Theorie Des Mecanismes Mis

8/13/2019 Theorie Des Mecanismes Mis

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cole Nation le d’ingénieurs de sousse

héorie des mécanismes

Mastère Mécanique et Ingénierie des

Systèmes

Abdelfattah MLIKA

Janvier 2010



Table de matièreI. Définitions :

I.1 Théorie des mécanismes……………………………………………………….1

I.2 Liaison mécanique, degré de liberté…………………………………………..2

I.3 Torseur cinématique………………………………………………….………..2I.4 Torseur des actions de liaison…………………………………………… …. 2

I.5 Couple cinématique, liaison composée, liaison complexe………………… .2

I.6 Degré de mobilité……………………………………………………………….3I.7 Degré d’hyperstatisme…………………………………………………………3

II. Analyse des mécanismes : ……………………………………………………………..4

II.1 Analyse statique…………………………………………………………….…4

II.1.1 Actions extérieures.………………………………………………….4

II.1.2 Actions de liaisons………………………………………………….. 4

II.1.3 Mise en équations ………………………………………………….. 5II.1.4 Analyse du système linéaire et résultats…………………………....5

II.1.5 Ecriture matricielle du système linéaire……………………………6

II.2 Analyse cinématique ………………………………………….……………… 9

II.2.1 Torseurs cinématiques associés aux liaisons………………………. 9

II.2.2 Mise en équations………………………………….…………………9

II.2.3 Analyse du système linéaire et résultats……………………………10

II.2.4 Hyperstatisme au sens cinématique………...………………………10

II.3 Méthode rapide de formation du système statique …………………………. 12

II.3.1 Cas 1 : Train épicycloïdal à un seul satellite et couronne mobile… 12

II.3.2 Cas 2 : Train épicycloïdal à un seul satellite et couronne fixe……. 16

II.3.3 Cas 3 : Train épicycloïdal à deux satellites et couronne fixe…..…. 16

III. Loi de mobilité globale …………………………………….....……………………..… 19

IV. Analyse numérique de mécanismes ………...…………………………………………19

IV.1 Analyse cinématique…………………………………...………………………19

IV.1.1 Choix des vitesses généralisées………...…………………………….21

IV.1.2 Application : mécanisme d’essuie-glace………...………………….21IV.2 Analyse statique ……………………………………......…………………….24

IV.2.1 triangularisation du système statique………...…………………….24

IV.2.2 Relations entrée-sortie générales………...………………………….24

IV.2.3 Efforts calculables et efforts non calculables………...……………..25

IV.2.4 Distribution et choix des hyperstaticités………...………………….26

IV.2.5 Application : mécanisme à 4 barres………...………………………26

IV.3 Recherche systématique des solutions isostatiques ………...………..………28

IV.3.1 Obtention des solutions isostatiques par élimination directe des

efforts hyperstatiques………...…………………………...…………………28

IV.3.2 Obtention des solutions isostatiques par ajout des nouvelles

liaisons………...……………………………………………...………………30



Théorie des mécanismes 1

I. Définitions :

I.1 Théorie des mécanismes :

La théorie des mécanismes a pour but essentiel la rationalisation de la conception mécanique

des systèmes de solides indéformables. Selon qu’il s’agit de l’analyse ou de la synthèse d’unmécanisme, les objectifs visés par cette science sont différents.

Dans le cas de l’analyse, le mécanisme est déjà existant ou en cours de conception. Il s’agitalors, à partir de son schéma cinématique et de ses caractéristiques géométriques :

de vérifier son comportement cinématique et dynamique ;

d’identifier ses mobilités et ses hyperstaticités.

Dans le cas de la synthèse, il s’agit de l’établissement des projets de mécanismes possédant

des caractéristiques structurales, cinématiques et dynamiques données susceptibles de

produire des mouvements donnés

I.2 Liaison mécanique, degré de liberté :

C’est une liaison par contact mécanique entre deux solides. Ces derniers seront privés,

obligatoirement, de certains déplacements relatifs.

Le degré de liberté d’une liaison (d.d.l.) est le nombre des déplacements relatif s indépendantsqu’elle autorise. Le d.d.l. varie entre 0 et 5 pour les liaisons usuelles.

I.3 Torseur cinématique :

Le comportement cinématique d’un solide j par rapport à un solide i est décrit par le torseurcinématique j / i .

k k 2211i/ j qqq

k = d.d.l . 1 k , , : Torseurs géométriques.

D’une façon générale, k a pour réduction en un point O

k k k k k

k k )o(k

zOOz

z

k z

est le vecteur unitaire de l’axe du déplacement. Ok est un point de cet axe

k

0 pour undéplacement en translation

1 pour les autres cas

et

k

1 pour undéplacement en t ranslation

ou pas du mouvementhélicoidal

i j

Figure 1 : Liaison entre i et j




Exemple :

Pour une liaison sphérique

Trois déplacements angulaires sont autorisés par cette liaison

1, 2, 3 . Le d.d.l. étant égal à 3

00

0

)O(ou

0

0

0)O(

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

)O(3

2

1

1/2

3

2

1

1/23211/2

Remarque : pour simplifier l’écriture on omet le point sur les vitesses

0

0

0

)O(

3

2

1

1/2

I.4 Torseur des actions de liaison :

Les actions de liaison sont représentées par le torseur tel que la puissance de ces

actions soit nulle.

P i j /R = = 0

Exemple :

Cherchons le torseur pour la liaison sphérique. Soit = ;

Pour que le comoment . = X.0 + Y.0 + Z.0 + 1 L + 2 M + 1 N = 0

soit nul 1, 2, 3 il faut que le torseur des actions de i sur j le plus général aura la formesuivante :

=

0Z

0Y

0X

O

I.5 Couple cinématique, liaison composée, liaison complexe :

Un contact unique entre deux solides réalise un couple cinématique. Si la zone de contact est

une surface on dit que le couple est inférieur. Le d.d.l. dans ce cas est 3. En particulier nous

distinguons les couples usuels suivants :P (Prismatique. Glissière), R (Pivot. Rotoïde), C (Cylindrique), S (sphérique) et G (Plan).

ji

i/ j ji

ji ji

NZ

MY

LX

O

ji i/ j

ji

x

y

z

Figure 2 : Liaison sphérique




Si la zone du contact est une ligne ou un point on dit que le couple est supérieur. Le d.d.l.

dans ce cas est tel que 3 < d.d.l. 5.La notion de liaison mécanique est plus générale que celle du couple cinématique. En effet,

une liaison peut être un couple ou une association de plusieurs couples ou même une

association de plusieurs liaisons. Pour ce dernier cas, On utilise souvent le terme de « liaison

équivalente » ou encore, selon le type d’agencement, une liaison complexe pour unagencement en série et une liaison composée pour un agencement en parallèle.

Pour une liaison complexe (en série) nous avons

=

1k k et le d.d.l. = d.d.l (lk )

Pour une liaison composée (en parallèle) nous avons

i/ j = et d.d.l. = dim ( i/ j )

I.6 Degré de mobilité :

Le degré de mobilité ne concerne pas, comme le d.d.l, deux solides, mais un mécanisme dans

son entier. Il s’agit du nombre maximum de vitesses généralisées qui dans ce mécanisme peuvent être choisies d’une façon arbitraire, dans une configuration donnée.

Il n’existe pas une formule directe qui calcule le degré de mobilité et qui est valable pour tous

les types des mécanismes. Les mécaniciens et surtout ceux qui travaillent sur les mécanismes

plans utilisent souvent la formule de Tchebychev-Grübler connue aussi sous le nom de laformule de Kutzbach :

m = d (n1) i(d f )

Avec d = 3 pour les mécanismes plans et 6 pour les mécanismes spatiaux, n est le

nombre total des pièces y compris le bâti et f i est d.d.l de la liaison li. Dans le cas des

mécanismes à cycle unique cette formule se réduit à m = if d

car n = nombre des

liaisons .Mais cette formule n’est valable que pour les mécanismes isostatiques ou les

mécanismes hyperstatiques plans. En effet, elle est exactement égale à la loi de mobilité

globale (que nous allons exposer pus loin au paragraphe III) lorsque le degré d’hyperstaticité

h = 0.Pour le mécanisme du bras manipulateur de la figure 6 on trouve m = 6 (41)

3

(6 1) = 3.

C’est le bon résultat car c’est un mécanisme à chaîne ouverte et le degré de mobilité dans cecas est la somme des d.d.l des liaisons. En faisant référence à la définition du degré de

mobilité citée au début de ce paragraphe, chaque paramètre de liaison peut être choisi d’une

façon arbitraire indépendamment des deux autres. Ainsi si on bloque une ou deux des trois

liaisons le reste continue à être libre.

Pour le mécanisme 4 barres plan (ou mécanisme de Bennet plan) de la figure 7 on trouve

m =4

1 6 = 2. Ce qui est faux car ce mécanisme est bien mobile. Son degré de mobilité est

égal à 1 car les 4 libertés en rotation sont dépendantes et si on bloque l’une d’eux le reste se bloquera aussi. Ceci prouve bien la limitation de la formule de Chebychev-Grübler aux

i/ j

k

Figure 5 : Agencement en parallèle

ji

ji

Figure 4 : Agencement en série




mécanismes isostatiques. Par contre en considérant que c’est un mécanisme plan c 'est-à-dire d

= 3 on trouvera le bon résultat m =4

1 3 = 1.

Exemples :

I.7 Degré d’hyperstatisme :

C’est le nombre des actions de liaisons qui, en écrivant les équations d’équilibre (dynamique

ou statique) doivent être données pour pouvoir calculer les autres d’une façon unique.

Exemples :

II. Analyse des mécanismes :

L’analyse d’un mécanisme consiste à l’exploration de ses capacités cinématiques et statiques.

En particulier :

les degrés de mobilité et d’hyperstatisme ;

l’identification des vitesses généralisées et des efforts hyperstatiques ;

les relations entrée-sortie ;

la distribution des mobilités (flux cinématique)

la distribution des hyperstaticités.

II.1 Analyse statique :

L’analyse statique a pour objectif :

de déterminer les mobilités potentielles explicitées sous forme statique (relations

entre les efforts extérieurs) ;

d’étudier, en cas de mécanisme hyperstatique, la répartition des effortshyperstatiques.

h = 1

Figure 8 : Guidage en rotation avec

deux sphériques

h = 2

Figure 9 : Guidage en rotaion avec

appui plan et pivot glissant

m = 3

Figure 6 : bras manipulateurm = 1

Figure 7 : mécanisme 4 barres




n

y

z

1

2 j

Figure 11 : Contact de deux dents

Nous allons exposer la procédure de cette analyse à travers l’exemple de l’engrenage

cylindrique à denture droite.

1

1

l

OA r

0

2

2

l

AB r

0

II.1.1 Actions extérieures:

00

00

C0

00

00

C0 2

2ex

1

1ex

II.1.2 Actions des liaisons :

* Liaison pivot d’axe X

de 1 avec 0 :

0101

0101

01

O

10

NZ

MY

0X

* Liaison pivot d’axe X

de 2 avec 0 :

0202

0202

02

B

10

NZ

MY

0X

* Liaison Linéaire rectiligne d’axe X

et de normale n

de 2 avec 1 :

)Z,Y,X(1212

1212

A

21

)n, j,X(12

12

A

21

MSR C

MCR S

00

0R

M0

00

II.1.3 Mise en équations :

*Equilibre du solide 1 au point O :

C1

C2

X

Y

2

1 A

B

O

Figure 10 : engrenage cylindrique




1 1201 1

01 01 12 1 12 12

01 01 12 1 12 12

0 r C R X 0 0 C

Y M R S l C R C M 0 0

Z N R C l S R C M 0 0

* Equilibre du solide 2 au point B :

2 1202 2

02 02 12 2 12 12

02 02 12 2 12 12

0 r C R X 0 0 C

Y M R S l C R C M 0 0

Z N R C l S R S M 0 0

On obtient le système suivant :

(1) X01 = 0 (7) X02 = 0

(2) Y01 R 12 S = 0 (8) Y02 + R 12 S = 0

(3) Z01 R 12 C = 0 (9) Z02 + R 12 C = 0(4) r 1 C R 12 = C1 (10) r 2 C R 12 = C2

(5) M01 + l1 C R 12 C M12 = 0 (11) M02 l2 C R 12 + C M12 = 0

(6) N01 l1 S R 12 + S M12 = 0 (12) N02 l2 S R 12 S M12 = 0

II.1.4 Analyse du système linéaire statique et résultats :

a. Les deux équations (1) et (7) indiquent que X01 = X02 = 0

b. Les équations (4) et (10) permettent le calcul d’une même inconnue R 12. Une de deux

équations est principale (au choix) et l’autre est secondaire et doit vérifier le résultat

de la première. Une condition de compatibilité doit exister entre les deux équations.

112

1 22 1

2 112

1

C(4) R

r C r C C

C r (10) R

r C

Cette relation ne fait intervenir que des actions extérieures. C’est une relation entrée -

sortie.

c. R 12 étant calculée par (4) ou (10), les inconnues suivantes sont alors calculables : Y01,

Z01, Y02, Z02.

d. Il reste les 4 équations suivantes pour déterminer 5 inconnues :

(5) M01 C M12 = l1 C R 12

(6) N01 + S M12 = l1 S R 12

(11) M02 + C M12 = l2 C R 12

(12) N02 S M12 = l2 S R 12

Le système est indéterminable d’ordre 1 1 effort hyperstatique (h = 1). Cet effort

peut être choisi parmi : M01, N01, M12, M02, N02. Il doit être donné pour pouvoir

calculer les autres.

Remarque : les efforts hyperstatiques peuvent être calculés en utilisant le théorème de

minimisation de l’énergie de déformation par exemple.




II.1.5 Ecriture matricielle du système statique :

Il est plus commode d’appliquer l’interprétation précédente à la matrice associée au système

statique. Cela devient plus pratique lorsqu’il s’agit d’un degré de mobilité ou d’hyperstatisme

supérieur à 1 ou encore dans le cas des mécanismes à plusieurs solides. Le système linéaire

précédent issu de l’équilibre statique de deux solides est

1

1

1

2

2

1 . . . . . . . . . . .(1)

. 1 . . . S . . . . . .(2)

. . 1 . . C . . . . . .(3)

. . . . . r C . . . . . .(4)

. . . 1 . l C C . . . . .(5)

. . . . 1 l S S . . . . .(6)

. . . . . . . 1 . . . .(7)

. . . . . S . . 1 . . .(8)

. . . . . C . . . 1 . .(9)

. . . . . r C . . . . . .(10)

. . . . . l C C . . . 1 .(11)

. .(12)

01

01

01

01 1

01

12

12

02

02

02 2

02

022

X 0

Y 0

Z 0

M C

N 0

R 0

M 0X 0

Y 0

Z C

M 0

N. . . l S S . . . . 1 0

L’examen de ce système va nous permettre de retrouver les résultats précédents en appliquant

une méthode d’élimination progressive des inconnues. Une ligne de la matrice, à un seul

coefficient correspond à une équation à une seule inconnue. Cette inconnue est donccalculable, le coefficient sera encerclé et sa colonne barrée. C’est le cas des inconnues X01

(équation 1), X02 (équation 7) et R 12 (équations 4 ou 10). L’ensemble des colonnes barréesdéfinit un niveau d’élimination.

1

1

1

2

2

1 . . . . . . . . . . .(1)

. 1 . . . S . . . . . .(2)

. . 1 . . C . . . . . .(3)

. . . . . r C . . . . . .(4)

. . . 1 . l C C . . . . .(5)

. . . . 1 l S S . . . . .(6)

. . . . . . . 1 . . . .(7)

. . . . . S . . 1 . . .(8)

. . . . . C 1 . . 1 . .(9)

. . . . . r C . . . . . .(10)

. . . . . l C C . . . 1 .(11)

. .(12)

01

01

01

01 1

01

12

12

02

02

02 2

02

022

X 0

Y 0

Z 0

M C

N 0R 0

M 0

X 0

Y 0

Z C

M 0

N. . . l S S . . . . 1 0

Si à l’issue d’un niveau d’élimination se dégagent des lignes où tous les coefficients sont barrés sans qu’aucun ne soit encerclé, alors ces lignes correspondront à des équations




secondaires. L’équation (10) est bien le cas, elle traduit la présence d’une mobilité exprimée

par les rotations des solides 1 et 2 autour de OX

.

Nous répétons la même opération d’élimination pour les colonnes et les lignes restantes. Il

s’agit d’éliminer les colonnes dont les coefficients sont devenus seuls dans leurs lignes après

le précédent niveau d’élimination. Les inconnues éliminées seront Y01, Z01, Y02 et Z02. Aucuneéquation secondaire n’est détectée à ce deuxième niveau.

1

1

1

2

2

1 . . . . . . . . . . .(1)

. 1 . . . S . . . . . .(2)

. . 1 . . C . . . . . .(3)

. . . . . r C . . . . . .(4)

. . . 1 . l C C . . . . .(5)

. . . . 1 l S S . . . . .(6)

. . . . . . . 1 . . . .(7)

. . . . . S . . 1 . . .(8)

. . . . . C . . . 1 . .(9)

. . . . . r C . . . . . .(10)

. . . . . l C C . . . 1 .(11)

. .(12)

01

01

01

01 1

01

12

12

02

02

02 2

02

022

X 0

Y 0

Z 0

M C

N 0

R 0

M 0X 0

Y 0

Z C

M 0

N. . . l S S . . . . 1 0

Le processus d’élimination ne peut plus continuer puisque toutes les lignes restantes sont à 2

coefficients. Le sous-système restant est indéterminé puisqu’il comporte 4 équations (5), (6),

(11) et (12) pour 5 inconnues M01, N01, M12, M02 et N02. Pour déterminer l’ordre de l’indétermination du sous-système ou encore le degr é d’hyperstatisme nous allons supposer

qu’une inconnue est donnée et on reprend de nouveau la méthode d’élimination

1

1

1

2

2

1 . . . . . . . . . . .(1)

. 1 . . . S . . . . . .(2)

. . 1 . . C . . . . . .(3)

. . . . . r C . . . . . .(4)

. . . 1 . l C C . . . . .(5)

. . . . 1 l S S . . . . .(6)

. . . . . . . 1 . . . .(7)

. . . . . S . . 1 . . .(8)

. . . . . C . . . 1 . .(9)

. . . . . r C . . . . . .(10)

. . . . . l C C . . . 1 .(11)

. .(12)

01

01

01

01 1

01

12

12

02

02

02 2

02

022

X 0

Y 0

Z 0

M C

N 0

R 0

M 0

X 0

Y 0

Z C

M 0

N. . . l S S . . . . 1 0

En atteignant ce stade, tous les coefficients de la matrice sont encerclés. Les inconnues M01,

M12, M02, N12, N02 et N01 forment un ensemble dans lequel il faut choisir un élément pour pouvoir déterminer les autres. On détecte ainsi un hyperstatisme de degré 1. En choisissant




une inconnue dans cet ensemble comme inconnue hyperstatique (M12 par exemple), les autres

deviennent des inconnues principales.

D’un autre côté, l’équation secondaire (10) doit avoir avec l’équation (4) une relation de

compatibilité pour pouvoir obtenir une valeur unique de R 12. Cette relation est obtenue à partir

de la condition de nullité du déterminant principal (composé des équations et des inconnues principales) bordé de l’équation (10) et du second membre.

1 1

1

1

2

2

1 . . . . . . . . . . .(1)

. 1 . . . S . . . . . .(2)

. . 1 . . C . . . . . .(3)

. . . . . r C . . . . . C(4)

. . . 1 . l C . . . . . .(5)

. . . . 1 l S . . . . . .(6)

. . . . . . 1 . . . . .(7)

. . . . . S . 1 . . . .(8)

. . . . . C . . 1 . . .(9)

. . . . . l C . . . 1 . .(11)

. . . . . l S . . . . 1 .(12)

. . .(10)

2 2

0

. . r C . . . . . C

1 1 21 2 2 1 2 1

2 2 1

r C C r r C C r C C C C

r C C r

Nous retrouvons la relation entrée-sortie qui correspond à l’unique mobilité du mécanisme.

En résumé de cette étude statique nous disons que :

Le degré d’indétermination du système statique est le degré d’hyperstatisme.

Une équati on secondai re dans le système stati que correspond à une mobi l i té. L aconditi on de compatibi li téde cette équation avec les équati ons principales donne unerelation entrée – sortie statique.

II.2 Analyse cinématique :

Comme l’analyse statique, l’analyse cinématique permet également de déterminer les degrésde mobilité et d’hyperstatisme. Elle donne aussi la distribution des mobilités et permet lechoix des vitesses généralisées.

Nous allons considérer encore le mécanisme de l’engrenage cylindrique pour illustrer cette

analyse.

II.2.1 Torseurs cinématiques associés aux liaisons :

10 20

1/ 0 2 / 0

O O

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0




12 12 12 12

2 /1 12 12 12

12 12 12A X, j,n A X,Y,Z

u u

0 v S C v

0 C S v

II.2.2 Mise en équations :

La mise en équations se fait à partir de la condition de

fermeture de chaque cycle indépendant contenu dans le

graphe de liaisons. L’engrenage cylindrique est à cycleunique défini par 0-1-2-0.

L’équation de fermeture de ce cycle s’écrit au point O :

0 /1 1/ 2 2 / 0 0

Soit

12 12 1 1210 20

12 12 1 12

1 2 2012 12 1 12 1 12

u r C0 0 0 0

0 0 S C w l C 0 0 0 0

0 0 0 (r r ) 0 0C S w r l S

On obtient le système suivant :

10

20

12

1 12

1 12

1 2 1 1 12

1 1 1 0 0 0(1) 0

0 0 0 S 0 0(2) 0

0 0 0 C 0 0(3) 0

0 0 0 r C 1 0(4) 0

0 0 0 l C 0 C u(5) 0

0 (r r ) r l S 0 S w(6) 0

II.2.3 Analyse du système linéaire et résultats :

10

20

12

1 12

1 12

1 2 1 1 12

1 1 1 0 0 0(1) 0

0 0 0 S 0 0(2) 0

0 0 0 C 0 0(3) 0

0 0 0 r C 1 0(4) 0

0 0 0 l C 0 C u(5) 0

0 (r r ) r l S 0 S w(6) 0

On va appliquer la même méthode d’élimination progressive des inconnues pour retrouver les

degrés de mobilité et d’hyperstatisme du mécanisme.

Le premier niveau d’élimination débouche sur l’élimination de 12 et sur l’équation secondaire

(3). La présence d’une telle équation implique l’existence d’une hyperstaticité puisque 12 setrouve annulée deux fois (équations (2) et (3)) par deux obstacles dont un est obligatoirement

surabondant. Le deuxième et dernier niveau d’élimination écarte les deux vitesses u12 et v12 mais il ne

donne pas des nouvelles équations secondaires.

0 1

2

Pivot

Linéaire

rectiligne

Pivot

Figure 12 : graphe de liaisons de

l’engrenage cylindrique




Après ces deux niveaux d’élimination il reste le sous-système de deux équations à 3

inconnues suivant :

10

201 2 1

12

1 1 1(1) 0

0 (r r ) r (6) 0

Une inconnue est obligatoirement surabondante. Le rang de ce système est égal à 2. Nous

pouvons vérifier facilement que quelque soit l’inconnue parmi les trois du sous-système les

deux autres seront déterminées d’une façon unique. Ce mécanisme nécessite une seule vitesse

généralisée. Son degré de mobilité étant donc égal à 1. La vitesse généralisée peut être choisie

parmi [10, 12, 20]. Soit 10 cette vitesse, nous aurons :

20 10

1 2 1 12

1 1

(r r ) r 0

Ce que nous amène à la relation entrée-sortie cinématique d’un engrenage simple

120 10

2

r

r

En résumé, Dans le système cinématique :

l e degré d’indétermi nation est le degréde mobi l i té;

une équati on secondai re correspond àune hyperstatici té.

II.2.4 Hyperstatisme au sens cinématique :

La rotation autour de j

du solide 2 par rapport au solide 1a été bloquée deux fois. La

première fois par les deux liaisons pivot 1/0 et 2/0. La deuxième fois par le contact linéaire

rectiligne de 2/1. Le premier blocage a empêché de ramener une dent de (1) en contactlinéaire avec une autre de (2), à moins que les positions des dents par rapport à leurs axes de

rotations aient été assurées sans aucune erreur de fabrication.

En pratique, le montage d’un mécanisme hyperstatique n’est pas indépendant des

erreurs de fabrication. C’est ce qu’on appelle hyperstatisme au sens cinématique. En effet, pour pouvoir coïncider les flans de deux dents, il faut avoir une liberté en rotation autour de j

n

x

y

j

Figure 13 : Engrenage cylindrique avec contact linéaire entre les dents




d’un de deux solides par rapport à l’autre. Puisque cette liberté est éliminée, le contact

linéaire ne peut se réaliser que si chaque dent se trouve « au bon endroit ». Ce qui implique

des tolérances géométriques d’orientation sur les deux solides et sur le bâti.

D’une façon générale, une chaîne ne peut se fermer les

erreurs de fabrication, que si le dernier solide p possède 6 d.d.l.

par rapport au premier. Sinon l’assemblage ne peut avoir lieuque si les positions relatives de certaines surfaces de contact

seront exactes. Ce qui correspond donc à des éléments

géométriques conditionnés se traduisant sur le dessin

d’ensemble par une condition fonctionnelle qui peut être soit :

- un jeu fonctionnel pour un arrêt surabondant en

translation (force hyperstatique)

- une tolérance d’orientation pour un arrêt surabondant

en rotation (moment hyperstatique)

II.3 Méthode rapide de formation du système statique :

II.3.1 Cas 1 : Réducteur épicycloïdal plan à un seul satellite et une

couronne mobile :

X

Y

21

3

O4

O2

A

B 4

O1

(0)

C1 C2

0 1

3 4

2

Figure 16 : Réducteur épicycloïdal plan à un seul satellite et couronne mobile

Figure 14 : tolérances géométriques sur les différentes pièces de l’engrenage cylindrique

p 1

Figure 15 : fermeture d’une chaîne




1

1 4 2

l

O O r

0

2

1 2

l

O O 0

0

1

1 1

l

O A r

0

1

1 3

l

O B r

0

3

2 1

l

O A r

0

3

2 4 2

l

O O r

0

II.3.1.1 Actions extérieurs :

1 2 3

ext 1 ext 2 ext 3

0 C 0 C 0 C

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

II.3.1.2 Actions de liaisons

* liaison pivot de 1 avec 0 en O1 :

01

0 1 01 01

01 01O1

X 0

Y M

Z N


24

2 4 24 24

24 24O4

X 0

Y M

Z N


32

3 2 32 32

32 32O2

X 0

Y M

Z N

* liaison pivot de 3 avec 0 en O2 :03

0 3 03 03

03 03O2

X 0

Y M

Z N

* liaisons appui ponctuel de 1 avec 4 et de 3 avec 4 en O1 :

3 4 34

34B

0 0

S Z 0

C Z 0

1 4 14

14A

0 0

S Z 0

C Z 0

II.3.1.3 Sous matrice associée au torseur des actions :

Z34

Z14

Y

Z

Figure 17 : Efforts de contact roues du

Train épicycloïdal plan




Chaque torseur sera représenté par une sous-matrice ayant 6 lignes et n colonnes avec n =

nombre des inconnues. D’une façon générale le torseur

ij ij

ij ij ij

ij ij0

X L

Y M

Z N

s’écrit sous forme

matricielle

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

ij ij ij ij ij ij ijX Y Z L M N

1 0

0 0 0 0 0 1

ij

ij

ij

ij ij

ij

ij

ij

X

Y

ZT F

L

M

N

Dans une base canonique la matrice associée au torseur T ij est égale à la matrice identité.

Lorsque ce torseur est écrit en un point O1 tel que 1

a

OO b

c

et dans une autre base (

X , Y , Z

/

11 12 13

21 22 23

31 32 33

X a a a X

Y a a a Y

Z a a a Z

alors la matrice Tij aura pour forme

11 12 13

21 22 23

31 32 33ij21 31 22 32 23 33 11 12 13

31 11 32 12 33 13 21 22 23

11 21 12 22 13 23 31 32 33

a a a 0 0 0

a a a 0 0 0

a a a 0 0 0T

a c a b a c a b a c a b a a a

a a a c a a a c a a a c a a a

a b a c a b a c a b a c a a a

II.3.1.4 Formation du système linéaire :

Equilibre du solide 1 en O1 : 0 1 1 4 ext 1

Equilibre du solide 2 en O2 : 3 2 2 4 ext 2

Equilibre du solide 3 en O2 : 3 4 0 3 3 2 ext 3

Equilibre du solide 4 en O4 : 1 4 3 4 2 4 ext 4

Les 6 équations d’équilibre d’un solide seront obtenues par un assemblage des matrices des

torseurs de liaisons appliquées à ce solide. On aura le système suivant :




01 32 03 24 14 34

01

01 14 32 1

32 24 03 2

32 03 34 24 3

24 14 34 14 4

34

0 0 0 01

0 0 0 02

0 0 03

0 0 04

F

T T F F( )

T T F F( )

T T T F F( )

T T T F F( )

F

Sous forme détaillée on aura

1

1

1

2

3

2

(1) 1 0 0 0 0 0

(2) 0 1 0 0 0 S

(3) 0 0 1 0 0 C

(4) 0 0 0 0 0 r C

(5) 0 0 0 1 0 l C

(6) 0 0 0 0 1 l S

(7) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

(8) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

(9) 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

(10) 0 0 0 0 0 0 0 r 0 0

(11) 0 0 0 1 0 0 0 l 1 0

(12) 0 0 0 0 1 r

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

3

3

3

3

4 4

l 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 S

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 C

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r C

0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 l C

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 l S

1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 S S

0 0 1 0 0 C C

0 0 0 0 0 r C r C

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

01

01

01 1

01

01

32

32

32

32 2

32

03

03

03

03

03 3

24

24

24

24

24

14

34

0

X 0

Y 0

Z C

M 0

N 0

X 0

Y 0

Z 0

M C

N 0

X 0

Y 0

Z 0

M 0

N C

X 0

Y 0

Z 0

M 0

N 0

Z 0

Z 0

0

II.3.1.5 Interprétations et résultats :

* Premier niveau d’élimination :

Inconnues éliminées X01, X24, Z24, M24, N24, Z14 et Z34.

Equations secondaires (21) et (22) 2 mobilités détectées nécessitant deux vitesses

généralisées à choisir parmi : rotation du planétaire (1) autour de X

(équation 4),

rotation du bras porte satellite (2) autour de X

(équation 10), rotation de la couronne

(3) autour de X

(équation 16), rotation du satellite (4) autour de X

(équation 21) et

translation du satellite (4) suivant Z

(équation 22).

* Deuxième niveau d’élimination :

Inconnues éliminées : Y01, Z01, M01, N01, X32, Z32, M32 etY25

01 32 03 25 14 34

1

2

3

4




Equations secondaires : aucune.

* Troisième niveau d’élimination :

Inconnues éliminées : Y32, N32, X03, Y03, Z03, M03 et N03

Equations secondaires : aucune.

* Résultat :

Toutes les inconnues de liaisons sont calculables mécanisme isostatique 2 équations secondaires mécanisme à deux mobilités.

II.3.2 Cas 2 : train à un seul satellite avec couronne fixe :

Dans ce cas le solide 3 est confondu avec le bâti 0 et la liaison 03 est devenue encastrement.

Le nouveau système est obtenu à partir du précédent en éliminant les colonnes relatives à 03 et les 6 lignes relatives à l’équilibre du solide 3. Les résultats obtenus sont :

Le mécanisme reste isostatique.

Une seule mobilité : une seule vitesse généralisée à choisir parmi la rotation du planétaire

autour de X

et la rotation du bras porte satellite (2) autour deX

.

II.3.3 Cas 3 : train à deux satellites avec couronne fixe :

X

Y

21

(3,0)

O4

O2 A

B 4

O1 C1 C2

0,3

4

Figure 18 : Réducteur épicycloïdal plan à un seul satellite et couronne fixe




3

2 5 2 5 5 5 5

l 0 0

O O r O C r O D r

0 0 0

Trois liaisons sont ajoutées par rapport au cas précédent :

- liaison pivot de 5 avec 2 en O5 :

25

2 5 25 25

25 25O5

X 0

Y M

Z N

- liaison appui ponctuel de 1 avec 5 1 5 15

15C

0 0

S Z 0

C Z 0

- liaison appui ponctuel de 3 avec 5 en D :

3 5 35

35D

0 0

S Z 0

C Z 0

Par rapport au premier cas les équations d’équilibre du solide 3 sont remplacées par celles dusolide 5.

Equilibre de (5) : 1 5 2 5 3 5 {0}

On obtient le système statique suivant :

X

Y

21

(3,0)

O4

O2 A

B 4

O1 C1 C2

0,3 1

5

4

2

O5

C

D

5

Figure 19 : Réducteur épicycloïdal plan à deux satellites et couronne fixe

Y

Z

Z15

Z35

Figure 20: Efforts sur le deuxième

satellite




1 1

1 1

1 1

(1) 1 0 0 0 0 0 0

(2) 0 1 0 0 0 S S(3) 0 0 1 0 0 C C

(4) 0 0 0 0 0 r C r C

(5) 0 0 0 1 0 l C l C

(6) 0 0 0 0 1 l S l S

(7) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

(8) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

(9) 0 0 1 0 0 0 0 1

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

2 2

3 3

2 3 2 3

4 4

5 5

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 r 0 0 0 0 r 0 0

0 0 0 1 0 0 0 l 1 0 0 0 l 1 0

0 0 0 0 1 r l 0 0 1 r l 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 S S

0 0 1 0 0 C C0 0 0 0 0 r C r C

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 S S

0 0 1 0 0 C C

0 0 0 0 0 r C r C

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

01

01

01

01

01

23

23

23

23

23

24

24

24

24

24

25

25

25

25

25

14

34

15

35

X

Y

Z

M

N

X

Y

Z

M

N

X

Y

Z

M

N

X

Y

Z

M

N

Z

Z

Z

Z

1

2

0

00

C

0

0

0

0

0

C

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

0

0

0

Nous obtenons un système de 24 équations et de 24 inconnues.

Le premier et le deuxième niveaux d’élimination dégagent les inconnues suivantes : X01, X24,M24, N24, X25, M25, N25 et X23. Aucune équation secondaire n’est détectée. IL nous reste àrésoudre le sous-système suivant :

1 1

1 1

1 1

2 2

3 3

3 3

4 4

1 0 0 0 S S(2)

0 1 0 0 C C(3)

0 0 0 0 r C r C(4)

0 0 1 0 l C l C(5)

0 0 0 1 l S l S(6)

1 0 0 0 1 0 1 0(8)

0 1 0 0 0 1 0 1(9)

0 0 0 0 0 r 0 r (10)

0 0 1 0 0 l 0 l(11)

0 0 0 1 l 0 l 0(12)

1 0 0 0 S S(14)

0 1 0 0 C C(15)

0 0 0 0 r C r C(16)

0 0(20)

(21)

(22)

01

01

01 1

01

23

23

23

23 2

24

24

25

25

14

34

15

355 5

Y 0

Z 0

M C

N 0

Y 0

Z 0

M 0

N C

Y

Z

Y

Z

Z

Z1 0 S S

Z0 0 0 1 C C

Z0 0 0 0 r C r C

0

0

0

0

0

0

0

0

Ce sous système est composé de 16 équations et 16 inconnues. Si toutes les équations sont

principales, les 16 inconnues seront calculables et le mécanisme sera isostatique. Sinon, il

y’aura autant des inconnues hyperstatiques que des équations secondaires. Pour vérifier cela,

on va procéder à l’élimination des équations qui sont obligatoirement principales. Chac une de

ces équations doit contenir exclusivement une inconnue. Dans ce cas le coefficient relatif àcette inconnue sera le seul dans sa colonne. On élimine à la fois la colonne et la ligne

1

2

4

5

01 23 24 25 14 34 15 35




contenants le coefficient. Les équations éliminées seront (2), (3), (5), (6), (8), (9), (11), (12). Il

nous reste le sous système suivant

1 1 24 1

2 2 25 2

14

4 4 34

15

5 5 35

0 0 r C 0 r C 0 Z(4) C

r r 0 0 0 0 Z(10) C

1 0 C C 0 0 Z(15) 0

0 0 r C r C 0 0 Z(16) 0

0 1 0 0 C C Z(21) 0

0 0 0 0 r C r C Z(22) 0

La donnée de n’importe quelle inconnue parmi les 6 amène au calcul des autres avec à chaque

fois une équation secondaire obtenue. D’où les résultats suivants :

Un hyperstatisme de degré 1, l’inconnue hyperstatique est à choisir parmi Z24, Z25 , Z14,

Z34, Z15 et Z35

Une seule mobilité. La vitesse généralisée est à choisir parmi : la rotation autour deX

du planétaire (1) ou du bras porte satellites (2) ou du satellite (4) ou du satellite (5).

Cette mobilité est exprimée par la relation 22 1

1

2r C C

r obtenue à partir de la nullité du

déterminant du sous système précédent en remplaçant une des colonnes par le second

membre.

1 1 1

2 2 2

3 24 5 2 1 1 2 2 1

4 4 1

5

0 0 r C 0 r C C

r r 0 0 0 C

1 0 C C 0 0 2 r r r C ( 2 r C r C ) 0 C C

0 0 r C r C 0 0 r

0 0 0 0 C 0

0 0 0 0 r C 0

Cette relation entre les deux couples d’entrée et de sortie est

bien celle très connue pour un train épicycloïdal lorsque le

frottement n’est pas considéré. 2 11

C Ck

avec k : raison du

train égal à 1 1

1 3 2

r r k

r r 2r

car r 3= r 2+r 4 et r 1 = r 2r 4.

III. Loi de mobilité globale :

L’équilibre statique d’un mécanisme de p pièces et liaisons amène à un système de 6p

équations et i

inconnues. i étant le degré de liaison dans la liaison i, i = 6 – ddl(i).

r 3

r 4

r 2

r 1

Figure 21: rayons des roues




Parmi les 6 équations on distingue (6p – m) équations principales pour résoudre les i

inconnues. Le degré d’hyperstatisme h étant alors égal à h = i

– 6p + m. On obtient

6p – i

= m h

Cette relation nommée « loi de mobilité globale » exprime la dualité entre le degré de

mobilité m et le degré d’hyperstaticité h. Nous pouvons retrouver également cette relation à

partir du système cinématique.

Dans l’étude cinématique nous avons 6 ( p) équations pour calculer d.d.l

inconnues

cinématiques. id.d.l (6 )

Parmi les 6 ( p) équations nous distinguons h équations secondaires. Le nombre des vitesses

généralisées à donner pour résoudre le système sera im (6 ) 6( p) h

. Nous

retrouvons de nouveau 6p – i

= m h

IV. Analyse numérique des mécanismes :

IV.1 Analyse cinématique :

Pour un mécanisme de p pièces et liaisons nous pouvons écrire ( – p) équations de

fermeture des cycles indépendants. Nous obtenons ainsi le système linéaire homogène

suivant :

[E]. {V} = {0} (1)

où

{V} : vecteur des inconnues cinématiques de dimension Ic (Ic : somme des degrés de libertés

de liaisons)

[E] : matrice rectangulaire de dimensions (6( – p) Ic).

La triangularisation du système par la méthode de pivot total de Gauss nous donne

[E1] {V1} + [E2] {W} = {0} (2)

avec

6(-p) E1 E2

O

V1

W

0

h

Ic

m

=




[E1] matrice carrée triangulaire supérieure d’ordre r ; r : rang de [E] ;

[E2] matrice rectangulaire de dimension (r x m) ; m : degré de mobilité du mécanisme ;

{V1} vecteur de dimension r des inconnues cinématiques principales ;

{W} vecteur de dimension m des vitesses généralisées.

La relation entre {V1} et {W} s’écrit

{V1} = -[E1]-1

[E2] {W}= [E3] {W} (3)

Ce système ne peut être déterminé que si les m vitesses du vecteur {W} seront données.Cependant, on peut distinguer parmi les inconnues de {V1}, ceux qui ne dépendent pas de ces

données et qui sont donc nulles. Elles représentent les libertés des liaisons rendues arrêtées

par l’effet des autres liaisons du mécanisme. Le système précédent peut être écrit dans ce cas

{V1} =

'

3

'

1 E

0V0

{W} (4)

[E'3] : partie non nulle de [E3].

Le système qui reste à résoudre est

{ '

1V } = [ '

3E ] {W} (5)

La matrice [E’3] est la matrice des coefficients des inconnues cinématiques non

obligatoirement nulles dans la base de l’espace des vitesses généralisées. Chacune de ces m

colonnes décrit l’influence d’une vitesse généralisée sur les libertés non bloquées des liaisons. Pour cette raison [E’3] est dite matrice de distribution des mobilités.

A partir de ce système une vitesse v’1i de { '

1V } s’écrit

m

1i ij j

j 1

v e w

. Lorsque le coefficient

eij de [E’3] est nul, 1iv est indépendante de w j. Dans le cas contraire la valeur de eij peut

informer sur l’importance de l’influence de wj sur v’1i.

Nous pouvons toujours organiser le système (5) de façon à faire apparaître les vitesses

appartenant à une même liaison dans un même bloc. De cette façon nous pouvons voir quelles

liaisons et par suite quels cycles seront concernés par une mobilité.

IV.1.1 Choix des vitesses généralisées :

Nous savons bien que la composition de {W} n’est pas unique et qu’il existe des vitesses de {'

1V } qui peuvent être des vitesses généralisées. Si nous choisissons arbitrairement m équations

du système (5) nous obtenons le sous-système

{V1}= [E3] {W} (6)

où [E3] est une matrice carrée de dimension m. Nous ne pouvons écrire

{W}= [E3]-1{V} (7)

que si le déterminant de [E3] est non nul. Dans ce cas le système (5) devient

{ '

1V } = [ '

3E ] [E3]

-1{V1} (8)

et les composants de {V1} deviennent les nouvelles vitesses généralisées. Nous pouvons donc

citer la règle suivante concernant le choix des vitesses généralisées :

Pour que m vitesses de {

'

1

V

} soient des vitesses généralisées il faut que leur s coeff icientsdans [E’ 3 ] forment un déterminan t non nul.




Cette règle reste valable même si nous remplaçons moins que m vitesses dans {W}. En effet,

nous pouvons toujours écrire

1 3V ' E 'W

W I

(9)

Et ainsi nous appliquons la même procédure qu’auparavant. Cependant il va apparaître dans le

déterminant à vérifier des lignes de la sous-matrice identité qui correspondent aux vitesses

non remplacées dans {W}. Nous savons que détI 0

A A '

= dét (A’) et de ce fait le calcul

du déterminant mm sera réduit à un calcul de déterminant des coefficients des nouvellesvitesses par rapport aux vitesses remplacées.

IV.1.2 Application : Mécanisme d’essuie - glaces :

Nous allons appliquer cette méthode d’analyse sur le mécanisme d’essuie-glace représenté ci-dessous. Les 9 liaisons du mécanisme sont décrites dans le tableau suivant.

Liaison Type Pièces Position repère local

(R local)

Torseur cinématique /R local

1 pivot 0-1

000

100010001

0,0,0,0,0,10T

0/1 2 Appui ponctuel 2-1

40

24

34.094.01094.034. 0,v,u,,,

2121212121

T

1/2

3 pivot 0-2

5.22024

100001 010 0,0,0,0,0,

20

T

0/2

4 pivot 2-3

5.289

5.21

100001010

0,0,0,0,0,32T

2/3 5 Appui ponctuel 4-3

2.51

9

8.41

02.099.

010

99.002.

0,v,u,,,3434343434

T

4/3

6 pivot 0-4

25.479

25.43

100001010 0,0,0,0,0,40

T0/4

7 pivot 4-5

2.47172.43

100001 010 0,0,0,0,0,

54

T

4/5

8 pivot 5-6

349

2.48

100001010 0,0,0,0,0,

65

T

5/6

9 Appui ponctuel 3-6

7.379

40

94.034.

010

34.094.

0,v,u,,,6363636363

T

3/6

La liaison 5 entre le pignon 4 et la crémaillère 3 a été considérée dans une première

approximation comme un appui ponctuel. Vu que nous adoptons l’hypothèse des liaisons parfaites, le frottement est négligé ; de ce fait le système roue et vis sans fin est réversible.




L’analyse cinématique du mécanisme selon le processus décrit précédemment nous donne les

résultats suivants :Degré de mobilité : 3

Degré d’hyprestaticité : 0

Vitesses nulles :

- Liaison 5 : 34 - 34 - v34

- Liaison 9 : 63 - 63 - v63

Le système (5) relatif à cet exemple est :

34

63

21

63

65

54

40

34

32

20

21

21

21

21

10

302.0002.00075.0

115.0069.000005.0

431.0071.0019.0

316.000137.0

244.00012.0

071.00003.0

00005.0

00032.0

00232.0

00025.0

00085.0

00242.0

u

u

vu

X

Y

Z

y21

x21

y20

z20

x20

y63x63

y34

x34

(0)

1

236

4

5

1

2 0

3

5

4

6

1 2

3

6 45

97

8

Figure 22 : mécanisme d’essuie-glace




La première colonne de la matrice [E’3] représente la projection de la vitesse de glissement

suivant y21 de la roue 2 par rapport à la vis sans fin 1. Cette vitesse constitue le paramètre

d’entrée utile du mécanisme. Tous les coefficients de la première colonne sont non nuls ce

que veut dire que v21 met en mouvement toutes les liaisons.

La vitesse u63 est la vitesse de glissement du galet 6 sur la crémaillère 3 suivant x63. Cettevitesse a influence faible sur les libertés des liaisons du cycle 3-4-5-6-3 suivantes :

54 : rotation autour de x54 de 5/4

65: rotation autour de x65 de 6/5

63: rotation autour de y63 de 6/3

Ce paramètre traduit la possibilité de glissement du galet 6 par rapport à la crémaillère 3 en

arrêt du système.

La vitesse u34, vitesse de glissement de la crémaillère 3 par rapport à la roue 4 suivant x34 qui

traduit la possibilité de « soulèvement » de la crémaillère par rapport à la roue rendu possible

grâce à la liaison pivot de 3/2. Cette vitesse n’a aucune influence sur les vitesses des liaisons

du cycle 0-1-2-0.

En ce qui concerne le choix des vitesses généralisées, il est clair que les vitesses 10, 21 et 21

ne peuvent pas former un jeu de vitesses généralisées car le déterminant des trois premières

lignes de [E’3] est nul. Mais nous pouvons par exemple remplacer v21 dans {W} car le

010001000242.0

dét

.

Les vitesses 10 , u63 et u34 constituent bien un jeu de vitesses généralisées.

IV.2 Analyse Statique :

Pour un mécanisme de p pièces, l’équilibre statique fournit un système linéaire de 6p

équations de la forme

[A] { X} = {B} (10)

[A] : matrice de configuration géométrique

{X} : matrice colonne des inconnues de liaisons (actions intérieures de contact)

{B} : matrice colonne des efforts extérieurs appliqués sur le mécanisme.

IV.2.1 triangularisation du système linéaire :

Le système obtenu peut se mettre après une triangularisation par la méthode de pivot total de

Gauss sous la forme suivante :

[T ]{Y} + [K] {Z} = [C] {B} (11)

et [D] {B} = 0 (12)

6pT K

O

Y

Z D

C B

m

Is

h

6p

=




Ainsi on aboutit d’une façon générale à:

- h inconnues hyperstatiques regroupées dans un vecteur Z;

- r inconnues isostatiques ou principales regroupées dans un vecteur Y;

- (6p - r) = m équations non principales.

La matrice T est triangulaire supérieure, de dimensions (6p – m) x (Is – h).

IV.2.2 Relations entrée-sortie générales :

L’équation matricielle (12), comporte m relations entre les efforts extérieurs appliqués sur le

mécanisme. Ces m relations sont les relations entrée-sortie statiques que le mécanisme génère.

Si nous supposons que sur chaque pièce s’exerce un torseur des efforts extérieurs défini par

ext i

Fi / X Ci / X

Fi / Y Ci / Y

Fi / Z Ci / Z

Nous obtenons des relations entrée-sortie les plus générales qui nous renseignerons sur leséventuelles possibilités des relations entre les efforts extérieurs susceptibles d’être appliqués

sur les différentes pièces.

Exemple :

Pour le mécanisme de pompe manuelle schématisé ci-dessous, les deux relations entrées -

sorties statiques sont :

Relation 1 : 0,05 C2/Z + 0,56 F3/X + F3/Y - 0,01 C3/Z + 0,79 F4/Y = 0.

Relation 2 : - 0,01 C3/Z + 0,79 F4/Y = 0.

La relation 1 montre que, parmi les efforts extérieurs appliqués sur la pièce 2, seul un coupleC2/Z peut être transmis aux deux autres pièces. On peut ainsi recevoir un effort F4/Y sur la

2

3

4

1

X

Y

Figure 23 : Pompe manuelle




pièce 4 et / ou F3/X, F3/Y et C3/Z sur la pièce 3. Mais en réalité, aucun effort extérieur n’est

appliqué sur la pièce 3. La relation 1 devient de ce fait 0,05 C2/Z + 0,79 F4/Y = 0. On

retrouve bien, la relation qui caractérise la fonction globale de pompage générée par le

mécanisme. La relation 2 caractérise la deuxième mobilité qui est une mobilité interne. Elle

relie deux efforts extérieurs appliqués sur la pièce (4) uniquement. Ces deux efforts ne

peuvent pas être transmis aux autres pièces.

IV.2.3 Efforts calculables et efforts non calculables :

Les efforts principaux de liaisons s’obtiennent en fonction des efforts extérieurs et des efforts

hyperstatiques par l’équation matricielle

{Y} =[ T]-1

[C] {B} -[ T]-1

[K] {Z} (13)

Parmi ces efforts, on distingue les efforts calculables qui ne dépendent pas de {Z}. Ce sont les

inconnues où les lignes correspondantes de la matrice [T]-1

[K] sont nulles. On peut toujours

faire une permutation pour regrouper ces inconnues. On aura la configuration suivante :

= -

{Y’} sont les efforts isostatiques, ils sont calculés à partir de la relation

{Y’} = [T’] {B} (14)

{Y’’} est le vecteur des efforts principaux qui dépendent des efforts hyperstatiques regroupés

dans le vecteur {Z}. Ils sont calculés à partir de la relation

{Y’’} = [ T’’] {B} - [K’] {Z} (15)

Nota : dim(Y’) = r’ et dim(Y) = r ; r = r’ + r .

La distinction entre les inconnues calculables et les inconnues non calculables est très bénéfique dans le sens où elle permet, en isolant les hyperstaticités, d’obtenir quelquesrésultats du calcul statique. Ces résultats sont parfois suffisants pour pouvoir entamer un

calcul de dimensionnement. D’une façon générale, l’existence des hyperstaticités dans un

mécanisme ne doit pas empêcher de traiter ses parties isostatiques, surtout quand les

hyperstaticités ne concernent qu’une partie des cycles.

IV.2.4 Distribution et choix des efforts hyperstatiques :

En absence des efforts extérieurs la relation (15) devient

{Y’’} = [ K ’

] {Z} (16)

Y’

Y

T’

T’’

B

0

K’

Zr

6

= -




Nous obtenons une relation semblable à la relation (5) qui distribue les vitesses généralisées.

Nous allons, alors, appliquer les mêmes règles pour la distribution des hyperstaticités et pour

le choix des inconnues hyperstatiques.

Chaque colonne de la matrice [K ’] exprime la distribution d’un effort hyperstatique sur les

différentes liaisons. Lorsque le coefficient k ij est nul l’effort iY n’est pas concerné parl’hyperstaticité j. iY ne peut pas dans ce cas remplacer l’effort hyperstatique jZ .

Pour que n inconnues de {Y’’} (2 n h) remplacent n effort hyperstatiques il faut que leurs

coefficients dans [K ’] forment un déterminant non nul.

IV.2.5 Application : mécanisme à 4 barres :

Les liaisons de ce mécanisme sont définies dans le tableau suivant :

Liaison Type Pièces Positionrepère local

(R local)Torseur des actions de liaison /R local

1 pivot 0-1

0

0

0

0 0 1

0 1 0

1 0 0

01

0 1 01 01

01 01

X 0Y M

Z N

2 pivot 1-2

25

43.3

0

0 0 1

0 1 0

1 0 0

12

1 2 12 12

12 12

X 0

Y M

Z N

3 pivot 2-3

183.03

90.760

0 0 1

0 1 01 0 0

23

2 3 23 23

23 23

X 0

Y M

Z N

4 pivot 0-3

225

0

0

0 0 1

0 1 0

1 0 0

03

0 3 03 03

03 03

X 0

Y M

Z N

Les résultats de l’analyse statique sont :

Degré de mobilité : 1

Relation entrée-sortie statique générale :

(0)

1

2

3

Figure 24 : Mécanisme à 4 barres

Z

Y




0.12 C1/X + 0.69 F2/Y 0.4 F2/Z + 0.003 C2/X + F3/Z 0.004 C3/X = 0

Degré d'Hyperstaticité : 3

Inconnues calculables :

*Liaison n° 1: Z01, Y01

*Liaison n° 2: Z12, Y12 *Liaison n° 3: Y23, Z23

*Liaison n° 4: Y03, Z03

Distribution des hyperstaticités :

01

12

12

0112

0123

0323

23

03

03

X 0.004 0 0.004

X 0.004 0 0.004

M 0.192 1 0.192

N N 0.88 0 0.11

MX 0.004 0 0.004 NM 0.403 1 0.403

N 0.186 0 0.81

X 0.004 0 0.004

M 0 1 0

Les 3 hyperstaticités ne concernent que les forces suivant X

et les moments suivant Y

et Z

dans les 4 liaisons. Le mécanisme dans le plan ( X

, Y

) est donc isostatique.

La troisième hyperstaticité (troisième colonne de la matrice [K ’]) ne concerne que les

moments suivant Z

.

En ce qui concerne le choix des efforts hyperstatiques, X01, M01 et N01 par exemple forme uneconstitution valide du vecteur {Z}.

IV.3 Recherche systématique des solutions isostatiques :

Dans ce paragraphe nous présenterons deux méthodes pour une recherche

systématique de solutions isostatiques. La première consiste à l’élimination directe des efforts

hyperstatiques de leurs liaisons. Il s’agit d’une modification de type de liaisons contenant les

efforts hyperstatiques tout en gardant le même nombre de pièces et le même nombre de

liaisons. La seconde consiste à l’ajout de nouvelles libertés susceptibles de destituer les efforts

hyperstatiques. Des nouvelles pièces sont alors insérées dans le mécanisme. La solution issuede chaque méthode n’est retenue que si toutes les liaisons modifiées ou ajoutées so nt

conformes à la norme ISO 3952.

IV.3.1 Obtention des solutions isostatiques par élimination directe des efforts

hyperstatiques :

Cette méthode consiste à retrancher les efforts hyperstatiques de leurs liaisons. Les

degrés de liberté de ces dernières vont augmenter en dépit des degrés de liaisons. Cette

opération amène à l’annulation du vecteur {Z} des efforts hyperstatiques.

IV.3.1.1 Conditions d’obtention d’une solution globale :




Toute liaison contenant des efforts hyperstatiques se voit modifiée pour obtenir une

nouvelle liaison qui contient moins de contacts. Pour les h efforts d’un jeu {Z} nous avons à

modifier ’ liaisons (’≤h). La solution n’est retenue que si toutes les liaisons modifiées sont

conformes à la norme ISO 3952. Deux cas particuliers de liaisons sont intouchables par cette

modification. La liaison ponctuelle, qui si en éliminant le seul effort qu’elle génère nous

ramperons complètement le contact entre les deux solides concernés. La deuxième liaison estla liaison hélicoïdale qui a une fonction cinématique de transformation de mouvement et

qu’on perdra si nous touchons à un de ces contacts.

Les nouvelles liaisons issues, suivant ces conditions, des liaisons initiales sont présentées dans

le tableau ci-dessous. Elles ne dépendent pas uniquement du nombre d’inconnues retranchées

mais aussi de leurs types et de leurs directions.

Liaison initiale

Nombre d’inconnues à

retrancher Nouvelle liaison

Forces Moments

Linéaire rectiligne 1 Ponctuelle

Linéaire annulaire 1 Ponctuelle

Sphérique1 Linéaire annulaire

2 Ponctuelle

Appui plan1 Linéaire rectiligne

1 1 Ponctuelle

Pivot glissant

1 2 Ponctuelle

2 Linéaire annulaire

1 1 Linéaire rectiligne

Pivot


1 2 Linéaire annulaire2 Sphérique

2 Appui plan

1 Sphérique à doigt

1 Pivot glissant

2 2 Ponctuelle

Glissière


3 Linéaire annulaire

1 1 Appui plan

1 Pivot glissant

Sphérique à doigt

2 1 Ponctuelle

1 1 Linéaire annulaire

2 Linéaire rectiligne

1 Sphérique

IV.3.1.2 Exemples :

a) Engrenage cylindrique à denture droite :

L’inconnu hyperstatique est un parmi M01, N01, M12, N12, M02,

N02.

X

Y

2

1 A

B

O

Figure 25 : Eng. cylindrique

isostatique 1




► Si nous choisissons M01 le torseur de la liaison 01 devient après élimination de l’effort

hyperstatique

01

0 1 01

01 01O

X 0

Y 0

Z N

. Ce torseur correspond à une liaison sphérique à doigt

de direction z

(le blocage en rotation est suivant z

).

► Si nous choisissons N01 01devient une liaison sphérique à

doigt de direction y

► de même pour M02 et N02 on aura deux liaisons sphériques

à doigt respectivement suivant y

et z

.

►Si nous choisissons M12 le torseur de la liaison 01 devient

0 1 12

12O

0

R S 0

R C 0

. Ce torseur correspond à une liaison appui ponctuel de normale n

.

b) Mécanisme à 4 barres :

Pour rendre ce mécanisme isostatique il faut éliminer 3 efforts hyperstatiques.

► Premier choix : les trois efforts hyperstatiques sont X01, M01 et N01 le torseur de la liaison

01 devient 0 1 01

01

0 0

Y 0

Z 0

. Ce torseur correspond à une liaison linéaire annulaire de

direction x

.

► deuxième choix : X01, M12, N12

Le torseur de la liaison 01 devient 0 1 01 01

01 01

0 0

Y M

Z N

01 devient pivot glissant

d’axe x

.

Le torseur de la liaison 12 devient

12

1 2 12

12

X 0

Y 0

Z 0

12 sphérique.

X

Y

2

1 A

B

O

Figure 26 : Eng. cylindriqueIsostati ue 2

(0)

1

2

3

Figure 27 : Mécanisme 4 barres avec une linéaire annulaire

Z

Y




► Troisième choix : X23, M23, N03

Le torseur de la liaison 23 devient 2 3 23

23 23

0 0

Y 0

Z N

Ce torseur ne correspond à

aucune liaison standard. La solution est rejetée.

IV.3.2 Obtention des solutions isostatiques par ajout des nouvelles libertés :

IV.3.2.1 Compatibilité entre les libertés ajoutées et les efforts

hyperstatiques :

Le principe de cette méthode est de libérer le blocage surabondant causé par un effort

hyperstatique par l’ajout d’une liberté. Cette liberté est nécessairement compatible avec

l’effort hyperstatique c'est-à-dire elle produit une puissance non nulle. Soit i j le torseur

des efforts de la liaison

ij qui comporte

'

ijh efforts hyperstatiques. Ce torseur s’écrit sous laforme suivante :

ijn

i j k k

k 1

X

ij ij

ij

h n

k k k k

k 1 k h 1

X X

où lesk

sont les torseurs géométriques les Xk ont les intensités des efforts associés àk

. ijn

est le degré de liaison de la liaison ij.

Soitl l

le torseur cinématique d’une liberté l à ajouter entre i et j. Pour que cette liberté

élimine un effort hyperstatique, il faut que ait un comoment non nul avec la partie

hyperstatique de i j c’est-à-dire:

ji jih h

k k l l k k l

k 1 k 1

c X , X c( , ) 0

Où les 1 et Xk sont arbitraires. 1 est compatible avec un des efforts hyperstatiques. Si nous

ajoutons'

ijh libertés indépendantes et compatibles avec les'

ijh efforts hyperstatiques de la

liaison ij elles transformeront ces efforts hyperstatiques en des actionneurs produisant une

(0)

1

2

3Z

Y

Figure 28 : Mécanisme 4 barres CSRR




puissance non nulle. Dans le mécanisme, ces '

ijh degrés de liberté apparaissent sous forme de

nouvelles liaisons interposées entre les solides i et j. Ainsi, il y aura des nouveaux solides

k,k’… entre i et j tel que la liaison ik est la même liaison qu’avait i avec j et les nouvelles

liaisons kk’ …, seront équivalentes à une liaison kj de degré de liberté égal à '

ijh .

Notons '

ij la nouvelle liaison équivalente entre les solides i et j, i j' le torseur des

actions de liaison, et ji' le torseur cinématique entre i et j. Nous pouvons alors écrire que :

i j i k k j'

Or k j , du fait de la dualité avec le torseur cinématique, contient des composantes

suivant toutes les directions sauf suivant les directions des 'ijh efforts hyperstatiques. Les

résultats de l’intersection suivant ces directions sont bien nulles. Pour les autres directions, les

résultats de l’intersection vont être les mêmes composantes que dans i k . Par conséquent,

l’ajout d’une nouvelle liaison à ijh d.d.l. comme décrit ci haut, est équivalent à une liaison

équivalente 'ij obtenue à partir de la liaison ij après élimination des ijh efforts

hyperstatiques. 'ij est aussi le résultat obtenue par l’élimination directe des efforts

hyperstatiques de la liaison initiale. Nous déduisons que les résultats de deux méthodes de

recherche des solutions isostatiques sont équivalents.

i jkik =ij kj (

'

ijh ddl)

’ij

Nouvelle liaison

ajoutée entre i et j

Nouveau solide

ajouté entre i et j

Figure 29 : Liaison équivalente ij




En exploitant cette conclusion, le problème de l’élimination des hyperstaticités par ajout des

nouvelles libertés devient :

Étant données la l iaison équivalente 'ij et l’ancienne liaison ik conformément àla

f igure ci -dessus, quell e sera la l iaison kj àajouter tel que 'ij ik kj ?

Ainsi, pour rendre le mécanisme isostatique nous allons adopter la procédure suivante : pour un jeu d’efforts hyperstatiques, et pour chacune des liaisons impliquées dans ce jeu, les

étapes à suivre sont :

Détermination de la nouvelle liaison équivalente 'ij obtenue après élimination des

ijh efforts hyperstatiques (1

èreméthode).

Insertion d’une nouvelle liaison entre i et j de façon que la liaison équivalente

entre ces solides soit 'ij .

IV.3.2.2 Conservation du degré et des natures des mobilités :

La solution isostatique obtenue ne doit pas modifier le comportement du mécanisme, et

par conséquent le degré de mobilité initial doit être conservé. En effet, ce risque est absent car

les liaisons équivalentes obtenues sont les anciennes liaisons desquelles nous avons éliminé

les efforts hyperstatiques. Autrement dit, nous n’avons éliminé que le sous système [ ] { } K Z

de la relation matricielle obtenu par triangularisation du système statique, ainsi le degré demobilité du mécanisme n’est pas affecté.

i jki k i j dim k j = 6 −

ijh

dim( i j ) = dim(i k ) −

i j

dim( i j ) = dim( i j ) ijh

Première méthode Deuxième méthode

Figure 30 : Equivalence de deux méthodes de recherche des solutions isostatiques




Nous pouvons vérifier cela en appliquant la loi de mobilité globale sur le mécanisme

avant et après modification. Pour le mécanisme hyperstatique de départ nous avons :

s I pmh 6

I s étant le nombre total des efforts de liaisons et h degré d’hyperstaticité global.

Pour le mécanisme rendu isostatique, nous avons ajouté p solides et efforts

hyperstatiques tel que :

'

s k j kj

p ' p '

I dim (6 h ) 6p ' h

La loi de mobilité prend alors la forme suivante :

6( ') ( 6 ' ) ' s

p p I p h m

En introduisant ce résultat dans la relation de h nous obtenons que 'm m . Nous avons ainsi

vérifié que le degré de mobilité initial du mécanisme est conservé après modification de ce

dernier.

IV.3.2.3 Méthode pratique de l’obtention de la nouvelle liaison :

Nous allons partir du torseur de la liaison équivalente 'ij pour rechercher celui de la

nouvelle liaison kj à insérer en série avec l’ancienne liaison ik .

Soit l’écriture suivante du torseur le plus général des efforts de liaison de 'ij

6ij

i j n n

n 1

X

Les ij

nX sont les intensités de force ou de moment et qui sont obligatoirement nulles lorsque

le torseur i j n’admet pas de composante suivant n .

Le torseur i k s’écrit également

6ik

i k n n

n 1

X

Si nous écrivons le torseur des actions de la nouvelle liaison kj dans la même base et au

même point que celui de 'ij nous obtenons:

3kj kj kj kj kj kj kj kj kj kj

kj n n 4 3 2 4 5 1 3 5 6 2 1 6n 1

X (X yX zX ) (X z X x X ) (X x X y X )

Ce torseur inconnu va être déterminé à partir de la relation

'

i j i k k j

'

s I




Il existe une infinité de solutions qui vérifient cette relation. Pour limiter le nombre de

solutions nous allons nous limiter au cas où la liaison kj admet la même base canonique que

ik et 'ij . Dans ce cas nous aurons comme résultats le l’intersection :

si kj

nX = 0 ou ik n X = 0 alors ij

n X = 0

si kjn X 0 et ik

n X 0 alors ijn X 0

Nous en déduisons pour notre problème où les ijn X et les ik

n X sont données :

si ij

nX 0 alors kj

nX 0

si ij

nX = 0 alors

si ik

nX = 0 alors kj

nX 0

si ik

nX 0 alors kj

nX = 0

Pour les composantes kj

nX (n : 4, 5, 6) il faut également vérifier les conditions suivantes qui

déterminent les coordonnées du point de réduction de la nouvelle liaison :

si kjnX = 0

sikj

3X 0 alors y est quelconque sinon y 0

sikj

2X 0 alors z est quelconque sinon z 0

sikj

5X 0 alors

sikj

1X 0 alors z est quelconque sinon z 0

sikj

3X 0 alors x est quelconque sinon x 0

sikj

6X 0 alors

sikj

2X 0 alors x est quelconque sinon x 0

sikj

1X 0 alors y est quelconque sinon y 0

IV.3.2.4 Exemples :

a) engrenage cylindrique à denture droite :

►Premier choix M01 : le torseur de la liaison équivalente01 sera

01

0 1 01

01 01O

X 0

Y 0

Z N

Nous allons introduire un nouveau solide 3 entre 0 et 1 tel que le torseur de la liaison 03 sera

celui de 01

03

0 3 03 03

03 03O

X 0

Y M

Z N




L’application systématique des règles du paragraphe IV3.2.3 donnent :

- X01, Y01, Z01, N01≠ 0 X13 , Y13, Z13, N13 ≠ 0

- L01= L03 = 0 L13 ≠ 0

- M01 = 0 ; M03 ≠ 0 M13 = 0

- M13 = 0 ; X13, Y13 ≠ 0 x = y = 0 ;

Finalement le torseur de la nouvelle liaison 13 sera

13 13

1 3 13

13 13P

X L

Y 0

Z N

. Ce torseur correspond à une liaison

pivot d’axe Y en un point (0,0,z)

b) Mécanisme à 4 barres :

► premier choix : M01, X12 , N03

► deuxième choix : X01, M12, N12

x

y

Figure 31 : Engrenage cylindrique

avec pivot supplémentaire

1

0

2

3

5

4

6

Figure 31 : Mécanisme 4 barresRRRPRRR

1

0

2

34

5

Figure 32 : Mécanisme 4 barresRPRSRR




V. Synthèse des mécanismes :

La synthèse des mécanismes est l’opération qui consiste à créer des nouveaux mécanismes qui

satisferont une fonction cinématique donnée. Nous distinguons deux phases de synthèse. Ces

deux phases sont souvent considérées comme deux types indépendants, la synthèse

topologique et la synthèse dimensionnelle. La synthèse topologique est la phase qui permet dedéterminer la topologie ou la structure du mécanisme en choisissant la famille (mécanisme à

engrenage ou articulé par exemple) et en choisissant le nombre et les types des liaisons. La

synthèse dimensionnelle permet, une fois la topologie définie, de dimensionner le mécanisme

afin d’obtenir les caractéristiques désirées des mouvements générés. Dans ce paragraphe nous

allons nous limiter à la synthèse topologique. D’abord une synthèse globale ou préliminaire à

travers un exemple d’utilisation de la loi de mobilité globale. Puis un exemple de synthèse

plus détaillé à travers l’analyse cinématique.

V.1 Exemple de synthèse à partir de la loi de mobilité globale :

La loi de mobilité globale peut être appliquée dans une phase primaire de conception danslaquelle on est encore à la recherche d’une topologie qui satisfait certaines conditions, telles

que le nombre des pièces, le nombre et les types des liaisons, les degrés de mobilité et

d’hyperstaticité.

Soit à concevoir un mécanisme constituant un cycle unique et composé seulement de liaisons

à une seule liberté.

Exigeons que ce mécanisme soit isostatique (h = 0). Dans ces conditions quel sera le nombre

minimum pmin de pièces pour que ce mécanisme soit mobile.

Désignons par l le nombre des liaisons ; p le nombre des pièces.

Le mécanisme est à cycle unique donc le nombre cyclomatique c= l p = 1 ce qui donne

l = p + 1.Toutes les l liaisons sont à un degré de liberté d’où Ic = l = p +1.

La mobilité m est au minimum égale à 1.

L’application de la loi de mobilité globale Ic6 c = l 6 (l p) = m h = 1 nous amène à pmin

= 6. Nous concluons qu’un mécanisme à cycle unique, formé par des liaisons à un degré de

liberté, et ayant un degré de mobilité, doit être composé au minimum 6 pièces pour qu’il soit

isostatique.

Si le nombre de pièce est égal à 5 on aura m = 0. On parle dans ce cas d’une structure et non

pas d’un mécanisme. D’une façon générale lorsque p 5 ce mécanisme ne peut être mobileque s’il est hyperstatique.

Admettons que ce mécanisme est formé d’un nombre minimum de pièces pour constituer un

cycle (p = 1). Cherchons le degré d’hyperstaticité pour que ce mécanisme ait une mobilitém=1.

Puisque nous avons une seule pièce alors l = 2 et par suite Ic = 2. Appliquons la loi de

mobilité : Ic6 c = 2 6 = 1 h ce qui donne h = 5. Nous concluons que dans nos conditions

de départ notre mécanisme composé d’une seule

pièce liée avec le bâti par deux liaisons à 1

degré de liberté aura pour m = 1 un degréd’hyperstaticité h = 5.

V.2 Synthèse topologique à partir de l’étude

cinématique :

1

2

3

4

5

6

xy

z

O

A

B

C D

F

E




Ce type de synthèse s’applique à une topologie préalablement choisie. A travers son étude

cinématique détaillée comme celle vue précédemment, il sera possible de lui appliquer des

modifications pour l’adapter aux conditions recherchées ou pour éviter des configurations

particulières. Dans ce but, nous avons choisi une configuration du mécanisme de Sarrus. Ce

mécanisme à deux branches identiques et d’axe de symétrie (O, z) permet de générer un

mouvement de translation du solide 4 par rapport au bâti 1.Les torseurs cinématiques associés aux liaisons écrits dans le repère fixe (O, x, y, z) sont :

12 23 34 45 56 61

D E

CB

CB D EO OO O OO

11 0 01 0

00 1 10 1

00 0 00 0; ; ; ; ;

00 z z0 0

zz 0 00 0

yy x x0

0

On constate que ce mécanisme satisfait les conditions du mécanisme traité dans le paragraphe

précédent. Il est composé d’un cycle unique contenant 6 liaisons à une seule liberté chacune.Il est donc facile de deviner qu’il est hyperstatique puisque le nombre des pièces est égal à 5.

L’équation de fermeture du cycle unique s’écrit :

12 23 34 45 56 61 0

Le système cinématique qui en découle est

12

23

34

D E 45

B C 56

B C D E 61

1 1 1 0 0 0(1) 0

0 0 0 1 1 1(2) 0

0 0 0 0 0 0(3) 0

0 0 0 z z 0(4) 00 z z 0 0 0(5) 0

0 y y x x 0(6) 0

.

Le rang maximal de la matrice associé est 5 puisque l’équation (3) est triviale. On en déduit

que le degré d’hyperstaticité minimal est égale à hmin= 6rang = 1. Puisque l’équation (3) qui

représente la somme des vitesses de rotation autour de l’axe z, l’hyperstatisme est due à un

surblocage en rotation suivant cet axe.

On doit chercher est ce qu’il peut exister des positions particulières où le degré

d’hyperstaticité sera supérieur à 1. Cela peut arriver lorsque le rang de la matrice est

inférieur à 5. Autrement dit il n’existe pas un déterminant extrait de la matrice de dimension 5qui peut être non nul.

Admettons que 12 soit la vitesse généralisée, sa colonne passe au second membre et il nous

reste après élimination de l’équation triviale (3) une matrice de dimension 5. Nous allons

chercher quand son déterminant sera nul.

D E

B C

B C D E

1 1 0 0 0

0 0 1 1 1

0 0 Z z 0 0

z z 0 0 0

y y x x 0

=D E

B C

B C D E

1 1 0 0

0 0 z z

z z 0 0

y y x x




D E D E

C B B C D E D E

C D E B D E

0 z z 0 z z

z 0 0 z 0 0 (z z )(x z z x ) 0

y x x y x x

Il existe deux solutions à cette équation. La première solution est que D E D E(x z z x ) 0 c'est-

à-dire que OD //OE , cette configuration ne peut être atteinte que si les deux points E et D

sont confondus, ce qui n’est pas permis par l’architecture du mécanisme. La seconde solutionest zB = zC, c'est-à-dire que la barre (3) sera bien horizontale. Cette position ne sera atteinte

que si les 4 barres (2), (3), (5) et (6) seront toutes horizontales. Nous concluons que pouréviter l’augmentation du degré d’hyperstaticité et par suite l’augmentation du degré de

mobilité il faut éviter la position où zB= zC=zD=zE=0. Cette position est dite position de

singularité pour ce mécanisme.

La question souvent posée dans le cas des mécanismes hyperstatiques est la possibilité

d’éviter l’hyperstatisme sans toucher à la mobilité. Une telle éventualité évite des conditions

géométriques sévères et par suite contribue à une diminution considérable du coût des pièces. Nous avons vu comment nous pouvons éliminer les efforts hyperstatiques à partir de l’étudestatique. Dans ce qui suit nous allons essayer d’atteindre le même objectif pour ce mécanisme

de Sarrus mais à travers l’étude cinématique réalisée précédemment.D’après le système cinématique ci-dessous, il suffit pour rendre le mécanisme isostatique de

rendre le rang de la matrice associée égal à 6. IL faut donc rendre l’équation (3) principale

tout en ajoutant une nouvelle liberté pour garder m = 1. La solution la plus évidente est

d’ajouter une rotation ij suivant l’axe z. Supposons que le centre de cette liberté aura pour

coordonnées (x, y, z) alors nous obtenons le nouveau système cinématique suivant :

12

23

34

45

D E

56

B C

61

B C D E

ij

1 1 1 0 0 0(1) 0 0

0 0 0 1 1 1(2) 0 0

0 0 0 0 0 0(3) 1 0

0 0 0 z z 0(4) y 0

0 z z 0 0 0(5) x 0

0 y y x x 0(6) 0 0

ij sera seule dans la ligne (3), elle est donc calculable (ij = 0). L’équation (3) est devenue

principale. Si on élimine la colonne ajoutée et l’équation (3) on aura 5 équations pour 6

inconnues comme précédemment d’où la mobilité est inchangée. Mais le plus intéressant est

que ce résultat est obtenu quelque soit la position de la liberté ajoutée. Nous déduisons que si nous associons la liberté ajoutée à une des 6 liaisons pour former une

liaison sphérique à doigt nous obtenons un mécanisme de Sarrus isostatique.

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