I N S A de RENNES Physique 1re Anne de 1er Cycle

TRAVAUX DIRIGES dOPTIQUE

Anne universitaire 2006-2007

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SOMMAIRE

Pages

Slection d'ouvrages 2

Animations optiques avec Cabri 3 Quelques remarques 4 Liste des exercices qui seront traits en TD 5

1. Applications des lois de Snell-Descartes 6 11

2. Miroirs 12 16

3. Dioptres 17 20

4. Lentilles minces 21 22

5. il 23 24

6. Instruments doptique 25 29

Rponses aux exercices 30 31

SELECTION DOUVRAGES OPTIQUE

J.M. BREBEC, P. DENEVE, Optique 1 re anne, exercices et problmes corrigs (collection H. prpa -Hachette )

A. MAUREL, J.M. MALBEC

Optique Gomtrique, rappels de cours et exercices (Belin Sup)

J.P. PARISOT, P. SEGONDS, S. LE BOITEUX

Optique, cours et exercices avec solutions (Dunod)

J.P. PARISOT , S. LE BOITEUX, P. SEGONDS, M. DOBRIJEVIC T D optique (Dunod)

P. BRENDERS, M. SAUZEIX Optique, cours, mthodes exercices rsolus (Les Nouveaux Prcis Bral)

G. SOUM, M. DENIZART, R. JAGUT Travaux dirigs, 1er cycle

Optique gomtrique (Hachette )

2

Animations optiques avec CABRI

De nombreuses figures d'optique ralises avec le logiciel de gomtrie dynamique Cabri-gomtre II sont accessibles des PC du Centre Multimdia en cliquant sur les icnes suivantes: Scientifique optique - cabri-gomtre II - (ouvrir) - optique gomtrique Ces figures sont galement accessibles des rsidences avec votre PC personnel ; pour ce faire :

installer le logiciel Cabri-gomtre II disponible sur le site Intranet INSA (services CRI- services en ligne logiciels)

se connecter au dossier rseau Cabri via : Poste de travail outils - connecter un lecteur rseau \\educ1.educ.insa\apps\cabri avec votre identifiant insa (educ\ login )

Les noms des figures qui se rapportent directement des exercices de ce fascicule sont prciss ci-dessous.

Correspondance exercices TD Optique - Figures ralises avec Cabri

Rpertoire Nom des fichiers (.fig) Rfraction-Dioptres Rflexion-rfraction Rfraction-Dioptres Incidence Brewster Instruments Rfractomtre Pulfrich 1 (liquide) Rfraction-Dioptres Lame faces parallles 1/2 Prismes Prisme 0/1/2/3 (dviation); Prisme 1/2/3 (dispersion) Rfraction-Dioptres Arc-en-ciel 1/2/3/4

Rfraction-Dioptres Mirage infrieur 1/2 (milieu stratifi); Mirage suprieur (milieu stratifi)

Rflexion-Miroirs Miroir plan 1(translation) ; Miroir plan 2 (rotation) Instruments Sextant 1 (principe); Sextant 2 (pratique) Instruments Tlmtre Rflexion-Miroirs Miroir parabolique

Rflexion-Miroirs Miroir sphrique concave 1/2 ; Miroir sphrique concave (stigmatisme)

Lentilles minces Lentille convergente-divergente Lentilles minces Loupe 1/2 Instruments Microscope Instruments Lunette astro 0/1/2 Instruments Tlobjectif Lentilles minces Doublet gnral mnp Rflexion-Miroirs; Rfraction-Dioptres

Miroir sphrique convexe 1/2; Dioptre sphrique (stigmatisme)

PS: vous trouverez d'autres figures sur le site : http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/enseignement/tp/optique

3

Quelques remarques importantes sur le nombre de chiffres significatifs utiliss dans lcriture des constantes physiques

La plupart des constantes physiques sont connues avec une trs grande prcision :

c = 2,997925 108 m.s-1

e = 1,60219 10-19 C

NA = 6,02205 1023 mol-1

me = 9,10959 10-31 kg

Or, on crit souvent, abusivement et pour des raisons de facilit :

c = 3 108 m.s-1

e = 1,6 10-19 C

Il faut tre conscient que cette notation simplifie nest en rien significative de la prcision sur ces

grandeurs. On prendra donc pour habitude de considrer, mme si le nombre de chiffres

significatifs donn dans lnonc est infrieur celui-ci :

h la vitesse de la lumire dans le vide avec 3 chiffres significatifs : c = 3,00 108 m.s-1

h lindice de lair avec 4 chiffres significatifs : no = 1,000

4

Liste des exercices qui seront traits en TD en 2005-2006

(Exercices prparer)

Semaine Sujet de lexercice Exercices

1 Lois de la rfraction 1.01- 1.03 - 1.04 2 Lois de la rfraction 1.06 - 2.01- 2.03 3 Miroirs 2.06 - 2.07 - 2.08 4 Dioptres 3.01- 3.05 - 3.07 5 Lentilles 4.01 - 4.02 6 il 5.01 - 5.02 - 5.05 7 Instruments doptique 6.01 - 6.02

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1 APPLICATIONS DES LOIS DE SNELL-DESCARTES

1-01) Rfraction limite, rflexion totale

Deux milieux homognes et isotropes, dindices respectifs n1 et n2, sont spars par un

plan (P). On considre les rayons lumineux qui passent du milieu dans le milieu en un mme point I de (P) sous des angles dincidence compris entre - /2 et /2.

1) Dans le cas o n1 < n2, cest--dire o le second milieu est plus rfringent que le

premier, dterminer le demi-angle au sommet du cne dans lequel se trouvent les rayons

rfracts.

A.N. : n1 = 1 (air) et n2 = 4/3 (eau).

2) Dans le cas o n1 > n2, dterminer le demi-angle au sommet du cne dans lequel se

trouvent les rayons incidents qui subissent la rfraction en I. Quadvient-il des rayons

incidents extrieurs ce cne ?

A.N. : n1 = 1,5 (verre) et n2 = 1 (air). 1-02) Incidence de Brewster

On considre un rayon lumineux qui se propageant dans lair arrive une interface plane

air(1)-verre(n). Pour quelle valeur iB de langle dincidence, le rayon rflchi dans lair est-

il perpendiculaire au rayon rfract dans le verre?

A.N. Calculer iB pour n= 1,5.

1.03) Une fibre optique saut dindice est constitue par un cylindre (le cur) dindice n1

entour par une enveloppe (la gaine) dindice n2 < n1.

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A.N. : Calculer A et L dans le cas o no = 1, n1 = 1,492 et n2 = 1,417.

Cette fibre est place dans un milieu dindice no et a pour face dentre un plan de section droite. Montrer que tout rayon incident situ dans le plan mridien de la fibre et formant un angle avec son axe reste ensuite prisonnier dans le cur de la fibre si est infrieur une valeur limite L. Exprimer louverture numrique A = sin L de la fibre en fonction des indices no, n1 et n2.

. . . . .

no

n1

n2

n2

1-04) Rfractomtre rflexion totale

On dpose, au centre I de la face horizontale AB dun bloc de verre paralllpipdique

dindice connu N (N lev), une goutte dun liquide dindice inconnu n < N. On claire

lune des faces verticales (BC) par un large faisceau de lumire monochromatique qui

converge en I.

B A

D C

i

I

N

2) Montrer que la connaissance de N et de langle , dfini par la normale la face AD et la ligne de sparation entre la rgion claire et celle qui ne lest pas, permet den dduire lindice n du liquide; donner la formule reliant ces grandeurs.

1) Expliquer ce phnomne.

On visualise sur un cran plac de lautre ct(AD) une zone dombre et une zone fortement claire.

3) A.N. : Sachant que N = 1,626, quel est le domaine dutilisation de cet appareil pour la

mesure de lindice des liquides ?

1.05) On considre une lame faces parallles dpaisseur e et dindice n. Montrer quun rayon

incident quelconque donne un rayon mergent qui lui est parallle. Calculer la translation

du rayon mergent dans la direction perpendiculaire au rayon incident.

1-06) Un prisme dangle A = 60 constitu par un verre dindice n = 1,5 ; il se trouve dans un

milieu dindice 1.

4) Tracer la courbe D(i)

1) Trouver la condition dmergence du rayon incident lorsque A et n sont fixs. 2) Calculer la dviation D du rayon mergent par rapport au rayon incident. 3) Montrer que cette dviation passe par un minimum Dm lorsque i varie. Exprimer Dm en fonction de i et de A.

7

i

A

n

D

1-07) Larc-en-ciel A - Un rayon de lumire monochromatique pntre dans une sphre homogne dindice n

sous lincidence i.

ii

r

1) Calculer la dviation D par rapport au

rayon incident, du rayon mergent aprs p

rflexions partielles lintrieur de la sphre.

2) Montrer que cette dviation passe par un minimum Dm pour une valeur particulire im

de langle dincidence. Calculer cos im.

3) Tracer la courbe D(i) pour n = 43

et p = 1.

B - Un faisceau monochromatique de rayons parallles frappe la sphre. Justifier

sommairement que lintensit de la lumire mergente est maximale au minimum de

dviation. Dans le cas o p = 1, quelle est, dans lespace, lenveloppe de ces rayons

mergents ? Quel est lensemble des positions que peut occuper la sphre si lon veut

observer cette lumire partir dun point ? C - Que se passe-t-il si le faisceau de lumire parallle est polychromatique ?

D - Lorsque le soleil claire un ensemble de gouttes deau sphriques dont lindice varie en

fonction de la longueur donde de la lumire, il se produit le phnomne darc-en-ciel ; on

donne : nR = 1,3317 pour le rouge

nV = 1,3448 pour le violet.

1) Calculer im et la dviation correspondante Dm pour ces deux radiations dans les cas o

p = 1 (arc du 1er ordre) et p = 2 (arc du 2me ordre).

2) Expliquer les couleurs de larc-en-ciel et justifier leur ordre dans les cas p = 1, p = 2. 3) Montrer que le phnomne est de rvolution autour de la droite dfinie par le centre S

du soleil et le centre optique de lil de lobservateur. En dduire les conditions dobservation de larc-en-ciel.

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1-08) Le phnomne des mirages dans un milieu non homogne

A la fin dune journe estivale fortement ensoleille et sans vent, lorsque le sol surchauff

se refroidit moins vite que lair, il apparat un gradient de temprature dans les couches

dair les plus basses. A ce gradient de temprature correspond un gradient de densit (lair

le plus chaud est le plus lger) et donc un gradient dindice (lindice diminue avec la

densit).

On se propose dtudier la trajectoire dun rayon lumineux provenant dun point A situ

laltitude h (indice n0) et faisant un angle io avec la normale au sol, en admettant quau

voisinage du sol lindice n de lair crot avec laltitude z suivant la loi :

n = ns (1 + z) o ns et sont des constantes. Pour cela, on assimile latmosphre une succession de couches homognes infiniment

minces dindices respectifs no, n1, n2,..

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1. Montrer que pour tout rayon pntrant sous langle i dans une tranche dindice n

lattitude z, le produit n.sini reste constant

h

x

z

i0i1

n0

i2i3

n2n1

n(z) x

zz+ z z i

x x+xsol 0

A

n3

2. En considrant qu la traverse dune tranche dair dpaisseur z, le rayon qui pntre sous un angle i, scarte de x par rapport la normale, trouver lexpression qui lie z, x et i ; lcrire sous la forme dune quation diffrentielle du type: dz = f(z) dx en faisant tendre les variations z et x vers les infiniments petits dz et dx (diffrentielles) et en liminant la variable i. 3. Rsoudre lquation diffrentielle et en dduire la trajectoire du rayon lumineux 4. Justifier le phnomne de mirage laide de la figure mirage infrieur 1.fig .

NB : On peut appliquer la mme description pour expliquer les mirages suprieurs observs

par la rfraction de la lumire sur les couches suprieures inhomognes de latmosphre : les

rayons lumineux mis par le soleil (ou une toile) sont alors courbs.

1-09) Optimisation du couplage entre une source lumineuse et une fibre optique

On se propose de trouver le profil dextrmit de fibre qui transforme le faisceau de rayons

divergents mis par une source ponctuelle P (diode laser par exemple) situe la distance

PS f= de la fibre en un faisceau de rayons parallles laxe de la fibre. P est situ dans le milieu dindice 1.

M

P S H

M

n

cur

gaine

gaine

M1

H1

M1

On considre que la fibre a un indice de cur n (fibre saut dindice) et que les ondes qui

sy propagent sont assimiles des ondes planes.

1) Quelle est la proprit commune lensemble des points situs lintrieur de la fibre

dans un plan perpendiculaire son axe ?

2) Calculer les chemins optiques S(PM) et S(PH) en posant HM = r et SH = x 3) En dduire lquation du dioptre air-fibre optique qui ralise le couplage souhait.

Lcrire sous la forme ( )x a

arb

+ =2

2

2

2 1, en prcisant les valeurs des constantes a et b en

fonction des donnes du problme. Quel est le nom de cette surface ?

1-10) La vitesse de propagation des ondes acoustiques dans les solides dpend de la nature du

matriau, mais aussi de son degr daltration et de fissuration.

On se propose dappliquer cette proprit la dtermination de lpaisseur de la roche

microfissure lors du percement dun tunnel. Pour ce faire on place sur la paroi du tunnel,

un metteur (la source sonore) en A et des rcepteurs Bi situs la distance di de A.

Emetteur

BARoche saine Roche fissure

Tunnel

air (0)

Rcepteur

Roche fissure

(1)

Roche saine (2)

1

2 3

4

10

11

Parmi les ondes mises par la source et qui se propagent dans toutes les directions, seules

peuvent tre dtectes par les rcepteurs (cf. figure ci-dessus o les ondes sont reprsentes

par leur direction de propagation) :

- les ondes qui se propagent directement soit dans lair (1), soit dans la roche fissure (2)

- les ondes (3) rflchies linterface roche fissure-roche saine

- les ondes (4) qui pntrent dans la roche saine sous incidence limite, se propagent dans la

roche saine paralllement linterface et sont rfractes vers B.

1) Sachant que les vitesses de propagation de londe sont respectivement vo dans lair

(vo 330 m.s-1), v1 dans la roche fissure et v2 dans la roche saine et que vo < v1 < v2, calculer les temps mis par londe pour parcourir les quatre trajets AB dfinis ci-dessus.

Quel est le plus rapide des trajets (1), (2), (3) ?

2) Exprimentalement, on mesure le temps de parcours de la premire onde qui est reue

par les diffrents rcepteurs ; les rsultats suivants sont ainsi obtenus :

d(m) 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 8,0 10 12 14 16 18 20

t(ms) 0,25 0,50 0,80 1,05 1,27 1,55 1,90 2,25 2,55 2,85 3,15 3,50 3,80

a) Tracer la courbe exprimentale t = f(d) et en dduire les quations des deux demi-

droites qui composent cette courbe. b) Quelle est la premire onde reue par les rcepteurs :

) lorsquils sont placs proximit de la source ? ) lorsquils sont trs loigns de la source ? Pour quelle distance dM ces deux trajets sont-ils quivalents ? c) Dterminer partir du graphe les vitesses de londe dans la zone fissure (v1) et

dans la zone non fissure (v2).

d) Exprimer lpaisseur h de la zone fissure en fonction de dM, v1 et v2. A.N. : Dterminer graphiquement dM et en dduire h.

2 - MIROIRS

2-01) Quel est le dplacement de limage dun point : a) au cours dune translation dun miroir plan ?

b) au cours dune rotation dun miroir plan ? 2-02) Sextant Le sextant est un instrument destin mesurer la hauteur angulaire h des toiles au-dessus

de lhorizon.

Il comporte deux miroirs, lun fixe semi-transparent (F), lautre mobile parfaitement

rflchissant (M), tournant autour dun axe perpendiculaire au plan de figure ci-dessous, plan suppos vertical.

Le miroir (M) est entran par un bras (B) dont lcart angulaire est mesur sur un arc de cercle (C) compter de la position correspondant au paralllisme des deux miroirs

(repre 0).

En orientant convenablement le miroir (M), un observateur peut, au travers de la

lunette (L), superposer limage dun point loign sur lhorizon celle de ltoile qui

lintresse.

Exprimer langle h en fonction de langle .

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2-03) Miroir tournant Une source laser de direction horizontale, met en O un pinceau de lumire parallle qui

atteint priodiquement un satellite S, aprs rflexion sur un miroir plan M, dispos au sol

et anim dun mouvement de rotation autour dun axe passant par M et perpendiculaire au

plan OMS.

Ce satellite est quip dun dispositif catadioptrique capable de renvoyer vers le miroir la

lumire reue de lui.

Au retour, le pinceau lumineux, aprs avoir subi une nouvelle rflexion sur ce mme

miroir, est reu dans une direction carte de 36 par rapport la direction de la lumire

incidente.

Sachant que le miroir tourne avec une vitesse angulaire de 12 tours par minute, calculer la

distance (MS) du satellite, exprime en kilomtres. On ngligera (OM) devant (MS).

Rappel : vitesse de la lumire dans le vide, c = 3,00 108 m.s-1.

2-04) Tlmtre Le tlmtre est un instrument doptique destin mesurer des distances. Le modle le

plus simple (tlmtre pour appareil photographique par exemple) peut tre schmatis (cf. ci-

dessous) par deux miroirs plans M1 et M2 et un systme de vise. Le miroir M1 est

orientable ; M2 est fixe, inclin 45 et semi-transparent. Par construction, le rayon

indirect (2) qui passe par le centre dobservation 0, ne peut subir que deux rflexions

(une sur M1 et une sur M2).

On donne : a = IJ = 9,0 cm ; J0 = b = 1,0 cm.

1) M1 et M2 sont dabord parallles.

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M Calculer pour D = 1, 5, 10 et 100 mtres.

Montrer que lobservateur voit deux

images des points A situs dans la

direction 0J et qui ne sont pas linfini.

Trouver lexpression de lcart angulai-

re des deux images dun point A situ

1

I

M2

1

2

A

I a

J b

M1

O

2) Pour valuer D, on amne en concidence angulaire les deux images du point A en

faisant tourner le miroir M1 dun angle , autour dun axe situ dans son plan passant par I et perpendiculaire au plan de symtrie. Trouver la relation entre , D et les autres donnes. Supposant que lacuit visuelle de lobservateur permette dassurer la concidence 1

minute prs, valuer lerreur possible sur la valeur de D et la calculer numriquement pour

les distances D = 1, 5, 10 et 100 mtres.

3) On vise un objet AB, de hauteur h, perpendiculaire 0J ; montrer que la concidence

ralise rigoureusement pour le point A ne lest pas pour les autres points du plan objet ;

valuer la valeur limite de h pour laquelle le dfaut de concidence reste infrieur lacuit

visuelle de lobservateur pour les distances D gales 5 m et 1 m.

2-05) On dispose trois miroirs plans suivant les faces dun tridre trirectangle avec les faces

rflchissantes lintrieur du tridre. Construire toutes les images dun point lumineux

dans ce systme. En dduire la direction finale dun rayon lumineux qui sest rflchi sur

trois faces. (Application : le cataphote . La lumire mise par les phares dune voiture

est renvoye vers elle, quelle que soit sa position).

Miroirs (xOy), (yOz), (zOx), rflchissants ct M

z

14

M yz M zy2 2=

M xy M yx2 2= M x1

M y1

oy

M3

M

x

M z1

M zx M xz2 2=

2-06) Un miroir dont le sommet O est situ lorigine des axes (x, y) est tangent laxe Oy

en O et il a pour foyer le point F situ sur laxe Ox la distance OF = f.

En utilisant le principe de Fermat, dterminer la forme que doit avoir ce miroir pour que

tous les rayons provenant de linfini, paralllement laxe Ox, convergent en F.

NB : Applications : antennes radars, fours solaires, miroirs astronomiques 2-07) Un miroir sphrique concave a un rayon R = 0,50 m. Quelles sont la position, la grandeur

et la nature de limage dun objet rel de hauteur h = 1,0 cm plac normalement laxe la

distance x du sommet du miroir.

A.N. : x = -0,70 m ; -0,50 m ; -0,40 m ; -0,25 m ; -0,10 m. Mme question pour un objet virtuel plac +0,30 m du sommet du miroir. 2-08) Une cavit confocale symtrique quipant un laser est constitue par deux miroirs

sphriques concaves de mme rayon et de foyers confondus en F, au centre de la cavit.

La distance entre les sommets S1 et S2 des miroirs M1 et M2 est voisine de 15 cm. (Nous

crirons FS FS f2 1= = ). Un point B situ 3,0 cm de laxe et dont la projection A sur celui-ci se trouve la

distance FA = - 4,5 cm, envoie, vers le miroir M2, un pinceau lumineux dans la direction

de laxe optique. Aprs une premire rflexion, la lumire converge en B1 ; elle subit

ensuite une seconde rflexion sur le miroir M1 pour converger en B2 ; une troisime sur le

miroir M2 avec pour image B3 ; une quatrime sur le miroir M1 avec pour image B4.

1) Dterminer la position des quatre points B1, B2, B3, B4.

2) La proprit remarquable qui apparat est-elle lie la position particulire choisie pour

A ou est-elle indpendante de FA ?

N.B. : Dans un laser le miroir M1 est un rflecteur parfait tandis que le miroir M2 est semi-

transparent de manire laisser chapper un faisceau dintensit convenable.

15

2-09) Tlescope de Cassegrain Un miroir sphrique concave reoit des rayons en provenance dune source situe

linfini. Les rayons rflchis par ce miroir tombent sur un miroir sphrique convexe qui les

renvoie dans le plan focal rsultant (normal, en F) travers une ouverture perce dans le

miroir concave.

Calculer la position de ce plan focal rsultant, et la distance focale rsultante du systme

(distance entre le foyer F et le plan qui contient lintersection entre un rayon incident

parallle laxe optique et le prolongement du rayon mergent qui lui correspond).

On donne : Rayon de courbure du miroir concave = 200 cm

Rayon de courbure du miroir convexe = 50 cm

Distance des sommets des miroirs = 80 cm Quelle devrait tre la forme relle des surfaces du miroir quivalent pour que le

systme soit rigoureusement stigmatique pour un point situ sur laxe linfini et le foyer ?

F S1 S2 P2

16

3 DIOPTRES ET SYSTEMES CENTRES DIOPTRIQUES

3-01) Un dioptre sphrique de centre C et de sommet S a un rayon R = 5,0 cm. Un petit objet

AB = 1,0 cm, perpendiculaire laxe CS se trouve la distance CA CS= 2 du centre C. Le dioptre spare deux milieux dindice n et n ; il donne de lobjet AB situ dans le

milieu n deux images, lune par rflexion, lautre par rfraction. Dterminer la position et

la grandeur de ces images dans le cas o n = 1 et n = 1,5.

3-02) Un bton rectiligne AB est demi-plong dans leau avec une inclinaison par rapport la verticale. Quelle est linclination ' de limage de la partie immerge vue par un observateur plac dans lair ?

3-03) Dterminer la position, la grandeur et la nature de limage dun objet de 2,0 mm de hauteur

plac dans lair 5,0 cm de la face plane dune lentille demi-boule. Le rayon de la sphre

est 7,5 cm ; lindice de la lentille est gal 1,5.

3-04) Une lentille demi-boule, en verre dindice n de centre C et de rayon CS R= , dispose dans lair, est claire sur toute sa face plane par un faisceau de lumire parallle son axe optique.

SFx

D x

C+

n

1) Expliquer pourquoi le faisceau mergent nest pas modifi lorsque le verre situ une

distance de laxe suprieure une valeur D (partie grise sur la figure), est limin tout

autour de laxe. Dterminer D et lexprimer en fonction de n et R.

2) Dterminer pour les rayons dont la distance laxe est x [0, D], la position CF x' du foyer image correspondant. Dfinir lintervalle de variation de CF x' ; quelle est la borne qui correspond aux conditions dapproximation de Gauss ? Application numrique pour n =1,5; R = 3,0 cm.

17

3-05) La face sphrique dune lentille demi-boule, en verre (n = 1,5) de rayon 10 cm est

argente. La lumire pntre par lautre face (voir figure).

S

+ B

AC

1) Dterminer la position et la grandeur de limage, travers ce systme, dun objet AB situ 5,0 cm en avant de la lentille. Tracer la marche des rayons lumineux. 2) O se trouvent le centre et le sommet du miroir quivalent ce systme catadiop-trique ?

3-06) Un systme catadioptrique est constitu par une lentille demi-boule, dont la face plane est

argente. On veut connatre lindice du verre qui compose cette lentille. Pour cela, on

claire la lentille laide dun trou- source T.

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Limage de retour du trou T semble rester nette dans le plan P pendant quon dplace la

lentille sur une distance de 5,0 mm sur laxe. On la fixe au milieu de cet intervalle et on

mesure TS = 94 mm 2,5 mm prs. On mesure aussi le rayon de la face sphrique :

S

CS

P

T

SC = (50,0 0,1) mm. Quel est lindice du verre ? Quelle incertitude a-t-on sur sa mesure ?

3-07) Combinaison de dioptres simulant un il

On peut assimiler lil un dioptre sphrique sparant deux milieux d'indice n1 = 1 et n2 =

4/3 et de rayon = 6,0 mm (cf. figure ci-dessous). Ce dioptre est situ 2,0 mm en

arrire de la corne de rayon = 8,0 mm.

_____SC

_____C'S

n 1 = 4/3

S

n = 1 n

S C F

Rtine

A Corne

2

1) La rtine se trouve au foyer-image F de cet ensemble lorsque le milieu prcdant la

corne est l'air (n=1), calculer dans ce cas . _____

'SF

2) Dterminer la position des foyers de chacun des dioptres si le milieu en avant de la

corne est d'indice n= 4/3.

Dans la suite de lexercice, on considrera la distance trs grande devant les

dimensions du systme optique

_____

CA

3) L'observateur regarde sous l'eau (n = 4/3) lil nu un objet A tel que =1,0 m. O

se forme l'image de A : A est-il vu nettement ?

_____

AC

L'observateur est muni maintenant d'un masque de plonge. Le dioptre plan sparant l'eau

de l'air enferm dans le masque est quelques cm en avant de la corne. O se forme

maintenant l'image de A : A est-il vu nettement ?

19

3-08) Une lentille plan-concave dindice n1 = 1,5 et une lentille plan-convexe dindice n2 = 1,6

de mme rayon de courbure SC = R = 20 cm, sont accoles comme schmatis ci-aprs :

EFCQK

n1

S

n2 E est le foyer image du dioptre sphrique de sommet S

F est le foyer image rsultant.

1) Dessiner la trajectoire complte du rayon incident parallle laxe optique reprsent

sur la figure.

2) Calculer, dans les conditions de Gauss, la distance focale rsultante P F2 ' et vrifier

quelle est indpendante de lpaisseur (KS) et (SQ) des lentilles.

2) Dterminer la position des foyers et des plans principaux : on donne SQ = 3,2 cm et

KS = 1,8 cm.

Rappel : La matrice de franchissement du dioptre sphrique est :

1 0

11 2n n

R

La matrice de passage travers les dioptres plans peut tre retrouve partir de celle-ci.

20

4 LENTILLES MINCES

4-01) Un objet de hauteur AB = 1,0 cm est plac devant une lentille, perpendiculairement laxe

optique. A est sur laxe 10 cm du centre optique.

1) La lentille est convergente, de distance focale f = 5,0 cm

a) Construire limage AB de AB donne par la lentille.

b) Dterminer la nature, la taille, le sens et la position de limage.

2) Rpondre aux mmes questions, la lentille tant divergente et sa distance focale tant

gale 2,5 cm.

4-02) Doublet

A) Systme une lentille

On considre une lentille mince convergente L, de centre optique O, de foyers objet F et

image F avec 'ff = = 2,0 cm. 1) Rappeler sans les dmontrer les formules de conjugaison et de grandissement avec origine au centre optique.

2) Soit un petit objet AB =1,0 cm perpendiculaire laxe optique situ entre - et le

foyer objet F tel que - 5,0 cm. =____OAa) Construire limage AB de lobjet AB donne par la lentille. Expliquer votre

construction. En dduire la nature, la taille, le sens, la position de limage ainsi

que le grandissement . b) Retrouver par le calcul les rsultats prcdents.

B) Systme deux lentilles

Pour amliorer la qualit des images donnes par une lentille, on est le plus souvent

conduit l'associer une ou plusieurs lentilles. Un doublet est form de deux lentilles

minces L1 et L2, de distances focales images et et dont les centres O'1f'

2f 1 et O2 sont

spars par une paisseur e dans lair. Un doublet est caractris par trois nombres entiers

(n,m,p) tels que : pf

me

nf '' 21 ==

Dans cet exercice, on se propose dtudier loculaire dun instrument doptique constituant

un doublet du type (4,3,2) form par deux lentilles minces L1 et L2 convergentes tailles

dans le mme verre, de centres optiques O1 et O2. Le doublet ainsi ralis possde une

distance focale rsultante f = 40 mm. La lumire se propage dans le sens O1O2.

21

1) La vergence V dun doublet dpaisseur e sexprime en fonction des vergences V1 et

V2 des lentilles L1 et L2 places dans lair selon la relation de Gullstrand :

2121'1 VeVVVf

V +==

A partir de cette relation, dterminer les distances focales et de L'1f'

2f 1 et L2 ainsi que

leur cartement e = O1O2.

2) a) En introduisant lintervalle optique du doublet = , montrer que les positions des foyers principaux rsultants F et F du doublet sont donnes par :

_______

2'

1 FF

= 2'1_____

1 fFF et = 2'2_____

''2 fFF

Rappel : relations de Newton avec origine aux foyers F et F 2'___________

f'A'FFA =

b) Exprimer et en fonction de , et e. _____

FF1_____

'' FF2'

1f'

2f

c) En dduire les positions des foyers principaux rsultants F et F de cet oculaire (on

exprimera les quantits et ). _______

1FO_______

2 'FO

3) a) On note P le point principal objet et P le point principal image du doublet.

Rappeler la dfinition des quantits et _____PF

_____'' FP .

b) Exprimer les positions et en fonction de , et e. En dduire que pour

tout doublet vrifiant la relation , les plans principaux occupent des positions

particulires.

_______'

1PF_______

2'FP '1f

'2f

eff '' 221 =+

4) On se propose de vrifier la validit des calculs mens prcdemment par une

construction gomtrique. Sur une feuille de papier millimtr :

- placer les foyers objet et image F1 et de la lentille mince L'1F 1 de centre 01 et de distance

focale image . Positionner les plans focaux correspondants. '1f

- placer la lentille mince L2 de centre O2 et de distance focale image . Positionner

galement les foyers objet et image F

'2f

2 et ainsi que les plans focaux de cette lentille. '2F

- dterminer en traant la marche relle des rayons lumineux la position du foyer objet

principal F, du foyer image principal F, du plan principal objet () et du plan principal image () du doublet. En dduire la position des points principaux P et P du doublet. Expliquer la construction. Vrifier que les rsultats issus de la construction graphique sont

en adquation avec ceux calculs au 3). Quelle valeur de f retrouvez vous

graphiquement ? 22

23

5 OEIL

5-01) Le cristallin dun il tant assimil une lentille mince place 15 mm de la rtine.

Lindice externe au cristallin est lair de valeur ne = 1, la rtine est situe dans le milieu interne

lil dont lindice vaut ns = 1,336.

1- Entre quelles limites varie sa distance focale si lil peut voir entre 20 cm et 2,0 m ?

2- Donner dans ces conditions le rayon de courbure du dioptre dentre de lil.

5-02) Un il compltement presbyte (cest--dire dont la facult daccommodation a fortement

diminu) ne peut voir nettement que les objets situs plus de 4,0 m de son centre

optique. Quelle est la nature et la vergence du verre quil faut utiliser pour que cet il

puisse voir nettement 25 cm (on suppose que les centres optiques de lil et du verre

sont confondus) ?

5-03) Un myope ne voit que les objets situs entre 12 cm et 80 cm du centre optique de son lil.

Il achte des verres divergents de 1,25 dioptries. Muni de ses lunettes, entre quelles limites

verra-t-il (on suppose que les centres optiques de lil et du verre sont confondus) ?

5-04) Le P.P. et le P.R. dun il sont situs respectivement 5 cm et 17 cm de son centre

optique. Quelle doit tre la nature et la vergence des verres correcteurs pour quil puisse

voir des objets linfini ? A quelle distance se situe alors son P.P. ? On suppose que les

verres sont positionns 2,0 cm du centre optique de lil.

5-05) Lil, modle de Listing

Un il normal possde une vision nette entre la distance (punctum proximum) et linfini (punctum remotum). Cet il peut tre reprsent par un dioptre sphrique de rayon de

courbure variable (cristallin) et dun cran (la rtine) situ, dans un milieu dindice

n=1,336, la distance de 23 mm du sommet du dioptre (modle de Listing).

De tous les objets AB dont la lumire issue du point B atteint le sommet S de la corne de

lil sous un angle , le cristallin donne, aprs accommodation, une mme image nette A B' ' sur la rtine, lorsque cette accommodation est possible.

+

B

B

A AA

B

S

CR

n = 1,336

mm23,0SR = 1-a) Calculer le rayon de courbure SC du dioptre de Listing pour un il normal au repos.

1-b) Calculer la position dun objet SA = x dans lair qui donne une image nette sur la rtine en fonction du rayon de courbure du dioptre SC = R. Montrer que la position de lobjet change de signe pour une valeur particulire PRSC = RPR. 2) Un oeil affect dun dfaut possde un cristallin qui, passant du repos son tat de

contraction maximale, fait dplacer le centre C de la position SC1 = 6,40 mm la position

SC2 = 5,68 mm.

a) Calculer les positions SA = x vues par cet il dans lintervalle [ 2SC , PRSC ] et [ PRSC , 1SC ].

b) Quelles sont les limites dobservation pour cet il ? Prciser le nom de ce dfaut. c)Une lentille mince correctrice est applique en contact avec la corne S. Quelles sont

la nature et la distance focale de cette lentille, le calcul tant effectu cristallin suppos

au repos ?

3) Une lentille mince convergente, de distance focale f = 194 mm est positionne 15,0

mm en avant de la corne S de cet oeil. Dterminer, dans la position de repos de celui-ci,

cest--dire lorsque SC SC= 1 = 6,40 mm, le foyer rsultant F et la distance focale rsultante 'FP2 de cet ensemble lentille mince - dioptre .

Rappeler la dfinition du point P2.

24

6 INSTRUMENTS DOPTIQUE

6-01) La loupe Un observateur dont la vue est normale veut examiner un objet AB de petites dimensions.

Sa distance minimale de vision distincte ou punctum proximum (PP) est et sa distance maximale ou punctum remotum (PR) est infinie (fig.1).

25

fig.1 fig.2

A

B

PR( ) PP()

Zone de vision distincte

1) Quel est langle maximal o sous lequel il peut examiner un objet AB lil nu (fig.2)?

2) Lobservateur utilise une lentille mince convergente de distance focale f pour obtenir

une image virtuelle plus grande que lobjet. Il dispose son oeil C la distance x = F C'

du foyer image de cette loupe. Il place lobjet la distance y = FA du foyer objet.

Quel est langle sous lequel apparat limage observe ?

C

x Ff

y

AF

O

3) Exprimer le grossissement de la loupe G = tantan

o

en fonction de f, , x et y. Quelle est la valeur de celui-ci dans les conditions idales dobservation (lil est au repos

lorsquil observe linfini) ?

A.N. : = 25 cm ; f = 5,0 cm. Calculer la valeur de G pour une observation au punctum remotum de lil et tracer la courbe G(x) pour une observation au punctum proximum.

Quelles sont dans ce dernier cas les valeurs limites de x qui donnent G 1 ? 4) Lil tant positionn de sorte que f + x , trouver la profondeur de champ, cest-- dire la distance sur laquelle on peut dplacer lobjet pour que limage se fasse dans le

champ de vision de lobservateur. La calculer quand x = 0.

5) La pupille, de rayon r = 3 mm est centre en x = f. Dessiner lchelle le faisceau

lumineux qui part du point B lorsque A est au foyer F, f = 5,0 cm et AB = 6 mm. Justifier

la construction.

6-02) Un microscope est assimil deux lentilles minces convergentes ayant les caractristiques

suivantes :

- distance focale de lobjectif : f1 = 0,50 cm

- distance focale de loculaire : f2 = 2,0 cm

- distance des centres optiques de lobjectif et de loculaire : 16 cm. 1) Construire limage dfinitive A'B' donne par cet instrument, dun objet AB situ une

distance OA de lobjectif suprieure sa distance focale.

2) Quelle doit-tre la position de lobjet pour que la vision de limage A'B' se fasse

linfini ? Calculer dans ces conditions :

a) le grandissement transversal de lobjectif

b) la puissance Pi (intrinsque) du microscope en dioptries sachant que P ABi= tan

( dsignant langle sous lequel on voit limage A'B' travers linstrument ; AB tant exprim en mtre)

c) le grossissement commercial Gco

= tantan

, o o reprsente langle sous lequel est

vu lobjet lil nu la distance minimale de vision distincte normalise = 25 cm.

3) Calculer la latitude de mise au point (ou profondeur de champ) pour un oeil normal dont

le champ de vision est compris entre 25 cm et linfini, dont la pupille est place au foyer

principal image de loculaire.

6-03) La lunette astronomique : On regarde la lune avec une lunette astronomique afocale

quon assimile deux lentilles minces convergentes : un objectif et un oculaire de distances

focales respectives 4,0 m et 10 cm. Le diamtre utile de lobjectif, dfini par son diaphragme

douverture, est = 0,50 m. 1) Dessiner la marche dun faisceau lumineux issu dun point situ linfini.

2) Exprimer et calculer le grossissement de la lunette.

3) Calculer le diamtre du cercle oculaire (image du diaphragme douverture travers

loculaire).

4) Lobservation de la lune donne une image dont le diamtre angulaire est 21,1. Quelle

est la hauteur angulaire relle de la lune ? Quel est son diamtre si la distance Terre-

Lune est 3,8.105 km ?

26

6-04) On constitue un tlobjectif en associant une lentille infiniment mince convergente 01 de

distance focale f1 et une lentille infiniment mince divergente 02 de distance focale f2 quon place une distance d lune de lautre. La plaque photographique P est place

derrire la lentille 02 une distance l de la lentille 01, dans le plan focal image du tlobjectif. 1) Dterminer la distance focale f2 de la lentille divergente en fonction de f1, d et l. A.N. : f1 = 15 cm ; d = 10 cm ; l = 25 cm. 2) Calculer la distance focale rsultante f de ce tlobjectif. 3) Quelle est la dimension de limage dun objet trs loign vu sous un angle de 1 minute: a) lorsquon utilise le tlobjectif ?

b) si on remplace le tlobjectif par une seule lentille 01 en gardant l constante.

6-05) Un objet trs loign est vu lil nu sous un angle = 34 23. Son image (HI) travers un dispositif optique est obtenue sur un cran. On dsire que la hauteur de celle-ci soit

gale 1,0 cm. CO H

I

1) 1er dispositif

On utilise une seule lentille mince de centre O. Quels sont : la nature de la lentille, sa

distance focale et lencombrement (OH) de lappareil ?

2) 2me dispositif On dispose au point O une lentille convergente (distance focale : 20,0 cm) suivie au point

C dune lentille divergente (distance focale : 5,0 cm) et de lcran. Calculer la position du

point C et le nouvel encombrement (OH) de lappareil.

6-06) Une loupe de STANHOPE est un cylindre de verre (indice n = 1,5) dont la face dentre

est plane et dont la face de sortie est sphrique (rayon CS = R = 1,0 cm), convexe vers

lair. Elle permet lobservation linfini dun microfilm AB plaqu contre la face plane.

HA

+

+B

C S. . . .

27

1) Exprimer lpaisseur HS de cette loupe en fonction de n et R. Application numrique.

2) Quel est langle sous lequel est vu lobjet AB examin travers la loupe ? Quel est langle o sous lequel le mme objet est vu loeil nu, la distance minimale de vision distincte ( = 25 cm). Calculer le grossissement G = tan

tano

.

3) On dplace lobjet AB paralllement lui-mme de telle sorte que HA = x. On repre

par SA" la position de limage A B" " de lobjet AB travers la loupe et on dsigne par le grandissement obtenu.

a) Exprimer SA" et en fonction de x et de coefficients numriques. b) Tracer le graphe SA" (x) et en tirer une conclusion sur la latitude de mise au point

pour lobservation du microfilm.

6- 07) Lentille achromat Un systme centr est constitu de trois dioptres sphriques de mme centre C.

Le dioptre 1 spare le milieu dindice 1 du milieu dindice n1 : 1CS = - R ; R > 0 Le dioptre 2 spare le milieu dindice n1 du milieu dindice n2 : 2CS = aR ; (0 < a < 1) Le dioptre 3 spare le milieu dindice n2 du milieu de sortie dindice 1 : 3CS = R.

28

Un point objet situ dans le milieu dentre dindice 1 est repr par sa position par rapport au centre CA = - xR (x > 1).

xS1 S3S2C A

nn

Axe

1 1

1) a. Trouver la position dun point image 1CA obtenue partir de lobjet CA = - xR par

le dioptre sphrique 1. On la donnera sous la forme :

x),(nfCA

R11

1

=

b. Donner limage A2 de lobjet A1 prcdent par le dioptre 2 sous la forme :

=2CA

R f2 (n1, n2, x, a).

c. Donner la position de limage finale A de lobjet A2 par le dioptre 3 de sortie,

sous la forme : =CA'R f3 (n1, n2, x, a).

2) a. Donner en utilisant le rsultat prcdent, la position CF' du foyer image du systme

sous la forme : =CF'R f (n1, n2, a)

b. Montrer que si on veut que la position CF' soit indpendante des indices n1 et n2, alors

on doit avoir la relation suivante :

a =

1

2

1

2

nn1

nn-1

+

et que dans ce cas, on trouve la relation : =CF'R 2.

29

3) Dans lhypothse o la position de CF' est indpendante des indices, montrer en utilisant

le rsultat dmontr la question 2b, que la relation de conjugaison devient :

A(1) A(1) )3S2S1(Scentr systme3CS

2CA1-

CA'1 =

Remarque : Ce dispositif permet de raliser un systme optique achromatique (la position de

limage est indpendante de la longueur donde).

REPONSES AUX EXERCICES

1 Applications des lois de Snell-Descartes

1-03) Fibre optique A = 0,4671 ; L = 27,85

1-04) Rfractomtre 1,282 n 1,626 1-07) Arc en ciel D) 1) p = 1 imR = 59,49 et DmR = 137,74 imV = 58,73 et DmV = 139,62

30

p = 2 imR = 71,88 et DmR = 230,52 imR = 71,46 et DmV = 233,93

1-10) Ondes acoustiques 1) trajet (2) 2) c) v1 = 3,9 km/s ; v2 = 6,5 km/s d) h= 1,7 m 2 Miroirs 2-02) Sextant h = 2 2-03) Miroir tournant MS = 3,75 107 m

2-09) Cassegrain 'FS2 = 100 cm ; f = 500 cm

3 Dioptres

3-01) Rflexion 'SA = 1,7 cm ; 'BA' = 0,33 cm

Rfraction 'SA = - 15 cm ; 'BA' = 2,0 cm

3-03) demi-boule 'SA = - 30 cm ; "BA" = 6,0 mm

3-04) demi-boule 2) xCF' [4,0 cm ; 9,0 cm]

3-05) demi-boule 1) 'CA = 2,0 cm ; = - 0,4 3-06) demi-boule n = 1,53 0,02 3-07) combinaison 1) SF' = 24 mm 2) 1

'F'S = - 24 mm ; 1'FS = 32 mm

2SF' = 24 mm ; 2FS = - 18 mm 3) 'CA = - 32 mm ; ''SA = 78 mm

3-08) Plan concave et matrices 2) 'FP2 = 2,0 m

4 Lentilles minces 4-01) Lentille mince 1) b) OA' = 10 cm ; = - 1

2) OA' = - 2 cm ; = 0,2

4-02) Doublet A) 2) 'OA = 3,3 cm ; = -0,66 B) 1) f1 = 60 mm; f2= 30 mm ; e = 45 mm 2) c) FF1 = 80 mm;

'2

' FF = -20 mm ; FO1 = 20 mm; '

2FO = 10 mm

5 il

5-01) il assimil lentille mince 1,40 1,49 cm

5-02) il presbyte V = 3,75 5-03) il myope 14,1 cm et linfini

5-04) il corrig V = -6,67 ; 5,75 cm 5-05) Modle Listing 1) SC = 5,78 mm 3) SF' = 23,0 mm ; F'P2 = 24,9 mm

6 Instruments doptiques

6-01) Loupe 3) G = 5,0

6- 02) Microscope 2) OA = - 0,52 cm ; obj = - 27 ; Pi = 1350 ; Gc = 337,5 2) 2 m

6-03) Lunette astronomique 2) G = 40 3) 1,3 cm

3) 3,7 103 km

6-04) Tlobjectif 1) f2 = - 7,5 cm 2) f = 45 cm 3) a) B'A' = - 130 m

b) B'A' = - 73 m 6-05) Objet trs loign vu la lentille 1) OF' = 1,0 m ; OH = 1,0 m 2) OC = 16 cm ; OH = 36 cm

6-06) Loupe de Stanhope 1) HS = 3,0 cm 2) C = 13

31

PagesSlection d'ouvrages 2 J.M. BREBEC, P. DENEVE, Optique 1 re anne, exercices et problmes corrigs J.P. PARISOT , S. LE BOITEUX, P. SEGONDS, M. DOBRIJEVIC Animations optiques avec CABRI

Liste des exercices qui seront traits en TD en 2005-2006 (Exercices prparer)REPONSES AUX EXERCICES