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A.Berger TES Bleue TL Rouge 2014-2015 1 / 34

MATHEMATIQUES

TL - TES 2014-2015

Sujets des devoirs

DS1 24 /09/2014 page2

DV 06/10/2014 page 5

DS 12/11/2014 page 6

DV 24/11/2014 page 10

DS 17/12/2014 page 12

Bac Blanc 13/01/2015 page 18

DV 30/01/2015 page 23

DV 02/03/2015 page 24

DS 18/03/2015 page 25

DV 28/04/2015 page 29

DS 20/05/2015 page 30


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES Bleue et Pervenche 24/09/2014 3 H UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

Inscrivez le nom de votre enseignant.

EXERCICE I : (6 points) La courbe ci-dessous représente une fonction � définie et dérivable sur � � ��2; 11. Elle est notée � . La fonction dérivée de � est notée �′. Dans ce repère, on a aussi tracé :

• La droite �� tangente à � en �. • La tangente à � en S.

On précise que le point ��2;�2,75� est sur la courbe � . Rappel : le réel �’��désigne le coefficient directeur de la tangente à � au point de coordonnées ��; ��.

Aucune justification n’est demandée dans la question 1° 1° Donner :

a) Le tableau de variation de la fonction �. On mettra aussi la ligne �’��. b) Le tableau de signe de �� c) Les valeurs suivantes : �′��1�; ��4� d) L’ensemble de solutions sur � de l’inéquation �� 0. e) L’équation de la droite �� f) L’intervalle image par la fonction � de �4; 10 , puis de ��2; 11

2° a) Résoudre l’équation �� 1

b) Résoudre l’inéquation �� 1.

3° On considère la fonction � définie sur ��2; 11 par �� !

�

a) Tracer �"

b) Donner les coordonnées des points d’intersection de � et �"

c) Résoudre l’inéquation �� # ��


EXERCICE II : (8 points) L’entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour une longueur � exprimée en kilomètre, � étant compris entre 0 et 8. Le coût total de production en euros de l’entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur � par la formule : �� = 15�$ − 120�² + 500� + 750 Le graphique annexe donne la représentation graphique de la fonction � Si le marché offre un prix % en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l’entreprise CoTon pour la vente d’une quantité � est : &�� = %�. 1. Tracer sur le graphique annexe la droite �� d’équation ' = 400�. Expliquer, au vu de ce tracé, pourquoi l’entreprise CoTon ne peut pas réaliser un bénéfice si le prix % du marché est de 400 euros. 2. Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à 680 euros. a. Tracer sur le graphique annexe la droite �( d’équation ' = 680�. Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, pour quelles quantités produites et vendues, l’entreprise CoTon réalise un bénéfice si le prix % du marché est de 680 euros. b. On désigne par �� le bénéfice réalisé lors de la production et vente de � kilomètres de tissu. Montrer que, pour � ∈ [0 ; 8], on a : �� = −15�$ + 120�( + 180� − 750

c. Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 8] , on a : �′�� = −45�� − 6� ,� + ($-

d. Étudier le signe de �′�� sur [0 ; 8]. e. Dresser le tableau de variations de la fonction B sur [0 ; 8]. f. En déduire pour quelle quantité produite et vendue le bénéfice réalisé par l’entreprise CoTon est maximum. Donner la valeur de ce bénéfice. 3. a. Montrer que l’équation �� = 0 admet une unique solution dans [0 ; 6], on la note .. b. Déterminer un encadrement de . à 0,1 près. c. Dresser le tableau de signe de ��. d. Placer . sur le graphique. e. En déduire à 0,1 km près la quantité minimale à produire pour que l’entreprise réalise un bénéfice. EXERCICE III : (6 points) 1° On considère le polynôme /�� = −15�( − 120� + 135 Déterminer les racines et le signe de /�� 2° On considère la fonction � définie sur � par

�� = 15� + 60�² + 9

a) Montrer que pour tout � de �, on a

�� = /��( + 9�(

b) Etudier le signe de �′��

c) Enoncer le sens de variation de la fonction �. 3° Dresser le tableau de variation de la fonction �


Annexe Exercice 2 : à rendre

Coût total

2 3 4 5 6 7 8

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

0 1

500

x

y

NOM :


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES B - TL R 06/10/2014 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT EXERCICE I : (5 points) On donne la courbe représentative d’une fonction � définie sur �2; 11.

Aucune justification n’est demandée.

1° Donner les valeurs suivantes : ��3� � ��3� � ��5� � ��5� �

��9� � ��9� �

2° Déterminer une équation de la tangente en A. 3° Déterminer une équation de la tangente en S.

EXERCICE II : (5 points) On considère une fonction � définie et dérivable sur �0; 7. On donne, ci-contre, la courbe de sa fonction dérivée �′ 1° a) Déterminer le signe de �′��. b) Que pouvez-en déduire pour la fonction � ? 2° a) Déterminer les variations de la fonction ��. b) En déduire la convexité de la fonction �. c) La courbe � admet-elle un point d’inflexion ?

EXERCICE III : (7 points) On considère la fonction � définie sur �0; 10 par �� $ � 6�( ! 7. 1° Calculer �′�� et �′′��. 2° Etudier la convexité de la fonction �. 3° Dresser le tableau de variations de la fonction �′. 4° a) Etudier le signe de �′�� b) Dresser le tableau de variations de la fonction �. EXERCICE IV : (3 points) Soit � une fonction définie et deux fois dérivable sur �0; 6. En exploitant au mieux les informations données par le logiciel de calcul formel :

1° La fonction � est-elle convexe ou concave sur �0; 6 ?

2° Etudier le signe de �′��

3° Dresser le tableau de variation de la fonction �.


MATHEMATIQUES TES Bleue, Pervenche -TL (spécialité) 12/11/2014 3 H UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.


EXERCICE I : (5 points) d’après Centres étrangers juin 2013 On considère la fonction f définie sur l’intervalle �2 ; 8] par :

�� = −�( + 10� − 16�( On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère. 1. Montrer que pour tout réel � de l’intervalle [2 ; 8], on a :

�� = −10� + 32�$

2. a. Étudier le signe de � ′�� sur l’intervalle [2; 8]. 2. b. En déduire le tableau de variations de � sur l’intervalle [2; 8]. 3. On appelle �′′ la dérivée seconde de � sur [2 ; 8]. On admet que, pour tout réel x de l’intervalle [2 ; 8], on a :

�� = 20� − 96�3

3. a. Déterminer en le justifiant l’intervalle sur lequel la fonction � est convexe, et l’intervalle sur lequel elle est concave. 3. b. Montrer que la courbe �� admet un point d’inflexion, dont on précisera les coordonnées.


EXERCICE II : (6 points) d’après Polynésie juin 2013 La production des perles de culture de Tahiti est une activité économique importante pour la Polynésie. Les montants réalisés à l’exportation des produits perliers de 2008 à 2011 sont donnés dans le tableau suivant, en milliers d’euros :

année 2008 2009 2010 2011 Valeurs brutes des produits perliers (en milliers d’euros)

81295 66052 64690 63182

Source : ISPF (Institut de Statistiques de Polynésie Française) On admet pour tout l’exercice que la production baissera de 8% par an à partir de 2011 1. On considère l’algorithme suivant : Entrée Saisir un nombre positif P Traitement : Affecter la valeur 0 à la variable / {initialisation} Affecter la valeur 63 182 à 4 {initialisation} Tant que 4 > 6 Affecter la valeur / + 1 à / Affecter la valeur 0,92 × 4 à 4 Fin de Tant que Affecter la valeur / + 2011 à / Sortie Afficher /

Pour la valeur 6 = 50 000 saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Valeur de / 0 1 ………………..

Valeur de 4 63 182 ………………..

Condition 4 > 6 Vrai ……………

Qu’obtient-on en sortie par cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte de la production de perles.

2. Pour prévoir les montants réalisés à l’exportation des perles de Tahiti, on modélise la situation par une suite �89� On note 8: le montant en 2011, en milliers d’euros, et 89 le montant en 2011 + ;, en milliers d’euros. On a donc 8: =63 182 et on suppose que la valeur baisse tous les ans de 8%.

a. Montrer que �89� est une suite géométrique dont on précisera la raison.

b. Exprimer, pour tout entier naturel n, 89 en fonction de n. c. Avec ce modèle, quel montant peut-on prévoir pour l’exportation des produits perliers de Polynésie en 2016 ? On arrondira le résultat au millier d’euros. d. Avec ce modèle, à partir de quelle année peut-on prévoir un montant d’exportation des produits perliers de Polynésie inférieur à 20 000 milliers d’euros ?

3. Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés que l’on peut prévoir avec ce modèle à partir de 2011 (comprise) jusqu’à 2020 (comprise). On donnera une valeur approchée au millier d’euros.

4. On veut produire une feuille de calcul à l’aide d’un tableur donnant les valeurs de 89 et de la somme des termes consécutifs <9 = 8: + 8� + ⋯ + 89 Quelles formules ont été saisies dans les cellules B3 et C3 et étirées vers le bas pour commencer à produire cette feuille de calcul ?

1

2

3

4

5

6

A B C

n un Sn

0 63182 63182

1 58127,44 121309,44

2 53477,24 174786,68

3


EXERCICE III : (4 points)

On considère une fonction f définie sur � et deux fois dérivable. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction �� dérivée seconde de la fonction �, dans un repère orthonormé. Les points suivants appartiennent à la courbe : ��2; 0� ; ��0;�0,5� et ��3; 0�. Courbe représentative de la fonction >′′

Dans tout cet exercice, chaque réponse sera justifiée à partir d’arguments graphiques. 1. a. Dresser le tableau de signe de �′′ 1. b. La courbe représentative de� admet-elle des points d’inflexion? 1. c. Dresser le tableau de variations de la fonction �′ 2. Sur ��2; 3, la fonction est-elle convexe ? Est-elle concave ? 3. Une des deux courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction � et l'autre celle de �′. Déterminer la courbe qui représente la fonction � et celle qui représente la dérivée �′. Justifier la réponse.


EXERCICE IV : (5 points) Partie A :

On considère les fonctions � et � définies et dérivables sur [0 ; 3] telles que :

�� = �$ et �� = 3 − �.

1. Les courbes représentatives respectives � et �" des fonctions � et�, dans un repère orthogonal, sont tracées ci-contre.

Lire avec la précision permise par le graphique une valeur approchée des coordonnées de leur point d'intersection E.

2. Pour déterminer l’abscisse de E de façon précise, on est amené à résoudre dans [0 ; 3] l'équation : �� = ��.

Pour cela, on considère la fonction ℎ définie sur l'intervalle [0 ; 3] par ℎ�� = �� − ��.

2. a. Montrer que la fonction h est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 3] 2. b. Dresser le tableau de variation de la fonction ℎ .

2. c. Démontrer que l'équation ℎ�� = 0 admet une solution unique �: dans l'intervalle [0 ; 3] 2. d. A l'aide de la calculatrice, déterminer l'arrondi de �: au centième.

Partie B : Les fonctions � et � définies dans la partie A modélisent respectivement l'offre et la demande d'un produit :

• �� est la quantité, en milliers d'articles, que les producteurs sont prêts à vendre au prix unitaire de x centaines d'euros;

• �� est la quantité, en milliers d'articles, que les consommateurs sont prêts à acheter au prix unitaire de x centaines d'euros.

On appelle prix unitaire d'équilibre du marché la valeur de x pour laquelle l'offre est égale à la demande.

1. Quel est, exprimé à l'euro près, le prix unitaire d'équilibre du marché ?

2. Quel nombre d'articles, (arrondi à la centaine d’articles près), correspond à ce prix unitaire d'équilibre ?

2 3

2

3

0 1

1

x

y


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TL - TES B 24/11/2014 1 Heure CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT EXERCICE I : (13 points) d’après Centres étrangers Juin 2011

Un producteur de fruits rouges propose en vente directe des framboises, des groseilles et des myrtilles.

Le client peut acheter, soit des barquettes de fruits à déguster, soit des barquettes de fruits à confiture.

Le producteur a remarqué que, parmi ses clients, 9 sur 10 achètent une barquette de fruits à confiture.

Lorsqu’un client achète une barquette de fruits à confiture, la probabilité qu’il demande une barquette de

myrtilles est de 0,3 et la probabilité qu’il demande une barquette de groseilles est de 0,5. Lorsqu’un client

achète une barquette de fruits à déguster, il ne demande jamais des groseilles et demande des framboises

dans 60 % des cas.

Un client achète une barquette. On notera :

− C l’évènement « le client achète une barquette de fruits à confiture »,

− F l’évènement « le client demande des framboises »,

− G l’évènement « le client demande des groseilles »,

− M l’évènement « le client demande des myrtilles ».

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré.

2. Quelle est la probabilité que le client achète une barquette de framboises à déguster.

3. Montrer que la probabilité que le client achète une barquette de framboises est égale à 0,24.

4. Le client achète une barquette de framboises. Quelle est la probabilité que ce soit une barquette de

fruits à confiture ?

5. Le producteur vend :

5 € la barquette de fruits à confiture, quel que soit le fruit,

2 € la barquette de framboises à déguster,

3 € la barquette de myrtilles à déguster.

5. a. On note xi les valeurs possibles, en euros, du gain du producteur par barquette vendue et pi leur

probabilité.

Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi du gain du producteur par barquette vendue. On

justifiera les réponses.

Valeur xi 5 2 3

Probabilité associée : pi

5. b. Calculer l’espérance de cette loi de probabilité.

C

M

M

F

F

G


EXERCICE II : (7 points) d’après La réunion Juin 2011

En vue de sa prochaine brochure d’information sur les dangers d’internet un lycée a fait remplir un questionnaire à chacun des 2 000 élèves, répartis dans les sections de seconde, première et terminale. On obtient la répartition suivante : • 1 740 élèves utilisent régulièrement internet. • un quart des élèves est en terminale ; • 35 % des élèves sont en première ; • tous les autres sont en seconde ; • parmi les élèves de terminale, 70 % utilisent régulièrement internet ; • 630 élèves sont des élèves de première qui utilisent régulièrement internet.

Cette enquête permet de modéliser le choix d’un élève du lycée. On choisit au hasard un questionnaire d’élève en supposant que ce choix se fait en situation d’équiprobabilité. On note : • < l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève en classe de seconde » • @ l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève en classe de première » • A l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève en classe de terminale » • � l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève qui utilise régulièrement internet »

1. Compléter le tableau d’effectifs donné ci-dessous.

Seconde Première Terminale Total

Utilise internet régulièrement

1740

N’utilise pas internet régulièrement

Total

2000

2. Déterminer la probabilité d’obtenir le questionnaire d’un élève de seconde qui utilise régulièrement internet.

3. Calculer la probabilité de I sachant , notée %B�� , et interpréter ce résultat à l’aide d’une phrase. 4. Calculer la probabilité que le questionnaire choisi soit celui d’un élève qui n’utilise pas internet.

NOM :




EXERCICE I : (5 points) Sujet national juin 2013

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l’industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue.

L’entreprise peut fabriquer entre 0 et 3 600 poulies par semaine. On note x le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. (� varie donc dans l’intervalle �0 ; 3,6]). Le bénéfice hebdomadaire est noté ��, il est exprimé en milliers d’euros.

L’objet de cet exercice est d’étudier cette fonction �.

Partie A : étude graphique

On a représenté, en annexe page 5, la fonction B dans un repère du plan.

Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas.

Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée.

1. Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 13 000 euros.

2. Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l’entreprise ?

Pour quel nombre N de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé ?

Partie B : étude théorique

Le bénéfice hebdomadaire noté B(x), exprimé en milliers d’euros vaut :

�� = −5 + �4 − ��CD .

1. a. On note B′ la fonction dérivée de la fonction B.

Montrer que pour tout réel x de l’intervalle � = [0 ; 3,6], on a : �� = �3 − ��CD.

b. Déterminer le signe de la fonction dérivée �′ sur l’intervalle I.

c. Dresser le tableau de variation de la fonction � sur l’intervalle I.

On indiquera les valeurs de la fonction � aux bornes de l’intervalle.

2. a. Justifier que l’équation �� = 13 admet deux solutions �� et �( , l’une dans l’intervalle [0 ; 3], l’autre dans l’intervalle [3 ; 3,6]. 2. b. À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 0,01 près de chacune des deux solutions.


EXERCICE II : (5 points) Polynésie Septembre 2014

Une enquête a été réalisée auprès des élèves inscrits à la demi-pension d’un lycée.

Les résultats révèlent que :

• 95% des élèves déclarent manger régulièrement à la cantine et parmi ceux-ci 70% sont satisfaits de la qualité des repas ;

• 20% des élèves qui ne mangent pas régulièrement sont satisfaits de la qualité des repas. On choisit un élève au hasard parmi les élèves inscrits à la demi-pension.

On note les évènements suivants :

& l’évènement : « l’élève mange régulièrement à la cantine » ;

< l’évènement : « l’élève est satisfait ».

On notera &E et <̅ les évènements contraires de & et <.

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

2. Calculer la probabilité que l’élève mange régulièrement à la cantine et soit satisfait de la qualité des repas.

3. Montrer que la probabilité de l’évènement S est égale à 0,675.

4. Sachant que l’élève n’est pas satisfait de la qualité des repas, calculer la probabilité qu’il mange régulièrement à la cantine. Donner le résultat arrondi à 10G$.

5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves inscrits à la demi-pension.

On note X la variable aléatoire égale au nombre d’élèves déclarant être satisfaits de la qualité des repas. Le nombre d’élèves étant suffisamment grand, on considère que X suit une loi binomiale.

Les résultats seront arrondis au millième.

a. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.

b. Calculer la probabilité de l’évènement � : « les quatre élèves sont satisfaits de la qualité des repas ».

c. Décrire à l’aide d’une phrase l’évènement �̅ et calculer sa probabilité.


EXERCICE III : (5 points) Antilles septembre 2014 En 2008, une entreprise internationale s’est dotée d’un centre de visio-conférence qui permet de réaliser de grandes économies dans le budget « déplacement des cadres ».

Lors d’un conseil d’administration de fin d’année, le responsable du centre de visio-conférence fait le compte rendu suivant : on a observé un fort accroissement de l’utilisation de cette technologie, le nombre de visio-conférences, qui était de 30 en 2008, a augmenté de 20% tous les ans.

1. On s’intéresse au nombre d’utilisations de la visio-conférence lors de l’année 2008+n. On modélise la situation par une suite géométrique �89� où le terme 89 est une estimation de ce nombre d’utilisations lors de l’année 2008 + ;. a. Donner la raison H et le premier terme 8: de cette suite.

b. Donner l’expression de 89 en fonction de n. c. Vérifier qu’en 2013 on a atteint 74 utilisations de la visio-conférence.

2. On considère l’algorithme suivant : Variables : Entrée : Traitement : Sortie :

; est un nombre entier naturel 4 et � sont des nombres réels Saisir � Affecter à 4 la valeur 30 Affecter à ; la valeur 0 Tant que 4 < � faire 4 prend la valeur 4 + 4 × 0,2 ; prend la valeur ; + 1 Fin Tant que Afficher ;

a. On donne la valeur 100 à �.

Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant.

Les valeurs de 4 seront données approchées par défaut à l’entier près.

Test 4 < � vrai ………………..

Valeur de 4 30 36 ………………..

Valeur de ; 0 1 ……………

b. Quelle est la valeur affichée en sortie de cet algorithme ?

c. Interpréter cette valeur affichée dans le contexte de ce problème.

3. Le coût de l’installation des appareils de visio-conférence sera amorti quand le nombre total d’utilisations aura dépassé 400.

À partir de quelle année cette installation sera-t-elle amortie ? Justifier la réponse.


EXERCICE IV : (5 points) Polynésie Juin 2014 Une entreprise fabrique chaque jour des objets. Cette production ne peut dépasser 700 objets par jour.

On modélise le coût total de production par une fonction �.

Lorsque x désigne le nombre d’objets fabriqués, exprimé en centaines, on désigne par �� le coût total correspondant, exprimé en centaines d’euros.

La courbe représentative de la fonction � est donnée en annexe page 5.

Partie A

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes en arrondissant au mieux. On laissera apparents les traits de construction sur la figure donnée en annexe.

1. Quel est le coût total de production pour 450 objets ?

2. Combien d’objets sont produits pour un coût total de 60 000 euros ?

3. On considère que le coût marginal est donné par la fonction �′ dérivée de la fonction �

a. Estimer le coût marginal pour une production de 450 objets, puis de 600 objets.

b. Que pensez-vous de l’affirmation : « le coût marginal est croissant sur l’intervalle [0 ; 7] » ?

Partie B

Le prix de vente de chacun de ces objets est de 75 euros.

1. On note J la fonction « recette ». Pour tout nombre réel x dans l’intervalle [0 ; 7], J �� est le prix de vente, en centaines d’euros, de � centaines d’objets.

Représenter la fonction J dans le repère donné en annexe.

2. En utilisant les représentations graphiques portées sur l’annexe, répondre aux questions qui suivent.

a. En supposant que tous les objets produits sont vendus, quelle est, pour l’entreprise, la fourchette maximale de rentabilité ? Justifier la réponse.

b. Que penser de l’affirmation : « il est préférable pour l’entreprise de fabriquer 500 objets plutôt que 600 objets » ?


Annexe exercice I


Annexe exercice IV


BAC BLANC MATHEMATIQUES TERMINALE ES - L 13/01/2015 3 HEURES Une seule calculatrice autorisée - Le prêt est interdit La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

Le sujet est composé de 4 exercices et comporte 4 pages. Aucune page n’est à rendre Chacun traite les 4 exercices qui le concernent selon sa spécialité. Exercices I – III – IV communs à tous les candidats Exercice II : TES spécialité Maths ou TES non spécialité Maths et TL spécialité Maths EXERCICE I : (5 points) POUR TOUS Amérique du sud novembre 2014

On considère la fonction � définie sur l’intervalle [0 ; 4] par

�� = �3� − 4�CGD + 2

1. On désigne par � ′ la dérivée de la fonction � . Montrer que l’on a, pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 4],

�′�� = �7 − 3��CGD

2. Étudier les variations de � sur l’intervalle [0 ; 4] , puis dresser le tableau de variations de � sur cet intervalle. Toutes les valeurs du tableau seront données sous forme exacte.

3. a. Montrer que l’équation � �� = 0 admet une unique solution . sur l’intervalle [0 ; 4]. b. Donner à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée de . à 0,01 près.

4. On admet que la dérivée seconde de la fonction � est la fonction � ′′ définie sur l’intervalle [0 ; 4] par

�′′�� = �3� − 10�CGD

a. Déterminer l’intervalle sur lequel la fonction � est convexe.

b. Montrer que la courbe représentative � de la fonction � possède un point d’inflexion dont on précisera l’abscisse.


EXERCICE II : (5 points) TES - SPECIALITE

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Lors d’une campagne de marketing l’entreprise B distribue un stylo ou un porte-clés ; il en coûte à l’entreprise 0,80 € par stylo et 1,20 € par porte-clés distribué.

À la fin de la journée l’entreprise a distribué 550 objets et cela lui a coûté 540 €.

On cherche le nombre s de stylos et le nombre c de porte-clés distribués.

1. Écrire un système traduisant cette situation.

2. Montrer que le système précédent est équivalent à & × K � A où & � , 1 10,8 1,2- et K et A sont des

matrices que l’on précisera.

3. Résoudre le système à l’aide de la calculatrice. Interpréter le résultat.

Partie B

L’entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants :

Nombre de recharges en milliers 1 3 5

Coût total annuel de production en centaines d’euros 11 27,4 83

Le coût total de production est modélisé par une fonction � définie pour tout nombre réel x de l’intervalle [0; 10] par : �� = ��$ + L�( + M� + 10 , où a , b et c sont des nombres réels.

Lorsque le nombre x désigne le nombre de milliers de recharges produites, �� est le coût total de production en centaines d’euros.

1. Montrer que le triplet ��, L, M� est solution du système (S) N � + L + M = 127� + 9L + 3M = 17,4125� + 25L + 5M = 73.

2. a. On pose K = O�LMP. Écrire ce système sous la forme QK = R où M et Y sont des matrices que l’on

précisera.

2. b. On admet que la matrice M est inversible. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, le triplet ��, L, M� solution du système (S).

3. En utilisant cette modélisation, quel serait le coût total annuel de production pour 8000 recharges d’eau produites ?


EXERCICE II : (5 points) TES NON SPECIALITE et TL Centres étrangers Juin 2013

Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes.

On sait que :

• 15% des sacs sont vendus directement dans l’exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés.

• Parmi les sacs vendus directement dans l’exploitation agricole, 80% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu’un seul type de pommes.

• Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, l0% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu’un seul type de pommes.

On désigne par :

E l’évènement « les sacs de pommes sont vendus sur l’exploitation »

V l’évènement « les sacs contiennent des pommes de variétés différentes ».

L’évènement contraire de l’évènement � sera noté �̅.

On achète de façon aléatoire un sac de pommes.

1. Traduire les trois données de l’énoncé en termes de probabilités.

2. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.

3. Définir par une phrase l’évènement @ ∩ T puis calculer sa probabilité.

4. Montrer que la probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est égale

à 0,205.

5. Le sac acheté contient des pommes d’une seule variété.

Calculer la probabilité qu’il ait été acheté directement sur l’exploitation agricole, arrondir le résultat à 0,001 près.

6. Des producteurs, interrogés lors de l’enquête, disposent ensemble de 45 000 sacs.

Chaque sac, qu’il contienne un seul type de pommes ou des pommes de variétés différentes, est vendu 0,80 euro sur l’exploitation agricole et 3,40 euros dans des supermarchés

Calculer le montant total des ventes qu’ils peuvent prévoir.


EXERCICE III : (6 points) POUR TOUS Amérique du sud novembre 2014

Une agence de presse a la charge de la publication d’un journal hebdomadaire traitant des informations d’une communauté de communes dans le but de mieux faire connaître les différents évènements qui s’y déroulent. Un sondage prévoit un accueil favorable de ce journal dans la population. Une étude de marché estime à 1 200 le nombre de journaux vendus lors du lancement du journal avec une progression des ventes de 2% chaque semaine pour les éditions suivantes. L’agence souhaite dépasser les 4 000 journaux vendus par semaine.

On modélise cette situation par une suite �89� où 89 représente le nombre de journaux vendus n semaines après le début de l’opération. On a donc 8: � 1200.

1. Calculer le nombre 8� de journaux vendus une semaine après le début de l’opération. 2. Écrire, pour tout entier naturel n, l’expression de 89 en fonction de n. 3. Déterminer à partir de combien de semaines le nombre de journaux vendus sera supérieur à 1 500. 4. Voici un algorithme :

VARIABLES : INITIALISATION : TRAITEMENT : SORTIE :

4 est un réel / est un entier naturel 4 prend la valeur 1 200 / prend la valeur 0 Tant que 4 ≤ 4000 / prend la valeur / + 1 4 prend la valeur 1,02 × 4 Fin du Tant que SORTIE : Afficher /

4. a. Déterminer la valeur de N affichée par cet algorithme.

4. b. Interpréter le résultat précédent.

5. a. Montrer que, pour tout entier n, on a :

1 + 1,02 + 1,02² + ⋯ + 1,029 = 50 × �1,029U� − 1�

5. b. On pose, pour tout entier n, <9 = 8: + 8� + 8( + ⋯ + 89

À l’aide de la question précédente, montrer que l’on a :

<9 = 60000 × �1,029U� − 1� 5. c. Déduire de la question précédente le nombre total de journaux vendus au bout de 52 semaines. Le résultat sera arrondi à l’unité.


EXERCICE IV : (4 points) POUR TOUS d’après Polynésie septembre 2013

On a tracé ci-contre : La courbe représentative � d’une

fonction � définie sur �,

Ses tangentes : au point � d’abscisse 2, au point � d’abscisse �2 Aucune justification n’est demandée dans cet exercice.

Partie A : 1. Dresser le tableau de signe de �� 2. L’affirmation ��0� � 3,5 est-elle vraie ou fausse ? Partie B : Cette partie est un questionnaire à choix multiples. Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Une bonne réponse rapporte 0,75 point. Une mauvaise réponse ou l’absence de réponse n’apporte, ni n’enlève aucun point.

1. Quelle est l’équation de la tangente à � en A ?

a. ' � �C� ! 2C b. ' � 3� ! 2C c. ' � C� ! 3C d. ' � �5� ! 4C

2. Quelle est l’équation de la tangente à � en � ?

a. � � �2 b. ' � �2 c. ' � 4 d. ' � �4�

3. La fonction �est : a. concave sur � ∞; 0 b. convexe sur � ∞; 0 c. concave sur �0; 2 d. convexe sur �0; 2

4. Parmi les 4 courbes représentées ci-contre, laquelle représente la fonction dérivée de la fonction �?


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TL - TES B 30/01/2015 1 Heure CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT Une association caritative a constaté que, chaque année, 20 % des donateurs de l’année précédente ne renouvelaient pas leur don mais que, chaque année, 300 nouveaux donateurs effectuaient un don. On étudie l’évolution du nombre de donateurs au fil des années. En 2012, première année de l’étude, l’association comptait 1 000 donateurs. On note 89 le nombre de donateurs en 2012 + ; ; on a donc 8: = 1000 1° Calculer 8� 2° Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a : 89U� = 0,8 × 89 + 300. 3° On considère la suite �W9� définie pour tout entier naturel non nul n, par W9 = 1500 − 89 . a) Montrer que �W9� est une suite géométrique de raison 0,8. Préciser son premier terme. b) Montrer que pour tout ; , on a : 89 = 1500 − 500 × 0,89 4° a) Montrer que pour tout , on a : 89U� − 89 = 100 × 0,89 b) En déduire le sens de variation de la suite �89�. c) A l’aide de la calculatrice, déterminer à partir de quelle année, le nombre de donateurs dépassera 1400. d) Compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il permette de retrouver ce résultat.

Entrée - Initialisation :

TRAITEMENT :

SORTIE :

4 prend la valeur 1 000 / prend la valeur 0

Tant que … / prend la valeur …

4 prend la valeur … Fin du Tant que

Afficher /

5° Calculer la limite de (un). Que peut-on en déduire pour l’évolution du nombre de donateurs de l’association ? 6° Un donateur donne une fois par an et le don moyen est de 120€. Un logiciel de calcul formel donne l’écran ci-contre. En utilisant au mieux cette information, déterminer une estimation du nombre total de dons reçus entre le 1er janvier 2012 et le 31 décembre 2020. On arrondira à la centaine. En déduire le montant reçu par l’association.

7° On veut produire une feuille de calcul donnant par année d’une part le nombre de dons, d’autre part le nombre total de dons depuis 2012. <9 = 8: + 8� + 8( + ⋯ + 89. Remplir les cellules nécessaires avec les valeurs initiales ou les formules.

1

2

3

4

5

6

7

A B C D

année n un Sn


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TL - TES B 03/03/2015 1 Heure CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

EXERCICE I : (13 points)

Partie A

On considère la fonction � définie sur �1 ; 6] par �� = 2� − 2 − 4Y;�

1° Montrer que pour � ∈ [1; 6], on a �� = (�DG(�D , puis étudier le signe.

2° Dresser le tableau de variation de la fonction �.

3° Montrer que l’équation �� = 0 admet une unique solution dans [2 ; 6], on la note ..

Déterminer la valeur arrondie à 10G( près de ..

4° Dresser le tableau de signe de �� sur [1 ; 6] Partie B

Soit � la fonction définie sur l’intervalle [1 ; 6] par : �� = �² + 2� − 4�. Y;��

Une entreprise fabrique des boitiers de télécommande plastiques. Lorsque l’entreprise fabrique x milliers de boitiers par jour, le coût moyen de production d’un boitier est égal à �� (� est compris entre 1 millier et 6 milliers). Le coût moyen est exprimé en euros.

1. Montrer que �′�� = 2� − 2 − 4Y;�� pour � ∈ [1 ; 6] 2. a. À l’aide de l’étude faite dans la partie A, déterminer le signe de �′�� sur [1 ; 6]

2. b. Etablir le tableau de variation de � sur l’intervalle [1 ; 6]. 3. En déduire le nombre de boitiers à produire par jour pour que le coût de production d’un boitier soit minimum. On donnera la valeur arrondie à 100 boitiers près.

EXERCICE II : (7 points) Partie A : Résoudre l’inéquation 100 − 15 × 0,99 ≥ 95 ; puis déterminer le plus petit entier ; solution de cette inéquation. Partie B : Retrouver la réponse vraie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse erronée enlève 0,5 point. L’absence de réponse n’est pas pénalisée. Sur votre copie, reportez le n° de la question et votre choix : lettre et réponse 1. Pour tout nombre réel strictement positif, le nombre ln�7 × �� est égal à : a. 7 × ln �� b. ln�7� × ln �� c. ln�7� + ln �� 2. Dans �, l’équation CD − 5 = 0 admet pour solution :

a. C\ b. ln �5� c. 5C 3. Pour tout réel x, le nombre C(DU]^ $ est égal à : a. 3C(D b. 3 + C(D c. 2� + 3 4. L’inéquation 1 − 2 ln�� ≥ 0 admet pour ensemble de solutions l’intervalle :

a. ]0 ; √C] b. ̀ −∞; Cab` c. cCab; +∞c


MATHEMATIQUES TES Bleue, Pervenche 18/03/2015 3 Heures UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.


EXERCICE I : (5 points) Le gestionnaire d’une salle de concert constate que, chaque année, le nombre d’abonnés est constitué de 70% des abonnés de l’année précédente, auxquels s’ajoutent 210 nouveaux abonnés. Le nombre d’abonnés en 2010 était de 600. 1. Calculer le nombre d’abonnés en 2011 et 2012.

2. On définit la suite �89� par : 8: � 600 et, pour tout entier naturel n, 89U� = 0,789 + 210. On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite �89� A B 1 ; 89 2 0 600 3 1 4 2 5 3 6 4 7 5 8 6 9 7 Proposer une formule à écrire en B3 pour calculer 8� ; cette formule « tirée vers le bas » dans la colonne devra permettre de calculer les valeurs successives de la suite �89�. 3. On pose, pour tout entier naturel n : W9 = 89 − 700. a. Démontrer que la suite �W9� est géométrique de raison 0,7. Préciser son premier terme. b. Justifier que pour tout entier naturel ;, 89 = 700 − 100 × 0,79. 4. a. Soit n un entier naturel. Démontrer que 89 ≥ 697 est équivalent à 0,79 ≤ 0,03. b. Pour résoudre cette inéquation, on utilise l’algorithme suivant :

Variables : N est un nombre entier naturel Initialisation : Affecter à N la Valeur 0 Affecter à U la valeur 1 Traitement : Tant que U > 0,03 Affecter à N la valeur N +1. Affecter à U la valeur 0,7×U. Fin du Tant que Sortie : Afficher N.

Quelle valeur de N obtient-on en sortie ? (On fera tourner l’algorithme). c. Retrouvez ce résultat en résolvant l’inéquation 0,79 ≤ 0,03 d. En utilisant l’étude précédente de la suite �89�, déterminer à partir de quelle année le nombre d’abonnés atteindra au moins 697.


EXERCICE II : (5 points) Le tableau ci-dessous donne la répartition des élèves de terminale de séries générales selon la série et le sexe, à la rentrée 2010. Filles Garçons Littéraire (L) 40872 11080 Sciences économiques et sociales (ES) 63472 40506 Scientifiques (S) 71765 87031 Total 176109 138617

Source : Ministère de l’Éducation nationale, DEPP Notations : %�� désigne la probabilité d’un évènement A. %d�� désigne la probabilité d’un évènement B sachant que l’évènement A est réalisé. On choisit au hasard un élève de terminale de série générale. On note : F : l’évènement « L’élève choisi est une fille ». G : l’évènement « L’élève choisi est un garçon ». L : l’évènement « L’élève choisi est en série Littéraire ». ES : l’évènement « L’élève choisi est en série Sciences Économiques et Sociales ». S : l’évènement « L’élève choisi est en série Scientifique ».

Tous les résultats seront arrondis au centième. 1. En utilisant les effectifs inscrits dans le tableau : a. Sachant qu’on interroge un garçon, calculer la probabilité qu’il soit en série Littéraire. b. Calculer p(S). 2. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous :

0,56

e

f

0,23 0,36

0,29

g

@<

<

g

@<

S

3. En utilisant l’arbre complété et les propriétés des probabilités : a. Montrer que la probabilité, arrondie au centième, que l’élève choisi soit un élève de la série Sciences Économiques et Sociales est égale à 0,33. b. Calculer %hi�e� 4. On choisit successivement et au hasard 10 élèves de terminale de série générale. On admet que le nombre de lycéens est suffisamment grand pour que ces choix soient assimilés à des tirages indépendants avec remise. Calculer la probabilité de choisir exactement trois élèves de la série ES.


EXERCICE III : (5 points) Cette partie est un questionnaire à choix multiples. Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour

chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Une bonne réponse rapporte un point.

Une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L’absence de réponse n’est pas pénalisée.

Aucune justification n’est demandée.

1° On pose � � j 3C$Dk��: . On peut affirmer que :

a. � � C$ � 1 b. � � 3C$ � 3 c. I = 19,1 d. � � 1 � C$

2° Soit f une fonction définie et dérivable sur �. Le tableau de variations de la fonction f est le suivant :

� �∞ �5 �1 7 !∞ ��

0 0 �4

a. L’intégrale j ��k�lG� est strictement positive.

b. L’intégrale j ��k�lG� est strictement négative.

c. L’intégrale j ��k�lG� est nulle.

d. Le tableau de variations ne permet pas de connaître le signe de l’intégrale j ��k�lG� .

3° On résout dans � l’inéquation : Y;� ! Y;2 # ln�3� � 6� L’ensemble des solutions est :

a. 2; 6 b. �6; !∞� c. 0; 6 d. 0; 4

4° La valeur exacte de ln�10C(� est :

a. 2 ln�10� ! 2 b. 4,302585093 c. ln�10� ! 2 d. 2ln�10C� 5° On donne ci-dessous la courbe représentative d’une fonction � dans un repère du plan.

La valeur de j ��k��: est :

a. C � 2 b. 2 c. 1/4 d. Y; ,�(-


EXERCICE IV : (5 points) On considère la fonction � définie sur [0,5 ; 10] par : �� = −�² − 4� + 15 + 6 ln �� On note �� la fonction dérivée de la fonction � . 1. Vérifier que :

�� = −2�( − 4� + 6�

2. Étudier le signe de la fonction �� sur [0,5 ; 10]. En déduire le tableau de variations de � sur [0,5 ; 10] . 3. Montrer que l’équation � �� = 0 admet une unique solution . sur l’intervalle [0,5 ; 10] Donner une valeur approchée de . à 10G( par défaut. 4. On considère la fonction F définie et dérivable sur [0,5 ; 10] telle que :

e�� = − 13 �$ − 2�² + 9� + 6� ln��

Montrer que e est une primitive de � sur [0,5 ; 10]. 5. Calculer

� = m ��k�$

�

En donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au millième. 6. En déduire la valeur moyenne de la fonction � sur l’intervalle [1 ; 3] , en donner une valeur approchée au millième.


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TL - TES B 28/04/2015 1 Heure CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

EXERCICE I : (7,5 points) Une entreprise est spécialisée dans la fabrication de ballons de football. Un ballon de football est conforme à la réglementation s’il respecte deux conditions sur sa masse et sur sa circonférence. En particulier, un ballon de taille standard est conforme à la réglementation lorsque sa masse, exprimée en grammes, appartient à l’intervalle [410 ; 450] et sa circonférence, exprimée en centimètres, appartient à l’intervalle [68 ; 70]. 1. On note X la variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standard choisi au hasard dans l’entreprise, associe sa masse en grammes. On admet que X suit la loi normale d’espérance 430 et d’écart type 10. 1. a. Déterminer une valeur arrondie à 10–3 près de la probabilité que le ballon ait une masse conforme à la réglementation. 1. b. Déterminer une valeur arrondie à 10–3 près de la probabilité 6�K � 410� 2. On note Y la variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standard choisi au hasard dans l’entreprise associe sa circonférence en centimètres. On admet que Y suit la loi normale d’espérance 69 et d’écart type n.

On pose o = pGq r

2. a. Quelle loi la variable aléatoire Z suit-elle ? 2. b. On sait que 95 % des ballons de taille standard ont une circonférence conforme à la réglementation, c’est-à-dire 6�68 ≤ R ≤ 70� = 0,95. Déterminer la valeur de n, au centième près.

EXERCICE II : (12,5 points) Les trois questions sont indépendantes. Une grande entreprise vient de clôturer sa campagne de recrutement qui s’est déroulée en deux temps : Etude du dossier présenté par le candidat ; puis entretien en vue du recrutement. Le processus de recrutement mis en œuvre par l’entreprise est le suivant : — si le dossier est jugé de bonne qualité, alors le candidat est reçu en entretien par le directeur des ressources humaines ; — si le dossier n’est pas jugé de bonne qualité, alors le candidat subit des tests puis est reçu en entretien par le directeur de l’entreprise. Dans les deux cas, à l’issue de l’entretien, le candidat est recruté ou ne l’est pas. À l’issue de cette campagne de recrutement, l’entreprise publie les résultats suivants : • 30% des candidats avaient un dossier jugé de bonne qualité ; • 20% des candidats n’ayant pas un dossier jugé de bonne qualité ont été recrutés ; • 38% des candidats ont été recrutés. 1. On prend un candidat au hasard et on note : • D l’évènement « le candidat a un dossier jugé de bonne qualité » ; • R l’évènement « le candidat est recruté par l’entreprise ». a. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré. b. Calculer la probabilité que le candidat n’ait pas un dossier de bonne qualité et ne soit pas recruté par l’entreprise. c. Montrer que la probabilité de l’événement � ∩ & est égale à 0,24. 2. Dix personnes postulent pour un emploi dans l’entreprise. Les études de leurs candidatures sont faites indépendamment les unes des autres. On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi les 10 personnes. a. Justifier que X suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,38. b. Calculer la probabilité qu’au moins une des dix personnes soit recrutée. On donnera la valeur exacte puis une valeur du résultat arrondie à 10−3. 3. Deux amis, Aymeric et Coralie, sont convoqués le même jour pour un entretien avec la direction des ressources humaines. Coralie arrive à 8 h 30 alors qu’Aymeric arrive au hasard entre 8 h et 9 h. On désigne par T la variable aléatoire donnant l’heure d’arrivée d’Aymeric et on admet que T suit la loi uniforme sur l’intervalle [8 ; 9]. Déterminer la probabilité pour que Coralie attende Aymeric plus de dix minutes.



Inscrivez le nom de votre enseignant. Chacun traite l’ex II qui le concerne : les TES spécialité rédigent l’ex II spécialité sur une copie séparée.

EXERCICE I : (5 points) Amérique du nord 2013

On considère la fonction f définie sur � dont la

courbe représentative � est tracée ci-contre dans

un repère orthonormé. Partie A On suppose que � est de la forme : �� L � ��CsD où � et L désignent deux constantes. On sait que : • Les points ��0; 2� et ��2; 0� appartiennent à la courbe � . • La tangente à la courbe � au point A est parallèle à l’axe des abscisses.

On note f ′ la fonction dérivée de f , définie sur � .

1. Par lecture graphique, indiquer les valeurs de ��2� et�′�0�. 2. Calculer �′��. 3. En utilisant les questions précédentes, montrer que a et b sont solutions du système suivant :

t L � 2 � 0�L � 1 � 0

4. Calculer � et L et donner l’expression de ��. Partie B On admet que �� ! 2�C:,\D.

1. À l’aide de la figure 1, justifier que la valeur de l’intégrale j ��k�(: est comprise entre 2 et 4.

2. a. On considère F la fonction définie sur � par e�� 2� ! 8�C:,\D.

Montrer que F est une primitive de la fonction f sur R.

b. Calculer la valeur exacte de j ��k�(: et en donner une valeur approchée à 10G( près.

3. On considère f une autre primitive de � sur �. Parmi les trois courbes ��, �( et �$ ci-dessous, une seule est la

représentation graphique de G. Déterminer la courbe qui convient et justifier la réponse.


EXERCICE II : (5 points) TES SPECIALITE Une société est spécialisée dans la vente en ligne de produits de haute technologie sur internet. Partie A La société réalise tout au long de l’année des journées promotionnelles pour attirer ses clients sur son site internet. Elle leur envoie un courrier électronique annonçant chaque journée de promotion. Parmi les clients, 5% d’entre eux ont visité le site internet de la société lors de la première journée de promotion. Une étude portant sur le comportement des clients auxquels la société a envoyé ce type de message a mis en évidence que : • trois clients sur cinq ayant visité le site internet lors d’une journée promotionnelle, le visitent à nouveau lors de la journée promotionnelle suivante; • un client sur cinq n’ayant pas visité le site internet lors d’une journée promotionnelle, le visite lors de la journée promotionnelle suivante. On choisit au hasard, un client ayant reçu le message annonçant la première journée promotionnelle. On formule l’hypothèse que les comportements des clients observés lors de l’étude n’évoluent pas d’une journée promotionnelle à la suivante. Pour tout entier naturel n non nul, on note 69 � ��9 '9 � l’état probabiliste ainsi défini par la matrice ligne , où �9 désigne la probabilité que le client, pris au hasard, visite le site internet de la société lors de la nième journée de promotion. 1. Pour une journée promotionnelle donnée, on note V, l’évènement « le client a visité le site internet lors de la journée promotionnelle». Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets Tet TE . 2. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets Tet TE dans cet ordre. 3. En remarquant que 6� = �0,05 0,95 �, déterminer 6(. Interpréter ce résultat.

4. On admet que le taux de visites se stabilise à long terme. Montrer que,�$ (

$ - est un état stable de ce système.

Partie B Le réseau informatique de cette société est constitué d’un ensemble de routeurs interconnectés à l’aide de fibres optiques haut débit. Le graphe qui suit schématise l’architecture de ce réseau. Les sommets représentent les routeurs et les arêtes représentent les fibres optiques. On a fait figurer les durées de transfert des données (en millisecondes) d’un routeur à un autre sur les fibres optiques du réseau de la société. 1. Chaque année la société doit vérifier l’état physique de la fibre optique installée sur son réseau. Un robot inspecte toute la longueur de la fibre optique afin de s’assurer qu’elle ne présente pas de détérioration apparente. Peut-il parcourir l’ensemble du réseau en suivant les fibres optiques et en empruntant chaque fibre optique une et une seule fois? Justifier la réponse. Si un tel parcours est possible, préciser par quel(s) routeur(s) du réseau le robot doit commencer son inspection. 2. Un ordinateur, relié au routeur A envoie un paquet de données à un ordinateur relié au routeur I. Le paquet de données a mis 70 ms pour transiter du routeur A au routeur I. Ce paquet de données a-t-il emprunté le chemin le plus rapide sur le réseau? Justifier la réponse


EXERCICE II : (5 points) TES NON SPECIALITE et TL Nouvelle Calédonie mars 2015 Dans une grande entreprise, les commerciaux ont le choix de services de téléphonie mobile exclusivement entre deux opérateurs concurrents : A et B. On s’intéresse aux parts de marché de ces deux opérateurs chez les commerciaux de cette entreprise. Chaque commercial dispose d’un seul abonnement chez l’un ou l’autre des opérateurs : A et B. Les abonnements sont souscrits pour une période d’un an, à partir du 1er janvier. Une statistique, menée sur les choix des commerciaux, a révélé que : • parmi les abonnés de l’opérateur A, 18% d’entre eux, en fin d’année, changent d’opérateur ; • parmi les abonnés de l’opérateur B, 22% d’entre eux, en fin d’année, changent d’opérateur. On admet que les mouvements d’abonnés d’un opérateur à l’autre se poursuivront dans ces proportions dans les années à venir. De plus on sait qu’au 1er janvier 2014, 40% des commerciaux avaient souscrit un abonnement chez A et 60% chez B. On note, pour tout entier naturel n : • 89 la proportion de commerciaux disposant d’un abonnement chez A au 1er janvier de l’année 2014 + ; : • W9 la proportion de commerciaux disposant d’un abonnement chez B au 1er janvier de l’année 2014 + ;. On a donc 8: = 0,4 et W: = 0,6 1. Justifier que 89U� = 0,8289 + 0,22W9 et que 89 + W9 = 1. 2. En déduire que pour tout entier naturel n : 89U� = 0,689 + 0,22 3. On considère la suite �u9� définie pour tout entier naturel n par u9 = 89 − 0,55 3. a. Montrer que �u9� est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 3. b. En déduire l’expression de u9 en fonction de n. 3. c. Montrer que pour tout entier naturel n, 89 = 0,55 − 0,15 × 0,69 4. Conjecturer la limite de la suite �89�. Comment interpréter ce résultat sur l’évolution des parts de marché dans les années futures ? EXERCICE III : (5 points) Nouvelle-Calédonie novembre 2014 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué. Une bonne réponse rapporte 1 point Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point

Pour relier une île au continent, les touristes doivent obligatoirement utiliser une des deux compagnies de ferries A ou B qui se partagent l’ensemble des transports vers cette île. Une enquête de satisfaction réalisée auprès de touristes s’y étant rendus a produit les résultats suivants : • 60% des touristes se rendant sur l’île utilisent la compagnie A, les autres utilisent la compagnie B; • parmi les touristes ayant choisi la compagnie A pour se rendre sur l’île, 20% sont satisfaits de leur transport ; • 48% de l’ensemble des touristes sont satisfaits du transport vers l’île. On interroge au hasard un touriste s’étant rendu sur l’île : 1. La probabilité que ce touriste ait choisi la compagnie A et soit satisfait de son transport est : a. 0,08 b. 0,12 c. 0,24 d. 0,88 2. La probabilité que ce touriste ait choisi la compagnie A sachant qu’il est satisfait de son transport est : a. 0,34 b. 0,20 c. 0,25 d. 0,83


3. On rappelle que 48% de l’ensemble des touristes sont satisfaits par le transport vers l’île. Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 touristes choisis au hasard et de façon indépendante et ayant visité l’île, associe la fréquence de touristes satisfaits par le transport vers l’île. Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de F est : a. [0,382 ; 0,578] b. [0,431 ; 0,529] c. [0,470 ; 0,490] d. [0,475 ; 0,485] 4. On choisit de modéliser le nombre de touristes satisfaits par le transport vers l’île parmi les 100 touristes choisis au hasard et de façon indépendante par une variable aléatoire X qui suit une loi normale de moyenne μ = 48 et d’écart-type n � 5. La probabilité, selon ce modèle, qu’il y ait moins de 40 touristes satisfaits est, à 0,001 près : a. 0,055 b. 0,309 c. 0,347 d. 0,374 5. La durée (en minutes) de la traversée entre le continent et l’île est modélisée par une variable aléatoire D qui suit une loi uniforme sur l’intervalle [30 ; 50]. La probabilité que la traversée entre le continent et l’île dure au moins 35 minutes est : a. 0,25 b. 0,35 c. 0,70 d. 0,75 EXERCICE IV : (5 points) Antilles Septembre 2014

Les trois parties sont indépendantes et peuvent être traitées séparément. Un producteur de légumes souhaite s’implanter dans une commune et livrer directement chez le consommateur des paniers de 5 kg de légumes variés labélisés « bio ». Partie A Avant de se lancer, le producteur fait réaliser un sondage auprès de 2500 foyers de la commune ; 80 foyers se déclarent intéressés par l’achat d’un panier par mois. 1. Déterminer l’intervalle de confiance au niveau de confiance de 95% de la proportion de foyers de la commune susceptibles de passer commande d’un panier mensuel.

2. Quelle aurait dû être la taille de l’échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude 0,02 ?

3. La commune compte 15 000 foyers. La condition pour démarrer l’entreprise est de réaliser une recette minimale de 3 500 euros par mois. Sachant que les paniers seront vendus 20 euros l’un, le producteur peut-il envisager de se lancer ? Justifier la réponse. Partie B La production mensuelle de légumes permettra de livrer au maximum 1 000 paniers par mois. Le coût total de production est modélisé par la fonction C définie sur l’intervalle [0 ; 10] par �� = G�

3v �3 + \�q �$ + 5� + 10.

Lorsque x est exprimé en centaines de paniers, C(x) est égal au coût total exprimé en centaines d’euros. On admet que, pour tout nombre x de l’intervalle [0 ; 10], le coût marginal est donné par la fonction �w = �′ où ��est la fonction dérivée de �. 1. Calculer �w�6�, le coût marginal pour six cents paniers vendus.

2. On note �′′ la fonction dérivée seconde de � et on a �� = G�3 �( + �\

v �

a. Déterminer le plus grand intervalle de la forme [0 ; a] inclus dans [0 ; 10] sur lequel la fonction C est convexe. b. Que peut-on dire du point d’abscisse a de la courbe de la fonction C ? Interpréter cette valeur de a en termes de coût.


Partie C On admet que l’entreprise produit entre 0 et 1 000 paniers de légumes (par mois) et que tout ce qui est produit est vendu au prix de 20 euros le panier. La recette mensuelle R, exprimée en centaines d’euros, ainsi que la fonction C sont représentées par les courbes �x et �y sur le graphique donné en annexe. Par lecture graphique, répondre aux questions qui suivent. 1. Indiquer le nombre minimal de paniers que le producteur doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice. Donner une valeur approchée à la dizaine. 2. Indiquer le bénéfice réalisé par le producteur s’il produit et vend 500 paniers dans le mois. Donner une valeur approchée à la centaine d’euros. 3. Le producteur peut-il espérer réaliser un bénéfice de 5 000 euros dans un mois ? Argumenter la réponse.

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