THEME Etude des propriétés magnétiques du modèle de … · 2019-11-06 · Page 1 Introduction...

République Algérienne Démocratique et Populaire

MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

Université de Larbi Tébessi -Tébessa -

Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie

Département des Sciences de la Matière

MEMOIRE DE MASTER

Domaine : Sciences de la matière

Filière : Physique

Option : Physique de la matière condensée

THEME

Etude des propriétés magnétiques du modèle de

Heisenberg par la méthode de développement en séries

Présenté par :

Ghaoui Amel

Devant le jury

Manssour Mohamed El Hadi M.A.A Univ. LarbiTébeesi Président

Tag Mohamed Amin M.A.A Univ. LarbiTébeesi Rapporteur

El-Hassasna Amira M.A.B Univ. LarbiTébeesi Examinateur

Soutenue le Lundi 30/ 05 / 2016

Note :…………………. Mention :……………….

ملخص

ملخص

بطريقة النشر ) في بعد واحد وذلك1/2(سبين بدراسة الطاقة الحرة لنموذج ھايزنبرغ نختص في ھذه المذكرة

على دورات كل أجل ذلك نھدف إلى برمجة ھذه الطريقة بطريقة آلية، وجدنا خوارزمية معتمدة المتسلسل من

ثقوب والمخطط غير القابل n الثقوب،تعميم لبعض المخططات (اثنين من مخطط، ونتيجة لذلك وجدنا

لالختزال).

Abstract

Abstract

Specialize in this note examining the free energy of the model Heisenberg (spin 1/2) in one

dimension in a way serial publication for that aim to programming this way automatically, we found

a certified algorithm on the courses each scheme, and as a result we found circulating for some

schemes (two holes, n holes and planned irreducible).

Résumé

Résumé

Ce mémoire est consacré entièrement pour étudié l’énergie libre de modèle de Heisenberg de

spin1/2 à une dimension par la méthode de développement en série. Pour le but d’automatisé

cette méthode nous avons trouvé un algorithme basé sur les cycles de chaque diagramme, et

comme résultat nous avons généralisé quelque diagramme (deux trous, n trous et diagramme

irréductible).

Remerciement

Je remercie en premier lieu Dieu le tout puissant de nous avoir

accordé la puissance et la volonté pour terminer ce travail.

Je remercie Tag Mohamed Amin maitre assistance A à l’université de

Tébessa, de m’avoir proposé ce sujet de recherche, et pour m’avoir

accepté de diriger ce thèse, je tiens à lui exprimer ma gratitude qui

m’a apporté tout le long de ce travail.

Je remercie vivement Mr. Mohamed El Hadi Manssour maitre

assistance A à l’université de Tébessa, d’avoir accepté d’être président

de mon jury de thèse .Mes remerciement vont aussi à El-Hassasna

Amira maitre assistance B à l’université de Tébessa, qui est accepté de

lire et d’examiner mon travail.

Toutes mes reconnaissances et remerciements les plus chaleureux à

touts les enseignants du département de la science de la matière, qui

ont assuré notre formation le long de toutes mes années d’études.

Toutes mes reconnaissances et remerciements spécial à Pr. Fayçal

Chamem.

J’adresse mes vifs remerciements à ma famille mon père Bouguerra

ma mère Henia mon frère Mounir et sa marié Bassma, mes sœurs

Dounia, Radja et ses enfants pour son soutien moral, mon fiancé

Zakaria et mon chère intime Sara, koutaiba.

Je remercie également tous mes amis et camarades qui ont rendu leur

côtoiement si agréable et je remercie aussi Sami Abdelmalek et toutes

les personnes qui m’ont aidé de prêt ou de loin pour la réussite de ce

travail.

AMEL

Dédicace

Je dédis ce mémoire

A ma chère famille

Mon père et ma mère, mon frère Mounir et sa marie Bassma, mes sœurs Radja et son mari Rochdi, Dounia et son fiancé

Hakim, et je prie dieu de les protéger, de les sauvegarder et de leur donner une

longue vie

A la mémoire de mon cher grand père.

A ma chère grande mère.

A mon fiancé Zakaria.

A ses enfants Takoi,Fouad,Douaa

A mon chère amie Sara, Koutaiba.

Petit ou grand, proche ou lointaine.

AMEL

Sommaire

Sommaire

SOMMAIRE ملخصRésumé Abstract Remerciement Dédicace Sommaire Table des figures …………………………………………………………………………….i Liste des tableaux……………………………………………………………………………ii Liste des symboles…………………………………………………………………………..iii Introduction générale ………………………………………………………………………01 Chapitre I Modèle de Heisenberg I-1-Introduction…………………………………………………………………………………….3 I-2-Modèle de Heisenberg………………………………………………………………………….3 I-3-Hamiltonien de Heisenberg………………………………………………………….................3

I-4-Interaction d’échange………………………………………………………………..................4 I-5-Les ondes de spin……………………………………………………………………................5 I-6-Théorie des ondes de spin……………………………………………………………...............5 I.6.1.Cas ferromagnétique…………………………………………………………………......5 I.6.1.1.Cas semi classique…………………………………………………….................5 I.6.1.2.Cas quantique………………………………………………………….............. .6 I.6.2.Cas antiferromagnétique………………………………………………………………..6 I.6.2.1.Cas semi classique………………………………………………………............6 I.6.2.2.Cas quantique………………………………………………………………...6

I-7-Présentation de quelque type de comportement magnétique……………………… ……..6 I.7.1.Diamagnétisme…………………………………………………………………………7

I.7.2.Paramagnétisme……………………………………………………………...................7 I.7.3.Ferromagnétisme………………………………………………………………………..8

Chapitre II

Chaine de spin xxz

II-1-Introduction…………………………………………………………………………….…..10 II-2-Les types des chaînes de spin……………………………………………………………....10 II.2.1.La Chaîne de spin XXX…...........................................................................................10 II.2.2.La Chaîne de spin XXZ ……………………………………………………………...10 II.2.3.La chaîne de spin XYZ ………………………………………………………………11

Sommaire

II-3-Interprétation quantique de l’excitation magnétique………………………………….……11 II-4-Hamiltonien de spin et transformation de Wigner-Jordan…………………………………12 II-5-Hamiltonien de spin et transformation de Fourier…………………………………………14 II-6-La méthode de développement en série…………………………………………………....17 II.6.1.La fonction de partition……………………………………………………………...17 II.6.2.L’énergie moyenne………………………………………………………………......18 II-7-Formalisme général………………………………………………………………………...18 II.7.1.La série de perturbation…………………………………………………………......18 II.7.2.L’énergie libre…………………………………………………………………….....19 II.7.3.Les cycles mathématiques…………………………………………………………...21 II-8-La représentation en diagrammes des termes de Z………………………………………...22 II.8.1.Nouvelle description des diagrammes……………………………………………..23 II.8.2.Les nombres des états………………………………………………………….......24 II.8.3.Les présentations des diagrammes………………………………………………...25 II.8.3.1.Première ordre……………………………………………………………..25 II.8.3.2.Deuxième ordre…………………………………………………………...25 II-9-Déduire l’énergie libre à partir de diagramme…………………………………………......26

Chapitre III

Application de la méthode de développement en série

III-1-Calcule l’énergie libre à l’ordre 4……………………………………………………………..30

III-2-Généralisation de l’énergie libre de quelque diagramme……………………………………..45

III.2.1.Pour le diagramme deux trous………………………………………………………...45

III.2.2.Pour le diagramme de trous………………………………………………………….46

III.2.3.Pour le diagramme irréductible………………………………………………………..47

III-3-Programme pour les diagrammes de Hugenholtz…………………………………………….48

III.3.1.La solution de l’équation de cycle…………………………………………………….48

III.3.2.Généré la liste des positions de lignés sortant………………………………………...49

Conclusion générale………………………………………………………………………………..51

A. Annexe………………………………………………………………………………………….52

A1. Programme de générations les diagrammes de Hugenholtz………………………………….52

A2.Code pour désigner les diagrammes en Mathematica…………………………………………68

A3. Résultats des diagrammes……………………………………………………………………..69

Références.

Liste des figures

i

Figure N° Titre Pagefigure (I-1) Lignes de champs de deux dipôles magnétiques 4 figure (I-2) Variation thermique de la susceptibilité magnétique pour une

substance diamagnétique 10

figure (I-3) variation thermique de la susceptibilité magnétique pour une substance paramagnétique

11

figure (I-4) Variation thermique de la susceptibilité magnétique pour une substance ferromagnétique

13

figure (II-1) La décomposition d’operateur S en fonction de xS et yS 12

figure (II-2) Représentation des interactions 22 figure (II-3) Echange de et de 22

figure (II-4) Dédoublement de la ligne d’interaction 1 22 figure (II-5) les cycles , , correspondant aux cycles (26), (3), (145) 23 figure (II-6) Représentation le diagramme dans le cas première ordre 25 figure (II-7) les cycles A, B, C correspondant les cycles (1), (2), (1,2) 26 figure (II-8) Représentation de diagramme 26 figure (II-9) les arbres de diagramme 27 figure (II-10) Représentation l’arbre A 28 figure (III-1) Représentation le diagramme correspondant l’ordre 1 30 figure (III-2) Représentation les diagrammes et correspondant l’ordre 2 31 figure (III-3) Représentation le diagramme 1 correspondant l’ordre 3 32 figure (III-4) Représentation , , correspondant le diagramme 1 33 figure (III-5) Représentation , , correspondant le diagramme 1 34 figure (III-6) Représentation , ′′, ′′′, ′′′′ correspondant le diagramme 1 36 figure (III-7) Représentation le diagramme 2 37 figure (III-8) Représentation le diagramme 3 38 figure (III-9) Représentation le diagramme 4 39 figure (III-10) Représentation le diagramme 5 39 figure (III-11) Représentation le diagramme 1correspondant l’ordre 4 40 figure (III-12) Représentation le diagramme 2 40 figure (III-13) Représentation le diagramme 3 41 figure (III-14) Représentation le diagramme 4 41 figure (III-15) Représentation le diagramme 5 42 figure (III-16) Représentation le diagramme 6 43 figure (III-17) Représentation le diagramme 7 44 figure (III-18) Représentation le diagramme 8 44 figure (III-19) Le diagramme deux trous 45 figure (III-20) Le diagramme de n trous 46 figure (III-21) Le diagramme irréductible 47

Liste des tableaux

ii

Tableau N° Titre PageTableau (I-1) les susceptibilités du Si et Se 7

Tableau (I-2) les susceptibilités du Na et Pt 8

Liste des symboles

iii

Symboles Sens physique, , Les composantes d’opérateur vectoriel

Les matrices de Pauli L’opérateur création

Moment magnétique

Champ magnétique

μ Le magnéton de Bohr g Le rapport gyromagnétique

S L’opérateur de spin

h Champ magnétique externe

j , Constante d’échange Le Hamiltonien

a L’opérateur création a L’opérateur d’annihilation n Nombre d’opérateur

Température de curie

Température de Néel

La susceptibilité magnétique

XXX, XYZ, XXZ Le Hamiltonien de la chaîne de spin

Δ Paramètre d’anisotrope

, , , Les indices de somation

, La règle d’anti commutation

Z La fonction de partition

Constante de Boltzmann

L’énergie moyenne

T L’ordre chronologie

F L’énergie libre

Ψ La fonction d’onde | | Les éléments de matrice

, , Les cycles

, , Définit la classe de la permutation

Γ Le diagramme

Les arbres

, , Les dénominateurs d’énergie

, , , Les facteurs statistiques

Le potentiel

L’énergie libre pour la grandeur irréductible

, Les diagrammes pour l’ordre 2 A, B, C Les arbres pour l’ordre 3

, , , , , , , ′′, ′′′, ′′′′

Les diagrammes correspondant le diagramme 1

D, E, F Les arbres pour l’ordre 3N Le nombre de site

P, Q Les cycles1", 1 Les deux lignes pour l’interaction 1

Liste des symboles

iv

, , Les composantes des matrices de Pauli

A, B Les sous-réseaux

Introduction

générale

Introduction générale

Page1

Introduction

Ce mémoire est consacré entièrement aux thermodynamiques de chaine XXZ spin

quantiques. Il s’agit des modèles des particules de spin 1/2 (ou plus généralement de spins) situées

sur les sites d’un réseau qui interagissent avec leurs voisins les plus proches. Introduites

initialement par Heisenberg [1] en 1928 comme une tentative d’élaborer une théorie pour la

transition ferromagnétique.

Les années 20, la chaîne XXX est un chaîne de spin quantique a été introduite par

Heisenberg en 1928, Dans les années 40 et 50, La solution pour le modèle d’Ising en 2 dimensions

proposée par L.Onsager en 1942 et publiée 2 ans plus tard [2] a joué un rôle aussi important que

l’ansatz de Bethe pour l’´etude des modèles solubles exactement. Cette approche (ainsi que ses

versions plus simples introduites par B. Kaufman [3] et par G. Newell et E. Montroll [4]) est à

l’origine de toutes les méthodes algébriques en physique statistique à 2 dimensions. Entre autres la

chaîne de spin anisotrope XXZ (qui est l’objet central de ce mémoire) a été résolue par R. Orbach

[5,6] par l’ansatz de Bethe.

Le mémoire est structuré comme suit :

Après une introduction générale, dans le Chapitre 1 de ce mémoire est consisté pour l’étude

le modèle d’Heisenberg dépend fortement du signe de la constante de couplage et la dimension de

l’espace pour positive de l’état ferromagnétique ou négative de l’état antiferromagnétique et aussi

l’étude les ondes des spins pour les cas ferromagnétique et antiferromagnétique (classique et

quantique).Le deuxième d’objet étude les propriétés magnétiques (paramagnétique, diamagnétique,

ferromagnétique).

Chapitre 2 de ce mémoire nous donnons une présentation de la modèle de Heisenberg à une

dimension (ou quasi-périodique) de spin ½, pour ce cas nous utilisons la transformation de Wigner-

Jordan et aussi la transformation de Fourier. La dernière forme Hamiltonian de ce modèle est traitée

par la méthode de développement en série et à l’aide de description diagramme de Hugenholtz, la

difficulté rencontre pour trouver toutes les diagrammes est résolue partiellement par séparation les

cycles de chaque diagramme.

Le dernière chapitre concerne à programmer les cycles de chaque diagramme par le langage C++ et

aussi par le logiciel Mathematica pour illustré ces diagrammes. Nous avons calculez à l’énergie

libre à l’ordre 4 et généralisé quelque diagramme formelle (deux trous, n trous, et le diagramme

irréductible). Finalement le mémoire est terminé par une conclusion générale.

Introduction générale

Page2

Références

[1] W. Heisenberg. Zur Theorie der Ferromagnetismus. Zeitschrift f¨ur Physik, 49:619–

636, 1928.

[2] L. Onsager. A two dimensional model with an order-disorder transition. Phys. Rev,

65:117–149, 1944.

[3]B. Kaufman .Crystal statistics. ii. partition function evaluated by spinor analysis.

Phys. Rev., 76(8):1232–1243, Oct 1949.

[4]G. F. Newell and E. W. Montroll. On the theory of the ising model of ferromagnetism.

Rev. Mod. Phys., 25(2):353–389, Apr 1953.

[5] R. Orbach. Linear antiferromagnetic chain with anisotropic coupling. Phys. Rev.,

112:309–316, 1958.

[6] L. R. Walker. Antiferromagnetic linear chain. Phys. Rev., 116:1089–1090, 1959.

Chapitre I

Modèle de

Heisenberg

Chapitre I Modèle de Heisenberg

Page3

I-1-Introduction

Le premier chapitre est consacré à l’étude du modèle d’Heisenberg qui traite les interactions

entre les spins. Ce modèle dépend fortement du signe de la constante de couplage ; positive pour

l’état ferromagnétique ou négatif pour l’état antiferromagnétique. On a présenté aussi l’étude les

ondes des spins pour les cas ferromagnétique et antiferromagnétique (classique et quantique). Les

propriétés magnétiques (paramagnétique, diamagnétique et ferromagnétique), ont été discutées dans

ce chapitre.

I-2-Modèle d’Heisenberg

Ce modèle permet de traiter directement un ensemble de spins en interaction relative qui

dépend de la distance entre les proches voisins [1].

Le spin est le moment cinétique intrinsèque de particule. Il s’agit d’un opérateur vectoriel à

trois composantes , , .

Dans le cas de spin 1 /2, on peut définir les opérateurs de spin en fonction des opérateurs

créations et annihilation sous la forme suivante :

∑ , (I.1)

Où sont les matrices de Pauli :

0 11 0

, 00

, 0 11 0

I-3-Hamiltonien de Heisenberg

L'énergie d'interaction entre un moment magnétique et un champ magnétique est défini

par la relation suivante . .on peut représenter les deux moments magnétiques et par

deux petits aimants qui sont orientés de façon antiparallèle pour minimiser leur énergie comme sur

la figure (I.1) :


Page4

Figure (I.1): Lignes de champs de deux dipôles magnétique

L’hamiltonien d’Heisenberg décrit un ensemble de moments magnétiques localisés en interaction

dans la théorie du magnétisme quantique.

Où l’expression de cet Hamiltonien est :

∑ , . ∑ (I.2)

Oùμ est le magnéton de Bohr

g : est le rapport gyromagnétique

S : est un opérateur de spin

h : est le champ magnétique externe

j , : est la constante d’échange. Pourj , 0 l’interaction est antiferromagnétique et pour

elle j , 0est ferromagnétique.

I-4-Interaction d’échange

L’interaction d’échange soit due à l’interaction coulombienne entres les électrons et puisse

donc être obtenue avec un Hamiltonien indépendant du spin, il est souvent pratique de construire un

Hamiltonien de spin, appelé Hamiltonien de Heisenberg dont les valeurs propres sont les mêmes

que celles de l’Hamiltonien de départ pour les niveaux de basse énergie.

L’expression d’Hamiltonein de Heisenberg s’écrit sous la forme [2] :

∑ , (I.3)

S

S


Page5

Pour les matériaux isolants l‘Hamiltonien est applicable [3], mais il ne s’applique généralement

pas pour les métaux [4], où des modèles de type Stoner qui reposent sur la structure de bandes

d’énergie sont plus adaptés .Une discussion de l’hamiltonien de Heisenberg et des termes

additionnels nécessaires pour décrire certains couplage (double échange, Dzyaloshinski-Moriya,

etc.) [5].

Si l’hamiltonien de Heisenberg quantique rencontre un certain nombre de difficultés en présence

d’électrons délocalisés, il est cependant souvent possible de définir, à partir de calculs ab initia, un

hamiltonien de Heisenberg classique, c’est –à-dire pour lequel et sont des vecteurs à trois

composantes et de norme constante [6] .Pour les métaux, ce hamiltonien n’est en toute rigueur

utilisable que pour des petits écarts à l’état fondamental. Le model de Heisenberg a été utilisée avec

succès sur différents systèmes, tels que les semi –conducteurs dilués [7] ou les métaux [8]. Il est

important de noter que la portée du couplage d’échange peut alors s’étendre bien au-delà des

premiers voisins, comme dans le fer cubique centré.

I-5-Les ondes de spin

Dans les systèmes magnétiques (ferromagnétique, antiferromagnétique, ferrimagnétique) la

symétrie de rotation des moments magnétiques et l’invariance par renversement du temps sont

brisées spontanément. Lorsque la symétrie brisée est une symétrie continue il existe un théorème du

à J.Goldstone [9] selon lequel il doit apparaitre des modes d’excitations de basse énergie à basse

température ces excitations magnétiques sont appelés magnons ou onde de spin.

I-6-Théorie des ondes de spin

Nous commençons par rappeler, d’un point de vue semi classique, la description des

excitations magnétiques des systèmes infinis. Nous décrirons ensuite le formalisme quantique qui

nous permet de déterminer les énergies des spins.

I.6.1. Cas ferromagnétique

I.6.1.1. Cas semi classique

Il est souvent utile de commencer par étudier la limite dite semi classique ou les spins sont

assimilés à des vecteurs classiques à composantes de longueur unité. Considérons, par exemple, un

arrangement régulier de spin à une dimension coulée par des interactions d’échange

ferromagnétique [10].


Page6

I.6.1.2. Cas quantique

Dans un système ferromagnétique, une onde de spin est un état propre de l’Hamiltonien

d’Heisenberg, commençons donc à introduire l’Hamiltonien d’interaction entre les spins S et S :

H J∑ S S

Ou∑ désigne la somme sur les paires de premiers voisins d’un réseau de Bravais magnétique.

I.6.2. Cas antiferromagnétique

I.6.2.1. Cas semi classique

L’etat fondamental est l’état de Néel avec tous les spins ↑sur le sous-réseau A et tous les

spins ↓sur le sous réseau B. Dans le cas d’une chaine linéaire antiferromagnétique, la description

des ondes de spin est analogue à celle décrite pour une chaine linéaire ferromagnétique.

I.6.2.2. Cas quantique

Dans le cas antiferromagnétique, l’état fondamental de l’Hamiltonien de Heisenberg est

inconnu sauf dans le cas de la chaine de spin 2

1 [11] .Bien que l’état de Néel ne soit pas l’état

fondamental exact de H, nous estimons qu’il s’en approche suffisamment pour servir de point de

départ à une approximation de Holsten –Primakoff.

L’état de Néel consiste en un partage du réseau cristallin en deux sous réseaux identiques et

intercalés. Notons que cette décomposition de réseau est valable pour un réseau bipartite mais pas

pour un réseau triangulaire ou hexagonal.

I-7-Présentation de quelque type de comportement magnétique

A l’état libre, nous disons qu’un atome est magnétique s’il est porteur d’un moment

magnétique permanent représenter par un vecteur de module constant. Toute substance matérielle

est formée d’un ensemble d’atome qui peuvent être soit non magnétique soit magnétique ; dans ce

dernier cas, la direction et parfois le module du moment magnétique peuvent dépendre de

l’environnement particulier de chaque atome (nature et position des atomes voisin, température,

champ magnétiques appliqués).


Page7

Nous allons maintenant présenter très sommairement les principaux types de comportements

magnétiques. Ces principaux types de magnétique sont les suivant : diamagnétique, paramagnétique

et ferromagnétique [12].

I.7.1. Diamagnétique

Ce type de magnétique est caractérisé par une susceptibilité relative négative (fig. I.2), de

faible amplitude. Le diamagnétisme est dû à un mouvement orbital des électrons , provoqué par le

champ appliqué .Ce mouvement peut être assimilé à un courant microscopique dont le

comportement serait comparable à celui d’un courant induit dans un solénode .En vertu de loi de

Lenz ,le courant induit s’oppose au champ qui le produit ,ce qui est en accord avec le fait que

est négatif.

Tableau (I.1) : les susceptibilités du Si et Se

Figure (I.2) : variation thermique de la susceptibilité magnétique pour une substance diamagnétique [12]

I.7.2. Paramagnétique

Le paramagnétique est caractérisé par une susceptibilité relative positive ,de faible

amplitude c'est-à-dire comprise entre 10 et10 .Il se rencontre dans les substances dont les

atomes possèdent un moment magnétique permanent ,lorsque ces moments ne sont pas couplés les

uns aux autres .Sous l’action d’un champ magnétique ,ces moments tendent à s’aligner .Toutefois

,la polarisation qui en résulte demeure très faible ,car l’effet de l’agitation thermique qui oriente

aléatoirement les moments magnétiques reste prépondérant.

Tableau Matière Matière Si - 1,2. 10-6 Se - 4,0. 10-6

Τ


Page8

Tableau (I.2) : les susceptibilités du Na et Pt

Tableau

Matière rX Matière rX

Na 8,6. 10-6 Pt 1,2. 10-5

Figure (I.3) : variation thermique de la susceptibilité magnétique pour une substance paramagnétique [12]

I.7.3.Ferromagnétique

Le ferromagnétique est le type de magnétisme résultant de l'alignement de moments

magnétiques permanents, ces moments étant orientés parallèlement les uns aux autres par une

interaction mutuelle appelée couplage ferromagnétique. Les matériaux ferromagnétiques présentent

donc également une polarisation spontanée. Ce qui a été dit pour les matériaux ferrimagnétiques,

concernant le retour à une distribution aléatoire des moments magnétiques sous l'effet d'une

élévation de température, s'applique également ici (Figure I.4). Les matériaux ferromagnétiques ont

aussi une température de Curie , au-dessus de laquelle ils deviennent paramagnétiques, leur

susceptibilité suivant alors la loi de Curie-Weiss.

1

Τ


Page9

Figure(I.4) :variation thermique de la susceptibilité magnétique pour une substance ferromagnétique

1

1

Chapitre II

Chaîne de spin

XXZ

Chapitre II Chaîne de spin XXZ

Page10

II-1-Introduction

Ce chapitre est consacré entièrement aux chaînes de spins quantiques, modèle

unidimensionnels étudiés depuis presque 80ans. Elle se trouve aujourd’hui dans les domaines de la

physique et des mathématiques si différents qu’on les appelle parfois « l’oscillateur harmonique du

XXI siècle ».

Il existe aujourd’hui des applications directes de ces modèles en physique de la matière

Condensée, en optique quantique, en physique de particules [13], le présent travail porte sur

quelque types des chaînes de spin comme la chaîne XYZ qui est appliquée en physique statistique et

la chaîne XXX a été introduite par Heisenberg en 1928 et la chaîne de spin XXZ (qui est l’objet

central de ce chapitre) a été résolue par R. Orbach [14,15] par l’ansatz de Beth.

II-2-Les types des chaînes de spin

II.2.1.La Chaîne de spin XXX

Considérons une chaîne de spins quantiques 1/2 placés sur M sites, avec des conditions de

bord périodiques. Soit la représentation de spin 1/2 de SU(2), et l’espace du é

spin; le Hamiltonien de la chaîne de spin XXX, qui agit donc sur l’espace de Hilbert ⊗ ⊗ , est

2∑ .

(II.1)

L’interaction entre spins est antiferromagnétique, donc même le vide de la théorie n’est pas trivial

[16].

II.2.2.La chaîne de spin XXZ

Le Hamiltonien de la chaine de spin 1/2 XXZ dans un champ magnétique extérieur h

Parallèle à l’axe z s’écrit sous la forme :

∑ Δ ∑ (II.2)

O ù ∆ est un réel fixé et h champs extérieurs. Cette Hamiltonien agit dans l’espace

⊗V ⊗…V .

D’après la valeur du paramètre d’anisotrope∆, il existe trois phases du système :

ferromagnétique, désordonnée et antiferromagnétique .S’il n’y a pas de champ magnétique

extérieure on obtient le régime ferromagnétique si ∆ 1 , le régime désordonné si |∆| 1 et le

régime antiferromagnétique si ∆ 1et aussi il y a plusieurs cas spéciaux du modèle XXZ ,en

particulier le point ∆=1(ou la chaine XXX, le modèle initialement introduit par Heisenberg [17] et

résolu par Bethe en 1931 [18] et le point de fermion libres ∆ 0


Page11

II.2.3.La Chaîne de spin XYZ

Le modèle XYZ de spin 1/2 est un modèle typique de la physique statistique, le magnétisme

unidimensionnel et de la communication quantique. La première solution exacte du modèle avec

limites périodiques état a été dérivée par Baxter [19, 20, 21,22] repose sur sa relation avec le

intrinsèque bidimensionnelle modèle à huit vertex classique. Dans ses célèbres œuvres de la série, la

fondamentale l'équation (l'équation de Yang-Baxter [23, 24,25]) a été mis en valeur et la méthode T

- Q était proposée. Par la suite, Takhtajan et Faddeev [26] ont résolu le modèle par la méthode de

l’Ansatz de Bethe algébrique [27,28]. Dans les deux Baxter et Takhatadzhan et Faddeev les

approches, transformation de jauge locale a joué un rôle très important dans l'obtention d'un vide

local approprié État (ou état de référence) avec laquelle les états généraux Bethe peuvent être

construits. Cependant, un état de référence approprié est jusqu'à présent uniquement disponible pour

les même N (le nombre de sites du réseau).

Le hamiltonien de la chaîne de spin 1/2 XYZ s’écrit sous la forme :

∑ (II.3)

II-3-Interprétation quantique de l’excitation magnétique

Dans le cas ferromagnétique, F .Bloch a montré qu’un magnons unique est un état propre

exact du Hamiltonien de Heisenberg. Pour pouvoir traiter le cas d’un nombre thermodynamique de

magnons, il est nécessaire d’avoir recours à des approximations basées sur la seconde

quantification.

La procédure de seconde quantification consiste à remplacer les coefficients complexes des modes

de Fourier du développement du champ scalaire par des opérateurs abstraits [29] :

appelé opérateur de création

appelé opérateur de d’annihilation

Ces opérateurs obéissent, par définition, à la règle de commutation canonique :

, , (II.4)

Le spin est un opérateur vectoriel, s’écrits , , , On définit les opérateurs et par les

relations suivantes :

(II.5)


Page12

Figure (II.1) : La décomposition d’operateur en fonction de et

II-4-Hamiltonien de spin et transformation de Wigner-Jordan

Dans cette partie nous étudions la transformation de Wigner-Jordan cette dernier consiste à

remplacer les opérateurs de par des opérateurs de pseudo-fermions grâce aux relations :

1 ∑

1 ∑

(II.6)

Où kC correspond à l’opérateur de création (annihilation).

À partir l’équation (II.5) nous trouvons (II.7) sous forme :

(II.7)

Alors l’Hamiltonien XXZ s’écrit :

∑ ∆∑ ∑ (II.8)

À partir la règle d’anti commutation :

, , (II.9)

Nous remplaçons (II.7) dans (II.8) pour obtenir la relation suivante :

xSS

yS

zS


Page13

21 ∑ ∞ 1 ∑ ∞

21 ∑ ∞ 1 ∑ ∞

∆ 12

12

12 . 10

2 2∆

2∆

2∆ ∆

14

12 . 11

On utilise les relations suivantes :

(II.12)

Et la périodicité :

(II.13)

Donc l’Hamiltonien XXZ s’écrit :

∑ ∆∑ ∆ ∑ ∆

. 14

Après la transformation de Jordan-Wigner l’hamiltonien devient :

2 2∆

∆ ∆4 2

. 15


Page14

II-5-Hamiltonien de spin et transformation de Fourier

La transformation de Fourier des opérateurs de création et d’annihilation :

√∑

√∑

(II.16)

Avec :

N : est la longueur de la chaîne ou encore le nombre de sites.

Nous remplaçons (II.16) dans (II.15) et nous trouvons :

∑ ∑ , ∑ ∑

,

∆ ∑ , , , ∆ ∑ ∆

(II.17)

2

2

2∆

, , ,

∆ ∆4 2

II. 18

On utilise les permutations entres les indices de somation ↔ et ↔ donc le terme trois

s’écrit sous la forme :

∆∑ , , ,

∆∑ , , ,

(II.19)

Avec :

≡ , ⟹0 . 20


Page15

Donc :

∆∑ , , ,

∆∑ , , ,

(II.21)

2 2

∆ , , , ,

, , ,2

C C C C

∆J h C C J∆N4

hN2

(II.22)

A partir la relation d’anti commutation :

C , C δ , (II.23)

et on utilise à chaque fois les permutations entres des indices :

∑ ∆∆ ∑ , , ,, , , e e

e e e e e e C C C C J ∆

. 24

Après la transformation de Fourier nous trouvons la forme de :

Δ

4 2Δ cos

∆, 2

2

, , ,

. 25

On pose : (II .26)

Δ cos (II.27)

⟨ | | ⟩ 2 , sin sin (II.28)


Page16

Donc :

∑ ∑ ⟨ | | ⟩, , , (II.29)

On peut défini l’Hamiltonien XXZ sous la forme :

(II.30)

Avec :

∑ (II.31)

∑ | |, , , (II.32)

∑ | |, , ,

On utilise les permutations entres les indices suivants :

→ →

∑ βα| |, , , (II .33)

Donc : | | | | (II.34)

∑ | |, , , (II.35)

∑ | |, , ,

→

∑ | |, , ,

2 ∑ | | | |, , , (II.36)

Alors, l’expression de s’écrit :

∑ | |, , , (II. 37)

∑ ∑ | |, , , (II.38)


Page17

Où

| | | | | | (II.39)

⟨ | | ⟩ 2 , sin sin (II.40)

Où

| | 4 , sin sin (II.41)

Donc

∑ ∑ | |, , , (II.42)

Et

| | , sin sin (II.43)

II-6-La méthode de développement en série

II.6.1. La fonction de partition

En physique statistique, la fonction de partition Z est une grandeur principale qui englobe les

propriétés statistiques d'un dispositif à l'équilibre thermodynamique . Elle dépend des variables

extérieures imposées au système telles que la température, volume du système et le nombre de

particules du système N [30]. Avec Cette fonction on peut exprimer l'énergie totale, l'entropie,

l'énergie libre ou la pression.

La fonction de partition définie par la relation suivante :

(II.44)

Où la température inverse est par convention définie par :

Où est la constante de Boltzmann


Page18

II.6.2. L’énergie moyenne

Pour démontrer l'utilité de la fonction de partition, calculons la valeur thermodynamique de

l’énergie moyenne.

L’énergie moyenne du système est donnée par :

(II.45)

L’énergie moyenne dans le système est simplement la dérivée première de ln

Par rapport à

Donc :

(II.46)

II-7--Formalisme général

II.7.1. La série de perturbation

L’hamiltonien H d’un système de particules identiques en interaction instantanée peut

s’écrire sous la forme [31] :

C’est très difficile ou impossible l’étude des propriétés thermodynamique pour donc

nous utilisons la méthode de développement suivante :

⟨ ⟩ (II.47)

Où :

On posse : ⟨ ⟩ (II.48)

H


Page19

Avec : H 0 (II.49)

Alors :

(II.50)

T : c’est l’ordre chronologie par exemple :

⟨ τ0 ⟩ (II.51)

1 ∑ 1!

∞1 … . . ⟨H τ1 2 … . ⟩ 1000 2 … . II.52)

Dans le sens de la mécanique statistique la notation désigne la valeur moyenne.

est exprimé dans la représentation de l’interaction en fonction des opérateurs et tel

que :

(II.53)

En substituant l’expression de H τ dans (II.34), nous obtenons :

1 ∑ 1!

∞1 . . ∑ ∏ | | ⟨∏ 1 ⟩1, , ,00 1 2. . (II.54)

II.7.2. L’énergie libre

L’énergie libre F est définie par [30] :

ln (II. 55)

On commence par calculer à partir l’expression

Avec H Nε ∑ ε C C


Page20

Nous remplaçons l’expression dans et devient :

∑

On utilise l’opérateur nombre dans l’équation nous trouvons :

∏ (II.56)

Avec C C (II.57)

∏ ψ (II.58)

Où : |ψ⟩=| … . ⟩ (II.59)

… . ∏ … .

⟨ |⨂⟨ |⨂… ⟨ ⨂…⨂ ∏ ⊗. . .⨂ ⟩…⨂| ⟩

∏ (II.60)

Alors, l’expression s’écrit sous la forme :

∏ 1 (II.61)

Nous remplaçons (II.40) dans l’équation suivante pour obtenir :

∏ ln 1 (II.62)

∏ ln 1

∏ ln 1 (II.63)

On posse : ⟹ (II.64)

A la limite thermodynamique → ∞:

1 → 0

→ 2


Page21

ln 1 (II.65)

Donc l’expression de l’énergie libre per site s’écrit :

ln 1 (II.66)

II.7.3. Les cycles mathématiques

Définition : Si1 , on appelle cycle de longueur k ou k-cycle, une permutation de telle

que [32]:

, , … , , , … ,, , … , , , … ,

Où , , … , sont les éléments distincts de l’ensemble 1, . . ., n,

Exemples :

(a) Dans , la permutation est un 3–cycle. On le note (2, 5, 3) (ou (5, 3, 2) ou (3, 2, 5)).

(b) Dans , la permutation n’est pas un cycle.

(c) Dans le 5–cycle (1, 8, 5, 3,7) correspond à la permutation

II-8-La représentation en diagrammes des termes de Z

Peut-être représentation d’un système de contraction par un diagramme est connu [33], on

dessiné les unes au-dessous des autres n lignes horizontales numérotées 1,2…, n, qui correspondent

aux interactions , … , , où on posse la partie gauche et et à la partie droite les

opérateurs et t

Figure (II.2) : représentation des interactions [31]

Pour obtenir tous les diagrammes on utilise les extrémités gauches ou droites des

interactions où les éléments de matrice | | est symétrie définie pour modifier des états

Ou l’échange des états et .Par exemple la figure (II.3) montre l’échange de et .


Page22

Figure (II.3) : Echange de et de

Figure (II.4) : Dédoublement de la ligne d’interaction 1

P

Q

Figure (II.5) : les cycles , , correspondant aux cycles (26), (3), (145)

1

2

3

1

1"

1


Page23

On commence maintenant et séparé chaque interaction en deux lignes cette lignes est chiffrée

1"et 1 pour l’interaction 1 et l’interaction 2 est 2" et 2 et aussi la ligne 1" est contact à les

opérateurs de création et la ligne1 est contact à les opérateurs de d’annihilation (fig. II.4).

Le diagramme est déconnecté en certain nombre de cycle à cause de dédoublement. Ces cycles

non orientés sont déterminés de façon unique par diagramme (fig.II.5).

II.8.1. Nouvelle description des diagrammes

Dans ce diagramme nous trouvons les contractions qu’entre opérateurs et d’un côté et

les contractions entre l’opérateur et d’autre côté, ensuite les extrémités droites des interactions

sont réunies par des lignes la même chose pour les extrémités gauches et aussi sur les diagrammes

nous ne trouvons pas de liaison entre les côté gauche et droite ou renversement. Les cycles P est

correspondre la partie gauche et les cycles Q la partie droite.

On posse les cycles P et Q s’écrit sous la forme :

… .. , …

..

Où les cycles sont les permutations successives entre les positions.

La (figure 2.5) montre un exemple de diagramme :

Ou

Ou

II.8.2. Les nombres des états

Définissons maintenant le nombre de cycle sous la forme :

!

∏ ! (II.67)

Ou ∑ et 0

Exemple :

Nous considérons les cycles nombre trois (n =3) et l’ensemble , , … définit la classe de la

permutation telles que : 2 3


Page24

Les solutions de cette expression s’écrivent :

3, 0, 01, 1, 00, 0, 1

Donc :

!

! ! !

3 2

A l’ordre n il ya 2 ! états

Par exemple pour n=2 il y a 4!

4 ∑ ! !

∏ !2 ! (II.68)

Où les solutions de l’équation ∑

Et 4 ≡ 4 ⋯

4 ≡ 4 4 … 4 … 4

∑ . . . … ! !

∏ !

On posse :

! ∑ !∏!

(II.69)

Introduisons la fonction génératrice définie par la série entière

∑!

(II.70)

Nous remplaçons l’expression dans pour obtenir la relation suivante :

∏ ∑! (II.71)

∏ ln 1 4


Page25

1 4 (II.72)

Le développement de s’écrit

∑ !

! (II.73)

L’identification des séries (II.70) et (II.73) permet de conclure

2 ! (II.74)

II.8.3. Les présentations des diagrammes

II.8.3.1. Première ordre

Dans cette partie il y a un seul nombre donc on peut présenter les diagrammes pour un système des

particules dans le cas première ordre sous la forme :

Figure (II.6) : représentation le diagramme dans le cas première ordre

II.8.3.2. Deuxième ordre

Dans cette partie nous trouvons les cycles d’ordre 2 correspondent (1), (2), (1,2)

On peut écrire le cycle nombre deux (n=2) sous la forme :

2 2

Les solutions de cette expression s’écrit :

2, 0 0, 1

1 1

≡


Page26

Figure (II.7) : les cycles A, B, C correspondant les cycles (1), (2), (1,2)

II-9-Déduire l’énergie libre à partir de diagramme

Le diagramme Γ dans la Figure (II.8) donne une contribution du 4iéme ordre à l’opérateur de masse d’un système normal de fermions. On à sept lignes internes , , … , [34].

Figure (II.8) : représentation de diagramme

Nous exposons maintenant l’application de la règle proposée au calcul du diagrammeΓ, en définissant sommairement les notions utiles.

1) On dessine sur le graphe Γ , amputé de ses lignes externes, tous les arbres possibles, c’est –

à-dire les graphes connexes sans cycles de quatre sommets et de trois lignes choisies parmi

les lignes de Γ . Il existe 21arbre sur Γ .En fait, il n’est pas besoin que d’en considérer

13, qui sont représentés (figure II.9) : ceci à cause de la double ligne ,1et 2, qui joint les

deux sommets A et B.

1

2

1

2

1

2

A B C

C

6

B

21 3

A

D 7

5

4

,


Page27

Figure (II.9) : les arbres de diagramme

Il suffit de considérer seulement un arbre qui passe par l’une d’elle et de doubler le résultat, appelons ∑ la somme des contributions ∑ associées à chaque arbre.

∑ , Sommedes∑ ,

Explicitons maintenant la règle du calcule de ∑ pour un arbre particulier, par exemple de la figure (II.9).

A B

C D E


Page28

2) La contribution de l’arbre comme suivante :

Aux linges de l’arbre , , sont associés des dénominateurs d’énergie à des états intermédiaires déterminés par et autres linges de Γ n’appartenant pas à , et formant un ensemble , , , sont associés les facteurs statistiques ou

Il reste donc à préciser comment déterminer le choix entre et pour chaque linge de , et comment construire les dénominateurs d’énergie relatifs aux lignes de .

3) Dénominateurs d’énergie. La figure 2.10 montre comment sont définis les trois dénominateurs relatifs aux lignes , , relatifs aux lignes , et .

Figure (II.10) : représentation l’arbre A

Au préalable, on joint ensemble sur un sommet auxiliaire , les deux lignes externes, effectuées de la variable d’énergie Z.

Soit à déterminer .On supprime idéalement la ligne de l’arbre .Ceci a pour effet de couper l’arbre en deux arbres et de séparer les sommets de Γ en deux groupes. Dans le cas présent, on a le groupe formé du sommet A seul, et le groupe formé des sommets B, C, D.

La ligne en tirés i, est la ligne de séparation des deux groupes : la ligne de partage i, coupe les lignes de Γ et la ligne externe suivantes : , , , .Le dénominateur est , où l’on a mis le signe + devant l’énergie de l’unique ligne de qui coupe i, et les autres signes suivant le sens relatif par rapport à des lignes qui coupent i. On lit donc sur la section idéale i, le transfert total d’énergie correspondant à l’état intermédiaire défini par i. On lit de même, relativement aux sections des lignes par et par :

1

C

6

B

23

A

D7

54

Z

Z

i


Page29

4) Facteur statistiques .Soit à déterminer le facteur relatif à la ligne de .On remarque que l’adjonction mentale de la ligne à l’arbre , crée un cycle et un seul formé des lignes , et .Définissons l’orientation totale de ce cycle de la façon suivante: on parcourt le cycle dans le sens indiqué par la flèche de la ligne n.6 .Le nombre total de flèche rencontrée du même sens que la ligne 6,diminué du nombre de flèche orientées dans le sens inverse de 6 ,est un nombre entier dont le signe est .Nous avons alors un facteur .

Pour la ligne 6 : cycle , , d’où 1 .

Pour la ligne 5 : cycle , d’où 1 .

Pour la ligne 1et 2 : cycle , , d’où 1 .

D’où les facteurs :

Rassemblant facteurs statistiques et dénominateurs d’énergie, on obtient pour la contribution de (A).

∑ , kk | | k k | | k k | | k k | |

.

(II.75)

Chapitre III

Application de la

méthode de

développement en

série

CCHHAAPPIITTRREE IIIIII AApppplliiccaattiioonn ddee llaa mméétthhooddee ddee ddéévveellooppppeemmeenntt eenn sséérriiee

Page30

L’objet de ce chapitre est Calcule l’énergie libre de modèle de Heisenberg de spin ½ par la méthode de développement en série à l’ordre 4, Pour ce but on utilise un programme basé sur la séparation de chaque diagramme en cycles périodique. III-1-Calcule l’énergie libre à l’ordre 4

La définition de l’énergie libre est donnée par :

ln (III.1)

On utilise le développement (II.54) on trouve la forme de l’énergie libre sous forme de série

∑ (III.2)

L’ordre n=1

Figure (III.1) : représentation le diagramme correspondant l’ordre 1

On peut défini l’expression de l’énergie libre comme suit :

∑ (III.3)

0ù v est le potentiel

f est les facteurs statistique

12| |12

Avec :

(III.4)

Et

αβ| |γδ 2 ∆ , sin sin (III.5)

A partir (III.5) le potentiel devient comme suivant :

12| |12 2 ∆ sin sin

1 2

1,2

1


Page31

Donc :

4 ∆ sin2

4 ∆ sin

L’ordre n=2

Figure (III.2) : représentation les diagrammes et correspondant l’ordre 2

Pour le diagramme dans le cas n=2 le potentiel s’écrit sous la forme :

12| |12 14| |14 4 ∆ sin2

sin2

Donc :

22 1!

2 ∆ sin2

Avec :

(III.6)

Alors :

8 ∆12

sin2

sin2 4 cosh 1 1

1 3

2

4

3,2,1,4

Sym=‐2

2 3 14

3,4,1,2

Sym=8


Page32

Pour le diagramme dans le cas n=2 le potentiel s’écrit sous la forme :

2 1 20

4

4

12| |34 34| |12 (III.7)

12| |34 34| |12 4 ∆ sin2

sin2 , ,

1 2 3 4

3 4 1 2⇒ 3 2 1 4

1 2 4 4

2 1 4

4 2∆2 sin2 1 2

2sin2 4

2 1

2

Alors :

L’ordre n=3

Figure (III.3) : représentation le diagramme 1 correspondant l’ordre 3

A partir le diagramme1on calcule l’énergie libre des arbres A, B et C

6

213

5

4

3,4,5,6,1,2

Sym=‐24


Page33

Pour A :

Figure (III.4) : représentation , , , correspondant le diagramme 1

Les facteurs statistiques pour est :




5

2 4 1

6

3

5

4 1

6

32

5

124 3

6

2 4 1

6

3

5


Page34

Donc :

224

12| |34 34| |56 56| |12

On utilise maintenant le changement suivant → et →

224

12| |56 56| |34 34| |12

On utilise maintenant le changement final → et → on trouve :

224

12| |34 34| |56 56| |12

Pour B

Figure (III.5) : représentation , , , correspondant le diagramme 1

2 4 1

6

3

5

5

12 4 3

6

2 4 1

6

3

5

4 1

6

3

5

2


Page35





On utilise le changement → et → on trouve

12| |34 34| |56 56| |12

Où

12| |34 34| |56 56| |12

On utilise maintenant le changement de variable → et →

224

12| |56 56| |34 34| |12

On utilise maintenant le changement final de variable → et →

224

12| |34 34| |56 56| |12


Page36

Pour C

Figure (III.6) : représentation , ′′, ′′′, ′′′′ correspondant le diagramme 1




4 1

6

3

5

2 4 1

6

3

5

2

1

5

4

2 4 1

6

3

2 3

6


Page37


On utilise le changement de variable → et →

12| |34 34| |56 56| |12

Où

224

12| |34 34| |56 56| |12

Donc l’expression de l’énergie libre dans le cas de diagramme 1 est :

Donc

12| |34 34| |56 56| |12 (III.8)

Figure (III.7) : représentation le diagramme 2 correspondant l’ordre 3

A la même méthode précédente on calcule l’énergie libre des arbres D, E et F correspondant le diagramme 2.

Pour D

26

12| |36 34| |52 56| |14

62 1 3

5

4

3,6,5,2,1,4

Sym=‐6


Page38

Pour E

26

12| |36 34| |52 56| |14

Pour F

26

12| |36 34| |52 56| |14

Donc l’expression de l’énergie libre dans le cas de diagramme 2 est :

On utilise à chaque fois le changement de variable pour obtenir la relation suivante :

2 ∆ " 6

sin sin sin sin sin

6

sin sin sin sin sin

sin (III.9)

Figure (III.8) : représentation le diagramme 3

∆ 2 sin ∏ 2 sin 2 (III.10)

2

3 1

46

5

3,2,1,6,5,4

Sym=‐2


Page39


2 ∆ 2 sin sin sin (III.11)


!

∏ 2 ∆ sin (III.12)

2

51

3

4 6

5,2,1,4,3,6

Sym=‐3

3,4,5,2,1,6

Sym=2

6

21

3

5

4


Page40

L’ordre n=4


3 8 2 1 6 4 8 2 7 5 8 2

12 38 34 16 56 74 78 52 (III.13)


12 |34 34 |56 56 |78 78 |12

(III.14)

1

2

3

4

5

6

7

8

7,6,5,8,3,2,1,4

Sym=8

1 2

3

4

5 6

7

8

3,4,5,6,7,8,1,2

Sym=64


Page41

Figure (III.13) : représentation les diagrammes 3

2

12| |34 34| |21 16| |16 38| |38 18| |18 68| |68

2

12| |34 34| |21 16| |16 28| |28 (III.15)


8

12

3

4

5

6

7

3,4,5,6,7,2,1,8

Sym=‐4

3,4,5,2,1,8,7,6

Sym=2

21

3

5

4

7

8 6

5,2,1,6,7,4,3,8

Sym=2

2

1

3

5

4

7

8

6

3,4,7,6,5,2,1,8

Sym=4

5

6

7

2

4

1

8

3

8

1

5

6

3,4,7,2,1,6,5,8

Sym=2

2

4

3

7


Page42

2

12| |34 34| |56 56| |12 18| |18 (III.16)


24 12| |36 34| |52 56| |14 58| |58 (III.17)

8

1

2

3

4

5

6

7

5,2,1,8,7,4,3,6

Sym=‐1


Page43


∆ 2 sin ∏ 2 sin 2 (III.18)

75

6

2

1 3

48

3,2,1,8,7,6,5,4

Sym=‐2


Page44


! ∏ 2 ∆ sin 2 ∆ sin Sin (III.19)


!4 ∏ 2 ∆ sin (III.20)

8

1

2

3

4

5

6

7

7,2,1,4,3,6,5,8

Sym=‐4

5,2,1,4,3,8,7,6

Sym=‐1

2 1

35

4

7

8 6


Page45

III-2-Généralisation de l’énergie libre de quelque diagramme

III.2.1. Pour le diagramme deux trous

Figure (III.19) : le diagramme deux trous

∆ 2 sin2

2 sin2

2

Mais on a que :

2 sin2

1 cos cos

21

2 cosh

Donc

∆ ∏ (III.21)


Page46

III.2.2. Pour le diagramme de trous

Figure (III.20) : le diagramme de n trous

!

∏ 2 Δ sin

Où

!

Où

4 Δ sin

!ln 1

Donc la somme

,!

ln 1

Où

ln 1,!

ln 1

Mais le développement limite

,!

ln 1 ln 1 ,


Page47

Donc on en résumé

ln 1 ln 1 ,

Où

ln 1 ln 1 (III.22)

Où

sin

III.2.3. Pour le diagramme irréductible

Figure (III.21) : le diagramme irréductible

Généralisation de grandeur réductible

2 Δ sin2

sin

2 Δ2

sin2

12

sin

L’énergie libre pour la grandeur irréductible

∆1 2

sin2 1 2

2

,

,

2

0 (III.23)

Où :

,2 ∆2

sin


Page48

III-3-Programme pour les diagrammes de Hugenholtz

L’algorithme de notre méthode est réalisé par les étapes suivantes :

III.3.1. La solution de l’équation de cycle ∑ (III.24)

L’algorithme de l’équation de cycle résumé au suivant :

La partie initialise est :

1, ;

, ;

, 0 ;

La fonction récursive (NumCyEv) retourne le vecteur ( ) qui contient les solutions de l’équation (III.1)

NumCyEv(p)

Tantque <=

Pourk=1‐>p

, , 1

Finpour

, , 1

v++

1

1

NumCyEv(p+1);

1

1

Fintantque

Fin


Page49

III.3.2. Généré la liste des positions de lignés sortant

La fonction (det) récursive de chaque diagramme (p) dans chaque cycle (q) trouvé par l’algorithme

précédent est résumée par l’algorithme suivant, cette fonction retourne un vecteur ( ) qui

donne les positions de chaque ligne sortant.

det( p, q, szALLde)

Si p=n+1

tpL=L

tpPosL=PosL

syy=faux

dv=1

Si dett2(1, , q,L,PosL,tpL,tpPosL, szALLde) est faux

Pour k=1 ‐>

, ,

Pour j= , +2 ‐> ,

Fin Pour

Fin pour

Si discSt(q,L)est faux

Pour k=1 ‐> n

, 2 1

, 2

Fin pour

1

1

Fin Si

Fin Si

Si non

Pour i=p‐>n


Page50

,

det(p+1,q,szALLde);

,

Fin pour

Fin Si

Fin

La fonction (dett2) filtré les diagrammes connexes et la fonction (discSt) trouve les diagrammes

déconnectes.

Le code total est programmé par le langage C++, L’illustration de chaque diagramme est faite par

un code simple créé par le langage formel de Mathematica (Voir L’Annexe).

Conclusion

générale

Conclusion générale

Page51

Conclusion

Nous avons présenté dans ce mémoire l’étude de modèle de Heisenberg XXZ par la méthode

de développement en série. Pour le but d’automatisé la méthode nous avons programmé un

algorithme pour trouver les diagrammes de Hugenholtz par le langage C++ et à l’aide de logiciel

Mathematica pour illustré ces diagrammes.

Le calcul de l’énergie libre est fait à l’ordre 4 et généralisé à quelque diagramme (deux trous, n

trous et diagramme irréductible).

Annexe

Annexe

Page52

A1. Programme de générations les diagrammes de Hugenholtz

#include <iostream>

#include <fstream>

#include <algorithm>

#include <iostream>

#include <vector>

#include <list>

#include <string>

#include <cmath>

#include <sstream>

using namespace std;

typedef short int uint;

const unsigned int MAX_LN_FIL = 1000000,MAX_2N=50,MAX_N=25;

inline bool MinBTL(int mind, int demc, uint *L1, uint *L2);

inline bool recswap(int q, int k, uint * L, uint *PosL);

bool det(uint p, int max_1, int q, int szALLde);

void affiche(uint* L, uint mdn);

void write_L(int nn, uint ALLGl[][MAX_2N], int *SymM);

inline void ADD(uint *L1, uint *L2, uint n);

inline bool egal(uint *L1,uint* L2, uint n);

uint n,dn;

static unsigned int tt=0, LN = 0, v = 0;

int Position(uint, uint*);

uint L[MAX_N], R[MAX_N], PosL[MAX_N];

int ic[MAX_N], jc[MAX_N];

uint FIL[MAX_LN_FIL][MAX_N]= {0}, CFIL[MAX_LN_FIL][MAX_N]= {0},Indx[MAX_LN_FIL][MAX_N]=

{0};

Annexe

Page53

uint lnc[MAX_LN_FIL]= {0};

int NumCyEv(int p);

uint ALLGl[MAX_LN_FIL][MAX_2N];

uint ALLDL[MAX_LN_FIL][MAX_2N];

int SymMAT[MAX_LN_FIL];

uint LisGenDet[MAX_N], LisSizDet[MAX_N], Matbeg[MAX_N];

bool dett2(int k, int fin, int q,uint *L, uint *PosL, uint *tpL, uint *tpPosL, int szALLde);

bool simpDet(int q, int p, int gnDet, int szDet, uint *tpL,int beg, uint *L);

void REV(int q, int k, uint * tpLA, uint *tpPosLA);

void FindR(int q, int k, uint *tpLA, uint *tpPosL);

static bool syy = false;

int sig = 1;

bool discSt(int q, uint *L);

int main()

{

unsigned int i,j,k,kk,ma_n,q;

uint CvR[MAX_N],CvA[MAX_N];

uint lnCk[MAX_N]= {0};

int p, max_1;

cout<< "Entrez l'ordre n" << endl;

cin>>n;

dn=2*n;

ic[0]=1;

jc[0]=n;

ic[1]=ic[0];

jc[1]=jc[0]‐ic[0];

Annexe

Page54

NumCyEv(1);

FIL[v][n]=1 ;

v++;

int r=1;

int szALLde=0;

for(q=0; q<v; q++)

{

r=1;

for(k=1; k<=n; k++)

{

lnc[q]+=FIL[q][k];

if(FIL[q][k]!=0)

{

for(int l=1; l<=FIL[q][k]; l++)

{

CFIL[q][r]=k;

Indx[q][r]=k;

Indx[q][r]+=Indx[q][r‐1];

r++;

}

}

}

}

if(n%2==0)

max_1=(n+2)/2;

else

Annexe

Page55

max_1=(n+3)/2;

for(q=0; q<v; q++)

{

for(i=1; i<=n; i++)

{

L[i] = i;

PosL[i] = i;

}

sig=1;

r=1;

j=1;

for(i=1; i<=n; i++)

{

if(FIL[q][i]!=0)

{

if(FIL[q][i]>1)

{

LisGenDet[r]=FIL[q][i];

LisSizDet[r]=i;

Matbeg[r]=j‐1;

r++;

}

j++;

}

}

for(k=1;k<=lnc[q];k++)

Annexe

Page56

sig=sig*(‐1);

det(1,max_1,q,r‐1);

}

write_L(dn,ALLGl,SymMAT);

uint Vrtx[MAX_LN_FIL][MAX_N][4];

return 0;

}

uint tpL[MAX_N], tpPosL[MAX_N];

static int dv=1;

bool det(uint p, int max_1, int q, int szALLde)

{

int i, j, k;

int cc=0;

bool bff=true, ok =true;

bool ok1=false;

if(p==n+1)

{

tt++;

ADD(tpL,L,n);

ADD(tpPosL,PosL,n);

syy=false;

dv=1;

if(!dett2(1, lnc[q], q,L,PosL,tpL,tpPosL, szALLde))

{

for(k=1; k<=lnc[q]; k++)

{

Annexe

Page57

R[Indx[q][k‐1]+1]=L[Indx[q][k]];

for(j=Indx[q][k‐1]+2; j<=Indx[q][k]; j++)

{

R[j]=L[j‐1];

}

}

if(lnc[q]==1)

{

for(k=1; k<=n; k++)

{

ALLGl[LN][2*k‐1]=2*R[k]‐1;

ALLGl[LN][2*k]=2*L[k];

}

SymMAT[LN]=sig*(dv‐1);

LN++;

}

else if(!discSt(q,L))

{

for(k=1; k<=n; k++)

{

ALLGl[LN][2*k‐1]=2*R[k]‐1;

ALLGl[LN][2*k]=2*L[k];

}

SymMAT[LN]=sig*(dv‐1);

LN++;

}

Annexe

Page58

}

}

else

{

for(i=p; i<=n; i++)

{

swap(L[i],L[p]);

PosL[L[i]]=i;

PosL[L[p]]=p;

det(p+1,max_1,q,szALLde);

swap(L[i],L[p]);

}

}

return true;

}

inline void ADD(uint *L1, uint *L2, uint n)

{

for(int k=1; k<=n; k++)

L1[k]=L2[k];

}

int Position(uint val, uint * L)

{

uint pos;

for(int i=1; i<=n; i++)

if(L[i] == val)

{

Annexe

Page59

pos = i;

break;

}

return pos;

}

int NumCyEv(int p)

{

while(ic[p]<=jc[p])

{

for(int k=1; k<=p; k++)

FIL[v][ic[k]]++;

FIL[v][jc[p]]++;

v++;

ic[p+1]=ic[p];

jc[p+1]=jc[p]‐ic[p];

NumCyEv(p+1);

ic[p]++;

jc[p]‐‐;

}

return 0;

}

inline bool egal(uint *L1,uint* L2, uint n)

{

unsigned int i3;

bool res=true;

for(i3=1; i3<=n; i3++)

Annexe

Page60

{

if(L1[i3]!=L2[i3])

{

res = false;

break;

}

}

return res;

}

void affiche(uint* L, uint mdn)

{

for(int k=1; k<=mdn; k++)

cout<<L[k]<<" ";

cout<<endl;

}

void write_L(int nn, uint ALLGl[][MAX_2N], int *SymM)

{

ofstream myfile;

int k;

myfile.open("FiltreALL.txt");

myfile<<"Toutes Les cas sont "<<tt<<endl;

myfile<<"Le Length de GlauBal = "<<LN<<endl;

myfile<<"ALLGL = {";

for(int ff=0; ff<LN‐1; ff++)

{

myfile<<"{";

Annexe

Page61

for(k=1; k<nn; k++)

myfile<<ALLGl[ff][k]<<",";

myfile<<ALLGl[ff][nn]<<"},";

}

myfile<<"{";

for(k=1; k<nn; k++)

myfile<<ALLGl[LN‐1][k]<<",";

myfile<<ALLGl[LN‐1][nn]<<"}};";

myfile<<endl;

myfile<<"Sym = {";

for(int ff=0; ff<LN‐1; ff++)

myfile<<SymM[ff]<<",";

myfile<<SymM[LN‐1]<<"};";

myfile.close();

}

inline bool MinBTL(int mind, int demc, uint *L1, uint *L2)

{

for(int i=mind; i<=demc; i++)

{

if(L1[i]==L2[i]) continue;

if(L1[i]>L2[i])

{

return true;

}

else

break;

Annexe

Page62

}

return false;

}

inline bool recswap(int q, int k, uint * tpL, uint * tpPosL)

{

uint v1 = Indx[q][k‐1]+1, v2 = Indx[q][k];

swap(tpL[v1],tpL[v2]);

tpPosL[tpL[v1]]=v1;

tpPosL[tpL[v2]]=v2;

swap(tpL[tpPosL[v1]],tpL[tpPosL[v2]]);

swap(tpPosL[v1],tpPosL[v2]);

for(int j=1; j<=CFIL[q][k]‐2; j++)

{

swap(tpL[v2‐j+1],tpL[v2‐j]);

tpPosL[tpL[v2‐j+1]]=v2‐j+1;

tpPosL[tpL[v2‐j]]=v2‐j;

swap(tpL[tpPosL[v2‐j+1]],tpL[tpPosL[v2‐j]]);

swap(tpPosL[v2‐j+1],tpPosL[v2‐j]);

}

return true;

}

uint tpLk[MAX_N][MAX_N], tpPosLk[MAX_N][MAX_N];

bool dett2(int k, int fin, int q,uint *L, uint *PosL, uint *tpL, uint *tpPosL, int szALLde)

{

if(syy)

return syy;

Annexe

Page63

if(k==fin+1)

{

if(szALLde!=0)

{

for(int ld = 1; ld<=szALLde; ld++)

{

if(simpDet(q,1,LisGenDet[ld],LisSizDet[ld],tpL,Matbeg[ld],L))

{

syy = true;

return syy;

break;

}

}

}

else

{

if(egal(tpL,L,n))

{

dv++;

}

if(MinBTL(1,n,L,tpL))

{

syy = true;

return syy;

}

}

Annexe

Page64

}

else

{

for(int ki=0; ki<2*CFIL[q][k]; ki++)

{

if(ki==CFIL[q][k])

{

REV(q, k, tpL, tpPosL);

}

if(ki!=0)

recswap(q, k, tpL, tpPosL);

ADD(tpLk[k],tpL,n);

ADD(tpPosLk[k],tpPosL,n);

if(ki>=CFIL[q][k])

FindR(q,k,tpL, tpPosL);

dett2(k+1, fin, q ,L, PosL, tpL, tpPosL, szALLde);

ADD(tpL,tpLk[k],n);

ADD(tpPosL,tpPosLk[k],n);

}

}

if(syy)

return true;

else

return false;

}

int p1, p2;

Annexe

Page65

bool simpDet(int q, int p, int gnDet, int szDet, uint *tpL,int beg, uint *L)

{

if(syy)

return syy;

if(p==gnDet+1)

{

if(egal(tpL,L,n))

{

dv++;

}

if(MinBTL(1,n,L,tpL))

{

syy = true;

return syy;

}

}

else

{

for(int i=p; i<=gnDet; i++)

{

if(i!=p)

for(int j=0; j<szDet; j++)

{

swap(tpL[Indx[q][i+beg‐1]+1+j],tpL[Indx[q][p+beg‐1]+1+j]);

p1 = Position(Indx[q][i+beg‐1]+1+j,tpL);

p2 = Position(Indx[q][p+beg‐1]+1+j,tpL);

Annexe

Page66

swap(tpL[p1],tpL[p2]);

}

simpDet(q,p+1,gnDet,szDet,tpL,beg,L);

if(i!=p)

for(int j=0; j<szDet; j++)

{

swap(tpL[Indx[q][i+beg‐1]+1+j],tpL[Indx[q][p+beg‐1]+1+j]);

p1 = Position(Indx[q][i+beg‐1]+1+j,tpL);

p2 = Position(Indx[q][p+beg‐1]+1+j,tpL);

swap(tpL[p1],tpL[p2]);

}

}

}

if(syy)

return true;

else

return false;

}

void REV(int q, int k, uint * tpLA, uint *tpPosLA)

{


for(int ki=0; ki<trunc(CFIL[q][k]/2); ki++)

{

swap(tpLA[v1+ki],tpLA[v2‐ki]);

tpPosLA[tpLA[v1+ki]]=v1+ki;

tpPosLA[tpLA[v2‐ki]]=v2‐ki;

Annexe

Page67

swap(tpLA[tpPosLA[v1+ki]],tpLA[tpPosLA[v2‐ki]]);

swap(tpPosLA[v1+ki],tpPosLA[v2‐ki]);

}

}

void FindR(int q, int k, uint *tpLA, uint *tpPosL)

{


swap(tpLA[v1],tpLA[v2]);

for(int j=1; j<=CFIL[q][k]‐2; j++)

swap(tpLA[j+v1‐1],tpLA[j+v1]);

for(int j=1; j<=n; j++)

tpPosL[j]=Position(j,tpLA);

}

bool discSt(int q, uint *L)

{

int dz = 0;

for(int k=1; k<=lnc[q]; k++)

{

dz=0;

for(int j1 = Indx[q][k‐1]+1; j1<=Indx[q][k]; j1++)

for(int j2 = Indx[q][k‐1]+1; j2<=Indx[q][k]; j2++)

if(L[j1]==j2)

{

dz++;

}

if(dz==CFIL[q][k])

Annexe

Page68

{

return true;

}

}

return false;

}

A2.Code pour désigner les diagrammes en Mathematica

ClearAll[Grph]; SetAttributes[Grph,HoldFirst]; eps=0.10; ListDisks:=Table[Disk[{i,0},eps],{i,1,n/2}]; Grph[R_]:=( s=n/2; ListGraph={ListDisks}; For[k=1,k<n,k+=2, If[R[[k]]�R[[k+1]],AppendTo[ListGraph,Thick];s‐‐,AppendTo[ListGraph,Thin]]; AppendTo[ListGraph,{Arrowheads[{{Automatic,0.5}}],Arrow[BezierCurve[{{(k+1)/2,0},{((k+1)/2+R[[k]])/2,R[[k]]‐(k+1)/2},{R[[k]],0}}]]} ]; AppendTo[ListGraph,{Arrowheads[{{Automatic,0.5}}],Arrow[BezierCurve[{{(k+1)/2,0},{((k+1)/2+R[[k+1]])/2,R[[k+1]]‐(k+1)/2},{R[[k+1]],0}}]]} ] ]; Return[ListGraph] ); LisGr={}; LisT={}; Num1={}; LN=Length[GloBR]; For[i=1,i�LN,i++, Gr[i]=Graphics[Grph[ GloBR[[i]] ],ImageSize�{300,300}]; Num[[i]]=Num[[i]]/(n/2)!; Num1=AppendTo[Num1,Sym�Cross[StandardForm[(n/2)]!,Num[[i]],StandardForm[2]^s]]; LisGr=AppendTo[LisGr,Gr[i]]; If[Mod[i,5]�0||i�LN,LisT=AppendTo[LisT,LisGr];LisT=AppendTo[LisT,Num1];LisGr={};Num1={} ] ]; grd=Grid[LisT,Frame�{True,True}]; nb=CreateDocument[grd];

Annexe

Page69

A3. Résultats des diagrammes

Pour l’ordre n= 3

Sym 3! ⨯16⨯ 2

Sym 3! ⨯13⨯ 1

Pour l’ordre n= 4

Sym 4! ⨯14⨯ 2

Sym 4! ⨯18⨯ 2

Annexe

Page70

Pour l’ordre n= 5

Sym 5! ⨯15⨯ 2

Sym 5! ⨯12⨯ 2

Sym 5! ⨯12⨯ 2

Sym 5! ⨯12⨯ 2

Sym 5! ⨯110

⨯ 2

Sym 5! ⨯ 1 ⨯ 2

Sym 5! ⨯12⨯ 2

Sym 5! ⨯ 1 ⨯ 2

Sym 5! ⨯12⨯ 2

Sym 5! ⨯ ⨯ 2

Sym 5! ⨯12⨯ 2

Sym 5! ⨯ 1 ⨯ 2

Annexe

Page71

Sym 5! ⨯15⨯ 1

références

Les references

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