Terminale ES, Devoir de mathématiques. Professeurs :...

Terminale ES, Devoir de mathématiques. Professeurs : Mme Brivezac, M. Glavier et Pons 07 novembre 2014

sur 5 | Lycée Saint-Charles, Athis-Mons

Durée: 3h avec calculatrice personnelle La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part

importante dans l'appréciation des copies. Une annexe est à joindre à la copie.

Les candidats traiteront les exercices 1, 2 et 3.

Puis les candidats n’ayant pas choisi la spécialité mathématiques traiteront l’exercice 4 et les candidats ayant choisi la spécialité traiteront l’exercice 5 sur copie séparée.

Chaque candidat notera le sujet choisi (spécialité ou non) sur l’en-tête de la partie commune.

Exercice 1 – 5 points – Commun à tous les candidats

Partie A : Economie. Une entreprise fabrique des ballons de handball haut de gamme. Le coût total de fabrication, exprimé en euros, est donné par, C(q) = q3 – 5q2 + 40q + 400, où q, exprimé en dizaine, représente la quantité produite, on admettra que q ∊ [0 ; 16]. Chaque ballon est vendu 40 euros pièce. 1. Démontrer que le bénéfice a pour expression : B(q) = –q3 + 5q2 + 360q – 400 2. a. Etudier les variations de B. b. Dresser son tableau de variations. 3. Déterminer le nombre de ballons à produire pour obtenir un bénéfice maximum. On donnera une valeur arrondie à l’unité. Partie B : Lectures graphiques. Une fonction f dérivable sur I = [-2 ;4] est représentée par la courbe donnée en annexe. Sa fonction

dérivée est notée f ′. La tangente au point d’abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1 ; 2). 1. Lire graphiquement : �(1) et �’(1) puis �(0) et �’(0). 2. Déterminer par le calcul l’équation réduite de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0. 3. Résoudre graphiquement l’inéquation�’(�) > 0.


Un opérateur de téléphonie mobile constate que, chaque année, il perd 8% de ses précédents abonnés et que, par ailleurs, il gagne 3 millions de nouveaux abonnés. En 2013 le nombre d’abonnés est de 20 millions.

On s’intéresse au nombre d’abonnés, en millions, pour l’année 2013+n.

En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être modélisée par la suite (un) définie pour tout entier naturel n, par :

u0 = 20 et un+1 = 0,92un +3.

Le terme un donne une estimation du nombre d’abonnés pour l’année 2013+n.



Partie A

1. a. En utilisant cette modélisation, l’opérateur décide d’arrondir les résultats à 10−3. À quoi

correspond ce choix d’arrondi ? b. Déterminer le nombre d’abonnés en 2014 et en 2015.

2. On définit la suite (vn) par vn = un − 37,5 pour tout entier naturel n. Démontrer que (vn) est une

suite géométrique de raison 0,92. Préciser son premier terme. 3. Exprimer vn en fonction de n.

En déduire que, pour tout entier naturel n, un = −17,5×0,92n + 37,5.

4. Déterminer le nombre d’abonnés en millions en 2020. Arrondir les résultats à 10−3. 5. Déterminer la limite de la suite (un). 6. L’opérateur peut-il espérer dépasser 30 millions d’abonnés ? Partie B Compte tenu des investissements, l’opérateur considère qu’il réalisera des bénéfices lorsque le nombre d’abonnés dépassera 25 millions. 1. Compléter l’algorithme donné en annexe afin de déterminer le nombre d’années nécessaires à partir de 2013 pour que l’opérateur fasse des bénéfices. 2. En quelle année l’opérateur fera-t-il des bénéfices pour la première fois ?


Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à 10−3 près. Une étude sur le taux d’équipement en

téléphonie des ménages d’une ville a permis d’établir les résultats suivants : – 90% des ménages possèdent un téléphone fixe ; – parmi les ménages ne possédant pas de téléphone fixe, 87% ont un téléphone portable ; – 80% des ménages possèdent à la fois un téléphone fixe et un téléphone portable.

On choisit un ménage au hasard et on note : – F l’évènement : « le ménage possède un téléphone fixe » ; – T l’évènement : « le ménage possède un téléphone portable ».

1. a. Grâce aux données de l’énoncé, donner P(F∩T), P(F) et P�(T). b. Tracer l’arbre probabiliste résumant la situation. c. Calculer PF(T). 2. Démontrer que la probabilité de l’évènement T est 0,887. 3. Sachant que le ménage choisi n’a pas de téléphone portable, quelle est la probabilité que ce soit un ménage possédant un téléphone fixe ? 4. On choisit successivement au hasard et de manière indépendante trois ménages. Quelle est la probabilité qu’il y en ait au plus deux ayant un téléphone portable?



Exercice 4 – 5 points – Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Partie A : Questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie 1. La somme S = 1+2+22 +23 +· · ·+230

est égale à :

a. −1 + 231 b. 1 − 231

c. −1 + 230 d. 1− 230

2. L’équation − �� + �² + 3� = 0 admet sur R :

a. la solution −2 b. trois solutions distinctes c. aucune solution d. une unique

solution

3. Les nombres entiers n solutions de l’inéquation (��)�<0,003 sont tels que :

a. n ≥ 8 b. n ≥ 9 c. n ≤ 8 d. n ≤ 9 Partie B : Une addition. Le conseil municipal d’une station touristique de montagne a décidé de faire équiper une falaise afin de créer un site d’escalade. La falaise a une hauteur de 50 mètres. L’équipement doit se faire depuis le haut de la falaise. Une entreprise spécialisée dans les travaux acrobatiques propose le devis suivant : Le premier mètre équipé coûte 40 €, puis chaque mètre supplémentaire équipé coûte 5 % de plus que le mètre précédent. On appelle un le prix du n-ième mètre équipé. 1. Montrer que la suite (un) est une suite géométrique. Quelle est sa raison ? Préciser son premier terme. 2. Calculer le prix à payer (à un euro près) pour équiper cette falaise.

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Exercice 5 – 5 points – Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans cet exercice, toutes vos réponses doivent être justifiées par une propriété du cours. Une société de tourisme organise des séjours pour visiter les 6 pays d’une région dont la carte est schématisée ci-contre. Un graphe 1. Dessinez un graphe G modélisant cette situation, où les sommets

représentent les pays et les arêtes représentent les frontières entre les pays. Questions sur le graphe 2. Le graphe G est-il connexe ? 3. Le graphe G est-il complet ? Si non, citez un sous-graphe complet d’ordre maximal de G. 4. Déterminez le diamètre du graphe G et interprétez cette information sur la carte. Les séjours longs 5. La société de tourisme peut-elle organiser un séjour passant par chacune des frontières de la région une fois et

une seule ? Si c’est possible, quels doivent être les pays de départ et d’arrivée d’un tel séjour ? Donnez alors un exemple d’un tel séjour.

6. La société de tourisme peut-elle organiser un séjour passant par chacune des frontières de la région une fois et une seule et revenant à son point de départ ? Si c’est possible, donnez un exemple d’un tel séjour.

Les séjours courts 7. On ne demande pas de déterminer la matrice d’adjacence M du graphe G, mais on sait que la matrice M3 est

une des matrices R ou S ci-dessous. Indiquez laquelle en expliquant pourquoi.

R =

��6 10 11 11 6 1010 4 8 6 10 511 8 8 11 11 611 6 11 8 11 86 10 11 11 6 1010 5 6 8 10 4 �

!

S =

��6 10 11 11 6 1210 3 8 6 10 511 8 8 11 11 611 6 11 8 11 86 10 11 11 6 1012 5 6 8 10 4 �

!

8. Certains touristes n’ont pu obtenir un visa que pour traverser trois frontières (non nécessairement distinctes)

dans cette région. La société de tourisme leur propose alors des séjours courts. Combien de ces séjours courts passant uniquement par trois frontières permettent de rejoindre le pays B au pays F ? Citez-les tous.

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A

B

C

E

D

F



Annexe à joindre à la copie. Le reste du sujet n’est pas joint.

Nom : ………………….…….. Prénom : …………………..………… …

Exercice 1: partie B

Exercice 2: partie B

Variables : N un nombre entier naturel non nul

U un nombre réel Traitement : Affecter à U la valeur 20

Affecter à N la valeur 0 Tant que ....

Affecter à U la valeur … Affecter à N la valeur …

Fin Tant que Sortie : Afficher ....

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