THEOREME DE THALES
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THEOREME DE THALES
3° Avon 2010Bernard Izard
Chapitre
04-TH
I - PROPORTIONNALITEII – LE THEOREMEIII- UNE CONSEQUENCEIV – LA RECIPROQUEV – AGRANDISSEMENT/ REDUCT.VI- CONSTRUCTIONSVI- DEMONSTRATION
Thalès est né vers ~624 à Milet.
Notes biographiques
Il est mort au même endroit vers ~546.
On lui attribut sans certitude le théorème qui porte son nom
Milet, colonie grecque d’Asie Mineure qui fait maintenant partie de la Turquie.
Qui était Thalès ?
On ne sait que très peu de choses sur les œuvres de Thalès dans la mesure où il n’a laissé aucun écrit .
Mort vers 80 ans , il était mathématicien grec mais aussi commerçant, astronome, ingénieur, savant, et philosophe . Fondateur de l’école ionienne, il fut le premier des 7 Sages de la Grèce . Il est considéré comme le premier mathématicien de l’histoire .
Que lui doit-on ?
Concernant les mathématiques, il est à l’origine de 4 Théorèmes de géométrie élémentaire :
Tout diamètre partage un cercle en deux parties égales et superposables
Les angles d’un triangle isocèle sont égaux
— Deux angles opposés par le sommet sont égaux
—Un angle inscrit dans un demi cercle est droit
-deux triangles sont congruent s’il on deux angles et le côtés compris égaux
Lors d’un voyage en Egypte, Thalès de Miletaurait mesuré la hauteur de la pyramide de Kheops par un rapport de proportionnalité avec son ombre.
Par une relation de proportionnalité, il obtient la hauteur de la pyramide grâce à la longueur de son ombre.L'idée ingénieuse de Thalès est la suivante : « A l'instant où mon ombre sera égale à ma taille, l'ombre de la pyramide sera égale à sa hauteur. »
Citons : « Le rapport que j’entretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne. »
I PROPORTIONNALITE
A
B C
M N
(MN) // (BC)
Il y a proportionnalité entre les 2 triangles AMN et ABC
Triangle AMN
AM AN MN
Triangle ABC AB AC BC
Tableau de proportionnalité
AM AN MN
AB AC BC= =
II LE THEOREME DE THALES
1) Les configurations
Situation 4ème Situation papillon
2) L’énoncé du théorème
Soient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en A
Soient B et M deux points de (d ), distincts de A.
Soient C et N deux points de (d’ ), distincts de A.
Alors
Ce théorème permet de calculer des longueurs.
BC
MN
AC
AN
AB
AM
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles
configura
tio
n
Ex1:E
DC
P R
B
A
BD = 5 cm, PR = 4 cm, CD = 6 cm.
(CB) et (BD) se coupent en BC,P, B des points distincts de (CB)D,R,B des points distincts de (BD)
Comme (PR) et (CD) sont parallèles,
d’après le théorème de Thalès on a :
BC
BP
6
4
5
BR BR = 5 x 4 ÷ 6
3,33 cm.3
10
CD
PR
BD
BR
Les données sont celles de la figure(PR)//(CD). Calculer BR.Donner une valeur exacte et éventuellement une valeur approchée à 0,01 centimètre près.
Remplaçons:
BC
BP
BR =
Config.
E
DC
P R
B
A
(ED)et(AC) sont 2 droites sécantes en BE,B,D points distincts de (ED)A,B,C points distincts de (AC)
Comme (EA) et (CD) sont parallèles d’après le théorème de Thalès on a :
DC
EA
BC
BA
BD
BE
65
2 EA EA = 6 x 2 ÷ 5
(produit en croix)EA = 2,4 cm.
Les données sont celles de la figure (EA)//(CD). Calculer EA. Donner une valeur exacte et éventuellement une valeur approchée à 0,01 centimètre près.
BD = 5 cm, PR = 4 cm, CD = 6 cm.
Ex2:
III-VARIANTE (CONSÉQUENCE)
les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
Soient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en A Soient B et M deux points de (d ), distincts de A.Soient C et N deux points de (d’ ), distincts de A.
AM AN
AB ACSi alors
Si les rapports ne sont pas égaux alors les droites ne sont pas // car, le Th. de Thalès dit que si elles sont // les rapport doivent être égaux
Cette 2° forme du théorème (variante, conséquence ou contraposée) permet de prouver que des droites ne sont pas //
Ex: Dans la configuration de la figure ci-contre avec MI = 8 cm, MC = 12 cm, MJ = 13 cm, MB = 21 cm. Indiquer si les droites (IJ) et (CB) sont parallèles.
M
I
C
J
B
Nous sommes dans une configuration de Thalès
CM) et (BM) deux droites sécantes en M. C,I,M des points distincts de (CM). B,J,M des points distincts de (BM)
Comparons:
D’une part D’autre part
Car les produits en croix sont différents
8 2
12 3
MI
MC 13
21
MJ
MB
2 13
3 21
MI MJ
MC MBcomm
e(IJ) et (CB) ne sont pas // d’après la conséquence du Th. De Thalès
IV-RECIPROQUESoient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en
A.Soient B et M deux points de (d ), distincts de
A.Soient C et N deux points de (d’ ), distincts
de A.
AC
AN
AB
AMSi
si les points A, M,B et les points A, N,C sont dans le même ordre
Alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Cette réciproque permet de démontrer que des droites sont parallèles.
et
Ex1: Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?
4
3
CE
CA
4
3
12
9
6
5,4
CD
CB
On a
et
De plus les points A, C et E et les points B, C et D sont dans le même ordre
d’après la réciproque du théorème de Thalès,
(AB) et (DE) sont parallèles.
donc CD
CB
CE
CA
B
C
P
R
D
E
1,5
A
3
4,5
2
4
2,5
Ex2: Les droites (PR) et (DE) sont-elles parallèles ?
B
C
P
R
D
E
1,5
A
3
4,5
2
4
2,5
On a
et
(PR) et (DE) ne sont pas parallèles.
3
2
6
4
CD
CP
8
5
4
5,2
CE
CR
donc CE
CR
CD
CP
D’après la conséquence du théorème de Thalès.
II-AGRANDISSEMENT-REDUCTION
Ex1:
1cm
1cm
3cm
3cmX 3
Aire = 1x1
Aire = 1 cm²
Aire = 3x3
Aire = 9 cm²X 9
X 3²
Ex2:
X 3
X 9
X 27
1cm1c
m1cm
3cm
3cm
3cm
Aire totale =1x1x6
Aire totale = 6 cm²
Aire totale=3x3x6
Aire totale = 54 cm²X 3²
Volume = 1x1x1
Volume = 1 cm3
Volume = 3x3x3
Volume = 27 cm3
X 33
Ex3:
X 2
X 4
X 8
Aire base 3,14x05²
Aire base 0,785 cm² X 2²Volume 0,785x1
3
Volume 0,2617cm3
Volume 3,14x2
3
Volume 2,093cm3
X 23
Aire base 3,14x1²
Aire base 3,14 cm²
1cm
1cm
2cm
2cm
Longueurs
Si dans un agrandissement ou une réduction les dimensions sont dans le rapport k alors les aires sont dans le rapport k² et les volumes dans le rapport k3
Ex1: Une pizza pour une personne mesure 10 cm de diamètre. Combien de personnes peut-on prévoir avec une pizza de 30 cm de diamètre ?
Ex2: L’autopsie d’une cerise fait apparaître que le diamètre du noyau est exactement égal à l’épaisseur de sa chair. Si noyau et chair ont la même densité, combien faut-il de noyaux dans une balance pour équilibrer une cerise ?
Ex3: La Fée Jivaro réduit les humains au dixième de leur taille. Je mesurais 1,80 m et je pesais 80 kg. Après le sort de la Fée je ne mesure plus que 18 cm. Quel est mon poids actuel ?
9 personnes
27 noyaux
80g
Ex4: La Tour Eiffel mesure environ 300m et pèse environ 8000 tonnes. On construit un modèle réduit avec le même métal de 1m de hauteur. Quel est le poids de la maquette ?
0,3 kg
THEOREME DE THALES
Revoir les exercices
Apprendre le cours
FIN