télécom analogique et numérique

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Principes des télécommunications analogiques et numériques M. Van Droogenbroeck Février 2008 Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck

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Principes des télécommunications analogiques etnumériques

M. Van Droogenbroeck

Février 2008

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck

Table des matières

– Introduction– Signaux et systèmes de télécommunications– Modulation d’onde continue– Variables aléatoires et processus stochastiques– Introduction à la numérisation– Transmission de signaux numériques en bande de base– Modulation numérique– Propagation et systèmes radio– Principes de fonctionnement du réseau GSM

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Détails pratiques

– Examen– écrit (obligatoire)

– à livre fermé– au moins une question de théorie !– questions des années précédentes disponibles à l’adressehttp://www.ulg.a .be/tele om

– Notes de cours– disponibles à l’AEES– version HTML en ligne à l’adressehttp://www.ulg.a .be/tele om

– Transparents– version PDF en ligne à l’adressehttp://www.ulg.a .be/tele om

– CD-ROM– sur demande– contenu :

– notes au format PDF (en couleurs) et HTML– transparents au format PDF (en couleurs)– questions d’examen des années précédentes

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Introduction

– Historique

Télécommunications

Données

Mobilité

Voix

FIG. 1: Principaux pôles de développement en télécommunications.

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Introduction

– Historique

Télécommunications

Données

Mobilité

Voix

FIG. 1: Principaux pôles de développement en télécommunications.

– Organismes internationaux de normalisation en télécommunications– ITU : International Telecommunications Union– ISO : International Standards Organisation– ETSI : European Telecommunications Standards Institute

– Normalisation Internet– IETF : Internet Engineering Task Force (produit les RFCs)

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Structure d’une chaîne de télécommunications

Transducteur Transducteur

Source d’information

Émetteur

Canal

Destinataire

Récepteur

Système de télécommunications

FIG. 2: Structure d’une chaîne de télécommunications.

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Structure d’une chaîne de télécommunications numérique

• Modulation• Codage de sour e• Filtrage passe-bas• Cal ul du spe tre• Codes orre teurs d'erreurs• Bande de base• Porteuse• Canal idéal• Dé ision• Ré epteur optimal• Démodulation : ohérente ou non- ohérente• Filtrage passe-bande• Syn hronisation• Performan es

transmistransmisreçureçu

SignalSignal

Message

Message

• Cal ul du taux d'erreurs

SOURCE

CANAL DETRANSMISSIONÉMETTEUR

RÉCEPTEURUTILISATEUR

• Canal non-idéal (interféren es, non-linéarités, ...)

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Modèles de référence

Modèle OSI (Open System Interconnection)

Réseau

ApplicationPrésentation

SessionTransportRéseau

Ordinateur A

LiaisonPhysique

Application

ApplicationPrésentation

SessionTransportRéseauLiaison

Physique

ProtocoleProtocoleProtocoleProtocole

Ordinateur B

Application

Modèle de référence OSI

FIG. 3: Modèle de référence OSI.

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7. Couche Application

Service d’échange d’information

Transfert de fichiers, gestion et accès,échange de documents et de

messages, transfert de processus

Service d’échange de messagesindépendamment de la syntaxe

Négociation des syntaxes, présentationdes données

Gestion et synchronisation du dialogue

6. Couche Présentation

5. Couche Session

4. Couche Transport

3. Couche Réseau

2. Couche Liaison

1. Couche Physique

Service d’échange de messagesindépendamment du réseau

Transfert de messages de bout en bout(gestion de la connexion, fragmentationen paquets, contrôle d’erreur et du flux)

Routage dans le réseau, adressage,établissement de liaison

Contrôle du lien physique (mise entrames, contrôle d’erreur)

Définition des interfaces électriques etmécaniques au réseau

Réseau

Application de l’utilisateur

Connexion physique au réseau

FIG. 4: Les principales fonctions des couches OSI.

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Modèle Internet

7. Couche ApplicationHyperText Transfer Protocol (HTTP)File Transfer Protocol (FTP)Remote terminal protocol (TELNET)Simple Mail Transfer Protocol (SMTP)Simple Network Management Protocol (SNMP)...

TCP

6. Couche Présentation

5. Couche Session

4. Couche Transport

3. Couche Réseau

2. Couche Liaison

1. Couche Physique

Réseau

Application de l’utilisateur

UDP

IP

IEEE802.X / X.25

TCP = Transmission Control ProtocolUDP = User Datagram ProtocolIP = Internet Protocol

FIG. 5: Éléments de l’architecture TCP/IP.

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FIG. 6: Analyse du contenu d’un paquet IP.

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Table des matières

– Introduction– Signaux et systèmes de télécommunications– Modulation d’onde continue– Variables aléatoires et processus stochastiques– Introduction à la numérisation– Transmission de signaux numériques en bande de base– Modulation numérique– Propagation et systèmes radio– Principes de fonctionnement du réseau GSM

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Signaux et systèmes de télécommunications

– Signal vocal ou musical– Vidéo

0 1 2 3 4 5 6Luminan e Son auxiliairesSon prin ipale

f

U et VLuminan e ouleur (4.333619 MHz)(MHz)Bande de fréquen e Luminan eBande de fréquen e U et V

Porteuse Sous-porteusesSous-porteuseSous-porteuse

FIG. 7: Spectre d’un signal vidéoPAL.

– Signaux numériques. Le nombre de symboles transmis pendant une seconde est mesuréenbauds.

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Catégories de signaux

– analogiquesounumériques,– périodiquesouapériodiques,– déterministesoustochastiques,– d’énergieou depuissance.

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Représentation des signaux

Signal d’information numériqueSignal d’information analogique

1 0 1 0 1 1

Représentation analogique Représentation analogique

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 2 4 6 8 10

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 2 4 6 8 10-0.5

0

0.5

1

1.5

0 1 2 3 4 5 6-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 1 2 3 4 5 6

FIG. 8: Représentation d’un signal analogique ou numérique.

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Déterministe ou aléatoire ?

Émetteur Récepteur

Signal utile déterministe aléatoireBruit et interférences aléatoire aléatoire

TAB . 1: Nature des signaux dans une chaîne de télécommunications.

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Puissance instantanée

Soit une tensionv(t) qui, à travers une résistanceR, produit un couranti(t). La puissanceinstantanéedissipée dans cette résistance est définie par

p(t) =|v(t)|2R

(1)ou encore

p(t) = R |i(t)|2 (2)

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Puissance instantanée

Soit une tensionv(t) qui, à travers une résistanceR, produit un couranti(t). La puissanceinstantanéedissipée dans cette résistance est définie par

p(t) =|v(t)|2R

(1)ou encore

p(t) = R |i(t)|2 (2)À travers une charge unitaire de 1Ohm, noté[Ω], les expressions sont même égales. Pourla facilité, on normalise l’expression pour une résistancede1 [Ω] :

Définition 1. [Puissance instantanée normalisée]

p(t) = |x(t)|2 (3)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 15

Énergie et puissance

Définition 2. [Énergie] L’ énergie totaledu signalg(t) est définie par

E = limT→+∞

∫ T

−T|g(t)|2 dt (4)

=

∫ +∞

−∞|g(t)|2 dt (5)

Définition 3. [Puissance moyenne]Il en découle unepuissance moyennedu signalg(t)s’exprimant

P = limT→+∞

1

2T

∫ T

−T|g(t)|2 dt (6)

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Décibel

x ↔ 10 log10(x) [dB] (7)

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Décibel

x ↔ 10 log10(x) [dB] (7)P [dBm] = 10 log10

P [mW ]

1 [mW ](8)

x [W ] 10 log10(x) [dBW ]

1 [W ] 0 [dBW ]2 [W ] 3 [dBW ]

0, 5 [W ] −3 [dBW ]5 [W ] 7 [dBW ]

10n [W ] 10 × n [dBW ]

10 log10

(

U

[V ]

)2

= 20 log10

U

[V ](9)

x ↔ 20 log10(x) (10)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 17

Bande passante

f

(a)

(b)

(c)

(d)

fc

Wequ

‖X (f)‖2

FIG. 9: Comparaison de définitions de bande passante.

(a) Bande passante à3 [dB].

(b) Bande passante équivalente.

(c) Lobe principal.

(d) Densité spectrale bornée.

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Système de transmission idéal

H(f) = Ke−2πjfτ (11)

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Système de transmission idéal

H(f) = Ke−2πjfτ (11)f

W

fc

f

−fc

−fc fc

‖H(f)‖

argH(f)

FIG. 10: Transmittance d’un système idéal.

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Distorsions et bruit

– Délai de groupe

τg = − 1

dφ(f)

df(12)

– Délai de phase

τp = −φ(f)

2πf(13)

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Distorsions et bruit

– Délai de groupe

τg = − 1

dφ(f)

df(12)

– Délai de phase

τp = −φ(f)

2πf(13)

– Distorsions non linéaires

y(t) = ax(t) + bx2(t) (14)

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Distorsions et bruit

– Délai de groupe

τg = − 1

dφ(f)

df(12)

– Délai de phase

τp = −φ(f)

2πf(13)

– Distorsions non linéaires

y(t) = ax(t) + bx2(t) (14)– Bruit

– additif– multiplicatif

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Table des matières

– Introduction– Signaux et systèmes de télécommunications– Modulation d’onde continue– Variables aléatoires et processus stochastiques– Introduction à la numérisation– Transmission de signaux numériques en bande de base– Modulation numérique– Propagation et systèmes radio– Principes de fonctionnement du réseau GSM

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Modulation d’onde continue

– Introduction– Hypothèses– Modulation d’une porteuse sinusoidale

– Modulation d’amplitude– Modulation d’amplitude classique

– Répartition de la puissance, réalisation, discussion– Modulations d’amplitude dérivées

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Modulation d’onde continue

– Introduction– Hypothèses– Modulation d’une porteuse sinusoidale

– Modulation d’amplitude– Modulation d’amplitude classique

– Répartition de la puissance, réalisation, discussion– Modulations d’amplitude dérivées

– Modulation angulaire– Bande passante requise

– Partage du plan de fréquence– Multiplexage en fréquence– Récepteur super-hétérodyne

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Modulation d’une porteuse sinusoïdale

Définition 4. Signal modulant normalisém(t)

m(t) =x(t)

xmax(15)

Hypothèse : le signal modulantm(t) est àspectre limité, c’est-à-dire que

M(f) = 0 si |f | > W (16)Définition 5. [Bande de base]Dès lors que l’intervalle de fréquences est borné par lafréquenceW , on appellebande de basel’intervalle de fréquences[0,W ].

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Paramètres de modulation d’une porteuse

Définition 6. Porteuse

AmplitudeModulation d'amplitude

Modulation de fréquen es(t) = A(t) cos (2πf(t)t+ φ(t))

PhaseModulation de phase

FIG. 11: Paramètres d’un signal modulé.

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Modulation d’amplitude (modulation AM )

Définition 7. La modulation d’amplitude,dite modulationAM pour Amplitude Modula-tion, est le processus par lequel l’amplitude de la porteusec(t) varie linéairement avec lesignal modulantm(t).

Après modulation, lesignal modulés(t) est décrit par la fonction

s(t) = Ac (1 + kam(t)) cos (2πfct) (17)= Ac cos (2πfct) + kaAcm(t) cos (2πfct) (18)

L’amplitude instantanée est donc rendue proportionnelle au signal modulant, et vaut

A(t) = Ac (1 + kam(t)) (19)

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Illustration

c(t)

m(t)

s(t)

t

t

t

−Ac

Ac

(a)

(b)

(c)

+1

−1

Ac(1 + ka)

Ac(1 − ka)−Ac(1 − ka)

−Ac(1 + ka)

FIG. 12: Illustration de la modulation d’amplitude classique.

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Surmodulation

s(t)

s(t)

t

t

Inversion de la phase(a)

(b)

+Ac

−Ac

+Ac

−Ac

FIG. 13: Surmodulation :(a) |kam(t)| < 1. (b) |kam(t)| > 1.

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Analyse spectrale

S(f) =Ac2

[δ(f − fc) + δ(f + fc)] +kaAc

2[M(f − fc) + M(f + fc)] (20)

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Analyse spectrale

S(f) =Ac2

[δ(f − fc) + δ(f + fc)] +kaAc

2[M(f − fc) + M(f + fc)] (20)f

Ac2 δ(f + fc)

Ac2 δ(f − fc)

BLIBLS

BLIBLS

−W 0 +W

0

(b)

(a)

−fc +W−fc−fc −W fc +Wfcfc −Wf

‖M(f)‖

‖S(f)‖

FIG. 14: Spectres de fréquence :(a) Signal en bande de base.(b) Signal modulé.

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Réalisation

Modulation linéaire

g(t)

c(t)

s(t)

FIG. 15: Principe de la modulation linéaire.

Modulation quadratique

s(t)x(t) + c(t)r(x(t) + c(t))

FIG. 16: Principe de la modulation quadratique.

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Schéma électronique d’un modulateur simple

v2

v1

(a)

(b)

0

pente = 1

m(t) v1(t) Rl v2(t)

c(t) = Ac cos(2πfct)

FIG. 17: Modulateur AM à diode :(a) circuit électronique.(b) caractéristique idéaliséed’entrée-sortie.

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Contrôle de la modulation

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−1

−0.5

0

0.5

1

m(t)

s(t)

FIG. 18: Trapèze de modulation.

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Démodulation

Détection d’enveloppe

C Rl

s(t)

SortieRs

FIG. 19: Détecteur d’enveloppe.

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Démodulation

Détection d’enveloppe

C Rl

s(t)

SortieRs

FIG. 19: Détecteur d’enveloppe.

Démodulation AM synchrone ou cohérente

s(t) cos(2πfct) =Ac2

(1 + kam(t))(1 + cos(4πfct))

=Ac2

(1 + kam(t))

+Ac2

(cos(4πfct) + kam(t) cos(4πfct))

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fc fcff

f

f

−fc −fc

Ac/2 Ac/2 1/2 1/2

Ac/4 Ac/4

Spe tre AM Spe tre de la porteuse

2fc−fc fc

Ac/2

−2fc

Ac/2

Spe tre du message

MélangeurSpe tre du signal mélangé

−W W

−W W

FIG. 20: Démodulation AM synchrone.

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Déphasage et écart de fréquences

Supposons que l’oscillateur produise un signal

A′ cos(2πflt+ φ) (21)

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Déphasage et écart de fréquences

Supposons que l’oscillateur produise un signal

A′ cos(2πflt+ φ) (21)Le produit de ce signal par le signal réceptionné, à porteusesupprimé (pour la simplicité despropos), vaut

s(t)A′ cos(2πflt+φ) =AcA

2m(t)(cos(2π(fl− fc)t+φ) + cos(2π(fc+ fl)t+φ)) (22)

Même sifl et fc concordent parfaitement, l’écart de phase joue l’effet d’un atténuateur car,après filtrage,

s(t)A′ cos(2πflt+ φ) → AcA′

2m(t) cosφ (23)

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Modulations d’amplitude dérivées

1. Modulation à double bande latérale et porteuse supprimée(appelée en anglais “Doublesideband-suppressed carrier” ou DSB-SC).

2. Modulation en quadrature de phase(appelée“Quadrature Amplitude Modulation”ouQAM).

3. Modulation à bande unique(appelée en anglais “Single sideband modulation” ou SSB).

4. Modulation à bande latérale résiduelle(appelée en anglais “Vestigial sideband modula-tion” ou VSB).

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Signal modulé en amplitude par modulation à porteuse supprimée

s(t) = m(t)c(t) (24)= Acm(t) cos(2πfct) (25)

Spectre :

S(f) =Ac2

(M(f − fc) + M(f + fc)) (26)

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Boucle de COSTAS

−π2

V CO

sin (2πfct + φ)

12Acm(t) sinφ

12Acm(t) cosφ

de phaseDis riminateurcos (2πfct+ φ)

Acm(t) cos (2πfct)

Signal DSB-SCm(t)

FIG. 21: Récepteur de COSTAS.

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Modulation en quadrature

+π2

m1(t)

m2(t)

s(t)+

+

Ac cos (2πfct)

Ac sin (2πfct)

+π2

m1(t)

m2(t)

s(t)+

+

Ac cos (2πfct)

Ac sin (2πfct)

+π2

s(t)

12AcA

′cm1(t)

12AcA

′cm2(t)

A′c cos (2πfct)

A′c sin (2πfct)

FIG. 22: Schéma de modulation et de démodulation d’une modulation d’amplitude enquadrature.

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Modulation à bande latérale unique

Filtrage d’une bande

Soit à filtrer le signalu(t) = Acm(t) cos(2πfct) dont on ne désire garder qu’une bande. Onfait passer le signal à travers un filtre de transmittanceH(f). En sortie, le signal vaut

S(f) = U(f)H(f) (27)=

Ac2

[M(f − fc) + M(f + fc)]H(f) (28)Considérons la détection cohérente

v(t) = A′c cos(2πfct)s(t) (29)

Soit, dans le domaine de FOURIER,

V(f) =A′c

2[S(f − fc) + S(f + fc)] (30)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 39

Après substitution,

V(f) =AcA

′c

4M(f)[H(f − fc) + H(f + fc)]

+AcA

′c

4[M(f − 2fc)H(f − fc) + M(f + 2fc)H(f + fc)] (31)

Le second terme est éliminé à la réception par simple filtrage.

Proposition 1. À la réception, le signal en bande de base n’a subi aucune distorsion à lacondition que,∀f ,

H(f − fc) + H(f + fc) = 1 (32)

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Démodulation SSB

fc fcff

f

f

−fc −fc

1/2 1/2

Spe tre de la porteuse

2fc−fc fc−2fc

Spe tre du message

MélangeurBLI

Spe tre du signal SSBSpe tre du signal mélangé

−W W

−W W

FIG. 23: Schéma de démodulation SSB.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 41

Tableau récapitulatif des modulations d’onde continue

f−fc fc

AM lassique 2WAc(1 + kam(t)) cos(2πfct)

f−fc fc

DSB-SC 2WAcm(t) cos(2πfct)

f−fc fc

VSB (1 + α)

W

f−fc fc

||S(f)|| BPs(t)

2WQAM Acm1(t) cos(2πfct)+Acm2(t) sin(2πfct)

FM Ac cos(2πfct+

2πkfR t0 m(τ )dτ ) +W )

2(∆f

SSB W

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Modulation angulaire : Ac cosφi(t)

– Principes et définitions– Analyse de la modulation de fréquence analogique– Modulation par une cosinusoïde

– Analyse spectrale– Bande passante requise

– Réalisation

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 43

Tableau récapitulatif

AmplitudeModulation d'amplitudeModulation de fréquen e

s(t) = A(t) cos (2πf(t)t + φ(t))PhaseModulation de phaseFIG. 24: Paramètres d’un signal modulé.

Paramètres d’une PM Paramètres d’une FM

φi(t) fi(t)φi(t) = φi(t) − (2πfct+ φc) fi(t) = fi(t) − fc

β = max |φi(t)| f = max |fi(t)|Modulation PM Modulation FM

φi(t) = 2πfct+ kpm(t) fi(t) = fc + kfm(t)

fi(t) = fc +kp2πdm(t)dt φi(t) = 2πfct+ 2πkf

∫ t

0m(t′)dt′

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Liens entre modulation de phase et de fréquence

Ac cos(2πfct)

Ac cos(2πfct)

m(t)

m(t)

Modulateur PM Onde FM

Onde PMModulateur FMDérivateur

Intégrateur

FIG. 25: Liens entre modulation de phase et modulation de fréquence.

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Comparaison

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.5

0

0.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−10

0

10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10

0

10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10

0

10

FIG. 26: Signal modulant et signaux modulés respectivement en AM, PM et FM.

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Signal modulant pour l’analyse spectrale

Prenons le signal modulant suivant :

m(t) = Am cos(2πfmt)

Considérons le cas d’une modulation FM avec

fi(t) = fc + kfAm cos(2πfmt) (33)= fc + f cos(2πfmt) (34)

La phase instantanée vaut

φi(t) = 2πfct+ffm

sin(2πfmt) (35)= 2πfct+ β sin(2πfmt) (36)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 47

Analyse spectrale

Signal modulé

s(t) = Ac cos(2πfct+ β sin(2πfmt)) (37)s(t) = Ac cos(2πfct) cos(β sin(2πfmt)) −Ac sin(2πfct) sin(β sin(2πfmt)) (38)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 48

Analyse spectrale

Signal modulé

s(t) = Ac cos(2πfct+ β sin(2πfmt)) (37)s(t) = Ac cos(2πfct) cos(β sin(2πfmt)) −Ac sin(2πfct) sin(β sin(2πfmt)) (38)

Pour calculer le spectre du signals(t), on recourt à la formule suivante

ejβ sinψ = J0(β) + 2+∞∑

k=1

jkJk(β) cos(

k(

ψ − π

2

)) (39)ce qui peut encore s’écrire

cos(β sinψ) = J0(β) + 2J2(β) cos(2ψ) + 2J4(β) cos(4ψ) + . . . (40)sin(β sinψ) = 2J1(β) sinψ + 2J3(β) sin(3ψ) + . . . (41)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 48

CommeJ2i(β) = J−2i(β) etJ2i+1(β) = −J−(2i+1)(β)

s(t) = Ac

+∞∑

n=−∞Jn(β) cos(2π(fc + nfm)t) (42)

Spectre

S(f) =Ac2

+∞∑

n=−∞Jn(β)[δ(f − fc − nfm) + δ(f + fc + nfm)] (43)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 49

Fonctions de Bessel

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−0.5

0

0.5

1

J3(β)

J2(β)

J1(β)

J0(β)

β

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 50

Spectre FM

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

β = 1,f = 1

β = 2,f = 2

β = 3,f = 3

β = 4,f = 4

FIG. 27: Spectre d’un signal FM (fm = 1, β variable).

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 51

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40

0.5

1

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.5

1

−15 −10 −5 0 5 10 150

0.5

1

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

β = 1, fm = 1

β = 2, fm = 1/2

β = 3, fm = 1/3

β = 4, fm = 1/4

FIG. 28: Spectre d’un signal FM (f = 1, β variable).

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 52

Bande passante requise

Estimation empirique

– [Règle de CARSON] La bande passante requise est

B ≃ 2 (f + fm) = 2f(

1 +1

β

)

β > 100 (44)oùfm correspond à la plus haute composante fréquentielle non nulle du signal modulant.

– Pour une modulation à faible indice (par exempleβ < 0, 5)

B ≃ 2fm β < 0, 5 (45)– Règle de CARSON modifiée

B ≃ 2 (2f + fm) = 2f(

2 +1

β

)

0, 5 ≤ β ≤ 100 (46)Estimation numérique

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 53

Tableau récapitulatif des modulations d’onde continue

f−fc fc

AM lassique 2WAc(1 + kam(t)) cos(2πfct)

f−fc fc

DSB-SC 2WAcm(t) cos(2πfct)

f−fc fc

VSB (1 + α)

W

f−fc fc

||S(f)|| BPs(t)

2WQAM Acm1(t) cos(2πfct)+Acm2(t) sin(2πfct)

FM Ac cos(2πfct+

2πkfR t0 m(τ )dτ ) +W )

2(∆f

SSB W

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 54

Multiplexage en fréquence

f−f3 f3

f−f3 f3

−f2 f2

−f2 f2

−f1 f1

−f1 f1

f

f

f

X1(f)

X2(f)

X3(f)

f1

f2

f3

f

f

Signal multiplexéFIG. 29: Principe du multiplexage en fréquence.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 55

f−f3 f3−f2 f2−f1 f1

Signal multiplexé

f

X3(f)

f

X2(f)

f

X1(f)

f2 f3f1

f1 f2 f3

FIG. 30: Principe du démultiplexage en fréquence.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 56

Récepteur super-hétérodyne

f

f f

X1(f) X2(f)

f f

Signal multiplexéf1 f2 f3

f1 + fIF

fIF

f2 + fIF

fIF

fIF fIF−fIF −fIF

fIFfIF

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Introduction à la modulation numérique

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−2

0

2

V

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−10

0

10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10

0

10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10

0

10

FIG. 31: Signal modulant numérique et signaux modulés respectivement en AM, PM et FM.

Remarque: il existeplusieurs représentationsanalogiques pour unmême signald’informa-tion.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 58

Table des matières

– Introduction– Signaux et systèmes de télécommunications– Modulation d’onde continue– Variables aléatoires et processus stochastiques– Introduction à la numérisation– Transmission de signaux numériques en bande de base– Modulation numérique– Propagation et systèmes radio– Principes de fonctionnement du réseau GSM

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Variables aléatoires, processus stochastiques et bruit

– Théorie des probabilités– Variables aléatoires

– Fonction de distribution et densité de probabilité– Moments d’une variable aléatoire– Changement de variable– Plusieurs variables aléatoires

– Processus stochastiques– Moments– Stationnarité– Ergodicité– Densité spectrale de puissance

– Processus stochastiques et systèmes– Sources de bruit

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 60

Problèmes à résoudre

Émetteur Récepteur

Signal utile déterministe aléatoireBruit et interférences aléatoire aléatoire

TAB . 2: Nature des signaux dans une chaîne de télécommunications.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 61

Problèmes à résoudre

Émetteur Récepteur

Signal utile déterministe aléatoireBruit et interférences aléatoire aléatoire

TAB . 2: Nature des signaux dans une chaîne de télécommunications.

– X + Y– Y = g(X)– MélangeurX cos(2πfct)– Passage au travers d’un filtre linéaire– Modélisation du bruit– Mesures

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 61

Espace probabilisé

Un espace probabiliséconsiste en :

1. Un espace témoinΩ d’événements élémentaires.

2. Une classeL d’événements qui sont des sous-ensembles deΩ.

3. Unemesure de la probabilitép(.) associée à chaque événementA de la classeL et qui ales propriétés suivantes :

(a) p(Ω) = 1

(b) 0 ≤ p(A) ≤ 1

(c) Si la suiteAn∈N ∈ F avecAi ∩Aj = ∅ pouri 6= j alors

p(⋃

n∈N

An) =∑

n∈N

p(An)

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Probabilité conditionnelle

Définition 8. p(B|A) est appeléeprobabilité conditionnelle. Elle représente la probabilitéde l’événementB, étant donné que l’événementA s’est réalisé. En supposant quep(A) 6= 0,la probabilité conditionnellep(B|A) est définie par

p(B|A) =p(A ∩B)

p(A)(47)

oùp(A ∩B) est la probabilité conjointe deA etB.

Dès lorsp(A ∩B) = p(B|A)p(A) (48)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 63

Probabilité conditionnelle

Définition 8. p(B|A) est appeléeprobabilité conditionnelle. Elle représente la probabilitéde l’événementB, étant donné que l’événementA s’est réalisé. En supposant quep(A) 6= 0,la probabilité conditionnellep(B|A) est définie par

p(B|A) =p(A ∩B)

p(A)(47)

oùp(A ∩B) est la probabilité conjointe deA etB.

Dès lorsp(A ∩B) = p(B|A)p(A) (48)

Proposition 2. Formule deBAYES

p(Ai|B) =p(B|Ai)p(Ai)

∑Nj=1 p(B|Aj)p(Aj)

(49)Elle permet le calcul des probabilitésa posteriorip(Ai|B) en terme de probabilitésa priori

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 63

p(B|Ai).

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Variables aléatoires

Définition 9. Unevariable aléatoireest une fonction dont le domaine est l’espace témoind’une expérience aléatoire et dont la valeur est un nombre réel.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 65

Variables aléatoires

Définition 9. Unevariable aléatoireest une fonction dont le domaine est l’espace témoind’une expérience aléatoire et dont la valeur est un nombre réel.

Définition 10. La fonction de distribution cumulative, encore appeléefonction de distribu-tion ou fonction de répartition, d’une variable aléatoireX est définie par

FX(x) = p(X ≤ x) (50)Définition 11. La fonction de densité de probabilité d’une variable aléatoireX est définiepar

fX(x) =dFX(x)

dx(51)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 65

Moments d’une variable aléatoire

Définition 12. Le n-ième moment de la variable aléatoireX est défini par

µXn = E Xn =

∫ +∞

−∞xnfX(x)dx (52)

oùE désigne l’opérateur d’espérance statistique.

Définition 13. [Moyenne]

µX = E X =

∫ +∞

−∞xfX(x)dx (53)

µX est appeléeespéranceou moyennede la variable aléatoireX .

Définition 14. Le n-ième momentcentréde la variable aléatoireX est défini par

E (X − µX)n =

∫ +∞

−∞(x− µX)

nfX(x)dx (54)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 66

Variance

Définition 15. [Variance]

σ2X = E

(X − µX)2

=

∫ +∞

−∞(x− µX)2 fX(x)dx (55)

Théorème 1. [CHEBYSHEV ] Si Y est une variable aléatoire positive, alors

∀ε > 0 p (|X − µX| ≥ ε) ≤ σ2X

ε2(56)

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Variable aléatoire gaussienneou normale

SoitX une variable aléatoire de moyenneµX et de varianceσ2X. Cette variable présente une

densité de probabilité gaussienne ou normale si, pour−∞ < x < +∞, elle a la forme

fX(x) =1

σX√

2πe−(x−µX)2

2σ2X (57)

Théorème 2. [Limite centrale] Si Xi est une suite de variables aléatoires indépen-dantes, de même loi, centrées et de variance égale à1, alors la fonction de répartitionFY (y)de la variable aléatoire

Y =1√N

N∑

i=1

Xi (58)vérifie

limN→+∞

FY (y) =

∫ y

−∞

1√2πe−

u2

2 du (59)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 68

Cas de plusieurs variables aléatoires

Définition 16. La fonction de répartition conjointeFX,Y (x, y) est définie par

FX,Y (x, y) = p(X ≤ x, Y ≤ y) (60)c’est-à-dire que la fonction de répartition conjointe deX etY est égale à la probabilité quela variableX et la variableY soient respectivement inférieures aux valeursx ety.

Définition 17. La fonction de densité de probabilité conjointefX,Y (x, y) est définie par

fX,Y (x, y) =∂2FX,Y (x, y)

∂x∂y(61)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 69

Moments de plusieurs variables aléatoires

Définition 18. [Corrélation] La corrélation de deux variables aléatoiresX etY est définiepar

E XY =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞xyfX,Y (x, y)dxdy (62)

Définition 19. [Covariance] La covariancede deux variables aléatoiresX etY est définiepar

CXY (x, y) = E (X − µX) (Y − µY ) (63)= E XY − µXµY (64)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 70

Moments d’une somme

Proposition 3. [Espérance]

µX+Y = E X + Y = E X +E Y (65)Proposition 4. [Variance]

σ2X+Y = E

(X + Y − µX+Y )2

= σ2X + σ2

Y + 2CXY (x, y) (66)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 71

Probabilité conditionnelle et indépendance

Définition 20. La fonction de densité de probabilité conditionnelle de la variableY , étantdonné queX = x, est définie par

fY (y|x) =fX,Y (x, y)

fX(x)(67)

où nous avons supposé queX etY sont deux variables aléatoires continues etfX(x) est ladensité marginale deX .

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 72

Probabilité conditionnelle et indépendance

Définition 20. La fonction de densité de probabilité conditionnelle de la variableY , étantdonné queX = x, est définie par

fY (y|x) =fX,Y (x, y)

fX(x)(67)

où nous avons supposé queX etY sont deux variables aléatoires continues etfX(x) est ladensité marginale deX .

Proposition 5. Si X et Y sontstatistiquement indépendantes, la connaissance du résultatdeX n’affecte pas la densité de probabilité deY et nous pouvons écrire

fY (y|x) = fY (y) (68)Et dès lors,

fX,Y (x, y) = fX(x)fY (y) (69)Définition 21. Par définition, les variables aléatoiresX etY sont ditesnon− orrelees ⇐⇒ CXY (x, y) = 0 (70)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 72

orthogonales ⇐⇒ E XY = 0 (71)

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Processus stochastiques

t

t

t

ω1

ω2

ωn

X(t, ω1)X(tk, ω1)

X(tk, ω2)X(t, ω2)

X(t, ωn)

Espa e témoin Ω

X(tk, ωn)tk

FIG. 32: Un ensemble de réalisations du processus aléatoireX(t).

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 74

Moments temporels

Définition 22. La moyenne temporelled’un processus aléatoireX(t) est définie par

µX(T ) =1

2T

∫ T

−Tx(t)dt (72)

oùx(t) est une réalisation du processus aléatoire.

Définition 23. La fonction d’autocorrélation temporelled’un processus aléatoireX(t) estdéfinie par

ΓXX (τ, T ) =1

2T

∫ T

−Tx(t+ τ)x(t)dt (73)

oùx(t) est une réalisation du processus aléatoire.

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Moments statistiques

Définition 24. La moyenne d’un processus aléatoireX(t) observé au tempst est définiepar

µX(t) = E X(t) (74)=

∫ +∞

−∞xfX(t)(x)dx (75)

oùfX(t)(x) est la fonction de densité de probabilité du premier ordre duprocessus aléatoireX(t).

Pourt fixé,X(t) est unevariable aléatoire.

Définition 25. La fonction d’autocorrélation d’un processus aléatoireX(t) est définie par

ΓXX (t1, t2) = E X(t1)X(t2) (76)=

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞x1x2fX(t1),X(t2)(x1, x2)dx1dx2 (77)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 76

Stationnarité

Deux formes

– Stationnarité au sensstrict– Stationnarité au senslarge(dite du second ordre)

Stationnarité au sens strict

Le processus aléatoireX(t) sera ditstationnaire au sens strictsi

FX(t1),X(t2),...,X(tk)(x1, x2, ..., xk) = (78)FX(t1+τ),X(t2+τ),...,X(tk+τ)(x1, x2, ..., xk) (79)

pour toutτ , toutk et tous les choix possibles de temps d’observationt1, t2, ..., tk.

Définition 26. Un processus aléatoire eststationnaire au sens strictsi ses caractéristiquesprobabilistes sont invariantes pour tout changement de l’origine des temps.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 77

Stationnarité au sens large (dite du second ordre)

Définition 27. Un processus aléatoire est stationnaire au sens large s’il vérifie les deuxconditions suivantes

1. Sa moyenne est indépendante du temps.

µX(t) = µX ∀t (80)2. Sa fonction d’autocorrélation ne dépend que de la différence entre les temps d’observa-

tion.ΓXX (t1, t2) = ΓXX (t2 − t1) ∀t1, t2 (81)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 78

Fonction d’autocorrélation d’un processus aléatoire stationnaire

Fonction d’autocorrélation d’un processus stationnaireX(t) :

ΓXX (τ) = E X(t+ τ)X(t) ∀t (82)Propriétés importantes :

– La moyenne du carré du processus aléatoire peut être obtenue simplement en posantτ =0 :

ΓXX (τ) = E

X2(t) (83)

– La fonction d’autocorrélationΓXX (τ) est une fonction paire deτ :

ΓXX (τ) = ΓXX (−τ) (84)– La fonction d’autocorrélationΓXX (τ) présente son amplitude maximum enτ = 0 :

|ΓXX (τ)| ≤ ΓXX (0) (85)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 79

Ergodicité

Un processus estergodique à l’ordren si les moyennes temporelles jusqu’à l’ordren sontindépendantes du choix de la réalisation. Si le processus est ergodique à tout ordre, on ditqu’il est ergodique au sens strict.

Définition 28. Un processus aléatoire stationnaireX(t) est ditergodique dans la moyennesi :(1) la moyenne temporelleµX(T ) tend vers la moyenne statistiqueµX lorsque l’intervalled’observation2T tend vers l’infini, c’est-à-dire

limT→∞

µX(T ) = µX (86)(2) la variance de la variable aléatoireµX(T ) tend vers zéro lorsque l’intervalle d’observa-tion 2T tend vers l’infini, c’est-à-dire

limT→∞

var µX(T ) = 0 (87)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 80

Densité spectrale de puissance

Définition 29. La densité spectrale de puissanceγX(f) d’un processus aléatoire station-naireX(t) est la transformée deFOURIER de sa fonction d’autocorrélationΓXX (τ) :

γX(f) =

∫ +∞

−∞ΓXX (τ) e−2πjfτdτ (88)

ΓXX (τ) =

∫ +∞

−∞γX(f)e2πjfτdf (89)

Propriétés

γX(0) =

∫ +∞

−∞ΓXX (τ) dτ (90)

E

X2(t)

= ΓXX (0) =

∫ +∞

−∞γX(f)df (91)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 81

Exemple : onde sinusoïdale avec phase aléatoire

Considérons un signal sinusoïdal avec une phase aléatoireθ ∈ [0, 2π] ou [−π,+π]

X(t) = Ac cos (2πfct+ Θ) (92)1. Moyennestatistique du processus aléatoireX(t) ?

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 82

Exemple : onde sinusoïdale avec phase aléatoire

Considérons un signal sinusoïdal avec une phase aléatoireθ ∈ [0, 2π] ou [−π,+π]

X(t) = Ac cos (2πfct+ Θ) (92)1. Moyennestatistique du processus aléatoireX(t) ?

µX(t) = E X(t) =

∫ +π

−πAc cos (2πfct+ θ)

1

2πdθ = 0 (93)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 82

Exemple : onde sinusoïdale avec phase aléatoire

Considérons un signal sinusoïdal avec une phase aléatoireθ ∈ [0, 2π] ou [−π,+π]

X(t) = Ac cos (2πfct+ Θ) (92)1. Moyennestatistique du processus aléatoireX(t) ?

µX(t) = E X(t) =

∫ +π

−πAc cos (2πfct+ θ)

1

2πdθ = 0 (93)

2. Fonction d’autocorrélationetdensité spectrale?

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 82

Exemple : onde sinusoïdale avec phase aléatoire

Considérons un signal sinusoïdal avec une phase aléatoireθ ∈ [0, 2π] ou [−π,+π]

X(t) = Ac cos (2πfct+ Θ) (92)1. Moyennestatistique du processus aléatoireX(t) ?

µX(t) = E X(t) =

∫ +π

−πAc cos (2πfct+ θ)

1

2πdθ = 0 (93)

2. Fonction d’autocorrélationetdensité spectrale?

ΓXX (t1, t2) =A2c

2cos [2πfc(t2 − t1)] (94)

γX(f) =A2c

4[δ(f − fc) + δ(f + fc)] (95)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 82

Processus stochastiques et systèmes

Filtrage des processus aléatoires stationnaires au sens large

SoientX(t) un processus stochastique stationnaire au sens large,H(f) la transmittance d’unfiltre linéaire etY (t) le processus à la sortie du système linéaire

– Moyenne?

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Processus stochastiques et systèmes

Filtrage des processus aléatoires stationnaires au sens large

SoientX(t) un processus stochastique stationnaire au sens large,H(f) la transmittance d’unfiltre linéaire etY (t) le processus à la sortie du système linéaire

– Moyenne?

µY = µXH(0) (96)– Fonction d’autocorrélationetdensité spectrale de puissance?

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 83

Processus stochastiques et systèmes

Filtrage des processus aléatoires stationnaires au sens large

SoientX(t) un processus stochastique stationnaire au sens large,H(f) la transmittance d’unfiltre linéaire etY (t) le processus à la sortie du système linéaire

– Moyenne?

µY = µXH(0) (96)– Fonction d’autocorrélationetdensité spectrale de puissance?

Proposition 6. [W IENER -K INTCHINE ] SoientX(t) un processus stochastique station-naire au sens large,H(f) la transmittance d’un filtre linéaire etY (t) le processus à la sortiedu système linéaire

γY (f) = ‖H(f)‖2γX(f) (97)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 83

Somme de processus stochastiques

Y (t) = K(t) +N(t) (98)Pour des processus stationnaires au sens large,

γY Y (f) = γKK(f) + γKN(f) + γNK(f) + γNN(f) (99)Si les processus sont non corrélés,

γY Y (f) = γKK(f) + γNN(f) (100)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 84

Analyse de la modulation pour processus stochastique : principe etanalyse du mélangeur “stochastique”

Modulation:

S(t) = M(t) cos(2πfct) (101)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 85

Analyse de la modulation pour processus stochastique : principe etanalyse du mélangeur “stochastique”

Modulation:

S(t) = M(t) cos(2πfct) (101)Le processus n’est pas stationnaire en la moyenne !

Modulation avec une phase aléatoire et indépendante deM(t) :

S(t) = M(t) cos(2πfct+ Φ) (102)γS(f) =

1

4[γM(f − fc) + γM(f + fc)] (103)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 85

Une classe de processus stochastiques importante : les sources de bruit

Bruit thermiqueEV 2

BT = 4kBTRf [V 2] (104)R

VBT

FIG. 33: Équivalent de Thévenin d’une source de bruit thermique.

Bruit de grenailleEI2

Gr = 2qIf [A2] (105)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 86

Modélisation du bruit

Processus gaussien

Un processus aléatoire est ditgaussiensi quelle que soit la suite des instantst1, t2, . . . , tn etquel que soitn, la variable aléatoire àn dimensionsX1, X2, . . . , Xn est gaussienne.

Propriétés

– Un processus aléatoire gaussien est entièrement défini parla donnée des moments dupremier et du second ordre.

– Un processus aléatoire gaussien qui serait stationnaire au sens large est aussi stationnaireau sens strict.

– Si les variables aléatoiresX1,X2, . . . ,Xn, obtenues par échantillonnage d’un processusgaussien aux tempst1, t2, . . . , tn, sontnon corrélées, c’est-à-dire que

E(Xk − µXk)(Xi − µXi) = 0, i 6= k (106)alors ces variables sont statistiquement indépendantes.

– Toute combinaison linéaire finie de variables aléatoires gaussiennes est gaussienne. Defaçon plus générale, on montre quele caractère gaussien se conserve dans toute transfor-mation linéaireet donc en particuler par filtrage linéaire.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 87

Bruit blanc

Définition 30. Le bruit blancest un processus aléatoire stationnaire du second ordrecentréet dont la densité spectrale de puissance est constante sur tout l’axe des fréquences :

γW (f) =N0

2(107)

N0 s’exprime enWattparHertz. La fonction d’autocorrélation s’écrit donc

ΓWW (τ) =N0

2δ(τ) (108)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 88

Bruit blanc

Définition 30. Le bruit blancest un processus aléatoire stationnaire du second ordrecentréet dont la densité spectrale de puissance est constante sur tout l’axe des fréquences :

γW (f) =N0

2(107)

N0 s’exprime enWattparHertz. La fonction d’autocorrélation s’écrit donc

ΓWW (τ) =N0

2δ(τ) (108)

Passage du bruit blanc à travers un filtre passe-bande

γW (f) =

N02 , f ∈ [±fc ± B

2 ]0, sinon (109)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 88

La fonction d’autocorrélation est

ΓWW (τ) = BN0sin (πBτ)

πBτcos(2πfcτ) (110)

Passage du bruit blanc à travers un filtre passe-bas

γW (f) =

η, −B2 < f < B

2

0, |f | > B2

(111)La fonction d’autocorrélation vaut

ΓWW (τ) = Bηsin (πBτ)

πBτ(112)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 89

Décomposition de RICEL’expression

s(t) = A(t) cos(2πfct+ φ(t)) (113)peut aussi être écrite sous la forme de deux composantes

s(t) = A(t) cos(2πfct+ φ(t)) (114)= sI(t) cos(2πfct) − sQ(t) sin(2πfct)

telles que

sI(t) = A(t) cosφ(t) (115)sQ(t) = A(t) sinφ(t) (116)

Propriétés :– Les composantesnI(t) et nQ(t) d’un bruit blanc à bande étroiten(t) sont de moyenne

nulle.– Si le bruitn(t) à bande étroite est gaussien, ses composantesnI(t) etnQ(t) sont conjoin-

tement gaussiennes.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 90

Table des matières

– Introduction– Signaux et systèmes de télécommunications– Modulation d’onde continue– Variables aléatoires et processus stochastiques– Introduction à la numérisation– Transmission de signaux numériques en bande de base– Modulation numérique– Propagation et systèmes radio– Principes de fonctionnement du réseau GSM

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 91

Introduction à la numérisation

– Introduction– Conversion des signaux

– Échantillonnage– Interpolation– Réalisation de l’échantillonnage

– Modulation PAM– Modulation de la position des impulsions– Modulation d’impulsions codées PCM

– Quantification– Bruit de quantification– Codage– Modulations dérivées

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 92

De l’analogique au numérique

Signal analogiqueoriginal

Filtrage

Echantillonnage

Quantification

Compression

101001Signal numérique

Numérisation

Signal analogiquefiltré et quantifié

Interpolation

Décompression

101001Signal numérique

125,3658112,3401

125112

125112

FIG. 34: Passage de l’analogique au numérique et conversion inverse.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 93

Types d’information

Echantillonnage Quantification Codage Modulation Emetteur

Canal

RécepteurDémodulationFiltrage

passe-basDécodage

Mise en forme des signaux

Mise en forme des signaux

Donnéesbinaires

Informationnumérique

Informationtextuelle

Informationanalogique

Informationanalogique

Informationtextuelle

Informationnumérique

FIG. 35: Mise en forme et transmission.

Caractérisation de la qualité de la transmission au moyen dutaux d’erreur par bit(bit errorrate)Pe

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 94

Théorème de SHANNON

Théorème 3. [SHANNON ] Une fonctiong(t) à énergie finie et à spectre limité, c’est-à-diredont la transformée deFOURIER G(f) est nulle pour|f | > W , est entièrement déterminéepar ses échantillonsg[nTs],n ∈ −∞,+∞ pour autant que la fréquence d’échantillonnagefs soit strictement supérieure au double de la borne supérieure du spectre

fs > 2W (117)

t

t

t

g(t)

gs(t)

f

f

f

Pδ(t− nTs)

W

−fs fs

−W 0

‖G(f)‖

FIG. 36: Échantillonnage instantané.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 95

Formule d’interpolation de W HITTAKER

Soitg(t) un signal analogique intégrable de spectre borné[−W,W ]. Soitg[nTs] l’ensem-ble de ses échantillons de pasTs = 1/fs. La fonctiong(t) s’écrit comme la série de fonctions

g(t) =

+∞∑

n=−∞g[nTs]sinc

(

t− nTsTs

) (118)

Ts 2Ts t

g(0)g(1)

g(2)

g(t)

FIG. 37: Interprétation des termes de la formule d’interpolation de WHITTAKER.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 96

Réalisation de l’échantillonnageLe signal échantillonnégτ(t) est le produit deg(t) par un trainps(t) de rectangles de largeurτ

ps(t) = p(t) ⊗+∞∑

n=−∞δ(t− nTs) =

+∞∑

n=−∞p(t− nTs)

avec

p(t) =

1 si 0 < t < τ0 sinon

(119)La transformée de FOURIER dep(t) étant

Ps(f) =e−πjfτ

Ts

sin(πfτ)

πf

+∞∑

n=−∞δ(f − nfs) (120)

Celle degτ(t), parfois appelésignal échantillonné naturel, vaut

Gτ(f) = G(f) ⊗ Ps(f) (121)=

τ

Ts

+∞∑

n=−∞e−nπjfsτ

sin(nπfsτ)

nπfsτG(f − nfs)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 97

−20 0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f

||G(f

)||

Amplitude du spectre du signal analogique

−20 0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

f

||Gta

u(f)

||

Amplitude du spectre d’un signal échantillonné naturel

FIG. 38: Spectre d’un signal analogique et du signal échantillonné naturel.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 98

Modulations

– Analogiques– Pulse Amplitude Modulation (PAM)– Pulse Duration Modulation (PDM)– Pulse Position Modulation (PPM)

– Numériques– Pulse Code Modulation (PCM)– Differential Pulse Code Modulation (DPCM)– Delta

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 99

Modulation Pulse Amplitude Modulation PAM

t

m(t)

Ts

τ ′

mτ ′(t)

FIG. 39: Modulation PAM au moyen d’ impulsions rectangulaires.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 100

−20 0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f

||G(f

)||

Amplitude du spectre du signal analogique

−20 0 20 40 60 80 1000

5

10

15

f

||Mta

u’(f

)||

Amplitude du spectre d’un signal échantillonné bloqué

FIG. 40: Spectre d’un signal analogique et du signal échantillonné bloqué.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 101

Pulse Duration Modulation (PDM)

(a)

(b)

(c)

(d)

t

m(t)

Ts

FIG. 41: Un signal modulant, modulation PDM et modulation PPM.

p(t) = 0, τ = kp |m(t)|max <Ts2

(122)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 102

Pulse Position Modulation (PPM)

Un signal PPM s’écrit

s(t) =+∞∑

n=−∞p(t− nTs − kpm[nTs]) (123)

oùp(t) est une impulsion centrée de largeur fixeτ . Pour éviter l’interférence entre symbolessuccessifs, il faut respecter la condition suivante qui fait intervenir la largeur de l’impulsions

p(t) = 0, kp |m(t)|max <Ts2

− τ

2(124)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 103

Pulse Code Modulation (PCM)

Principe

3, 5

−0, 5

Numérod’ordre

−2, 5

v(t)

4

0

−4

2, 5

1, 5

0, 5

v[.]

−1, 5

7

6

5

4

3

2

1

0

1, 5 2, 5 1, 5 0, 5

m(t)

m[nTs]

Numéro d’ordre

Code PCM

5

101

5

101

6 4 3 1

001011100110

1, 3 2, 8 1, 8 0, 6 −0, 5 −2, 3

−2, 5−0, 5

−3, 5

FIG. 42: Échantillons instantanés, quantifiés et codes PCM.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 104

Quantification

Définition 31. Le processus consistant à transformer un échantillon d’amplitude m[nTs]d’un messagem(t) pris au tempst = nTs en une amplitudev[nTs], choisie dans un ensem-ble fini de valeurs possibles, est appeléquantification.

mk−1 mk+1

Ik

vk

mk

Quantificateurm[nTs] v[nTs]

FIG. 43: Description d’un quantificateur sans mémoire.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 105

Fonctions “escalier de quantification”

(a)

sortie sortie

(b)

entrée entrée4

2

4

2

−4 −2 0 2 4 −4 −2 0 2 4

−2

−4

−2

−4

FIG. 44: Formes alternatives pour la fonction de quantification.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 106

Calcul du bruit de quantificationSoitσ2

M la puissance moyenne du messagem(t). Le rapport signal à bruitσ2M/σ

2Q est égal

à

(

S

N

)

q

=σ2M

σ2Q

(125)=

(

3σ2M

m2max

)

22R (126)L’ajout d’un bit supplémentaire augmente le rapport signalà bruit de 6[dB] puisqu’en dé-cibels, le rapport signal à bruit vaut

10 log10

(

S

N

)

q

= 10 log10 3 + 20 log10

(

σMmmax

)

+ 20R log10 2 (127)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 107

Modulation delta

approximation

pas

m(t)

FIG. 45: L’erreur de quantification dans une modulation delta.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 108

Table des matières

– Introduction– Signaux et systèmes de télécommunications– Modulation d’onde continue– Variables aléatoires et processus stochastiques– Introduction à la numérisation– Transmission de signaux numériques en bande de base– Modulation numérique– Propagation et systèmes radio– Principes de fonctionnement du réseau GSM

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 109

Transmission de signaux numériques en bande de base

Table des matières

– Nécessité du codage– Capacité d’un canal– Transmission de données binaires

– Spectre des signaux numériques– Modèle théorique linéaire

– Transmission d’impulsions en bande de base– Codes en lignes d’émission

– Détection de signaux binaires en présence de bruit– Effet de la limitation de la bande passante

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 110

Nécessité du codage

Définition 32. [Valence]La relation entre la rapidité de modulationR et le débit binaireDmet en jeu la valenceV ; elle est donnée par l’équation

D = R log2(V ) (128)Capacité d’un canal

Théorème 4. [SHANNON -HARTLEY ]

C = W log2

(

1 +S

N

) (129)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 111

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

4

S/N en dB

Cap

acité

en

bits

/sec

Capacité de canal selon Shannon

FIG. 46: Capacité d’un canal téléphonique (W = 3, 7 [kHz]).

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 112

Transmission des données binaires

Deux méthodes :

– la transmission en bande de base, méthode correspondant à l’émission directe sur le canalde transmission, et

– la transmission par modulation d’une porteuse, méthode permettant d’adapter le signal aucanal de transmission.

Caractéristiques :

– le débit, exprimé en[b/s].– lesniveaux physiques associésà chaque bit (0 ou 1) ou groupes de bits.– l’encombrement spectral.– la probabilité d’erreur par bit transmis (bit error rate) ⇒ Pe

Lien entre le débit et la bande passante de la représentationanalogique du signal :efficacitéspectrale.

Définition 33. L’efficacité spectraleest définie comme le rapport entre le débit binaire et labande nécessaire à la transmission du signal d’informationnumérique.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 113

Spectre des signaux numériques

Modèle théorique linéaire

g(t) =

+∞∑

k=−∞Akφk(t− kT ) (130)

G(f) =+∞∑

k=−∞AkFφ(t− kT ) (131)

= Fφ(t)+∞∑

k=−∞Ake

−2πjfkT (132)= Φ(f)F

+∞∑

k=−∞Akδ(t− kT )

(133)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 114

Train d’impulsions de D IRAC

+∞∑

k=−∞Akδ(t− kT ) (134)

Soit donc à analyser le signal aléatoireX(t)

X(t) =

+∞∑

k=−∞Akδ(t− kT − T0) (135)

Moyenne d’un train d’impulsionsµX =

µAT

(136)Densité spectrale d’un train d’impulsions

γX(f) =

+∞∑

l=−∞

ΓAA (l)

Te−2πjlfT (137)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 115

Densité spectrale d’un signal numérique mis en forme

g(t) =+∞∑

k=−∞Akφ(t− kT ) (138)

est le résultat d’un train d’impulsions modulés en amplitude par la séquenceAk au traversd’un filtre de mise en forme.

Par application des résultats relatifs au passage d’un signal aléatoire à travers un filtrelinéaire,

µg =µAT

Φ(0) (139)Par WIENER-K INTCHINE,

γg(f) = ‖Φ(f)‖2+∞∑

l=−∞

ΓAA (l)

Te−2πjlfT (140)

= ‖Φ(f)‖2 γA(fT )

T(141)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 116

Cas particulier : signaux non-corrélés

γA(fT ) =+∞∑

l=−∞ΓAA (l) e−2πjlfT (142)

= σ2A + µ2

A

+∞∑

m=−∞

1

Tδ(f − m

T) (143)

La densité spectrale vaut donc finalement

γg(f) = ‖Φ(f)‖2 1

T

[

σ2A + µ2

A

+∞∑

m=−∞

1

Tδ(f − m

T)

] (144)Moyennant l’hypothèse de variables à moyenne nulle (µA = 0),

γg(f) = ‖Φ(f)‖2 σ2A

T(145)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 117

Transmission d’impulsions en bande de base

Codage

Deux technologies sont mises en œuvre pour coder les signauxnumériques :

– lescodages en ligne. On parle de codes linéaires.– les codages complets, qui se réfèrent à des tables de conversion (par exemple 5B/4T,

4B/3T, 2B1Q).

Codages linéaires

On peut distinguer les principales catégories suivantes pour le codage linéaire de signauxPCM :

1. Nonreturn-to-zero (NRZ),

2. Return-to-zero (RZ),

3. Codage de la phase, et

4. Codage multi-niveaux.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 118

Variantes de codage

Manchester

Bi-φ-L

unipolaire

NRZ

unipolaireNRZ

bipolaire

RZ

RZbipolaire

0 0 0 0 01 1 1 1

+V

+V

+V

+V

+V

−V

−V

−V

−V

−V

FIG. 47: Variantes de codage en ligne PCM.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 119

Codage NRZ unipolaireLa modélisation complète du codage NRZ unipolaire est résumée dans le tableau suivant :

Symbole Probabilité Ak Onde

0 1 − p 0 . . .1 p V 1, 0 ≤ t < T

MoyenneµA = V p (146)

Varianceσ2A = E

(Ak − µA)2

= p(1 − p)V 2 (147)Filtre

‖Φ(f)‖2= T 2

(

sin(πfT )

πfT

)2 (148)Densité spectrale de puissance

γ(f) = p(1 − p)V 2T

(

sin(πfT )

πfT

)2

+ p2V 2δ(f) (149)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 120

Études temporelle et fréquentielle

1 2 3 4 5 6

x 10−3

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps [s]

V

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510

−9

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

PSD Function

Frequency [kHz]

Pow

er [W

]

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 121

Bande passante : choix pratiquesLe spectre du signal mis en forme est infini.

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.5 1 1.5 2 2.5 3

20

40

60

80

100

fT

γ(f)

fT

Pourcentage de puissance comprise dans la bande

FIG. 48: Analyse de la répartition de puissance.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 122

Codage RZ unipolaireSymbole Probabilité Ak Onde

0 1 − p 0 . . .1 p V 1, 0 ≤ t < αT (α ≤ 1)

Varianceσ2A = E

A2k

− µ2A = pV 2 − (pV )2 = p(1 − p)V 2 (150)

Filtre

‖Φ(f)‖2= α2T 2

(

sin(πfαT )

πfαT

)2 (151)Densité spectrale de puissanceSi on prendα = 1

2, ce qui est le choix habituel,

γ(f) =p(1 − p)

4V 2T

(

sin(πfT/2)

πfT/2

)2

+p2

4V 2δ(f)

+p2V 2+∞∑

n=−∞

1

(2n+ 1)2π2δ(f − (2n+ 1)

T) (152)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 123

Études temporelle et fréquentielle

1 2 3 4 5 6

x 10−3

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps [s]

V

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510

−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

PSD Function

Frequency [kHz]

Pow

er [W

]

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 124

Codage Manchester

Symbole Probabilité Ak Onde

0 1 − p −V −1, 0 ≤ t < T/2+1, T/2 ≤ t < T

1 p V−1, 0 ≤ t < T/2+1, T/2 ≤ t < T

Varianceσ2A = 4p(1 − p)V 2 (153)

Filtre

Φ(f) =T

2

(

sin(πfT/2)

πfT/2

)

(

−e−2πjfT/4 + e+2πjfT/4)

= T

(

sin(πfT/2)

πfT/2

)

j sin(πfT/2) (154)‖Φ(f)‖2

= T 2

(

sin(πfT/2)

πfT/2

)2

sin2(πfT/2) (155)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 125

γ(f) = 4p(1 − p)V 2T(

sin4(πfT/2)(πfT/2)2

)

+ 4(2p− 1)2V 2∑+∞n=−∞

1(2n+1)2π2δ(f − (2n+1)

T ) (156)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 126

Études temporelle et fréquentielle

1 2 3 4 5 6

x 10−3

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps [s]

V

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

PSD Function

Frequency [kHz]

Pow

er [W

]

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 127

1 2 3 4 5 6

x 10−3

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps [s]

V

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510

−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

PSD Function

Frequency [kHz]

Pow

er [W

]

1 2 3 4 5 6

x 10−3

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps [s]

V

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510

−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

PSD Function

Frequency [kHz]P

ower

[W]

1 2 3 4 5 6

x 10−3

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps [s]

V

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 510

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

PSD Function

Frequency [kHz]

Pow

er [W

]

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 128

Codage en blocs ou complets

Valeur binaire Code quaternaire

10 +311 +101 -100 -3

TAB . 4: Codage 2B/1Q.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 129

Détection de signaux binaires en présence de bruit gaussien

Position du problème

g(t) =

+∞∑

k=−∞Akφk(t− kT ) (157)

Erreurs de transmission dues à :

– du bruit (additif blanc gaussien)– présence de filtres (émission ou réception)– non-linéarité du canal– ...

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 130

Effet d’un bruit additif

1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 10−3

−2

−1

0

1

2

Temps [s]

V

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01

−2

−1

0

1

2

Temps [s]

V

FIG. 49: Effet du bruit sur un signal MANCHESTER.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 131

0 1 1 01

0 1 1 01

g(t)

Mise en forme

h(t)

λ = 0

é hantillonnageDé isionFiltre adaptéSignal bruité

seuilλ = 0

onvolution

0 1 2 3 4 5 ×10−3

0 1 2 3 4 5 ×10−3

0 1 2 3 4 5 ×10−3

0 1 2 3 4 5 ×10−3

0 1 2 3 4 5 ×10−3

n(t)

Ak

A′k

Canalx(t) = g(t) + n(t)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 132

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 10−3

−2

0

2

Temps [s]

V

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10−3

−5

0

5

Temps [s]

V

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10−3

−1

0

1

x 10−3

Temps [s]

V

FIG. 51: Signaux typiques dans le cas d’une transmission en bande de base.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 133

Modélisation

SignalFiltreh(t) Décision

T

Phase 2Phase 1

g(t)g(t)

Seuilλ

x(t)

Bruit additif gaussienn(t)

y[T ]

FIG. 52: Structure d’un détecteur linéaire.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 134

Première phase : filtrage ou corrélationCritère

η =|gh(T )|2E n2

h(t)(158)

Résultat

η ≤ 2

N0

∫ +∞

−∞‖G(f)‖2

df (159)D’où la valeur maximale

ηmax =2

N0

∫ +∞

−∞‖G(f)‖2 df =

2EbN0

(160)Définition 34. [Énergie du signal]

Eb =

∫ +∞

−∞‖G(f)‖2

df =

∫ T

0

|g(t)|2 dt (161)On peut écrire le filtre optimal par

hopt(t) =

kg(T − t) 0 ≤ t ≤ T0 ailleurs (162)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 135

Implémentation du filtre adaptéEn pratique, on dispose de plusieurs moyens de réaliser le filtre adapté :

1. Parconvolution.

y(t) =

∫ +∞

−∞x(τ)h(t− τ)dτ (163)

On échantillonne ce signal à l’instantt = T pour obtenir la valeury[T ].

2. Parcorrélation. Considérons l’expression dey(t)

y(t) =

∫ +∞

−∞x(τ)g(T − t+ τ)dτ (164)

à partir de quoi

y[T ] =

∫ T

0

x(τ)g(τ)dτ (165)3. Parintégration. Dans le cas particulier d’un fonctiong(t) = 1 sur [0, T ], la formule dez(t) se réduit à

z(t) =

∫ t

0

x(τ)dτ (166)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 136

Seconde phase : détection par maximum de vraisemblance

Le signal reçu durant l’intervalle de tempsT est

x(t) =

g0(t) + n(t), 0 ≤ t ≤ T pour 0g1(t) + n(t), 0 ≤ t ≤ T pour 1

(167)Par exemple, pour un signal NRZ,g0(t) = −V etg1(t) = +V .

Au moment de prendre une décision, on peut faire deux types d’erreur

1. Sélectionner le symbole1 alors qu’on a transmis le symbole0 ; c’est l’erreur de type 1.

2. Sélectionner le symbole0 alors qu’on a transmis le symbole1 ; c’est l’erreur de type 2.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 137

Démarche

– Probabilité d’erreur lors de l’envoi du signalg0(t)– Probabilité d’erreur lors de l’envoi du signalg1(t)– Probabilité d’erreur moyenne

Probabilité d’erreur pour un signal g0(t)

Supposons que l’on ait transmis un symbole0, autrement dit le signalg0(t). Le signal reçuau récepteur est alors

x(t) = −V + n(t) 0 ≤ t ≤ Tb (168)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 138

Résultats

σ2Y =

N0

2Tb(169)

fY (y|0) =1

πN0/Tbe−(y+V )2

N0/Tb (170)Pe0 =

1√

πN0/Tb

∫ +∞

λ

e−(y+V )2

N0/Tb dy (171)Résultat final :

Pe0 =1

2erfc

(

EbN0

) (172)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 139

Densités de probabilité

fY (y|0)

Pe0

y

Pe1

fY (y|1)

λ

−V

+V

FIG. 53: Forme des densités de probabilitésfY (y|0), fY (y|1) et probabilités d’erreur.

y(T ) y

p1p0

λ = 0

fY (y|0) fY (y|1)

+V−V

FIG. 54: Densités de probabilité conditionnelles.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 140

Probabilité d’erreur moyenne

Pe =1

2erfc

(

EbN0

) (173)

−2 0 2 4 6 8 10 12 14 1610

−16

10−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

Eb/No [dB]

Probabilité d’erreur pour un signal NRZ bipolaire

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 141

Effet de la limitation de la bande passante

1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 10−3

−2

0

2

Temps [s]

V

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01

−2

0

2

Temps [s]

V

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01

−2

0

2

Temps [s]

V

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01−2

0

2

Temps [s]

V

FIG. 55: Effet de la limitation de la bande de fréquence sur un signal NRZ bipolaire : (a)signal original, (b) signal filtré à5fb, (c) signal filtré à0, 6fb et (d) signal filtré à0, 4fb.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 142

Diagramme de l’œil

TsTb

FIG. 56: Diagrammes de l’œil obtenus à travers un canal à réponseimpulsionnelle finie pourun système à 2 et 4 états.

Marge par rapport au bruitIntervalle de temps permettantun é hantillonnage orre t

Instant d'é hantillonnage idéalDistorsion d'amplitudeIn ertitude de syn hronisation

FIG. 57: Interprétation du diagramme de l’œil.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 143

Types de transmission

Deux modes logiques :

– TransmissionsynchroneDonnéesn n + 1

t

n + 2 n+ 3n − 1

– TransmissionasynchroneDonnéesStart Stopn n+ 1 n+ 2

t

Deux modes physiques :

– série– parallèle

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 144

Table des matières

– Introduction– Signaux et systèmes de télécommunications– Modulation d’onde continue– Variables aléatoires et processus stochastiques– Introduction à la numérisation– Transmission de signaux numériques en bande de base– Modulation numérique– Propagation et systèmes radio– Principes de fonctionnement du réseau GSM

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 145

Modulation numérique

Table des matières

– Modulation et démodulationcohérenteou incohérente– Modulation d’amplitudecohérente– Modulation dephasenumérique cohérente– Modulation defréquencenumérique cohérente

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 146

Modulation cohérente ou incohérente

On peut distinguer deux grandes classes de modulation numérique :

– la modulation cohérente: la fréquence de la porteusefc est un multiple entier du rythmed’émission1/Tb,

fc =n

Tb(174)

– la modulation incohérente: la fréquence de la porteusefc n’est pas un multiple entier durythme d’émission1/Tb

Démodulationcohérenteou incohérente

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 147

Exemples de modulation numérique

Hypothèse :fc = ncTb

(modulation cohérente)

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−2

0

2

V

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−10

0

10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10

0

10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10

0

10

FIG. 58: Signal modulant numérique et signaux modulés respectivement en AM, PM et FM.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 148

Modulation d’amplitude numérique cohérente

s0(t) =+∞∑

k=−∞AkRect[0,T ](t− kTb) cos(2πfct) (175)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 149

Modulation d’amplitude numérique cohérente

s0(t) =+∞∑

k=−∞AkRect[0,T ](t− kTb) cos(2πfct) (175)

Occupation spectrale ?Développement en série de FOURIER de la forme

m0(t) =A0

2

[

1 +4

πcos(2π(

1

2fb)t) −

4

3πcos(2π(

3

2fb)t) + . . .

]

s0(t) =A0

2[cos(2πfct)

+2

πcos(2π(fc +

fb2

)t) +2

πcos(2π(fc −

fb2

)t)

− 2

3πcos(2π(fc +

3fb2

)t) − 2

3πcos(2π(fc −

3fb2

)t) + . . .

]

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 149

γ(f) =

[

p0(1 − p0)A20Tb

(

sin(πfTb)

πfTb

)2

+ p20A

20δ(f)

]

⊗ δ(f − fc) + δ(f + fc)

4(176)

=p0(1 − p0)A

20Tb

4

(

sin(π(f − fc)Tb)

π(f − fc)Tb

)2

+p0(1 − p0)A

20Tb

4

(

sin(π(f + fc)Tb)

π(f + fc)Tb

)2

+p20A

20

4δ(f − fc) +

p20A

20

4δ(f + fc) (177)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 150

Efficacité spectrale

Définition 35. L’ efficacité spectraleest définie comme le flux binaire parHz.

La limite supérieure de l’efficacité spectrale pour l’ASK est 1 [b/s/Hz]. En pratique, elleest plutôt entre 0,65[b/s/Hz] et 0,8[b/s/Hz].

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 151

Démodulation cohérente

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10−3

−1

0

1

Temps [s]

V

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10−3

−2

0

2

Temps [s]

V

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10−3

−5

0

5

x 10−4

Temps [s]

V

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 10−3

−1

0

1

2

3

4

5

6x 10

−4

Temps [s]

Diagramme de l’oeil

FIG. 59: Signal ASK en présence d’un faible bruit.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 152

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10−3

−1

0

1

Temps [s]

V

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10−3

−5

0

5

Temps [s]

V

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10−3

−1

0

1x 10

−3

Temps [s]

V

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 10−3

−2

0

2

4

6

8x 10

−4

Temps [s]

Diagramme de l’oeil

FIG. 60: Signal ASK en présence d’un bruit important.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 153

Modulation de phase numérique cohérente

s0(t) = −√

2EbTb

cos(2πfct) (178)s1(t) = −

2EbTb

cos(2πfct+ π) = +

2EbTb

cos(2πfct) (179)Il s’agit donc, dans ce cas, d’une modulation équivalente à une modulation d’amplitude àdeux états de valeurs opposées.

– Occupation spectrale ?

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 154

Démodulation cohérente

ψ(t) =

2

Tbcos(2πfct), 0 ≤ t ≤ Tb (180)

Dès lors,

s0(t) = −√

Ebψ(t), 0 ≤ t ≤ Tb (181)s1(t) = +

Ebψ(t), 0 ≤ t ≤ Tb (182)Pour une réception cohérente, le corrélateur fournira l’undes deux résultats suivants

ρ0 =

∫ Tb

0

s0(t)ψ(t)dt = −√

Eb (183)ρ1 =

∫ Tb

0

s1(t)ψ(t)dt = +√

Eb (184)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 155

Résultat

Pe =1

2erfc

(

EbN0

) (185)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 156

Modulation de fréquence numérique cohérente

si(t) =

2EbTb

cos(2πfit), 0 ≤ t ≤ Tb

0, ailleurs (186)tels que les fréquences instantanées respectent

fi =nc + i

Tb(187)

nc et i étant des entiers.

– Occupation spectrale ?

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 157

Démodulation cohérenteDans le cas d’une modulation defréquencebinaire, les signaux sont

s0(t) =

2EbTb

cos(2πf0t) (188)s1(t) =

2EbTb

cos(2πf1t) (189)Fonctions de corrélation normalisées comme suit

ψj(t) =

2

Tbcos(2πfjt), 0 ≤ t ≤ Tb, j ∈ 0, 1 (190)

ρij =

∫ Tb

0

si(t)ψj(t)dt =

∫ Tb

0

2EbTb

cos(2πfit)

2

Tbcos(2πfjt)dt (191)

=

√Eb, i = j

0, i 6= j(192)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 158

Le vecteur d’observation~x est défini par

[

x0

x1

]

=

∫ Tb0x(t)

2Tb

cos(2πf0t)dt∫ Tb0x(t)

2Tb

cos(2πf1t)dt

(193)

p

2Eb

cos(2πf0t)

cos(2πf1t)x1

x0

pEb

pEb

FIG. 61: Espace de décision pour la démodulation cohérente d’une FSK binaire.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 159

Changement de variable

On définit une nouvelle variable aléatoire gaussienneL telle que

L = X0 −X1 (194)Moyenneetvariance deL ?

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 160

Changement de variable

On définit une nouvelle variable aléatoire gaussienneL telle que

L = X0 −X1 (194)Moyenneetvariance deL ?

– La moyennede cette variable aléatoire, conditionnellement à0, vaut

µL|0 = µX0|0 − µX1|0 =√

Eb (195)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 160

Changement de variable

On définit une nouvelle variable aléatoire gaussienneL telle que

L = X0 −X1 (194)Moyenneetvariance deL ?

– La moyennede cette variable aléatoire, conditionnellement à0, vaut

µL|0 = µX0|0 − µX1|0 =√

Eb (195)– La variancedeL ne dépend pas du symbole. Comme les variablesX0 etX1 sont statis-

tiquement indépendantes et de varianceN0/2,

σ2L = σ2

X0+ σ2

X1= N0 (196)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 160

Probabilité d’erreur conditionnelle

Supposons que le symbole0 ait été transmis, la densité de probabilité conditionnelledeLvaut

fL(l|0) =1√

2πN0

e−(l−

√Eb)

2

2N0 (197)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 161

Probabilité d’erreur conditionnelle

Supposons que le symbole0 ait été transmis, la densité de probabilité conditionnelledeLvaut

fL(l|0) =1√

2πN0

e−(l−

√Eb)

2

2N0 (197)Soit Pe0 la probabilité d’erreur conditionnelle tenant compte de l’émission du symbole0.L’organe de décision va préférer le symbole1 lorsquel < 0. Dès lors,

Pe0 = p(l < 0|0) (198)=

∫ 0

−∞fL(l|0)dl (199)

=1√

2πN0

∫ 0

−∞e−(l−

√Eb)

2

2N0 dl (200)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 161

Après le changement de variablez =l−√Eb√

2N0, on obtient

Pe0 =1√π

√Eb/N0

−∞e−z

2dz (201)

=1

2erfc

(

Eb2N0

) (202)Par un raisonnement similaire, on obtientPe1 etPe toutes deux égales à

1

2erfc

(

Eb2N0

) (203)Dans le cas duGSM : Gaussian Minimum-shift keying(GMSK )

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 162

Modems

Rec. Mode Débit [b/s] Modulation Réalisation du mode multiplex

V21 duplex 300 FSK multiplexage en fréquenceV22 duplex 1200 PSK multiplexage en fréquence

V22bis duplex 2400 QAM multiplexage en fréquenceV23 semi-duplex 1200/75 FSK voie de retour optionnelleV29 - 9600 QAM multiplexeur optionnelV32 duplex 9600 QAM annulation d’écho

V32bis duplex 14400 QAM annulation d’échoV33 - 14400 QAM annulation d’échoV34 duplex 33600 QAM annulation d’échoV90 56000 PCM

TAB . 5: Recommandations ITU-T.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 163

Table des matières

– Introduction– Signaux et systèmes de télécommunications– Modulation d’onde continue– Variables aléatoires et processus stochastiques– Introduction à la numérisation– Transmission de signaux numériques en bande de base– Modulation numérique– Propagation et systèmes radio– Principes de fonctionnement du réseau GSM

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 164

Propagation et systèmes radio

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 165

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 166

Propagation et systèmes radio

Table des matières

– Introduction– Propagation des ondes électromagnétiques

– Équations de MAXWELL

– Antennes– Propriétés– Antennes simples

– Bilan de puissance– Directivité, gain– Propagation en espace libre : équation de Friis

– Modèles de propagation– Domaines d’application de la radio

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 167

Nomenclature

Fréquences λ [m] Dénomination< 3 [kHz] > 100 [km] ELF3 − 30 [kHz] 10 − 100 [km] VLF30 − 300 [kHz] 1 − 10 [km] LF300 − 3000 [kHz] 100 − 1000 [m] MF3 − 30 [MHz] 10 − 100 [m] HF30 − 300 [MHz] 1 − 10 [m] VHF300 − 3000 [MHz] 10 − 100 [cm] UHF3 − 30 [GHz] 1 − 10 [cm] SHF30 − 300 [GHz] 1 − 10 [mm] EHF300 − 3000 [GHz] 0, 1 − 1 [mm]3 − 30 [THz] 10 − 100 [µm]30 − 430 [THz] 0, 7 − 10 [µm]430 − 860 [THz] 0, 35 − 0, 7 [µm]

TAB . 6: Nomenclature de l’ITU-R.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 168

Propagation des ondes électromagnétiques

Équations de MAXWELL (dans le domaine temporel et sous forme locale)

×−→E = −∂

−→B

∂t(204)

×−→H =

−→J +

∂−→D

∂t(205)

.−→D = ρ (206).−→B = 0 (207)

Énergie, puissance et impédance électromagnétiques

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 169

Propagation des ondes électromagnétiques

Équations de MAXWELL (dans le domaine temporel et sous forme locale)

×−→E = −∂

−→B

∂t(204)

×−→H =

−→J +

∂−→D

∂t(205)

.−→D = ρ (206).−→B = 0 (207)

Énergie, puissance et impédance électromagnétiques

Définition 36. [Vecteur de POYNTING ] Le vecteur dePOYNTING−→S est défini comme le

produit vectoriel

−→S =

−→E ×−→

H (208)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 169

−∮

s

−→S · d−→s =

v

−→E · −→J dv +

v

(−→E · ∂

−→D

∂t+−→H · ∂

−→B

∂t)dv (209)

Deux composantes contribuent au flux entrant,−∮

s

−→S · d−→s

–∫

v

−→E · −→J dv, la puissance dissipée,

– le terme∫

v(−→E · ∂

−→D∂t +

−→H · ∂

−→B∂t )dv

Sous la forme intégrale,

−∇ · −→S = σ

v

−→E∣

2

dv +∂

∂t

v

(ǫ∣

−→E∣

2

2+µ∣

−→H∣

2

2)dv (210)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 170

Antennes

Propriétés générales à l’émission

Équations de MAXWELL en notation phasorielle

∇× E = −jωB (211)∇× H = J + jωD (212)∇ · D = ρ (213)∇ · B = 0 (214)

En espace libre, les rotationnels s’écrivent

∇× E = −jωµ0H (215)∇× H = Js + jωǫ0E (216)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 171

Calculs des champs

E = −jωA−∇V (217)Après calcul et grâce à la condition de LORENTZ qui stipule que∇ · A = −jωµ0ǫ0V ,

∇2A+ ω2µ0ǫ0A = −µ0Js (218)Définissantβ = ω

√µ0ǫ0, la solution est

A =µ0

v

Jse−jβ0r

rdv (219)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 172

Antennes simples

Doublet de HERTZ

z

y

x

dl

θ

r

P

φ

I

FIG. 62: Doublet électrique.

Si le doublet est aligné sur l’axez, le potentiel vecteur se réduit à

Az =µ0

4πIdl

e−jβr

r(220)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 173

ChampsEn coordonnées sphériques, on en déduit

Hr = 0 (221)Hθ = 0 (222)Hφ =

Idl

4πβ2 sin θ(j

1

βr+

1

β2r2)e−jβr (223)

Quant au champ électrique, il vaut (η0 =√

µ0ǫ0

= 120π = 377 [Ω])

Er = 2Idl

4πη0β

2 cos θ(1

β2r2− j

1

β3r3)e−jβr (224)

Eθ =Idl

4πη0β

2 sin θ(j1

βr+

1

β2r2− j

1

β3r3)e−jβr

Eφ = 0 (225)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 174

Puissance (I)

Hypothèseditedu champ éloigné

H =jβIdl

4πRsin θe−jβR~aφ (226)

E =jη0βIdl

4πRsin θe−jβR~aθ (227)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 175

Puissance (I)

Hypothèseditedu champ éloigné

H =jβIdl

4πRsin θe−jβR~aφ (226)

E =jη0βIdl

4πRsin θe−jβR~aθ (227)

Aussi, commeη0 = 120π,

∥Sav

∥=

∥Eφ

2

120π(228)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 175

Puissance (II)

La puissance rayonnée moyenne est fournie par

Sav = 15π

(

dl

λ

)2∥

∥I∥

2 sin2 θ

R2~ar (229)

Prad =

s

Sav · ds = 80π2

(

dl

λ

)2

∥I∥

2

2(230)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 176

Directivité et gain

Lobe principal

Lobes secondaires

0 [dB]

-3 [dB]θ3dB

FIG. 63: Angle d’ouverture à 3[dB].

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 177

θ

z

y

|S|

FIG. 64: Diagramme de rayonnement d’un doublet électrique.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 178

Doublet magnétiquez

y

x

θ

r

P

r′I

dl

Le vecteur de POYNTING vaut, en champ éloigné,

Sav = 1860

(

A

λ2

)2∥

∥I∥

2 sin2 θ

R2~ar (231)

Il en résulte une puissance de rayonnement de

Prad =

s

Sav · ds = 15, 585∥

∥I∥

2(

A

λ2

)2 (232)Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 179

Antennes longues

0

0

0I(z)

I(z)

I(z)

I(z)

I(z)

I(z)

I(z)

I(z)

I(z)

FIG. 65: Distributions de courant le long d’une antenne longue.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 180

z

dz

r′

x

P

θ′ ≃ θ

θ r

r′

z cos θ

z

z = −l/2

I(z)

I(z) = Im sin β0(l/2 − z) 0 < z < l/2

I(z) = Im sin β0(l/2 + z) − l/2 < z < 0

I(z)

θ′z = l/2

FIG. 66: Configuration géométrique pour le dipôle allongé.

À grande distanceEφ = 60Ime−jβRR

cos(πl/λ cos θ)−cos(πl/λ)sin θ ~aθ

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 181

Diagrammes de rayonnement du champ électrique

0.5

1

1.5

2

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.5

1

1.5

2

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.5

1

1.5

2

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1−1

−0.5

0

0.5

1

l = λ2 l = λ l = 3λ

2

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 182

Antenne demi-longueur d’onde (l = λ2)

Pourl = λ2 , Eφ = 60Ime

−jβRR

cos(π/2 cos θ)sin θ ~aθ

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1−1

−0.5

0

0.5

1

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 183

Réseaux d’antennes

x

y

z z

x

y

φ

P

I2

r1

r2 r

r1

r2d

I1 I1

I2 vers Pr

d

θ

FIG. 67: Réseau d’antennes.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 184

I∠0x

x

d = λ0/2

d = λ0/2

φ

y

y

y

x

d = λ0/4

φI∠α

I∠α

d = λ0/2, α = π

d = λ0/2, α = 0

d = λ0/4, α = π/2

φ

I∠α I∠0

I∠0

FIG. 68: Diagrammes de rayonnement.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 185

Gain

Définition 37. L’ITU définit le gain d’une antennecomme le“ratio, généralement expriméen décibels, entre la puissance nécessaire à l’entrée d’uneantenne de référence sans perteà la puissance effective fournie à l’antenne considérée de manière à ce qu’elle fournisse lemême champ électrique ou la même puissance dans une direction donnée”.Antenne isotrope

PE

GE = 1

Antenne réellePE

Aire AAngle solide = A/d2d

GE 6= 1

Aire totale = 4πd2d

FIG. 69: Gain d’antenne.

Définition 38. La Puissance Isotrope Rayonnée Équivalente (PIRE)est le produit de lapuissance d’émission d’une antenne par le gain dans la direction d’observation

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 186

Niveau du champ électrique en réception en radio-diffusionFM

Utilisation d’une antenne généralement isotrope

S =PE

4πd2(233)

En espace libre :

S =E2

120π(234)

Au droit du récepteur, le champ électrique vaut

|E| =

√30PEd

(235)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 187

Couplage entre antennes

bIB

bVS

ZS

bVA bVB ZL

bIA d

FIG. 70: Schéma électrique d’une liaison entre antennes.

VA = ZAAIA + ZABIBVB = ZBAIA + ZBBIB

(236)Schéma enT

bVS

ZS

bVA bVB ZLbIA + bIB

bIA bIBZAA − ZM

ZM

ZBB − ZM

FIG. 71: Circuit électrique d’une liaison entre antennes.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 188

Calcul du couplage

bVS

ZS

bVA bVB ZL

bIAbVBAZA

ZB

FIG. 72: Circuit électrique équivalent d’une liaison entre antennes.

– PE = 12VAIA?

– PR = 12VBIB?

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 189

Aire effective

Définition 39. L’ aire effective d’une antenneest définie comme le rapport entre la puis-sance disponible à ses bornes au vecteur dePOYNTING incident

Aeff =PRSeff

(237)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 190

Aire effective

Définition 39. L’ aire effective d’une antenneest définie comme le rapport entre la puis-sance disponible à ses bornes au vecteur dePOYNTING incident

Aeff =PRSeff

(237)La surface effective d’une antenne est liée à son gain par la relation

Aeff = GEλ2

4π(238)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 190

Propagation en espace libre : équation de FRIIS

dPR

PE

FIG. 73: Schéma de liaison entre antenne.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 191

Propagation en espace libre : équation de FRIIS

dPR

PE

FIG. 73: Schéma de liaison entre antenne.

ǫ =PEPR

=

(

4πd

λ

)21

GEGR(239)

En unités logarithmiques, relation de FRIIS

ǫ = 32, 5 + 20 log f[MHz] + 20 log d[km] −GE [dB] −GR [dB]

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 191

Propagation en espace libre : équation de FRIIS

dPR

PE

FIG. 73: Schéma de liaison entre antenne.

ǫ =PEPR

=

(

4πd

λ

)21

GEGR(239)

En unités logarithmiques, relation de FRIIS

ǫ = 32, 5 + 20 log f[MHz] + 20 log d[km] −GE [dB] −GR [dB]

ǫ =λ2d2

AEAR=

c2d2

f2AEAR(240)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 191

Modèles de propagation

Sour e Dire te Réé hieFIG. 74: Rayon direct et réfléchi.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 192

Modèles de propagation

Sour e Dire te Réé hieFIG. 74: Rayon direct et réfléchi.

d2

P

β0β1θ2

d1

z

z0

−z0

Idl

FIG. 75: Antenne linéaire au-dessus d’un plan conducteur.

A =µ0Idl

(

e−jβ0d1

d1+Kv

e−jβ0d2

d2+ f(d2, θ2)

e−jβ0d2

d2

)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 192

Autres effets

IonosphèreOndeFIG. 76: Réflexion sur l’ionosphère.

FIG. 77: Diffusion sur une surface irrégulière.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 193

Illumination0dB

−6dB

FIG. 78: Exemple de diffraction.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 194

Multitrajet

Obstacle

RécepteurSourced1

d2

FIG. 79: Bilan de liaison en présence d’une réflexion.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 195

102

103

104

105

−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

d1 [km]

Atte

nuat

ion

[dB

]

FIG. 80: Affaiblissement de puissanceǫ en fonction de la distance : (a) en espace libre (traitcontinu) et (b) en présence d’une réflexion (traits interrompus).

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 196

Domaines d’application de la radio

Radiodiffusion sonore

G+D

Signal pilotestéréoSignal mono

G-D G-D

15 19 23 38 53

Signal différence (information stéréo)

Amplitude

f [kHz]57 60

RDS

FIG. 81: Signal modulant en radiodiffusion stéréophonique.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 197

Table des matières

– Introduction– Signaux et systèmes de télécommunications– Modulation d’onde continue– Variables aléatoires et processus stochastiques– Introduction à la numérisation– Transmission de signaux numériques en bande de base– Modulation numérique– Propagation et systèmes radio– Principes de fonctionnement du réseau GSM

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 198

Principes de fonctionnement du réseau GSM

Table des matières

– Principales caractéristiques– L’architecture du réseau et les éléments– Le canal physique– Les protocoles– La typologie des paquets (bursts)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 199

Le concept cellulaire

5

23

46

7

5

23

46

7

5

23

46

7

5

23

46

71

11

1

FIG. 82: Figure représentant un motif élémentaire et un ensemble de motifs.

Un cellule se caractérise par :

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 200

Le concept cellulaire

5

23

46

7

5

23

46

7

5

23

46

7

5

23

46

71

11

1

FIG. 82: Figure représentant un motif élémentaire et un ensemble de motifs.

Un cellule se caractérise par :

– sapuissance d’émission,– la fréquence de porteuseutilisée pour l’émission radio-électrique et– le réseauauquel elle est interconnectée.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 200

Estimation du rapport de puissance porteuse à bruit

Signaux perturbateurs :

1. Les interférences de puissance totaleI qui sont dues aux signaux émis par les autresstations :

(a) Les interférencesco-channelqui sont dues aux signaux émis par les autres stations debase utilisant la même fréquence.

(b) Les interférences de canaux adjacents dues aux signaux émis par les stations de baseutilisant des fréquences voisines.

2. Le bruit, de puissance N, provenant principalement du bruit de fond du récepteur.

Dès lors, on a le rapportC

N + I(241)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 201

Synthèse des principales caractéristiques du GSM

La norme GSM prévoit que la téléphonie mobile par GSM occupe deux bandes defréquences aux alentours des900 [MHz] :

1. la bande de fréquence890− 915 [MHz] pour les communications montantes (du mobilevers la station de base) et

2. la bande de fréquence935 − 960 [MHz] pour les communications descendantes (de lastation de base vers le mobile).

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 202

Comparaison des normes GSM et DCS-1800

GSM DCS-1800Bande de fréquences (↑) 890, 2 − 915 [MHz] 1710 − 1785 [MHz]Bande de fréquences (↓) 935, 2 − 960 [MHz] 1805 − 1880 [MHz]Nombre d’intervalles de temps partrame TDMA

8 8

Écart duplex 45 [MHz] 95 [MHz]Rapidité de modulation 271 [kb/s] 271 [kb/s]Débit de la parole 13 [kb/s] 13 [kb/s]Débit maximal de données 12 [kb/s] 12 [kb/s]Accès multiple Multiplexage

fréquentiel et temporelMultiplexage

fréquentiel et temporelRayon de cellules 0, 3 à30 [km] 0, 1 à4 [km]Puissance des terminaux 2 à8 [W ] 0, 25 et1 [W ]

TAB . 8: Comparaison des systèmes GSM et DCS-1800.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 203

Architecture du réseau

L’architecture d’un réseau GSM peut être divisée entrois sous-systèmes :

1. Le sous-système radio contenant la station mobile, la station de base et son contrôleur.

2. Le sous-système réseau ou d’acheminement.

3. Le sous-système opérationnel ou d’exploitation et de maintenance.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 204

BTS

BTS

BTS

BSC

AuC

BSC

MSC

VLR

VLR

HLR

MSCBSC

BTS

OMC

BTS = Base Transceiver StationBSC = Base Station ControllerVLR = Visitor Location RegisterMSC = Mobile Switching CenterHLR = Home Location RegisterAuC = Authentication CenterOMC = Operation and Maintenance Center

FIG. 83: Architecture du réseau GSM.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 205

Le sous-système radio

Le sous-système radio gère la transmission radio. Il est constitué de plusieurs entités dont

– le mobile,– la station de base(BTS,Base Transceiver Station) et– uncontrôleur de station de base(BSC,Base Station Controller).

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 206

Antenne GSM (Rockhampton, Queensland, Australie)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 207

Antenne GSM (station de métro Rogier, Bruxelles)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 208

Le téléphone et la carte SIM (Subscriber Identity Module)

Paramètres CommentairesDonnées administrativesPIN/PIN2 Mot de passe demandé à chaque connexion

Données liées à la sécuritéCléKi Valeur unique, connue de la seule carte SIM et du HLR

Données relatives à l’utilisateurIMSI Numéro international de l’abonnéMSISDN Numéro d’appel d’un téléphone GSM

Données de “roaming”TMSI Numéro attribué temporairement par le réseau à un

abonné

Données relatives au réseauMobile Country Code (MCC), Mo-bile Network Code

Identifiants du réseau mobile de l’abonné

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 209

Le sous-système réseau, appeléNetwork Switching Center (NSS)

Le NSSest constitué de :

– Mobile Switching Center(MSC)– Home Location Register(HLR) / Authentication Center(AuC)– Visitor Location Register(VLR)– Equipment Identity Register(EIR)

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 210

L’enregistreur de localisation nominale (HLR)

Le HLR contient à la fois

– toutes les informations relatives aux abonnés : le type d’abonnement, la clé d’authentifi-cationKi –cette clé est connue d’un seul HLR et d’une seule carte SIM–,les servicessouscrits, le numéro de l’abonné (IMSI), etc

– ainsi qu’un certain nombre de données dynamiques telles que la position de l’abonné dansle réseau –en fait, son VLR– et l’état de son terminal (allumé, éteint, en communication,libre, . . .).

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 211

Canal physique

Combinaison d’un multiplexagefréquentiel (FDMA) et d’un multiplexage temporel(TDMA).

Multiplexage fréquentiel

Aussi, si on indique parFu les fréquences porteuses montantes et parFd les fréquencesporteuses descendantes, les fréquence porteuse sont :

Fu(n) = 890, 2 + 0, 2 × (n− 1) [MHz] (242)Fd(n) = 935, 2 + 0, 2 × (n− 1) [MHz] (243)

où1 ≤ n ≤ 124.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 212

La modulation

La technique de modulation utilisée pour porter le signal à haute fréquence est la modulationGMSK (Gaussian Minimum Shift Keying).

t

t

t

Séquence

Après XOR

Signal GMSK

originale

FIG. 84: Création d’un signal modulé par MSK au départ d’un traind’impulsions.

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 213

Multiplexage temporel

Chaque canal de communication est divisé en8 intervalles de temps de0, 577 [ms] chacun.

Définition 40. [Trame] Ainsi, on définit une trame élémentaire de8 intervalles pour unedurée de8 × 0, 577 = 4, 615 [ms].

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) M. Van Droogenbroeck 214

Hiérarchie de trames

0 1 2

3 4 5 6 7

0 1 2 43 4746 48 49 50

3 4 50 1 2

0 1 49 502

0 1 2 24 25

156.25 bits =0.577 ms

148 bits =0.428 ms

0 1 2 24 25

Signal

204320442045 20462047

[dB]

temps [ms]

level

Supertrame 26

Multitrame 26

Hypertrame

Supertrame 51

Slot

Trame

Multitrame 51

FIG. 85: Organisation des multiples de trames.

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Le saut de fréquences ou Frequency Hopping

trame TDMA temps

slot

Canal physique sans saut de fréquences

Fréquences

porteuse C3

porteuse C2

porteuse C1

porteuse C0

FIG. 86: Principe du saut de fréquence.

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Configuration du Frequency Hopping

La configuration des sauts se fait au moyen de paramètres telsque :

– le Cell Allocation, la liste des numéros des fréquences utilisées dans une cellule,– le Mobile Allocation, la liste des numéros des fréquences disponibles pour les sauts,– le Hopping Sequence Number, une valeur comprise entre0 et 63, servant à initialiser le

générateur pseudo-aléatoire,– le Mobile Allocation Index Offset, une valeur comprise entre0 et 63 qui identique quel

décalage doit être utilisé. Cette valeur de décalage est convenue à l’initialisation de l’appelet elle diffère d’un mobile à l’autre.

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Pile de protocoles

RR

LAPDm LAPD

MICradio

RR

LAPD LAPD

MIC MIC

LAPD

MIC

SSSMSCC

MM

RR

LAPDm

MM

SMSCC SS

radio

AAir A−bis

Terminal mobile Station de base CommutateurContrôleur de station de base

FIG. 87: Piles de protocoles de différents sous-systèmes du réseau GSM.

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Typologie des paquets (bursts)

3 4 710 2 5 6

burst d’accès

burst normal

burst de synchronisation

TB

TB

TB TB

TB

TB GP de 68,25 bits

GP

GP57 bits 1 1 57 bitschiffrés26 bits

chiffrés39 bits 39 bits

chiffrés64 bits de synchro

36 bitschiffrés41 bits de synchro

TB TB GP

burst de bourrage

TB TB GP142 bits fixes (tous à 0)

burst de correction de fréquence

142 bits prédéfinis

FIG. 88: Structures des 5 types deburstdéfinis par la norme GSM.

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