Techniques opératoires au C3 Jacques Le Vot CPC Morlaix.

Techniques opératoires Techniques opératoires au C3au C3

Jacques Le VotCPC Morlaix

Rappel – Programmes 2008Rappel – Programmes 2008

Techniques opératoires au C3Techniques opératoires au C3

Avant d’étudier une technique opératoire, il est nécessaire d’introduire l’opération en introduire l’opération en résolvant des problèmes. (donner du sens résolvant des problèmes. (donner du sens aux opérations)aux opérations)

Petit phare CM2 - Hachette


Bien évaluer les difficultés difficultés potentielles potentielles que l’élève va rencontrer. Les questions à résoudre :ExpliciteExplicite ? ImpliciteImplicite ?

Petit phare CM2 - Hachette


Les points « clés » pour effectuer une opération



Maîtrise des tables de Pythagore Commutativité Multiplier / diviser un entier ou un

décimal par 10,10, 100100, 10001000



Par 22, 33, 44, 55 et 99



Maîtrise d’une technique opératoire afin de pouvoir réaliser des calculs de plus en plus complexes (irréalisables en ligne ou en calcul mental)



Bien comprendre que dans un nombre la virgule indique précisément le le positionnement de l’unitépositionnement de l’unité et ceci quel que soit l’unité proposée

1414,,5 5 kmkm / 132 / 132,,26 26 €€ / 1 / 1,,823 823 tt / 12 / 12,,5 5 kgkg

La multiplicatio

n


d’après les travaux de D. Pernoux http://pernoux.perso.orange.fr

http://pernoux.perso.orange.fr/

Technique posée de la multiplication

1°) Multiplication d’un nombre à deux chiffres par un nombre à un chiffre :a) Combien vaut 3 fois 42 ?a) Combien vaut 3 fois 42 ?

42 42 c’est :

4 dizaines4 dizaines et 2 unités2 unités

Premier rappel

Si on sait combien vaut 4 x 64 x 6, alors on sait calculer 4 × 64 × 600 : 4 fois4 fois 6600 c’est 4 fois4 fois sixsix paquets de 10 paquets de 10

donc 4 fois 64 fois 600 c’est 24 24 paquets de paquets de 1010

Deuxième rappel :

donc 4 × 64 × 600 vaut 240

121200 c’est 1212 paquets paquets de dixde dix2323 paquets de dixpaquets de dix s’écrit 232300

« Règle du zéro »« Règle du zéro »

SiSi 4 × 6 = 24 alors 4 × 4 × 6 = 24 alors 4 × 6600 = 24 = 2400

Et, bien sûr, 6Et, bien sûr, 600 × 4 = × 4 = 242400

3 fois 42 3 fois 42 c’est :

Pour calculer on calcule 3 × 40 3 × 40 et on calcule 3×23×23 × 4 = 12 donc 3 ×3 × 4 = 12 donc 3 × 4400 == 121200

3 x 40 = 3 x 40 = 120120

3 × 2 3 × 2 = 6= 6

3 × 42 =3 × 42 = 120120 ++ 6 6 = 126= 126

On a utilisé la On a utilisé la distributivité de distributivité de la multiplication la multiplication

par rapport à par rapport à l’addition.l’addition.

3 × 423 × 42

Calcul en ligne rapide :

33 ×× 4422 ==

661212

b) Combien vaut 3 × b) Combien vaut 3 × 45 ?45 ?

3 × 5 = 153 × 5 = 15

3 × 40 = 3 × 40 = 1201203 × 45 = 3 × 45 = 135135

15 + 12015 + 120

Calcul en ligne rapide :

33 ×× 4466 =

131388

3 ×3 × 6 6 == 18 18 J’écris 88 et je retiens 11

3 × 4 = 123 × 4 = 12 Avec la retenue ça fait 1313

3 ×3 × 2 2 == 6 6

3 ×3 × 4 4 == 1212

2°) Multiplication d’un nombre à deux chiffres par un nombre à deux chiffres :Combien vaut 34 × 23 34 × 23 ?

34 × 23 34 × 23 c’est le nombre de carreaux de ce quadrillage :2323

3344

Pour trouver le nombre de carreaux du quadrillage, on décompose 34 :

On aura donc deux calculs à faire :

4 × 234 × 23

3030 × 23 × 23

44

3300

4 × 234 × 23

3030 × 23 × 23

34 =34 = 3030 + + 44

Et pour trouver Et pour trouver combien vaut 34 × combien vaut 34 × 23 on ajoutera les 23 on ajoutera les

deux résultats deux résultats trouvés.trouvés.

4 × 23

30 × 23

4 × 23 = 92

2323

3434

3 × 23 = 69

donc

30 × 23 = 690

Disposition habituelle des Disposition habituelle des calculs :calculs :

2323

3344

4

30

4 × 23

30 × 30 × 2323

2 32 3

× 3 4× 3 4

9 9 22

6 9 06 9 0

7 8 27 8 2

Calcul posé :Calcul posé :

2 32 3

××

3 43 4

22

4 × 3 = 12 4 × 3 = 12 J’écris 2 2 et je retiens 114 × 2 = 8 4 × 2 = 8 Avec la retenue ça fait 99

9900

Maintenant, je devrais multiplier 23 par 30 23 par 30 mais je mets un 00 et je vais pouvoir multiplier 23 par 23 par 33.

99

3 × 3 = 93 × 3 = 9

66

3 × 2 = 3 × 2 = 66

22

2 + 0 = 2 + 0 = 22

88

9 + 9 = 18 9 + 9 = 18 J’écris 88 et je mets une retenue

11

77

6 + 1 6 + 1 = 7= 7

11

3°) Multiplications avec des nombres comportant plus de deux chiffres

Calcul de 127 × 127 × 352352

1 2 71 2 7

××

3 5 23 5 2

2 5 2 5 44

2 × 2 × 127127

6 3 5 6 3 5 00 5500 × × 127127

3 8 1 3 8 1 0 0 00

330000 × × 127127

4 4 7 0 4 4 7 0 44

Calcul de 127 × 127 × 302302

1 2 71 2 7

××

3 0 23 0 2

2 5 2 5 44

2 × 2 × 127127

0 0 0 0 0 0 00 0 × 0 × 127127

3 8 1 3 8 1 0 0 00

330000 × × 127127

3 8 3 5 3 8 3 5 4 4

4°) Multiplications de nombres décimaux

Calcul de 12,7 × 12,7 × 35,235,2

1 2 , 71 2 , 7

××

3 5 , 23 5 , 2

2 5 2 5 44

2 × 2 × 127127

6 3 5 6 3 5 00 5500 × × 127127

3 8 1 3 8 1 0 0 00

330000 × × 127127

4 4 7 0 4 4 7 0 4 4

Tout se déroule comme Tout se déroule comme dans l’exemple dans l’exemple

précédentprécédent

Je fais l’opération sans Je fais l’opération sans tenir compte de la tenir compte de la

virgule et je la virgule et je la positionne au résultatpositionne au résultat

En fait, je vais multiplier En fait, je vais multiplier 12,7 par 10 (idem pour 12,7 par 10 (idem pour

35,2)35,2)

Le résultat doit donc Le résultat doit donc être divisé par 100être divisé par 100,,


d’après les travaux de D. Pernoux http://pernoux.perso.orange.fr

http://pernoux.perso.orange.fr/

Quelques points de repères concernant la technique Quelques points de repères concernant la technique opératoire de la division euclidienne (CM)opératoire de la division euclidienne (CM)

I.I. Rappels pour l’enseignantRappels pour l’enseignant

a) Notion de division euclidiennea) Notion de division euclidienne

Effectuer la division d’un entier naturel aa par un entier naturel b non nulb non nul, c’esttrouver les deux entiers qq et rr,, appelés respectivement quotientquotient et restereste,qui sont représentés sur le schéma suivant :

0 b 2b

a

qb (q+1)b

r

qq est tel que qbqb soit le plus grand multiple de bb inférieur ou égal à a et rr est égal à a – qba – qb

Traduction

Si je divise 13 par 3. a = 13 a = 13 et b =3 b =3

la réponse est 4 et le reste 1 q = 4 et r = 1

4 (q)4 (q) est tel que 4x3 (qb) 4x3 (qb) est le plus grand multiple de 3 plus grand multiple de 3 inférieur ou égal à 13 (a)13 (a) et r = a – qb donc 13 – 12 = 1r = a – qb donc 13 – 12 = 1

b) Les deux sens de la division euclidienneb) Les deux sens de la division euclidienne

Dans une situation où on fabrique des « paquets » en partageant équitablement partageant équitablement desobjets .

La division peut servir à trouver combien il y a d’objets dans chaque « paquet » quand on connaît le nombre total d’objets et le nombre de « paquets »

La division peut servir à trouver le nombre de « paquets » quand on connaît le nombre total d’objets et le nombre d’objets dans chaque « paquet »

23 personnes jouent un même ticket et gagnent 4237 €au lotoOn veut partager équitablement les 4237 € entre les 23 gagnants

On peut chercher d’abord le nombre de chiffres du quotient.

Ce n'est pas indispensable mais ça évite de donner un quotient ayant un ordre de grandeur

manifestement erroné (malgré tout extrêmement utile)

ça permet également de garder du sens (on sait mieux, à tout moment la somme que va toucher chaque gagnant) et c'est une aide pour éviter certaines erreurs au moment où on met en œuvre la technique de la division elle-même.

c) Rappels concernant la signification des différentes étapes de ) Rappels concernant la signification des différentes étapes de la technique posée traditionnellela technique posée traditionnelle

42 est plus grand que 23. On peut donc donner des parts de 100 € à chaque gagnant.

4 2 3 7 2 3

4 est plus petit que 23. On ne peut pasdonner 1000 € à chaque gagnant.

milliers

centaines

dizaines unités

centaines

Le quotient sera donc un nombre à trois chiffres.

On cherche combien de parts de 100 € on peut donnerà chaque gagnant :

23×1 = 2323×2 = 4623×3 = 69…

Parts totales de 100

4242

On peut donner 1 part de 100 € à chacun des 23 gagnants.

4 2 3 7 2 3

1 - 2 3 0 0

1 9 3 7

Après avoir donné 1 fois100 € à chaque gagnant, il reste 1937 €.

Part individuelle de 100

On a donné en tout 23 × 100 soit 2300 €

...

On cherche combien de fois 10 € on peut encore donner à chaque gagnant :

23×1 = 2323×2 = 4623×3 = 6923×4 = 9223×5 =11523×6 =13823×7 =16123×8 =18423×9 =207

193

On peut encoredonner 8 fois10 €à chaque gagnant

1 8 4 0

9 7

Après avoir donné 1 part de 100 € puis 8 parts de 10 € à chaque gagnant, il reste 97 €.

4 2 3 7

2 32 3 0 01 9 3 7

parts de10

1 . .8

On peut donc encore donner en tout 23 × 80 € soit 1840 €

parts de 10

On cherche combien d’euros on peut encore donner à chaque gagnant :

23×1 = 2323×2 = 4623×3 = 6923×4 = 9223×5 =11523×6 =13823×7 =16123×8 =18423×9 =207

97On peut encore donner 4 € à chaque gagnant

4237 23

2300

1937

1840

97925

On a pu donner 184 € à chaque gagnant (le quotient est égal à 184)

Il reste 5 € (qu’on ne peut pas partager)

On peut encore donner 23 × 4 soit 92 €

18184.

euros isolés

II.II. Remarques sur la division euclidienneRemarques sur la division euclidienne

a)a) Savoirs et savoir-faire utiles :Savoirs et savoir-faire utiles : savoir faire la différence entre partages équitables et partages

non équitables

connaître les techniques de l’addition, de la soustraction et de la multiplication et les tables de multiplication

savoir ce qu’est un multiple et savoir écrire la table des multiples d’un nombre donné (exemple : table des multiples de 23)

b) Problèmes précédant le travail sur la technique posée traditionnelle

On peut commencer par une situation de regroupement («Combien de paquets ?») avec un quotient à un chiffre qui permettra de faire un travail sur les multiples sans aborder encore la technique posée traditionnelle.

Exemple : 171 bonbons - des paquets de 25 bonbons - combien de combien de paquets ?paquets ? On peut continuer par une situation de partage («Combien dans chaque paquet ?») avec un quotient à un chiffre qui permettra, elle aussi, de faire un travail sur les multiples toujours sans aborder la technique traditionnelle.

Exemple : 213 bonbons - 25 enfants – combien de bonbons chacun ?combien de bonbons chacun ?

Les élèves sont amenés à résoudre ces problèmes en utilisant des procédures personnelles (additives, multiplicative…)

Pour arriver à

171 = (25 x 171 = (25 x 66) + ) + 2121 (situation 1) (situation 1)

et

213 = (25 x 213 = (25 x 88) + ) + 1313 (situation 2) (situation 2)

Travail sur le nombre de chiffres du quotient :

Sans effectuer les divisions, trouver le nombre de chiffres du quotient (indiquer lenombre de chiffres du quotient en mettant – ou – – ou – – – à la place du quotient)et expliquer comment vous faites pour le trouver.

8 2 5 1 5 5 3 9 1 9 8 0 1 7

24 flibustiers veulent se partager équitablement 3750 pièces d’or.Combien auront-ils chacun ?

1 × 24 = 242 × 24 = 483 × 24 = 724 × 24 = 965 × 24 = 1206 × 24 = 1447 × 24 = 1688 × 24 = 1929 × 24 = 216

On peut écrire : 3750 = (156 × 24) + 6

c.c. Apprentissage de la technique posée traditionnelleApprentissage de la technique posée traditionnelle

3 7 5 0 2 4- 2 4 0 0

1 3 5 0- 1 2 0 0

1 5 0- 1 4 4

6

1 5 6_ _ _

- Remarque :

Il peut être éventuellement envisageable de travailler avec certains élèves la « technique dépouillée » mais il ne semble pas souhaitable d’exiger que tous les élèves sachent utiliser cette technique. Cette technique exige une très bonne connaissance des tables de multiplication.

Aussi bien : 9 x 4 = 36 que 36 = 4 x 9

3 7 5 0 2 4

11 3

55

1 5 06

6

Le résultat de la division de 3750 par Le résultat de la division de 3750 par 24 est 156 et il reste 624 est 156 et il reste 6

_ _

3 7 5 2 4- 2 4 0

1 3 5 - 1 2 0

1 5

d.d. Apprentissage de la technique posée traditionnelle (division Apprentissage de la technique posée traditionnelle (division décimale)décimale)

1 5

00

66,, 22

4 84 8-

1 21 2

00

1 4 1 4 44

66

-

Le reste de cette division décimale Le reste de cette division décimale est bien 12 centièmes (0,12)est bien 12 centièmes (0,12)

375 = (15,62 x 24) + 0,12375 = (15,62 x 24) + 0,12

00 00,,

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