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Universite Hassan II Mohammedia - Casablanca

Ecole Nationale de Commerce et de Gestion de Casablanca

Recherche Oprationnelle : TD1

Exercice 1.

Une usine fabrique 2 produits P1et P2en utilisant un certain nombre de ressources : quipement,main duvre, matires premires. Ces besoins sont indiqus dans le tableau ci-dessous. Par ailleurs,chaque ressource est disponible en quantit limite (cf. tableau).

P1 P2 disponibilitquipement 3 9 81Main duvre 4 5 55Matire premire 2 1 20

Les deux produits P1et P2rapportent la vente respectivement des bnfices de 6$ et 4$ par unit.

1. Formuler algbriquement le PL ainsi pos.2. Dterminez graphiquement lensemble des solutions admissibles.

3. Quelles quantits de produits P1 et P2 doit produire lusine afin de maximiser le bnfice totalvenant de la vente des 2 produits ?

4. Donnez le profit maximal.

Excercice 2.

On se propose de raliser une alimentation conomique pour des bestiaux, qui contient obligatoi-rement 4 sortes de composants nutritifs, A, B, C et D. Lindustrie alimentaire produit prcismentdeux aliments M et N qui contiennent ces composants :1 Kg daliment M contient 100 g de A, 100 g de C, 200 g de D ;1 Kg daliment N contient 100 g de B, 200 g de C, 100 g de D.

Un animal doit consommer par jour au moins 0.4 Kg de A, 0.6 Kg de B, 2 Kg de C et 1.7 Kg de D.Laliment M cote 10$ le Kg et N cote 4$ le Kg.

1. Formuler algbriquement le PL ainsi pos.

2. Dterminez graphiquement les quantits daliments M et N doit-on utiliser par jour et paranimal pour raliser lalimentation la moins coteuse ?

3. Donnez le cot minimal.

Excercice 3.

Soit le programme linaire suivant :

maxz =x1 + 3x2

s.c

x1 + x2 14

2x1 + 3x2 12

2x1 x2 12

x1, x2 0

Dterminez, en utilisant linterprtation gomtrique :

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1. Lensemble des solutions ralisables du PL

2. Les sommets de lensemble des solutions admissibles et la solution optimale

3. Dans la fonction objectif on change le coefficient (c2 = 3) par c (z = x1 + cx2). Pour quellesvaleurs de cle problme PL possde une infinit de solutions une solution autre que celle trouve en 2.

Excercice 4.

Soit le programme linaire suivant :

maxz = 3x1 + 2x2

s.c

2x1 +x2 4

2x1 +x2 2

x1 x2 1

x1, x2 0

1. Rsoudre le problme par la mthode graphique. Quelle est la solution optimale et la valeurmaximale de la fonction conomique ?

2. Donner les coordonnes des sommets de lensemble des solutions admissible

3. Quelles sont les valeurs du second membre b1(dans la premire contrainte), pour lesquelles lasolution optimale initiale ne change pas ?

4. Pour quelles valeurs du second membre b2 (dans la deuxime contrainte), lensemble des solu-tions ralisables est

vide contient une seule solution

5. Pour quelles valeurs du coefficient c1de la fonction objectif, le PL admet plus quune solution?

Excercice 5.

Farmer Furniture makes chairs, arm-chairs and sofas. The profits are $50 per chair, $60 perarm-chair and $80 per sofa. The materials used to manufacture these items are fabric and wood. Asupplier can provide a maximum of 300 meters of fabric and 350 units of wood each week. Each itemrequires a certain amount of wood and fabric as well as a certain assembly time. These are given inthe following table

Item Fabric Wood Assembly timechair 2m 6 units 8hrsarmchair 5m 4 units 4hrssofa 8m 5 units 5hrsAvail./Wk 300m 350 units 480 hrs

Problem : How many chairs, arm-chairs and sofas that the company should make per week so thatthe total profit is maximized ?

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Excercice 6.(Groupes Gestion)

Un conseiller financier doit choisir pour un club dinvestissement un certain nombre dactionsdans lesquelles investir. Le club souhaite investir 100 000$ dans six actions diffrentes. Le conseillerlui indique le retour dinvestissement (taux de retour) quil peut esprer pour une priode de sixmois. Le tableau suivant donne pour chaque action son nom, sa catgorie (T : technologique, N :non technologique) et le taux de retour espr. Le club impose certaines contraintes au conseiller.Il veut investir au moins 5 000 $ et au plus 40 000$ dans chaque action. Le club dinvestissementdsire investir la moiti de son capital dans les actions franaises et au plus 30% dans des valeurstechnologiques.

No Nom catgorie Retour1 Dash Associates (UK) T 5.3%2 Ilog France (F) T 6.2%3 France Telecom(F) T 5.1%

4 General Motor (USA) N 4.9%5 Elf (F) N 6.5%6 BNP(F) N 3.4%

Excercice 7.(Groupe commerce)

Comment doit se rpartir le capitale entre chaque action pour esprer le meilleur retour surinvestissement ? (formuler le problme par un programme linaire puis le rsoudre avec le solveurdExcel) Un constructeur automobile dcide de lancer une campagne de publicit pour relancer lesventes dun de leurs modles. Il confie pour cela un budget de 48000$, sa branche marketing.Le spot de publicit prvu dure 30 secondes, et devra passer sur les crneaux de laprs-midi, delaccess-timeet du prime-time. Grce une tude des campagnes passes, les publicitaires ontpu tablir limpact dun spot de publicit de 30 secondes pour ce modle suivant lhoraire de passage

la tlvision. Ils ont tabli une chelle qui se compte en point dimpact. Un spot de 30 secondes diffus en aprs-midi permet de gagner 8 points. Un spot de 30 secondes diffus en access-time permet de gagner 16 points. Un spot de 30 secondes diffus en prime-time permet de gagner 20 points.

Ils ont pour rgle de ne pas tout miser sur le mme crneau horaire. Pour cela ils se fixent deuxcontraintes :

Lensemble des dpenses sur laprs midi plus laccess-time ne doit pas dpasser les 28 000 $. La limite des dpenses sur le prime-time ne doit pas dpasser les 36 000$.

Sur la semaine o ils ont prvu leur campagne les tarifs publicitaires moyens sont les suivants : 1 000$ en aprs-midi. 2 000$en access-time. 4 000$ en prime-time.

1. Formuler le modle de programmation linaire qui permettrait la branche marketing de lui

suggrer une stratgie de publicit pour avoir le meilleur impact possible.

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