1Teneur de coupure optimale :

thorie de Taylor et Lane

Septembre 2008

2Plan

Dfinitions

Thorie de Taylor et Lane Dfinition des variables Teneur de coupure limite Teneur de coupure dquilibre Teneur de coupure optimale

Cot dopportunit

Influence des diffrents paramtres

Biais conditionnel

3Plan (suite)

Rsum

Complments dinformation Cot dopportunit Taxation Fonctions de rcupration Loi de Lasky Dure de vie dune mine Mine ciel ouvert Programmes pour le TP

4Dfinitions

Teneur de coupure optimale : Teneur de coupure permettant de maximiser le profit net par tonne de matriau minralis

Matriau minralis :Masse de roche susceptible de contenir du minerai

Minerai :Portion conomiquement rentable du matriau minralis

51 tonne matriau minralis

xc tonne minerai

qc=xc gc tonne de mtal

gc= teneur du minerai

Taylor utilise la notion de matriau minralis : ne pas confondre avec le minerai ou le mtal

6Thorie de Taylor et Lane

Dfinition des variables

c: teneur de coupure

xc: proportion du matriau minralis slectionn (minerai) (fct de c )

gc: teneur moyenne du minerai (fonction de c )

y: taux de rcupration du concentrateur

Notes: xc gc y reprsente la quantit de mtal rcupr par tonne minralise La thorie de Taylor et Lane suppose une slection libre des blocs, i.e. on

ne tient pas compte de contraintes minires (ex. mine ciel ouvert).

7p: prix dune tonne de mtalk: cot de mise en march dune tonne de mtal

=>Note: xc gc y (p-k) reprsente le revenu brut obtenu de la vente dumtal

m: frais variables de minage dune tonne de matriau minralis (dveloppement)

h: frais variables de traitement dune tonne de minerai(forage, sautage, concassage, remonte, concentration)

=> Note: xc h + m reprsente le total des cots variables

8f: frais fixes (administration, ingnierie, frais de capital)F: cots dopportunit: valeur actualise du gisement x taux dintrt spcifi.M: capacit de minage (matriau minralis)H: capacit de traitement (minerai slectionn)K: capacit du march (mtal)

Notes:

- H tonnes de minerai extraites => H/xc t. matriau minralis dveloppes- K tonnes de mtal => K/(xcgcy) t. matriau minralis dveloppes- (f+F)/M frais fixes par t. matriau minralis, production limite par la mine- (f+F)/(H/xc) frais fixes par t. minralise, production limite par le traitement- (f+F)/ {K/(xcgcy)} frais fixes par t. minralise, production limite par le march

9Si la mine est le facteur limitatif

v= (p-k)xcgcy xch - m - (f+F)/M

Si le traitement est le facteur limitatif

v= (p-k)xcgcy xch - m - (f+F)xc/H

Si le march est le facteur limitatif

v= (p-k)xcgcy xch m - (f+F)xcgc y/K

Note : - seul le terme li aux frais fixes change- v est fonction de c (ou de xc) et maximum unique.- on trouve ce maximum unique en drivant par rapport xcen utilisant le rsultat :

d(xcgc)/dxc= c(en abaissant c de dc => dxc minerai supplmentaire; d(xcgc) mtal supplmentaire. La teneur du matriau supplmentaire est gale c par construction).

- F dans Taylor vaut 0. Cest le seul lment distinguant les 2 thories.

v: profit net gnr par t. de matriau minralis

10

Les teneurs o sont atteints les maximums de v sont appelesteneurs de coupure limites:

Mine :

Concentrateur :

March :

ch

y p k1=

( )

ch f F H

y p k2=

+ +

( ) /( )

[ ]ch

p k f F K y3=

+( ) ( ) /

t.c. breakeven Les frais fixes ninterviennent pas

Note : ces teneurs de coupure sont indpendantes de la distribution des teneurs !

11

Exemple (gisement duranium, p. 7 des notes de cours)

y=0.87p-k=60$/kg h=3.41$/tm=1.32$/tf=11.9M$F=15.2M$M=12Mt (matriau minralis)H=3.9Mt (minerai)K=0.9Kt (mtal)

t/kg198.0kg/$60*87.0

Mt9.3/$)M2.15$M9.11(t/$41.3)kp(y

H/)Ff(hc2 =

++=

++=

[ ] [ ] t/kg131.087.0*Kt9.0/$)M2.15$M9.11(kg/$60t/$41.3

yK/)Ff()kp(h

c3 =+=

+=

t/kg065.kg/$60*87.0

t/$41.3)kp(y

hc1 ==

=

12

Note: on a toujours c1

13

Teneurs de coupure dquilibre

Si H = M xc la mine et le concentrateur sont pleine capacit (quilibre).Les frais fixes par tonne minralise sont gaux pour les 2 courbes. intersection (mine-concentrateur) sur le graphe prcdent.

Si K = M xc gc yla mine et le march sont pleine capacit (quilibre). intersection sur le graphe prcdent.

Si K = H gc yle concentrateur et le march sont pleine capacit (quilibre).=> intersection sur le graphe prcdent.

Note : i. elles dpendent uniquement de la distribution des teneurs ! ii. Pour M,H et K donns, il se peut que les teneurs dquilibre nexistent pas

14

Teneur optimale

2 situations possibles

Le maximum est atteint une coupure limite

Le maximum est atteint une teneur dquilibre

Cette situation est celle recherche!

0 0.005 0.01 0.015 0.02

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Teneur de coupure

P

r

o

f

i

t

/

t

m

i

n

r

a

l

i

s

(

$

)

c1

c2

c3

c12

c23

MineConc.March

0 0.005 0.01 0.015 0.02

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

Teneur de coupure

P

r

o

f

i

t

/

t

m

i

n

r

a

l

i

s

(

$

)

c1c2

c3

c12

MineConc.March

15

Influence des diffrents paramtres

Diminuer m - Les 3 courbes sont translates vers le haut. - Le profit $/t augmente.- Les teneurs de coupure demeurent les mmes.=> La t.c. optimale est indpendante des cots de dveloppement !

Diminuer h , ou k ou augmenter p - 3 courbes translates vers le haut dune quantit diminuant selon c . - Le profit $/t augmente. - La t.c. optimale diminue ou demeure inchange

Diminuer f ou F - translation vers le haut dune quantit diffrente pour chaque courbe et diminuant selon c (sauf la courbe mine). - Le profit $/t augmente. - La t.c. optimale diminue ou demeure inchange

16

Influence des diffrents paramtres (suite)

Augmenter la capacit de minage M - la courbe mine translate vers le haut- profit $/t peut augmenter- les teneurs dquilibre mine-traitement et mine-march augmentent

- La t.c. optimale reste inchange ou augmente

0 0.005 0.01 0.015 0.02

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

Teneur de coupure

P

r

o

f

i

t

/

t

m

i

n

r

a

l

i

s

(

$

)

c1c2

c3

c12

MineConc.March

0 0.005 0.01 0.015 0.02

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

Teneur de coupure

P

r

o

f

i

t

/

t

m

i

n

r

a

l

i

s

(

$

)

c1

c2

c3

c12

MineConc.March

M 2MAugmenter M a augment la t.c. optimale

17

0 0.005 0.01 0.015 0.02

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

Teneur de coupure

P

r

o

f

i

t

/

t

m

i

n

r

a

l

i

s

(

$

)

c1c2

c3

c12

MineConc.March

0 0.005 0.01 0.015 0.02

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

Teneur de coupure

P

r

o

f

i

t

/

t

m

i

n

r

a

l

i

s

(

$

)

c1

c2

c3

c12

MineConc.March

H 1.2 HAugmenter H a diminu la t.c. optimale

Augmenter la capacit de traitement H - la courbe traitement est translate vers le haut- profit $/t peut augmenter- les teneurs dquilibre mine-traitement et mine-march diminuent- la teneur limite traitement diminue

- La t.c. optimale reste inchange ou diminue

18

Effet de la distribution des teneurs

MoyenneSi la moyenne diminue, pour fournir la mme quantit de minerai au concentrateur, on devra diminuer la t.c.

0 0.5 1 1.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Teneur de coupure P

r

o

f

i

t

/

t

m

i

n

r

a

l

i

s

(

$

)

c1

c2

c3

c12

c13

c23

MineConc.March

0 0.5 1 1.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Teneur de coupure

P

r

o

f

i

t

/

t

m

i

n

r

a

l

i

s

(

$

)

c1

c2

c3c12c13

c23

MineConc.March

Moy=1% Moy =0.9%

La t.c. optimale diminue => teneur breakeven

19

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5P (c ) lognorm ale m =1% , 2=4% 2

Teneur de coupure (% )

P

r

o

f

i

t

/

t

m

i

n

r

a

l

i

s

(

$

)

M ineConc .M arch

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5P (c) lognorm ale m =1% , 2=2% 2

Teneur de coupure (% )P

r

o

f

i

t

/

t

m

i

n

r

a

l

i

s

(

$

)

M ineConc .M arch

2 = 4 2 = 2Plus la variance plus le profit

Variance

Le minerai se retrouve concentr dans un nombre moindre de blocs + riches

20

Remarques importantes

Cot dopportunit F est difficile dterminer. Il dpend du type de gisement, du mode dopration, de la t.c. utilise. Taylor implicitement pose F=0. Cest probablement la pratique la plus courante

Au fur et mesure que lon exploite le gisement, la distribution des teneurs du matriau restant tre exploit change=> facteur temps

Connat pas la distribution des teneurs dans le gisement => teneurs dquilibre mal dfinies

Dans la pratique on opre sur des estimations Utiliser la distribution des teneurs estimes pour dterminer les

teneurs dquilibre Utiliser un estimateur sans biais conditionnel

21

Biais conditionnel (p. 12 des notes)

Estimation

Rel

Sans biaisconditionnel

Avec biaisconditionnel

22

Absence de biais conditionnel

On rcupre la teneur prvueOn ralise les profits prvus

=> Dans Lane, on peut utiliser la distribution des valeurs estimes comme si ctait celle des vraies teneurs !

23

Pour un estimateur sans biais conditionnel

Variance (estimateur) < Variance ( teneur relles)=> Profit moindre (effet information)

Plus un estimateur sans biais conditionnel est prcis,+ grande est la variance des valeurs estimes+ grand est le profit ralis

Pour un estimateur avec biais conditionnel, gnralementProfit ralis < profit prvuProfit ralis < profit ralis avec un estimateur sans biais

24

Exemple

Deux estimateurs ont une corrlation de 0.9 avec les vraies valeurs (inconnues). Distribution lognormale

vraies valeurs (Z) => moy=1.5, var=2

Estimateur 1 est sans biais conditionel:Z1* => moy=1.5, var=1.6, E[Z|Z1*] = Z1*

Estimateur 2 a un biais conditionnelZ2* => moy=1.5, var=4, E[Z|Z2*] = 0.54+0.64Z2*

25

t.c. V optim.

Rel 0.89 5.7

Estimateur 1 sans biais cond.

0.95 5.4

Estimateur 2 avec biais prvu

0.69 6.8

Estimateur 2 avec biais ralis

0.69 4.2On nobtient pas ce qui est prvu !

On prvoit plus que ce quil est possible dobtenir

Leffet information

26

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12Estimation sans biais conditionnel

Valeurs estimes

V

a

l

e

u

r

s

v

r

a

i

e

s

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12Estimation avec biais conditionnel

Valeurs estimesV

a

l

e

u

r

s

v

r

a

i

e

s

Prvu 8870Ralis 8863

Prvu 9769Ralis 8910

9.6%0%

basse teneur de coupure

27

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12Estimation sans biais conditionnel

Valeurs estimes

V

a

l

e

u

r

s

v

r

a

i

e

s

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12Estimation avec biais conditionnel

Valeurs estimesV

a

l

e

u

r

s

v

r

a

i

e

s

Prvu 6680Ralis 6679

0% Prvu 7954Ralis 6379

25%

haute teneur de coupure

Le biais systmatique a aussi des effets

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12Sous-estimation de 10%

Valeurs estimes

V

a

l

e

u

r

s

v

r

a

i

e

s

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12Surestimation de 10 %

Valeurs estimes

V

a

l

e

u

r

s

v

r

a

i

e

s

Prvu 6059Ralis 6559

Prvu 7304Ralis 6802

-On ne ralise pas ce qui tait prvu;-Ici, la surestimation a t payante; pas une rgle gnrale

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12Estimation sans biais conditionnel

Valeurs estimes

V

a

l

e

u

r

s

v

r

a

i

e

s

Prvu 6680Ralis 6679

29

Effet dune augmentation du prix du mtal sur la t.c. optimale

Paramtres utiliss: Distribution lognormale avec: m=5;y=0.9;k=0;h=10;f=20;F=0;M=4;H=3;K=9999;moy=1;s2=1;

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Teneur de coupure

P

r

o

f

i

t

/

t

m

i

n

r

a

l

i

s

(

$

)

Prix=2000 $/t

c1

c2

c3

c12

MineConc.March

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Teneur de coupure

P

r

o

f

i

t

/

t

m

i

n

r

a

l

i

s

(

$

)

Prix=2500 $/t

c1

c2

c3

c12

MineConc.March

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

4

6

8

10

12

14

Teneur de coupure

P

r

o

f

i

t

/

t

m

i

n

r

a

l

i

s

(

$

)

Prix=3000 $/t

c1

c2

c3

c12

MineConc.March

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.26

8

10

12

14

16

18

Teneur de coupure

P

r

o

f

i

t

/

t

m

i

n

r

a

l

i

s

(

$

)

Prix=3500 $/t

c1c2

c3

c12

MineConc.March

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

10

12

14

16

18

20

22

Teneur de coupure

P

r

o

f

i

t

/

t

m

i

n

r

a

l

i

s

(

$

)

Prix=4000 $/t

c1 c2

c3

c12

MineConc.March

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

12

14

16

18

20

22

24

26

28

Teneur de coupure

P

r

o

f

i

t

/

t

m

i

n

r

a

l

i

s

(

$

)

Prix=4500 $/t

c1 c2

c3

c12

MineConc.March

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.214

16

18

20

22

24

26

28

30

32

Teneur de coupure

P

r

o

f

i

t

/

t

m

i

n

r

a

l

i

s

(

$

)

Prix=5000 $/t

c1 c2

c3

c12

MineConc.March

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

20

25

30

35

Teneur de coupure

P

r

o

f

i

t

/

t

m

i

n

r

a

l

i

s

(

$

)

Prix=5500 $/t

c1 c2

c3

c12

MineConc.March

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

20

25

30

35

40

Teneur de coupure

P

r

o

f

i

t

/

t

m

i

n

r

a

l

i

s

(

$

)

Prix=6000 $/t

c1 c2

c3

c12

MineConc.March

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8Lim. mine quilibre Limite concentrateur

Prix du mtal

T

.

c

.

o

p

t

i

m

a

l

e

T.c. optimale en fonction du prix du mtal

30

Effet dune augmentation de la moyenne sur la t.c. optimale

Paramtres utiliss: Distribution lognormale avec: m=5;y=0.9;p=4000;k=0;h=10;f=20;F=0;M=4;H=3;K=9999;s2=1;

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.30.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Lim. mine quilibre Lim. concent.

Teneur moyenne

T

.

c

.

o

p

t

i

m

a

l

e

T.c. optimale en fonction de la teneur moyenne

temps

31

Effet du cot dopportunit (frais fixe) sur la t.c. optimale

Paramtres utiliss: Distribution lognormale avec: m=5;y=0.9;p=3000;k=0;h=10;f=50;M=10;H=3;K=9999;moy=1;s2=1

temps

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

Limite concentrateur quilibre

Cot opportunit

T

.

c

.

o

p

t

i

m

a

l

e

T.c. optim. vs cot d'opportunit

32

En rsum

T. coupure limites: indpendantes des distributions T. coupures dquilibre: indpendantes des prix et des cots T. coupure optimale: une des t.c. limites ou dquilibre (celle ayant v

max et ralisable=> t.c. optimale varie de faon discrte-continue en fonction de paramtres qui eux varient de faon continue

Taylor : cot dopportunit F=0 Le cot dopportunit (F>0) permet

Dcroissance graduelle dans le temps de la t.c. optimale Stratgie dexploiter zones riches en premier Stratgie + agressive si lon peut rcuprer le minerai dlaiss Stratgies temporaires (e.g. hausser t.c. quand prix augmentent)

Estimateur sans biais conditionnel requis Tenir compte des changements dans le temps de la distribution

33

Complments dinformation

34

Cot dopportunit

On peut voir F comme la pnalit encourue de ne pas toucher tout de suite toute la valeur du gisement => Le gisement est comme une obligation ngociable.

F comprend 2 parties: Intrt non-gagn sur la valeur du gisement Fluctuation de la valeur du gisement

ExempleUn gisement de Zn vaut 150M$ avec un scnario du prix du zinc de 750$/t Zn. Le taux dintrt est de 15%

Le cot dopportunit est : F=150M$*0.15=22.5M$ Le prix du Zn tombe 650$. Cette baisse est anticipe temporaire (1 an) aprs quoi

le prix revient 750$. Le manque gagner pour la prochaine anne d la baisse du prix du Zn est de 14.7M$

35

Cot dopportunit (suite)

La valeur prsente du gisement est donc 150M$-14.7M$/1.15=137.2M$Lintrt sur cette obligation rapporterait 137.2M$*0.15=20.8M$La variation de la valeur de lobligation durant lanne est

137.2-150= -12.8M$Le cot dopportunit est donc:

F=20.8 + (-12.8) = 7.8M$ Comme F est beaucoup moindre que dans le cas prcdent (7.8 vs 22.5), la t.c. peut diminuerSi la baisse des prix est considre permanente, alors F=20.8M$, la diminution de F sera plus que compense par la baisse du prix et la t.c. optimale va augmenterSeul le terme F permet dincorporer ces stratgies dans la dtermination de la t.c. optimale

36

Cot dopportunit (suite)

Exemple: le concentrateur est limitatifh=6.5$/t; f=15M$; H=1.3Mt/an; y=0.81;k=0;

Cas 0: le prix du Zn reste stable 750$; F=22.5M$c2=(6.5+(15+22.5)/1.3)/(0.81*750)=5.82% Zn

Cas 1: le prix du Zn revient 750$ aprs un an : F=7.8M$c2=(6.5+(15+7.8)/1.3)/(0.81*650)=4.57% Zn

Cas 2: le prix du Zn reste stable 650$ : F=20.8M$c2=(6.5+(15+20.8)/1.3)/(0.81*650)=6.46% Zn

Diminution de la t.c. suite une diminution de prix!

37

Taxation (p. 13)

3 types principauxa) Taxe foncire : frais fixe, augmente la t.c. optimale1

b) Royaut : $/tonne minerai; frais variable, augmente la t.c.1(trs peu utilis au Canada)

c) Impt sur les profits et droits miniers : aucun impact sur la t.c.

-

1(sauf si t.c. optimale = t.c. dquilibre (indpendante des cots))

38

Fonctions de rcupration (p.18)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Courbes tonnage-teneurLoi lognormale, m=1, 2=4

Teneur de coupure

T

o

n

n

a

g

e

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

T

e

n

e

u

r

T(c)

Q(c)

m(c)

39

Loi de Lasky (p. 15)

La teneur du gisement varie linairement avec la t.c.

m(c) = a - b ln T(c) (T(c) : proportion)=> m(c) = b + c

Vrai pour la loi exponentielle (alors a=b=m(0)) Approximativement vrai pour la loi lognormale; dans ce cas une

meilleure approximation est :

m(c) = e + f c

(e et f des constantes spcifiques au gisement)

40

Exemple

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 01

1.5

2

2.5

3

3.5Loi lognormales

Log10(T(c))

m

(

c

)

2=0.52=12=22=4

2=4

2=0.5

0 0.5 1 1.51

1.5

2

2.5

3

3.5

4Relations de Lasky; loi lognormale (m=1)

Coupure

m

(

c

)

2=1

2=2

2=4

41

Dure de vie dune mine

Approximation rapide (Taylor)

25.0T 5.6annes'd Nombre

0 50 100 150 2005

10

15

20

25

Tonnage (Mt)

A

n

n

e

s

Dure de vie

Ici, T: tonnage de matriau minralis

42

2

-

c

mln

1 F T = T(c) o

2

+ c

mln

1 F T m = Q(c) o

Loi lognormale

o :

f : fonction de densit dune loi N(0,1) =>F : fonction de rpartition (cumulative) dune loi N(0,1)c : teneur de coupure

m : moyenne de la population

: cart-type du logarithme des teneurs (population)

/2y2e21f(y) =

Fonctions de

rcupration

lognormale

1m

ln 22

2

+=

43

Exemple: Gisement de cuivre, distribution lognormale de moyenne 0.9% et de variance 3%2

Si c=0.8%, Quelle tonnage est disponible et quelle teneur moyenne?

On calcule:

T(0.8)=T0 F(1/1.244 ln(0.9/0.8)-1.244/2) = T0 F(-0.527) = 0.3 T0Q(0.8)= 0.9%T0 F(1/1.244 ln(0.9/0.8)+1.244/2) = 0.9%T0 F(0.717)

= 0.9% 0.763 T0Teneur= Q/T= 0.9% (0.763/0.3) = 2.29%

244.119.03ln 2 =

+=

44

Cas dune mine ciel ouvert

2 problmes: a) Quels blocs doit-on remonter? => optimisationb) Le bloc remont doit-il tre trait ou jet? => t.c.

Pour a) on doit fournir la valeur nette de chaque bloc. valeur du bloc : v = max [ v1,v2],

v1= valeur du mtal rcuprable cots traitement cots de minage et remonte

v2= - cots minage et remonte Pour b), on traite le bloc si:

valeur de mtal rcuprable > cot de traitement v = v1

45

1.1 2 0.4

X 3 X

1 1 1

X 1 X

0.5 0.5 0.5

X 0.7 X

-0.4 0.5 -0.5

X 1.3 X

-0.4 0.5 -0.5

X 1.3 X

v. mtal rcuprable

Cot de traitement

Cot de minage+remonte

Valeur nette

jettrait

Fosse optimale

mine ciel ouvert (suite)

Notel loptimisation se fait par lalgorithme de Lerch-Grossman ou, mieux, par maximisation du flux

46

Programme lane

>>help lanesyntaxe: [clim,ceq,coptim,voptim]=lane(m,y,p,k,h,f,F,M,H,K,moy,s2)fonction pour tracer les courbes de profit et dterminer

les teneurs de coupure limites d'quilibre et optimales sous hypothse lognormaleDescription des paramtres Entres:

m: cots de minage exprims en $/ty: taux de rcupration en fractionp: prix pay pour le mtal en $/t de mtalk: cot pour la fonderie, mise en march, transport etc. $/t de mtalh: cot de traitement (sautage, remonte, concentration) $/t de mineraif: frais fixes annuels M$F: cot d'opportunit (intrt sur valeur rsiduelle) M$M: capacit de minage (dveloppement des accs aux sites minraliss) Mt (de roche minralise)H: capacit de traitement du minerai Mt (de minerai)K: capacit du march Mt (de mtal produit)moy: moyenne de la distribution lognormale s2: variance de la distribution lognormale

47

Programme lane (suite)

moy: moyenne de la distribution lognormale (%)s2: variance de la distribution lognormale (%^2)

Sorties:clim: vecteur 1x3 des t.c. limites [mine, concentrateur, march]ceq: vecteur 1x3 des t.c. d'quilibre [mine-traitement, mine-march, traitement-march]coptim: coupure optimalevoptim: profit/t. minralise la t.c. optimale

48

Programme reserve

>> help reserveSyntaxe: [xc,qc,gc]=reserve(moy,s2,c,itype)fonction qui calcule les reserves pour une loi normale ou lognormaleDescription des paramtresEntre:

moy et s2: moyenne et variance de la distribution (s2 a les units de moy au carr)c: coupure (peut tre un vecteur)itype: 0: loi normale; 1 loi lognormale

Sortie: xc: proportion du tonnage au-dessus de la t.c. (fraction)qc: xc x gc (quantit de mtal au dessus de c) ()gc: teneur du minerai pour la teneur de coupure considre (mmes units que moy)

49

Facteurs influenant la t.c.

Cots fixes et variables; si cots t.c. Prix du mtal: si t.c. (normalement) Type dopration

+ ou slective Dimensions des installations

Besoins du concentrateur Doit fonctionner normalement pleine capacit Teneurs les + homognes possibles pour maximiser la

rcupration du mtal

Facteur temps Valeur des $ dans le temps: exploiter zones riches en premier Fournir le concentrateur

50

Facteur temps

Breakeven

Temps