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8/10/2019 TD2ROCorrige

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Universite Hassan II Mohammedia - Casablanca

Ecole Nationale de Commerce et de Gestion de Casablanca

Recherche Oprationnelle : TD2

Exercice 1.

On considre le programme linaire suivant :max z = 10x1+ 9x2+ 7x3

s.c

2x1 + 3x2 + 5x3 4502x1 + 5x3 6003x1 + 2x2 + 6x3 600

x1, x2, x3 0

1. Donner une base de dpart et la solution de base ralisable associe. Justifier ce choix.On introduit les variables dcarts s1, s2, s3 :

max z= 10x1+ 9x2+ 7x3

s.c

2x1

+ 3x2

+ 5x3

+ s1

= 4502x1 + 5x3 + s2 = 6003x1 + 2x2 + 6x3 + s3 = 600

x1, x2, x3, s1, s2, s3 0

Les contraintes sont dfinies par des ingalits infrieures () et les bi sont positifs alors lasolution triviale de base ralisable est (x1, x2, x3, s1, s2, s3) = (0, 0, 0, 450, 600, 600)

2. Rsoudre par la mthode du simplexe en tableaux, en donnant, pour chaque tableau : Des flches indiquant les variables entrantes et sortantes. Le pivot encadr. La base courante. La solution de base courante. La valeur de la fonction objectif.Le corrig de cette question se trouve la fin de ce document

Exercice 2.

Considrons un agriculteur qui possde des terres, de superficie gale 100 hectares (ha), danslesquelles il peut planter du bl , du mas et des fves. Lagriculteur possde une quantit 200kilos dengrais et 300 litres dinsecticide. Le bl ncessite une quantit 4 dengrais par hectare. Lemas ncessite une quantit 2 dengrais par hectare et 6 dinsecticide par hectare. Enfin, les fvesncessitent une quantit 10 dinsecticide par hectare. Le bl rapporte un gain de 8k euros lhectare,le mas rapporte un gain de 4k euros lhectare et les fves rapportent un gain de 5k euros lhectare.On note par x1, x2 et x3 le nombre dhectares planter en bl, en mas et fves. Le programmelinaire (PL) qui reprsente son problme est :

max z = 8x1+ 4x2+ 5x3

s.c

x1 + x2 + x3 1004x1 + 2x2 200

6x2 + 10x3 300x1, x2, x3 0

1. Expliquez comment on a obtenu le programme linaire (PL) ci-dessus ?On note par x1, x2 etx3 le nombre dhectares planter en bl, en mas et fvesProfit bl = 8x1. Profit mas= 4x2. Profit fves = 5x3Le profit total est alors z = 8x1+ 4x2+ 5x3Superficie (en hectares) planter : x1+x2+x3 100 hectares disponibles

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Engrais :4x1+ 2x2 200 engrais disponibleInsecticide : 6x2+ 10x3 300 Insecticide disponible

2. crire le PL sous forme standard et donner une solution de base ralisable.

max z= 8x1+ 4x2+ 5x3

s.c

x1 + x2 + x3 + s1 = 1004x1 + 2x2 + s2 = 200

6x2 + 10x3 + s3 = 300x1, x2, x3, s1, s2, s3 0

La solution de base ralisable est donne par (x1, x2, x3, s1, s2, s3) = (0, 0, 0, 100, 200, 300)

3. On dsigne par s1, s2, s3 les variables dcarts des trois contraintes du PL.Completer le tableau 3 du simplexe (itration 3) en utilisant le tableau 2 du simplexe(itration 2). Prendre soin dexpliquer vos rsultats.Tableau 2:

Ligne VB z x1 x2 x3 s1 s2 s3 bi

L1 s1 0 0 1

2 1 1 1

4 0 50

L2 x1 0 1 1

2 0 0 1

4 0 50

L3 s3 0 0 6 10 0 0 1 300

Lz z -1 0 0 4 0 -2 0 -400

Tableau 3:Ligne VB z x1 x2 x3 s1 s2 s3 bi

L1 s1 0 0 1

10 0 1 1

4

1

10 20

L2 x1 0 1 1

2 0 0 1

4 0 50

L3 x3 0 0 0.6 1 0 0 0.1 30

Lz z -1 0 12

5 0 0 -2 4

10 -520

Pour obtenir le tableau 3 du simplexe, on applique les deux tapes suivantes :1er tape : variable entrante et variable sortante- x3 entre en base (le plus grand coefficient positif de z ; ligne Lz)- s3 sort de base (plus petit rapport positif de i = bi/ai3, ai3 > 0)2me tape : Pivotage :- L3 = L3/10- L2 = L2 0 L3/10- Lz =Lz 4 L3/10

4. Quelle est la solution optimale ? Prcisez la valeur de la fonction objectif, les variables horsbase et en base au point optimal.Le tableau 3 du simplexe est optimale puisque les ci 0, i = 1, , 3. La solution optimaleest trouve et est donne par (x1, x2, x3) = (50, 0, 30) (la colonne bi). Le profit maximal estZmax= 520. Les variables en base sontx1, x3, s1 et les variables hors base sontx2, s2, s3.

5. Interprter le rsultat de la variable s1 = 20 ?Cest--die quil reste 20 hectars non utiliss : on a un excs de la ressource 1.

Exercice 3.

On considre le programme linaire suivant :

(P L)

max z= 3x1+ 2x2+ 5x3

s.c

x1 + 2x2 + x3 4303x1 + 2x3 460

x1 + 4x2 420x1, x2, x3 0

1. Rsoudre le PL ci-dessus par la mthode du simplexe en tableaux. Indiquer le dtail des calculs.On utilise la mme dmarche que celle labor dans lexercice 1.

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Excercice 4. (mthode en deux phases)

On considre le programme linaire(PL) suivant :max z = 2x1+ 3x2+ 1x3

s.c

x1 + x2 + x3 402x1 + x2 x3 10

x2 + x3 10x1, x2, x3 0

1. Rsoudre le PL ci-dessus par la mthode du simplexe en tableaux. Indiquer le dtail des calculs.

Excercice 4 : Corrig (mthode en deux phases)

On introduit les variables dcart s1, s2, s3 0ce qui conduit :max z = 2x1+ 3x2+ 1x3

s.c

x1 + x2 + x3 + s1 = 40

2x1 + x2 x3 s2 = 10 x2 + x3 s3 = 10

x1, x2, x3, s1, s2, s3 0

Ce problmes nadmet pas de solution admissible (une solution de dpart) triviale. Alors on vaintroduire des variables artificielles a1, a2 : on obtient le programme linaire auxiliaire (PLA) :

max W = a1 a2

s.c

x1 + x2 + x3 + s1 = 402x1 + x2 x3 s2 + a1 = 10

x2 + x3 s3 + a2 = 10x1, x2, x3, s1, s2, s3, a1, a2 0

La solution de base ralisable de dpart pour PLA est :(x1, x2, x3, s1, s2, s3, a1, a2) = (0, 0, 0, 40, 0, 0, 10, 10)

Les variales hors base sont : x1, x2, x3, s2, s3 et les variables en base sont : s1, a1, a2.On doit exprimer les variables a1 eta2(variables en base) en fonction de x1, x2, x3, s2, s3 (variableshors base) et les remplacer dans la fonction objectif. On a :a1 = 2x1+x2 x3 s2 10a2 = x2+x3 s3 10DoW = a1 a2 = 2x1 s2 s3 20Maintenant, la mthode du simplexe sapplique sans problmes : Le premier tableau duphaseI:

Ligne V B z x1 x2 x3 s1 s2 s3 a1 a2 bi i

L1 s1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 40 40

L2 a1 0 2 1 1 0 1 0 1 0 10 5

L3 a2 0 0 1 1 0 0 1 0 1 10

Lz z 1 2 0 0 0 1 1 0 0 20

Pour obtenir le second tableau du simplexe phase I, on applique les deux tapes suivantes :1er tape: variable entrante et variable sortante

1. x1 entre en base (plus grand coefficient positif de z; ligne Lz)

2. a1 sort de base (plus petit rapport positif de i= bi

ai1, ai1 > 0)

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2me tape: Pivotage :

1. L2 12

L2

2. L1 L1 12L2

3. L3 L3 02L2 = L3

4. Lz Lz 22L2On remplace ces lignes dans un nouveau tableau et on obtient le second tableau du phase I. Onlimine la colonne de la variable a1.

Ligne V B z x1 x2 x3 s1 s2 s3 a2 bi i

L1 s1 0 0 0.5 1.5 1 0.5 0 0 35 35/1.5

L2 x1 0 1 0.5 0.5 0 0.5 0 0 5

L3 a2 0 0 1 1 0 0 1 1 10 10

Lz z 1 0 1 1 0 0 1 0 10

Pour obtenir le troisime tableau du simplexe phase I, on applique les deux tapes suivantes :1er tape: variable entrante et variable sortante


2. a2 sort de base (plus petit rapport positif de i= bi

ai3, ai3 > 0)


1. L3 11L3

2. L1 L1 1.51 L3

3. L2 L2 0.51 L3

4. Lz Lz 11L3

On remplace ces lignes dans un nouveau tableau et on obtient le troisime tableau du phase I.On limine la colonne de la variable a2.

Ligne V B z x1 x2 x3 s1 s2 s3 bi

L1 s1 0 0 2 0 1 0.5 1.5 20

L2 x1 0 1 0 0 0 0.5 0.5 10

L3 x3 0 0 1 1 0 0 1 10

Lz z 1 0 0 0 0 0 0 0

la premire phase est acheve puisque ci 0, i = 1, , 6. Une solution de base ralisable du(PL) est donc trouve puisque Wmax= 0:

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x= (x1, x2, x3, s1, s2, s3) = (10, 0, 10, 20, 0, 0).Deuxime phase:

On peut maintenant dmarrer la phase II : On garde les donnes du dernier tableau du phaseI sauf la fonction objectif (la ligne Lz)doit tre exprime en fonction des variables hors base. Lafonctionz = 2x1+ 3x2+ 1x3 devientz = 30 + 4x2+s2 + 2s3ou encore z+ 4x2+s2 + 2s3 = 30Le premier tableau du phase II :

Ligne V B z x1 x2 x3 s1 s2 s3 bi i

L1 s1 0 0 2 0 1 0.5 1.5 20 10

L2 x1 0 1 0 0 0 0.5 0.5 10

L3 x3 0 0 1 1 0 0 1 10

Lz z 1 0 4 0 0 1 2 30

Pour obtenir le second tableau du simplexe, on applique les deux tapes suivantes :1er tape: variable entrante et variable sortante


2. s1 sort de base (plus petit rapport positif de i = bi

ai2, ai2 > 0)


1. L1 12L1

2. L2 L2 02L1 = L2

3. L3 L3 12 L1

4. Lz Lz 4

2L1On remplace ces lignes dans un nouveau tableau et on obtient le deuxime tableau du phase

II :

Ligne V B z x1 x2 x3 s1 s2 s3 bi

L1 x2 0 0 1 0 0.5 0.25 0.75 10

L2 x1 0 1 0 0 0 0.5 0.5 10

L3 x3 0 0 0 1 0.5 0.25 0.25 20

Lz z 1 0 0 0 2 0 1 70

Puisque ci 0 alors la solution optimale est trouve (x1, x2, x3) = (10, 10, 20) et la valeur

maximale est Zmax= 70

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