Techniques de recherche des limites desintégrales à paramètre

Essaidi Ali

26 mars 2014

1 Utiliser des majorations et des minorations :

Exemple : Calcul de la limite en +∞ de la fonction f(x) =∫ π

2

0

ex sin tdt :

On sait que sin est concave sur [0, π2 ] donc ∀t ∈ [0, π2 ],2π t ≤ sin t (i.e la courbe

y = sin t est au dessus de la corde joignant les point (0, 0) et (π2 , 1)).Soit x > 1 donc :

f(x) =

∫ π2

0

ex sin tdt ≥∫ π

2

0

e2xπ tdt =

[ π2xe

2xπ t]π

2

0=

π

2x(ex−1)→ +∞ lorsque x→ +∞

On déduit que limx→+∞

f(x) = +∞.

2 Intégrer par parties :

Exemple : Calcul de la limite en +∞ de la fonction f(x) =∫ +∞

1

cos(xt)

1 + t4dt :

Soit x > 1. En intégrant par parties

f(x) =

[sinxt

x(1 + t4)

]+∞1

+1

x

∫ +∞

1

4t3 sinxt

(1 + t4)2dt = − sinx

2x+

1

x

∫ +∞

1

4t3 sinxt

(1 + t4)2dt.

On a∣∣∣∣ 1x∫ +∞

1

4t3 sinxt

(1 + t4)2dt

∣∣∣∣ ≤ 1

x

∫ +∞

1

4t3

(1 + t4)2dt → 0 car l’application t 7→

4t3

(1+t4)2 est intégrable sur [1,+∞[.Donc lim

x→+∞f(x) = 0.

3 Utiliser des changements de variables :

Exemple : Calcul de la limite en +∞ de la fonction f(x) =∫ +∞

1

e−xt

tdt :

Soit x > 0 et on considère le changement de variables u = xt donc f(x) =∫ +∞

x

e−u

udu.

1

CPGE Laayoune https ://www.facebook.com/mathlaayoune Essaidi Ali

Or l’intégrale∫ +∞

1

e−u

udu converge, donc lim

x→+∞

∫ +∞

x

e−u

udu = 0 d’où lim

x→+∞f(x) =

0.

4 Changer les bornes de l’intervalle d’intégration :

Exemple : Calcul de la limite en 0+ de la fonction f(x) =∫ +∞

0

dt

t3 + x:

Soit A > 0. On a∫ +∞

0

dt

t3diverge (problème en 0) donc ∃a > 0 tel que

∫ +∞

a

dt

t3>

A.On pose ϕ(x, t) = 1

t3+x . On a

1. ϕ continue sur [0,+∞[×[a,+∞[.

2. ∀(x, t) ∈ [0,+∞[×[a,+∞[, |ϕ(x, t)| ≤ 1t3 avec t 7→ 1

t3 intégrable sur [1,+∞[.

Donc l’application g(x) =

∫ +∞

a

dt

t3 + xest continue sur [0,+∞[. En particulier,

limx→0+

g(x) = g(0) =

∫ +∞

a

dt

t3.

Or∫ +∞

a

dt

t3> A donc ∃ε > 0,∀|x| < ε, g(x) > A d’où

∀|x| < ε, f(x) =

∫ +∞

0

dt

t3 + x≥∫ +∞

a

dt

t3 + x= g(x) > A

On a ∀A > 0,∃ε > 0,∀|x| < ε, f(x) > A donc limx→0+

f(x) = +∞.

5 Chercher une équation fonctionnelle :

Exemple : Calcul de la limite en 0+ de la fonction f(x) =∫ +∞

1

t−x

1 + tdt :

On pose ϕ(x, t) = t−x

1+t et soit a > 0. On a

1. ϕ continue sur [a,+∞[×[1,+∞[.

2. ∀(x, t) ∈ [a,+∞[×[1,+∞[, |ϕ(x, t)| ≤ 1t1+a avec t 7→ 1

t1+a intégrable sur[1,+∞[.

www.mathlaayoune.webs.com 2/3 mathlaayoune@gmail.com

CPGE Laayoune https ://www.facebook.com/mathlaayoune Essaidi Ali

Donc f est continue sur [a,+∞[ pour tout a > 0 d’où f est continue sur ]0,+∞[.On a ∀x > 0 :

f(x+ 1) + f(x) =

∫ +∞

1

t−x−1

1 + tdt+

∫ +∞

1

t−x

1 + tdt

=

∫ +∞

1

t−x−1 + t−x

1 + tdt

=

∫ +∞

1

t−x−1(1 + t)

1 + tdt

=

∫ +∞

1

t−x−1dt

=

[t−x

x

]+∞1

=1

x

On a f continue sur ]0,+∞[ donc limx→+∞

f(x + 1) = f(1). Or ∀x > 0, f(x) =

1

x− f(1 + x) donc lim

x→0+f(x) = +∞.

6 Utiliser le théorème de la convergence dominée :

Exemple : Calcul de la limite en +∞ de la fonction f(x) =∫ +∞

0

1

1 + x3 + t3dt :

Soit (xn) une suite positive telle que xn → +∞. On pose ∀n ∈ N, fn(t) =1

1 + x3n + t3.

On a :– ∀n ∈ N, fn est continue sur [0,+∞[.– La suite (fn) converge simplement sur [0,+∞[ vers l’application nulle qui est

continue sur [0,+∞[.

– ∀n ∈ N,∀t ≥ 0, |fn(t)| ≤1

1 + t3avec t 7→ 1

1 + t3intégrable sur [0,+∞[.

Donc, d’après le théorème de la convergence dominée,

limn→+∞

f(xn) = limn→+∞

∫ +∞

0

fn(t)dt =

∫ +∞

0

limn→+∞

fn(t)dt = 0

D’après la carctérisation séquentielle de la limite limx→+∞

f(x) = 0.

www.mathlaayoune.webs.com 3/3 mathlaayoune@gmail.com