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  • Jean-Charles Rgin, Arnaud Malapert

    Thorie des Graphes

    Thorie des Graphes - 2015/2016

  • Remerciements

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    Didier MAQUIN (voir son site web)

    Didier MULLER

    2

  • Livres

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    Claude Berge : Graphes

    Michel Gondran et Michel Minoux : Graphes et

    Algorithmes

    Christian Prins : Algorithmes de Graphes

    Eugene Lawler : Combinatorial Optimization

    Ahuja, Magnanti et Orlin Network Flows

    R. Tarjan : Data Structures and Network Algorithms

    3

  • Introduction

    Thorie des Graphes - 2015/2016

  • Graphes : 3 aspects

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    Communiquer / Visualiser

    Dfinir des problmes

    Raisonner

    Pas que des algos : aussi des problmes

    5

  • Histoire

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    6

  • Histoire

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    7

  • Dfinitions

    Thorie des Graphes - 2015/2016

  • Graphe : dfinitions

    Un Graphe Orient (ou Digraph (directed graph)) G=(X,U) est dtermin par la donne :

    dun ensemble de sommets ou nuds X

    dun ensemble ordonn U de couples de sommets appels arcs.

    Le nombre de sommets dun arc est lordre du graphe

    Si u=(a,b) est un arc de G alors

    a est lextrmit initiale de u

    b lextrmit terminale de u.

    b est le successeur de a

    a et b sont adjacents

    Les arcs ont un sens. Larc u=(a,b) va de a vers b.

    Ils peuvent tre munit dun cot, dune capacit etc

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    9

  • Graphe

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    10

  • Graphe

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    On note par (i) : lensemble des arcs ayant i comme extrmit

    On note par +(i) : lensemble des arcs ayant i comme extrmit initiale = ensemble des arcs sortant de i

    On note par -(i) : lensemble des arcs ayant i comme extrmit terminale = ensemble des arcs entrant dans i

    (i) : ensemble des successeurs de i

    d+(i) : degr sortant de i (nombre de successeurs)

    d-(i) : degr entrant de i (nombre de sommets pour lesquels i est un successeur)

    11

  • Graphe non orient

    Un Graphe non orient G=(X,E) est dtermin par la

    donne :

    dun ensemble de sommets ou nuds X

    Dun ensemble E de paires de sommets appeles artes

    Les artes ne sont pas orientes

    Thorie des Graphes - 2015/2016

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  • Graphe non orient

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    13

  • Graphe : dfinitions

    Deux sommets sont voisins sils sont relis par un arc ou

    une arte

    N(i) : ensemble des voisins de i : ensemble des sommets j

    tels quil existe un arte contenant i et j

    Thorie des Graphes - 2015/2016

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  • Graphe complet

    Thorie des Graphes - 2015/2016

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  • Exercices

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    Reliez le nombre dartes et les degrs

    Montrez quun graphe simple a un nombre pair de

    sommets de degr impair

    Montrez que dans une assemble de n personnes, il y en

    a toujours au moins 2 qui ont le mme nombre damis

    prsents

    Est-il possible de relier 15 ordinateurs de sorte que

    chaque appareil soit reli exactement 3 autres ?

    16

  • Exercices (suite)

    Thorie des Graphes - 2015/2016

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    Essayez dexprimer (et non ncessairement de rsoudre)

    en termes de graphes les problmes suivants :

    Peut-on placer quatre dames sur un chiquier 4x4 sans

    quaucune delles ne puisse en prendre une autre ?

    Un cavalier peut-il se dplacer sur un chiquier en

    passant sur chacune des cases une fois et une seule ?

    Combien doit-on placer de dames sur un chiquier 5x5

    afin de contrler toutes les cases ?

  • Reprsentation des graphes en machine

    Thorie des Graphes - 2015/2016

  • Reprsentation des graphes

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    3 types de reprsentation qui ont chacune leur

    avantage et inconvnient

    Liste de successions

    Matrice dadjacence

    Matrice dincidence

    19

  • Liste de succession

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    20

    7

  • Matrice dadjacence

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    21

  • Matrice dadjacence

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    22

  • Matrice dadjacence

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    23

  • Matrice dincidence

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    24

    INVERSE

  • Matrice dincidence

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    25

  • Exercices

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    Pour chacune des reprsentations, calculer le cot des

    oprations suivantes

    Est-ce que i et j sont relis ?

    Combien i a-t-il de voisins ?

    Quels sont les voisins de i ?

    Supprimer larc (a,b)

    Supprimer le premier voisin de i

    26

  • Exercices

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    Tracer la matrice dadjacence du graphe

    On a calcul ci-dessous les matrices M2 et M3 (M est la

    matrice ci-dessus). Pour chacune de ces matrices, quoi

    correspondent les nombres obtenus ?

    27

  • Chemins, chanes, cycles et circuit

    Thorie des Graphes - 2015/2016

  • Chane

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    29

  • Cycle

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    30

  • Chemin

    Thorie des Graphes - 2015/2016

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  • Exercice : matrice dadjacence

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    On considre un graphe G = (E, U ) avec E=(A, B, C, D, E) et M sa matrice associe.

    Tracer le graphe reprsentatif de cette matrice.

    Dterminer la matrice dincidence de ce graphe.

    Calculer , i {1, 2, 3}. Rappeler la signification des coefficients non nuls de ces matrices.

    Calculer = + + 2+ 3 + 4. Donner une interprtation de A.

    0 1 0 1 0

    0 0 1 0 0

    0 0 0 0 1

    0 0 1 0 1

    0 0 0 0 0

    32

  • Exercice : matrice dadjacence

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    0 0 2 0 1

    0 0 0 0 1

    0 0 0 0 0

    0 0 0 0 1

    0 0 0 0 0

    2 =

    0 0 0 0 2

    0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0

    3 =

    1 1 2 1 3

    0 1 1 0 1

    0 0 1 0 1

    0 0 1 1 2

    0 0 0 0 1

    + +2 + 3+ 4=

    4 = 0

    33

  • Exercice: jeu des allumettes

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    Deux joueurs disposent de deux tas de trois allumettes,

    tour de rle chaque joueur peut enlever une ou deux

    allumettes dans un des tas. Le joueur qui retire la dernire

    allumette perd la partie.

    Modliser le jeu laide dun graphe.

    Que doit jouer le premier joueur pour gagner coup sr ?

    34

  • Graphe dtat

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    Chaque tat est reprsent par un sommet (x,y)

    indiquant le nombre dallumettes de chaque tas.

    On limine les symtries entre les tats (xy).

    Il existe un arc entre deux sommets A et B sil est

    possible de passer de ltat A a ltat B par une

    transition valide (enlever une ou deux allumettes

    dans un des tas).

    Notez que la transition entre (2,0) est (0,0)

    correspond un suicide, alors quon peut jouer un

    coup gagnant.

    35

  • Stratgie gagnante

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    Il faut retirer deux allumettes dun tas.

    Quel que soit le coup jou par

    ladversaire, on peut jouer un coup

    gagnant.

    36

  • Exercice : Die Hard !

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    37

    On souhaite prlever 4 litres de liquide dans un tonneau.

    Pour cela, nous avons notre disposition deux rcipients

    (non gradus !), lun de 5 litres, lautre de 3 litres...

    Comment doit-on faire ?

  • Exercice : Die Hard !

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    38

    Chaque tat est reprsent par un sommet (x,y) indiquant le nombre de litres dans la grande et la petite bouteille.

    Il existe un arc entre deux sommets A et B sil est possible de passer de ltat A a ltat B par une transition valide : vider une bouteille (V);

    remplir une bouteille (R);

    transvaser le contenu de la bouteille A dans la bouteille B jusqu ce que la bouteille A soit vide ou la bouteille B soit pleine (T).

    Solution : (0,0) R (5,0) T (2,3) V (2,0) T (0,2) R (5,2) T (4,3)

  • Exercice : dnombrement de chemins

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    39

    Supposons une grille de

    dimensions n x m (par ex. 4x4).

    Quelle est la longueur dun

    plus court chemin entre A et B ?

    Comment pouvez-vous

    reprsenter un tel chemin ?

    Combien y a t-il de plus courts

    chemins entre A et B ?

  • Exercice : dnombrement de chemins

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    40

    Supposons une grille de

    dimensions n x m (par ex. 4x4).

    Combien y a t-il de plus courts

    chemins entre A et B ?

  • Exercice 2 : dnombrement de chemins

    Thorie des Graphes - 2015/2016

    41

    #AB est le nombre de plus courts

    chemins entre A et B.

    #AB = 2*(#AC*#CB + #ADB)

    #AB = 2*(C(1, 3+1)^2 + 1)

    #AB = 2*(16+1)=34

  • Graphes eulriens

    Thorie des Graphes - 2015/2016

  • Chane et cycle eulrien

    Thorie des