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Traitement du Signal Signaux à temps continu Chapitre 2.A 1 Ecole Nationale Polytechnique / ABDELOUEL Echantillonnage, Reconstitution

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Traitement du signal Le traitement du signal est aujourd’hui une composante fondamentale des sciences de l’ingénieur, située au croisement de l’automatique, l’électronique, l’informatique et les mathématiques

Objectifs du cours

Plan du cours Introduction

A. Signal & information

B. Classification des signaux

1) Signaux à temps continu

A. Analyse temporelle des signaux analogiques

B. Analyse fréquentielle des signaux périodiques (SF)

C. Analyse fréquentielle des signaux non périodiques(TF)

2) Signaux et systèmes à temps discret

A. Echantillonnage, Reconstitution & Quantification

B. Analyse fréquentielle des signaux numériques (TFD)

C. Systèmes linéaires invariants dans le temps

D. Transformée en Z

3) Signaux et processus aléatoires A. Principales notions de probabilité

B. Signaux aléatoires

C. Propriétés fondamentales

D. Notion de bruit blanc

4) Applications A. Filtrage de signaux

B. Techniques d’estimation spectrale

• Murat KUNT , Traitement Numérique des Signaux, Dunod 1981,

• Murat KUNT, Digital signal processing software laboratory

Edition: Presses Polytechniques Romandes, 1984

• F. de Coulon : Théorie et traitement des signaux, PPR, 1984

• Maurice Bellanger , Traitement numérique du signal : théorie et pratiques, Ed. Masson (Paris), 1981

• Michel Marie : Applications de MATLAB 5 et SIMULINK 2

contrôle de procédés, logique floue, réseaux de neurones, traitement du signal,

• A. Oppenheim and R. Shafer, Digital Signal Processing, Prentice Hall, 1975

L’objectif de ce cours est de présenter une première approche du traitement du signal afin de permettre aux étudiants de :

• Maîtriser les notions de signal et de système numérique, • Savoir utiliser les outils mathématiques spécifiques au traitement des signaux (transformation de

Fourier, en Z, convolution, corrélation …etc.), • Avoir les compétences permettant d'appliquer aux signaux les traitements les plus classiques

(échantillonnage, filtrage, estimation spectrale, …etc.)


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Signaux et systèmes à temps discret

A. Echantillonnage, Reconstitution & Quantification

• L’échantillonnage (en anglais sampling) est une opération qui consiste à prélever sur un signal à

temps continu une suite de valeurs, prises en une suite d’instants tn, n ∈ Z.

• La question fondamentale est de savoir s’il est possible de reconstruire x(t) `a partir des

échantillons x(nTe),

• Dans la suite nous n’envisagerons que l’´échantillonnage régulier où tn = nTe

Te est la période d’échantillonnage, Fe = 1/ Te est la fréquence d´ échantillonnage ´ .

• Modélisation de l’opération d’echantillonnage • On peut interpréter l'échantillonnage comme une séquence d'impulsions de Dirac modulées en

amplitude par le signal x(t)

• Le signal échantillonné apparait comme le produit d’un signal par un peigne de Dirac

• Après normalisation de la période d’échantillonnage(Te=1), on obtient la suite {x(n)} appelée signal

discret

• Spectre du signal échantillonné • On considère un signal à temps continu x (t) et soit xe(t)= x(nTe) le signal échantillonné à la

fréquence Fe=1/Te.

• On note X(f) la TF de x(t) et Xe(f) la TF de lasuite xe(n.Te).

• La question est : Quelle est la relation entre X(F) et Xe(f) ?

•


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Echantillonner dans l’espace-temps revient

à périodiser dans l’espace fréquence

• On peut alors démontrer que : Le spectre du signal échantillonné à Te, est périodique et de période

Fe=1/Fe :

La théorie des distributions (lemme de Poisson) permet de montrer que : La transformée de Fourier d’un peigne d’impulsions de Dirac est un peigne d’impulsions de Dirac.

• La transformée de Fourier du signal echantillonné xe(t) est donc une fonction Xe(f) périodique, de

période Fe=1/Te.

• La TF de la fonction échantillonnée est périodique de période Fe : le spectre de x(t) est périodisé par

l'échantillonnage,

Echantillonner dans l’espace-temps revient à périodiser dans l’espace fréquence

• Fréquence normalisée • On pose v=fn = f.Te = f/Fe qui appartient à [L1/2, 1/2M


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Problème d’échantillonnage

Questions.

• Comment choisir Te ?

• Comment reconstituer le signal x(t) à partir de x(n.Te) ?

• Théorème de Shannon • Soit un signal réel x(t) à bande limitée B (X(f) = 0 pour |f| > B=Fmax) et soit Fe = 1/Te une

fréquence d’échantillonnage.

• Alors, si B < Fe/2 �� Fe > 2B, x(t) peut être reconstruit de manière unique à partir de la suite

d’échantillons x(nTe), suivant la formule dite d’interpolation

• Fmax est la fréquence la plus élevée du spectre du signal analogique

Critère de Shannon-Nyquist.

• L’échantillonnage d’un signal a une fréquence fe ne provoque pas de perte d’informations si et

seulement si la fréquence maximale Fmax du signal vérifie la condition :

Le peigne de Dirac, nommé Sha(t) en l’honneur de Mr Shannon

• On peut revenir au signal analogique continu par simple filtrage passe-bas.


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Preuve du théorème de Shannon

• Recouvrement fréquentiel (repliement, folding, aliasing) • Le bon choix de Fe nécessite de bien connaître la valeur de la fréquence maximale Fmax contenue

dans le signal à échantillonner

• Si le support de Xe(f) n’est pas inclus dans [LFe/2, Fe/2M alors les spectres périodisés adjacents se

superposent. Ce phénomène est appelé le repliement de spectre.

D'après le théorème de Shannon, il faut que Fe soit supérieure à la fréquence la plus élevée, Fmax.

• En termes de temps, cela signifie que le pas d'échantillonnage Te=1/Fe doit être au moins inférieur

à la moitié de la période.

Le repliement peut faire apparaître sur des systèmes numériques des signaux qui n'existent pas. de

sous échantillonnage qui montre le repliement.

Exemple : Le signal à 40Hz, échantillonné à 50Hz, apparaît comme un signal

de 10 Hz échantillonné à 50Hz.


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• Nécessité du filtre de garde • Si la fréquence d’´échantillonnage est imposée, et afin d’éviter les répliques indésirables dues au

repliement, il est indispensable de filtrer préalablement le signal avant l’opération

d’´échantillonnage proprement dite.

• Filtre passe-bas anti-repliement : La fréquence de coupure est la fréquence de Nyquist Fe/2

• Les divers procédés d’échantillonnage • L’échantillonnage idéal est réalisé à l’aide d’impulsions de Dirac.

• Dans la pratique, on utilisera des impulsions de durée courte mais finie.

• L’échantillonnage peut donc être modélisé par la multiplication du signal par une suite une suite

d’impulsions distantes de Te et de largeur τ.

• L’amplitude de ces impulsions sera fonction du procédé d’échantillonnage utilisé

1. Naturel : amplitude égale à s(t) pendant la durée tau ,

2. Moyenneur : amplitude égale à la moyenne de x(t) sur l’intervalle tau.

3. Régulier : amplitude constante et égale à x(nTe) pendant la durée tau;

• Echantillonneur réel (Naturel) Avec cet échantillonneur, le signal Xe(t) suit les variations de x(t) pendant toute la durée de l’intervalle

d’échantillonnage.


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• Echantillonneur naturel

La répétition du spectre se fait avec un affaiblissement progressif

Pour se rapprocher d’un échantillonnage idéal, il faut que τ soit le plus petit possible.

• Pour une erreur ε =1%, à la limite du théorème de Shannon on obtient (τ < 0.16 Te)

• Dans le cas où τ est du même ordre de grandeur que Te, il faudra Fe>> 2.FMax

• Echantillonneur bloqueur • Avec un échantillonneur bloqueur, l’amplitude de chaque échantillon est maintenue constante

pendant toute la durée de l’impulsion (τ).

• Le terme en exp(jπfτ) traduit un déphasage entre le signal initial et le signal échantillonné.


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• Echantillonneur bloqueur (d’ordre zéro) • Avec le bloqueur d’ordre zéro (BOZ), on maintient la valeur de l’échantillon sur toute la période

d’échantillonnage donc τ = Te.

• On obtient un signal xe(t) qui se présente comme une suite de paliers, changeant tous les instants

nTe (Extrapolation linéaire de degré 0).

• Les images du spectre du signal analogique issues de l’échantillonnage apparaissent atténuée par la

fonction sin(x)/x

• On note une atténuation de 3,93 dB de l’amplitude du signal à la fréquence de Nyquist

• Reconstruction idéale, filtre de lissage (anti-imaging) • Extraction du signal initial à partir du signal échantillonné

• Pour reconstituer la continuité du signal, il faut effectuer une interpolation entre deux instants de

discrétisation.

•

• Connaissant le spectre du signal échantillonné, la restitution consiste à extraire de ce spectre le

spectre de base à l’aide d’un filtrage fréquentiel ou d’un calcul équivalent sur les échantillons du

signal.


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• Interpolation idéale • L’interpolateur parfait consiste à utiliser l’interpolation de Shannon.

• Cette interpolation correspond au filtrage par une fonction fréquentielle de type porte

• Le filtre idéal est non réalisable, car il ne satisfait pas la condition de causalité.

• Reconstruction effective /Filtre de lissage réel • Il est parfois suffisant de se contenter d'un simple blocage du signal à la sortie du convertisseur CNA

• et d'appliquer à ce signal bloqué un filtre passe-bas de fréquence de coupure égale à Fe/2

• On peut aussi effectuer une interpolation linéaire entre les échantillons (� déphasage).

• En Automatique, le filtre reconstituant le plus utilisé est le bloqueur d’ordre zéro.

• Restitution par bloqueur • Dans le cas de la restitution par bloqueur, le spectre du signal initial est déformé de façon

importante par la fonction sinc(.) de pseudo-période Fe


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• La reconstruction est loin d'être parfaite. Les fréquences dans le voisinage de Fe/2 sont mal

reconstituées et il y a encore des composantes parasites au-delà de Fe/2

• Un bon compromis dans la reconstruction est d'accepter de retarder le signal à reconstituer d'une

durée L et d'interpoler les signaux avec un fonction sinc(pi.t) tronquée entre –L et +L et retardée de

L.

• La qualité de la reconstruction dépendra alors de la valeur de L, Plus L sera grand, meilleure sera la

reconstruction.


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• Principe de la quantification • La quantification consiste à représenter la valeur instantanée d'un signal par un nombre sur une

échelle possédant un nombre fini de valeurs.

• Quantification � Appliquer aux échantillons d’un signal s(t) un traitement non-linéaire qui leur fait

correspondre une valeur discrète sq(t) ;

•

• Le signal quantifié sq(t) représente alors le signal s(t) à l'erreur de quantification e(t) près

;

• Le signal e(t) est assimilable à du bruit rajouté au signal par l'opération de quantification

• Le quantum entre 2 valeurs discrètes est appelé échelon de quantification (noté q), si celui-ci est

constant, le quantificateur est dit uniforme.

• En supposant le quantum relativement faible par rapport à la dynamique (plage de valeurs) du

signal, on peut approximer le bruit de quantification (Pe) par la formule suivante :

• Le rapport signal à bruit (S/B) engendré par la quantification :

• Soit, exprimé en décibels :


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• Quantification linéaire /non linéaire

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