C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, SCrie I, p. 485-488, 1999 gquations aux dkrivkes partielleslPartia/ Differential Equations

Temps de vie des solutions d’un problhme de Cauchy non lirkaire

Daniel GOURDIN ‘, Mustapha MECHAB b

’ UFR 920, UMR 7586, UniversitC Paris 6, 4, place Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France

‘I Universit6 Djilali-Liabks, B.P. 89, 22000 Sidi Bel-AbbBs, Algkie

(Requ le 27 mai 1998, accept& apr&s r6vision le 11 janvier 1999)

R&urn& On r&out le problkme de Cauchy global, 2. donnCes initiales petites, dans l’espace des fonctions holomorphes par rapport au temps et de classe Gevrey par rapport aux variables d’espace. On Ctablit l’existence et la stabilitk de la solution du probltme de Cauchy & donnkes initiales nulles sans l’hypothbse d’hyperbolicik Dans le cas stationnaire, on donne une estimation du temps de vie de la solution en fonction de la taille des conditions initiales. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris

Life span of the solutions to a nonlinear Cauchy problem

Abstract. We solve the global Cauchy problem, with small initial data, in the space of the holomorphic functions with respect to t and Gevrey class with respect to x. We establish the existence and the stability of the solution to Cauchy problem with nul initial data without hyperbolicity hypothesis. In the stationary case, we give estimates of life span of the solutions with respect to size of the initial data. 0 Acadkmie des SciencesfEXlsevier, Paris

1. Notations et rCsuItats

Soient m, n E N* ; les points gCn&iques de 43 et W” sont not& t et z = (21) . . . , z,) respectivement. On considkre B, une partie de

oil IQ( = f: (Y, est la longueur du multi-indice a E N”. i=l

On note T = cardl3, DBu = (Dg~)gcB, D;lu la primitive de la fonction u par rapport h t s’annulant avec t, R un voisinage ouvert, auto-absorbant, de l’origine dans R”, et d =

inf -I

y, (j,~) E B}. P our T > 0, on notera Z& = {t E a3 ; ItI < T} et & = 2.4~ x R.

Note p&e&e par Yvonne CHOQUET-BRWLAT.

0764-4442/99/03280485 0 Acadkmie des SciencesiElsevier, Paris 485

D. Gourdin, M. Mechab

Une fonction cp E Cw(fl, W) est dite de classe Gevrey d’indice d dans R, si :

3C > 0, V’a E IV, Vx E R, /D”‘P(x)[ 5 C’a’+l(a!)d ;

ce qui est equivalent a dire qu’il existe un couple de constantes positives ([cp]o, [cp]l) E [R;] * telles que :

On notera Gd(0) l’espace de ces fonctions. GWld(& x a) est l’algkbre des fonctions u : UT x St ---+ 43, admettant des dCrivCes de tous ordres

en z, continues sur UT x R et holomorphes en t telles que :

3C > 0, V’a E N”, Vt E UT, t/x E 0, lD;u(t,x)I 5 &‘+‘(l~l!)~.

On munit G”>d (UT x 0) de la topologie limite projective, lorsque 0 < 2” < T, de la famille (ET,)T, des espaces topologiques limites inductives (voir [8], p. 331-333, et [7], p. 146-147),

&ant donnC ‘pj E Gd(0) G = 1, . . . , m - 1) et E > 0, un petit paramktre, on considi?re le probEme de Cauchy :

{

DTu(t, x) = f(t, D%(t, z)),

D{u(O,x)=pj(~~x): Vj=O,...,m-1; (1)

on supposera que f(t,O) = 0, et on notera (p;(x) = (PJ(E . x).

THBORBME 1. - Soient f une fonction holomorphe dans un voisinage de 24~ x (0) c 43 x C’, et pj E Gd(C?) (j = 0,. . . , m - l), alors il existe EO > 0 tel que pour tout E < ~0, le problbme de Cauchy (1) admet une unique solution u, de classe G”,d (24~ x fl). Si R est born& la solution du probEme (1) ci donnkes nulles est stable, dans le sens oti si pj(O) = 0 pour tout j = 0,. . . , m - 1, alors la suite

(4, tend vers 0 dans G”ld (i& x 62) quand E tend vers 0.

THBORI~ME 2. - Si f est une fonction indkpendante de la variable t et holomorphe dans un voisinage de l’origine de P’, alors pour tout E > 0 il existe une unique solution u, E G”~d(U~~ x a), et on a l’estimation asymptotique du temps de vie suivante :

T,>p 1 ‘: 0 avec s = inf

& 1

- Dans le cas d’une Cquation du premier ordre, la rCsolution se fait dans l’espace des fonctions holomorphes en t et uniformkment analytiques en x (voir [5]), et on retrouve la m&me estimation asymptotique du temps de vie que celle de [3].

- Les mCmes rCsultats peuvent &tre Ctendus B des equations faisant intervenir explicitement la fonction inconnue u, du type :

DZ”u = f(t, D%) + g(t, DBu)u.

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Temps de vie des solutions d’un probkme de Cauchy non lineaire

2. DCmonstrations

En faisant successivement les changements d’inconnues :

m-1 1 v(t,rc) = u(t,s) - c Tp(cz),

j=o .

w(t, x) = DZ”v(t, x):

u(~:z) = w(t,z) - f(0, (D:(P;)(~,+~) = 4&z) - Q,(x):

sachant que DC1 u(O,z) = 0 et que pour tout (k, o) E B on a k < m, alors en definissant I’application G : u - Cu telle que

le problbme est reduit a la recherche de points fixes de cette application.

Pour ttudier l’existence et l’unicite du point fixe de l’application L dans G”sd(UT x Q), on montre que cette application est une contraction stricte dans certaines algebres de Banach Gg;;f(,r2r) definies dans [8] et [4] en prenant 5 = 1.

LEMME 1. - Pour tout a E N”, il existe une constante C o1i > 0 telle que pour tout T > 0, toute fonction cp E G”(R) et tout < 2 (C,,,[cpllT,, . !ClcYl[p]lT i E (lQ;)n :

1. D:p E Gy$(61,) et ~jD~(pjj < C Icy/ . M0[k41]‘~’ ; 2. pour tout k E N, t”cp E GF;:(&) et llt’“cp(/ 5 CI, T” + [cplo.

Soit f(t,z) une fonction holomorphe dans un voisinage de UT x {0}, alors il existe n > 1 tel que f soit holomorphe et bomee dans le domaine

{(t,~) E 63 x C’; ItI < VT et jzdl < qR, Vu E B}.

Comme f(t, 0) = 0, on a f(t, 2) = CVEB z,f,(t, z) et a l’aide des inegalitts de Cauchy on demontre que :

Pour a > 0 fixe et u et u’ E B(0, a) c GQ$ (fiT), on pose z, = D”[D;“u+t”“~,+~~~~* $(p;] et zb = D” [Dt mu’ + t”Q, + ‘j$z&’ $cp;] ; par la proposition 9.5 de [8], sachant que pour tout o = (k, o) E B on a Q # 0, on deduit

//%\I < Ck-m,a ’ ([@I I)‘n’T”-k [tid + C(f,T,~~,R)(K + E( [dl))]

j=k

(3)

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D. Gourdin, M. Mechab

oti lim,,e E(y) = 0. a l’aide de la proposition 9.4 de [8], de (3) on obtient

(4)

De meme, en Ccrivant f(t, 2) - f(t, z’) = CoEB(z,, - z:) G,(t, z, z’), on demontre

llcu - Lu'II < (K +&([@]l))2 c ~,,T,~.R([~e]l)'~' . Tm-kllU - U'II. (5) UEB

Des inegalites (4) et (5) on obtient :

PROPOSITION 1. - I1 existe a0 > 0 tel que pour tous a > a~, E > 0 et [@]I assez petit, on a qqw) c qo, ) t 1 a e i existe C E]O, 1[ telle que IILcu - Cu’II < CIJu - ~‘11.

Pour terminer la preuve de la premiere partie du theoreme 1 on utilise le

LEMME 2. - Soit cp E cd(n), alors pour tout E E 10, 11, la fonction @ est de classe de Gevrey d’indice d dam 0, et on peut choisir ([@lo, [@]I) = ([cp]o, E . [cp]l).

La stabilite de la solution du probkme (l), avec des conditions initiales nulles, par rapport aux perturbations ‘p; se deduit des inegalites (4).

Pour demontrer le theoreme 2, on utilise la mCme demarche pour faire ressortir des relations entre E et T afin que I’application I!Z soit une contraction stricte.

Refkences bibliographiques

[1] Bony J.-M., Schapira P., Existence et prolongement des solutions holomorphes des equations aux derivees partielles, Invent. Math. 17 (1972) 9.5-105.

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