3P011 2015-2016

FEUILLE DEXERCICES 1

1.1 Ordres de grandeur

Donner lordre de grandeur des quantites suivantes :

1. Les energies kBT et RT a` temperature ambiante.

2. Le nombre de molecules N dans un litre de gaz ou de liquide (par exempleleau) dans les conditions standards de temperature et pression.

3. Les densites (nombre de molecules par unite de volume) correspondanteset les distances typiques entre molecules.

4. Lenergie cinetique moyenne dune particule a` temperature ambiante.

5. En deduire lenergie interne de 1 litre de gaz parfait.

1.2 Questions de cours

1. Quels sont les modes dechanges denergie entre un syste`me et son envi-ronnement ? Donner lexpression mathematique du 1er principe.

2. Rappeler lequation detat et lenergie interne U dun gaz de van derWaals.

3. Calculer, pour un gaz de N2 dans les conditions standards de temperatureet pression, lecart relatif entre les valeurs de U pour le mode`le de gazparfait et le mode`le de van der Waals. On donne aN2 = 0.14 J.m

3/mol2.

1.3 Equation detat

On donne les deux coefficients =1

V

(V

T

)P

et T = 1V

(V

P

)T

. On

suppose que lon a mesure ces quantites pour un syste`me donne et trouve

=A

AT +B P(1.1)

T =1

P BAT +B P

(1.2)

ou` A et B sont des constantes positives.

1. Integrer (1.1) et determiner une premie`re expression de ln(V (T, P )).

2. A laide de (1.2), en deduire lequation detat V (T, P ).

3. Que devient lequation detat a` basse pression et haute temperature ?

1.4 Echanges denergie

Soit une enceinte cylindrique fermee a` une extremite par un piston mobile.Lenceinte de volume initial Vi contient un gaz de N atomes a` une pression P etune temperature T . On applique sur le piston une pression constante Pext > Ppour faire diminuer le volume jusqua` une valeur Vf .

On conside`re deux cas :A) la transformation est adiabatique (le gaz est isole thermiquement)B) elle est monotherme (le gaz est en contact thermique avec un thermostat).

1. En considerant que le gaz est parfait, calculer dans chaque cas A) et B) :le travail fourni au gaz, le changement de temperature du gaz, la chaleurliberee, la variation denergie interne du gaz.

On conside`re maintenant le cas C) : la pression exercee sur le piston nestplus constante mais telle que la transformation est reversible et isotherme a` latemperature T = T0.

2. Calculer le travail fourni au gaz et la chaleur liberee pour un gaz parfait.

3. Refaire les calculs pour un gaz de van der Waals.

1.5 Bilan dentropie

On refroidit une bouteille deau d1 ` de 300 K en la mettant dans unrefrigerateur a` 275 K. La capacite calorifique de leau est 4.18 kJ.kg1.

1

1. Quelle est la variation dentropie de leau dans cette transformation ?

2. Quelle est la variation dentropie du thermostat ?

3. Memes questions pour loperation inverse.

1.6 Cylindre plastique

On conside`re un cylindre en plastique. A une temperature donnee, la forcede traction f exercee sur ce cylindre est reliee a` la longueur L par la relation :

f = aT 2(L L0)

ou` a est une constante. L0 est une constante qui correspond a` la longueur ducylindre au repos.

On pose S(L, T ) lentropie du cylindre :

S(L, T ) = aT (L L0)2 + bT + S0ou` b et S0 sont des constantes.

1. CalculerS

L

T

.

2. Calculer la capacite calorifique CL(L, T ) a` la longueur L.

3. Determiner U(L, T ) puis U(f, T ) a` une constante pre`s.

A partir de letat initial T = Ti, L = Li, on allonge le cylindre isole thermique-ment de facon quasistatique jusqua` ce quil atteigne la longueur Lf .

4. Quelle est la temperature finale ? Comparez-la a` Ti.

Le cylindre etire par la force f etant initialement a` la temperature Ti on sup-prime brusquement la force f sans echange de chaleur avec lexterieur.

5. Quelle est la temperature finale ? Comparez-la a` Ti.

6. Quelle est la variation dentropie du syste`me au cours de la transforma-tion ? Exprimer cette variation en fonction de Tf et Ti et donner sonsigne.

1.7 Etude theorique dune machine thermique

Une machine thermique est un syste`me fonctionnant de facon cyclique etechangeant du travail mecanique et de la chaleur avec lexterieur. On rappelle

quun cycle est une transformation (ou une succession de transformations) ou`letat final est identique a` letat initial.

On conside`re tout dabord une machine thermique qui nechange de la cha-leur quavec une seule source constituee par un thermostat de temperature T0.Une telle machine est dite monotherme.

1. Quelle est la variation denergie interne et dentropie du syste`me au coursdun cycle ?

2. Montrer que cette machine ne peut pas etre un moteur, cest-a`-dire unemachine delivrant un travail a` lexterieur.

3. Montrer quen revanche si le syste`me peut echanger de la chaleur avec 2sources (thermostats TC et TF ), alors il peut etre moteur.

On va maintenant considerer un refrigerateur pouvant echanger de la cha-leur avec 2 sources : un thermostat chaud de temperature TC constituepar lair ambiant, et un thermostat froid de temperature TF constituepar linterieur du refrigerateur. On note respectivement QC et QF la cha-leur recue (algebriquement) par le syste`me en provenance du thermostatchaud et du thermostat froid.

4. Montrer que lon a necessairement W > 0 et QC > 0.

5. Determiner une relation entre lefficacite du refrigerateur e = QF /W etles temperatures TF et TC des sources. Dans quel cas lefficacite est-ellemaximum ?

Reponses

Reponses exercice 1

1. kBT = 4.1021 J, RT ' 2500 J.

2. Gaz : N = PV/kBT = 2, 5.1022 molecules dans un litre. N/V = 2, 5.1025 m3

et d (N/V )1/3 ' 3 4 nm.- Liquide (eau) : N = 3.1025 molecules (1000 fois celui du gaz). N/V = 3.1028

m3 et d 3 4 A (10 fois moins que dans gaz).3. ec = (3/2)kBT = 6.10

21J.

4. U = 6.1021 2, 5.1022 = 150 J pour un litre.Reponses exercice 2

3 (UGP UvdW )/UGP = aN/V5kBT/2 =' 0.1%. Lair est un gaz parfait.Reponses exercice 3

1. lnV = ln(AT +BP ) + f(P )

2. PV = (AT +BP )K ou` K est une constante.

2

3. PV = AKT

Reponses exercice 4

1. Dans tous les cas, W = Pext(Vf Vi).A) Q = 0, U = W , T = 2W/(3NkB).B) T = 0, U = 0, Q = W .

2. C) W = VfVi

PdV .

WGP = NkBT0 ln(Vi/Vf ).QGP = WGP .

3. A)U = W = (3/2)NkBTaN2(1/Vf1/Vi), T = TGP+ 2aN3kB(

1Vf 1

Vi

)>

TGPB) U = aN2(1/Vf1/Vi) et Q = WU = QGP +aN2(1/Vf1/Vi) >QGP .C) W = Vf

Vi

(NkBT0VNb aN

2

V 2

)dV = NkBT0 ln

(ViNbVfNb

)+ aN2

(1Vi 1

Vf

),

Q = W U = NkBT0 ln(ViNbVfNb

)Reponses exercice 5

1. S 364 J.K1.2. ST 380 J.K13. S est identique. ST 348 J.K1Reponses exercice 6

1. SL

T

= 2aT (L L0).2. CL = aT (L L0)2 + bT .3. U = aT2

2(L L0)2 + bT22 + U0 = f

2

2aT2+ bT

2

2+ U0

4. Tf = Ti(ba(LiL0)2ba(LfL0)2

)> Ti.

5. S = bTf (1 TfTi ) > 0.

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