télécom analogique et numérique
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Principes des télécommunications analogiques etnumériques
M. Van Droogenbroeck
Février 2008
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck
Table des matières
– Introduction– Signaux et systèmes de télécommunications– Modulation d’onde continue– Variables aléatoires et processus stochastiques– Introduction à la numérisation– Transmission de signaux numériques en bande de base– Modulation numérique– Propagation et systèmes radio– Principes de fonctionnement du réseau GSM
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 1
Détails pratiques
– Examen– écrit (obligatoire)
– à livre fermé– au moins une question de théorie !– questions des années précédentes disponibles à l’adressehttp://www.ulg.a .be/tele om
– Notes de cours– disponibles à l’AEES– version HTML en ligne à l’adressehttp://www.ulg.a .be/tele om
– Transparents– version PDF en ligne à l’adressehttp://www.ulg.a .be/tele om
– CD-ROM– sur demande– contenu :
– notes au format PDF (en couleurs) et HTML– transparents au format PDF (en couleurs)– questions d’examen des années précédentes
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 2
Introduction
– Historique
Télécommunications
Données
Mobilité
Voix
FIG. 1: Principaux pôles de développement en télécommunications.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 3
Introduction
– Historique
Télécommunications
Données
Mobilité
Voix
FIG. 1: Principaux pôles de développement en télécommunications.
– Organismes internationaux de normalisation en télécommunications– ITU : International Telecommunications Union– ISO : International Standards Organisation– ETSI : European Telecommunications Standards Institute
– Normalisation Internet– IETF : Internet Engineering Task Force (produit les RFCs)
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Structure d’une chaîne de télécommunications
Transducteur Transducteur
Source d’information
Émetteur
Canal
Destinataire
Récepteur
Système de télécommunications
FIG. 2: Structure d’une chaîne de télécommunications.
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Structure d’une chaîne de télécommunications numérique
• Modulation• Codage de sour e• Filtrage passe-bas• Cal ul du spe tre• Codes orre teurs d'erreurs• Bande de base• Porteuse• Canal idéal• Dé ision• Ré epteur optimal• Démodulation : ohérente ou non- ohérente• Filtrage passe-bande• Syn hronisation• Performan es
transmistransmisreçureçu
SignalSignal
Message
Message
• Cal ul du taux d'erreurs
SOURCE
CANAL DETRANSMISSIONÉMETTEUR
RÉCEPTEURUTILISATEUR
• Canal non-idéal (interféren es, non-linéarités, ...)
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Modèles de référence
Modèle OSI (Open System Interconnection)
Réseau
ApplicationPrésentation
SessionTransportRéseau
Ordinateur A
LiaisonPhysique
Application
ApplicationPrésentation
SessionTransportRéseauLiaison
Physique
ProtocoleProtocoleProtocoleProtocole
Ordinateur B
Application
Modèle de référence OSI
FIG. 3: Modèle de référence OSI.
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7. Couche Application
Service d’échange d’information
Transfert de fichiers, gestion et accès,échange de documents et de
messages, transfert de processus
Service d’échange de messagesindépendamment de la syntaxe
Négociation des syntaxes, présentationdes données
Gestion et synchronisation du dialogue
6. Couche Présentation
5. Couche Session
4. Couche Transport
3. Couche Réseau
2. Couche Liaison
1. Couche Physique
Service d’échange de messagesindépendamment du réseau
Transfert de messages de bout en bout(gestion de la connexion, fragmentationen paquets, contrôle d’erreur et du flux)
Routage dans le réseau, adressage,établissement de liaison
Contrôle du lien physique (mise entrames, contrôle d’erreur)
Définition des interfaces électriques etmécaniques au réseau
Réseau
Application de l’utilisateur
Connexion physique au réseau
FIG. 4: Les principales fonctions des couches OSI.
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Modèle Internet
7. Couche ApplicationHyperText Transfer Protocol (HTTP)File Transfer Protocol (FTP)Remote terminal protocol (TELNET)Simple Mail Transfer Protocol (SMTP)Simple Network Management Protocol (SNMP)...
TCP
6. Couche Présentation
5. Couche Session
4. Couche Transport
3. Couche Réseau
2. Couche Liaison
1. Couche Physique
Réseau
Application de l’utilisateur
UDP
IP
IEEE802.X / X.25
TCP = Transmission Control ProtocolUDP = User Datagram ProtocolIP = Internet Protocol
FIG. 5: Éléments de l’architecture TCP/IP.
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FIG. 6: Analyse du contenu d’un paquet IP.
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Table des matières
– Introduction– Signaux et systèmes de télécommunications– Modulation d’onde continue– Variables aléatoires et processus stochastiques– Introduction à la numérisation– Transmission de signaux numériques en bande de base– Modulation numérique– Propagation et systèmes radio– Principes de fonctionnement du réseau GSM
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Signaux et systèmes de télécommunications
– Signal vocal ou musical– Vidéo
0 1 2 3 4 5 6Luminan e Son auxiliairesSon prin ipale
f
U et VLuminan e ouleur (4.333619 MHz)(MHz)Bande de fréquen e Luminan eBande de fréquen e U et V
Porteuse Sous-porteusesSous-porteuseSous-porteuse
FIG. 7: Spectre d’un signal vidéoPAL.
– Signaux numériques. Le nombre de symboles transmis pendant une seconde est mesuréenbauds.
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Catégories de signaux
– analogiquesounumériques,– périodiquesouapériodiques,– déterministesoustochastiques,– d’énergieou depuissance.
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Représentation des signaux
Signal d’information numériqueSignal d’information analogique
1 0 1 0 1 1
Représentation analogique Représentation analogique
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 2 4 6 8 10
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 2 4 6 8 10-0.5
0
0.5
1
1.5
0 1 2 3 4 5 6-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 1 2 3 4 5 6
FIG. 8: Représentation d’un signal analogique ou numérique.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 13
Déterministe ou aléatoire ?
Émetteur Récepteur
Signal utile déterministe aléatoireBruit et interférences aléatoire aléatoire
TAB . 1: Nature des signaux dans une chaîne de télécommunications.
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Puissance instantanée
Soit une tensionv(t) qui, à travers une résistanceR, produit un couranti(t). La puissanceinstantanéedissipée dans cette résistance est définie par
p(t) =|v(t)|2R
(1)ou encore
p(t) = R |i(t)|2 (2)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 15
Puissance instantanée
Soit une tensionv(t) qui, à travers une résistanceR, produit un couranti(t). La puissanceinstantanéedissipée dans cette résistance est définie par
p(t) =|v(t)|2R
(1)ou encore
p(t) = R |i(t)|2 (2)À travers une charge unitaire de 1Ohm, noté[Ω], les expressions sont même égales. Pourla facilité, on normalise l’expression pour une résistancede1 [Ω] :
Définition 1. [Puissance instantanée normalisée]
p(t) = |x(t)|2 (3)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 15
Énergie et puissance
Définition 2. [Énergie] L’ énergie totaledu signalg(t) est définie par
E = limT→+∞
∫ T
−T|g(t)|2 dt (4)
=
∫ +∞
−∞|g(t)|2 dt (5)
Définition 3. [Puissance moyenne]Il en découle unepuissance moyennedu signalg(t)s’exprimant
P = limT→+∞
1
2T
∫ T
−T|g(t)|2 dt (6)
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Décibel
x ↔ 10 log10(x) [dB] (7)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 17
Décibel
x ↔ 10 log10(x) [dB] (7)P [dBm] = 10 log10
P [mW ]
1 [mW ](8)
x [W ] 10 log10(x) [dBW ]
1 [W ] 0 [dBW ]2 [W ] 3 [dBW ]
0, 5 [W ] −3 [dBW ]5 [W ] 7 [dBW ]
10n [W ] 10 × n [dBW ]
10 log10
(
U
[V ]
)2
= 20 log10
U
[V ](9)
x ↔ 20 log10(x) (10)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 17
Bande passante
f
(a)
(b)
(c)
(d)
fc
Wequ
‖X (f)‖2
FIG. 9: Comparaison de définitions de bande passante.
(a) Bande passante à3 [dB].
(b) Bande passante équivalente.
(c) Lobe principal.
(d) Densité spectrale bornée.
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Système de transmission idéal
H(f) = Ke−2πjfτ (11)
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Système de transmission idéal
H(f) = Ke−2πjfτ (11)f
W
fc
f
−fc
−fc fc
‖H(f)‖
argH(f)
FIG. 10: Transmittance d’un système idéal.
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Distorsions et bruit
– Délai de groupe
τg = − 1
2π
dφ(f)
df(12)
– Délai de phase
τp = −φ(f)
2πf(13)
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Distorsions et bruit
– Délai de groupe
τg = − 1
2π
dφ(f)
df(12)
– Délai de phase
τp = −φ(f)
2πf(13)
– Distorsions non linéaires
y(t) = ax(t) + bx2(t) (14)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 20
Distorsions et bruit
– Délai de groupe
τg = − 1
2π
dφ(f)
df(12)
– Délai de phase
τp = −φ(f)
2πf(13)
– Distorsions non linéaires
y(t) = ax(t) + bx2(t) (14)– Bruit
– additif– multiplicatif
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 20
Table des matières
– Introduction– Signaux et systèmes de télécommunications– Modulation d’onde continue– Variables aléatoires et processus stochastiques– Introduction à la numérisation– Transmission de signaux numériques en bande de base– Modulation numérique– Propagation et systèmes radio– Principes de fonctionnement du réseau GSM
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Modulation d’onde continue
– Introduction– Hypothèses– Modulation d’une porteuse sinusoidale
– Modulation d’amplitude– Modulation d’amplitude classique
– Répartition de la puissance, réalisation, discussion– Modulations d’amplitude dérivées
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 22
Modulation d’onde continue
– Introduction– Hypothèses– Modulation d’une porteuse sinusoidale
– Modulation d’amplitude– Modulation d’amplitude classique
– Répartition de la puissance, réalisation, discussion– Modulations d’amplitude dérivées
– Modulation angulaire– Bande passante requise
– Partage du plan de fréquence– Multiplexage en fréquence– Récepteur super-hétérodyne
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 22
Modulation d’une porteuse sinusoïdale
Définition 4. Signal modulant normalisém(t)
m(t) =x(t)
xmax(15)
Hypothèse : le signal modulantm(t) est àspectre limité, c’est-à-dire que
M(f) = 0 si |f | > W (16)Définition 5. [Bande de base]Dès lors que l’intervalle de fréquences est borné par lafréquenceW , on appellebande de basel’intervalle de fréquences[0,W ].
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 23
Paramètres de modulation d’une porteuse
Définition 6. Porteuse
AmplitudeModulation d'amplitude
Modulation de fréquen es(t) = A(t) cos (2πf(t)t+ φ(t))
PhaseModulation de phase
FIG. 11: Paramètres d’un signal modulé.
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Modulation d’amplitude (modulation AM )
Définition 7. La modulation d’amplitude,dite modulationAM pour Amplitude Modula-tion, est le processus par lequel l’amplitude de la porteusec(t) varie linéairement avec lesignal modulantm(t).
Après modulation, lesignal modulés(t) est décrit par la fonction
s(t) = Ac (1 + kam(t)) cos (2πfct) (17)= Ac cos (2πfct) + kaAcm(t) cos (2πfct) (18)
L’amplitude instantanée est donc rendue proportionnelle au signal modulant, et vaut
A(t) = Ac (1 + kam(t)) (19)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 25
Illustration
c(t)
m(t)
s(t)
t
t
t
−Ac
Ac
(a)
(b)
(c)
+1
−1
Ac(1 + ka)
Ac(1 − ka)−Ac(1 − ka)
−Ac(1 + ka)
FIG. 12: Illustration de la modulation d’amplitude classique.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 26
Surmodulation
s(t)
s(t)
t
t
Inversion de la phase(a)
(b)
+Ac
−Ac
+Ac
−Ac
FIG. 13: Surmodulation :(a) |kam(t)| < 1. (b) |kam(t)| > 1.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 27
Analyse spectrale
S(f) =Ac2
[δ(f − fc) + δ(f + fc)] +kaAc
2[M(f − fc) + M(f + fc)] (20)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 28
Analyse spectrale
S(f) =Ac2
[δ(f − fc) + δ(f + fc)] +kaAc
2[M(f − fc) + M(f + fc)] (20)f
Ac2 δ(f + fc)
Ac2 δ(f − fc)
BLIBLS
BLIBLS
−W 0 +W
0
(b)
(a)
−fc +W−fc−fc −W fc +Wfcfc −Wf
‖M(f)‖
‖S(f)‖
FIG. 14: Spectres de fréquence :(a) Signal en bande de base.(b) Signal modulé.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 28
Réalisation
Modulation linéaire
g(t)
c(t)
s(t)
FIG. 15: Principe de la modulation linéaire.
Modulation quadratique
s(t)x(t) + c(t)r(x(t) + c(t))
FIG. 16: Principe de la modulation quadratique.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 29
Schéma électronique d’un modulateur simple
v2
v1
(a)
(b)
0
pente = 1
m(t) v1(t) Rl v2(t)
c(t) = Ac cos(2πfct)
FIG. 17: Modulateur AM à diode :(a) circuit électronique.(b) caractéristique idéaliséed’entrée-sortie.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 30
Contrôle de la modulation
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
−1
−0.5
0
0.5
1
m(t)
s(t)
FIG. 18: Trapèze de modulation.
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Démodulation
Détection d’enveloppe
C Rl
s(t)
SortieRs
FIG. 19: Détecteur d’enveloppe.
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Démodulation
Détection d’enveloppe
C Rl
s(t)
SortieRs
FIG. 19: Détecteur d’enveloppe.
Démodulation AM synchrone ou cohérente
s(t) cos(2πfct) =Ac2
(1 + kam(t))(1 + cos(4πfct))
=Ac2
(1 + kam(t))
+Ac2
(cos(4πfct) + kam(t) cos(4πfct))
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 32
fc fcff
f
f
−fc −fc
Ac/2 Ac/2 1/2 1/2
Ac/4 Ac/4
Spe tre AM Spe tre de la porteuse
2fc−fc fc
Ac/2
−2fc
Ac/2
Spe tre du message
MélangeurSpe tre du signal mélangé
−W W
−W W
FIG. 20: Démodulation AM synchrone.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 33
Déphasage et écart de fréquences
Supposons que l’oscillateur produise un signal
A′ cos(2πflt+ φ) (21)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 34
Déphasage et écart de fréquences
Supposons que l’oscillateur produise un signal
A′ cos(2πflt+ φ) (21)Le produit de ce signal par le signal réceptionné, à porteusesupprimé (pour la simplicité despropos), vaut
s(t)A′ cos(2πflt+φ) =AcA
′
2m(t)(cos(2π(fl− fc)t+φ) + cos(2π(fc+ fl)t+φ)) (22)
Même sifl et fc concordent parfaitement, l’écart de phase joue l’effet d’un atténuateur car,après filtrage,
s(t)A′ cos(2πflt+ φ) → AcA′
2m(t) cosφ (23)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 34
Modulations d’amplitude dérivées
1. Modulation à double bande latérale et porteuse supprimée(appelée en anglais “Doublesideband-suppressed carrier” ou DSB-SC).
2. Modulation en quadrature de phase(appelée“Quadrature Amplitude Modulation”ouQAM).
3. Modulation à bande unique(appelée en anglais “Single sideband modulation” ou SSB).
4. Modulation à bande latérale résiduelle(appelée en anglais “Vestigial sideband modula-tion” ou VSB).
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 35
Signal modulé en amplitude par modulation à porteuse supprimée
s(t) = m(t)c(t) (24)= Acm(t) cos(2πfct) (25)
Spectre :
S(f) =Ac2
(M(f − fc) + M(f + fc)) (26)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 36
Boucle de COSTAS
−π2
V CO
sin (2πfct + φ)
12Acm(t) sinφ
12Acm(t) cosφ
de phaseDis riminateurcos (2πfct+ φ)
Acm(t) cos (2πfct)
Signal DSB-SCm(t)
FIG. 21: Récepteur de COSTAS.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 37
Modulation en quadrature
+π2
m1(t)
m2(t)
s(t)+
+
Ac cos (2πfct)
Ac sin (2πfct)
+π2
m1(t)
m2(t)
s(t)+
+
Ac cos (2πfct)
Ac sin (2πfct)
+π2
s(t)
12AcA
′cm1(t)
12AcA
′cm2(t)
A′c cos (2πfct)
A′c sin (2πfct)
FIG. 22: Schéma de modulation et de démodulation d’une modulation d’amplitude enquadrature.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 38
Modulation à bande latérale unique
Filtrage d’une bande
Soit à filtrer le signalu(t) = Acm(t) cos(2πfct) dont on ne désire garder qu’une bande. Onfait passer le signal à travers un filtre de transmittanceH(f). En sortie, le signal vaut
S(f) = U(f)H(f) (27)=
Ac2
[M(f − fc) + M(f + fc)]H(f) (28)Considérons la détection cohérente
v(t) = A′c cos(2πfct)s(t) (29)
Soit, dans le domaine de FOURIER,
V(f) =A′c
2[S(f − fc) + S(f + fc)] (30)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 39
Après substitution,
V(f) =AcA
′c
4M(f)[H(f − fc) + H(f + fc)]
+AcA
′c
4[M(f − 2fc)H(f − fc) + M(f + 2fc)H(f + fc)] (31)
Le second terme est éliminé à la réception par simple filtrage.
Proposition 1. À la réception, le signal en bande de base n’a subi aucune distorsion à lacondition que,∀f ,
H(f − fc) + H(f + fc) = 1 (32)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 40
Démodulation SSB
fc fcff
f
f
−fc −fc
1/2 1/2
Spe tre de la porteuse
2fc−fc fc−2fc
Spe tre du message
MélangeurBLI
Spe tre du signal SSBSpe tre du signal mélangé
−W W
−W W
FIG. 23: Schéma de démodulation SSB.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 41
Tableau récapitulatif des modulations d’onde continue
f−fc fc
AM lassique 2WAc(1 + kam(t)) cos(2πfct)
f−fc fc
DSB-SC 2WAcm(t) cos(2πfct)
f−fc fc
VSB (1 + α)
W
f−fc fc
||S(f)|| BPs(t)
2WQAM Acm1(t) cos(2πfct)+Acm2(t) sin(2πfct)
FM Ac cos(2πfct+
2πkfR t0 m(τ )dτ ) +W )
2(∆f
SSB W
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 42
Modulation angulaire : Ac cosφi(t)
– Principes et définitions– Analyse de la modulation de fréquence analogique– Modulation par une cosinusoïde
– Analyse spectrale– Bande passante requise
– Réalisation
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 43
Tableau récapitulatif
AmplitudeModulation d'amplitudeModulation de fréquen e
s(t) = A(t) cos (2πf(t)t + φ(t))PhaseModulation de phaseFIG. 24: Paramètres d’un signal modulé.
Paramètres d’une PM Paramètres d’une FM
φi(t) fi(t)φi(t) = φi(t) − (2πfct+ φc) fi(t) = fi(t) − fc
β = max |φi(t)| f = max |fi(t)|Modulation PM Modulation FM
φi(t) = 2πfct+ kpm(t) fi(t) = fc + kfm(t)
fi(t) = fc +kp2πdm(t)dt φi(t) = 2πfct+ 2πkf
∫ t
0m(t′)dt′
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 44
Liens entre modulation de phase et de fréquence
Ac cos(2πfct)
Ac cos(2πfct)
m(t)
m(t)
Modulateur PM Onde FM
Onde PMModulateur FMDérivateur
Intégrateur
FIG. 25: Liens entre modulation de phase et modulation de fréquence.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 45
Comparaison
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.5
0
0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−10
0
10
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10
0
10
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10
0
10
FIG. 26: Signal modulant et signaux modulés respectivement en AM, PM et FM.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 46
Signal modulant pour l’analyse spectrale
Prenons le signal modulant suivant :
m(t) = Am cos(2πfmt)
Considérons le cas d’une modulation FM avec
fi(t) = fc + kfAm cos(2πfmt) (33)= fc + f cos(2πfmt) (34)
La phase instantanée vaut
φi(t) = 2πfct+ffm
sin(2πfmt) (35)= 2πfct+ β sin(2πfmt) (36)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 47
Analyse spectrale
Signal modulé
s(t) = Ac cos(2πfct+ β sin(2πfmt)) (37)s(t) = Ac cos(2πfct) cos(β sin(2πfmt)) −Ac sin(2πfct) sin(β sin(2πfmt)) (38)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 48
Analyse spectrale
Signal modulé
s(t) = Ac cos(2πfct+ β sin(2πfmt)) (37)s(t) = Ac cos(2πfct) cos(β sin(2πfmt)) −Ac sin(2πfct) sin(β sin(2πfmt)) (38)
Pour calculer le spectre du signals(t), on recourt à la formule suivante
ejβ sinψ = J0(β) + 2+∞∑
k=1
jkJk(β) cos(
k(
ψ − π
2
)) (39)ce qui peut encore s’écrire
cos(β sinψ) = J0(β) + 2J2(β) cos(2ψ) + 2J4(β) cos(4ψ) + . . . (40)sin(β sinψ) = 2J1(β) sinψ + 2J3(β) sin(3ψ) + . . . (41)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 48
CommeJ2i(β) = J−2i(β) etJ2i+1(β) = −J−(2i+1)(β)
s(t) = Ac
+∞∑
n=−∞Jn(β) cos(2π(fc + nfm)t) (42)
Spectre
S(f) =Ac2
+∞∑
n=−∞Jn(β)[δ(f − fc − nfm) + δ(f + fc + nfm)] (43)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 49
Fonctions de Bessel
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−0.5
0
0.5
1
J3(β)
J2(β)
J1(β)
J0(β)
β
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 50
Spectre FM
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80
0.5
1
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80
0.5
1
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80
0.5
1
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80
0.5
1
β = 1,f = 1
β = 2,f = 2
β = 3,f = 3
β = 4,f = 4
FIG. 27: Spectre d’un signal FM (fm = 1, β variable).
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 51
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40
0.5
1
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80
0.5
1
−15 −10 −5 0 5 10 150
0.5
1
−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
β = 1, fm = 1
β = 2, fm = 1/2
β = 3, fm = 1/3
β = 4, fm = 1/4
FIG. 28: Spectre d’un signal FM (f = 1, β variable).
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 52
Bande passante requise
Estimation empirique
– [Règle de CARSON] La bande passante requise est
B ≃ 2 (f + fm) = 2f(
1 +1
β
)
β > 100 (44)oùfm correspond à la plus haute composante fréquentielle non nulle du signal modulant.
– Pour une modulation à faible indice (par exempleβ < 0, 5)
B ≃ 2fm β < 0, 5 (45)– Règle de CARSON modifiée
B ≃ 2 (2f + fm) = 2f(
2 +1
β
)
0, 5 ≤ β ≤ 100 (46)Estimation numérique
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 53
Tableau récapitulatif des modulations d’onde continue
f−fc fc
AM lassique 2WAc(1 + kam(t)) cos(2πfct)
f−fc fc
DSB-SC 2WAcm(t) cos(2πfct)
f−fc fc
VSB (1 + α)
W
f−fc fc
||S(f)|| BPs(t)
2WQAM Acm1(t) cos(2πfct)+Acm2(t) sin(2πfct)
FM Ac cos(2πfct+
2πkfR t0 m(τ )dτ ) +W )
2(∆f
SSB W
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 54
Multiplexage en fréquence
f−f3 f3
f−f3 f3
−f2 f2
−f2 f2
−f1 f1
−f1 f1
f
f
f
X1(f)
X2(f)
X3(f)
f1
f2
f3
f
f
Signal multiplexéFIG. 29: Principe du multiplexage en fréquence.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 55
f−f3 f3−f2 f2−f1 f1
Signal multiplexé
f
X3(f)
f
X2(f)
f
X1(f)
f2 f3f1
f1 f2 f3
FIG. 30: Principe du démultiplexage en fréquence.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 56
Récepteur super-hétérodyne
f
f f
X1(f) X2(f)
f f
Signal multiplexéf1 f2 f3
f1 + fIF
fIF
f2 + fIF
fIF
fIF fIF−fIF −fIF
fIFfIF
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 57
Introduction à la modulation numérique
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−2
0
2
V
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−10
0
10
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10
0
10
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10
0
10
FIG. 31: Signal modulant numérique et signaux modulés respectivement en AM, PM et FM.
Remarque: il existeplusieurs représentationsanalogiques pour unmême signald’informa-tion.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 58
Table des matières
– Introduction– Signaux et systèmes de télécommunications– Modulation d’onde continue– Variables aléatoires et processus stochastiques– Introduction à la numérisation– Transmission de signaux numériques en bande de base– Modulation numérique– Propagation et systèmes radio– Principes de fonctionnement du réseau GSM
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 59
Variables aléatoires, processus stochastiques et bruit
– Théorie des probabilités– Variables aléatoires
– Fonction de distribution et densité de probabilité– Moments d’une variable aléatoire– Changement de variable– Plusieurs variables aléatoires
– Processus stochastiques– Moments– Stationnarité– Ergodicité– Densité spectrale de puissance
– Processus stochastiques et systèmes– Sources de bruit
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 60
Problèmes à résoudre
Émetteur Récepteur
Signal utile déterministe aléatoireBruit et interférences aléatoire aléatoire
TAB . 2: Nature des signaux dans une chaîne de télécommunications.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 61
Problèmes à résoudre
Émetteur Récepteur
Signal utile déterministe aléatoireBruit et interférences aléatoire aléatoire
TAB . 2: Nature des signaux dans une chaîne de télécommunications.
– X + Y– Y = g(X)– MélangeurX cos(2πfct)– Passage au travers d’un filtre linéaire– Modélisation du bruit– Mesures
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 61
Espace probabilisé
Un espace probabiliséconsiste en :
1. Un espace témoinΩ d’événements élémentaires.
2. Une classeL d’événements qui sont des sous-ensembles deΩ.
3. Unemesure de la probabilitép(.) associée à chaque événementA de la classeL et qui ales propriétés suivantes :
(a) p(Ω) = 1
(b) 0 ≤ p(A) ≤ 1
(c) Si la suiteAn∈N ∈ F avecAi ∩Aj = ∅ pouri 6= j alors
p(⋃
n∈N
An) =∑
n∈N
p(An)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 62
Probabilité conditionnelle
Définition 8. p(B|A) est appeléeprobabilité conditionnelle. Elle représente la probabilitéde l’événementB, étant donné que l’événementA s’est réalisé. En supposant quep(A) 6= 0,la probabilité conditionnellep(B|A) est définie par
p(B|A) =p(A ∩B)
p(A)(47)
oùp(A ∩B) est la probabilité conjointe deA etB.
Dès lorsp(A ∩B) = p(B|A)p(A) (48)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 63
Probabilité conditionnelle
Définition 8. p(B|A) est appeléeprobabilité conditionnelle. Elle représente la probabilitéde l’événementB, étant donné que l’événementA s’est réalisé. En supposant quep(A) 6= 0,la probabilité conditionnellep(B|A) est définie par
p(B|A) =p(A ∩B)
p(A)(47)
oùp(A ∩B) est la probabilité conjointe deA etB.
Dès lorsp(A ∩B) = p(B|A)p(A) (48)
Proposition 2. Formule deBAYES
p(Ai|B) =p(B|Ai)p(Ai)
∑Nj=1 p(B|Aj)p(Aj)
(49)Elle permet le calcul des probabilitésa posteriorip(Ai|B) en terme de probabilitésa priori
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 63
p(B|Ai).
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 64
Variables aléatoires
Définition 9. Unevariable aléatoireest une fonction dont le domaine est l’espace témoind’une expérience aléatoire et dont la valeur est un nombre réel.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 65
Variables aléatoires
Définition 9. Unevariable aléatoireest une fonction dont le domaine est l’espace témoind’une expérience aléatoire et dont la valeur est un nombre réel.
Définition 10. La fonction de distribution cumulative, encore appeléefonction de distribu-tion ou fonction de répartition, d’une variable aléatoireX est définie par
FX(x) = p(X ≤ x) (50)Définition 11. La fonction de densité de probabilité d’une variable aléatoireX est définiepar
fX(x) =dFX(x)
dx(51)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 65
Moments d’une variable aléatoire
Définition 12. Le n-ième moment de la variable aléatoireX est défini par
µXn = E Xn =
∫ +∞
−∞xnfX(x)dx (52)
oùE désigne l’opérateur d’espérance statistique.
Définition 13. [Moyenne]
µX = E X =
∫ +∞
−∞xfX(x)dx (53)
µX est appeléeespéranceou moyennede la variable aléatoireX .
Définition 14. Le n-ième momentcentréde la variable aléatoireX est défini par
E (X − µX)n =
∫ +∞
−∞(x− µX)
nfX(x)dx (54)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 66
Variance
Définition 15. [Variance]
σ2X = E
(X − µX)2
=
∫ +∞
−∞(x− µX)2 fX(x)dx (55)
Théorème 1. [CHEBYSHEV ] Si Y est une variable aléatoire positive, alors
∀ε > 0 p (|X − µX| ≥ ε) ≤ σ2X
ε2(56)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 67
Variable aléatoire gaussienneou normale
SoitX une variable aléatoire de moyenneµX et de varianceσ2X. Cette variable présente une
densité de probabilité gaussienne ou normale si, pour−∞ < x < +∞, elle a la forme
fX(x) =1
σX√
2πe−(x−µX)2
2σ2X (57)
Théorème 2. [Limite centrale] Si Xi est une suite de variables aléatoires indépen-dantes, de même loi, centrées et de variance égale à1, alors la fonction de répartitionFY (y)de la variable aléatoire
Y =1√N
N∑
i=1
Xi (58)vérifie
limN→+∞
FY (y) =
∫ y
−∞
1√2πe−
u2
2 du (59)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 68
Cas de plusieurs variables aléatoires
Définition 16. La fonction de répartition conjointeFX,Y (x, y) est définie par
FX,Y (x, y) = p(X ≤ x, Y ≤ y) (60)c’est-à-dire que la fonction de répartition conjointe deX etY est égale à la probabilité quela variableX et la variableY soient respectivement inférieures aux valeursx ety.
Définition 17. La fonction de densité de probabilité conjointefX,Y (x, y) est définie par
fX,Y (x, y) =∂2FX,Y (x, y)
∂x∂y(61)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 69
Moments de plusieurs variables aléatoires
Définition 18. [Corrélation] La corrélation de deux variables aléatoiresX etY est définiepar
E XY =
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞xyfX,Y (x, y)dxdy (62)
Définition 19. [Covariance] La covariancede deux variables aléatoiresX etY est définiepar
CXY (x, y) = E (X − µX) (Y − µY ) (63)= E XY − µXµY (64)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 70
Moments d’une somme
Proposition 3. [Espérance]
µX+Y = E X + Y = E X +E Y (65)Proposition 4. [Variance]
σ2X+Y = E
(X + Y − µX+Y )2
= σ2X + σ2
Y + 2CXY (x, y) (66)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 71
Probabilité conditionnelle et indépendance
Définition 20. La fonction de densité de probabilité conditionnelle de la variableY , étantdonné queX = x, est définie par
fY (y|x) =fX,Y (x, y)
fX(x)(67)
où nous avons supposé queX etY sont deux variables aléatoires continues etfX(x) est ladensité marginale deX .
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 72
Probabilité conditionnelle et indépendance
Définition 20. La fonction de densité de probabilité conditionnelle de la variableY , étantdonné queX = x, est définie par
fY (y|x) =fX,Y (x, y)
fX(x)(67)
où nous avons supposé queX etY sont deux variables aléatoires continues etfX(x) est ladensité marginale deX .
Proposition 5. Si X et Y sontstatistiquement indépendantes, la connaissance du résultatdeX n’affecte pas la densité de probabilité deY et nous pouvons écrire
fY (y|x) = fY (y) (68)Et dès lors,
fX,Y (x, y) = fX(x)fY (y) (69)Définition 21. Par définition, les variables aléatoiresX etY sont ditesnon− orrelees ⇐⇒ CXY (x, y) = 0 (70)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 72
orthogonales ⇐⇒ E XY = 0 (71)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 73
Processus stochastiques
t
t
t
ω1
ω2
ωn
X(t, ω1)X(tk, ω1)
X(tk, ω2)X(t, ω2)
X(t, ωn)
Espa e témoin Ω
X(tk, ωn)tk
FIG. 32: Un ensemble de réalisations du processus aléatoireX(t).
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 74
Moments temporels
Définition 22. La moyenne temporelled’un processus aléatoireX(t) est définie par
µX(T ) =1
2T
∫ T
−Tx(t)dt (72)
oùx(t) est une réalisation du processus aléatoire.
Définition 23. La fonction d’autocorrélation temporelled’un processus aléatoireX(t) estdéfinie par
ΓXX (τ, T ) =1
2T
∫ T
−Tx(t+ τ)x(t)dt (73)
oùx(t) est une réalisation du processus aléatoire.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 75
Moments statistiques
Définition 24. La moyenne d’un processus aléatoireX(t) observé au tempst est définiepar
µX(t) = E X(t) (74)=
∫ +∞
−∞xfX(t)(x)dx (75)
oùfX(t)(x) est la fonction de densité de probabilité du premier ordre duprocessus aléatoireX(t).
Pourt fixé,X(t) est unevariable aléatoire.
Définition 25. La fonction d’autocorrélation d’un processus aléatoireX(t) est définie par
ΓXX (t1, t2) = E X(t1)X(t2) (76)=
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞x1x2fX(t1),X(t2)(x1, x2)dx1dx2 (77)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 76
Stationnarité
Deux formes
– Stationnarité au sensstrict– Stationnarité au senslarge(dite du second ordre)
Stationnarité au sens strict
Le processus aléatoireX(t) sera ditstationnaire au sens strictsi
FX(t1),X(t2),...,X(tk)(x1, x2, ..., xk) = (78)FX(t1+τ),X(t2+τ),...,X(tk+τ)(x1, x2, ..., xk) (79)
pour toutτ , toutk et tous les choix possibles de temps d’observationt1, t2, ..., tk.
Définition 26. Un processus aléatoire eststationnaire au sens strictsi ses caractéristiquesprobabilistes sont invariantes pour tout changement de l’origine des temps.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 77
Stationnarité au sens large (dite du second ordre)
Définition 27. Un processus aléatoire est stationnaire au sens large s’il vérifie les deuxconditions suivantes
1. Sa moyenne est indépendante du temps.
µX(t) = µX ∀t (80)2. Sa fonction d’autocorrélation ne dépend que de la différence entre les temps d’observa-
tion.ΓXX (t1, t2) = ΓXX (t2 − t1) ∀t1, t2 (81)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 78
Fonction d’autocorrélation d’un processus aléatoire stationnaire
Fonction d’autocorrélation d’un processus stationnaireX(t) :
ΓXX (τ) = E X(t+ τ)X(t) ∀t (82)Propriétés importantes :
– La moyenne du carré du processus aléatoire peut être obtenue simplement en posantτ =0 :
ΓXX (τ) = E
X2(t) (83)
– La fonction d’autocorrélationΓXX (τ) est une fonction paire deτ :
ΓXX (τ) = ΓXX (−τ) (84)– La fonction d’autocorrélationΓXX (τ) présente son amplitude maximum enτ = 0 :
|ΓXX (τ)| ≤ ΓXX (0) (85)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 79
Ergodicité
Un processus estergodique à l’ordren si les moyennes temporelles jusqu’à l’ordren sontindépendantes du choix de la réalisation. Si le processus est ergodique à tout ordre, on ditqu’il est ergodique au sens strict.
Définition 28. Un processus aléatoire stationnaireX(t) est ditergodique dans la moyennesi :(1) la moyenne temporelleµX(T ) tend vers la moyenne statistiqueµX lorsque l’intervalled’observation2T tend vers l’infini, c’est-à-dire
limT→∞
µX(T ) = µX (86)(2) la variance de la variable aléatoireµX(T ) tend vers zéro lorsque l’intervalle d’observa-tion 2T tend vers l’infini, c’est-à-dire
limT→∞
var µX(T ) = 0 (87)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 80
Densité spectrale de puissance
Définition 29. La densité spectrale de puissanceγX(f) d’un processus aléatoire station-naireX(t) est la transformée deFOURIER de sa fonction d’autocorrélationΓXX (τ) :
γX(f) =
∫ +∞
−∞ΓXX (τ) e−2πjfτdτ (88)
ΓXX (τ) =
∫ +∞
−∞γX(f)e2πjfτdf (89)
Propriétés
γX(0) =
∫ +∞
−∞ΓXX (τ) dτ (90)
E
X2(t)
= ΓXX (0) =
∫ +∞
−∞γX(f)df (91)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 81
Exemple : onde sinusoïdale avec phase aléatoire
Considérons un signal sinusoïdal avec une phase aléatoireθ ∈ [0, 2π] ou [−π,+π]
X(t) = Ac cos (2πfct+ Θ) (92)1. Moyennestatistique du processus aléatoireX(t) ?
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 82
Exemple : onde sinusoïdale avec phase aléatoire
Considérons un signal sinusoïdal avec une phase aléatoireθ ∈ [0, 2π] ou [−π,+π]
X(t) = Ac cos (2πfct+ Θ) (92)1. Moyennestatistique du processus aléatoireX(t) ?
µX(t) = E X(t) =
∫ +π
−πAc cos (2πfct+ θ)
1
2πdθ = 0 (93)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 82
Exemple : onde sinusoïdale avec phase aléatoire
Considérons un signal sinusoïdal avec une phase aléatoireθ ∈ [0, 2π] ou [−π,+π]
X(t) = Ac cos (2πfct+ Θ) (92)1. Moyennestatistique du processus aléatoireX(t) ?
µX(t) = E X(t) =
∫ +π
−πAc cos (2πfct+ θ)
1
2πdθ = 0 (93)
2. Fonction d’autocorrélationetdensité spectrale?
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 82
Exemple : onde sinusoïdale avec phase aléatoire
Considérons un signal sinusoïdal avec une phase aléatoireθ ∈ [0, 2π] ou [−π,+π]
X(t) = Ac cos (2πfct+ Θ) (92)1. Moyennestatistique du processus aléatoireX(t) ?
µX(t) = E X(t) =
∫ +π
−πAc cos (2πfct+ θ)
1
2πdθ = 0 (93)
2. Fonction d’autocorrélationetdensité spectrale?
ΓXX (t1, t2) =A2c
2cos [2πfc(t2 − t1)] (94)
γX(f) =A2c
4[δ(f − fc) + δ(f + fc)] (95)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 82
Processus stochastiques et systèmes
Filtrage des processus aléatoires stationnaires au sens large
SoientX(t) un processus stochastique stationnaire au sens large,H(f) la transmittance d’unfiltre linéaire etY (t) le processus à la sortie du système linéaire
– Moyenne?
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Processus stochastiques et systèmes
Filtrage des processus aléatoires stationnaires au sens large
SoientX(t) un processus stochastique stationnaire au sens large,H(f) la transmittance d’unfiltre linéaire etY (t) le processus à la sortie du système linéaire
– Moyenne?
µY = µXH(0) (96)– Fonction d’autocorrélationetdensité spectrale de puissance?
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 83
Processus stochastiques et systèmes
Filtrage des processus aléatoires stationnaires au sens large
SoientX(t) un processus stochastique stationnaire au sens large,H(f) la transmittance d’unfiltre linéaire etY (t) le processus à la sortie du système linéaire
– Moyenne?
µY = µXH(0) (96)– Fonction d’autocorrélationetdensité spectrale de puissance?
Proposition 6. [W IENER -K INTCHINE ] SoientX(t) un processus stochastique station-naire au sens large,H(f) la transmittance d’un filtre linéaire etY (t) le processus à la sortiedu système linéaire
γY (f) = ‖H(f)‖2γX(f) (97)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 83
Somme de processus stochastiques
Y (t) = K(t) +N(t) (98)Pour des processus stationnaires au sens large,
γY Y (f) = γKK(f) + γKN(f) + γNK(f) + γNN(f) (99)Si les processus sont non corrélés,
γY Y (f) = γKK(f) + γNN(f) (100)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 84
Analyse de la modulation pour processus stochastique : principe etanalyse du mélangeur “stochastique”
Modulation:
S(t) = M(t) cos(2πfct) (101)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 85
Analyse de la modulation pour processus stochastique : principe etanalyse du mélangeur “stochastique”
Modulation:
S(t) = M(t) cos(2πfct) (101)Le processus n’est pas stationnaire en la moyenne !
Modulation avec une phase aléatoire et indépendante deM(t) :
S(t) = M(t) cos(2πfct+ Φ) (102)γS(f) =
1
4[γM(f − fc) + γM(f + fc)] (103)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 85
Une classe de processus stochastiques importante : les sources de bruit
Bruit thermiqueEV 2
BT = 4kBTRf [V 2] (104)R
VBT
FIG. 33: Équivalent de Thévenin d’une source de bruit thermique.
Bruit de grenailleEI2
Gr = 2qIf [A2] (105)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 86
Modélisation du bruit
Processus gaussien
Un processus aléatoire est ditgaussiensi quelle que soit la suite des instantst1, t2, . . . , tn etquel que soitn, la variable aléatoire àn dimensionsX1, X2, . . . , Xn est gaussienne.
Propriétés
– Un processus aléatoire gaussien est entièrement défini parla donnée des moments dupremier et du second ordre.
– Un processus aléatoire gaussien qui serait stationnaire au sens large est aussi stationnaireau sens strict.
– Si les variables aléatoiresX1,X2, . . . ,Xn, obtenues par échantillonnage d’un processusgaussien aux tempst1, t2, . . . , tn, sontnon corrélées, c’est-à-dire que
E(Xk − µXk)(Xi − µXi) = 0, i 6= k (106)alors ces variables sont statistiquement indépendantes.
– Toute combinaison linéaire finie de variables aléatoires gaussiennes est gaussienne. Defaçon plus générale, on montre quele caractère gaussien se conserve dans toute transfor-mation linéaireet donc en particuler par filtrage linéaire.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 87
Bruit blanc
Définition 30. Le bruit blancest un processus aléatoire stationnaire du second ordrecentréet dont la densité spectrale de puissance est constante sur tout l’axe des fréquences :
γW (f) =N0
2(107)
N0 s’exprime enWattparHertz. La fonction d’autocorrélation s’écrit donc
ΓWW (τ) =N0
2δ(τ) (108)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 88
Bruit blanc
Définition 30. Le bruit blancest un processus aléatoire stationnaire du second ordrecentréet dont la densité spectrale de puissance est constante sur tout l’axe des fréquences :
γW (f) =N0
2(107)
N0 s’exprime enWattparHertz. La fonction d’autocorrélation s’écrit donc
ΓWW (τ) =N0
2δ(τ) (108)
Passage du bruit blanc à travers un filtre passe-bande
γW (f) =
N02 , f ∈ [±fc ± B
2 ]0, sinon (109)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 88
La fonction d’autocorrélation est
ΓWW (τ) = BN0sin (πBτ)
πBτcos(2πfcτ) (110)
Passage du bruit blanc à travers un filtre passe-bas
γW (f) =
η, −B2 < f < B
2
0, |f | > B2
(111)La fonction d’autocorrélation vaut
ΓWW (τ) = Bηsin (πBτ)
πBτ(112)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 89
Décomposition de RICEL’expression
s(t) = A(t) cos(2πfct+ φ(t)) (113)peut aussi être écrite sous la forme de deux composantes
s(t) = A(t) cos(2πfct+ φ(t)) (114)= sI(t) cos(2πfct) − sQ(t) sin(2πfct)
telles que
sI(t) = A(t) cosφ(t) (115)sQ(t) = A(t) sinφ(t) (116)
Propriétés :– Les composantesnI(t) et nQ(t) d’un bruit blanc à bande étroiten(t) sont de moyenne
nulle.– Si le bruitn(t) à bande étroite est gaussien, ses composantesnI(t) etnQ(t) sont conjoin-
tement gaussiennes.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 90
Table des matières
– Introduction– Signaux et systèmes de télécommunications– Modulation d’onde continue– Variables aléatoires et processus stochastiques– Introduction à la numérisation– Transmission de signaux numériques en bande de base– Modulation numérique– Propagation et systèmes radio– Principes de fonctionnement du réseau GSM
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 91
Introduction à la numérisation
– Introduction– Conversion des signaux
– Échantillonnage– Interpolation– Réalisation de l’échantillonnage
– Modulation PAM– Modulation de la position des impulsions– Modulation d’impulsions codées PCM
– Quantification– Bruit de quantification– Codage– Modulations dérivées
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 92
De l’analogique au numérique
Signal analogiqueoriginal
Filtrage
Echantillonnage
Quantification
Compression
101001Signal numérique
Numérisation
Signal analogiquefiltré et quantifié
Interpolation
Décompression
101001Signal numérique
125,3658112,3401
125112
125112
FIG. 34: Passage de l’analogique au numérique et conversion inverse.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 93
Types d’information
Echantillonnage Quantification Codage Modulation Emetteur
Canal
RécepteurDémodulationFiltrage
passe-basDécodage
Mise en forme des signaux
Mise en forme des signaux
Donnéesbinaires
Informationnumérique
Informationtextuelle
Informationanalogique
Informationanalogique
Informationtextuelle
Informationnumérique
FIG. 35: Mise en forme et transmission.
Caractérisation de la qualité de la transmission au moyen dutaux d’erreur par bit(bit errorrate)Pe
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 94
Théorème de SHANNON
Théorème 3. [SHANNON ] Une fonctiong(t) à énergie finie et à spectre limité, c’est-à-diredont la transformée deFOURIER G(f) est nulle pour|f | > W , est entièrement déterminéepar ses échantillonsg[nTs],n ∈ −∞,+∞ pour autant que la fréquence d’échantillonnagefs soit strictement supérieure au double de la borne supérieure du spectre
fs > 2W (117)
t
t
t
g(t)
gs(t)
f
f
f
Pδ(t− nTs)
W
−fs fs
−W 0
‖G(f)‖
FIG. 36: Échantillonnage instantané.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 95
Formule d’interpolation de W HITTAKER
Soitg(t) un signal analogique intégrable de spectre borné[−W,W ]. Soitg[nTs] l’ensem-ble de ses échantillons de pasTs = 1/fs. La fonctiong(t) s’écrit comme la série de fonctions
g(t) =
+∞∑
n=−∞g[nTs]sinc
(
t− nTsTs
) (118)
Ts 2Ts t
g(0)g(1)
g(2)
g(t)
FIG. 37: Interprétation des termes de la formule d’interpolation de WHITTAKER.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 96
Réalisation de l’échantillonnageLe signal échantillonnégτ(t) est le produit deg(t) par un trainps(t) de rectangles de largeurτ
ps(t) = p(t) ⊗+∞∑
n=−∞δ(t− nTs) =
+∞∑
n=−∞p(t− nTs)
avec
p(t) =
1 si 0 < t < τ0 sinon
(119)La transformée de FOURIER dep(t) étant
Ps(f) =e−πjfτ
Ts
sin(πfτ)
πf
+∞∑
n=−∞δ(f − nfs) (120)
Celle degτ(t), parfois appelésignal échantillonné naturel, vaut
Gτ(f) = G(f) ⊗ Ps(f) (121)=
τ
Ts
+∞∑
n=−∞e−nπjfsτ
sin(nπfsτ)
nπfsτG(f − nfs)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 97
−20 0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f
||G(f
)||
Amplitude du spectre du signal analogique
−20 0 20 40 60 80 1000
0.1
0.2
0.3
f
||Gta
u(f)
||
Amplitude du spectre d’un signal échantillonné naturel
FIG. 38: Spectre d’un signal analogique et du signal échantillonné naturel.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 98
Modulations
– Analogiques– Pulse Amplitude Modulation (PAM)– Pulse Duration Modulation (PDM)– Pulse Position Modulation (PPM)
– Numériques– Pulse Code Modulation (PCM)– Differential Pulse Code Modulation (DPCM)– Delta
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 99
Modulation Pulse Amplitude Modulation PAM
t
m(t)
Ts
τ ′
mτ ′(t)
FIG. 39: Modulation PAM au moyen d’ impulsions rectangulaires.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 100
−20 0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f
||G(f
)||
Amplitude du spectre du signal analogique
−20 0 20 40 60 80 1000
5
10
15
f
||Mta
u’(f
)||
Amplitude du spectre d’un signal échantillonné bloqué
FIG. 40: Spectre d’un signal analogique et du signal échantillonné bloqué.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 101
Pulse Duration Modulation (PDM)
(a)
(b)
(c)
(d)
t
m(t)
Ts
FIG. 41: Un signal modulant, modulation PDM et modulation PPM.
p(t) = 0, τ = kp |m(t)|max <Ts2
(122)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 102
Pulse Position Modulation (PPM)
Un signal PPM s’écrit
s(t) =+∞∑
n=−∞p(t− nTs − kpm[nTs]) (123)
oùp(t) est une impulsion centrée de largeur fixeτ . Pour éviter l’interférence entre symbolessuccessifs, il faut respecter la condition suivante qui fait intervenir la largeur de l’impulsions
p(t) = 0, kp |m(t)|max <Ts2
− τ
2(124)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 103
Pulse Code Modulation (PCM)
Principe
3, 5
−0, 5
Numérod’ordre
−2, 5
v(t)
4
0
−4
2, 5
1, 5
0, 5
v[.]
−1, 5
7
6
5
4
3
2
1
0
1, 5 2, 5 1, 5 0, 5
m(t)
m[nTs]
Numéro d’ordre
Code PCM
5
101
5
101
6 4 3 1
001011100110
1, 3 2, 8 1, 8 0, 6 −0, 5 −2, 3
−2, 5−0, 5
−3, 5
FIG. 42: Échantillons instantanés, quantifiés et codes PCM.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 104
Quantification
Définition 31. Le processus consistant à transformer un échantillon d’amplitude m[nTs]d’un messagem(t) pris au tempst = nTs en une amplitudev[nTs], choisie dans un ensem-ble fini de valeurs possibles, est appeléquantification.
mk−1 mk+1
Ik
vk
mk
Quantificateurm[nTs] v[nTs]
FIG. 43: Description d’un quantificateur sans mémoire.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 105
Fonctions “escalier de quantification”
(a)
sortie sortie
(b)
entrée entrée4
2
4
2
−4 −2 0 2 4 −4 −2 0 2 4
−2
−4
−2
−4
FIG. 44: Formes alternatives pour la fonction de quantification.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 106
Calcul du bruit de quantificationSoitσ2
M la puissance moyenne du messagem(t). Le rapport signal à bruitσ2M/σ
2Q est égal
à
(
S
N
)
q
=σ2M
σ2Q
(125)=
(
3σ2M
m2max
)
22R (126)L’ajout d’un bit supplémentaire augmente le rapport signalà bruit de 6[dB] puisqu’en dé-cibels, le rapport signal à bruit vaut
10 log10
(
S
N
)
q
= 10 log10 3 + 20 log10
(
σMmmax
)
+ 20R log10 2 (127)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 107
Modulation delta
approximation
pas
m(t)
FIG. 45: L’erreur de quantification dans une modulation delta.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 108
Table des matières
– Introduction– Signaux et systèmes de télécommunications– Modulation d’onde continue– Variables aléatoires et processus stochastiques– Introduction à la numérisation– Transmission de signaux numériques en bande de base– Modulation numérique– Propagation et systèmes radio– Principes de fonctionnement du réseau GSM
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 109
Transmission de signaux numériques en bande de base
Table des matières
– Nécessité du codage– Capacité d’un canal– Transmission de données binaires
– Spectre des signaux numériques– Modèle théorique linéaire
– Transmission d’impulsions en bande de base– Codes en lignes d’émission
– Détection de signaux binaires en présence de bruit– Effet de la limitation de la bande passante
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 110
Nécessité du codage
Définition 32. [Valence]La relation entre la rapidité de modulationR et le débit binaireDmet en jeu la valenceV ; elle est donnée par l’équation
D = R log2(V ) (128)Capacité d’un canal
Théorème 4. [SHANNON -HARTLEY ]
C = W log2
(
1 +S
N
) (129)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 111
0 10 20 30 40 50 600
1
2
3
4
5
6
7
8x 10
4
S/N en dB
Cap
acité
en
bits
/sec
Capacité de canal selon Shannon
FIG. 46: Capacité d’un canal téléphonique (W = 3, 7 [kHz]).
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 112
Transmission des données binaires
Deux méthodes :
– la transmission en bande de base, méthode correspondant à l’émission directe sur le canalde transmission, et
– la transmission par modulation d’une porteuse, méthode permettant d’adapter le signal aucanal de transmission.
Caractéristiques :
– le débit, exprimé en[b/s].– lesniveaux physiques associésà chaque bit (0 ou 1) ou groupes de bits.– l’encombrement spectral.– la probabilité d’erreur par bit transmis (bit error rate) ⇒ Pe
Lien entre le débit et la bande passante de la représentationanalogique du signal :efficacitéspectrale.
Définition 33. L’efficacité spectraleest définie comme le rapport entre le débit binaire et labande nécessaire à la transmission du signal d’informationnumérique.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 113
Spectre des signaux numériques
Modèle théorique linéaire
g(t) =
+∞∑
k=−∞Akφk(t− kT ) (130)
G(f) =+∞∑
k=−∞AkFφ(t− kT ) (131)
= Fφ(t)+∞∑
k=−∞Ake
−2πjfkT (132)= Φ(f)F
+∞∑
k=−∞Akδ(t− kT )
(133)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 114
Train d’impulsions de D IRAC
+∞∑
k=−∞Akδ(t− kT ) (134)
Soit donc à analyser le signal aléatoireX(t)
X(t) =
+∞∑
k=−∞Akδ(t− kT − T0) (135)
Moyenne d’un train d’impulsionsµX =
µAT
(136)Densité spectrale d’un train d’impulsions
γX(f) =
+∞∑
l=−∞
ΓAA (l)
Te−2πjlfT (137)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 115
Densité spectrale d’un signal numérique mis en forme
g(t) =+∞∑
k=−∞Akφ(t− kT ) (138)
est le résultat d’un train d’impulsions modulés en amplitude par la séquenceAk au traversd’un filtre de mise en forme.
Par application des résultats relatifs au passage d’un signal aléatoire à travers un filtrelinéaire,
µg =µAT
Φ(0) (139)Par WIENER-K INTCHINE,
γg(f) = ‖Φ(f)‖2+∞∑
l=−∞
ΓAA (l)
Te−2πjlfT (140)
= ‖Φ(f)‖2 γA(fT )
T(141)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 116
Cas particulier : signaux non-corrélés
γA(fT ) =+∞∑
l=−∞ΓAA (l) e−2πjlfT (142)
= σ2A + µ2
A
+∞∑
m=−∞
1
Tδ(f − m
T) (143)
La densité spectrale vaut donc finalement
γg(f) = ‖Φ(f)‖2 1
T
[
σ2A + µ2
A
+∞∑
m=−∞
1
Tδ(f − m
T)
] (144)Moyennant l’hypothèse de variables à moyenne nulle (µA = 0),
γg(f) = ‖Φ(f)‖2 σ2A
T(145)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 117
Transmission d’impulsions en bande de base
Codage
Deux technologies sont mises en œuvre pour coder les signauxnumériques :
– lescodages en ligne. On parle de codes linéaires.– les codages complets, qui se réfèrent à des tables de conversion (par exemple 5B/4T,
4B/3T, 2B1Q).
Codages linéaires
On peut distinguer les principales catégories suivantes pour le codage linéaire de signauxPCM :
1. Nonreturn-to-zero (NRZ),
2. Return-to-zero (RZ),
3. Codage de la phase, et
4. Codage multi-niveaux.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 118
Variantes de codage
Manchester
Bi-φ-L
unipolaire
NRZ
unipolaireNRZ
bipolaire
RZ
RZbipolaire
0 0 0 0 01 1 1 1
+V
+V
+V
+V
+V
−V
−V
−V
−V
−V
FIG. 47: Variantes de codage en ligne PCM.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 119
Codage NRZ unipolaireLa modélisation complète du codage NRZ unipolaire est résumée dans le tableau suivant :
Symbole Probabilité Ak Onde
0 1 − p 0 . . .1 p V 1, 0 ≤ t < T
MoyenneµA = V p (146)
Varianceσ2A = E
(Ak − µA)2
= p(1 − p)V 2 (147)Filtre
‖Φ(f)‖2= T 2
(
sin(πfT )
πfT
)2 (148)Densité spectrale de puissance
γ(f) = p(1 − p)V 2T
(
sin(πfT )
πfT
)2
+ p2V 2δ(f) (149)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 120
Études temporelle et fréquentielle
1 2 3 4 5 6
x 10−3
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Temps [s]
V
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510
−9
10−8
10−7
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
PSD Function
Frequency [kHz]
Pow
er [W
]
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 121
Bande passante : choix pratiquesLe spectre du signal mis en forme est infini.
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.5 1 1.5 2 2.5 3
20
40
60
80
100
fT
γ(f)
fT
Pourcentage de puissance comprise dans la bande
FIG. 48: Analyse de la répartition de puissance.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 122
Codage RZ unipolaireSymbole Probabilité Ak Onde
0 1 − p 0 . . .1 p V 1, 0 ≤ t < αT (α ≤ 1)
Varianceσ2A = E
A2k
− µ2A = pV 2 − (pV )2 = p(1 − p)V 2 (150)
Filtre
‖Φ(f)‖2= α2T 2
(
sin(πfαT )
πfαT
)2 (151)Densité spectrale de puissanceSi on prendα = 1
2, ce qui est le choix habituel,
γ(f) =p(1 − p)
4V 2T
(
sin(πfT/2)
πfT/2
)2
+p2
4V 2δ(f)
+p2V 2+∞∑
n=−∞
1
(2n+ 1)2π2δ(f − (2n+ 1)
T) (152)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 123
Études temporelle et fréquentielle
1 2 3 4 5 6
x 10−3
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Temps [s]
V
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510
−7
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
PSD Function
Frequency [kHz]
Pow
er [W
]
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 124
Codage Manchester
Symbole Probabilité Ak Onde
0 1 − p −V −1, 0 ≤ t < T/2+1, T/2 ≤ t < T
1 p V−1, 0 ≤ t < T/2+1, T/2 ≤ t < T
Varianceσ2A = 4p(1 − p)V 2 (153)
Filtre
Φ(f) =T
2
(
sin(πfT/2)
πfT/2
)
(
−e−2πjfT/4 + e+2πjfT/4)
= T
(
sin(πfT/2)
πfT/2
)
j sin(πfT/2) (154)‖Φ(f)‖2
= T 2
(
sin(πfT/2)
πfT/2
)2
sin2(πfT/2) (155)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 125
γ(f) = 4p(1 − p)V 2T(
sin4(πfT/2)(πfT/2)2
)
+ 4(2p− 1)2V 2∑+∞n=−∞
1(2n+1)2π2δ(f − (2n+1)
T ) (156)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 126
Études temporelle et fréquentielle
1 2 3 4 5 6
x 10−3
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Temps [s]
V
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510
−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
PSD Function
Frequency [kHz]
Pow
er [W
]
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 127
1 2 3 4 5 6
x 10−3
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Temps [s]
V
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510
−8
10−7
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
PSD Function
Frequency [kHz]
Pow
er [W
]
1 2 3 4 5 6
x 10−3
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Temps [s]
V
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510
−7
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
PSD Function
Frequency [kHz]P
ower
[W]
1 2 3 4 5 6
x 10−3
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Temps [s]
V
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510
−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
PSD Function
Frequency [kHz]
Pow
er [W
]
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 128
Codage en blocs ou complets
Valeur binaire Code quaternaire
10 +311 +101 -100 -3
TAB . 4: Codage 2B/1Q.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 129
Détection de signaux binaires en présence de bruit gaussien
Position du problème
g(t) =
+∞∑
k=−∞Akφk(t− kT ) (157)
Erreurs de transmission dues à :
– du bruit (additif blanc gaussien)– présence de filtres (émission ou réception)– non-linéarité du canal– ...
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 130
Effet d’un bruit additif
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x 10−3
−2
−1
0
1
2
Temps [s]
V
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
−2
−1
0
1
2
Temps [s]
V
FIG. 49: Effet du bruit sur un signal MANCHESTER.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 131
0 1 1 01
0 1 1 01
g(t)
Mise en forme
h(t)
λ = 0
é hantillonnageDé isionFiltre adaptéSignal bruité
seuilλ = 0
onvolution
0 1 2 3 4 5 ×10−3
0 1 2 3 4 5 ×10−3
0 1 2 3 4 5 ×10−3
0 1 2 3 4 5 ×10−3
0 1 2 3 4 5 ×10−3
n(t)
Ak
A′k
Canalx(t) = g(t) + n(t)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 132
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
x 10−3
−2
0
2
Temps [s]
V
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 10−3
−5
0
5
Temps [s]
V
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 10−3
−1
0
1
x 10−3
Temps [s]
V
FIG. 51: Signaux typiques dans le cas d’une transmission en bande de base.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 133
Modélisation
SignalFiltreh(t) Décision
T
Phase 2Phase 1
g(t)g(t)
Seuilλ
x(t)
Bruit additif gaussienn(t)
y[T ]
FIG. 52: Structure d’un détecteur linéaire.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 134
Première phase : filtrage ou corrélationCritère
η =|gh(T )|2E n2
h(t)(158)
Résultat
η ≤ 2
N0
∫ +∞
−∞‖G(f)‖2
df (159)D’où la valeur maximale
ηmax =2
N0
∫ +∞
−∞‖G(f)‖2 df =
2EbN0
(160)Définition 34. [Énergie du signal]
Eb =
∫ +∞
−∞‖G(f)‖2
df =
∫ T
0
|g(t)|2 dt (161)On peut écrire le filtre optimal par
hopt(t) =
kg(T − t) 0 ≤ t ≤ T0 ailleurs (162)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 135
Implémentation du filtre adaptéEn pratique, on dispose de plusieurs moyens de réaliser le filtre adapté :
1. Parconvolution.
y(t) =
∫ +∞
−∞x(τ)h(t− τ)dτ (163)
On échantillonne ce signal à l’instantt = T pour obtenir la valeury[T ].
2. Parcorrélation. Considérons l’expression dey(t)
y(t) =
∫ +∞
−∞x(τ)g(T − t+ τ)dτ (164)
à partir de quoi
y[T ] =
∫ T
0
x(τ)g(τ)dτ (165)3. Parintégration. Dans le cas particulier d’un fonctiong(t) = 1 sur [0, T ], la formule dez(t) se réduit à
z(t) =
∫ t
0
x(τ)dτ (166)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 136
Seconde phase : détection par maximum de vraisemblance
Le signal reçu durant l’intervalle de tempsT est
x(t) =
g0(t) + n(t), 0 ≤ t ≤ T pour 0g1(t) + n(t), 0 ≤ t ≤ T pour 1
(167)Par exemple, pour un signal NRZ,g0(t) = −V etg1(t) = +V .
Au moment de prendre une décision, on peut faire deux types d’erreur
1. Sélectionner le symbole1 alors qu’on a transmis le symbole0 ; c’est l’erreur de type 1.
2. Sélectionner le symbole0 alors qu’on a transmis le symbole1 ; c’est l’erreur de type 2.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 137
Démarche
– Probabilité d’erreur lors de l’envoi du signalg0(t)– Probabilité d’erreur lors de l’envoi du signalg1(t)– Probabilité d’erreur moyenne
Probabilité d’erreur pour un signal g0(t)
Supposons que l’on ait transmis un symbole0, autrement dit le signalg0(t). Le signal reçuau récepteur est alors
x(t) = −V + n(t) 0 ≤ t ≤ Tb (168)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 138
Résultats
σ2Y =
N0
2Tb(169)
fY (y|0) =1
√
πN0/Tbe−(y+V )2
N0/Tb (170)Pe0 =
1√
πN0/Tb
∫ +∞
λ
e−(y+V )2
N0/Tb dy (171)Résultat final :
Pe0 =1
2erfc
(
√
EbN0
) (172)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 139
Densités de probabilité
fY (y|0)
yλ
Pe0
y
Pe1
fY (y|1)
λ
−V
+V
FIG. 53: Forme des densités de probabilitésfY (y|0), fY (y|1) et probabilités d’erreur.
y(T ) y
p1p0
λ = 0
fY (y|0) fY (y|1)
+V−V
FIG. 54: Densités de probabilité conditionnelles.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 140
Probabilité d’erreur moyenne
Pe =1
2erfc
(
√
EbN0
) (173)
−2 0 2 4 6 8 10 12 14 1610
−16
10−14
10−12
10−10
10−8
10−6
10−4
10−2
100
Eb/No [dB]
Probabilité d’erreur pour un signal NRZ bipolaire
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 141
Effet de la limitation de la bande passante
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x 10−3
−2
0
2
Temps [s]
V
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
−2
0
2
Temps [s]
V
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
−2
0
2
Temps [s]
V
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01−2
0
2
Temps [s]
V
FIG. 55: Effet de la limitation de la bande de fréquence sur un signal NRZ bipolaire : (a)signal original, (b) signal filtré à5fb, (c) signal filtré à0, 6fb et (d) signal filtré à0, 4fb.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 142
Diagramme de l’œil
TsTb
FIG. 56: Diagrammes de l’œil obtenus à travers un canal à réponseimpulsionnelle finie pourun système à 2 et 4 états.
Marge par rapport au bruitIntervalle de temps permettantun é hantillonnage orre t
Instant d'é hantillonnage idéalDistorsion d'amplitudeIn ertitude de syn hronisation
FIG. 57: Interprétation du diagramme de l’œil.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 143
Types de transmission
Deux modes logiques :
– TransmissionsynchroneDonnéesn n + 1
t
n + 2 n+ 3n − 1
– TransmissionasynchroneDonnéesStart Stopn n+ 1 n+ 2
t
Deux modes physiques :
– série– parallèle
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 144
Table des matières
– Introduction– Signaux et systèmes de télécommunications– Modulation d’onde continue– Variables aléatoires et processus stochastiques– Introduction à la numérisation– Transmission de signaux numériques en bande de base– Modulation numérique– Propagation et systèmes radio– Principes de fonctionnement du réseau GSM
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 145
Modulation numérique
Table des matières
– Modulation et démodulationcohérenteou incohérente– Modulation d’amplitudecohérente– Modulation dephasenumérique cohérente– Modulation defréquencenumérique cohérente
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 146
Modulation cohérente ou incohérente
On peut distinguer deux grandes classes de modulation numérique :
– la modulation cohérente: la fréquence de la porteusefc est un multiple entier du rythmed’émission1/Tb,
fc =n
Tb(174)
– la modulation incohérente: la fréquence de la porteusefc n’est pas un multiple entier durythme d’émission1/Tb
Démodulationcohérenteou incohérente
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 147
Exemples de modulation numérique
Hypothèse :fc = ncTb
(modulation cohérente)
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−2
0
2
V
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−10
0
10
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10
0
10
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10
0
10
FIG. 58: Signal modulant numérique et signaux modulés respectivement en AM, PM et FM.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 148
Modulation d’amplitude numérique cohérente
s0(t) =+∞∑
k=−∞AkRect[0,T ](t− kTb) cos(2πfct) (175)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 149
Modulation d’amplitude numérique cohérente
s0(t) =+∞∑
k=−∞AkRect[0,T ](t− kTb) cos(2πfct) (175)
Occupation spectrale ?Développement en série de FOURIER de la forme
m0(t) =A0
2
[
1 +4
πcos(2π(
1
2fb)t) −
4
3πcos(2π(
3
2fb)t) + . . .
]
s0(t) =A0
2[cos(2πfct)
+2
πcos(2π(fc +
fb2
)t) +2
πcos(2π(fc −
fb2
)t)
− 2
3πcos(2π(fc +
3fb2
)t) − 2
3πcos(2π(fc −
3fb2
)t) + . . .
]
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 149
γ(f) =
[
p0(1 − p0)A20Tb
(
sin(πfTb)
πfTb
)2
+ p20A
20δ(f)
]
⊗ δ(f − fc) + δ(f + fc)
4(176)
=p0(1 − p0)A
20Tb
4
(
sin(π(f − fc)Tb)
π(f − fc)Tb
)2
+p0(1 − p0)A
20Tb
4
(
sin(π(f + fc)Tb)
π(f + fc)Tb
)2
+p20A
20
4δ(f − fc) +
p20A
20
4δ(f + fc) (177)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 150
Efficacité spectrale
Définition 35. L’ efficacité spectraleest définie comme le flux binaire parHz.
La limite supérieure de l’efficacité spectrale pour l’ASK est 1 [b/s/Hz]. En pratique, elleest plutôt entre 0,65[b/s/Hz] et 0,8[b/s/Hz].
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 151
Démodulation cohérente
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 10−3
−1
0
1
Temps [s]
V
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 10−3
−2
0
2
Temps [s]
V
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 10−3
−5
0
5
x 10−4
Temps [s]
V
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 10−3
−1
0
1
2
3
4
5
6x 10
−4
Temps [s]
Diagramme de l’oeil
FIG. 59: Signal ASK en présence d’un faible bruit.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 152
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 10−3
−1
0
1
Temps [s]
V
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 10−3
−5
0
5
Temps [s]
V
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 10−3
−1
0
1x 10
−3
Temps [s]
V
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 10−3
−2
0
2
4
6
8x 10
−4
Temps [s]
Diagramme de l’oeil
FIG. 60: Signal ASK en présence d’un bruit important.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 153
Modulation de phase numérique cohérente
s0(t) = −√
2EbTb
cos(2πfct) (178)s1(t) = −
√
2EbTb
cos(2πfct+ π) = +
√
2EbTb
cos(2πfct) (179)Il s’agit donc, dans ce cas, d’une modulation équivalente à une modulation d’amplitude àdeux états de valeurs opposées.
– Occupation spectrale ?
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 154
Démodulation cohérente
ψ(t) =
√
2
Tbcos(2πfct), 0 ≤ t ≤ Tb (180)
Dès lors,
s0(t) = −√
Ebψ(t), 0 ≤ t ≤ Tb (181)s1(t) = +
√
Ebψ(t), 0 ≤ t ≤ Tb (182)Pour une réception cohérente, le corrélateur fournira l’undes deux résultats suivants
ρ0 =
∫ Tb
0
s0(t)ψ(t)dt = −√
Eb (183)ρ1 =
∫ Tb
0
s1(t)ψ(t)dt = +√
Eb (184)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 155
Résultat
Pe =1
2erfc
(
√
EbN0
) (185)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 156
Modulation de fréquence numérique cohérente
si(t) =
√
2EbTb
cos(2πfit), 0 ≤ t ≤ Tb
0, ailleurs (186)tels que les fréquences instantanées respectent
fi =nc + i
Tb(187)
nc et i étant des entiers.
– Occupation spectrale ?
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 157
Démodulation cohérenteDans le cas d’une modulation defréquencebinaire, les signaux sont
s0(t) =
√
2EbTb
cos(2πf0t) (188)s1(t) =
√
2EbTb
cos(2πf1t) (189)Fonctions de corrélation normalisées comme suit
ψj(t) =
√
2
Tbcos(2πfjt), 0 ≤ t ≤ Tb, j ∈ 0, 1 (190)
ρij =
∫ Tb
0
si(t)ψj(t)dt =
∫ Tb
0
√
2EbTb
cos(2πfit)
√
2
Tbcos(2πfjt)dt (191)
=
√Eb, i = j
0, i 6= j(192)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 158
Le vecteur d’observation~x est défini par
[
x0
x1
]
=
∫ Tb0x(t)
√
2Tb
cos(2πf0t)dt∫ Tb0x(t)
√
2Tb
cos(2πf1t)dt
(193)
p
2Eb
cos(2πf0t)
cos(2πf1t)x1
x0
pEb
pEb
FIG. 61: Espace de décision pour la démodulation cohérente d’une FSK binaire.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 159
Changement de variable
On définit une nouvelle variable aléatoire gaussienneL telle que
L = X0 −X1 (194)Moyenneetvariance deL ?
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 160
Changement de variable
On définit une nouvelle variable aléatoire gaussienneL telle que
L = X0 −X1 (194)Moyenneetvariance deL ?
– La moyennede cette variable aléatoire, conditionnellement à0, vaut
µL|0 = µX0|0 − µX1|0 =√
Eb (195)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 160
Changement de variable
On définit une nouvelle variable aléatoire gaussienneL telle que
L = X0 −X1 (194)Moyenneetvariance deL ?
– La moyennede cette variable aléatoire, conditionnellement à0, vaut
µL|0 = µX0|0 − µX1|0 =√
Eb (195)– La variancedeL ne dépend pas du symbole. Comme les variablesX0 etX1 sont statis-
tiquement indépendantes et de varianceN0/2,
σ2L = σ2
X0+ σ2
X1= N0 (196)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 160
Probabilité d’erreur conditionnelle
Supposons que le symbole0 ait été transmis, la densité de probabilité conditionnelledeLvaut
fL(l|0) =1√
2πN0
e−(l−
√Eb)
2
2N0 (197)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 161
Probabilité d’erreur conditionnelle
Supposons que le symbole0 ait été transmis, la densité de probabilité conditionnelledeLvaut
fL(l|0) =1√
2πN0
e−(l−
√Eb)
2
2N0 (197)Soit Pe0 la probabilité d’erreur conditionnelle tenant compte de l’émission du symbole0.L’organe de décision va préférer le symbole1 lorsquel < 0. Dès lors,
Pe0 = p(l < 0|0) (198)=
∫ 0
−∞fL(l|0)dl (199)
=1√
2πN0
∫ 0
−∞e−(l−
√Eb)
2
2N0 dl (200)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 161
Après le changement de variablez =l−√Eb√
2N0, on obtient
Pe0 =1√π
∫
√Eb/N0
−∞e−z
2dz (201)
=1
2erfc
(
√
Eb2N0
) (202)Par un raisonnement similaire, on obtientPe1 etPe toutes deux égales à
1
2erfc
(
√
Eb2N0
) (203)Dans le cas duGSM : Gaussian Minimum-shift keying(GMSK )
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 162
Modems
Rec. Mode Débit [b/s] Modulation Réalisation du mode multiplex
V21 duplex 300 FSK multiplexage en fréquenceV22 duplex 1200 PSK multiplexage en fréquence
V22bis duplex 2400 QAM multiplexage en fréquenceV23 semi-duplex 1200/75 FSK voie de retour optionnelleV29 - 9600 QAM multiplexeur optionnelV32 duplex 9600 QAM annulation d’écho
V32bis duplex 14400 QAM annulation d’échoV33 - 14400 QAM annulation d’échoV34 duplex 33600 QAM annulation d’échoV90 56000 PCM
TAB . 5: Recommandations ITU-T.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 163
Table des matières
– Introduction– Signaux et systèmes de télécommunications– Modulation d’onde continue– Variables aléatoires et processus stochastiques– Introduction à la numérisation– Transmission de signaux numériques en bande de base– Modulation numérique– Propagation et systèmes radio– Principes de fonctionnement du réseau GSM
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 164
Propagation et systèmes radio
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 165
Propagation et systèmes radio
Table des matières
– Introduction– Propagation des ondes électromagnétiques
– Équations de MAXWELL
– Antennes– Propriétés– Antennes simples
– Bilan de puissance– Directivité, gain– Propagation en espace libre : équation de Friis
– Modèles de propagation– Domaines d’application de la radio
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 167
Nomenclature
Fréquences λ [m] Dénomination< 3 [kHz] > 100 [km] ELF3 − 30 [kHz] 10 − 100 [km] VLF30 − 300 [kHz] 1 − 10 [km] LF300 − 3000 [kHz] 100 − 1000 [m] MF3 − 30 [MHz] 10 − 100 [m] HF30 − 300 [MHz] 1 − 10 [m] VHF300 − 3000 [MHz] 10 − 100 [cm] UHF3 − 30 [GHz] 1 − 10 [cm] SHF30 − 300 [GHz] 1 − 10 [mm] EHF300 − 3000 [GHz] 0, 1 − 1 [mm]3 − 30 [THz] 10 − 100 [µm]30 − 430 [THz] 0, 7 − 10 [µm]430 − 860 [THz] 0, 35 − 0, 7 [µm]
TAB . 6: Nomenclature de l’ITU-R.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 168
Propagation des ondes électromagnétiques
Équations de MAXWELL (dans le domaine temporel et sous forme locale)
×−→E = −∂
−→B
∂t(204)
×−→H =
−→J +
∂−→D
∂t(205)
.−→D = ρ (206).−→B = 0 (207)
Énergie, puissance et impédance électromagnétiques
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 169
Propagation des ondes électromagnétiques
Équations de MAXWELL (dans le domaine temporel et sous forme locale)
×−→E = −∂
−→B
∂t(204)
×−→H =
−→J +
∂−→D
∂t(205)
.−→D = ρ (206).−→B = 0 (207)
Énergie, puissance et impédance électromagnétiques
Définition 36. [Vecteur de POYNTING ] Le vecteur dePOYNTING−→S est défini comme le
produit vectoriel
−→S =
−→E ×−→
H (208)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 169
−∮
s
−→S · d−→s =
∫
v
−→E · −→J dv +
∫
v
(−→E · ∂
−→D
∂t+−→H · ∂
−→B
∂t)dv (209)
Deux composantes contribuent au flux entrant,−∮
s
−→S · d−→s
–∫
v
−→E · −→J dv, la puissance dissipée,
– le terme∫
v(−→E · ∂
−→D∂t +
−→H · ∂
−→B∂t )dv
Sous la forme intégrale,
−∇ · −→S = σ
∫
v
∣
∣
∣
−→E∣
∣
∣
2
dv +∂
∂t
∫
v
(ǫ∣
∣
∣
−→E∣
∣
∣
2
2+µ∣
∣
∣
−→H∣
∣
∣
2
2)dv (210)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 170
Antennes
Propriétés générales à l’émission
Équations de MAXWELL en notation phasorielle
∇× E = −jωB (211)∇× H = J + jωD (212)∇ · D = ρ (213)∇ · B = 0 (214)
En espace libre, les rotationnels s’écrivent
∇× E = −jωµ0H (215)∇× H = Js + jωǫ0E (216)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 171
Calculs des champs
E = −jωA−∇V (217)Après calcul et grâce à la condition de LORENTZ qui stipule que∇ · A = −jωµ0ǫ0V ,
∇2A+ ω2µ0ǫ0A = −µ0Js (218)Définissantβ = ω
√µ0ǫ0, la solution est
A =µ0
4π
∫
v
Jse−jβ0r
rdv (219)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 172
Antennes simples
Doublet de HERTZ
z
y
x
dl
θ
r
P
φ
I
FIG. 62: Doublet électrique.
Si le doublet est aligné sur l’axez, le potentiel vecteur se réduit à
Az =µ0
4πIdl
e−jβr
r(220)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 173
ChampsEn coordonnées sphériques, on en déduit
Hr = 0 (221)Hθ = 0 (222)Hφ =
Idl
4πβ2 sin θ(j
1
βr+
1
β2r2)e−jβr (223)
Quant au champ électrique, il vaut (η0 =√
µ0ǫ0
= 120π = 377 [Ω])
Er = 2Idl
4πη0β
2 cos θ(1
β2r2− j
1
β3r3)e−jβr (224)
Eθ =Idl
4πη0β
2 sin θ(j1
βr+
1
β2r2− j
1
β3r3)e−jβr
Eφ = 0 (225)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 174
Puissance (I)
Hypothèseditedu champ éloigné
H =jβIdl
4πRsin θe−jβR~aφ (226)
E =jη0βIdl
4πRsin θe−jβR~aθ (227)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 175
Puissance (I)
Hypothèseditedu champ éloigné
H =jβIdl
4πRsin θe−jβR~aφ (226)
E =jη0βIdl
4πRsin θe−jβR~aθ (227)
Aussi, commeη0 = 120π,
∥
∥
∥Sav
∥
∥
∥=
∥
∥
∥Eφ
∥
∥
∥
2
120π(228)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 175
Puissance (II)
La puissance rayonnée moyenne est fournie par
Sav = 15π
(
dl
λ
)2∥
∥
∥I∥
∥
∥
2 sin2 θ
R2~ar (229)
Prad =
∮
s
Sav · ds = 80π2
(
dl
λ
)2
∥
∥
∥I∥
∥
∥
2
2(230)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 176
Directivité et gain
Lobe principal
Lobes secondaires
0 [dB]
-3 [dB]θ3dB
FIG. 63: Angle d’ouverture à 3[dB].
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 177
θ
z
y
|S|
FIG. 64: Diagramme de rayonnement d’un doublet électrique.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 178
Doublet magnétiquez
y
x
θ
r
P
r′I
dl
Le vecteur de POYNTING vaut, en champ éloigné,
Sav = 1860
(
A
λ2
)2∥
∥
∥I∥
∥
∥
2 sin2 θ
R2~ar (231)
Il en résulte une puissance de rayonnement de
Prad =
∮
s
Sav · ds = 15, 585∥
∥
∥I∥
∥
∥
2(
A
λ2
)2 (232)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 179
Antennes longues
0
0
0I(z)
I(z)
I(z)
I(z)
I(z)
I(z)
I(z)
I(z)
I(z)
FIG. 65: Distributions de courant le long d’une antenne longue.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 180
z
dz
r′
x
P
θ′ ≃ θ
θ r
r′
rθ
z cos θ
z
z = −l/2
I(z)
I(z) = Im sin β0(l/2 − z) 0 < z < l/2
I(z) = Im sin β0(l/2 + z) − l/2 < z < 0
I(z)
θ′z = l/2
FIG. 66: Configuration géométrique pour le dipôle allongé.
À grande distanceEφ = 60Ime−jβRR
cos(πl/λ cos θ)−cos(πl/λ)sin θ ~aθ
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 181
Diagrammes de rayonnement du champ électrique
0.5
1
1.5
2
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0.5
1
1.5
2
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0.5
1
1.5
2
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1−1
−0.5
0
0.5
1
l = λ2 l = λ l = 3λ
2
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 182
Antenne demi-longueur d’onde (l = λ2)
Pourl = λ2 , Eφ = 60Ime
−jβRR
cos(π/2 cos θ)sin θ ~aθ
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1−1
−0.5
0
0.5
1
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 183
Réseaux d’antennes
x
y
z z
x
y
φ
P
I2
r1
r2 r
r1
r2d
I1 I1
I2 vers Pr
d
θ
FIG. 67: Réseau d’antennes.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 184
I∠0x
x
d = λ0/2
d = λ0/2
φ
y
y
y
x
d = λ0/4
φI∠α
I∠α
d = λ0/2, α = π
d = λ0/2, α = 0
d = λ0/4, α = π/2
φ
I∠α I∠0
I∠0
FIG. 68: Diagrammes de rayonnement.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 185
Gain
Définition 37. L’ITU définit le gain d’une antennecomme le“ratio, généralement expriméen décibels, entre la puissance nécessaire à l’entrée d’uneantenne de référence sans perteà la puissance effective fournie à l’antenne considérée de manière à ce qu’elle fournisse lemême champ électrique ou la même puissance dans une direction donnée”.Antenne isotrope
PE
GE = 1
Antenne réellePE
Aire AAngle solide = A/d2d
GE 6= 1
Aire totale = 4πd2d
FIG. 69: Gain d’antenne.
Définition 38. La Puissance Isotrope Rayonnée Équivalente (PIRE)est le produit de lapuissance d’émission d’une antenne par le gain dans la direction d’observation
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 186
Niveau du champ électrique en réception en radio-diffusionFM
Utilisation d’une antenne généralement isotrope
S =PE
4πd2(233)
En espace libre :
S =E2
120π(234)
Au droit du récepteur, le champ électrique vaut
|E| =
√30PEd
(235)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 187
Couplage entre antennes
bIB
bVS
ZS
bVA bVB ZL
bIA d
FIG. 70: Schéma électrique d’une liaison entre antennes.
VA = ZAAIA + ZABIBVB = ZBAIA + ZBBIB
(236)Schéma enT
bVS
ZS
bVA bVB ZLbIA + bIB
bIA bIBZAA − ZM
ZM
ZBB − ZM
FIG. 71: Circuit électrique d’une liaison entre antennes.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 188
Calcul du couplage
bVS
ZS
bVA bVB ZL
bIAbVBAZA
ZB
FIG. 72: Circuit électrique équivalent d’une liaison entre antennes.
– PE = 12VAIA?
– PR = 12VBIB?
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 189
Aire effective
Définition 39. L’ aire effective d’une antenneest définie comme le rapport entre la puis-sance disponible à ses bornes au vecteur dePOYNTING incident
Aeff =PRSeff
(237)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 190
Aire effective
Définition 39. L’ aire effective d’une antenneest définie comme le rapport entre la puis-sance disponible à ses bornes au vecteur dePOYNTING incident
Aeff =PRSeff
(237)La surface effective d’une antenne est liée à son gain par la relation
Aeff = GEλ2
4π(238)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 190
Propagation en espace libre : équation de FRIIS
dPR
PE
FIG. 73: Schéma de liaison entre antenne.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 191
Propagation en espace libre : équation de FRIIS
dPR
PE
FIG. 73: Schéma de liaison entre antenne.
ǫ =PEPR
=
(
4πd
λ
)21
GEGR(239)
En unités logarithmiques, relation de FRIIS
ǫ = 32, 5 + 20 log f[MHz] + 20 log d[km] −GE [dB] −GR [dB]
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 191
Propagation en espace libre : équation de FRIIS
dPR
PE
FIG. 73: Schéma de liaison entre antenne.
ǫ =PEPR
=
(
4πd
λ
)21
GEGR(239)
En unités logarithmiques, relation de FRIIS
ǫ = 32, 5 + 20 log f[MHz] + 20 log d[km] −GE [dB] −GR [dB]
ǫ =λ2d2
AEAR=
c2d2
f2AEAR(240)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 191
Modèles de propagation
Sour e Dire te Réé hieFIG. 74: Rayon direct et réfléchi.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 192
Modèles de propagation
Sour e Dire te Réé hieFIG. 74: Rayon direct et réfléchi.
d2
P
β0β1θ2
d1
z
z0
−z0
Idl
FIG. 75: Antenne linéaire au-dessus d’un plan conducteur.
A =µ0Idl
4π
(
e−jβ0d1
d1+Kv
e−jβ0d2
d2+ f(d2, θ2)
e−jβ0d2
d2
)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 192
Autres effets
IonosphèreOndeFIG. 76: Réflexion sur l’ionosphère.
FIG. 77: Diffusion sur une surface irrégulière.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 193
Illumination0dB
−6dB
FIG. 78: Exemple de diffraction.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 194
Multitrajet
Obstacle
RécepteurSourced1
d2
FIG. 79: Bilan de liaison en présence d’une réflexion.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 195
102
103
104
105
−180
−160
−140
−120
−100
−80
−60
−40
d1 [km]
Atte
nuat
ion
[dB
]
FIG. 80: Affaiblissement de puissanceǫ en fonction de la distance : (a) en espace libre (traitcontinu) et (b) en présence d’une réflexion (traits interrompus).
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 196
Domaines d’application de la radio
Radiodiffusion sonore
G+D
Signal pilotestéréoSignal mono
G-D G-D
15 19 23 38 53
Signal différence (information stéréo)
Amplitude
f [kHz]57 60
RDS
FIG. 81: Signal modulant en radiodiffusion stéréophonique.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 197
Table des matières
– Introduction– Signaux et systèmes de télécommunications– Modulation d’onde continue– Variables aléatoires et processus stochastiques– Introduction à la numérisation– Transmission de signaux numériques en bande de base– Modulation numérique– Propagation et systèmes radio– Principes de fonctionnement du réseau GSM
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 198
Principes de fonctionnement du réseau GSM
Table des matières
– Principales caractéristiques– L’architecture du réseau et les éléments– Le canal physique– Les protocoles– La typologie des paquets (bursts)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 199
Le concept cellulaire
5
23
46
7
5
23
46
7
5
23
46
7
5
23
46
71
11
1
FIG. 82: Figure représentant un motif élémentaire et un ensemble de motifs.
Un cellule se caractérise par :
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 200
Le concept cellulaire
5
23
46
7
5
23
46
7
5
23
46
7
5
23
46
71
11
1
FIG. 82: Figure représentant un motif élémentaire et un ensemble de motifs.
Un cellule se caractérise par :
– sapuissance d’émission,– la fréquence de porteuseutilisée pour l’émission radio-électrique et– le réseauauquel elle est interconnectée.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 200
Estimation du rapport de puissance porteuse à bruit
Signaux perturbateurs :
1. Les interférences de puissance totaleI qui sont dues aux signaux émis par les autresstations :
(a) Les interférencesco-channelqui sont dues aux signaux émis par les autres stations debase utilisant la même fréquence.
(b) Les interférences de canaux adjacents dues aux signaux émis par les stations de baseutilisant des fréquences voisines.
2. Le bruit, de puissance N, provenant principalement du bruit de fond du récepteur.
Dès lors, on a le rapportC
N + I(241)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 201
Synthèse des principales caractéristiques du GSM
La norme GSM prévoit que la téléphonie mobile par GSM occupe deux bandes defréquences aux alentours des900 [MHz] :
1. la bande de fréquence890− 915 [MHz] pour les communications montantes (du mobilevers la station de base) et
2. la bande de fréquence935 − 960 [MHz] pour les communications descendantes (de lastation de base vers le mobile).
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 202
Comparaison des normes GSM et DCS-1800
GSM DCS-1800Bande de fréquences (↑) 890, 2 − 915 [MHz] 1710 − 1785 [MHz]Bande de fréquences (↓) 935, 2 − 960 [MHz] 1805 − 1880 [MHz]Nombre d’intervalles de temps partrame TDMA
8 8
Écart duplex 45 [MHz] 95 [MHz]Rapidité de modulation 271 [kb/s] 271 [kb/s]Débit de la parole 13 [kb/s] 13 [kb/s]Débit maximal de données 12 [kb/s] 12 [kb/s]Accès multiple Multiplexage
fréquentiel et temporelMultiplexage
fréquentiel et temporelRayon de cellules 0, 3 à30 [km] 0, 1 à4 [km]Puissance des terminaux 2 à8 [W ] 0, 25 et1 [W ]
TAB . 8: Comparaison des systèmes GSM et DCS-1800.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 203
Architecture du réseau
L’architecture d’un réseau GSM peut être divisée entrois sous-systèmes :
1. Le sous-système radio contenant la station mobile, la station de base et son contrôleur.
2. Le sous-système réseau ou d’acheminement.
3. Le sous-système opérationnel ou d’exploitation et de maintenance.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 204
BTS
BTS
BTS
BSC
AuC
BSC
MSC
VLR
VLR
HLR
MSCBSC
BTS
OMC
BTS = Base Transceiver StationBSC = Base Station ControllerVLR = Visitor Location RegisterMSC = Mobile Switching CenterHLR = Home Location RegisterAuC = Authentication CenterOMC = Operation and Maintenance Center
FIG. 83: Architecture du réseau GSM.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 205
Le sous-système radio
Le sous-système radio gère la transmission radio. Il est constitué de plusieurs entités dont
– le mobile,– la station de base(BTS,Base Transceiver Station) et– uncontrôleur de station de base(BSC,Base Station Controller).
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 206
Antenne GSM (Rockhampton, Queensland, Australie)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 207
Antenne GSM (station de métro Rogier, Bruxelles)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 208
Le téléphone et la carte SIM (Subscriber Identity Module)
Paramètres CommentairesDonnées administrativesPIN/PIN2 Mot de passe demandé à chaque connexion
Données liées à la sécuritéCléKi Valeur unique, connue de la seule carte SIM et du HLR
Données relatives à l’utilisateurIMSI Numéro international de l’abonnéMSISDN Numéro d’appel d’un téléphone GSM
Données de “roaming”TMSI Numéro attribué temporairement par le réseau à un
abonné
Données relatives au réseauMobile Country Code (MCC), Mo-bile Network Code
Identifiants du réseau mobile de l’abonné
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 209
Le sous-système réseau, appeléNetwork Switching Center (NSS)
Le NSSest constitué de :
– Mobile Switching Center(MSC)– Home Location Register(HLR) / Authentication Center(AuC)– Visitor Location Register(VLR)– Equipment Identity Register(EIR)
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 210
L’enregistreur de localisation nominale (HLR)
Le HLR contient à la fois
– toutes les informations relatives aux abonnés : le type d’abonnement, la clé d’authentifi-cationKi –cette clé est connue d’un seul HLR et d’une seule carte SIM–,les servicessouscrits, le numéro de l’abonné (IMSI), etc
– ainsi qu’un certain nombre de données dynamiques telles que la position de l’abonné dansle réseau –en fait, son VLR– et l’état de son terminal (allumé, éteint, en communication,libre, . . .).
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 211
Canal physique
Combinaison d’un multiplexagefréquentiel (FDMA) et d’un multiplexage temporel(TDMA).
Multiplexage fréquentiel
Aussi, si on indique parFu les fréquences porteuses montantes et parFd les fréquencesporteuses descendantes, les fréquence porteuse sont :
Fu(n) = 890, 2 + 0, 2 × (n− 1) [MHz] (242)Fd(n) = 935, 2 + 0, 2 × (n− 1) [MHz] (243)
où1 ≤ n ≤ 124.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 212
La modulation
La technique de modulation utilisée pour porter le signal à haute fréquence est la modulationGMSK (Gaussian Minimum Shift Keying).
t
t
t
Séquence
Après XOR
Signal GMSK
originale
FIG. 84: Création d’un signal modulé par MSK au départ d’un traind’impulsions.
Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 213
Multiplexage temporel
Chaque canal de communication est divisé en8 intervalles de temps de0, 577 [ms] chacun.
Définition 40. [Trame] Ainsi, on définit une trame élémentaire de8 intervalles pour unedurée de8 × 0, 577 = 4, 615 [ms].
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Hiérarchie de trames
0 1 2
3 4 5 6 7
0 1 2 43 4746 48 49 50
3 4 50 1 2
0 1 49 502
0 1 2 24 25
156.25 bits =0.577 ms
148 bits =0.428 ms
0 1 2 24 25
Signal
204320442045 20462047
[dB]
temps [ms]
level
Supertrame 26
Multitrame 26
Hypertrame
Supertrame 51
Slot
Trame
Multitrame 51
FIG. 85: Organisation des multiples de trames.
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Le saut de fréquences ou Frequency Hopping
trame TDMA temps
slot
Canal physique sans saut de fréquences
Fréquences
porteuse C3
porteuse C2
porteuse C1
porteuse C0
FIG. 86: Principe du saut de fréquence.
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Configuration du Frequency Hopping
La configuration des sauts se fait au moyen de paramètres telsque :
– le Cell Allocation, la liste des numéros des fréquences utilisées dans une cellule,– le Mobile Allocation, la liste des numéros des fréquences disponibles pour les sauts,– le Hopping Sequence Number, une valeur comprise entre0 et 63, servant à initialiser le
générateur pseudo-aléatoire,– le Mobile Allocation Index Offset, une valeur comprise entre0 et 63 qui identique quel
décalage doit être utilisé. Cette valeur de décalage est convenue à l’initialisation de l’appelet elle diffère d’un mobile à l’autre.
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Pile de protocoles
RR
LAPDm LAPD
MICradio
RR
LAPD LAPD
MIC MIC
LAPD
MIC
SSSMSCC
MM
RR
LAPDm
MM
SMSCC SS
radio
AAir A−bis
Terminal mobile Station de base CommutateurContrôleur de station de base
FIG. 87: Piles de protocoles de différents sous-systèmes du réseau GSM.
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Typologie des paquets (bursts)
3 4 710 2 5 6
burst d’accès
burst normal
burst de synchronisation
TB
TB
TB TB
TB
TB GP de 68,25 bits
GP
GP57 bits 1 1 57 bitschiffrés26 bits
chiffrés39 bits 39 bits
chiffrés64 bits de synchro
36 bitschiffrés41 bits de synchro
TB TB GP
burst de bourrage
TB TB GP142 bits fixes (tous à 0)
burst de correction de fréquence
142 bits prédéfinis
FIG. 88: Structures des 5 types deburstdéfinis par la norme GSM.
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