TDA4-Correction 1...

PSI - 2011/2012 1

TD A4 - Correction

1 Résultante des forces de pression1. La force pressante s'exerçant sur un élément de surface −→dS du corps s'écrit : −→dF = −P0

−→dSLe corps étant sphérique, deux éléments symétriques par rapport au centre du corps subissentdes forces opposées. Par conséquent, la résulante des forces de pression est nulle.

2. (a) En appliquant le théorème d'Ostrograski à la surface fermée, on obtient, pour toutefonction scalaire f , et pour tout vecteur −→u constant :

−→u ·∫∫

f−→dS =

∫∫(f−→u ) · −→dS =

∫∫∫div (f−→u ) dτ

Or, en utilisant une formule d'analyse vectorielle, on obtient :∫∫∫

div (f−→u ) dτ =∫∫∫

−→u · −−→grad (f) dτ +∫∫∫

f div (−→u ) dτ

Le vecteur −→u étant constant, on en déduit :

−→u ·∫∫

f−→dS = −→u ·

∫∫∫ −−→grad (f) dτ

(b) La propriété précédente étant valable quel que soit le vecteur −→u constant, on en déduit :∫∫

f−→dS =

∫∫∫ −−→grad (f) dτ

En appliquant cette expression à f = P0, la pression P0 étant uniforme, −−→grad (P0) =−→0 ,

et donc : ∫∫P0−→dS =

−→0

On en déduit la propriété importante suivante :

La résulante des forces de pression s'exerçant sur un corps de forme quelconque estnulle lorsque celui-ci est placé dans un champ de pression uniforme.

2 TD A4 - Correction

3 Convoyeur de minerai1. Faisons un bilan de quantité de mouvement pour le système fermé constitué d'une part

du minerai situé à l'instant t sur le convoyeur, et d'autre part du minerai allant rentrer sur leconvoyeur entre les instants t et t + dt (notons que le minerai situé sur le convoyeur constitueun système ouvert).Le bilan de quantité de mouvement pour le système fermé s'écrit donc :• A l'instant t :

−→p (système fermé à t) = −→p (minerai sur le tapis à t)+−→p (minerai qui va rentrer sur le tapis entre t et t+dt)

• A l'instant t + dt :

−→p (système fermé à t+dt) = −→p (minerai sur le tapis à t+dt)+−→p (minerai sorti du tapis entre t et t+dt)

Puisqu'on se place en régime stationnaire, la quantité de mouvement du minerai présentsur le convoyeur (système ouvert) à l'instant t + dt est identique à celle du minerai présentsur le tapis à l'instant t :

−→p (minerai sur le tapis à t+dt) = −→p (minerai sur le tapis à t)

Sachant que le minerai est immobile dans le réservoir avant de tomber sur le tapis, on endéduit que :

−→p (minerai qui va rentrer sur le tapis entre t et t+dt) ' −→0

On considère de plus que ce minerai n'aquiert qu'une quantité de mouvement négligeable enarrivant sur le tapis (cette faible composante est de toute façon verticale et est absorbée parle tapis roulant)De plus :

−→p (minerai sorti du tapis entre t et t+dt) = ρDV−→v (t + δt)dt

En divisant par δt et en faisant tendre δt vers 0, le bilan permet donc d'écrire en projectionsur l'axe horizontal :

Dp

Dt= ρDV v

• Appliquant ensuite le théorème de la résultante cinétique au système fermé :

Dp

Dt= Ftapis→minerai

où Ftapis→minerai est la force exercée par le tapis roulant sur le minerai.

• En identi�ant les deux expressions deDp

Dt, on en déduit :

Ftapis→minerai = ρDV v

A.N. : Ftapis→minerai = 3.103 ∗ 10/60 ∗ 20.103/3600 soit Ftapis→minerai = 2, 8.103N

C'est une force assez importante (elle correspond au poids d'une masse de 280 kg).

PSI - 2011/2012 3

2. A�n de déterminer la puissance du moteur à installer, appliquons le théorème de l'énergiemécanique à l'ensemble fermé mais déformable constitué du tapis et de son mécanismed'entraînement :

DEm

Dt=

DEc

Dt+

DEp

Dt= Pmoteur→tapis + Pfrottements + Pminerai→tapis

orDEc

Dt= 0 en régime stationnaire et

DEp

Dt= 0 car le centre de gravité de l'ensemble reste

immobile. On en déduit :

Pmoteur→tapis = −Pfrottements − Pminerai→tapis

De plus,

Psable→tapis = Fminerai→tapis · −→v tapis = −Fminerai→tapis · −→v tapis = −ρDV v2

En négligeant les frottements (notons que la présence de frottements augmenteraient la puis-sance nécessaire au fonctionnement du tapis car Pfrottements < 0), on obtient �nalement :

Pmoteur→tapis = ρDV v2 = 15 kW

Le résultat paraît raisonnable car un moteur de petite voiture fait environ 70 ch (avec 1 ch =736 W), soit environ 50 kW. La puissance requise est donc celle d'un petit moteur.

5 Wagon sous la pluie1. E�ectuons un bilan de quantité de mouvement pour le système fermé constitué du wagon,

de l'eau qu'il contient à l'instant t (masse m(t) = Dmet) et de l'eau qu'il va recevoir entre tet t + dt.

Sa quantité de mouvement est :� à l'instant t : −→p (t) = (m0 + m(t))v(t)−→u x + Dmedt−→v pluie

� à l'instant t + dt : −→p (t + dt) = (m0 + m(t + dt))v(t + dt)−→u x

Le wagon est soumis à son poids et à la réaction des rails. Les deux forces verticales nese compensent pas, car le bilan de quantité de mouvement fait apparaître une variation dequantité de mouvement verticale dûe à la pluie. Cependant, la projection de ces trois termessuivant l'horizontale est nulle.

Ainsi, le théorème de la résultante cinétique projeté sur −→ux conduit à

px(t + dt)− px(t) = 0

soit (m0 + Dt)v(t) = cste car vpluie n'a pas de composante sur −→ux.

On a donc (m0 + Dmet)v(t) = m0v0, d'où

v(t) =m0

m0 + Dmetv0

Remarque : On peut retrouver ce résultat en utilisant la même méthode qu'à la question sui-vante.


2. E�ectuons un bilan de quantité de mouvement pour le système fermé constitué du wagonet du minerai qu'il contient à l'instant t. À l'instant t+dt, il est constitué du wagon, du mineraiqu'il contient et de la masse Dmdt qui en est sorti, à la vitesse −→v (t) +−→u = (v(t)− u)−→u x parrapport au sol.

Sa quantité de mouvement est :� à l'instant t : −→p (t) = (m0 + m1 −Dmt)v(t)−→u x

� à l'instant t + dt : −→p (t + dt) = (m0 + m1 −Dm(t + dt))v(t + dt)−→u x + Dmdt(v(t)− u)−→u x

Notons que le terme souligné peut être pris indi�éremment en t ou t+dt car le terme correctifentre les deux cas est du deuxième ordre.Le wagon est soumis à son poids, à la réaction des rails et à la force tractrice −→F = F−→u x.Cette fois-ci, les deux forces verticales se compensent à tout instant.

Le théorème de la résultante cinétique projeté sur −→ux conduit, au premier ordre, enutilisant v(t + dt) = v(t) + dv, à :

Fdt =D−→pDt

dt = px(t + dt)− px(t)

= (m0 + m1 −Dm(t + dt))(v + dv) + Dmdt(v − u)− (m0 + m1 −Dmt)v= (m0 + m1 −Dmt)dv −Dmudt

À l'instant t, son accélération est donc

a(t) =dv

dt=

F + Dmu

m0 + m1 −Dmt

Cette expression est valable tant qu'il reste encore du minerai, donc jusqu'à t1 =m1

Dm.

Au-delà de t1, la masse du système reste constante et a(t) =F

m0.

La vitesse est :

v(t) =

F + Dmu

Dmln

(m0 + m1

m1 + m0 −Dmt

)pour t ≤ t1

F + Dmu

Dmln

(m0 + m1

m0

)+

F

m0(t− t1) pour t > t1

PSI - 2011/2012 5

6 Mascaret3. (a) Les deux relations obtenues aux questions précédentes donnent une équation du second

degré en v dont on ne garde que la solution positive :

v =

√gh2

2h1(h1 + h2)− v1

La vitesse du mascaret augmente quand h1 diminue, c'est donc au moment des basseseaux que le mascaret est plus rapide.

(b) Les relations précédentes donnent :

v2 = v1 + (h2 − h1)

√g(h1 + h2)

2h1h2

La vitesse v2 peut être aussi bien positive que négative. Dans le premier cas, le �euves'écoule vers la mer, dans le second cas, la mer remonte le �euve, ce que l'on observe bienlors de certains mascarets.


7 Tourniquet hydraulique1. Commençons par dé�nir les sytèmes utilisés pour la résolution de l'exercice :• Nous appellerons (Σo) le système ouvert correspondant à l'eau située dans le tourniquetà l'instant t. C'est un système ouvert car de l'eau rentre par la base du tourniquet, et de l'eausort par les deux tubes situés en haut de l'appareil.• Considérons également le système fermé (Σf ) représenté sur la �gure ci-dessous, constitué :. à l'instant t, du système ouvert (Σo) et de la masse δme d'eau qui va rentrer dans le tour-

niquet entre t et t + δt.Son moment cinétique par rapport au point O vaut, sachant que la masse δme a un momentcinétique nul car son mouvement se fait suivant l'axe de rotation du tourniquet :

LOz(t) = Jω(t)

A

BO

R

ω

C

u r

uθ

A

BO

R

ω

C

u r

uθ

δmδmee

δmδms,As,Aδmδms,Bs,B

. à l'instant t + δt, du système ouvert (Σo) à l'instant t+δt, et des masses δms,A et δms,B d'eauqui ont été éjectées du tourniquet entre t et t + δt.

Sachant qu'en chacun des deux points A et B, le débit est deDV

2, les masses sorties pendant δt

s'écrivenet : δms,A = δms,B =DV µδt

2. On en déduit également la vitesse d'éjection v∗ de l'eau

dans le référentiel du tourniquet, qui véri�eDV

2= sv∗.

La vitesse de l'eau en A et B dans le référentiel du sol est donc donnée par−→v A = −→v B = (Rω − v∗)−→u θ =

(Rω − DV

2s

)−→uθ

Le moment cinétique du système (Σf ) à l'instant t + δt par rapport au point O vaut donc :

LOz(t + δt) = Jω(t + δt) +[−→OA ∧ δms,A

−→v A +−→OA ∧ δms,B

−→v B

]· −→u z

= Jω(t + δt) + 2×R−→u r ∧DV µδt

2(Rω − DV

2s)−→u θ · −→u z

= Jω(t + δt) + µRDV (Rω − DV

2s)δt

• Un bilan de moment cinétique suivant l'axe (Oz), e�ectué dans le référentiel ter-restre (Rg) entre t et t + δt donne :

DLz = LOz(t + δt)− LOz(t)

= J [ω(t + δt)− ω(t)] + µRDV

(Rω − DV

2s

)δt

= JdLOz

dtδt + µRDV

(Rω − DV

2s

)δt

PSI - 2011/2012 7

On en déduit �nalement, en divisant l'expression par δt, et en faisant tendre δt vers 0 :

DLz

Dt= J

dω

dt+ µRDV

(Rω − DV

2s

)

2. On va maintenant confronter cette équation avec celle du théorème du moment cinétique a�nde déterminer la vitesse de rotation du tourniquet au cours du temps.

Les seules forces s'exerçant sur le tourniquet sont :� le poids, dont la direction est parallèle à l'axe (Oz), et a donc un moment nul par rapport

à z.� les forces de pression, dont le moment est nul car la pression est uniforme égale à la

pression atmosphérique P0 tout autour du système. En fait, ceci est vrai partout sauf en Coù la pression exercée par l'eau est supérieure à P0. Cependant, le fait de remplacer PC parP0 n'a aucune incidence sur le calcul du moment, car les forces de pression en ce point sontdirigées suivant (Oz), et ont un moment nul.

L'application du théorème du moment cinétique en O �xe donne donc :

DLz

Dt= 0

Finalement, en introduisant les grandeurs

τ =J

µR2DV

ω∞ =DV

2sR

, on obtient l'équation di�érentielle

du premier ordre suivante véri�ée par ω(t) :

dω

dt+

ω

τ=

ω∞τ

qui s'intègre, sachant que ω(t = 0) = 0, en :

ω(t) = ω∞

1− e

−t

τ

La vitesse augmente rapidement, et tend vers une valeur limite ω∞ après un temps caracté-ristique τ .

ω(t)ω

tτ0

Véri�ons l'homogénéité des grandeurs introduites :

• [τ ] =[J ]

[µR2DV ]=

ML2

ML−3L2L3T−1= T : τ est donc bien homogène à un temps.

• [ω∞] =[DV ][2sR]

=L3T−1

L2L= T−1 : ω∞ est donc bien homogène à une pulsation.


8 Fonctionnement d'un "turbo-compresseur"1. (a) • En appliquant le premier principe pour les systèmes ouverts au turbocompresseur, on

trouve :w12 = h2 − h1 = cp(T2 − T1) ⇒ w12 = 103 × (513− 300) = 213 kJ.kg−1

P12 = Dm(h2 − h1) = Dm cp (h2 − h1) ⇒ P12 = 213 kW

w12 > 0 : le �uide reçoit du travail au cours de la compression.• En appliquant le premier principe pour les systèmes ouverts à la turbine de détente,

on trouve :w34 = h4 − h3 = cp(T4 − T3) ⇒ w34 = 103 × (760− 1300) = −540 kJ.kg−1

P34 = Dm(h4 − h3) = Dm cp (h4 − h3) ⇒ P34 = −540 kW

w34 < 0 : le �uide fournit du travail au cours de la détente.• Le travail massique utile sur l'arbre d'entraînement vaut

wu = w12 + w34 = cp(T4 + T1 − T3 − T2) = −323 kJ.kg−1

La puissance disponible sur l'arbre (A) vaut doncPi = −323 kW

Cette puissance peut être utilisée sous forme mécanique.• En appliquant le premier principe pour les systèmes ouverts à la chambre de combus-

tion, on trouve :q23 = h3 − h2 = cp(T3 − T2) ⇒ q23 = 103 × (1300− 513) = 787 kJ.kg−1

P23 = Dm(h3 − h2) = Dm cp(T3 − T2) ⇒ P23 = 787 kW

La combustion du mélange {air+carburant} permet de fournit de la chaleur au gaz.(b) Le rendement thermodynamique du moteur est dé�ni par

η =puissance utile

puissance coûteuse =− Pi

P23=

T4 + T1 − T2 − T3

T3 − T2= 41, 5%

C'est un rendement relativement faible mais caractéristique des machines thermiques.

2. (a) Au cours d'une transformation adiabatique irréversible, ∆s = sc > 0 : l'entropie aug-mente. La compression et la détente adiabatiques ne correspondent plus à des segmentsverticaux dans le diagramme (T, s).

(b) Le travail réel massique reçu par le gaz dans le turbocompresseur vaut

w′12 =w12

ηsc=

cp(T2 − T1)ηsc

Mais par application du premier principe pour les systèmes ouverts :w′12 = h′2 − h1 = cp(T ′2 − T1)

On en déduit

T ′2 − T1 =T2 − T1

ηscsoit T ′2 =

1ηsc

T2 + T1

(1− 1

ηsc

)

Numériquement, on trouve

T ′2 =1

0, 80× 513 + 300×

(1− 1

0, 80

)= 566 K

PSI - 2011/2012 9

9 Jet d'eau de Genève1. Le débit volumique vaut : DV = πa0

2v0, donc :

v0 =DV

πa20

' 56 m.s−1

La hauteur maximale du jet s'obtient en appliquant le théorème de l'énergie cinétique àune goutte d'eau (on aurait pu également utiliser le principe fondamental de la dynamique,mais la méthode choisie est plus rapide). En l'absence de frottement, toute l'énergie cinétiqueinitiale est convertie en énergie potentielle de pesanteur, soit :

12

mgoutte v02 = mgoutte gh

On en déduit :h =

v02

2g' 160 m

C'est une hauteur importante pour un jet d'eau, mais vu la photo, cet ordre de grandeurparaît raisonnable.

2. L'eau pouvant être considérée comme un �uide incompressible, le débit volumique seconserve. On peut en déduire la vitesse de l'eau dans la grande canalisation en négligeant l'in-�uence de la viscosité de l'eau sur la paroi, de sorte que le pro�l de vitesse dans la canalisationest considéré comme uniforme :

DV = πa02v0 = πa1

2v1

On en déduit :v1 =

DV

πa21

' 0, 6 m.s−1

La vitesse est beaucoup plus faible qu'en sortie, puisque le diamètre de la canalisation estbeaucoup plus important.On est ici dans les conditions d'application de la formule de Bernoulli puisque l'écoulementest parfait, incompressible, et permanent. Le long d'une ligne de courant entre le début de lagrande canalisation et l'ori�ce de sortie, on peut donc écrire :

P0 +v0

2

2+ gz0 = P1 +

v12

2+ gz1

Or, les deux points considérés sont presque à la même altitude, donc z0 ' z1. De plus, l'eauest à la pression atmosphérique P0 au niveau de la sortie du jet (voir exercice sur le jet sortantdu robinet). Finalement :

P1 = P0 +µ

2(v20 − v2

1

) ' 17.105 Pa = 17 bar

Cette valeur est élevée : la pompe doit donc être très puissante a�n de réaliser un telle pression.


3. E�ectuons un bilan d'énergie cinétique pour le système fermé constitué1� à l'instant t : de l'eau dans la canalisation et de l'eau qui va rentrer en amont de la pompe

entre t et t + dt ;� à l'instant t + dt : de l'eau dans la canalisation et de l'eau qui est sortie par l'ori�ce entre t

et t + dt.L'énergie cinétique du système à l'instant t vaut :

Ec(t) = Ec ∗ (t) +DV µdt ve

2

2' E∗

c (t)

où E∗c (t) est l'énergie cinétique de l'eau dans la canalisation à l'instant t. Nous avons négligé

le second terme dans l'expression précédente car ve ' 0.L'énergie cinétique du système à l'instant t + dt vaut :

Ec(t + dt) = Ec ∗ (t + dt) +DV µdt v0

2

2

On en déduit la variation d'énergie cinétique entre t et t+dt en suivant le système fermé :

DEc = Ec(t + dt)−Ec(t) = E∗c (t + dt)− E∗

c (t) +DV µdt v0

2

2=

DV µdt v02

2

où E∗c (t + dt)− E∗

c (t) = 0 en régime stationnaire.Appliquons maintenant le théorème de la puissance cinétique au système fermé précédent.Celui-ci est soumis uniquement à son poids, qui est compensé par la réaction des parois, auxforces de pression, qui sont uniformes tout autour du système et égales à P0, et à l'action dela pompe sur l'eau. On en déduit :

DEc

Dt= P0

Finalement :P0 =

DV µv02

2' 7, 8.105 W

C'est une puissance importante, mais le résultat paraît raisonnable car, à titre de comparaison,un moteur de petite voiture fait environ 70 ch et 1 ch = 736 W, soit environ 50 kW. Lapuissance requise est donc celle d'une dizaine de moteurs de voiture.

4. On véri�e tout d'abord bien que P∞ > P′. Il y a donc un surplus d'énergie qui a été dissipé.Appliquons maintenant le premier principe de la thermodynamique généralisé au sys-tème fermé précédent, a�n de faire intervenir des grandeurs mécaniques et thermodynamiques.Il conduit directement à :

P1 − P0 = DV µc∆T

On en déduit donc :∆T =

P1 − P0

DV µc' 0, 1 ◦C

La di�érence de température est donc négligeable : le fonctionnement du jet d'eau ne risquedonc pas de réchau�er l'eau du lac et de mettre en danger la vie des poissons...

1Notons qu'on aurait pu choisir comme système fermé le �uide contenu dans la pompe uniquement et de l'eauqui va rentrer entre t et t + δt. La seule di�érence est qu'il faut tenir compte de la puissance des forces de pressionpuisque la pression n'est plus uniforme sur l'ensemble des frontières du système. On retrouverait cependant le mêmerésultat, en faisant le lien avec la vitesse en sortie de canalisation en utilisant l'équation de Bernoulli.

PSI - 2011/2012 11

10 Mélange de deux courants �uides

PSI - 2011/2012 13

11 Action d'un jet d'eau sur une plaque �xe ou mobile1. Question préliminaire

Considérons un écoulement parfait, en régime stationnaire, dont les lignes de courant sontrectilignes et parallèles. Le champ des vitesses est nécessairement suivant une seule directionde l'espace que nous appelerons x (ce choix ne restreint pas l'étude à un jet horizontal car onnéglige la pesanteur et l'espace est donc isotrope) : −→v = vx

−→ux.L'équation d'Euler s'écrit simplement, en négligeant la pesanteur et les forces de viscosité :

µD−→vDt

= −−−→gradP

Par projection suivant les trois directions de l'espace, on obtient en régime stationnaire :

µvx∂vx

∂x= −∂P

∂x

0 = −∂P

∂y

0 = −∂P

∂z

Les deux dernières équations montrent que la pression est constante dans toute section del'écoulement. De plus, par continuité de la pression avec le milieu extérieur, on en déduit quel'ensemble du jet est à la même pression que la pression ambiante Pa.

2. Plaque inclinée(a) En régime stationnaire, on a la conservation du débit massique, qui donne :

Dm = Dm1 + Dm2

(b) Considérons le système fermé (Sf ) constitué à l'instant t du �uide représenté sur la �gureet de la masse dm de �uide entrant dans le volume délimité sur la �gure entre les instantst et t+ dt. À l'instant t+ dt, le système est constitué du �uide dans le volume représentésur la �gure (partie commune), et des deux masses dm1 et dm2 sorties en bas et en hautde la plaque entre t et t + dt.

E�ectuons un bilan de quantité de mouvement pour le système fermé précédentauquel on ôte la plaque :• à l'instant t : −→p (t) = −→p com(t) + Dmdt−→v• à l'instant t + dt : −→p (t + dt) = −→p com(t + dt) + Dm1dt−→v 1 + Dm2dt−→v 2

On en déduit que :

D−→pDt

= Dm1 dt−→v 1 + Dm2 dt−→v 2 −Dmdt−→v

où l'on a utilisé qu'en régime permanent : −→p com(t + dt) = −→p com(t).(c) Les forces s'exerçant sur le système sont le poids (qu'on négligera d'après l'énoncé), les

forces de pression exercées par l'air sur le �uide, et les forces de pression exercées par laplaque sur le �uide.

La résultante des forces de pression s'exerçant par l'air sur le �uide s'écrivent2 :−→F air → fluide = −

∫∫

partout sauf sur la plaqueP0−→dS = −

∫∫

partoutP0−→dS+

∫∫

sur la plaqueP0−→dS

2Attention : le vecteur surface est orienté du �uide vers l'air, ce qui explique le signe "moins" dans l'expressionci-dessous.


Le premier terme étant nul, on obtient :−→F air→fluide = P0S

−→u N

D'après l'énoncé, on se contente d'exprimer la résultante des forces de pression sous laforme :−→F plaque→fluide = Fplaque→fluide

−→u N où−→u N est un vecteur unitaire perpendiculaireà la plaque, et orienté globalement dans le sens des x positifs.

(d) L'application du théorème de la résultante cinétique au système fermé conduitdonc à :

Dm1−→v 1 + Dm2

−→v 2 −Dm−→v = P0S

−→u N + Fplaque→fluide−→u N

En projection suivant la direction de la plaque, on obtient :Dm1v1 −Dm2v2 −Dmv sinα = 0

En projetant sur la direction perpendiculaire, on obtient :Fplaque → fluide = −Dmv cosα− P0S

(e) Appliquons donc le théorème de Bernoulli à 2 lignes de courant entre les points A et B,puis B et C (l'écoulement est parfait, stationnaire, incompressible et donc aussi homo-gène). On obtient, sachant qu'on néglige l'in�uence de la pesanteur sur l'écoulement :

12

µv2 + P0 =12

µv12 + P0 =

12

µv22 + P0

et donc : v = v1 = v2.(f) Finalement, on obtient :

D1 =Dm

2(1 + sin α) et D2 =

Dm

2(1− sinα)

On retrouve bien que lorsque α = 0, Dm1 = Dm2 =Dm

2.

(g) Les forces s'exerçant sur la plaque sont le poids, les forces de pression de l'air d'un côté,et du �uide de l'autre. Le théorème du moment cinétique appliqué à la plaque dansle référentiel terrestre supposé galiléen s'écrit donc :

d−→L ∆

dt= M∆(

−→P ) +M∆(

−→F fluide→plaque) +M∆(

−→F air→plaque)

Le régime est stationnaire, donc d−→L ∆

dt=−→0 . De plus, la résultante des forces de pression

s'appliquant en O tel que CO =h

cosαs'écrit, d'après les questions précédentes :

−→F fluide+air→plaque = −−→F plaque→fluide +

−→F air→plaque

= [Dmv cosα + P0S]−→u N − P0S−→u N = Dmvcosα−→u N

On en déduit, en projection sur l'axe Oy, sachant que le � bras de levier � de cette force

esth

cosα:

0 = mg` sinα− h

cosαDmv cosα

et �nalement :

sinα =hDmv

mg`

PSI - 2011/2012 15

(h) E�ectuons un bilan de moment cinétique par rapport à l'axe ∆ pour le même systèmefermé que précédemment, auquel on ajoute la plaque (cette dernière ne contribue pas aumoment cinétique car elle est immobile) :• à l'instant t : −→L ∆(t) =

−→L com(t) +

−→IA ∧Dmdt−→v

• à l'instant t + dt : −→L ∆(t + dt) =−→L com(t + dt) +

−→IB ∧Dm1dt−→v1 +

−→IC ∧Dm2dt−→v2

Or, en régime stationnaire, −→L com(t) =−→L com(t + dt).

De plus, −→IA ∧ Dmdt−→v = −hDmdtv−→u y et −→IB ∧ Dm1dt−→v1 =−→IC ∧ Dm2dt−→v2 =

−→0 . On

obtient donc, pour le système fermé :

D−→L ∆

Dt= hDmv−→uy

Les forces s'exerçant sur le système sont le poids s'exerçant uniquement sur la plaque (onnéglige son in�uence sur l'écoulement), et les forces de pression.La résultante des forces de pression peut s'écrire, sur l'ensemble du système :

−→F P =

∫∫P−→dS = P0

∫∫ −→dS =−→0

car la pression vaut P0 à la frontière de tout le système (sur un côté de la plaque, maisaussi sur les bords de l'écoulement, d'après la question préliminaire, en négligeant la zoneoù l'écoulement n'est pas parallèle au niveau de l'impact sur la plaque).Le moment des forces par rapport à ∆ s'écrit donc simplement :

−→M∆ = ` sinα mg−→uy

Finalement, en appliquant le théorème du moment cinétique au système fermé pré-cédent, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, on obtient :

hDmv = ` sinα mg

On retrouve bien le résultat obtenu précédemment :

sinα =hDmv

mg`

3. Plaque mobile verticale(a) On se place dans le référentielR′ lié à la plaque de vitesse −→u par rapport au référentielR0

�xe. La vitesse du �uide dans ce référentiel est maintenant : −→v ′ = −→v −−→u = (v− u)−→u x.Les débits massiques dans R′ s'écrivent : D′

m = µs(v−u), D′m1 = µs1v

′1 et D′

m2 = µs2v′2.

(b) Le régime reste stationnaire dans le référentiel R′ car celui-ci est en translation rectiligneuniforme par rapport à R0 (donc galiléen), et le débit massique se conserve donc dans lasurface fermée représentée sur la �gure. On en déduit que :

D′m = D′

m1 + D′m2

(c) L'application du théorème de Bernoulli dans le référentielR′ est possible car ce dernierest galiléen. De plus, l'écoulement y est parfait, stationnaire, et homogène. On obtient,sachant qu'on néglige l'in�uence de la pesanteur sur l'écoulement :

12

µv′2 + P0 =12

µv′12 + P0 =

12

µv′22 + P0

et donc : v′ = v′1 = v′2.


(d) E�ectuons un bilan de quantité de mouvement au système constitué à l'instant t du�uide représenté sur la �gure et de la masse dm qui entre dans ce volume entre t et t+dt.Á t+dt, le système correspond au �uide représenté sur la �gure et aux deux masses dm1

et dm2 qui en sortent en bas et en haut de la �gure.• à l'instant t : −→p (t) = −→p com(t) + D′

mdt(v − u)−→u x

• à l'instant t + dt : −→p (t + dt) = −→p com(t + dt) + D′m1dt−→v ′1 + D′

m2dt−→v ′2Le régime étant stationnaire, −→p com(t) = −→p com(t + dt).On en déduit que :

D−→pDt

= D′m1−→v ′1 + D′

m2−→v ′2 −Dm

−→v ′

(e) En appliquant le théorème de la résultante cinétique au système précédent, soumisuniquement à l'action des forces de pression extérieures et à la force exercée par la plaque,dans le référentiel R′ galiléen :

D−→pDt

=−→F air→fluide +

−→F plaque→fluide

Or−→F air→fluide = −

∫∫

partout sauf sur la plaqueP0−→dS = −

∫∫

partoutP0−→dS+

∫∫

sur la plaqueP0−→dS

Le premier terme étant nul : −→F air→fluide = P0S−→ux, d'où

−→F plaque→fluide =

D−→pDt

−−→F air→fluide

qui s'écrit en projection sur −→ux :−→F plaque→fluide =

[−v′D′m − P0S

]−→ux

Appliquons maintenant le principe fondamental de la dynamique à la plaque, enéquilibre dans le référentiel galiléen R′ en translation à vitesse constante :

−→0 =

−→F op +

−→F fluide→plaque +

−→F air→plaque

On obtient donc, en utilisant le principe de l'action et de la réaction :−→F op =

−→F plaque→fluide −−→F air→plaque

Or −→F air→plaque = −P0S−→u x, donc en remplaçant les expressions précédentes, on obtient

�nalement : −→F op = −v′D′

m−→ux = −µs(v − u)2−→ux

TDA4-Correction 1...

Documents

Transcript of TDA4-Correction 1...