UNIVERSITE MOHAMMED V

FACULTE DES SCIENCESINIS-mf—12631-• R A B A T

THESE

POUR L'OBTENTION DU GRADE DE

DOCTEUR D'ETAT ES-SCIENCE PHYSIQUES

Les collisions nucléon-nucléon dans les réactionsnucléaires de spallation induites par des protons de

grandes énergies et dans les réactions périphériquesentre ions lourds aux énergies intermédiaires.

Application à la réaction w Ar + " Al à 44 Me V /A.

Par

Rajâa CHERKAOUI ELMOURSLI

(Epouse TADILI)

Soutenue le 26 Février 1990, devant le Jury

MM. M. T. Berrada PrésidentProfesseur à la Faculté des Sciences de Rabat,

A. BenyoussefProfesseur à la Faculté des Sciences de Rabat,

A.J. ColeChargé de recherche au S.N.R.S.,

A , Fahli ExaminateursMaître de conférences à la Faculté des Sciences

Casa II

A. GiorniProfesseur à l'Université de Grenoble

A. HoumadaProfesseur à la Faculté des Sciences Casa I

UNIVERSITE MOHAMMED V

FACULTE DES SCIENCES

R A B A T

T H E S E

POUR L'OBTENTION DU GRADE DEDOCTEUR D'ETAT ES-SCIENCE PHYSIQUES

Les collisions nucléon-nucléon dans les réactionsnucléaires de spallation induites par des protons de

grandes énergies et dans les réactions périphériquesentre ions lourds aux énergies intermédiaires.

Application à la réaction 40 Ar * 27 Al à 44 Me V / A.

Par

Rajâa CHERKAOUI ELMOURSLI

(Epouse TADILI)

Soutenue le 26 Février 1990, devant le Jury

MM. M. T. Berrada PrésidentProfesseur à la Faculté des Sciences de Rabat,

A. BenyoussefProfesseur à la Faculté des Sciences de Rabat,

A.J. ColeChargé de recherche au S.N.R.S.,

A . Fahli ExaminateursMaître de conférences à la Faculté des Sciences

Casa il

A. GiorniProfesseur à l'Université de Grenoble

A. HoumadaProfesseur à la Faculté des Sciences Casa I

REMERCIEMENTS

Cette thèse résulte d'une collaboration entre l'Institut des SciencesNucléaires (l.S.N.) de Grenoble et le Laboratoire de Vhysique Nucléaire dela faculté des Sciences de Rabat.

je suis reconnaissante à MM. J. M. Loiseaux et B. Vignon, les deuxdirecteurs successifs de l'I.S.N. pour les moyens et les facilités qui m'ontété accordés pour le mener à son terme.

Je remercie Monsieui h). T . " : Ï ; « « L ùe m'avoir accueilli dan:, sonlaboratoire et d'avoir accepté de présider le Jury de cette thèse.

Il m'est agréable de remercier Messieurs A. Giomi, A. Benyoussef, A.Houmada, A. Failli de l'intérêt qu'Us ont porté à ce travail en acceptant defaire partie du jury de celle thc.se.

je remercie vivement Monsieur A. J. Cote d'avoir accepté de dirigermon travail à l'I.S.N. de Grenoble. La confiance qu'il a eu eu moi, sonappui constant, ses encouragements, ses qualités humaines rt sescompétences scientifiques m'ont été très précieux et m'ont permis deréaliser ce travail.

Je remercie Monsieur J. Mencl qui m'a encouragée cl aidée àentreprendre ce travail.

Mes remerciements vont à M. L. Errndi d'avoir rédigé un rapport surcelte thèse.

Je tiens à remercier le Centre National de Coordination cl dePlanification de la Recherche Scientifique et Technique pour son aidefinancière tout au long de ce traînai et mes remerciements t'ont enparticulier à Monsieur D. Knsari à M-s.fc;;jes Cherkaoui et L. El Kadiripour le témoignage de leur amical intérêt.

Je suis reconnaissante aux responsables de l'Ecole. Mohavnnadia desingénieurs et de l'Ecole des Mines de m'avoir permis d'utiliser leur centrecalcul.

Je remercie Mesdemoiselles M. Znnar-ni ei Z. Ait Oumghar qui ontcontribué à la réalisation pratique <le cette Ihèse.

Finalement, je voudrais remercier mon mari, mes filles et me:parents pour leur confiance, leur patience et leur soutien constant. Je leurdédie cette thèse.

RESUME : Les rendions de spallalion induites par des proions d'énergiecomprise entre 300 MeV et 20 GeV sont étudiées. Une expressionanalytique est déduite pour les sections efficaces de production des résidusde la cibie. La dépendance de ces sections efficaces vis à vis de l'énergie duproton incident est décrite con;ne fonction d'u;>. seul paramètre qui est lamasse perdue par collision nucléon-nucléon.

Un modèle est proposé aussi pour les réactions péïiphériques entreions lourds. Ce modèle est basé sur "une marche aléatoire" par rapport àla masse du fragment du projectile qui dépend du nombre de collisionsentre les nucléons de la cible et du projectile le long d'une trajectoireclassique du mouvement relatif. L'accent est mis surtout sur l'évaluationdes différentes obsevables expérimentales. Les variations de la sectionefficace de réaction sur les énergies iMermédiaiie^ sont étudiées et sont engénéral bien reproduites par les prédictions du modèle microscopique deKarol basé aussi sur les collisions individuelles nucléon-nucléon.

La forme analytique du modèle de la marche aléatoire est limitée auxpréductions des quntilés inclusives. Les mesures des fragments duprojectile et de la cible en coïncidence sont alors simulées en utilisant uiv:version Monte-Carlo du modèle de la marche aléatoire. Le programme"PERÇUT", correspondant à ce modèle, donne des lésul'als reproduisantparfaitement les mesures en corrélations faites pour la réaction 40Ar+27Alà 44 MeV/nucléon. Ce code sépare et traite en détail les deux phases de laréaction, la collision primaire du projectile et de la cible et l'avaporalionconsécutive de ces deux noyaux.

SUMMARY : A study of p»ofon induced spr-Ualion reactions has beencarried out for proton energies l>.iw«:en 300 MeV et 20 GeV. An nnalyticexpression for the mass yield of target rrsidues is derived which dependsessentially on the mass loss from the target per nucleon-nucleon collision.Good agreement with measured yields and excitation functions for Auand Ag targets is obtained.

A detailed description is made of a model for peripheral collisions inheavy ion reactions. The model is based on a "random walk" of theprojectile mass governed by the number of nudeon-nucleon collisionstaking place netween projectile and target nnucleons alog the trajectory ofrelative motion. Emphasis is placed on prediction of experimentallymeasurable quantities. In Ihif- context the reaction cross section is thesimplest possible observable and it is shown Ihnl measurements of thesequantities for heavy ion reactions at intermediate energies are welldescribed by the formalism.

The analytic form of the random walk model is limited to predictionof inclusive quantities. Thus a Monte-Carlo version of the model hasbeen studied. The corresponding computer code, "PERCUTE" has beenused to successfully predict I he results of projectile like fragment-targetlike fragment coincidences in (he 'l0Ar+27Al reaction at 44 MeV/nucleon.A feature of the code is (!m( it includes detailed tralmetit of theevaporation stage of the i.v.ction which lakes place after theprimarycollision of projectile sv.<l fnrgel.

Mots clés : réactions nucléaires périphériques - Ions lourds - Energiesin>>>rmédiaires - Réactions de spoliation induites par protons - Collisionsnncléon-nucléon - Marche aléatoire - Modèle d'évaporation.

TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION 1

REFERENCES 5

CHAPITRE I

MNTRODUCTION 7II-GEOMETRIE 8

Il-a- Projection des densités nucléaires 8Il-b- Calcul de la section efficace pour un nombre

donné de collisions nucléon-nucléon 71

III-IMAGE SIMPLIFIEE DU MECANISME DE REACTION 13

IV-CALCULS ET RESULTATS 15

V-CONCLUSION 17

REFERENCES 19

CHAPITRE II

MNTRODUCTION 27II-ETUDE DU NOMBRE MOYEN DE COLLISIONS N-N 27

II-l-Evaluation numérique de T(b) 29II-2-Formule analytique proposée pour T(b) 30H-3-lïffet dû au principe d'exclusion de pauli 32

IV-ANGLE DE DEFLEXION DU QUASI-PROJECTILE 33V- CONCLUSION 37

REFERENCES 39

CHAPITRE III

I- INTRODUCTION 45II- CALCUL DE LA SECTION EFFICACE DE REACTION. 46

III- CALCUL DE LA SECTION EFFICACE FOUR nCOLLISIONS 49

IV- CALCUL DE LA DISTRIBUTION EN MASSE 50V- INTRODUCTION DE L'EMISSION DE PARTICULES a 54VI- DISTRIBUTION ANGULAIRE 56

VII- APPLICATION A LA REACTION 4 0Ar+2 7AlA 44 MeV/nucléon. 57

VIII-CONCLUSION 61

REFERENCES 63

CHAPITRE F V

I- INTRODUCTION 73II- ETUDE DES FRAGMENTS Î'RIM AIRES ISSUS

DELA COLLISION 74II 1 Détermination du nombre moyen de collisions

N-N el du paramètre d'impact L> correspondant,du nombre de collisions N-N 74

IJ-2-Transfert de masse 7711-3- Energie cinétique <•( exciiation iles fragments 7911-4- Moment angulaire 82

1V-ETUDE DE L'EVATORATION 83IV-I-Scission binaire d'un noyauxode EVAI' 83

1V-1-a-Arguments pour le choix d'égalestempératures dans la scission binaire 85

IV- 1-b- Energie de rolalion 89IV- l-c Energie cinétique de l.-> particule émise 91lV-i-d Impulsion des i:k'i'\ fragments 93

IV-2- Code d'évnporauon 'LANCLÏLOT' 94lV-2-n- La densité de niveaux 95IV-2-b-I.e coefficient de îiansmission 96IV-2-c-Les principes généraux du calcul 96IV-2 -d-i ,f programme 'DESTIN' 97

V- APPLICATION A LA REACTION 4 0Ai ^ 7 A1 à44 MeV/nucleon. 98

V1-CONCLUS1ON 100

REFERENCES 103

CONCLUSION 117

ANNEXES

I - CALCUL DU VOLUME: DE RECOUVREMENT DE2 SPHERES 121

II - CALCUL NUMERIQUE />U NOMI3RE MOYEN T DECOLLISION N-N. 123

III - METI IODE GENERALE DE REJECTION OUMETHODE DE NEUM/ NN 125

IV - LA MARC! IE ALEATOIRE 127v - MODÈLE: DE GOLDHABER 129VI - MODE D'UTILIS/YI K -N DU CODE "l'ERCUT" 133

INTRODUCTION

De nombreuses données expérimentales ont été accumulées depuislongtemps dans les réactions entre ions lourds aux très hautes énergies (0.1 à 10GeV/A) et aux basses énergies (5 à 10 MeV/A). Dans le premier cas, la réaction estessentiellement une superposition de collisions nucléon-nucléon (N-N) puisquela longueur d'onde associée à un nucléon (X -0,3 fin à 1 CeV/A) est b;en pluspetite que les dimensions d?s noyaux. Par contre, dans le deuxième cas, i\ basseénergie, la longueur d'onde associée est de l'ordre du rayon nucléaire (K ~ 3,5 fmà 7 MeV/A) (donc bien plus grande que la distance moyenne entre 2 nucléons dunoyau cible). Le nucléon du projectile verra alors plusieurs nucléons de la cible.Le processus de collision semble donc essentiellement de type collectif. Lesnucléons sont supposés évoluer dans un champ moyen qu'ils génèrent eux-m'mes. Aux énergies intermédiaires (10 à 100 MeV/A), un certain nombre dedonnées expérimentales prévoit des mécanismes de réaction ayant des signaturesd'interaction à la fois de type coin •-11.' ïi ue type individuel en soulignant le faitque la séparation de ces deux types de mécanismes est loin d'être évidente . Doncnous nous trouvons dans un domaine de transition d'où la difficultéd'interprétation des réactions nucléaires. Dans ce domaine d'énergie, on doitdonc tenir compte à la fois des effets de champ moyen et des collisionsindividuelles nucléon-nucléon.

Les mécanismes de réaction se rangent suivant deux classes: les collisionscentrales et périphériques que l'on soit à basse ou haute énergie. lin effet pour desénergies inférieures a 10 MeV/A, les résultats expérimentaux nous permettent dedécomposer les réactions suivant le paramètre d'impact b. Ainsi on passe desréactions directes de surface (transfert), à tics réaction:-: très inélasliques, n mesureque b décroît. Lorsque b devient faible, on observe la formation d'un systèmenucléaire du type noyau composé (fusion). Pour des énergies élevées (>100MeV/A), une fragmentation du projectile apparaît pour des collisionspériphériques, alors que le système composite explose pour des collisionsfrontales. Par conséquent, aux énergies intermédiaires, ces différents mécanismesprendronl plur, ou moins •l'i:iipr"-^-.i ;e suivant l'énergie mise en jeu.L'importance de chacun des mOt.niisnies peut aussi dépendre du type de systèmeen collision. Le domaine d'éludé <••;! vaste, c'esl pourquoi nous nous limiteronsdans notre étude aux collisions péiij ' briques.

Plusieurs théories ou modèles ont été construits pour comprendre lesphénomènes produits lors d'une réaction entre ions lourds. Cette grandediversité s'explique par le nombre important de degrés de liberté mis en jeu dansde telles réactions, ce qui impose des approximations et plus particulièrementune sévère restriction sur le nombre de variables traitées, d'où la naissanced'approches très différentes. Sur le plan théorique, deux stratégies sontactuellement utilisées pour explorer le domaine des énergies intermédiaires:

- La première consiste à étendre le domaine de validité des théories auto-cohérentes, en prenant en compte les interactions résiduelles qui ne peuvent êtredécrites par le champ moyen. Dans le domaine des basses énergies (Ref 1,2),l'approximation de Hartree-Fock dépendante du temps (T.D.I I.F) reproduit bienla dynamique des réactions entre ions lourds. L'extension de la validité de cetteapproximation TDIIF au domaine des énergies intermédiaires fait actuellementl'objet de différents travaux (Ref 3,4) et n'a pas encore produit de résultatssatisfaisants en raison des approximations qu'il est nécessaire de faire poureffectuer les calculs numériques déjà très prohibitifs sans l'interaction résiduelle.Les recherches se sont tournées plus vers des orientations semi-classiques (Ref 5).L'équation de Vlasov s'est trouvée être une bonne candidate, lîlle exprimesimplement la conservation de la probabilité de distribution dnns l'espace dephase en conformité avec l'équation de Liouville en mécanique classique, tout ens'appuyant sur le fondement qunnlique du modèle du champ moyen. L'équationde Vlasov devient l'équation de Landau-Vlasov lorsque les interactionsrésiduelles sont prises en compte (Ref 6,7). Toutefois, il semble que l'approcheLandau-Vlasov n'est pas adéquate pour étudier la phase d'évaporation de laréaction à cause de l'absence de corrélations dans la fonction de distribution. Desmodèles plus simples et moins ambitieux ont été ainsi mis en oeuvre. A basseénergie incidente, le modèle diffraclionnel donne une description satisfaisantedes réactions de transferts directs vers les étals du continuum (Ref 8,5,10). Cemodèle a été, récemment, utilisé dans le domaine des énergies intermédiaires. Rngénéral, un désaccord apparaît pour les transferts de plus de quatre nucléons (Ref11), venant de la présence à ces énergies d'autres processus autre que les transfertsquasi-élastiques. Pour les transît-ris iK.. înelastiques, le phénomène peut êtredécrit par le processus de friction (Ref 12,13,14) ou de diffusion (Ref 15,16). Desécarts sont observés à 44 MeV/A qui sont en généra' attribués à la fragmentationdu projectile qui est étudiée en général p-.ir des modèles de types hautes énergies.

- La deuxième stratégie consiste à introduire des effets collectifs dans desmodèles issus des domaines de hanter, énergies, tels que les modèleshydrodynamiques, (Ref 17), les modèles de cascades inlnuuidéaires (Ref 18), oules modèles fondés sur l'équation de lîollzman (Ref 19,20). Pour citer desexemples plus simples, nous avons le modèle de Coldhaber (Ref 21) ou le modèled'abrasion-ablation (Ref 22). Notons que les hypothèses de base du Modèle deGoldhaber ont été réexaminées récemment (pris en compte du principed'exclusion de Pauli (Ref 23) ou contraintes imposées par le fait que le fragmentest assimilé à un gaz de fermi (Ref 24)). Dans le domaine des énergiesintermédiaires, deux problèmes se posent : le premier provient de l'asymétrie desdistributions de vitesse reflétant la présence de mécanismes dissipatrice de basreénergie, le second problème est lié à la persistance dans ce domaine d'énergie demécanismes de transfert dont les propriétés inclusives sont très semblables àcelles de la fragmentation. Donc si le processus de transfert est prédominant,l'analyse avec le modèle de Codhaber n'a pas de sens, l'our le modèle abrasion-ablation, des calculs récemment effectués par Dayras (Ref 25), ont montré quel'introduction des effets dûs aux energies de séparation nécessaires pour détacherun fragment du projectile ou de L: cible conduit qualitativement à unedescription plus adéquate ties collisions entre ions lourds dans le domaine desénergies intermédiaires.

Il ressort clairement que pour tester la validité de ces modèles, il estnécessaire de regarder les corrélations entre les particules émises dans la réactionpour mieux saisir la nature des mécanismes de réaction dans ce domained'énergie. Une partie de ce mémoire sera consacrée à l'élude du système

Ar+ Al à 44 MeV/A dont les données expérimentales inclusives et exclusivesexistenKRef.26).

Dans ce travail,nous utilisons principalement un modèle proposé par JohnCole (Ref.27) dans lequel la dissipation d'énergie est due aux collisions N-N ayantlieu dans le volume de recouvrement des deux noyaux en cours de réaction. Leséchanges de nucléons sont simulés par un processus de marche aléatoire. Ladéflexion d'un fragment du projectile esl dû a l'effet du potentiel d'interaction(Coulombien + nucléaire) entre le projectile et la cible.

Dans le chapitre 1, nous étuc>ions un cas plus simple, les réactions despallalion induites par des protons de ').'..' à 20 Gev.

Dans le chapitre ll,dans le cas de réactions entre ions lourds, sont présentésles éléments de base nécessaires à l'élabora lion de ce modèle, a savoir le nombrede collisions N-N moyen et l'angle de deflexion.

Le calcul analytique des sections efficaces reproduisant les mesuresinclusives est détaillé dans le chapitre ]II

Enfin, pour pouvoir simuler les résultais exclusives, nous avons élaboréune version Monle-Carlo du modèle précédent qui esl décrite dans le chapitre IV.Ici de nouveau une comparaison des résultats théoriques avec ceuxexpérimentaux a été effectuée.

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collisions in ihe fermi energy domain Caen(1986)

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!27j-A.J.Cole,Z.Phys.A322(l985)315

CHAPITRE I

RÉACTIONS DE SPALLATION INDUITES PAR DES PROTONSDE 0,2 À 20 GEV

I- INTRODUCTION

Dans ce chapitre, une étude est faite sur les réactions de spallation induitespar des protons de 0,2 à 20 GeV (Réf. l). Ceci a conduit à améliorer le travail faitprécédemment par Abul Magd et ses collaborateurs (Ref.2,3). Cette élude estintéressante car elle nous a permis non seulement d'étudier ces réactions despallation mais aussi de fournir une description analytique de la projection, surun plan, des densités nucléaires.

Dans ces réactions, le proton provoque dans son passage l'émission deneutrons et de protons laissant un noyau excité qui, dans un deuxième temps, vase refroidir par fission, îmillifragmc. ittûm ou evaporation. L'évanoration vaconduire principalement à des fragments dont la masse n'est pas très éloignée decelle du noyau cible et donc pour chaque réaction un seul fragment lourd estobservé. La fission est définie comme un processus qui donne deux fragmentslourds avec des masses de l'ordre de Aj /2 . Mais notons que ces mêmes

fragments (masse = A/2) peuvent aussi ère produits par une grande evaporation.Enfin le processus qui conduit à des fragments plus légers (A<AT/2) est appelé

multifragmentation. Le prefix 'multi' montre que plusieurs fragments soat alorsproduits.

Dans notre modèle, chaque fragment de la cible résulte d'une série decollisions nucléon-nucléon (N-N) qui conduisent à une perte de masse de la ciblependant ou après l'interaction primaire. Une tentative, pour décrire lesdistributions en masse des résidus, est menée, faisant appel à un seul paramètrequi est la masse moyenne émi^i après une collision N-N. La probabilité d'avoirun nombre donné n de collisions N-N est décrite par une distribution de Poissonavec un nombre de collisions moyen calculé à partir de la limite optique de la

théorie de Glauber. La même loi est utilisée dans notre approche pour déo ire laprobabilité de perdre une niasse m de In cible. Nous pouvons alors déduire Insection efficace correspondant à chaque 'résidu' de ia cible pour une énergiedonnée du proton incident, d'où les fonctions d'excitation représentant lessections efficaces en fonction de l'énergie du proton incident pour chaque masserésiduelle.

Dans ce chapitre, nous niions dans uiv première partie étudier lagéométrie du noyau cible, puis dans trois autres sections, nous allons présentersuccessivement la physique de base utilisée, la comparaison des calculs et desrésultais expérimentaux et enfin un résumé avec discussion.

H- GEOMETRIE

11-a- Projection des densités nucléaires

Une quantité fondamentale pour déterminer l'énergie déposée par leproton incident dans la cible est le nombre de collisions nucléon-nucléon à unparamètre d'impact b donné.

Pour des raisons essentiellement cinémaliques, le proton incident est trèspeu dévié à chaque collision ; nous pouvons alors supposer que sa trajectoire àtravers la cible est recliligne parallèle à l'axe du faisceau. Avec cette hypothèse, lenombre moyen de collisions N-N (Ref.2-4), pour un paramètre d'impact b donné,peut être donné dans le cadre de la ii.éone de Glauber (Réf.5) par l'expressionsuivante :

+00

J P(')dr (M)

Où p(r) est la densité nucléaire de la cible et O"[\JN la section efficace

nucléon-nucléon libre moyennée sur l'isospin .

Les calculs peuvent être simplifiés en supposant que la densité nucléaireest représentée par une Gaussienne(Réf.6) :

avec r2 = b2+ z2

d'où:

exp(-r2 /2o-2) = K dNN exp(-b2/2a2) (1-3)

d T « ^=====>-=- = -—- (1-4)

1 2o2

En réalité, cette approximation est valable pour les noyaux légers maispour les noyaux lourt's, elle ne l'est que pour les grands paramètres d impact. Eneffet, en supposant que p(r) a une forme de Wood-Saxon, l'intégrale sur b ne peutêtre obtenue analytiquement d'où la nécessité d'un calcul numérique. Ce calculdonne, pour les faibles paramètres d'impact, des valeurs de la projection de ladensité pn(b) plus petites que celles obtenues par une approximation gaussienne.

Donc cette forme gaussienne ne semble pas très adaptée à notre problèine,saufpour les collisions périphériques.

En introduisant un terme correctif dans la formule obtenue par Karol(relation 1-2), on obtient une intégrale qui peut être calculée analytiquement etqui conduit à des valeurs en accord avec la méthode numérique.

Le terme correctif est : exp(-k T(b)/ô>gN)

d'où "T(bT = "T~2 e xP('kpT^/<JNN) (1-5)

,u, T ( b )

ou en posant : p (b) =("5NN

L'intégrale de l'expression (i-5) peul être calculée analytiquement enutilisant l'intégrale de l'exponentielle l:..(x)

Kj(x) = J—-t••' dl i log(x) + 7 (1-7)

o

^ X1

E i ( x ) X nn\ '

n~ i

où y est la constante d'1-uler; y-0.577

L'intégrale de l'équation (U-4) s'écrit alors :

^ = iukp Pp<o» - n.(kp Pp(W) d-9)

Dans la figure 1, nous montrons les différents résultai.1:. Les 3 paramètres o,p (0) et k sont déterminés pour chaque noyau éiudié (voir table 1). Les densités

nucléaires projetées calculées numériquement, étant proches de la forme

gaussienne pour de grands paramètres d'impacl, 'o' est alors déterminée enajustant le logarithme de la densité projetée en fonction de h1 entre b = RQ+2a et

b =R +4a où 'K ' est le rayon nucléaire et 'a' la diffusivilé caractérisant la densité

de forme VVood-Saxon. Comme attendu, a varie approximativement comme

Les valeurs de p (0) sont prises directement des calculs numériques. Nous

avons approximativement la relation suivante (voire table 1):

pp(0)=^ p()2r()A1/:! (MO)

où p est la densité nucléaire au centre du noyau.

Pour le calcul de k , nous utilisons le fait que l'intégrale de volume de la

densité nucléaire est égale à la masse A' du noyau considéré :

10

A partir

A

= J pp(b)2nbo '

de l'équation

= re J p., (b) dto

db

d-6), nous

ta2 Jo

obtenons :

exp(kppp)dp

(Ml)

(1-12)

2TTO2 r ,A = ~k— [exp (kppp(0)) -1J (1-13)

pour a et p (0) d

celle qui vérifie celte relation.

Donc pour a et p (0) donné, il suffit de prendre pour valeur de k ,

l i

Les paramètres de quelques noyaux atomiques du "C au Pb sont

donnés dans la table 1. Celle lable n'a pas pour but de fournir unedescription exacte d'un noyau particulier mais plutôt d'illustrer lavariation de o, p (0) et k avec le nombre do masse.

Les valeurs de p , a t-t Ro sont soit tirées de référence, soit calculées à

partir des relations suivantes (Réf.7) :

<r2>' / 2 = 1.6667 [R()2 - 1.4 (rca)2J (1-14)

( M 5 )

H-b- Calcul de la section efficace pour un nombre donnéde collisions nucléon-nucléon

En utilisant la forme analytique (équation 1-5), ildevient très simple de déduire une expression de la sectionefficace 'a ' d'avoir exactement n collisions N-N. Par exemple,

si la distribution de la probabilité pour n collisions prend une

i l

distribution de Poisson autour de la valeur moyenne T=<n> (Réf.3), nous avons

alors :

P n = - ^ - > ( 1 , 7 )

oo

f Tn(b)exp(-T(b)) „o =J 2nb " ; db (1-18)

n o n .o

avec.T(b) = Ô^N p (b) et k=k /ôNjsj , nous obtenons facilement:

2KG2 f " ((I-k)T(0))M

Dans la référence I, celle quantité esl supposée décrite par la loi simpleo\ = cdn où c et d sont des constantes.

Une a>H!•:: quantité utilisée dans la Réf. 1 esl le nombre moyen de collisions

totales N-N, la moyenne étant faite d'abord sur toute la trajectoire droite parallèle

à l'axe (z) et puis sur le paramètre d'impact b. O;tle moyenne est définie par :

J T(l-exp(-T•T))2jîb db

= <T> = (1-20)

O(l-exp(-T))27ibdb

Où la moyenne esl faite en prenant la loi de probabilité d'avoir réaction,donc au moins une collision. Le dénominateur dans l'équation (1-20) estsimplement la section efficace totale de réaction o_. En utilisant l'équation (1-5)

l'expression (1-20) s'écrit alors :

2na2 rexp(kT(0))-l exp((k-l)T(0))-l 1« n » = - - [-»- k — - -L- j - j j (,-21)

.12

Le premier terme correspond à la quanlilé Ô"NNA/O"R suivant l'équation ('-

13) et le second, qui est omis dans la Réf.l, représente une correction de l'ordre de

5% pour une cible d'Or.

III- IMAGE SIMPLIFIÉE DU MÉCANISME DE RÉACTION:

La niasse perdue en moyenne, à c'v.que arilision p-nucléon, va dépendre

de la section efficace nucléon-nucléon OJMISJ, et de l'énergie déposée dans le noyau

par le proton incident.

Au dessus de 200 Mev, la section efficace totale nucléon-nucléon libredevient presque constante et prend ta valeur de 40 nib (Réf.8,10). Nous utilisonscelte valeur de 40 mb, pour toutes les énergies dans l'intervalle considéré (0,2 à 20GeV).

L'énergie cinélique moyenne, F. (élastique), transmise par collision au

noyau cible devient aussi constante au dessus de 1 GeV (Réf.9). Ceci nous mène àpenser que la physique de celle réaction de spallation ne change plus pour L-sénergies supérieures à 1 GeV. Mais ceci est toutefois modifié puisque au dessus decelle énergie, la section efficace élastique libre nucléon-nucléon diminue ouvrantla voie principalement à la formation de résonances 'A' (diffusion inélasliquenucléon-nucléon), conduisant par désintégration à l'émission d'un pion. Aucours de cette réaction, un transfert d'impulsion est communiqué au noyau àcause de la grande différence de masse pnlre le proton incident et le pion émis.Suivant Abul Magd et ses collègues (Réf.2), nous supposons que celte énergiesupplémentaire déposée dans la cible est proportionnelle au rapport de la sectionefficace inélaslique sur la section efficace totale nucléon-nucléon.

Eo = lyélasl.) + 0.5 oc — l (mA - mN) (1-22)a

où (m^ - m.,) est la différence de niasse entre le nucléon el le 'délia' a l'état

fondamental (- 300 MeV).

Le paramètre '«' (u<l) inlioluit dans l'équaiion (1-22) est ulilisé pourreprésenter la situation plutôt complexe résultant de la création d'une résonance

13

' A ' qui, en se désintégrant, peut conduire à rejection d'un pion de la cible,emportant ainsi de l'énergie. Ce paramètre n'est pas utilisé dans la référence 2.

L'excitation due aux collisions inélastiques peut produire des nucléons degrandes énergies qui vont sortir de la cible et donc ne pas contribuer au dépôtd'énergie, d'où le facteur 0.5

L'équation (1.22) toutefois, ne lient pas compte du proton d'énergiesupérieure à 3 GeV donnant une résonance ' A ' qui peul conduire à laproduction de pions et aux réactions telles que p+p -> d+ic *" (Ref 10).

La complexité de la dissipation de l'énergie inélaslique, qui est représentéepar (<x.l50.MeV.o". q / o \ ), devrait conduire à une valeur de '«' cjrït dépend de

l'énergie. Cependant puisqu'il est difficile de donner dans ce travail une analysedétaillée de tous les mécanismes (et leur probabilité), nous avons préféré retenirune valeur constante pour '«' dans nos calculs. Mais comme nous allons le voirplus loin, la régularité (valeur presque constante) des fonctions d'excitation auxgrandes énergies est une conséquence de la forme des distribuions en masse danslesquelles le 'plateau' devient plus lar^c à mesure que l'énergie augmente, maisdont la hauteur est légèrement influencée par le changement de l'énergied'excitation déposée dans le noyau cible.

Si nous adoptons celle image simple et nous supposons en plus que lamasse éjectée de la cible (m.) est proportionnelle à l'énergie d'excitation nous

pouvons écrire :

<dm>>

Où la pente C représente la niasse moyenne perdue par collision et dépend del'énergie d'excitation el donc de l'énergie du proton incident E . La perte demasse m. est en principe produite soit pendant l'interaction sous forme de

nucléons, soil après celle-ci sous forme de n, p, d, t, oc.etc. par evaporation ou parfission ou même par mulliliagmenlalion. La masse perdue est sujette à deconsidérables fluctuations autoui d'une moyenne. Nous avons choisi unedistribution de Poisson pour décrire i-riie fluctuation («2 = C.T)

14

ni,!

Avec cette hypothèse, nous pouvons écrire l'expression de la sectionefficace om . (m.=A-AF) associée à un fragment Ap de la même manière que la

déduction de a précédente.

Dans cette dernière expression C est le seul paramètre inconnu.

IV- CALCULS ET RESULTATS

Les calculs des fonctions d'excitation sont faits pour les noyaux résiduelspour des protons incidents sur une cible d'Or dans l'intervalle d'énergie de 0.3 à20 GeV et comparés aux données expérimentales (Réf. 11). La constante C <\el'équation (1-25) esl fixée d'abord à 8.8 u par collision N-N en comparant lesmesures avec les calculs des distributions en masse à 3 GeV. Puis à chaqueénergie, la quantité C est recalculée en multipliant la valeur précédente (8.84) parle rapport des énergies d'excitation déposées dans la cible à chaque collisior N-N.Nous utilisons alors l'estimation de l'énergie d'excitation moyenne par unité demasse perdue (e), qui est calculée par les auteurs de la Réf.l, avec le modèled'évaporation de Friedmann et Lynch (Réf. 12), pour déterminer le paramètre ade l'équation (J-22). Avec £ =i3,2 Mev, nous obtenons a = 0.5. Les fonctionsd'excitation calculées à partir de l'équation (11-15) pour des masses perdues entre 3et 70 u sont représentées avec les données expérimentales sur la figure 2b. Engénéral, l'accord est assez bon, bien que vers les grandes énergies, les prédictionspour la section efficace deviennent presque 2 fois plus grande qu*? les valeursexpérimentales.

Nous avons également calculé les distributions en masse à 0.49 et 3 GeV(Fig.3) pour une cible d'Or.

15

Aussi bien les calculs que les données expérimentales (Fig. 3 ) montrentune section efficace o(/ F) qui décroît lorsque? la masse du résidu A diminue et

prend des valeurs proches de la masse de la cible. Cette décroissance est suivied'un 'plateau' où o(A ) reste presque constante pour A diminuant toujours. Ce

'plateau' s'étend jusqu'à des niasses perdues de l'ordre de T(0).(C-k)correspondant à un paramètre d'impact nul. ['our des masses de fragmentsinférieures à = (A-T(0)(C-k)) (A étant la masse de la cible), de nouveau o(A )

décroît rapidement en tendant vers zéro (coupure). Ces trois régions peuvent êtreexpliquées par les différents termes qui apparaissent dans l'équation (11-25). Lapremière baisse de o(A ) pour les masses de fragments proches de celle de la cibie

2est gouvernée par 2no /m. et elle est donc indépendante de l'énergie. Le 'plateau'

m]est produit par Je facteur géométrique l/(l-k/C) . La 'coupure' est expliquée parle fait qu'à la fois le nombre de collisions et la masse moyenne perdue prennentdes valeurs maximales à un paramètre d'impact nul. la quantité en crochet dansla relation (11-25) devient alors petite par rapport à I et donc contribue à la chuiede o(Ap).

Enfin, nous avons essayé de déterminer 5 partir de O8.8 u pour desproions de 3 GeV sur une cible d'Or, le C" correspondant pour la même énergiemais sur une cible d'Argent. Pour cela, nous avons écrit une formule empiriquepour la valeur de 'C. Le nucléon de la cible, à qui est transmis l'énergie 'F. ' a (e

) chances de sortir du noyau donc

(1-e ) chances d'y rester. L'énergie déposée dans le noyau peut alors s'écrire :

déposée = E o ( 1 - e ' R A > (I"26)

Avec: J = p N N et R = 1.16 Aç]/>

p est la densité nucléaire ; X le parcours moyen.

Nous supposons cjue la masse 'C éjectée en moyenne de la cible à chaquecollision N-N est proportionnelle <ï l'ci\.:-:glv déposée dans le noyau et au rayondu noyau.

C = 6 déposée A T n = * \ < ' -°'K/X > V / 3 (I"27>

16

A partir de C . (3 Gev)=8.8u, fi est déterminée. La valeur C pour l'argent

est alors de 6.5u et la distribution en masse déduiie est représentée dans la figure

(4) avec les données expérimentales (Réf 13}.

V- CONCLUSION

Dans ce travail, nous avons présenté un modèle simple pour décrire les

réactions de spallation induites par des protons de 0.5 à 10 GeV. Une forme

analytique déduite pour la densité nucléaire permet d'obtenir une expression

simple (relation 1-25) de la section efficace des produits de 'spallation' avec un

seul paramètre (C) qui représente la niasse moyenne éjectée de la cible pour

chaque collision du proton incident avec un nucléon de la cible. Une formule

empirique esl proposée pour 'C en supposant que ce paramètre dépend de

l'énergie déposée dans le noyau. Remarquons que dans l'expression de l'énergiedéposée apparaît l'énergie initiale du proton incident, lî , or celle-ci diminue

quand le proton subit des collisions, il serait alors plus juste d'uliliser unemoyenne de toutes les valeurs de F. .

Les fonctions d'excitation calculées sont en bon accord avec les mesures

faites par Kauffman et Steinberg (Réf.Il), bien que la fission soit négligée. Mais il

est probable que le fail de ne pas tenir compte de la fission explique d'une part la

surestimation de la section efficace pour les collisions centrales (près de la

coupure) et d'autre part l'absence de valeurs prédites au dessous de cette coupure.

Mais il semble que, pour la même énergie de protons (3 GeV), pour la cible d'or la

fission est plus importante que pour la cible d'argent (la surestimation de a(A )

est plus grande près de la coupure pour l'or que pour l'argent). A l'aide du

modèle de la goutte liquide (Réf. 14,15,16), un paramètre de fissibilité X qui reflète

la stabilité des noyaux dans leur étal fondamental, vis à vis de la fission est défini.

Le noyau devient instable dès que X atteint l'unité.

3 e2 Z2/A

5 ro 2a2(l-KI2)

Avec: I = ~~Â~~

r()= 1.2249 f m

a2 = 17 9439Mev

K = 1.7826

17

Ce paramètre X est égal respectivement pour l'argent et Tor à 0.414 et 0.669. Doncle fait nue X. soit inférieur à X . confirme nos conclusions.1 Ag Au

II serait intéressant de trouver un ternie correctif a ajouter dans la relation

(1-25) de a(A_) de manière à diminuer «a v~! ;ur vers la coupure.

Pour le calcul de la section efficace, nous remarquons que plus le noyau

cible est léger ou que l'énergie du proton est faible plus la région où se situe le

'plateau' devient plus étroite (fig.4). 'o(A )' tend alors vers une forme comme

celle proposée par Abul-Magd, Friedman et I Iufner (Ref 2). Nos calculs sont donc

semblables à ceux de la référence 2 dans le cas des noyaux légers.

Enfin, nous devons attirer l'alienlion sur le fait que les équations (1-6) et (I-

9) peuvent être 1res utiles dans d'autres problèmes où les densités nucléaires

projetées sont utilisées, par exemple le modèle microscopique d'ablation-abrasion

d'Hufner, Shafer et Shurman (ref. 17) ou le modèle de cascade linéaire de Knoll et

Randrup (ref. 18)..

REFERENCES

[I] A.J.CoIe el R.Cherkaoui-Tadili,Phys.Rev.C36 (1987) 184

12] A.Y Abul-Magd, W.A,Friedman and J. Hufner, Phys.Rev. C34

(1986)113

[3] X. Campi and J. Hufner, Phys.Rev.C24 (1981) 2199

[4] A.J. Cole, Zeit. Phys. A322 (1985) 313

[5] R.J. Glauber, Lectures on Iheorelical Physics. Vol.l

(Interscience, N.Y.,1959)

16] P.J. Karol, Phys. Rev. CI 1 (1975) 1203

17] A.j. Cole, Phys. Rev. C35 (1987) 117

[8| L.Ray, Phys. Rev. C20 (1979) 1878

[9] G.J. Igo, Rev. Mod. Phys. 50 (1978) 523

[10] O.Benary, L.R. Price and G. Alexcander, UCRL 2000 NN

(1970)

[II] S.B. Kauffman and E.P. Steinberg, Phys. Rev.C22 (1980)

167

[12] W.A. Friedman and W.G. Lynch, Phys. Rev. C28 (1983) 16

[13] S.Kallcoff, H.R.Fickel, and A.Wyttenbach,

, Phys. Rev. 166 (1968) 1147

[14] N.Bohr and J.A.Weeler, Pliys Rev, 56 (1939) 426

[15] W.D.Myers and W.J.Swialecki , Nucl.Phys. 81 (1966) I

19

[16] C.F.Weizàcker, Z.Phys. 96 (1985) 431

[17] J.Hufner, K.Schafer and B. Schurmann, Phys. Rev. C12

(1975) 1888

[18] J. Knoll and J, Randrup, Nucl. Phys. A324 (1979) 445

[19] C.W. de Jager, H.Devries and C.Devries, Alomic and

Nuclear Data Tables 14 (1974) 479

[20] E.M. Franz and G. Friedlander, Nucl. Fhys. 76 (1966) 123

TABLE I. Propriétés géométriques des densités nucléaires projetées de formeWoods-Saxon p(r) = I {11 + exp(r - R)/a]}. Le paramètre de diffusivite (a)est fixé à 0.55 fm pour tous les noyaux

Masse(u)

1227405690

120152208

rayon(fm)

1.7432.9313.5884.1204.8255.3776.0186.592

RMSR(fm)

2.4503.0553.4303.7904.2604.6405.0905.500

G

(fm)

1.4431.6881.7901.8711.9522.0592.1552.225

Pp(0)(fm-2)

0.9671.1141.2081.3881.6341.7991.8512.135

(fm2)

0.090240.51760.76410.37480.90890.90160.97360.9212

21

Pp(fnT2)

0.01-

numericalintegration

0 0 0 Ei appro?(fm"2)

PigureJhVariation de la densité nin iMire projetée obtenue par intégration d'uneforme de Wood-Saxon (trait en plein) comparée à l'approximation de l'intégralede l'exponentielle (ronds). Les paramMres de ces calculs sont donnés dans la tableI.

22

O5 1 5 10

Ep(GeV)50

£iguie.:2: (a) linergic totale déposée lors d'une collision p-nucléon en fonctionde ! énergie du prolon incident. !/énergie déposée pnr diffusion élasliuue seule-est indiquée par In ligne en tiré (voit équation 1-22).

(b) Fonctions d'excilan.Mi pour différents produits de spallationcomparées avec les calculs (équalion 1-25). Les données expérimentales (ronds)sont tirés des références. 11 et 19. Les valeurs de la section efficace pour l 9 4Aureprésentant seulement une fraction de la masse 194, les sections efficaces ont étémultipliées par le facteur 3.33. Les données pour le H 9 Tb sont obtenues par ladésintégration a qui représente à peu prés 10% de la section efficace. Les sectionsefficaces mesurées sont alors multipliées par 10 et los calculs normalisés-'i-i«.rOmpni aux données expérimentales.

CT(mb)

3GeV

49GeV

-100

-100

-10

100 120 140A

160 180

Figure 3 : Distributions en masse calculées et mesurées (Réf.11) pour une cibled'Au et des énergies incidents de protons de 0,49 et 3 Gev. Les données à 3 Gevsont utilisés pour fixer le paramètre C de l'équation (1-23). Pour les autresénergies incidentes, le paramètre C est alors obtenu en utilisant le rapport desénergies d'excitation déposées dans la cible et la valeur de C à 3 Gev (voirparagraphe IV)

200

100p+Ag

v/1

JOE

10 r-

L

t• * * * •

* * ** * * " *

30 50 70 90

A (a.m.u.)

310

Figure.4 : Distribution en masse calculée (trait plein) et mesurée (étoiles) pour desprotons de 3 GeV sur une cible d'Ag. Le paramètre C correspondant est déduit del'équation (1-27)

CHAPITRE II

ETUDE ANALYTIQUE DES COLLISIONS NOYAU-NOYAU

f INTRODUCTION:

Nous étudierons un formalisme qui permet de décrire une collisionnoyau-noyau d'une façon analytique. Dans ce formalisme, la production d'unfragment du projectile résulte d'une série de collisions N-N quasi-libres seproduisant le long de la trajectoire décrivant la dislance relative entre leprojectile e( la cible. Le nombre moyen T de collisions N-N ,pour un paramètred'impact b donné,esl obtenue dans le cadre de la théorie de Glauber. La relationentre T et l'angle de déflexion 0 d'un fragment du projectile est déduite entenant compte de la déflexion due au potentiel d'interaction entre le projectile etla cible (champ moyen Coulombien et nucléaire).

Dans ce chapitre nous allons présenter essentiellement le calcul du nombremoyen T de collisions N-N el de l'angle de deflexion '&', quantités nécessairespour élaborer le modèle.

Il ETUDE DU NOMBRE DE COLLISIONS N-N:

Nous supposons que le mécanisme est géré par le nombre de collisions N-N le long de la trajectoire décrivant le mouvement relatif du projectile el de lacible. Celle hypolhose a donné des résultats assez satisfaisants dans le calcul faitpar Karol (Ref.l) et par Kox et ses collègues (Ref.2) pour prédire la section efficacetotale de réaction ap . Dans ce formalisme, pour un paramètre d'impact b, la

limite optique de la théorie de Glauber (Ref.3,4,5) nous donne le nombre moyenT(b) de collisions N-N suivant :

T(b) = <n> = o N N J | J p | P 2 d V dz (11-1)

27

Où l'intégrale en crochet représente la convolution de la densité P | duprojectile el colle pj tie la cible dans le volume de recouvrement des 2 noyaux.Ce volume est représenté par !a surface hachurée de la figure suivaiile,maiss'étend en principe à tout l'espace :

Faisceau

V

L'intégrale sur z se fait en supposant que la trajectoire du projectile estrecliligne el parallèle à l'axe de faisceau, d'où la limitation aux collisionspériphériques donc à des paramètres d'impact (b) grands.

est la section ellicace totale nucléon-nucléon moyennée sur l'isospin

définie dans la Référence I p.ir :

A,,ÀT b i -Vo , , , . •• , (ZTN,, •. Z,,N ,) ô m 1 (11-2)

Les indices IT, l'N, NN indiquent les sections efficaces prolon-proton,proton-neutron et neutron-neutron. A 7. , N (A ,Z. ,N ) sont le nombre de

masse, de charge et le nombre de neutrons du projectile (de la cible).Approximativement o est trois fois plus élevée que o\,., ou o" La variation

par iapport à l'énergie tli- aN N peut s'éuiie empiriquement (Réf. 6, 7) :

°NN

F étant l'énergie en Mevi Air

( i l •:»>

28

Les intégrales figurant dans l'expression (II. 1) sont calculées d'abordnumériquement puis pnr le formalisme de Karol en supposant les densitésgaussiennes en surface.

La comparaison tie ces deux méthodes conduit à une formule analytique deT(b).

H-l Evaluation numérique de T(b)

Pour une dislance R entre les deux noyaux, un tirage Monte-Carlo permetd'échantillonner les rayons respectifs des deux noyaux suivant une loi de Wood-Saxon (voir Annexe I). A chaque tirage un volume V de recouvrement des deuxnoyaux est déterminé. Le recouvrement final, <V(R)>, pris en compte, sera lamoyenne de tous ces volumes. Le nombre moyen de collisions N-N, commefonction de R et b s'écrira alors :

dT(b,z)/dz= ÔNN p o 1 p 0 2

Avec : R2= b2 4 77

Enfin pour chaque b donné, l'expression (11-4) est intégrée sur z, d'où T(b).

Le calcul du volume de recouvrement de V est détaillé dans l'annexe 1. p...

et p()2 sont les densités au centre des deux noyaux déterminées soit à partir des

valeurs données dans la littérature (Ref.8), soit à partir des formules donnéesdans la référence 9 et se présentant comme suit:

La densité du noyau prenant la forme Wood-Saxon, le nombre de masse As'écrit :

- J •Ijcl^dR 4(II-5)

Avec: R =r A1/3o o

a est la diffusivité

29

i,e CHOIX de K peut être venue on «..ucuiani le rayon wnc HWJ<.-H --i --

correspondant et en comparant cette valeur h celle tabulée (Réf. 10). La formule de<r"> étant :

<r2> = 0.6 Ro + 1.4 (ait)2 (II-6)

H -2 - Formule analytique proposée pour T(b)

Sur la figure 1, sont portées les valeurs numériques déduites pour T(b)

ainsi que celles calculées par Kaiol en supposant que les densités des noyaux sont

données par une forme Gaussienne au voisinage du rayon nucléaire. Nous

retrouvons le même raisonnement que celui fait pour les réactions p-noyau.

Dans le calcul de Karol, T(b) s'exprime par :

T(b)=âN N (" - ;=-fixp(-r2/2o2) Ô7. (II-7)i V2

Avec : r2 - b2 + z2

===> T(b) = K c N N exp(-b2/2o2) (H-8)

T(b)

K est une constante de normalisation el a est la largeur de la gaussienne.Lesvaleurs de K et a peuvent être fixées lors du calcul de a (Ref 9,10,11).

Nous observons un bon accord entre le calcul numérique et le calcul de

l'expression (11-7) vers les grands paramètres d'impact

b (b > 8 fermi).I'ar contre pour les faibles paramètres d'impact b, la relation (11-7)

surestime T(b) et donne dos valeurs élevées par rapport au calcul numérique.

Nous utilisons alors la même cxpicssion analytique que dans le chapitre I pour

reproduire le calcul numérique:

30

d'où ~ ~ = - ^ exp(-kpf(b)/aNN) (11-10)

qui conduit h :

b2

= E.(k T(0)/âNN) - E.(k T(b)/ôN N)1 P * P

Notons que pour des arguments faibles (T petit pour b grand) (figure 2),nous retrouvons la forme gaussienne.En effet:

Ej(x) = Log(x) + y pour x petit (II-12)

Donc pour T petit, on a :

£2= Log(kpT(0)/6NN) - Log(knT(b)/âNN) (11-13)p

=====> T(b) = T(0) exp(-b2/2a2) (11-14)

L'équation (1I-I1) a le double avantage de maintenir l'approximationgaussienne pour de grands paramètres d'impact tout en donnant une bonnedescription des 2 noyaux s'inlerpéiiélranl pour de faibles b en accord ainsi avec lecalcul numérique.

Pour la détermination de k , nous utilisons la relation (11-1) intégrée sur

tous les paramètres d'impact possibles b

I 2rubdb I | p . p_dv Idz = A A (11-15)

o -°°

A et A étant les masses respectives du projectile et de la cible. En utilisant

la relation (11-10) ,nous obtenons:

31

2JUÎ2

kp

11 suffit de trouver le facteur k qui vérifie l'expression (11-16) par un

simple calcul numérique.

11-3- Effet dû au principe d'exclusion de l'auli

Dans nos calculs, nous ne tenons pas compte des effets dûs au principed'exclusion de l'auli. Chaque diffusion N-N dans le volume de recouvrementdes noyaux provoque un changement d'étal des 2 nucléons dans leur noyau grâceau transfert d'énergie acquis duranl la collision. N-N. I.r-s diffusions qui nepermettent pas aux 2 nucléon-, d'alleindie un étal inoccupé dans leur noyaurespectif sont interdites par le principe d'exclusion de l'auli.Cet effet conduit àune diminution de la section efficace totale de réaction a nucléon-noyau dans

les calculs de Digiacomo cl ses collègues (Réf. 15,16). Tour des projectiles plus

lourds,une section efficace effective, <̂ r\lhJ ' e s ( calculée dans le volume de

recouvrement de? noyaux en collision.!,a méthode consiste à déterminer

'°NN dépendant de la densité locale de chacun des deux noyaux qui est alors

assimilé à un gaz de Fermi. Par conséquent, à la surface nucléaire, la distributionlocale de Fermi a un rayon plus petit (dans l'espace des moments) et donc l'effetdu principe d'exclusion de l'auli est fortement réduit (Rel.9).

Dans des calculs par modèle optique (Ref.17,18), la prise en compte de ceteffet diminue de façon notable les potentiels pour de faibles rayons de séparationR des 2 noyaux, mais n'apporte presque p.^ de changement pour R grand.

Harvey (Réf. 12) a essayé d'introduire ces effets dans ces calculs dedistribution de fragment;; en utilisant une. densité empirique dépendant de la

section efficace effective nucléon-nucléon OMM e \ Ceci conduit naturellement àune décroissance du nombre moyen de collisions N-N, T(b), pour les petitsparamètres d'impact par rapport à la valeur calculée utilisant la section efficace

libre Oj\jfg Un tel effet peut être pris en compte dans nos calculs en introduisantdans l'équation (11-13) un fadeur !•' égal au rapport de T(b-O) avec l'effet du

principe d'exclusion de Pauli et sans * l effet (c'est à dire T(b=0) obtenue avec le

calcul numérique et C^N libre). Ceci revient donc a augmenter la valeur de k y La

forme de l'équalion (15) garantit le fait que T(b) reste inchangé pour les grands

paramètres d'impact correspondant à un 'Ô"NN' qui tend vers les valeurs 'libres'.

Donc dans les collisions très périphériques, cet effet d'exclusion de Pauli peut-être

négligé mais par contre doit être pris en compte pour les collisions plus centrales.

IV- ANGLE DE DÉFLEXION DU QUASI-PROJECTILE

La deflexion d'un fragment du projectile est due, d'une part, à l'effet dupotentiel d'interaction (nucléaire + Coulombien) entre le projectile et la cible(figure 4), et d'autre part au recul du fragment provenant des collisions N-N. Cedeuxième effet n'est pas très important et consiste en une dispersion autour del'angle de deflexion dû au potentiel d'interaction. Dans le cas du calcul analytiquede la distribution angulaire (chapitre III), colle correction peut être introduite enfaisant une convolution de la distribution angulaire dû au recul avec celleproduite par le potenliel. Par contre dans la détermination de la distribution parla méthode Marte-Carlo (ch. IV), cet effet est pris en compte par une fluctuationsur l'angle de déflexion du fragment en utilisant la méthode Monte-Carlo (cfAnnexe III).

La déflexion du fragment du projectile est calculée à partir d'uneapproximation qui consiste à intégrer le transfert d'impulsion P transverse le

long d'une trajectoire classique déterminée par If potentiel d'interactionconformément au principe fondamentale de la mécanique. Ce calcul est fait ennégligeant les changements éventuels de masse à chaque instant de l'interactionainsi que les variations de la vitesse relative projectile-cible.

Nous aurons alors

6 p = p J F.dl (IM7)

-oo

où V est la composante dr la force (nucléaire ^ Coulombienne) perpendiculaire

à la direction de la vitesse donc du faisceau.

33

Les irajecloires élanl considérées ieelilij;nes parallèles à la directionincidente (/) et en remarquant que les fragments du projectile sont en généralobservés avec des vitesses proches de celle (\\.\ projectile, nous pouvons écrire :

! • , - - sin« ' ' j j 0 (11-18)

dz . _or v --- i et smB -

T 1 1 tU;<r>'12j r dr v

b ' f 1 d \ ' ( i ): ?[• " r ' dr ' ' i z ( I I " 2 0 )

avec : r" = h" i /"

Une siinph1 \'éril"ica(ioii de celle approximat ion esl fournie par le potentiel

Coulombien :

01-21)

Cour lequel l'expression (11-20) donne

b ' °°b f Z | /-V, - ; ; ; f dz (11-22)

coul. 2l.i J rs

r-2H J tf\:f?n ^

Lians nos calculs, nous n<>11«-• ''îU'U'.ssfjns seulement aux collisions

périphériques donc à des ant'!- Jv deflexion petit (<20n). Dans celte

approximation, nous retrouvons M' !a fomiule de di/ïusioji do Kullierford:

34

/( I f - 2 4 )

Notons que la forme de la déflexion ainsi obtenue est la même dans lecentre de masse et dans le laboratoire. En effet, soit A., et A les massesrespectives du projectile et de la cible, E et Ej l'énergie dans le centre de

masse et dans le laboratoire, nous avons aussi,pour les petits angles, les relationssuivantes :

Ap+A

ECM = V ^ c ELAB

Z,Z2e2

D'où: ecM="Ë"~bT i l nP l i c lu e

CM

ZZe 2

Le terme de déflexion nucléaire a été calculé en introduisant un potentielrésultant de la double convolution d'un potentiel nucléon-nucléon à portéenulle avec la densité nucléaire du projectile et de la cible (Ref 6) :

Où J est l'intégrale de volume d<: l'interaction N-N

Cette intégrale ressemble à i'intégrale de convolution entre deux noyaux.On écrit alors :

» N N

Donc ce potentiel peut être décrit par une fonction du même lype que cellede T(r) (expression 11.10) :

dV(r) V(r)e x p ( ' p v ( r ) / J N >

D'où: G n u d -. (b;2(72li) J V(r) exp (-(JV(r)/JN) dz (11-31)-00

En utilisant le développement limité de l'exponentielle, on obtient :

"iHid

Le deuxième terme de cette somme, qui est en général assez faible,intervient comme un terme correctif.il peut être évaluer en utilisant l'expressionGaussienne de T(r) :

N °NN

I,a déflexion nucléaire s'écrit alors:

La ligure (4) montre l'allure de la vai i;iii:m de 0 en fonction de b

Y-CONCLUSION

Dans cette parlie,nous avons présenté les différentes composantes de basepour le calcul des sections efficaces dont le nombre moyen T de collisions N-Nqui détermine la violence de la réaction et l'angle de deflexion du projectile.

A partir d'une forme Gaussienne de T en fonction de b selon leformalisme de Karol,nous avons établit une expression analytique plus adéquatepour T. L'application aux systèmes Ar+ Al et Ar+ ' Zn montre l'importancede cette correction (figures 1,2) surtout lorsque les noyaux considéiés sont lourds(A>40). En effet,pour la première reaction considérée,la différence entre laGaussienne de Karol et la formule analytique proposée n'est pas trèsimportante;Ceci s'explique par le fait que les densités nucléaires des deux noyauxs'approche d'une forme Gaussienne. Par contre pour le deuxième cas,les deuxcalculs sont très différents,le noyau de Zn étant alors plus lourd.

Enfin, l'étude de la fonction de déflexion montre bien l'effet des deuxchamp moyens nucléaire et Coulombien considérés,ainsi que leur importancerespective. La figure suivante schématise les trajectoires possibles du projectilepour différents paramètres d'impact b montrant ainsi le rôle de ces deux champ:

81

o-Projectile .92

83

e2/-J

37

REFERENCES

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118]-B.15onin, Journal de physique, à paraître

5 10

Paramètre d'impact b (fm)

Figure 1: Variation par rapport au paramètre d'impact b de l'intégrale lelong d'une trajectoire recliligne des densités de matières de F40Ar et del'27Al. Les ronds représentent l'approximation de l'inlégrale del'exponentielle. La courbe en tiret est l'approximation Gaussienne. Laligne en plein est déduite du calcul numérique.

50—

1 0 -

c

1 —

t^ 0.5-

0.1-

0.05-40A 68 _

Ar + Zn

I5 10

Impact parameter (fm>

Figure 2 : Voir la légende de la figure 1 mais pour le système 40Ar + 68Zn.

42

e.

0

LAB

-5

HO

-15

\ . 5

-

• 1 . . 1

1 . 1

40

. i i i

15

. . t i t

•*•i

I I , ! .

20

i . 1 i . i i

Figure 3 : Variation de l'angle de déflexion 6L A B du quasi-projectile enfonction du nombre moyen T de collisions N-N.

e,LAB

-6

- 8

- 9

HO

-11

Pdramefn(fm

d'impact

Figure 4 : Variation de l'angle de tlcflextion Q, AB du quasi-projectile enfonction du paramètre d'impact b.

CHAPITRE lu

DÉTERMINATION ANALYTIQUE DES SECTIONS EFFICACES PARUN MODELE NUCLÉAIRE BASÉ SUR LA MARCHE ALÉATOIRE

I - INTRODUCTION

Nous présentons, dans ce chapitre, un modèle simple pour décrire lescollisions périphériques (grand paramètre d'impact) entre ions lourds de manièreà prédire les mesures inclusives. Les réactions entre ions lourds ditespériphériques conduisent à la production de fragments du projectile (ou de lacible) peu excités. Un formalisme analytique (Réf. 1) est développé pour traiter cesréactions. Le problème est formulé de façon à ne pas distinguer entre la phase deréaction où les deux noyaux sont en contact (pendant la collision) et la phase oùl'énergie d'excitation emmagasinée dans le quasi-projectile est perdue parevaporation de particules et par rayonnement y.

Ce modèle prédit d'une manière consistante les différentes observables, enparticulier les distributions en masse, en charge et les distributions angulaires.

Dans ce modèle, le résultat d'une collision N-N, à un paramètre d'impactb, est la conséquence des collisions entre les nucléons du projectile et ceux de lacible. La perle de masse est décrite par une marche aléatoire (voire annexe 4) parrapport à la masse du projectile ou de la cible. Le nombre de pas correspondant aunombre de collisions N-N, sera obtenu en utilisant une distribution de Poissonautour d'un nombre moyen T de collisions N-N , ce dernier étant déterminé par

le calcul présenté dans le chapitre II. A chaque pas, nous définissons lesprobabilités, pour le projectile (ou la cible), F de gagner un nucléon, F de

perdre un nucléon,P, de perdre une particule 'a', P.. que la masse instantanée ne

change pas(probabilité inélaslique).

Avant de présenter les calculs des différentes distributions, nous allonsdécrire les formules utilisées pom obtenir analytiquement l'expression de lasection efficace totale de réaction o. <|iii n'est bien entendu rien d'autre que la

somme des sections efficaces de toutes les interactions non élastiques.

45

II- CALCUL DE LA SECTION EFFICACE DE REACTION

La section efficace totale de réaction 0 représente la totalité des processus

non élastiques dans la réaction. Les mesures expérimentales de aR sont bien

décrites par les modèles théoriques( ref.2,3)qui calculent cette quantité en se basant sur les collisions N-N. Eneffet,sur la figure 1, oR mesurée pour le système 12C+' C en fonction de l'énergie

incidente présente la même allure que la section efficace totale N-N. Cet aspect aconduit naturellement à essayer d'expliquer les différentes réactionsconstituantes de oR à partir des collisions N-N et d'en déduire les différentes

observables (distribution en masse et angulaire...etc.).

Nous avons déjà expliqué auparavant le principe de la mesure de oR dans

d'autres travaux (ref.4,5,6,7), donc nous ne revenons pas sur les détailsexpérimentaux mais nous nous intéressons plutôt à l'aspect théoriqueconcernant la détermination de 0 , et les améliorations à la description de la

géométrie de l'interaction de deux noyaux nécessaire pour le r.ilcul desobservables.

La section efficace totale de réaction a. apparaît comme une quantité

physique globale dont la variation fournit surtout des informations sur lesphénomènes de transparence localisés aux grands paramètres d'impact. Karol(Réf.2) établit une formule analytique de la section efficace totale de réaction ensupposant que les densités des noyaux sont reproduites par une formeGaussienne au voisinage du rayon nucléaire. En fait, seule la surface des noyauxest décrite par une forme Gaussienne. Dans ce formalisme de Karol, certains effetssont négligés (effet du potentiel Coulomoien et nucléaire, effet d'une coucheriche en neutrons à la surface du noyau, effet du mouvement de Fermi et dublocage de Pauli). Mais ces effets sont estimés aux énergies intermédiaires (Réf.3,4)et sont généralement faibles et conduisent à des corrections de signe opposé.Ainsi, la somme de ces corrections ne contribuent environ que pour quelquespour cent à la valeur de a(,. Les valeurs de o". déduites alors donnent un bon

accord avec les mesures faites aux énergies intermédiaires (Réf.3,4)

Suivant Karol, la distribution de probabilité pour le nombre n de collisionsN-N étant décrite par une loi de Poisson (Tne /n!), la probabilité correspondant

46

-Tà la diffusion élastique (zéro collision) esl donnée par l'expression (e ), donc par

conséquence 0. s'écrit :

2nbdb(l-e~T) (111-1)

Avec l'hypothèse précédente sur le nombre moyen de collisions

N-N décrit par une forme Gaussienne :

dT dbj

kôN N

oR = 2na2 [lîj(KâNN) t y + Log(KôNN)] (111-3)

0., est exprimée en fermi' (10 'cm ), il suffit de multiplier celle expression par 10

pour avoir oR en millibarns.

y est la constante d'Euler: y = 0.5772E.(x) est une fonclion intégrale exponentielle définie par la relation :

i = J —"du (III-4)k

Les valeurs de cet le fonclion sont tabulées (Ref.5) et sont généralement

négligeables devant la constante d Luilcr et le "Log(KorNN).

Dans la mesure où le terme R ((KcrNN). est négligeable par rapport aux

autres termesde la somme (voir dans tous les cas étudiés) la section efficace de

47

i«'','io. ion a dérivée par Karol peut se comprendre très .".implement. Définissons

i--il1 !.; relation :

nb c2 = a R (111-5)

. i • ons : T(b) = K d N N e'h2/2a2 (III-6)

knu : —2 = Log(K ôN N) - Log(T(b )) (Ilf-7)2a c

-YSi b est le paramètre d'impact pour lequel : T(b ) = e alors on retrouve

••.-ii> le terme F..) la formule de Karol :

aR = itbc = 2no [lxjg(K âN N) + y 1 (III-8)

La section efficace totale de réaction est une observable très globale qui( llfk- surtout le premier stage des réactions périphériques. Donc le phénomèneo traduit surtout par un effet de surface pour a . Fin faisant alors le calcul de aR

mais en utilisant l'expression corrigée (11-10) , le résultat de aR ne doit pas

. hanger. En effet, f?n égalisant les sections efficaces de réaction calculées•espectivement avec les 2 expressions (III-8) et (111-10), nous retrouvons un facteurkp' égale à 1% prés à celui déterminé dans le chapitre II par la formule (11-16).

le calcul de oD dans le 2ème cas est mené de la manière suivante :

Te

aR = 2na2 J (1 -e~VT Ç (III-9)

0 '. >ù oR = 2no2 [E*(kTc) + E, (Tc(l -k)) + Log ( ^ j ^ p ) ] ("1-10)

48

avec:o

f 1-e'"3 (x) = Y + Log(x) - J — ~ du (Ill-l 1)

Pour déterminer k , nous égalisons les expressions (II1-4) t:l (111-11). Pour la

commodité des calculs, nous négligeons les fonctions E.(x) et nous utilisons la

propriété suivante de E (x):

E*(x) - y + Log(x) + Z ~ pout x>0 (III-12)n=l

III CALCUL DE LA SECTION EFFICACE l'OUR n COLLISIONS

Nous traitons les réactions dans lesquelles les fragments du projectile sont

observés à de petits angles (<20°LaI3) et sont produits par une combinaison de

perte et gain de particules durant l'interaction et par evaporation de particules

après l'interaction.

La description proposée dépend essentiellement du nombre de collisions

N-N le long de la trajectoire qui décrit la dislance relative entre le projectile et la

cible (Ref 1).

La distribution de Poisson qui décrit la densité de probabilité pour avoir

exactement n collisions N-N, s'écrit:

TVT

Qn = -fr (IH-13)

D'où la section efficace d'avoir n collisions

CO

f rVT

on = J 2rtbdb ^-,p- (III-M)o

Or: N N . , .

D'où en posant: x =T(l-k)

2JCO2

°n = , i'('(())( I -k)

-x ne x (111-15)

a =i l

(111-16)

IV CALCUL DE LA DISTRIBUTION EN MASSE.

La section efficace correspondant à la perte de masse m du projectile est

déterminée par la méthode de la marche aléatoire (voir annexe 4) dans laquelle

chaque collision N-N conduit à une perle ou un gain de masse Am avec laprobabililé P + . .La simplification de celte méthode est de prendre en compte,

dans une première étape, seulement le gain ou la perte d'un seul nucléon à

chaque collision ( Am = 0,±l)

La probabililé de perdre la masse m est donnée alors par :

p = > Q Gm *~* ^n uni

1=1

(111-17)

Où Q esl la probabililé d'avoir exactement n collisions cl G le facteur

représentant la marche aléatoire :

P . P

£ Jf jTijk

011-18)

50

Avec: n = i i j + k

m = i - jp + p + p =1

0 - 1 + 1

D'où:

i>\ pi,e T r - T

En r e m p l a ç a n t la s o m m e s u r (i jkn) a v e c la c o n t r a i n t e n = i i j + k p a r la

somme sur (ijk) et en tenant compte du fait que la somme des probabilités est

égale à I, on obtient :

ijk 'i j k ' • '•

avec 5(x) = 1 si x = 0

= 0 si x = 0

En effectuant la somme sur k (qui n'intervient pas dans la contrainte) et en

remplaçant j par i-m nous obtenons

(TP )' (TP )'" in

— I L _-n-i _ _ i ! e-i t +i ( U 1 . 2 ] )

En posant 1 = i-m

. " S T I T I V , ) ! " ""TT" e ( "'' "' (III-22)

51

00 (v r T

-1 ^ (l+m)!l! (IU-23)

La somme sur 1 est bien connue et peut êlre écrite sous la forme :

I m ( 2T^ l ' . H P _,) (111-24)

Où 1 est la fonction de Bessel modifiée d'ordre m.m

D'où :

= e' ( P- | M ' - l ) T(P. | /P+ |)m / 2 lm(2T

La section efficace correspondant a une perle de masse m est déduile alorsen intégrant sur lous les paramètres d'impncl b:.

= J 27Cbdb I'm (111-26)i

o

P IV )m / 2 / e - ( p H " - i > V k T

o

fin posant: a = ~ .. et X =

elkTlm(2T ^ / P ^ V f ( I U - 2 7 )o

H

Ht en utilisant la relation J e récurrence entre I ,1 , et I ,,Ia relation (III-m m+l in-1

27) devient:

52

m m P,.,

En tenant compte de la transformée de Laplace de (I ,- I .) et du

théorème de shift :

£[f(f?D,s] = CI /fi) £| « U s ] (HI-30)

et en supposant que t << a (ce qui est le cas en pratique), nous obtenons

2ÏÏ(52 1

Avec: e = —5—r/5 = H (111-32)

Dans tous ces calculs, nous avons supposé que 'm1 esl positive du fait quele projectile perd une niasse ni. Maintenant, pour le cas où le projectile gagne unemasse m donc m = j-i, si nous reprenons le calcul à l'équation (IJJ-22) el (III-23),

le facteur (TP^)111 esl remplacé par (TI^ ) m + , D'où :

r m + = •',„<• V i ' . , ) " 1 (II[-33)

On a alors :

2no 1 m +o m + = - - y , ( P , / r . ) n i f (111-34)

m (1-e) "

53

V- INTRODUCTION DE L'EMISSION DE PARTICULE a :

Une façon naturelle pour introduire l'émission de particules 'a' dans lecontexte de celle théorie est de supposer que l'émission de ces particules est aussile résultat d'une collision N-N . Dans l'expression (111-18), le ternie G va

légèrement être modifié :n m

G n m = n! J j kf "jT i f If4 (III-35)

m~^~l i! k! j ! 1! U 'ijk '

Avec: n = i+j+k+1m = k+41-j

En faisant le même raisonnomenl que dans le paragraphe précédent et entenant compte du fait aussi que la contrainte donnée par in' ne fait pasintervenir l'indice 'i', on obtient :

s r v (Tr+1) i-4'- |n crr_1)k (TP_4)'

e ' ^ (k+41-m)ï } ~ k ! " Ï!kl

avec S= P + | +P

Celle somme peut aussi s'écrire:

r,n- e Oi\,) L -- i, - - Lkl k

Or la s o m m e sur 'k' n'est nul;<- <iue la fonction de Bessel modifiée I .,1 in-41

54

-1

D'où la section efficace correspondante :

o o

j2itbdbPm (111-40)o

W

J

P+1 2 p -4

Avec: p = ; — el

2 P W P P2P-WP-1P+1

Dans le cas où les mesures expérimentales sonl faites à partir d'un angle

minimale © différent de zéro et correspondant à un paramètre d'impact b . La

section efficace s'écrira :

2T (0) ,V P-1P+1

° 2T{bm)Vr-iPtï(111-42)

Sinon l'expression (111-41) peut êlre approximée par une forme analytique.

En supposant que l'intégrant tend vers zéro bien avant de rencontrer la borne

supérieure,dans ce cas, en remplaçant la limite supérieure de l'intégrale par

l'infini et en tenant compte du fait que :

oo

I -xs H , ''('i-' DJe x d x = -.-:- ,o

et que :

55

(x/2)n + 2 k

nous trouvons :

a m = 2na2(P. ]/P+l)'" /2 I fe^£3l r(m-31) P ^ m (q/(q2-l)1/2) (111-45)

1=0

noù P est le polynôme de Legendre.

VI- DISTRIBUTION ANGULAIRE

En utilisant l'expression simple de l'angle de deflexion (voir chapitre.il)obtenue en considérant un potentiel nucléaire attractif et une répulsionCoulombienne, la distribution angulaire correspondant à une perle de niassedonnée m du projectile peut s'écrire :

lab lob

Or «..g.-V/ô* «,

doe O p

~ " = ~-~~— T ^ J ' O W ) (IJI-48)lab sme i a b T d9 ] . i b m

Une autre contribution, due aux effets de recul, s'ajoute a la deflexionangulaire. Une simple description de celle-ci peut être obtenue par le modèle deGoldhaber (Réf.9) et présentée ainsi

56

( P e f / 2 J ) (111-49)

Où Pp est le moment du fragment (Pp = Pp Ap/Ap )

Op, largeur produite par la vitesse de Fermi des nucléons dans le noyau,est donnée par :

?CTJJ A p (Ap-A F )

0J-= Â y (111-50)

Où A|7 et A sont respectivement la masse du fragment et du projectile. Le

modèle de Goldhaber sera détaillé dans l'annexe 5.

La dislribulion angulaire finale avec à la fois l'effet des polenliels nucléaireet Coulombien et l'effet de recul esl déterminée en convolunnt les équations (111-48) et (111-49).

VII-APPLICATION A LA RÉACTION J0AU+ 27AL A 44MEV/NUCLÉON

Nous avons essayé de reproduire les distributions en charge à différentsangles 2.5°,4.5°, 6°,l()o,(l;ig. 3),ainsi que les distributions intégrées sur tous lesangles (Fig.4).

Les distributions en masse, a .sont calculées à partir de l'expressiondll-

41). La difficulté vient du calcul de l'intégrale définie par:

e~(l*x' 1 In i .4 1 (x)dx (IT1-51)

o

En posant: u = m-41 et en noi mt cjue:

(111-52)

Si z=x/2 alors

Jo

a-2qz J 1-1 \l V z 1(111-53)

2K()K/

J (111-54)

mainlenant posant:

2j-ff.i-i 1-1 = m2m

j=0(111-55)

Si l ' ( x ) est un polynôme de degré n, alors:

J n(x).e .dx - a 011-56)

D'où:

ni

(111-57)

58

m!'2~ (2q)m+l

m

1=0(111-58)

D'où en remplaçant dans 1. :

~l V (2JIU+1-1)! *if

j=0

(111-59)

a =2na2

+ 1

m/2 |

"^ 1!1=0I

1! l(111-60)

En pratique la somme sur l peut être menée jusqu'à l=m/4+2 ou l=m/4+3si p n'est pas trop grand (I' petit). La somme sur j converge après 30 fermes à 0.1

pour cent.

La forme des distributions mesurées en charge est bien reproduite à tous

les angles. On constate cependant un "défaut de normalisation" entre les

prédictions et les mesures qui est de l'ordre de 50 pour cent (figures 3,4). En

diminuant l'expérience par un facteur de 1.5, l'accord devient très bon (figures

4,5). Notons que dans ces dernières figures, nous avons ajouté la correction de

goldhaber. La différence est difficile à interpréter. Nous avons vérifier qu'il ne

s'agit pas d'une erreur de normalisation dans nos calculs. On peut penser aussi

aux erreurs systématiques dans l'expérience (exemple épaisseur de cible...etc...).

Cependant, on peut remarquer à cet égard qu'en comparant la section efficace

expérimentale intégrée(Ref.Il) qui est de l'ordre de 2100 mb et la mesure directe

de <jR obtenue pai la méthode de rayonnement associé qui est de 2600 mb (Réf. 12),

si on écarte l'hypothèse d'un défaut de normalisation expérimentale,on est

amené à la conclusion qu'il y a présence de contributions soit de multiplicité

supérieure à 1 (exemple fragments du la cible) soit de fragments venant de

collisions centrales (b=4fm) . Or ces deux cas ne sont pas traités par notre calcul.

Cependant si cette explication esl effectivement la raison des différences entre

théorie et expérience, il est difficile Je comprendre le très bon accord obtenu pour

la forme des distributions en charge.

59

La forme de ces dislributions dépend étroitement des valeurs et du rapportde la probabilité d'émission de nucléons P , et de celle d'émission d'alpha P . . En

considérant en fait que les paiticulcs peuvent être émises pendant la collision et

après la collision des deux noyaux,nous désignons par P_f/ P + | et c les valeurs des

probabilités primaires correspondant à l'échange ou a l'émission de particulespendant la collision et par P I ' ,l'émission de nucléons ou d'alpha après la

collision. Ces valeurs doivent alors obéir aux contraintes suivantes:

[' - i ' '

P -" P 4 P-4 -M ' «

Les valeurs choisies aiors,en s'inspirnnl des calculs pour le système ' Ar + " Zn

(réf. 13), pour tontes ces probabilités son!

1^ = 0.79 ; P ' 1 = 0.14; P H =0.07

ai 1-62)

d'où P+ , = 0.07; P , - 0.35 ; P -: 0.2 (111-63)

Pour les charges comprises entre 10 et ?.(), los calculs montrent une

'structure nette en alpha' alois que les donnée? expérimentales se présentent

dans une forme plus monotone. Ceci vient dii fait que le modèle ne lient pas

compte de l'émission de particules intermédiaires {deulon,triton..etc..) .Les

mesures expérimentales n'ouï élé faites que pour les angles supérieurs à 2.5°

(Réf.10,11) et pour ceux compiis «'iitre 0" el 2.5", les valeurs ";ont seulement

extrapolées et sonl sans doute sous- -l'méer. Hn elfel, nos valeurs prédites par le

calcul,dans la dislribulion en charge,; ir les fragments de masse proche de celle

60

du projectile sont plus élevées,ces fragments étant en général observés aux petitsangles.

VIII- CONCLUSION

Nous avons présenté un modèle simple pour décrire les mécanismes deréactions périphériques d'ions lourds dans lequel les composantes principalessont le recouvrement des densités de la cible et du projectile et le processus demarche aléatoire qui détermine le changement de masse du projectile.

Dans le modèle d'abrasion-ablnlion (Ref.ll), nous retrouvons l'utilisationde ce recouvrement géométrique pour déterminer la 'violence' de la réaction.Cependant, dans ce modèle,toute la masse contenue dans le volume derecouvrement est enlevée nu projectile et à la cible et le fragment 'spectateur' duprojectile restant est supposé garder la même diteclion,donc non dévié. De mêmel'énergie d'excitation du fragment est aussi prise comme une quantitégéométrique (proportionnelle à la surface due ;* l'ablation),alors que dans notretravail,l'énergie cinétique perdue,correspondant à l'énergie d'excitation, estsimplement reliée au nombre de collisions N-N.

Dans un sens, notre approche ressemble à celle d'IIarvey (Réf.15) dont lescalculs utilisent une équation similaire à l'équation (II-l) mais remplace lamarche aléatoire par des probabilités calculées à partir du modèle de Friedman(Réf. 16).

Une autre comparaison intéressante peut être faite avec le travail deRand- up (Ref.17) qui résout l'équation maîtresse de l'évolution des moments duprtmier ordre et du deuxième ordre de la distribution de probabilité de variablesmacroscopiques sélectionnées. Le modèle présent emploie dune part uneapproche plus grossière de la dynamique de la réaction (par exemple le nombre decollisions N-N est calculé en utilisant les densités nucléaires des deux noyaux) etd'autre part la distribution de probabilité pour chaque observable est déduite àpartir d'une distribution de Poisson pour le nombre de collisions N-N (équation111-13) et d'une méthode de marche ;ih'\Uoire généralisée.

61

Nous nous sommes intéressés en f.iil dans ce travail aux fragments duprojectile mais il esl clair que l'observation de fragments de la cible ousimultanément des deux fragments, projectile et cible, peut être introduit dans leformalisme général exactement de la même manière.

Ce modèle, cependant, ne lient pas compte de l'émission de particulesautres que des nucléons ou alpha (par exemple deulon, triton..etc..) et il nereproduit que les mesures inclusives,d'où l'intérêt de faire une version Monte-Carlo de ce modèle et d'y introduire un modèle d'évnporalion plus général.

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64

J ' 1 ' • ' t \ - I ' » • • • • « • •

1.5-

C/5cCO

1.-0)01 b œ

0.5-

I— '00

12C+12C

|

10I ' ' ' ' I

100 1000E|ab(MeV/A)

Figure 1 : Variation de aR en fonction de l'énergie pour le système 12C+12C.les points expérimentaux sont symbolisés par des carrés (réf. 4, 5) ou pardes ronds (ref.18). La courbe pleine représente les prédictions du modèlemicroscopique de Karol. Dans l'encart, nous avons reproduit la variationexpérimentale des sections efficaces totales de diffusion N-N libre.

2 -

1 -

2.-

1 -

I2"s.

b Œ

1.-

2 -

1.-

100 MeV/A

200 MeV/A

natAnxB i

300 MeV/A ^ 12,xx 1-̂ 1 89M

I f - - " r nat̂ Q *"" ,J2"ZM

C ^ «ftfA| DATA

} '2C+X

CALCULS x

20 30 40 50

(Ap/3 + A t

/ 3 ) ' î

Figure 2 : Sections efficaces totales de réaction mesurées pour le 12C et leNe comme projectile pour des énergies comprises entre 100 et 300

MeV/A. L'effet de transparence (décroissance systématique des valeursmesurées de O"R quand l'énergie incidente croit) est bien obervé. La droitetracée pour guider l'oeil à la même pente pour les qutre énergies parnucléon du projectile (100, 200, 250 c( 300 MeV/A). Les calculs sont faits parle modèle microscopique de Karol.

66

as-

3 -

25-

V)

<52-

1.5-

.5-

12C+X

DATA<f+ 30MeV/AI t 83MeV/A

CALCULS O , D

nolA

64,66,68

54,57.

30 50

Figure 3 : Voir la légende de la figure 2.

67

20

Figure 4 : Distribution en charge expérimentale, intégrée sur tous lesAr+27A1 à 44 MeV/A. Les calculs sont représentésangles, pour la réaction

nar la lirmo on tiret

40

5 -

15 Z 20

Figure 5 : Distribution en charge expérimentale pour les angles 2.5°, 4.5°, 6°et 10°. Les calculs sont représentés par la ligne en tiret. La correction deGolhaber n'est pas introduite dans ces calculs.

o

Figure 6 : Idem que la figure 4 mais les valeurs expérimentales sontrenormalisées par un facteur 1.5.

5

10°

5

10*

5

iê

Jïrf6.0

10 1!i Z

Figure 7 : Idem que la figure 5 mais les valeurs expérimentales sontrenormalisées par un facteur 1.5.

CHAPITRE IV

I- INTRODUCTION

L'analyse des mécanismes de réaction dans les collisions périphériquesentre ions lourds est faite dans ce chapitre en utilisant une version Monte-Carlodu modèle précédent mais en distinguant les deux phases pendant et aprèsl'interaction. Celte technique Monte-Carlo consiste en un tirage au hasard de lavaleur d'une variable aléatoire uniforme y, fournie en général par l'ordinateur.A partir de la valeur oblenue,il est possible d'avoir la valeur d'une grandeurphysique dont on connaît la densité do probabilité normalisée, discrète oucontinue Nous présenterons sommairement dans l'annexe l celte méthode.

Le calcul est fait en deux étapes. Les noyaux projectile et cible interagissentpar l'intermédiaire de collisions nucléon-nucléon(N-N). Les conséquences decelte interaction sont décrites par une malrice composée de probabilités,supposées constantes, qui conduit au résultat d'une collision N-N.

Les énergies d'excitation, les énergies cinétiques et les moments angulairesde ces deux fragments sont déterminés a partir du nombre de collisions N-N(Ref.l). L'angle de déflexion est calculé par la même méthode que dans le chapitreII.

Cette phase primaire est basée sur le principe de la marche aléatoire etcorrespond en fait a une version Monte-Carlo du modèle étudié précédemment.

Dans une deuxième étape, les deux noyaux primaires excités produits(quasi-cible el quasi-projectile) vont se désexciter par evaporation de particuleslégères ou par émission de fragments lourds.

Le programme» PERÇUT utilise deux méthodes statistiques distinctes pourtraiter l'évaporation. Le code LANCELOT (Ref.2), basé sur le modèled'évaporalion d'Hauser Peshbach, donne de bons résultats dans l'élude desrésidus d'évaporation et de rémission de particules légères, clans leur étalfondamental, a partir d'un noyau composé avec des énergies d'excitationrelativement faibles(<3 MeV/u). Notons aussi que ce rode LANCELOT a été crée

73

pour simuler la décroissance de noyaux légers(A<40) et ne contient desinformations détaillées sur les niveaux d'énergie discrets que pour les noyaux deniasse en dessous de 40. Aux énergies intermédiaires, les énergies d'excitation desproduits de réaction primaire sont souvent élevées. Des fragments de masseintermédiaire, dans leur état non fondamental, avec une énergie d'excitationnon négligeable peuvent alors être évaporés. Le traitement basé sur la théorieIlauser Feshbach usuel peut, en principe, être étendu a de tels cas, mais le coderisque de devenir très complexe. Dans sa forme présente, le cod'- LANCELOT nepeut pas simuler par exemple la fission comme décroissance des produits deréaction. Filant donné aussi, qu'à ce stade de recherche, nous ne sommes pascomplètement sûrs que la iiuiltifragmcnUtlion (séparation du noyau excité en 3ou plus fragments avec des masses > 4) a lieu, nous avons alors opté pour unedescription simple de la décroissance en utilisant un mécanisme de scissionbinaire séquentielle similaire à celui utilisé par Morello et ses collègues (Ref.3) enincluant la méthode de Monte-Carlo. Notre chemin toutefois nous limite auxénergies incidentes inférieures à quelques dizaines de MeV/A. Nous n'excluonspas l'éventualité de l'addition d'un nouveau code pour simuler les vraismullifragmentalions au cas où les expériences en montreront la nécessité. Donc,en résumé, suivant le cas se présentant nous opterons pour l'un ou l'autre descodes.

II ETUDE DES FRAGMENTS FRIMAIRES ISSUS DE LA COLLISION

I 1-1-Détermination du nombre moyen de collisions N-N, du paramètre d'impactb correspondant, du nombre de collisions N-N

Dans le formalisme que nous employons, le nombre moyen T de collisionsN-N est donné p<n(voir chapitre H) :

T(b) = <n> = âN N ) J • 'Pi P2dvv

(V-l)

Dans le chapitre 11, nous avons montré que le profil est bien décrit par:

dT/T=-db2 exp (k T/ ôNN))/2a2 (IV-2)

b2/2a2 = E. (kT(0)) - E. (kT(b) ) (IV-3)

On suppose également que le nombre de collisions N-N suit une

distribution de Poisson, autour de la valeur moyenne T(b), donnée par:

Qn=Tnexp(-T)/n! (1V-4)

Dans celte hypothèse, la probabilité d'avoir zéro collision N-N (diffusion

élastique) pour le paramètre d'impact b est:

Qo (b) = exp (-T(b)) (IV-5)

La section efficace totale est alors:

+00

J [ l - Qob)Jbdb

o

d'où

doR/db = cb ll-exp (-T(b)] (IV-7)

ou en introduisant la formule (IV-2) dans l'expression (IV-7)

daR _^ 2 1

dT

La section efficace de réaction peut donc être reconstituée en tirant les

valeurs de T suivant In loi de probabilité:

P (T) = I I - e" ' (b) j (IV-9)

Cette sélection des valeurs de T est faite par une méthode de rejection deMonte-Carlo(voir annexe 1)

La formule (IV-3) nous permet alors de connaître le paramètre d'impactassocié à un nombre moyen de collisions T.

l'Allure de la distribution de (da/db) en fonction de T(b) (fig.10) présenteun maximum à la surface des noyaux, c'est à dire que les collisions périphériquessont plus probables.

Une fois T(b) et b déterminés , nous prenons l'expression de l'angle dedéflexion du projectile 0 démontrée dans le chapitre II.

nui! ~ •> _2TUTI- :O N N

_ 6fGconld • ~ ~"li b

OLairOni,cr+O«.nl

Pour la déflexion due au potentiel nucléaire, le deuxième ternie de lasomme est en général négligeable devant le premier.

Pour un événement défini p-ir T, b et O, le nombre exact "n" de collisionsN-N est sélectionné par la méthode de rejection en utilisant la dislribulion deprobabilité donnée par l'équation MV-5). Ce nombre "n" va permettre dedéterminer le transfert de masscléin rgie d'excilalion perdue et donc, parconséquent, l'énergie d'excilalion du quasi-projectile (QP) et de la quasi-cible(QC).

. 76

Les masses des fragments sont déterminées en étudiant l'évolutiondes masses perdues ou gagnées par le projectile ou la cible. Un traitementstatistique est utilisé pour l'échange des nucléons entre les deux noyauxen collisions. Le transfert de masse est obtenu alors par une marchealéatoire dans les masses du projectile et de la cible où le nombre de pasn'est autre que le nombre de collisions N-N. Lors de chaque collision N-N, chacun des deux nucléons peut être transféré au partenaire, ou émisdans le continuum ou resté dans son noyau d'origine. L'effet global detous ces événements microscopiques est une diminution (ou uneaugmentation) du nombre de nucléons du projectile (ou de la cible),accompagnée par l'apparition d'une énergie d'excitation plus ou moinsimportante, dont l'expression sera développée dans le paragraphe H-3,dans les noyaux résiduels formés.

Les différents étals finaux possibles d'une collision N-N sont lessuivants:

projectile

P*l-10 0

Les indices indiquent le changement de masse lors de cette collision.

Si les masses des QP et QC restent inchangées, la probabilité associéea cet état final est notée PQQ (diffusion inélastique)

Si un des deux nucléons est émis dans le continuum et le deuxièmeest transféré au partenaire: la probabilité associée est notée PQ j si c'est lenucléon du projectile qui est émis et P 10 si c'est le nucléon de la cible.

Si les deux nucléons sont émis dans le continuum, la probabilitéassociée a cet état final es( notée P . ..

Si un des deux nucléons esl transféré au partenaire et le deuxièmereste dans son noyau d'origine, la probabilité associée est P_] + ] si c'est lenucléon de la cible qui est transféré et P+1.-j si c'est le nucléon duprojectile.

77

La somme de ces probabilités est égale ;i I:

Pour un événement donné, le résultai de n opérations (correspondant â n

collisions N-N) conduit aux masses des fragments du projectile et de la cible. Les

étals finaux de ces n collisions sont tirés aléatoirement suivant les probabilités

précédentes par une méthode Monte-Carlo (voir annexe III).

A la suite de ces n tirages, soit a,b,c,d,e,f le nombre des tirages qui

correspondent aux états finaux (-1, -1), (-1, 0), (-1, -1), (0, -I), (0, 0), (H, -1), avec:

n = a + b + c + d +e + f (IV-12)

Les masses finales des noyaux QP el QC sont:

(IV-13)

Notons que AQJ, ( A Q ( - ) peut être supérieure ou inférieure à Af, (A c)

suivant que le noyau gagne ou perd des nucléons.

Le nombre de nucléons émis dans le continuum (source intermédiaire) est:

M s , = 2 a + b i d (JV-15)

La charge correspondante àA o | , est calculée par la formule suivante pour

les masses comprises entre 10 et 40 u.a.in

V's^v^Tr'153 (nMW

Le nombre de protons émis dans le continuum est supposé égale à Ms(/2.

La charge du noyau quasi-cible est donc:

ZQC= Z o p + ZQC- (MS|/2 i ZQ,,) (fV-l7)

11-3 Energie cinétique et excitation des fragments

Nous supposons, dans ce modèle, qu'à la suite de n collisions N-N, unepartie de l'énergie cinétique initiale du projectile est transformée en énergied'excitation du système. L'énergie cinétique perdue par le projectile lors l'unecollision N-N correspond â l'énergie instantanée par nucléon du projectile; parexemple, pour la première collision, celle quantité correspond â l.i( Al} /A .

En tenant compte du défaut de masse Q de la réaction, on a:

( I V" J 8 )

F. , (E* + Q) sont respectivement l'énergie cinétique et l'énergie d'excitation totale

des produits finaux.

En est calculée on supposant que lors de la ième collision, le système perd

une énergie £ = Ef/Ap, Ef étant son énergie cinétique avant la ième collision. Si la

masse AP du projectile change peu pendant la collision, notre hypothèse nousmène a l'expression suivante de l'énergie cinétique restante au système:

En effet après la première collision N-N, il reste une énergie E, avec:

El ~ nL.AI5" ' t .Al/Ar

79

Après la 2ièmc collision IL avec:

E2 = F, - G, 1/A,, = I-LAB [1 - 2/ApP + I/(A,,)2 ]

...etc.,

Après la nièine collision, on retrouve le développement de l'expression(IV-19).

Four des valeurs de n petites, l'énergie perdue peut s'écrire:

Par contre pour n grnnd, l'expression (IV-19) tend vers une formeexponentielle:

L'énergie cinélique i*.ï sera répartie sur les trois produits finaux:

F.,, = KP + I'C + I-Sl (IV-22)

avec Ep : énergie cinélique du quasi-projoclileEç- : énergie cinétique de la quasi-cibleES| : énergie cinétique des nucléons émis dans le continuum.

La conservation de l'impulsion s'écrit:

Po = f P + I C + I ^ I ( I V 2 3 )

80

Les équations (IV-20) el (IV-2J) nous permettent de déterminer les énergiescinétiques des QP el QC, connaissant l'angle de deflexion du quasi-projectiledonné par l'équation (IV-10).

Les Mgjnucléons éjeclés dans le continuum sont supposés émis suivant ladirection incidente. Leur énergie cinétique d'entraînement est donnée par ".Mg).e

L'énergie d'excitation pour le système (quasi-projeclile et quasi-cible) seraégale à :

( i v - 2 4 )

La répartition de celle énergie peut êlre obtenue en supposant que les deuxfragments ont la même température. Dans ce cas , les énergies d'excitationmoyennes des Q(1 et (X. sont:

* Aor- eF. = Â - 4 À (K*-z Me,) OV-25)

E Â — S " " W - \ MSI> ( I V ' 2 6 )

Or dans la plupart des cas ,il s'avère en comparant avec les résultatsexpérimentaux que les deux fragments qimsi-projeclile el quasi-cible n'ont pas lamême température par exemple, dans le cas d'une cible lourde 20Ne + 165Ho à 30MeV/A, les calculs s'approchent de l'expérience si l'énergie d'excitation estpartagée également entre les deux fragments (Réf. 19).

Le partage de celte énergie d'excitation peut aussi être fait en tirantaléatoirement suivant une Caussi- nj\o centrée autour de l'énergie cTexcilalion

E donnée par l'équation (IV-22). La largeur de celle Gnussiennc est laissée

comme paramètre dans le code (annexe 111). Dans ces calculs, nous supposons que

Bl

les moments angulaires produits dans la cible el le projeclile n'ont pas d'effet surcet état.

11-4 Moment angulaire.

A chaque réaction nucléaire, on suppose que du moment angulaire n'esttransféré que lors des collisions de type (0,0), celles-ci étant plus probables.

Si le nucléon incident diffuse isolropiquemenl dans le système du centrede masse N-N el sachant que In diffusion n-n correspond a une vitesse de reculV()/2 (V() étant !<i vitesse du faisceau), alors la vitesse relative V du nucléon

diffusé par rapport au noyau est donnée par :

Vn - V()cos© Si le noyau a une vitesse V() (noyau projeclile)

Avec 0 = I.V2

0 étant l'angle représenté sur la ligure suivante:

Un nucléon diffusé alors par un autre nucléon au point 0 donne au noyauun moment angulaire:

1 = d'm V (1V-2.7)

m étant la niasse du nucléon.d' étant la distance représentée sur la figure suivante:

82

Hn supposant quo le point 0 se trouve au milieu de la zone derecouvrement des deux noyaux.

Les distances cl(,, d(, sonl données par les formules suivantes :

b2-R,,2)/2b (IV-28)

(IV-29)

b étant le paramètre d'impact, Rc et R,, les rayons des deux noyaux.

Le calcul de la valeur moyenne du moment angulaire est effectué ensupposant que la diffusion N-N dans le cenlre de masse est isotrope, c'est a direque:

do/tiS'2 = constante (1V-30)

On en déduit immédiatement le moment angulaire de chaque noyau:

'c='»V'c/2 (IV-3J)

],, = m V() d,,/2 fIV-32)

83

IV- ETUDE DE L'EVAPORATION

Les fragments primaires, Çu et Qp, issus de la collision sont excités et vont

donc se désexciter par l'émission de particules et de rayonnement. Les énergiescinétiques, les nombres de charge et de masse ainsi que les angles des fragmentsfinaux détectés doivent donc être corrigés de cet effet d'évaporation. Cet effet derecul, contribuant à l'élargissement des distributions angulaires, est étudié enutilisant la méthode Monte-Carlo et en respectant les lois de la cinématique. Pourles cas (masse supérieur à 40) qui ne peuvent pas être traités correctement par la

théorie Hauser Feshbach (code LANCHLOT+DESTIN), nous avons construit unmodèle simple pour décrire une scission binaire à température égale (codeEVAP).Plusieurs travaux récents montrent (Ref.4, 5, 6) que le traitement standard'Hauser-Feshbach' n'esl pas approprié pour les noyaux très excités qui peuventémettre des fragments de niasse supérieure à 4, eux-même emportant dumoment angulaire interne et de l'énergie d'excitation. Ces deux codes vont êtredécrits dans les paragraphes qui suivent.

IV-1 - Scission binaire d'un noyau : code EVAP

Notre méthode pour traiter ce problème est similaire a celle utilisée parMorelto et ses collaborateurs (Ref.3, 4) et a déjà été appliquée aux réactionsinduites par Li (\lçf. 5).

Pour les produits qui ne peuvent pas être traités correctement par le codeLANCELOT (masse > 40 ou énergie d'excitation supérieure à 2 Mev/nucléon),nous avons construit un modèle simple et peu coûteux en temps de calcul pourdécrire une scission binaire.

La probabilité (non normalisée) d'émission d'une particule par un noyauexcité de masse A et d'énergie E* est donnée par:

P = exp (2-^,ij(E*-Es) (IV-33)

avec aj = paramètre de densité de niveau du noyau fils

aj = A/C . La valeur de C est laissée au choix de l'utilisateur. Selon la littérature

E = seuil d'émission de la particule

Es = ER + Q « I3C (IV-34)

où ER est l'énergie de rotation, Q le défaut de masse (Réf. 8) et Bc la barrière

coulombienne

Nous allons dans un premier temps donner les arguments pour le choixd'égales températures dans la scission binaire puis développer les différentstermes de l'expression (IV-27). L'utilisation de ce choix dans le code 'IIVAP'implique naturellement l'émission de fragments de masse intermédiaire.L'interprétation d'une expérience* récente faite par lîorderie et ses collègues(Ref.9) confirme cette notion.

IV-1- a- Arguments pour le choix d'égales températures tlans la scission

binaire

L'expression (IV-26) de la probabilité relative de désintégration en deuxfragments A( et A2 d'un noyau A est obtenue en fait en considérant que celle-ci

est proportionnelle aux densités de niveaux des deux fragments excités d'énergierespective H, et Iv,. Cette probabilité non normalisée petit s'écrire:

(IV-35)

en posant: F>xy = F-j + ̂ 2 (IV-36)

V (A,,A2) - exp ( 2 ^ H , ) exp ( 2 ^ ( 7 ^ - , ) (1V-37)

Les énergies d'excitation peuvent être converties en température en

85

utilisant un modèle de gaz de lermi:

a w c a 0 = A ( ) / C ( 1 V " 3 8 )

Si nous faisons l'hypothèse que le partage se fait avec des températureségales pour les deux partenaires, la probabilité donnée par (IV-29) devienl:

exp (2l-:,/T)exp(2(HXT- l^ /T) (FV-39)

I',. (A,,A2) - exp ( 2 ^ r ) l ix.,:|- ) (IV-40)

car r , /n, = (l'-x, - r:.,)/n., - T

et T -

Nous allons montrer que l'hypothèse de températures égales peut êtreadoptée dans tous les cas quelque soit In taille des deux fragments après lascission.

La probabilité pour un partage donné (Aj,A2) est obtenue en intégrant surtoutes les énergies H. possibles.

P.

P(A,,A2) = J exp( ?.-v/2(a,.F.,) e r p (2^â2(fiXT-lî,) dl-, (IV-41)

o

en posant: v.t = 4n,I'(1

tt3 - 4n

86

1 _

F(A);A2) = J exp ( "X/ctjX) exp (^u2(l-x) ) dx (IV-

42)

Le théorème de la moyenne peut être applique alors sur deux domaines,l'un entre 0 el la valeur xO pour laquelle celte fonction est maximale et l'autreenlre xO et 1. L'expression de xO esl déterminée en différentiant f(x):

f(x) = exp ( V ( X i x> e x P ( V (X

-.-.'- = o

pour xQ - a, /(<x, i a.,) I (x()) - exp( \j a, i u2)

D'où en intégrant l'expression (FV-31) en deux parlies, de 0 à a

de celte dernière valour à 1, on obtient:

+ a 2 ) , et

I'(A,,A3) = j«,exp (A/ t t2) •»• (x2cxp (A/a,)

- + exp ( A/ a,

D'où:

yP(AvA2) = lvA, A2A2

2V°()f':xi) ' Â,"+Â2

]^i' lxr - 2VaoHxi>J

*Si a, = a2, alors r(A,,A.,) = exp (2 \j^'.xr-- I'(A|,A,)

(IV-43)

* Si le partage esl très asymétrique : a. •- a() > a2

par exemple: une masse 200 donnant deux masses 190 el 10

87

a() = 200/8=25 a, = 190/8=23.9 a2 - 10/8 = 1.2

prenons F.X| = 70 Mev

A lÂ7ïÀ"2

ex» l(k"V iI2 i :XT-^*1«I-xr "

exP (2 ^ a , r - X T - 2 ^ X T ) « 0.005

* Si a(> > a | el n() > a7 alors :

Donc pour ties énergies grandes, les exponenlielles deviennent petites et

alors :

Dans nos calculs, nous supposons toujours des températures égales dans le

partage binaire.

Un lirage aléatoire Monte-Carlo esl ulilisé pour déterminer la particule Aj,

donc A2, avec la loi:

P(A,,A2)« exp(2-v/.ioliXI.) (IV-44)

avec: l-xr - !•* - (f'K -i Q i lî(.) (IV-45)

Pour une énergie d'excitation 12* donnée, les probabilités relatives pour

88

divers partages en masse sont donc gouvernées par la barrière Coulombienne,l'énergie de rotation et par l'énergie de séparation. Celle dernière est calculée enutilisant l'excès de masse.

lV-1-b Energie de rotation

Nous supposons que le système se sépare en deux fragments et que lascission se fait lorsque les deux noyaux sont à une distance R l'un de l'autre avecR=R| |R2, Rj ol R2 étant les rayons des deux sphères représentant les noyaux. Au

point de scission, le système tourne autour d'un axe situé entre les centres demasse de A1 et A9 ici que:

(IV-46)

Celte condition esl équivalente a la conservation du moment linéaire. Eneffet, la vitesse angulaire au point de scission étant 0) et V|,V7 les vitesses

linéaires des deux fragments nous avons:

V

donc A,R|=A2R2===> A,V,=A,V2 (IV-48)

co esl simplemenl donnée par la conservation du moment angulaire dansle passage du noyau père dans sa forme originale sphérique a la scission en deuxnoyaux:

}. = I, o). = I.,.(.o -==> („ = Î'- (I V-49)

où Jj esl le moment angulaire du noyau |iiimaire

1.,. = I, + I, + A,R ] i A2I?2 (1V-50)

I, et L sont les niomenls d'iiierlie des deux fragments:

F,=f A,RÎ el

L'expression (1V-36) de l peut s'écrire:

I.,. = I, + I 2 + MR2 (IV-52)

ou u est la m fisse réduite:

A, A

xhk (IV-53)

en effet :

A , R , = A 2 R , e l R = R, + R2

===> Rf = RA,/(A, + A2) el R2 = 11A2 /A , (- A,)

Les moineiUs angulaires Ij, l? et les énergies de rolalion HR( et ER2 des deux

noyaux ponl:

J, = « 1 , : I?R I= ' ^ - OV-54)

J , ( l , )J2 = w l 2 : lïK, = - f, (IV-55)

90

L'énergie d'excitation du noyau fils s'écrit alors:

( f V - 5 6 >

IV-1-c- Energie cinétique de la particule émise

La forme du spectre de l'énergie cinétique des particules émises peut êtrerapportée â la température T de la source émellrice par la théorie statistique(Ref.10).

L'énergie de la particule est alors déduite en prenant la densité deprobabilité suivante:

(IV-57)

= 0 pour II < lv

Où Eg est l'énergie seuil pour l'émission de la particule.

Dans le programme, la méthode de rejection de Monte-Carlo est utiliséeavec la densité de probabilité donnée par l'expression (IV-57). Nous intégronscette distribution jusqu'à ce qu'elle devienne supérieure ou égale à un nombrealéatoire choisi y. En posant :

.•• = E - l-5

1 f -E'= ~2 J l:-'exp(y ) ai" (JV-58)

o

91

y = - f exp (- ~°- ) - exp (• '$ ) •«• ! (IV-59)

Posons : x - ;•,-•

=====> y = l - c x p ( - \ ) ( I i x ) (IV-60)

D'OÙ : Log(l-y) = - x i- Log ( 1 i x) = - c (ÎV-61)

y < l ====> c > 0 i-l x > c (IV-62)

S o i t : x ' = x - c d'où \ ' = lo i ; (I -\x'\ c) (IV-63)

Pour trouver In valeur de x qui vérifie (IV-63), cherchons la valeur pour

laquelle :

f(x') = LOIÎ ( I i-x' f c) - x' = 0 (IV-64)

Ecrivons le développement limilC? de 1 (x1) nu voisinage de zéro:

I" X " 1

h e ' 2 (c+1)2

f(x') = 0 - = ^ > x 1 ^ - c ( c i - l ) ± ( c f l ) V c 2 > 2 L o R ( l - t c ) (IV-65)

or x élnnt supérieur â c ,l;i i uule solution positive es( bonne.

Nolons que la moyenne de ICnergie exprimée par (IV-57) s'écrit:

92

Jli'2exp(|)dF.'

= 2T (IV-66)

Dans le centre de masse, l'énergie cinétique moyenne de la particule émises'écrit alors:

lï, = GK1 +2T + »C (IV-67)

IV-l-cl- Impulsion des deux fragments

Pour faciliter les calculs, nous nous plaçons dans le centre du fragmentémetteur. La particule évaporée A est supposée alors émise de façon isotrope.Celte isolropie est prise en compte par le tirage uniforme aléatoire de cos© entre 0et J et de <l> entre 0 et 2rc.

Les composantes cartésiennes de son impulsion I'| s'écrivent:

r i x (A, ) = P,Sin9Cos<l>

P, (A,) - P, SinOSimf) (fV-68)

P^A^P, Cos0

L'impulsion de chaque noyau dans le repère du laboratoire est:

~* v l ) = ^ 1 ' Â I'Â7 ' ^ (IV-69)

93

ou P est l'impulsion du noyau père.

1V-2 Code d'évaporalion 'LANCELOT1

Ce programme conçu par A.J. Cole (Ref 11) est bnsé sur une technique

Monte-Carlo. II calcule la chaîne d'évaporatioi; d'un noyau composé.

Dans le cadre du modèle Ilauser Feshbach (Ref. 12), la probabilitéd'émission d'une particule légère b, d'énergie cinétique l;,., de spin j et de

moment angulaire 1, par un noyau excité, d'énergie E* el de moment angulaire J,

est le produit de In densité tie niveaux des noyaux (ils par le facteur de

transmission de barrière T(Iib) de la particule :

Jrfi s

P(Ji/l-*,b,nb,l)=T|(F.li) Z Z Pdyjf) dV-71)s=l| r i l Jf=ls-|l

avec Jf = moment angulaire du noyau Cils; il est tel que:

t j = ) \ v ï* (IV-72)

J - moment angulaire intrinsèc|iie de la particule émiseEf= énergie d'excitation du noyau /'ils, elle s'écrit:

Hf = !•.. - F. - S (IV-73)

où S est l'énergie de séparation de la particule

La condition de normalisation s'écrit:

9 4

X X J P( Ji.Ii % b , F. ,1 ) d n ••-• Ib 1 o

(1V-74)

1V-2- a La densité de niveaux

La technique de calcul numérique de la formule (IV-71) utilisée dans le

code 'LANCELOT' consiste à décrire l'étal a partir de la densité de projection de

spin par la formule suivante:

p <Ef, J() = W(Rf, M, = }f) - W(F.f/ Mf = Jf h I ) (IV-75)

Dans le cadre de celle hypothèse, la formule (IV-71) s'écrit:

P(Ji,E*,b,E,l) = T.(I')

k = l l j r l l - j

W(li f,K)- W(Ef,N)

I-JI

(1V-76)

Pour une énergie d'excitation M du noyau fils supérieure â l'énergie des

niveaux discrets (5 Mev), la densité est donnée par la formule suivante (Réf.13):

W(Ef, M,) = 2Jh2 I mf

2h2

(IV-77)

avec: a /A (Mev"1) = 0.00917.S + 0.12

1 / h 2 (Mev"1) = 0.00965.K2. A V 1

où T est la température et I le moment d'inertie

Le moment d'inertie utilisé I esl celui d'un rolor rigide déformé.

95

IV - 2- b Le coefficient de transmission

Pour les particules évaporées, le potentiel nucléaire est représenté par un

puits de Wood-Saxon. Le polenliel V(r) vu par la particule évaporée est la

somme des potentiels Coulombien et nucléaire et de la barrière centrifuge.

L'approximation de barrière parabolique (Réf.14) consiste à confondre V(r) au

voisinage de la barrière ((5V(r)/ôr),._n, = 0) avec une parabole.

= V(r())-U(.r(rr(1)72 (IV-78)

où p. est la masse réduite

Le coefficient de transmission s'écrit alors:

V(r ) • YT.(l-.) -, 1 + c x p b u -" • I (IV-79)

IV - 2- c Les principes généraux du calcul

A chaqi.e étape, le type, l'énergie, le moment angulaire de laparlicule émise el le moment angulaire du noyau fils (Jf) sont choisis.

L'énergie d'excitation du noynu fils (!•,•) et la de/isilé de niveaux (Hf, )f) sont

aussi calculées. lîf el Jrsonl pris comme caractéristiques du noyau composé pour le

calcul de l'étape d'évapomlion suivante. Le calcul de la chaîne d'évaporation

prend fin lorsque l'énergie d'excitation du dernier noyau formé dans la chaîne

est nulle.

L'information angulaire a été perdue car ce programme utilise la formule

d'Mauser feshbach intégrée sur tous les angles. Le programme cinémalique

'DESTIN' va utiliser l'approximation semi-classique dTùicson el Slralinsky

(Réf. 15) pour calculer les angles et les énergies au laboratoire des différentes

particules d'une chaîne d'évaporalion crée par 'LANCELOT'.

96

IV - 2 - d Le programme 'DESTIN'

Ce code (Réf. 2) utilise une technique Monte-Carlo de tirage au hasard. Ilétablit les distributions angulaires, et les spectres en énergie dans le laboratoiredes particules crées dans la désexcitalion du noyau . 'DESTIN' calcule les spectresdes particules libres, mais aussi les spectres de coïncidence et les corrélations entreles particules d'une chaîne d'évaponition de 'LANCELOT'.

Ericson et Strulinsky (Ref.I5) ont montré qu'il est possible d'établir ladistribution angulaire des deux particules formées par une séquenced'évaporation à l'aide d'approximations semi-classiques. Les distributionsangulaires seront établies à l'aide des relations suivanles(fig.l):

1 .p. =0 9(Pj, 1 ) = 90°

_ V V

<Kj , , 1 ) = 0 a 2rc

cose<j.,i) =

Les 3 particules concernées par une étape d'évaporalion sont le noyauparent (Jj, pj), le noyau fils (Jf,p,) et la pailicule émise (l,pl).

Les 3 moments angulaires sont liés par la relation suivante, imposée par laloi de conservation du moment angulaire:

' = if

97

V -APPLICATION A LA REACTION ' ' % + 27A1 à 44 Mev/micléon :

Le code "PHRCUT", décrit ci-dessus,simule les réactions périphériques

entre ions lourds. La phase primaire de la réaction est basée sur le modèle de la

marche aléatoire. La deuxième phase, celle de l'évapora (ion des produits,est

décrite alternativement par deux codes. Celle version Monte-Carlo permet de

calculer les directions et vitesses de toutes les particules émises dans les réactions

périphériques. Le cas que nous allons étudier ci-dessous est un cas particulier

dans lequel les mesures des corrélations entre les résidus du projectile et de la

cible ont été effectuées.

Les données expérimentales considérées ci-dessus sont les distributions en

masse et en charge à des angles laboratoire allait! de 2,5 à 15 degrés et les mesures

des corrélations quasi cible quasi-projectile (QC et QP) Les quasi projectiles (QP)

sont détectés à un angle de .1 degiés. Les quasi cible (QC) sont délectées sur une

série d'angle allant de 15 h 85 degrés (de l'an Ire côté du faisceau).

Les quantités géométriques de base (T,B) sont représentées sur la figure 2.

L'angle de grazing est calculé en utilisant l'équation (IV-10) et il est de 0,9 degrés

clans ie rélérenliel du laboratoire. La valeur de cet angle entraîne deux

conséquences importantes : Pour la première, les calculs vont donner

principalement des trajectoires nucléaires (plutôt que coulombienncs) el pour la

seconde, dans les distributions angulaires, une grande partie des isotopes proches

du projectile vont se trouver sut tout à des angles au dessous de 2,5 degrés. Donc

les extrapolations faites pour obtenir la section efficace totale peuvent entraîner

des incertitudes considérables, remarque déjà faite par Dayras et ses collègues

(Réf. 16).

L'angle de deflexion dans le l.iboialoirc est une fonction presque linéaire

du nombre moyen T de colii-ions N N (figure 2). Ceci s'explique par la forle

localisation tin paramètre d'impact dans l'équation (IV-10).

Un autre point important à signaler est que pour un angle de deflexion du

QP égale à 3 degrés, le nombre de '."Disions N-N calculé vaut 7 (pour un

paramètre d'impacl b = 7,8 fin). La présence de l'évaporalion cependant élargit la

distribution angulaire el ainsi plusieurs valeurs voisines de T peuvent

98

contribuer à 3 degrés. La variation en fonction du paramètre d'impact de la massemoyenne (intégrée sur toutes les énergies) et de l'énergie (intégrée sur Unites lesniasses) du QP est représentée sur la ligure 3. Tous les produits de masse inférieura 36 se situent dans une tranche de b entre 7 el 9 fm.

Les distributions en masse el en charge mesurées à 2,5 degrés dans lelaboratoire sont comparées dans la figure 4 aux calculs de simulation. L'accord, engénéral, est excellent sauf peut être aux masses les plus basses où le modèle préditl'allure de la section efficace mais sous-estime son amplitude relative. Il est ànoter aussi que les effets pair-impair calculés dans les distributions en charge,bien qu'observés dans les mesures, sont trop prononcés. Ceci est dû sans doute àl'expression simplifiée utilisée pour la distribution primaire de Z (équation IV-16). Les distributions inclusives en charge à d'autres angles sont assez bienreproduites dans l'ensemble par la simulation (fig. 5).

Les énergies des QP mesurées el calculées sont présentées sur la figure 6.L'accord esl très satisfaisant sauf peut être aux masses observées les plus basses oùles prédictions de In simulation sont inférieures d'environ 10% par rapport auxmesures.

Pour les corrélations QP QC (fig.7 et 8 ). Les prédictions sont très sensiblesaux valeurs des probabilités choisies pour interpréter la phase primaire de laréaction. En général l'accord esl assez bon. La grande distribution des isotopes C,I3e et Li observée expérimentalement dans les spectres en coïncidence n'estcependant pas reproduite par les calculs. Il semble que ces isotopes sont desfragments de masse intermédiaire produits plutôt dans des collisions plusprofondes non traitées dans noire modèle. Cependant, il est également possible(Réf. 17) que les pics observés dans la figure 8 sont simplement dûs à lacontamination en carbone de la cible.

Nous pouvons aussi remarquer qu'aucun calcul n'a été fait jusque la pourprédire la diffusion élastique. Donc les pics correspondant aux masses 27 et 40observés expérimentalement à 85 degrés pour les QC ne sont pas prédits. Maisplus sérieux esl le fail que Ir modHe surestime la distribution à-.'S masses de 20 à25 des QC délectés a 15 degrés el in- reproduit pas la distribution en masse des QPentre 10 el 20. 11 semble qu'à celle <v ocialion d'angle, l'énergie d'excitationprédite pour les deux fragments QC et i.'P esl insuffisante.

VI CONCLUSION

Dans ce chapitre, a été exposée une méthode de simulation desmesures inclusives et exclusives pour les réactions périphériques dans lescollisions d'ions ' Ar de 44 MeV/nucléon sur une cible d' Al. Le modèlede simulation est basé sur une description, de la phase primaire de laréaction, basée sur le nombre de collisions N-N se produisant entre lesnucléons du projectile et de la cible.

Dans un sens, le modèle a des caractéristiques géométriquessimilaires à ceux présents dans le modèle ablation-abrasion modifié utilisépar Dayras et ses collègues pour décrire certains traits de ces mêmesdonnées expérimentales. La perle de masse du projectile et de la cible,l'émission de nucléons libres avec une vitesse moitié de celle du faisceauet l'énergie cinétique perdue par le projectile, toutes ces quantitésaugmentent quand le volume de recouvrement du projectile et de la ciblecroit (le paramètre d'impact b diminue alors). Cependant, le mécanismede base du modèle est tout à fail différent. Dans notre modèle, il n'y a pasd'ablation donc pas de zone participante et l'énergie cinétique perduen'est pas rapportée a l'augmentation de l'énergie de surface due àl'ablation.

Notre modèle prédit, en utilisant une fonction de deflexion champmoyen' , une dépendance angulaire de la force de l'interaction primaire.Une caractéristique intéressante ici est l'énergie d'excitation, fonctioncroissante de l'angle de deflexion (qui sera transmise aux QP el QC). Cetteénergie peut entraîner, dans notre modèle, l'émission de fragments demasse intermédiaire des QP el QC issus de la réaction primaire. Bien quece problème n'ait pas été traite en détail, il est intéressant de noterl'existence de récents résultats expérimentaux mettant en évidence ceteffet (Ref ).

Un autre point important concerne les QP proches du projectile. Cesfragments sont produits, dans notre modèle, avec une distributionangulaire décroissant rapidement cl des vitesses très proches de celle duprojectile. Il n'est pas nécessaire alors de faire appel à un mécanismespécifique tel que celui utilisé par Meimazel ses collègues (Ref. 18).

100

Le modèle de la marche aléatoire prédit des résultats trèsressemblants aux mesures inclusives des Ql' considérés. Cependant, notremodèle peut aussi fournir avec détails les corrélations angulaires desfragments QP et QC puisque d'une part l'interaction QP- QC estexplicitement introduite dans les calculs (attraction nucléaire et répulsionCoulombienne) et d'autre part, un certain 'équilibre' est fait entre lesmasses

perdues dans la phase primaire et la phase secondaire de la réaction.

En dépit de son succès, la version présente du code de simulation estplutôt grossière dans le traitement de la phase primaire de la réaction. Untraitement microscopique plus explicite des collisions N-N primaires, bienque coûteux en temps de calcul, doit supprimer la nécessité de quelquesapproximations utilisées (équations IV-16, IV-19) tout en retenant l'aspectgéométrique de la collision primaire.

Les calculs microscopiques 'Landau-Vlasov' montrent à ces mêmesénergies plusieurs aspects qui sont manifestement d'origine géométrique(Réf. 19).

Du point de vue expérimental, il est clair que l'existence de donnéesexclusives fournit certainement un lest supplémentaire pour les modèles.Nos prédictions des corrélations QP-QC sont plutôt satisfaisantes.L'analyse, dans notre calcul, des nucléons non évaporés de vitesseintermédiaire en coïncidence avec à la fois les QP et QC, ainsi que l'éludedes fragments, de masse intermédiaire délectés aux grands angles, encoïncidence avec les QP peuvent apporter plus de détails sur les différentsmécanismes de réaction pouvant se produire pendant l'interaction . Celteétude sera probablement la prochaine étape dans le développement denotre modèle.

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103

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104

P-1-1

( 0.03

Po-1

( 0.04

P.,,

( ° ' 0 7 ]

)

)

I

P-10

(0.04

Poo

(0.75

P.iO

( 0.0

)

)

)

p ,

(0.07

( OX)

P.M

( 0.0

)

)

)

Figure 1 : Matrice de probabilités util.sees dans la marche aléatoire. Les valeursnumériques prises dans nos calculs , pour le système 40Ar+27Al à 44 MeV/A, sontdonnée entre parenthèses.

105

4 0 A r + 2 7 A l ( 4 4 MeV/nucleon)

impact parameter Ifm)

7 8 9 10 11Figure 2_: Propriétés géométriques de la réaction 40Ar+27Al à 4'J MeV/A. La courbe dansle cadran montre la variation du nombre moyen T de collisions N-N en fonction del'angle de deflexion du QP.

log

8,0 9,0 10,0 11.0

b(fm)

Figure 3 : Variation par rapport au paramètre b de a) la masse moyenne du QP(intégrée sur toutes les énergies) et b) l'énergie moyenne du QP (intégrée sur toutes lesmasses). Notons que tous les proc'uits avec des masses inférieures à 36 sont produits àdes paramètres d'impact compris entre 7 et 9 fm.

107

103

q 10"

tn*-«3O

O

10"

a

• • M C

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

MASS

!0J

incoO

101

10"

b

4 6 0 10 12 14 16 10 20

Atomic number

Figure 4 : Distribution en masse (a) et en charge (b) dans la réaction40Ar+27Al à 44 MeV/A. L'échille verticale est arbitraire. Les croixreprésentent les données expérinienlales (Ref.16). La ligne continue estdéduite de la simulation par PERÇUT.

108

10

10

10

I.

io-

•o

10

10

10

io

/ 10.0° ^

Ar » AI

» 1760 MeV

q_L..i. i • .L-5 10 15

Atomic number

Figure 5 : Idem que la figure 4 mais les distributions en charge mesurées etprédites sont représentées pour quatre angles laboratoires. La ligne en tiretreprésente le calcul par PERÇUT.

109

ai21

X.

V

45

40

130

_ 1

X

101y

l

_

- \

1 -1

1

Z789101112

1-

i

/1

1

1§

/ 11

B 13+ K. 15#16A 17a 18

i//

ii

I1

i i i L

/a./A/

^ 40A p +27A l -

Elab=1760MeV6lab=2.5°

—

l 11

20 30A (a.m.u.)

40

Figure 6 : Les énergies moyennes du o f représentées comme fonction de la masseobservée. La ligne en tiret représente le rOsullat de la simulation par PERÇUT. Lesdonnées expérimentales sont tirées de la référence 16.

110

40 A r + 27 A i (44 MeV/A)

020 30 40

PLF MASS NUMBER

Figure 7 : Angle de la QC (TLF) en fonclion de îa macse du QV (PLF). Les barresverticales ne représentent pas des erreurs mais les largeurs de corrélations angulairesobservées (ligne en plein) et calculées (ligne en tiret). Les valeurs moyennes mesuréessoni représentées par des croix, celles calculées par des cercles pleins.

111

20-

20

oo

20

15 2025 .30

35

30 35

15 20

MASS NUMBER

0 l o b =3°L UPLF J

3035

i3JA/ï»i

20 20 25

20

00

O

o

10

0 l Q b =85°

20 -

Figure 8 : Spectres en coïncidence des masses QP-QC (PLF-TLF) mesurés. Le détecteurmesurant le QP (PLF) est fixé à. 3 degrés laboratoire et la variation du spectre estgénérée par le changement de l'angle de détection de la QC (TLF). Les distributionscalculées (ligne en plein) sont représentées sur la même figure.

o

1 I

8

o

tin

H

O5

TLF angle

40Ar+27Al 44 MeV/nucleon

i

30

TLF MASS

ElgureJ) : Vitesses prédites de la QC (TLF) comme fonction de la masse du QP (PLF).L<i'S 3 courbes sont prédites pour les angles 15°, 45° et 80° de la QC (TLF). Les donnéessont les valeurs moyennées sur toute la distribution angulaire.

113

dOp

dbCu.a)

GOO -

500 ~

400

300

200

100

I . . .

I I I

1 0 b (fm)

Figure 10 : Distribution de doD/db en fonction du paramètre d'impact b,

pour le système 160Ho+20Ne.

114

Jk Jk

Figure 11 : Schéma de composition classique des moments angulaires ( J . ,—? —^ ^ ^ ^ A

J f, 1 ). Définition des angles entre les vecteurs J ., J f , 1 et F.

CONCLUSION

L'objet de cette thèse a été de montrer le rôle des collisions N-N dans lesréactions nucléaires de spallation induites par des protons de 0.5 à 10 GeV et dansles réactions périphériques entre ions lourds dans le domaine des énergiesintermédiaires.

Une image simplifiée du processus permet d'obtenir une expressionanalytique simple de la section efficace des produits de spallalion dans lesréactions induites par des protons de grandes énergies, avec un seul paramètrereprésentant la masse moyenne éjectée de la cible pout chaque collision p-N.

Pour les réactions entre ions lourds aux énergies intermédiaires, nousprésentons un modèle simple basé sur la marche aléatoire pour reproduire lesrésultats expérimentaux. Dans ce domaine d'énergie, nombre de modèles existantactuellement sont mal adaptés, pour des raisons liées aux fondements théoriquesou au traitement numérique. Notre approche se situe dans le cadre général desméthodes statistiques.

Dans ce domaine de transition, la description des processus physiquesnécessite une représentation des effets collectifs et individuelles. Ces deux aspectssont pris en compte dans notre modèle vu que la production d'un fragmentrésulte d'une série de collisions N-N quasi-libres et que la déflexion de cefragment est due à l'effet du potentiel d'interaction entre le projectile et la cible.

Nous avons montré explicitement comment calculer grâce h ce modèle lesdistributions en masse et en charge ainsi que les distributions angulaires pour lesfragments du projectile dans les réactions d'ions lourds aux énergiesintermédiaires, pour les collisions périphériques. Pour confirmer la validité de cemodèle, il est intéressant de regarder les mesures exclusives concernant lescorrélations entre les différents fragments du projectile et de la cible. Pour cela,nous avons mis au point une version Monte-Carlo du modèle précédent.L'accord entre le calcul et les données obtenues pour la réactions Ar + Al à 44MeV/nucléon est globalement satisfaisant.

117

L'étude de ces réactions périphéi iques nous a amenés à nous intéresser auxcalculs de la section efficace totale de réaction o.,. Les valeurs de oJ? sont

reproduites à l'aide des prédictions du mod Me microscopique de Karol danslequel les réactions nucléaires complexes sont décrites a partir d'une somme dediffusions N-N individuelles. Cet accord établit un lien étroit entre la variationavec l'énergie de aR pour les collisions d'ions lourds et celle de la section efficace

totale de diffusion N-N.

il peut être intéressant de comparer le modèle présent à ceux utiliséshabituellement aux hautes ou basses énergies. Aux bassos énergies, il est clair queles probabilités primaires correspondant à la perle ou le gain d'un nucléon aumoment de la collision peuvent être interprétées en termes de coefficients dedrift et de diffusion caractéristiques d'un processus de diffusion et nous pouvonsenvisager de les estimées en considérant l'interaction de deux gaz de Fermi. Enfait, ces probabilités devraient être dépendantes du temps, mais ceci rendrait leproblème assez compliqué. D'autre part, il ne faut pas oublier que l'absenced'effets collectifs, dans ce domaine de basses énergies, doil limiter probablementl'application de ce modèle a des énergies bien au dessus de la barrièreCoulombienne. Aux hautes énergies (>100 MeV/nueléon), la formulation de cemodèle nous conduit à remarquer plusieurs similitudes avec l'approcheabrasion-ablation. Cependant, la formation d'une partie équilibrée de la matièrenucléaire (correspondant à la zone participante ou boule de feu) n'est pasconsidérée. La zone participante correspond en fait aux nucléons transférés duprojectile vers la cible (ou de la cible vers le projectile), ou aux nucléonsréabsorbrs dans le noyau peu après une diffusion inélaslique ou aux nucléonsémis dans le continuum. Une autre différence est la dissipation d'énergie quiprovient des collisions N-N et n'est pas calculée à partir du changement del'énergie de surface dû à l'abrasion. La théorie, présentée dans ce travail, n'est pasen contradiction avec le modèle de fragmentation de Goldhaber, qui peut y êtreincorporé.

Nous envisageons plusieurs améliorations à rajouter dans ce modèle. Lesprobabilités de perdre un nucléon ont la possibilité d'être remplacées par desprobabilités correspondant à la perle ou le gain d'un proton ou d'un neutron.Une recherche plus soignée peut êlre menée dans le choix des probabilitésutilisées dans le calcul et dont les valeurs sont .-ssez importantes dans ladescription des observables.

118

ANNEXE I

CALCUL DU VOLUME DE RECOUVREMENT DE 2 SPHERES

Soit la sphère de rayon R (Pig. 1), le volume de la petite calotte de hauteur hest donnée par :

V = (l/3)nh2(3R-li)

Pour le cas de 2 sphères de rayon R et R2 se recouvrant (fig. ) on aura :

7

V

Le volume de recouvrement à chaque instant est donc :

II suffit donc d'exprimer ce volume en fonction de R, R et R (R étant ladistance entre les 2 sphères) :

J 7 ?

Soit l'équation de la sphère de rayon 1? : x + y = Rj" (1)

de même celle de la sphère de rayon R : x2 + (y-R)2 = R2 (2)

Aux points d'intersection des 2 spîù-res, nous avons :

D'où: (I) - (2) ===> y\ - (y, - R)2 = \l\ - R22

2 2 2R, - R2 f R

===> yh= 2R "

I /11e! \MO I 121

Or: h, = R,- yh

h2 = R2-(R-y,,)

2 2 2R, -R2 + R

^ 2 2 2R, - R2 + R

R- 2R

En remplaçant h et h2 par leur expression dans V, on obtient

V . 2 f * l4) / g WÎ • «2 )3

Projectile

M

Cible

122

ANNEXE if

CALCUL NUMERIQUE DU NOMBRE MOYEN T DE COLLISIONS N-N

Rappelons l'expression de T(b) :

+ 0 0

T(b) = J dz Jilp,p2dV

L'expression en crochet peut aussi s'écrire

Jp^dV = jj fd'V

^VllVj

f f (' <i2vJp,p2dV = Jp, (R,)dR,Jp2 (R2) J K ~ Ï R -

2) J K Ï R dR 2

Le calcul de l'intégrale sur R9 peut être développer en effectuant uneintégration par parties. Ce qui s'écrit :

' d2V r d V l

«y d O t ç clVR2 = p2 ̂ airK2= o°

Le premier terme de J'élémenl de droite de l'égalité est nul puisque la

densité p2 (R ) est nulle à l'infini cl tic même (dv/dR ) est nul pour le rayon R

égal à zéro. D'où:

J p, p2 dV = J |dV f dp (R2)

dR J ^V

J p i ( R i )dR 1dR,u l x id R . =

dp, <l

i l

123

Pour calculer le volume V(R , RJ de recouvrement, les valeurs des rayons

des deux noyaux R et R_ vont être tirées aléatoirement par une méthode de

rejection (voir annexe 111) suivant la loi (dp /dR).

En prenant pour p(R) une loi de Wood-Saxon :

p(R) = ï ^ 1 < ^

avec R() = r0A1/3

a est le coefficient de diffusivitéoù r et a sont tirés de la référence 14.

Le tirage aléatoire de R et R , se fait alors par la méthode de rejection(annexe 3) suivant la fonction, déduite de d /dR , et normalisée à 1, suivante :

4exp l(R-Rf.)/aJFONC(R) = - - — y

ll+exp((R-RJ/a}]2

Pour un événement donné, R et R choisis, le volume de recouvrementV(R , RJ est calculé alors par la méthode développée dans l'annexe 1. Le calculest fait pour 10U0 événements. La moyenne des 1000 volumes donnera le volumequi sera à multiplier par p()] et p les densités au centre des deux noyaux.

124

ANNEXE 111

METHODE GENERALE DE REJECTION OU METHODE DE NEUMANN

Supposons que nous avons une méthode pour distribuer uniformément et

aléatoirement des points sous une fonction de densité de probabilité

quelconque f(x) comme représenté sur la figure suivante :

a S

Quelle est alors la probabilité pour que l'abscisse x d'un point tombe dans

l'intervalle a < x < të pour a. < (i ?

Cet événement, a < x < të, correspond à un point se trouvant dans la

surface hachurée de In figure précédente el puisque ces points sont distribués

uniformément, cet événement à la probabilité :

P ( « < x < fi) =aire de la surface hachurée

aire totale sous f(x)

P.

J f(x)dx |3

« f

JJ f(x)dxa

f(x)dx

125

Etant donné que f(x) est une densité de probabilité :-l-oo

J f(x) dx = I

la fonction densité f(x) définie, nous pouvons simuler des nombresaléatoires à partir de celte densilé, il suffit d'avoir une méthode adéquatepour distribuer uniformément et aléatoirement des points situés sous lacourbe f(x).

Il suffit alors de prendre des points avec les coordonnées cartésiennes(0 + (©'- 0)u , ou ) où ti et u? sont deux variables aléatoires indépendantes

prises uniformément dans l'intervalle [O,1J. Les points qui tombent au dessusde f(x) sont rejetés, alors que pour les aulres se trouvant au dessous, la valeurretenue pour x sera : 0 +(0'-0)u .

126

ANNEXE IV

LA MARCHE ALEATOIRE

Supposons qu'un objet ou une particule par exemple se trouve à l'origined'un axe. Après un temps t, la particule va se trouver à une position Z{ parrapport à l'origine. Z est une variable aléatoire ayant une distribution donnée.Au temps 2 t, la particule va faire le saut Z avec Z indépendant de Z mais ayant

la même distribution. Donc en général après n sauts, la position de la particule estdonnée par :

X = Z, + Z, + + Zn I 2 n

On dit que le mouvement de la particule est décrit par une marchealéatoire.

Dans le cas particulier où les pas Zi peuvent prendre seulement les valeurs1,0 ou -1 avec les distributions :

prob. (Zi = t) = p prob.(Zi =-1) = q prob.(Zi = 0) = 1- p - q

Ceci correspond à la marche aléatoire simple;.

Les positions possibles de la particule au temps n l sont k = 0, ±1, ±2,..., ±n.Donc pour atteindre le point k au temps n, la particule doit faire r sauts positifs,

r sauts négatifs et r sauts nuls où r , r et r sont des entiers positif ou nuls qui

doivent donc satisfaire les égalités suivantes :

r r r 2 = k r, = n - r i - r 2 (4)

La probabilité alors que x soil égale à k est donnée par une somme

multinomiale :

127

prob.(x =k) = Z r~7T r7 Pf| qf2 tt-pV3

Avec r , r et r vérifiant les relations ('I)

Après n pas, la position moyenne de la particule est égale à:

(i = n(p - <])

Pour la collision de deux noyaux, la notion de temps est remplacéepar le nombre moyen de collisions nucléon-nucléon (n-n) et la positionfinale X par la masse perdue m.

Supposons qu'un noyau a initialement une masse M à un instantdonné. Après un certain nombre de collisions, ce noyau va perdre ou gagnerune masse m. On considère que chaque collision n-n conduit soit a une perteou un gain d'un nucléon, soit à aucun changement de la masse M. Ondéfinit alors les probabilités correspondant à chaque collision n-n:

prob.(m=l) = V piob. m = -\) = P prob.(m - 0) = P

La probabilité pour que n collisions n-n, conduisent à une perte de mnucléons du projectile, sera alors définie par la relation suivante :

ï ' 1 ,Tf

avec les 2 contraints : j + k + 1 - nj - 1 = m

La masse moyenne perdue après n collisions sera donnée alors par:

< m >=T(P+ 1 - ! '_ , )

T étant le nombre de collisions N-N moyen.

128

ANNEXE V

MODELE DE GOLDHABERG

Ce modèle est construit uniquement sur la corrélation d'impulsiondes nucléons dons le noyau projectile et permet île calculer les largeurs desspectres en moment p pour les différent? fragments du projectile. Pour unfragment donné, la distribution en moment parallèle à l'axe du faisceau(c'est à dire le spectre en moment à zéro degré) est une gaussiènne dans leréférentiel du projectile.

Dans les calculs qui suivent pour calculer la variance de cettegaussiènne, nous numéroterons les nucléons du projectile de 1 à A, les Fpremiers numéros seront réservés aux nucléons spectateurs, c'est à dire àceux qui ne collisionnenl pas.

Soit f. une fonction quelconque relative au i'"u nucléon, nous

démontrons facilement que :

F F "S f ; > = ̂ l f = F < f > Ai-l U-l

Où la moyenne se prend sur les A nucléons du projectile

En particulier si P. est l'impulsion du ième nucléon, alors

F A. - —» —» „ - » - *

< y p = p y p •= ['

F -•»

= A ' 'A

Calculons maintenant la variance de P

129

i A

—y —»Soit la variable cenlrée : n- = P. ~r~

alors :

F FF2(P) Zo2(Pf;) = <Z rt,

= I7 I7 <}L IT.T. ni-l

= F < 7t- > + F Tj JT.>

Or:—> 2P.) =0 Done A(A-l) < n- n-> = -A<TÏ:>

A 1 j

Soit

Remarquons que:

.)<P.

est la variance de la distribution d'impulsion dans le noyau. On a done

130

La distribution d'impulsion dans le fragment est obtenue enconvoluant I7 fois les distributions individuelles des nucléons ; or, lethéorème de la limite contrait.' nous permet de dire que l'on obtientune gaussiènne proportionnelle à:

La correction utilisée dans nos calculs à savoir:

F "l.Al/2(7|: est équivalente à e" ° . En effet, en négligeant

en ([> on aura :la variation

2 2x '' ' v

Avec: P = V, , cos0 -1 'x lob lob

y lab Uib

Si@, petit ===> cosO. , = J et sin0. ,=-0, ..Inb r liib lab hib

131

ANNEXE VI

MODE D'UTILISATION DU CODE "PERÇUT"

Cette annexe contient les informations nécessaires pour l'utilisation ducode PERÇUT. Deux versions du programme sont actuellement mis au point etadaplèes,une sur le VAX 780 (système VMS) et l'autre sur l'IBM 3090.L'organigramme du programme est représenté sur la figure 1.

Chaque structure "subroutine" dans ce code représente une loi physique, cequi rend facile la modification de la loi. Les paramètres correspondants ausystème sont tout d'abord déterminés. La réaction nucléaire est ensuite étudiée endeux étapes ; la première est la production des fragments primaires et ladeuxième est le traitement de l'évaporalion de ces fragments.

La description des "événements" satisfaisant à certaines contraintes estdonnée dans le fichier "PERÇUT CARD". Le fichier contenant les paramètres ducode et les contraintes est "PERÇUT. DAT". La masse, la charge, l'énergie etl'angle de chaque produit final sont donnés dans le fichier "PERCUT.RES"(binai re).

Le déroulement du code est le suivant :

1 - Pammétrisation du système.

- Lecture du fichier "P0RCUT.DAT".

- Calcul de l'intégrale de convolution et détermination clés paramètres K et0 de la formule (V-2) pour le système étudié.

- Calcul des densités de niveaux de lous les noyaux excilés possibles demasse inférieure à 40 (pour l'ulilisalion ultérieure du code d'évaporation"LANCELOT" voir (Ch V, UI-1)).

133

2- Production des fragments primaire et traitement de l'évaporation

de ces fragments.

- Les réactions nucléaires "événements" sont générées par un tirage dunombre moyen T de collisions ; à partir de T, on calcule le paramètre d'impact b[formule (V-4)]. Le nombre de collisions N-N effectives n est tiré selon la loi dePoisson. Ensuite, n tirage selon les probabilités P_, + . , P()() , ••• (voir (Eq V-9,V-10)]

nous donnent les masses de chaque fragment primaire. Le nombre n de collisionsN-N nous permet aussi de calculer l'énergie cinétique totale, l'énergied'excitation et le moment angulaire de chacun des produits.

Le paramètre d'impad b nous permet de calculer l'nnglr de déflexion duquasi-projectile et l'énergie cinétique de chaque fragment.

- Le traitement de l'évaporalion des fragments primaires (A<40 ) esteffectué par l'intermédiaire des codes "LANCELOT" el "EVAP".

3- Stockage des résultais.

Pour chaque événement, les informations issues des calculs sont : lamultiplicité des produits, leur masse, charge, énergie et leurs angles @ et . Cesinformations sont écrites en binaire dans le fichier "Perçut.Res", événement parévénement.

4 - Utilisation du code.

Le contenu et la structure de ch.ujue fichier (Perçut.Dat, Perçut.Card,Perçut.res) sont décrits ci-dessous.

a) - Fichier "Percu^Dal".

Ce fichier contient les caractéristiques du système à étudier

134

AP, ZP, RP, RAOP, AOP : Masse (A), charge (Z,\ rayon (R en fin), densitécentrale ( O en fm" ) et diffusivité (a en fm"1) associés au projectile.

AT, ZT, RT, RAOT, AOT : Idem pour la cible.

Le code vérifie que les masses calculées, en considérant une densité deWood-Saxon sont en accord, à 1 % près, avec les masses AP et AT.

PM1PMI, PM1P0, PMIPP1, P0PM1, POPO probabilités associées auxdifférents états finaux d'une collision nucléon-nucléon (voir Ch.V. 11-3)(correspondant donc respectivement aux probabilités P_M, P_)Or !'., + ,/ "Vr *W'

FLAB, TMAX, S1GNN, I-JN, SIGR, SIGMA, DM AM Y

ELAB : énergie cinétique totale du projectile (MeV)S1GNN: section efficace moyenne de collision N-N en fm .

I*JN : potentiel réel N-N (voir ch V, 1J-2).SIGR : section efficace totale de réaction (en mb).SIGMA: largeur de In gaussiènne de l'approximation de Karol (lie) V-4).

Si SIGR ou SIGMA est nul, le programme les calcule selon la formule deKarol (Phys. Rev Cl 1 (IV75) 1203).

TMAX : limite supérieure du nombre moyen de collisions N-Ncorrespondant à l'angle maximale de détection des quasi-projectiles

DMAMY: Germe du générateur de nombres aléatoires compris entreOeil.

C,DEX,DT,NMC

C : valeur permettant de déterminer le paramètre de densité deniveaux d'un noyau de niasse A : a = (A/C).

DIïX : largeur de la gaussienne permettant de déterminer (par tiragealéatoire) la répartition de l'énergie d'excitation disponible entre QP et le QC.

Si DEX = 0, l'énergie d'excit.Uion est répartie proportionnellement à lamasse.

135

DT : Fluctuation en pourcentage de l'angle de déflexion du quasi-projectile primaire.

NMC: Nombre d'événements primaires. Le nombre d'événementsécrits dans COLL15.RI3S el COLMS.CARD dépend des contraintes

INPLA, 1PLA, EXSMLA, CR :

Utilisés par LANCELOT pour créer les tables de densité de niveaux.

INPLA,IPLA: représentent respectivement le nombre maximale deneutrons et de protons des noyaux qui peuvent être envoyés au code LANŒLOT

EXMLA, CR: énergie d'excitation par nucléon et moment angulairemaximum des noyaux pouvant être traités par le code d'évaporalion"LANCELOT". Les autres cas sont traités par "CVAP".

OUT (1), 1 = 1, 20 : Tableau contenant les conditions sur le stockage desévénements dans le fichier de résultats.

OUT (I) = 0 , Le traitement de l'évaporation du QP est effectué.OUT (1) = 1 , Le traitement n'est pas fail.OUT (2) = 0 , Le traitement de l'évaporation du QC est effectué.OUT (2) = I , Le traitement n'est pas fait.

Les produits finaux de la réaction sont enregistrés si les conditions decoïncidence des deux produits sont satisfaites.

Ces conditions sont :OUT (3), OUT (4) Masse min et max du 1er produit.OUT (5), OUT (4) angle (en degrés) min.max du ] e i produit.OUT (7), OUT (8) énergie (MeV) min, max du 1er produit.OUT (9), OUT (10) idem pour le 2ème fragment en coincidence

(masse).OUT (II), OUT (12) idem pour le 2rme fragment en coïncidence

(angle).

OUT (13), OUT (14̂ idem pom le 2ème fragment en coïncidence(énergie).

OUT (15) Nombre maximum d'événements à regarder en détaildans le fichier "Percut.Card"

Si OUT (15) = 0, ce fichier n'est pas créé.

136

Remarque : L'angle de déflexion & <h\ projectile est compris entre 0° et 180°

et <J> entre 0° et 360°. Pour <I> = 0° le projectile va dans le sens de la force

coulombienne ; pour <l> = 180°, il va dans le sens de force nucléaire.

b) - Fichier l'ercut, Res.

Les informations sortant d'une réaction sont la multiplicité (M) des

produits et les caractéristiques de chacun des produits (A, Z, G, 0,Y). La constante

de transformation du nombre de coups en seclion efficace est donnée au début de

ce fichier. La structure de ce fichier dans le cas d'un événement de multiplicité Mi

est:

ConstanteMi fois Mi, MS|/ A, Z, G, 0, Y 1er produit

A, Z, M, S, G 2ème produit

Mième produit

c) - Fichier Percul.card

C'est un fichier en ASCII. Des événements rares peuvent être isolés pour

contrôler les différentes contraintes imposées.

Les informations détaillées sur la production d'un événement satisfaisant

aux conditions figurant dans le tableau OUT (I) sont données dans l'exemple

suivant pour le système 10Ar + 27A1 à 44 Mev/nucléon.

137

CARD

EVENT OESCRIFTCR AP= 40 ZF= 18 ÎT= t3 ELAB--17&0.0Û MEV

1PHYSICAL PARAMETERS!Î M F H C T F H R A M . '.-Mî= à.52 NC.OFN-N CCLHS1CMS=f-'UCLcCN-NUCLECn SëC(FM^'= 14.00 E,'A= *.:. oof •SVVNL'CLEONTOTAL EXCITATION ENERGY IN FLF AND VLF= 3S.59ME'/WIDTH OF D137.-i BUT: ON EXCITATIOM ENERGIE = 0.00 MEVFF.neABïLITIEï PCF. FF: I MARY RANDCM WALK FRCCESSF 00= 0,7500 POfH= O.O'iOO RM 10= 0,0'K'O F'M1F1= 0.0 700 "PlFtil= 0.0700AVERAGE NO MAX OF N-N COLLISIONS = 31.C:0

FRiMARY PRODUCTS

MASS;AP'J>

CHARGE EKIN;MEV)

EX THETA(DES''

PHICCIEGJ

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"ÏECGNC'ARY FR00UCT3 (AFTER EVAPORATION ) - PROJECTILE-

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0.0 0. '-> -2.4 0. 0 297.?

0. 0 0.0- INTERI-'EDIPTE. SOURCEÛ. 0 0 . 0 0. 0. 0

r-ïOHENTUM CONSERVATIONFROJ =====> •T.SJASl.PRGJ * QUASI. TAR6 + INTEFE

11452.30 i l i54.41 297.36 0.00

AP= 40 ZP= IS AT= :; 13 ELAB=1760.00 MEV

PHYSICAL PARAMETERS!IMPACT FARAM. !FM)= 6. ZZ NO.OF N-N CGLLISICN3= 2NUCLEON-NUCLEON 3EC(FI-!2)= 14.0O E/A= 4fl. OOMEV/NUCLECKTOTAL EXCITATION ENEPSV ÏN FLF AND TLF= ÎS7.46MEVWIDTH OF DIBTRIBL/TIOW EXCITAriCN EHERIBIE = O. 00 TIEVPROBABILITIES rGR PRIMAR'.' RANDOM WALX PROCESSF00= 0.7300 FOM1= 0.0400 FM10= 0.0400 PrilPl= 0.0700 FP1PK1= 0.0700AVERAGE NO MAX OF N-N COLLISIONS = 31.20

138

RESUME : Les réactions de spallation induites par des protons d'énergie comprise entre

300 MeV et 20 GeV sont étudiées. Une expression analytique est déduite pour les

sections efficaces de production des résidus de la cible. La dépendance de ces sections

efficaces vis à vis de l'énergie du proton incident est décrite comme fonction d'un

seul paramètre qui est la masse perdue par collision nucléon-nucléon.

Un modèle est proposé aussi pour les réactions périphériques entre ions lourds.

Ce modèle est basé sur "une marche aléatoire" par rapport à la masse du fragment

du projectile qui dépend du nombre de collisions entre les nucléons de la cible et

du projectile le long d'une trajectoire classique du mouvement relatif. L'accent est mis

surtout sur l'évaluation des différentes observables expérimentales. Les variations

de la section efficace de réaction pour les énergies intermédiaires sont étudiées et

sont en général bien reproduites par les prédictions du modèle microscopique de

Ksrol basé aussi sur les collisions individuelles nucléon-nucléon.

La forme analytique du modèle de la marche aléatoire est limité aux prédictions

des quantités inclusives. Les mesures des fragments du projectile et de la cible en

coïncidence sont alors simulées en utilisant une version Monte-Carlo du modèle de la

marche aléatoire. Le programme "PERÇUT", correspondant à ce modèle, donne des

résultats reproduisant parfaitement les mesures en corrélations faites pour la réaction40 Ar + 27 AI à 44 M e V / nucléon. Ce code sépare et traite en détail les deux phases

de la réaction, la collision primaire du projectile et de la cible et l'évaporation

consécutive de ces deux noyaux.

Mots clés : réactions nucléaires périphériques - Ions lourds - Energies intermédiaires- Réactions de spallation induites par protons - Collisions nucléon-nucléon - Marchealéatoire - Modèle d'évaporation.