuds et les conditions aux limites sont exprimes, afin d'obtenir

un systme d'quations de la forme:

[JI = [YI [El (Eq 11.2) Les valeurs de J dans le membre de gauche de l'galit sont relatives aux termes de la source.

Ils reprsentent l'excitation connue. Les lments de la matrice Y dpendent de la gomtrie

du problme et des conditions aux limites. Sachant que chaque lment est en liaison avec

seulement les lments qui lui sont voisins, la matrice Y est gnralennent creuse. Les termes

du vecteur du membre de droite de l'galit reprsentent les inconnues qui sont les champs

lectriques en chaque noeud. Ces valeurs sont obtenues en rsolvant le systme d'quations.

Les autres paramtres tels que le champ magntique, le courant induit et la puissance dissipe

peuvent tre dduits de la connaissance des valeurs du champ lectrique. Afin d'obtenir une

solution unique au problme, il est ncessaire d'imposer toutes les conditions aux limites du

champ (les valeurs aux noeuds limites).

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1.2 - Avantages et inconvnients de la mthode des EF dans le cas de

circuits de l'lectronique de puissance

L'avantage majeur de la mthode des EF par rapport aux autres mthodes provient du fait que,

dans cette mthode, chaque lment peut avoir des caractristiques lectriques et

gomtriques particulires et indpendantes des autres lments. Ceci nous permet de

rsoudre des problmes avec un grand nombre de petits lments dans des rgions de

gomtrie complexe et en mme temps des grands lments dans des rgions relativement

ouvertes. Ainsi, il est possible de rsoudre de manire relativement efficace des cas de

gomtrie complexe prsentant des proprits diffrentes.

Cependant, l'inconvnient majeur de cette mthode est la difficult de modliser des systmes

ouverts (dans le cas o le champ est inconnu en tout point de la limite du domaine d'tude).

Plusieurs techniques sont appliques pour rsoudre ce problme (conditions limites

absorbantes...). Ces techniques prsentent des rsultats raisonnables en deux dimensions, mais

ne prsentent pas encore des rsultats efficaces dans le cas de rayonnement lectromagntique

en trois dimensions.

2 - La mthode des diffrences finies dans le domaine temporel

La mthode des diffrences finies dans le domaine temporel (DFDT) est devenue l'une des

mthodes numriques les plus connues en modlisation lectromagntique. Cette mthode est

simple, facile implanter sur calculateur, et comme c'est une mthode temporelle, elle peut

couvrir une large bande frquentielle en une seule simulation.

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La DFDT consiste modifier les quations de Maxwell en quations diffrentielles "centres",

les discrtiser et les implanter sur calculateur. Ensuite, les quations sont rsolues pas pas

dans le temps. Le champ lectrique est rsolu un instant donn, ensuite le champ magntique

est rsolu l'instant suivant (dans le temps) et la procdure est rpte plusieurs fois ...


[II.4] [II.8]

En crivant les quations de Maxwell:

(Eq 11.3)

(Eq 11.4)

On remarque que la drive du champ lectrique par rapport au temps dpend du rotationnel

du vecteur champ H. Ceci veut dire que la variation temporelle du champ E dpend de la

variation spatiale du champ H, de ce fait, on dduit le principe de cette mthode: la nouvelle

valeur de E dpend de l'ancienne valeur de E et de la diffrence entre les anciennes valeurs du

champ H situes gomtriquement des deux cts du point de calcul de E. Le champ H est

calcul de la mme manire.

De manire plus prcise, la procdure de calcul est la suivante:

On reprsente la rgion modliser en deux grilles de points discrets; la premire reprsente

les points o le champ lectrique sera calcul et la deuxime reprsente les points o le champ

magntique sera calcul. Ensuite, on dfinit la source qui peixt tre selon le problme soit une

onde plane, soit un courant sur un conducteur, soit un champ lectrique entre deux plaques

mtalliques (une d. d. p. entre deux plaques).

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< Figure 11.2 - Un lment de base utilis par la mthode DFDT

Un lment de base d'un treillis spcial est illustr en Figure II.2. On remarque que chaque

composante du vecteur champ magntique est entoure par quatre composantes de vecteur

lectrique. On peut donc exprimer la diffrence centre en approximation du premier ordre

comme suit:

1 -[~,i(t) + Eyi(t) - Ezi(t) - ~,4( t ) ] = - k [ ~ z ~ ( t + At) - Hd(t - ~ t ) ] (Eq 11.5) A 2At

avec: A = aire de la face considre pour le calcul de Hxo.

Dans l'quation prcdente la seule inconnue est Hxo(t+At), car les autres valeurs sont connues

dans l'tape prcdente. De la mme manire, on crit l'quation de diffrence centre

correspondante l'quation (Eq II.4) pour trouver le champ lectrique E l'instant t+2At. La

procdure est rpte jusqu' ce qu'on arrive la solution recherche. Pour simuler l'effet de l'espace libre, on introduit des conditions aux limites absorbantes.

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Chapitre II Mthodesnurnriques et CEM en lectronique de puissance

2.2 - Avantages et inconvnients de l'application de cette mthode

L'avantage majeur de cette mthode est qu'elle permet une rsolution temporelle du problme

et donc elle permet en une seule rsolution de trouver la rponse d'une large bande de

frquences. Ceci est extrmement utile dans notre application, o les frquences de rsonance

ne sont pas connues de manire exacte et o on veut reprsenter les rsultats sous forme de

spectre frquentiel. Le second avantage de cette mthode est sa grande flexibilit permettant

de modliser des problmes d'lectromagntisme avec des signaux arbitraires se propageant

dans des configurations complexes de conducteurs, de dilectriques et de matriaux avec

pertes, non linaires et non isotropes. De mme, cette mthode permet la rsolution de

problmes internes et externes. Elle permet aussi d'obtenir directemert les champs E et H.

Cependant, l'inconvnient majeur de cette mthode est l'importance de l'espace mmoire et du

temps de calcul demands. En effet, tout le domaine modliser doit tre subdivis en cubes

et ces cubes doivent tre petits, relativement la plus petite longueur d'onde. De mme, ces

cubes sont d'autant plus petits que la gomtrie est complexe ou "aigu" (cas de conducteurs

fins et longs). Cependant, si on veut utiliser cette mthode pour dterminer le champ des

distances assez importantes ( 10 mtres du circuit par exemple) il faut choisir un domaine

d'tude excessivement large. De mme, si on veut viter les problmes de dispersion et obtenir

un large spectre frquentiel de rayonnement, il faut un pas de temps trs faible et un temps

d'observation assez important.

Un autre inconvnient de cette mthode est qu'elle permet de calculer seulement le champ

propag; les autres paramtres telle que la distribution de courant sont plus difficiles calculer

(cas de perturbations conduites).

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Cha~i t re II Mthodes numriques et CEM en lectronique de puissance

3 - La mthode des liqnes de transmission

La mthode des lignes de transmission est similaire la mthode des diffrences finies du

point de vue capacits. Cependant, elle possde une approche unique et propre elle. Comme

la DFDT, l'analyse du problme est ralise dans le domaine temporel. La totalit de la rgion

tudier est maille ou subdivise. Cependant, au lieu de subdiviser l'espace en intercalant

champ E et champ H, une seule subdivision est effectue. La discrtisation est physique

contrairement aux mthodes des EF et DFDT o la discrtisation est mathmatique. Les

noeuds de cette subdivision sont virtuellement connects par des lignes de transmission. A

chaque pas de temps, l'excitation un noeud se propage aux noeuds voisins travers ces

lignes de transmission.


[11.9][11.10][11.11]

Vxny

Vxnz

Figure 11.3 - Le Noeud Symtrique Condens.

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La figure II.3 reprsente un exemple de structure de lignes de transmission. Cette structure

appele Noeud Symtrique Condens est souvent utilise. Elle est choisie de manire ce que

les tensions et les courants travers les lignes de transmission reprsentent les champs

lectrique et magntique en ces parties de l'espace.

Le pas de propagation temporel et les dimensions des lignes de transmission sont choisies en

fonction de la vitesse de propagations de l'onde dans le milieu modlis. Les frontires

extrieures et les corps conducteurs sont reprsents en dfinissant des coefficients de

rflexion appropris au niveau des bords des lignes ou en utilisant des noeuds spciaux.

Du point de vue rsolution, une onde lectrique ou magntique incidente est transforme en

une impulsion de tension ou de courant. Cette excitation reprsente ;'tat initial et se propage

pas pas dans le temps travers les lignes conformment la thorie des lignes de

transmission et reprsente ainsi la diffraction de l'onde dans la structure. La propagation se

fait de la manire suivante: chaque pas de temps, la valeur calcule au noeud considr

reprsente, l'instant suivant de la rsolution, la valeur incidente pour le noeud voisin.


L'avantage principal de cette mthode est de permettre la modlisation de problmes

gomtrie complexe, non linaires, intrieurs ou extrieurs et avec des matriaux non

homognes. Elle permet d'obtenir une rsolution temporelle des deux champs au mme point.

La mthode des lignes de transmission prsente un avantage important pour notre application:

la possibilit de la prise en compte, lors de la rsolution, de la prsence de composants dans le

domaine d'tude. Elle permet donc une rsolution du type circuit.

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Cependant, l'inconvnient majeur de cette mthode rside dans l'importance des calculs qu'elle

ncessite surtout dans le cas de problmes ouverts, o la subdivision C'un espace assez large

autour du circuit est ncessaire. De plus, la bande de frquence que permet de couvrir cette

mthode est limite par les problmes de dispersion. Comme la mthode des DFDT, la

mthode des lignes de transmission permet de calculer seulement le champ propag; ainsi, la

connaissance d'autres grandeurs est plus difficile.

4 - La Mthode des quations Intgrales aux Frontires

La Mthode des quations Intgrales aux Frontires (MEIF) consiste transformer les

quations de Maxwell en une quation intgrale qui exprime la valeur de l'inconnue

l'intrieur du domaine R en fonction de ses valeurs sur la frontire dR et de ses drives

normales sur l'ensemble de cette frontire. Ceci est possible grce la seconde Identit de

Green. La rsolution du problme se fait en discrtisant numriquement la frontire afin de

transformer l'ensemble des quations rsoudre en un systme linaire plein.


[II.3] [II. 131 [II. 141

Pour U et V dfinis sur R et dR. la seconde Identit de Green est la suivante:

(Eq II. 6)

Avec n: la normale extrieure dR au point M (Figure 11.4).

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Figure 11.4 - La mthode des intgrales aux frontires.

La frontire des domaines tudis est subdivise en lments (noeuds). La fonction rsoudre

s'crit alors sous la forme d'une combinaison linaire des valeurs aux noeuds et des fonctions

d'interpolation.


En gnral, la rsolution des quations intgrales donne une meillese prcision que celle des

quations diffrentielles. La transformation du problme pour le ramener au niveau des

frontires a permis de "gagner une dimension" et de rduire de manire importante le nombre

d'inconnues. La MEIF est trs bien adapte pour la rsolution de problmes ouverts. Enfin,

elle permet la prise en compte de la prsence de dilectriques en rajoutant des conditions aux

interfaces.

Cependant, l'inconvnient majeur de cette mthode est le problme des singularits. En effet,

deux type de singularits sont rencontrs: les singularits gomtriques au niveau des points

anguleux o la drive normale est non dfinie et les singularits au niveau de la fonction de

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Green. Pour remdier ce problme, il faut augmenter le nombre de points d'intgrations et

donc le temps de calcul. Le second inconvnient de cette mthode est l'impossibilit de

modliser les matriaux non homognes et non linaires.

5 - La Mthode des Moments

La Mthode des Moments (MoM) a t utilise pour l'tude des antennes et de leurs

applications. C'est une mthode frquentielle base sur la rsolution des quations intgrales

en courant. Elle permet de dterminer directement, et de manire prcise, la distribution du

courant dans les structures tudies et de remonter ensuite au champ rayonn en tout point de

l'espace.


[II. 1 51 [II. 1 61 [II. 1 71 [II. 1 81 [II. 1 91 [II. 201

Figure 11.5 - La mthode des moments.

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L'quation intgrale rsolue par la mthode des moments est obtenue en crivant l'quation

de continuit du champ lectrique tangentiel la surface du conducteur S (Figure II.5). Ce

champ tangentiel est constitu d'une composante incidente Ei et d'une composante diffracte

Ed.

L'quation de continuit en Ml(rl) est alors:

n x E d = - n x E i (Eq 11.7)

En utilisant les quations de Maxwell projetes dans la plan frquentiel, on exprime la

composante diffracte en fonction de la distribution du courant. Aprs discrtisation du

circuit, on exprime le courant sous la forme de fonctions test pondres par les valeurs du

courant aux diffrents noeuds de la subdivision. On se ramne alors une quation matricielle

de la forme:

(Eq 11.8) [Zl[II = [VI

Avec 2: matrice impdance qui dpend de la topologie et de la frquence

V: matrice tension d'excitation

et 1: vecteur courant calculer

Aprs avoir dtermin la distribution du courant dans le circuit, on calcule le champ lectrique

rayonn en tout point de l'espace.


La mthode des moments prsente l'avantage de ne modliser que le circuit (les structures

mtalliques) et non pas tout l'espace environnant. Ainsi, elle est la mieux adapte pour la

modlisation de fils minces (fins et longs). Cette mthode permet l'insertion facile de

composants discrets dans la structure en dfinissant simplement l'impdance quivalente au

niveau du segment correspondant.

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Cependant, cette mthode est plus dlicate lors de la rsolution de problmes avec

dilectriques ou matriaux magntiques. La MoM est une mthode frquentielle, ainsi, le

traitement de problmes non linaires est impossible. De mme, si on cherche dterminer le

spectre sur une large bande de frquence, il faut refaire le calcul pour chaque frquence. Si le

pas de frquence n'est pas assez fin, des frquences de rsonance du circuit peuvent tre

masques. Finalement, la MoM ne permet pas la rsolution de problmes intrieurs et traite

difficilement les milieux avec ouvertures.

Conclusion

L'tude prcdente nous permet de dresser le tableau rcapitulatif II. 1.

Tableau II. 1 : Rcapitulatif sur les mthodes numriques.

avec: ++ : trs efficace. = : ralisable. et -- : pose des problmes.

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Chapitre II Mthodes numriaues et CEM en lectronique de puissance

Nous remarquons qu'aucune mthode numrique n'est compltement adapte pour modliser

les problmes de compatibilit lectromagntique dans un circuit de l'lectronique de

puissance.

Il faut donc prockder un couplage de deux mthodes appel mthode hybride.

La mthode des moments prsente le plus d'atouts pour notre applicatjon. Cependant, elle ne permet pas la modlisation des problmes non linaires. Cette mthode sera donc couple un

logiciel du type circuit qui permettra le traitement des non-linarits.

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Chapitre III LA METHODE DES MOMENTS ET

SA MISE EN OEUVRE

Introduction ............................................................................................................................. 50 Z . L'quation intgrale pour l'espace libre ............................................................................ 51

1.1 . quation Intgrale du champ lectrique ......................................................................... 51 Cas d'un fil fin ....................................................................................................................................... 53

1.2 . L'quation intgrale du champ magntique .................................................................... 54 Cas d'une structure surfacique ........................................................................................................... 55

1.3 . L'quation hybride lectrique . magntique ................................................................... 56 ZZ . Rsolution par la mthode des moments .......................................................................... 57

11.1 . Technique de la mthode des moments .......................................................................... 58 11.2 . Application de la mthode des moments ........................................................................ 59

........................................................... 11.3 . Choix des fonctions bases et des fonctions tests 60 11.4 . Rpartition du courant dans la structure filaire ........................................................... 61 11.5 . Conditions aux limites du courant .................................................................................. 62 11.6 . Calcul du champ rayonn ................................................................................................ 63

ZZZ . Mise en oeuvre de l'application aux circuits linaires ................................................... 64 111.1 . La topologie du circuit .................................................................................................... 64 II1 . 2 . Les composants linaires ............................................................................................... 66 I I I3 . Le plan de masse etlou le sol .......................................................................................... 67

a . Mthode de la thorie des images ................................................................................................. 67 . b Mthode des coefficients de rflexion .............................................................................................. 67 . c La mthode de Sommerfeld-Norton ............................................................................................. 68

111.4 . Les sources d'excitation .................................................................................................. 69 111.5 . Limites de la mthode des moments ............................................................................ 70

IV . Extension de l'application aux circuits non linaires .................................................... 71 IV.l . Dcomposition du problme ........................................................................................... 72 IV.2 . Rsolution du problme global ...................................................................................... 74

Conclusion ............................................................................................................................... 75

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Introduction

La mthode des moments a t utilise pour l'tude des antennes et de leurs applications. C'est

une mthode frquentielle base sur la rsolution des quations intgt-ales linaires en courant.

Elle permet de dterminer directement et de manire prcise la distribution du courant dans

les structures linaires tudies et de remonter ensuite au champ rayonn en tout point de

l'espace.

Dans ce chapitre, nous expliquons comment on obtient l'quztion intgrale rsoudre par la

mthode des moments. Nous notons que cette quation est du type lectrique si la structure est

filaire et elle est du type magntique si la structure est surfacique. Ensuite, nous proposons la

rsolution de cette quation linaire par la mthode des moments. Pour cela, et dans un

premier temps, nous expliquons la technique de la mthode des moments. Ensuite, nous

dcrivons les fonctions bases choisies pour notre rsolution. Pour pouvoir dterminer la

rpartition du courant dans la structure, nous dfinissons les conditions aux limites vrifier

par le courant.

En application de cette mthode nous dcrivons sa mise en oeuvre pour les circuits linaires.

En effet, nous devons tenir compte de la prsence du plan de masse, de composants linaires

et de la topologie du circuit. Cette topologie est gnralement constitue de fils fins, de fils de

connexion des composants et de pistes de circuits imprims. Finalement, nous proposons

l'extension de la rsolution par cette mthode des circuits de l'lectronique de puissance qui

ne sont pas linaires.

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Chapitre III La mthode des Moments et sa mise en oeuvre

I - L'quation intqrale pour l'espace libre

L'quation intgrale du champ lectrique (EFIE) est utilise pour rsoudre les problmes avec

structure constitue de conducteurs fins. Par contre, L'quation intgrale du champ

magntique (MFIE) est utilise pour des structures volumineuses et spcialement avec des

surfaces larges. Pour des structures utilisants les deux types de gomtrie, les deux quations

peuvent tre couples.

1.1 - quation Intgrale du champ lectrique [III. 11 [III.3] [III.4]

Considrons une surface S d'un conducteur parfait dans un espace libre. La condition aux

limites, due la continuit du champ lectrique tangent E la surface du conducteur en le

point Ml(rl), s'crit:

~ x E T = O (Eq III. 1 )

O n est le vecteur normal la surface du conduct

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