Un convertisseur (figure 1) compote un pont redresseur PD3, 6 thyristors, un condensateur

de filtrage de capacité 2000 µF, trois bras de pont constitués chacun de 2 transistors IGBT, et

d’un bras hacheur de freinage, constitué lui-même d’un transistor IGBT et d’une résistance

de freinage.

Les composants représentés sont considérés comme parfaits, les commandes des transistors

ne sont pas représentées.

Etude en configuration onduleur à modulation de largeur d’impulsion :

On considère maintenant l’ensemble du convertisseur (figure 1). Les trois sorties 1, 2, 3

alimentent un moteur asynchrone. La tension U0 est maintenue égale à 480 V, la commande

à modulation de largeur d’impulsions des interrupteurs est périodique de période T0.

On donne le graphe de la tension entre phase u12(t), les deux autres tensions, u23(t) et u31(t)

sont de forme identique, déphasées chacune de T0/3.

TD2 2 Onduleur MLI : éléments de la correction

La pulsation du fondamental de u12(t) étant notée w, on donne :

wt1 = a = 0.245 rad (14, 0°) ; wt2 = β = 0.428 rad (24,5°) ; wt3 = g = 0.529 rad (30,3°).

Dans ces conditions, la décomposition en série de u12 (q), avec q = wt, qui ne comporte pas

d’harmoniques pais (u12(q) est une fonction alternative), est, pour n impair :

𝒖𝟏𝟐 𝜽 = 𝑩𝒏

∞

𝒏=𝟏

. 𝒔𝒊𝒏𝒏𝜽 = 𝟒𝑼𝟎

𝒏𝝅

∞

𝒏=𝟏

. 𝒄𝒐𝒔𝒏𝜶 − 𝒄𝒐𝒔𝒏𝜷 + 𝒄𝒐𝒔𝒏𝜸 . 𝐬𝐢𝐧(𝒏𝜽)

Questions :

1. On Obtient les expressions de u23(q) et du u31(q) à partir de u12(q) en y remplaçant q

respectivement par (q - 2p/3) et (q + 2p/3). En déduire que les harmoniques de rang

3 de u23(q) et de u31 (q) sont en phase avec l’harmonique 3 de u12(q).

Cette propriété, qui est vérifié par tous les harmoniques dont les rangs sont des

multiples de 3, permet d’éliminer l’influence de ces harmoniques sur le moteur

asynchrone.

2. Les valeurs de a, β, g données plus haut permettent d’éliminer trois harmoniques

qui sont à priori les plus gênant. Quels sont ces harmoniques.

Vérifier que l’harmonique 5 fait bien partie des harmoniques éliminés par le choix de

ces angles.

3. Déterminer la valeur efficace U12 de u12(q) pour ces mêmes valeurs de a, β et g

(On pourra utiliser un calcul d’aires).

4. Déterminer la valeur efficace UF du fondamental de u12(q).

5. Le taux de distorsion harmonique de u12(q) est défini par : 𝐷 = 𝑈12

2−𝑈𝐹2

𝑈𝐹

Calculer D.

Réponses :

On démontre d’abord la relation fournie pour la décomposition de fourrier :

𝑢12 𝜃 = 𝐵𝑛

∞

𝑛=1

. 𝑠𝑖𝑛𝑛𝜃

Les An sont nuls puisque la fonction u12(q) est impaire. On ne calcule alors que les Bn .

𝐵𝑛 = 1

𝜋 𝑓 𝑡 . sin 𝑛𝜃 𝑑𝜃

2𝜋

0

𝐵𝑛 = 2 × 1

𝜋[ 𝑈0. sin 𝑛𝜃 𝑑𝜃

𝛽

𝛼

+ 𝑈0. sin 𝑛𝜃 𝑑𝜃

𝜋−𝛾

𝛾

+ 𝑈0. sin 𝑛𝜃 𝑑𝜃

𝜋−𝛼

𝜋−𝛽

]

Bn = 2U°

π( −𝑐𝑜𝑠𝑛𝜃 𝛼

𝛽+ −𝑐𝑜𝑠𝑛𝜃 𝛾

𝜋−𝛾+ −𝑐𝑜𝑠𝑛𝜃 𝜋−𝛽

𝜋−𝛼 ])

Après simplification, on trouve :

𝐵𝑛 = 2𝑈°

𝑛𝜋. (1 − −1 𝑛) 𝑐𝑜𝑠𝑛𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝑛𝛽 + 𝑐𝑜𝑠𝑛𝛾

Pour les n impairs, Bn serait égale à :

𝐵𝑛 = 4𝑈°

𝑛𝜋. 𝑐𝑜𝑠𝑛𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝑛𝛽 + 𝑐𝑜𝑠𝑛𝛾

D’où :

𝒖𝟏𝟐 𝜽 = 𝑩𝒏

∞

𝒏=𝟏

. 𝒔𝒊𝒏𝒏𝜽 = 𝟒𝑼𝟎

𝒏𝝅

∞

𝒏=𝟏

. 𝒄𝒐𝒔𝒏𝜶 − 𝒄𝒐𝒔𝒏𝜷 + 𝒄𝒐𝒔𝒏𝜸 . 𝐬𝐢𝐧(𝒏𝜽)

1. En remplaçant q dans u23(q) et du u31(q) respectivement par (q - 2p/3) et (q + 2p/3),

on trouve :

𝑢23 𝜃 = 𝐵𝑛

∞

𝑛=1

. sin(𝑛𝜃) = 4𝑈0

𝑛𝜋

∞

𝑛=1

. 𝑐𝑜𝑠𝑛𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝑛𝛽 + 𝑐𝑜𝑠𝑛𝛾 . sin(𝑛 𝜃 −2𝜋

3 )

𝑢31 𝜃 = 𝐵𝑛

∞

𝑛=1

. sin(𝑛𝜃) = 4𝑈0

𝑛𝜋

∞

𝑛=1

. 𝑐𝑜𝑠𝑛𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝑛𝛽 + 𝑐𝑜𝑠𝑛𝛾 . sin(𝑛 𝜃 +2𝜋

3 )

Pour les harmoniques de rang 3 (n=3) :

𝑢23 𝜃 =4𝑈0

3𝜋. 𝑐𝑜𝑠3𝛼 − 𝑐𝑜𝑠3𝛽 + 𝑐𝑜𝑠3𝛾 . sin(3 𝜃 −

2𝜋

3 )

𝑢31 𝜃 = 4𝑈0

3𝜋. 𝑐𝑜𝑠3𝛼 − 𝑐𝑜𝑠3𝛽 + 𝑐𝑜𝑠3𝛾 . sin(3 𝜃 +

2𝜋

3 )

Et donc :

𝑢23 𝜃 = 4𝑈0

3𝜋. 𝑐𝑜𝑠3𝛼 − 𝑐𝑜𝑠3𝛽 + 𝑐𝑜𝑠3𝛾 . sin 3𝜃 − 2𝜋 =

4𝑈0

3𝜋. 𝑐𝑜𝑠3𝛼 − 𝑐𝑜𝑠3𝛽 + 𝑐𝑜𝑠3𝛾 . sin 3𝜃

𝑢23 𝜃 = 4𝑈0

3𝜋. 𝑐𝑜𝑠3𝛼 − 𝑐𝑜𝑠3𝛽 + 𝑐𝑜𝑠3𝛾 . sin 3𝜃 + 2𝜋 =

4𝑈0

3𝜋. 𝑐𝑜𝑠3𝛼 − 𝑐𝑜𝑠3𝛽 + 𝑐𝑜𝑠3𝛾 . sin 3𝜃

En effet, les harmoniques de rang 3 de u23(q) et de u31 (q) sont en phase avec l’harmonique 3

de u12(q).

Et puisqu’on possède d’un système équilibré, u12(q) + u23(q) + u31 (q) = 0, donc la somme des

harmoniques est pratiquement nul, ce qui Nous amène à dire que cette propriété permet

d’éliminer l’influence de ces harmoniques sur le moteur asynchrone.

2. On cherche les harmoniques les plus gênants, pour ce faire, on calcule la valeur de Bn

pour les différents rangs « n ».

Pour n=1 :

𝐵𝑛 =4𝑈0

𝑛𝜋. 𝑐𝑜𝑠𝑛𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝑛𝛽 + 𝑐𝑜𝑠𝑛𝛾

𝐵1 =4 × 480

𝜋. cos(1 × 0.245) − cos(1 × 0.428) + cos(1 × 0.529)

Ce qui donne : B1 = 564V

De la même manière, on déduit :

B2 = 219 V.

B3 = 90 V.

B4 = 27 V.

B5 = -0.15 V.

On constate que les trois premiers harmoniques sont ceux qui sont les plus perturbants,

contrairement à l’harmonique 5 qui n’a effectivement aucune influence sur le moteur

asynchrone.

3. La valeur efficace u12(q) :

𝑈122 =

1

𝜋 𝑢12(𝜃)2

𝜋

0

𝑑𝜃

𝑈122 =

1

𝜋[ 𝑈0

2

𝛽

𝛼

𝑑𝜃 + 𝑈02

𝜋−𝛾

𝛾

𝑑𝜃 + 𝑈02

𝜋−𝛼

𝜋−𝛽

𝑑𝜃]

𝑈122 =

1

𝜋[𝑈0

2 × 𝛽 − 𝛼 2 + 𝑈02 × 𝜋 − 2𝛾 2 + 𝑈0

2 × 𝛽 − 𝛼 2]

𝑈122 =

𝑈02

𝜋[ 𝛽 − 𝛼 2 + 𝜋 − 2𝛾 2 + 𝛽 − 𝛼 2]

Avec: a = 0.245 rad (14, 0°) ; β = 0.428 rad (24,5°) ; g = 0.529 rad (30,3°)

Ce qui donne: U122 = 323221.3 => U12 = 568.5 V.

4. La valeur efficace UF du fondamental de u12(q) :

B1 = 564V

5. Le taux de distorsion :

𝐷 = 𝑈12

2 − 𝑈𝐹2

𝑈𝐹

𝐷 = 568.52 − 5642

564

D = 12.6% .

ELHABIB SAFOUANE

Département Génie Electrique et Informatique Industriel

ENSET Rabat

Assisté par Mr. Saadi