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  • Fichetechnique 14 Les fonctions

    1 Dfinir une fonction2 Des fonctions particulires3 Fonctions dfinies par contraintes4 Extrema locaux d'une fonction5 Zros d'une fonction6 Drives et primitives7 Courbe paramtre et courbe implicite8 Manipulations gomtriques sur les courbes9 Fonctions et squences10 L'inspecteur de fonction

    QR Codehttp://url.univ-irem

    .fr/ft33

    GeoGebra se comporte comme un excellent grapheur : de nombreuses manipulations sur les fonctions etleur courbe reprsentative sont rendues possibles par le logiciel.

    Nous n'aborderons pas, dans cette fiche, les manipulations lies la vue Graphique (modification du repre,graduation des axes, affichage et paramtrage de la grille, ...). Celles-ci sont dcrites dans la fiche technique La vuegraphique, page 425.

    1 Dfinir une fonction

    Pour dfinir une fonction et obtenir sa courbe reprsentative dans GeoGebra :

    Positionner le curseur dans le champ de sai-sie.

    Inscrire, par exemple : f(x)=2x2+5x-1.

    Valider en appuyant sur la touche .

    Mthode

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    http://url.univ-irem.fr/ft33

  • Une fonction peut aussi tre dfinie depuis la vue Calcul formel condition d'utiliser l'oprateur d'affecta-tion := la place de = :

    Ouvrir la vue Calcul formel .

    Positionner le curseur sur une ligne vierge.

    Inscrire, par exemple : f(x):=x^3-3x^2+1.

    Valider en appuyant sur la touche .

    Mthode

    Remarque :

    Par dfaut, dans GeoGebra, toute fonction est dfinie sur le plus grand domaine de dfini-tion possible.

    Dans le champ de saisie, on peut se contenter d'inscrire l'expression algbrique d'unefonction sans la nommer. GeoGebra attribue alors automatiquement un nom la fonctionds la validation aprs appui sur la touche .

    Les fonctions ainsi dfinies sont considres comme des objets libres par GeoGebra dansle sens o l'utilisateur a la possibilit de dplacer librement la courbe dans le vue Gra-

    phique l'aide de l'outil . L'expression algbrique de la fonction est alors modifie en

    consquence dans la vue Algbre .

    GeoGebra diffrencie une fonction de sa courbe reprsentative. Par exemple, saisir y=2x2+5x-1 construit la courbe reprsentative de la fonction, mais ne dfinit pas la fonction (lelogiciel considre que l'utilisateur a voulu construire une parabole et non une fonction).

    La liste des fonctions mathmatiques prdfinies dans GeoGebra est disponible en annexe,page 751. On peut galement se servir de fonctions antrieurement dfinies par l'utilisateurpour dfinir une nouvelle fonction.

    Il est bien entendu possible de crer des fonctions dont l'expression dpend d'un ouplusieurs paramtres et dont les valeurs sont pilotables par des curseurs.

    Une fonction peut aussi tre dfinie depuis la vue Analyse de donnes lors de l'utilisationde l'outil Statistiques deux variables : en effet, lorsque l'on copie dans la vue Graphiquele modle d'ajustement associ un nuage de points, GeoGebra cre une fonction etaffiche sa courbe reprsentative.

    484commission

    inter

    TREMCE

  • 2 Des fonctions particulires

    GeoGebra permet de dfinir des fonctions restreintes un intervalle l'aide de la commande Si (voir la fichetechnique Les valeurs boolennes, page 593 pour la syntaxe de cette commande).

    Pour dfinir la fonction f : x 7 x2 sur [1;3] :

    Positionner le curseur dans le champ de saisie.

    Inscrire : f(x)=Si[-1

  • La commande Fonction[,,

  • Si[x 0 Si[-1=0,f(x)].De la mme faon, il est possible de mettre en valeur la partie d'une courbe situe au-dessusd'une autre en crivant, par exemple : h(x)=Si[f>g,f(x)].On peut aussi dfinir des fonctions ainsi :

    f(x)=Si[sin(x) > 0, sin(x), cos(x + 90)]

    Placer un point libre sur la reprsentation graphique d'une fonction dfinie par morceaux l'aide de lacommande Si peut s'avrer dlicat dans la mesure o GeoGebra permet de dplacer le point hors du domaine dedfinition de la fonction. Celui-ci devient alors non dfini (et, par consquent, est rendu invisible), et, au cas ol'utilisateur relche le bouton gauche de la souris aprs dplacement du point hors de la courbe reprsentative dela fonction, la seule possibilit pour le rendre de nouveau visible consiste demander le recalcul des objets de lafigure par le menu Affichage Recalculer tout .

    Les fonctions 487

  • Pour contourner le problme et faire en sorte qu'un point libre, plac sur la reprsentation graphique d'unefonction f , soit bloqu aux extrmits de la courbe reprsentative de f , on peut recourir aux scripts et employerla mthode suivante.

    On cherche placer un point M libre sur la courbe reprsen-tative de la fonction f dfinie par f (x) = x2 pour 2 x 3. Pour crer deux variables numriques xmin et xmax gales

    aux bornes de l'intervalle de dfinition de la fonction f ,inscrire, dans le champ de saisie : xmin=-2, puis, xmax=3.

    Pour crer la fonction f , inscrire, dans le champ de saisie : f(x)=Si[xmin

  • Il est facile de composer des fonctions avec GeoGebra. Par exemple, pour obtenir la fonction h = f g partirde deux fonctions f et g pralablement dfinies :

    Positionner le curseur dans le champ de saisie.

    Inscrire : h(x)=f(g(x)).

    Valider en appuyant sur la touche .

    Mthode

    GeoGebra permet de dfinir des fonctions de deux variables.

    Positionner le curseur dans le champ de saisie.

    Inscrire : f(x,y)=sin(x)*cos(y).

    Valider en appuyant sur la touche .

    Mthode

    Remarque :

    La surface reprsentative d'une fonction deux variables n'apparat que dans la vue Graphique3D . Pour autant, une fonction deux variables peut tre utilise pour effectuer des calculsd'images par exemple, ou dans le cas d'tude de fonctions paramtres comme f (x,m) = m x2 +x +1.

    3 Fonctions dfinies par contraintes

    La fonction Polynme[] permet d'obtenir la fonction polynme de LAGRANGE dont lacourbe reprsentative passe par les points d'une liste choisie.

    Positionner le curseur dans le champ de saisie.

    Inscrire : Polynme[{(1, -1), (2, 3), (3, 4), (4, 7), (5, -2)}].

    Valider en appuyant sur la touche .

    Mthode

    Les fonctions 489

  • On peut galement saisir ces points dans le tableur :

    Utiliser la commande Affichage Tableur pour afficher la vue Tableur .

    Saisir les abscisses dans une colonne.

    Saisir les ordonnes dans la colonne immdiatement sa droite.

    Slectionner la plage de cellules contenant la liste des valeurs et effectuer un clic avec lebouton droit de la souris pour faire apparatre le menu contextuel.

    Dans le menu contextuel, choisir Crer Liste de points .

    En supposant que la liste cre est nomme liste1, positionner alors le curseur dans lechamp de saisie et inscrire : Polynme[liste1].

    Mthode

    La commande Fonction[] permet galement de dfinir une fonction point par pointde type fonction main leve . Les deux premires valeurs de la liste dfinissent les bornes de l'ensemble dedfinition de la fonction et les autres valeurs correspondent aux images prises par la fonction lorsque l'ensemble dedfinition est divis intervalles rguliers.

    Positionner le curseur dans le champ de saisie.

    Inscrire, par exemple : f(x)=Fonction[{-2,2,0,1,0,-1,0,1}] .

    Valider en appuyant sur la touche pour crer

    une fonction en dents de scie dfinie sur l'intervalle[2;2].

    Mthode

    490commission

    inter

    TREMCE

  • Il est possible de crer une courbe main leve. Cette courbe gnre une fonction laquelle on peut appliquercertaines manipulations (calcul d'images, inspecteur de fonction, calcul d'intgrales).

    Cliquer sur l'icne .

    la souris, dessiner une courbe potentiellementreprsentative d'une fonction.

    Mthode

    4 Extrema locaux d'une fonction

    GeoGebra permet de dterminer (numriquement) les ventuels extrema locaux d'une fonction pralable-ment dfinie.

    La fonction f est dfinie par l'utilisateur.

    Cliquer sur l'icne .

    Slectionner la courbe reprsentative de lafonction f .

    GeoGebra cre alors de nouveaux points surla courbe reprsentative de la fonction fdont les abscisses sont des extrema locauxde la fonction f .

    Mthode

    Remarque :

    Si la fonction est polynomiale, GeoGebra dtermine tous les extrema locaux. Dans le cascontraire, seuls les extrema locaux situs entre les bornes infrieures et suprieures de lavue Graphique sont crs.

    Il est recommand d'utiliser cet outil avec des fonctions continues sinon des extremaerrons pourraient tre calculs prs des discontinuits.

    La commande Extremum[,,] permet de dterminer nu-mriquement les extrema locaux d'une fonction continue sur l'intervalle ouvert dfini par les bornes et .

    Si la fonction est de type polynomial, la syntaxe Extremum[] permet de trouver tous les extremalocaux.

    Extremum[x2-2x+1] retourne le point de coordonnes (1;0).

    Extremum[x^3-6x2+1] retourne les points de coordonnes (0;1) et (4; 31). Extremum[x^3-6x2+1,2,10] retourne seulement le point de coordonnes (4; 31). Extremum[exp(x)/x,0.5,2] retourne le point de coordonnes (1;2,718).

    Exemple(s)Exemple(s)

    Les fonctions 491

  • Remarque :

    L'ensemble des points crs par l'utilisation de la commande Extremum peut tre retournpar le logiciel sous forme de liste. Il suffit, pour cela, d'encadrer la commande par desaccolades.

    Ainsi, par exemple, la commande {Extremum[x^3-6x2+1]} renvoie la liste {(0;1) , (4 ; 31)}. Au sein de la vue Calcul formel , la commande Extremum renvoie une liste de points (il n'est

    pas ncessaire d'encadre la commande par des accolades).

    5 Zros d'une fonction

    Dans GeoGebra, diffrentes mthodes peuvent tre mises en uvre pour dterminer les ventuels zrosd'une fonction.

    La fonction f est dfinie par l'utilisa