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  • PC13/14 TD : MECANIQUE DU SOLIDE

    y

    x

    C I O

    CINEMATIQUE

    AC1 : Roue sur sol fixe

    La roue, de centre C et de rayon a roule sans glisser sur le sol horizontal fixe.

    Dterminer la relation liant

    ,

    x et a. Commenter le signe.

    AC2 : Roue sur sol mobile

    Cette mme roue roule sans glisser sur un tapis roulant se dplaant la vitesse

    v0 = v0ex . Dterminer la relation liant v0,

    ,

    x et a.

    Exercice 1 : Like an Egyptian Pour dplacer de gros blocs de pierre, les gyptiens utilisaient des troncs darbre cylindriques de rayon R sur lesquels ils dposaient un bloc et le poussaient. En notant v la vitesse de dplacement dun bloc, dterminer la vitesse linaire du centre de masse dun tronc ainsi que sa vitesse de rotation. On supposera pour cela que les troncs ne glissent ni sur le sol, ni sur le bloc.

    Exercice 2 : Sphre qui roule Une sphre homogne de centre C, de masse m et de rayon a se dplace sur un support cylindrique de rayon R fixe dans un rfrentiel galilen.

    1. Quelle est la nature du mouvement du centre C ? Exprimer les vecteurs vitesse et acclration du point C dans la base polaire. 2. La sphre roule sans glisser sur le support cylindrique. En dduire la vitesse de rotation instantane de la sphre.

    Exercice 3 : Chute dune chelle (partie 1) On considre une chelle de longueur AB = 2l qui chute. On supposera qu chaque instant les deux extrmits restent en contact avec le mur pour lune et le sol pour lautre. On suppose que la chute est paramtre par langle

    (t )

    On appelle R le rfrentiel (O,x,y,z) li au sol.

    1. Montrer que le centre de masse G, milieu de [AB], a une trajectoire circulaire de centre O.

    C

    x

    yx

    O I

    C

    y

    x

    B

    A O G

  • PC13/14 TD : MECANIQUE DU SOLIDE

    2. Exprimer la vitesse de G dans R.

    3. Dterminer le vecteur rotation associ la chute.

    4. Dterminer les expressions de

    v(A/R) et de

    v (B/R) .

    Exercice 4 : Principe simplifi du diffrentiel

    On va donner le principe dun diffrentiel de voiture qui permet, dans un virage, aux deux roues motrices de tourner des vitesses diffrentes.

    Un cylindre creux, daxe (Oz), de rayon R2, tourne la vitesse 2 dune roue et un cylindre coaxial, de rayon R1, la vitesse angulaire 1 de lautre.

    On supposera R1 < R2.

    La synchronisation entre les deux roues se fait par lintermdiaire dun troisime cylindre de diamtre D = R2 - R1 , tangent aux deux prcdents : il est inclus dans le cylindre de rayon R2 et roule sans glisser (en ralit il sagit de roues dentes : engrenages).

    1. Ecrire les deux conditions de non-glissement dans le repre cylindrique daxe (Oz).

    2. En dduire, en fonction de R1, R2, 1 et 2 et toujours dans le repre daxe (Oz):

    2.a. la vitesse angulaire 3 du cylindre de rayon

    D2

    2.b. la vitesse linaire v3 de son centre C.

    CINETIQUE AC3 : Roue sur sol fixe On reprend les conditions de AC1. Dterminer pour la roue, dans le rfrentiel du sol, en fonction de m, a et

    : - la rsultante cintique - les moments cintiques LOz et LCz.

    - lnergie cintique

    AC4 : Energie cintique de la Terre Calculer lnergie cintique de la terre dans le rfrentiel de Copernic.

    R1

    R2

    R1

    C

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    Exercice 5: Chute dune chelle (partie 2) On reprend les conditions de lexercice 3

    On donne

    J = m2

    3 le moment dinertie de lchelle par rapport laxe (Gz).

    1. Exprimer la rsultante cintique de lchelle dans R .

    2. Exprimer le moment cintique Lo de lchelle par rapport laxe O = (Oz) dans le rfrentiel R.

    3. Exprimer lnergie cintique de lchelle dans le rfrentiel R.

    Exercice 6: Sphre qui roule, le retour Cette question reprend la situation de lexercice 2. Dans lhypothse dun roulement sans glissement, dterminer :

    1. La rsultante cintique de la sphre. 2. Le moment cintique de la sphre par rapport laxe Oz.

    3. Lnergie cintique de la sphre. On rappelle le moment dinertie de la sphre par rapport un axe passant par son

    centre :

    J = 25

    ma2 .

    ACTIONS SUR UN SOLIDE

    AC7 : Coefficient de frottement gomme / rgle Dterminer un mode opratoire permettant de dterminer le coefficient de frottement gomme / rgle. En dduire une valeur approche de ce coefficient.

    AC6 : Yoyo horizontal On schmatise un yoyo par deux disques

    identiques homognes de rayon R et de masse M, relis par un tambour cylindrique de rayon a < R et de masse ngligeable autour duquel est enroul un fil. Les deux disques et le tambour sont solidaires et ont mme axe. Le Yoyo est pos sur un plan horizontal sur lequel il roule sans glisser.

    On exerce sur le fil une force constante faisant un angle avec lhorizontale. On note f le coefficient de frottement solide yoyo/sol.

    On notera que le point daction de la force

    F se ramne au point du tambour tangent au fil tendu.

    1. Faire le bilan des forces sur le yoyo

    2. Faire le bilan des moments des forces au centre de masse G du yoyo. Utiliser si possible la notion de bras de levier.

    g

    F

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    DYNAMIQUE DU SOLIDE

    AC8 : pendule pesant En utilisant le thorme du moment cintique, dterminer lquation du mouvement de ce pendule pesant, en supposant que les liaisons en O sont parfaites. On notera d = OG, o G est le centre de masse du pendule et JOy le moment dinertie selon laxe Oy.

    Exercice 7: Yoyo.

    On schmatise un yoyo par deux disques identiques homognes de rayon R et de masse M, relis par un tambour cylindrique de rayon a < R et de masse ngligeable autour duquel est enroul un fil. Les deux disques et le tambour sont solidaires et ont mme axe.

    Une extrmit du fil est attache au tambour et lautre un point fixe O. Le fil tant enroul, on lche le systme sans vitesse initiale, laxe tant horizontal. En admettant que laxe reste horizontal au cours du mouvement, calculer lacclration linaire du yoyo et la tension du fil tout instant.

    Exercice 8 : Un oscillateur Sur le schma, ci-contre, le point A appartenant la circonfrence dune roue, disque homogne de rayon R et masse m, est attach deux ressorts identiques. On suppose que la roue ne glisse pas sur le sol, fixe. On notera

    = Cz,CA( ) On sintresse aux petites oscillations du systme, cest dire

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    1. Dterminer la relation liant la vitesse

    v = vex du centre C et la vitesse de rotation de la roue. 2. Montrer que lorsque C avance de x, le point A se dplace de 2x (approximation dans le cadre des petites oscillations). 3. Appliquer le thorme du moment barycentrique la roue. En dduire la relation

    approche

    J ddt

    = TR 4kRx o

    T = Tex est la raction tangentielle du sol.

    4. Appliquer le thorme de la rsultante cintique la roue. 5. Dduire des rsultats prcdents la pulsation des petites oscillations.

    Exercice 9 : Machine de Timochenko On considre le dispositif ci-dessous :

    Les deux cylindres de mme rayon b tournent en sens inverse vitesse angulaire de mme norme .

    On note f le coefficient de frottement cylindre / planche, identique pour les deux cylindres.

    On note

    R1 = N1ey + T1ex et

    R2 = N 2ey + T2ex les actions de contact des cylindres (1) et (2) sur la planche.

    A linstant initial, on pose une planche homogne de masse m dpaisseur ngligeable, dans une position lgrement dissymtrique ; on constate que, sous certaines conditions, la planche oscille sinusodalement. On dfinit la position de la planche par la variable x(t) = OG, o O est la position symtrique relativement aux deux cylindres et G le centre de masse de la planche.

    Les conditions initiales sont alors :

    x(0) = x0 et

    dxdt

    (0) = v(0) = 0

    1. Donner les expressions des vitesses de glissement aux points de contact I1 et I2 en fonction de v, b et . En dduire que la planche glisse sur chaque cylindre.

    2. Appliquer le thorme de la rsultante cintique la planche et en tirer deux relations scalaires

    C2 C1

    G

    x

    d d

    O I1 I2

    y

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    3. Appliquer le thorme du moment cintique barycentrique. 4. Dduire des questions prcdentes les expressions de N1 et N2 en fonction de m, g, x et d. Donner alors une condition portant sur x0 assurant que la planche reste en contact des cylindres.

    5. En dduire une quation diffrentielle en x(t) et la rsoudre avec les conditions

    initiales donnes en dbut dnonc. On posera

    0 =gfd

    .

    6. Montrer quil existe une vitesse de rotation des cylindres minimale, note m en dessous de laquelle le systme ne peut plus osciller. Donner son expression. 7. Peut-on observer des oscillations si on inverse le sens de rotation de chaque cylindre ? Exercice 10 : Fermeture dune portire

    Une voiture, initialement vitesse nulle, dmarre en ligne droite horizontale avec une acclration

    constante. Une porte de cette voiture est schmatise par un carr, homogne de masse m et de ct b et d'paisseur ngligeable. Cette porte est fixe la voiture par un de ses cts verticaux et elle peut tourner librement (sans frottement) autour de ce ct. Soit l'angle que fait la porte avec la direction de dplacement de la voiture (voir figure).

    Initialement = /2. Voiture vue de dessus

    Le moment d'inertie de la porte par rapport la charnire en A vaut

    J = 13mb2.

    1. Dans le rfrentiel de la voiture, quel est le point d'application de la force d'entranement sur la porte ? Justifiez votre rponse.

    2. Dterminer la vitesse angulaire de la porte quand elle se ferme.

    3. Dterminer le temps ncessaire la fermeture de la portire. On donne pour cela

    dcos0

    2 = 2,62

    Exercice 11 : Moteur daxe fixe

    On considre un moteur daxe horizontal fixe qui exerce un couple constant C sur une poulie de rayon R. Une masse M est suspendue la poulie, de moment dinertie J par rapport son axe de rvolution.

    On note (t) la vitesse angulaire de la poulie autour de son axe.

    1. La poulie tourne sans frottements.

    1.a. Quelle est la condition sur C pour que la masse puisse remonter ?

    A

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    Dans la suite, on suppose cette relation satisfaite. A t = 0, le mouvement dmarre partir dune vitesse angulaire initiale nulle pour la poulie (0) =0.

    1.b. Trouver une relation cinmatique entre et v, vitesse de M.

    1.c. Appliquer le thorme du moment cintique la poulie.

    1.d. Appliquer le thorme de la rsultante cintique la masse M.

    1.e. En dduire une quation diffrentielle sur (t) et la rsoudre.

    1.f. La solution vous semble-t-elle physiquement satisfaisante ?

    2. On cherche modliser les frottements propres au systme {moteur + poulie} et pour cela on effectue des essais vide, cest dire quaucune masse nest suspendue. La poulie est mise initialement en rotation avec une vitesse angulaire (0) = 0.

    A t = 0, le couple moteur C est arrt. On observe quau bout dun temps , la vitesse de rotation a diminu de moiti.

    2.a. On suppose que les frottements sont de type fluide et exercent un couple rsistant

    Cf = . Dterminer le coefficient en fonction des donnes du problme. Dpend-il des conditions initiales ?

    2.b. On observe un arrt total de la rotation au bout dun temps = 2,5. Justifier que le modle prcdent ne convient pas totalement et proposer une loi corrective pour le frottement. Lexpression du coefficient trouve prcdemment est-elle modifie ?

    Exercice 12 : Le patineur

    On sintresse un patineur effectuant des tours sur place (on appelle cette figure une pirouette) la vitesse angulaire 0, les deux pieds au sol et les bras restant colls le long du corps.

    On nglige les frottements de pivotement des patins sur la glace.

    Il monte ses bras et les place en croix lhorizontale, tournant alors la vitesse

    angulaire 1. Estimer le rapport

    10

    .

    On pourra se poser comme question prliminaire si le rapport doit tre suprieur ou infrieur 1.

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    Exercice 13 : Exprience de Cavendish

    En 1798 le physicien Henri Cavendish ralise une exprience lui permettant de peser la Terre et dobtenir la valeur de la constante de gravitation G. Aux extrmits dune tige de bois de longueur l = 2m et de masse ngligeable, il fixe deux boules de plomb de masse m = 730g puis en suspendant le tout un fil de torsion, il ralise un pendule de torsion. On rappelle quun fil de torsion produit un couple de rappel, qui soppose la torsion, proportionnel langle de torsion : Le moment du couple par rapport laxe du fil vaut = C o C dsigne la constante de torsion.

    1. Cavendish cherche dabord mesurer la constante de torsion en faisant osciller le pendule de torsion. Montrer laide du thorme du moment cintique que langle de torsion vrifie lquation dun oscillateur de pulsation propre :

    0 =2Cml2

    2. Cavendish, mesure la priode T des oscillations. Il trouve T = 7mn. En dduire la constante de torsion.

    3. Il place ensuite la distance r = 22,5 cm des deux masses, deux grosses boules de plomb de masse M = 158 kg, comme lindique la figure. Montrer que la position dquilibre est dvie dun angle (la dviation tant trs faible on considrera que r reste constant).

    4. Cavendish trouve G = 6, 75.1011 N.m2.kg2. Calculer la dviation angulaire correspondante. Commentez.

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    ENERGIE DU SOLIDE

    AC8 : Roue qui monte sur un plan inclin On suppose quune roue, de rayon a, roule sans glisser sur un plan inclin dun angle par rapport lhorizontale. On considre que la roue monte sous laction dun couple moteur constant m. Dterminer la puissance totale des actions exerces sur la roue en fonction de

    , vitesse angulaire associe la rotation de la roue.

    AC9 : pendule pesant On reprend les mmes notations que pour AC8. Dterminer lquation du mouvement par application du TPC.

    Exercice 14 : Deux sphres qui roulent

    On dispose de deux sphres de mme masse m, de mme rayon R. La sphre n1 est pleine (en aluminium) et la sphre n2 est creuse (en plomb) dont on supposera la masse rpartie en surface. On les fait rouler sur un plan inclin qui fait un angle avec lhorizontale en les lchant sans vitesse initiale. On suppose que le roulement se fait sans glissement.

    1. Comparer les moments dinertie des deux sphres, nots J1 et J2.

    2. Pour chacune des deux sphres, donner :

    2.a. la vitesse vi du centre en fonction de la vitesse angulaire i et de R.

    2.b. lnergie cintique en fonction de m, R, vi et Ji.

    3. Etude dynamique :

    3.a. En appliquant le TPC, exprimer

    dvidt

    en fonction de m, R, Ji, et g.

    3.b. Conclure : quelle sphre descendra le plus rapidement la pente ?

    Exercice 15 : Le seau qui plonge dans un puits

    Un treuil est constitu dun cylindre de rvolution de rayon R et de moment dinertie J par rapport son axe horizontal . On suppose que le cylindre tourne sans frottement autour de son axe. Une corde, inextensible et dont on ngligera lpaisseur et la masse, est enroule sur le cylindre et retient un seau de masse M.

    En appliquant la conservation de lnergie, et en vrifiant au pralable quelle se conserve bien, dterminer lacclration du seau si le systme est laiss lui-mme.

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    Exercice 16 : Chute dune chane

    Une chane AB homogne et sans raideur, de masse m et de longueur d, est pose sur le bord dune table horizontale, sans vitesse initiale.

    Laxe (Oz) est orient vers le bas, O se trouvant au bord de la table. La partie OA de la chane pend dans le vide tandis que le reste BO repose sur la table. On repre par z la position de A telle que OA(t) = z(t). Initialement z(t = 0)= a.

    On nglige tout frottement interne la chane dune part, et entre la table et la chane dautre part.

    1. Donner lexpression de lnergie mcanique de la chane.

    2. En dduire lquation diffrentielle que vrifie z(t).

    3. Dterminer alors la loi z(t).

    Exercice 17 : Chute dune chelle (partie 3) On reprend les conditions et rsultats des exercices 3 et 5 On suppose que lchelle glisse en A avec un frottement de coefficient f et quelle glisse en B sans frottement. Le rfrentiel dtude est suppos galilen.

    1. Dfinir le nombre de degrs de libert ainsi que les actions inconnues. En dduire le nombre dquations ncessaires ltude de la chute.

    2. Lchelle chute : appliquer le thorme des puissances cintiques. 3. Utiliser une seconde quation tire dun thorme de la dynamique pour lever linconnue prsente dans lquation de la question 2). En dduire lquation diffrentielle du mouvement en .

    4. A quelle condition sur peut-on avoir le maintien en quilibre de lchelle ?

    Exercice 18 : Oscillations dune roue leste

    Un point matriel A de masse m est solidaire de la surface dune roue assimil un disque homogne de masse M de centre C de rayon R de moment dinertie J par rapport son axe de rvolution et qui roule sans glisser sur un sol horizontal. On note I le point de contact de la roue avec le sol. La rotation de la roue est repre par langle orient entre la verticale descendante et le rayon CA. Quel lien y a-t-il entre la vitesse du centre C et le vecteur rotation de la roue ? En dduire en fonction de , de ses drives et des constantes du problme, lnergie cintique de la roue leste, son nergie potentielle de pesanteur. En dduire la priode des petites oscillations.

    x

    zx

    O

    A

    I

    C

  • PC13/14 TD : MECANIQUE DU SOLIDE

    Exercice 19 : Freinage dune voiture : Une voiture, de masse totale M = 1,0 tonne est constitue dun chssis et de quatre roues de rayon R = 30 cm et de masse m = 20 kg chacune. Le moment dinertie dune

    roue par rapport son axe de rotation scrit

    J = mR2

    2.

    La voiture commence freiner alors que sa vitesse est v0 = 130 km.h-1. On suppose que le mouvement est rectiligne horizontal et que les roues roulent sans glisser sur le sol. Le rfrentiel terrestre dtude est suppos galilen.

    1. Exprimer lnergie cintique de la voiture un instant t quelconque o la voiture se dplace une vitesse v. 2. Dterminer la distance darrt d si chaque roue est soumise un couple de freinage constant de norme C0 = 350 Nm et que le couple moteur est stopp.

    Exercice 20 : Mesure dun coefficient de frottements Deux objets M et M (masses m et m) sont relis par un fil inextensible, de masse ngligeable, susceptible de glisser sans frottement sur une poulie fixe, parfaite (pas de couple de frottements) et dont on ngligera linertie. Initialement, le fil est tendu et lobjet M se trouve une hauteur h du sol. A linstant t = 0, un oprateur enlve le support et lobjet M se met glisser sur un plan horizontal avec un coefficient de frottement f. 1. En considrant deux phases pour le mouvement de M, exprimer la distance D parcourue par M avant de sarrter. 2. En dduire f en fonction de m, m, h et D. 3. Sans tout refaire, indiquer ce qui change dans la mise en place du problme si on suppose que la poulie possde un moment dinertie J par rapport son axe central de rotation.

    M M

    h

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    EXERCICES LIBRES

    Exercice 21 : Yoyo horizontal

    On schmatise un yoyo par deux disques identiques homognes de rayon R et de masse M, relis par un tambour cylindrique de rayon a < R et de masse ngligeable autour duquel est enroul un fil. Les deux disques et le tambour sont solidaires et ont mme axe.

    Le Yoyo est pos sur un plan horizontal sur lequel il roule sans glisser. On exerce sur le fil une force constante faisant un angle avec lhorizontale. On notera que le point daction de la force

    F se ramne au point du tambour tangent au fil tendu.

    1. Dterminer lexpression de lacclration du Yoyo et en dduire le sens de dplacement horizontal en fonction de langle .

    2. On note f le coefficient de frottement entre le Yoyo et le sol. Quelle condition portant sur F, a, R, M et , doit vrifier f pour que lhypothse du roulement sans glissement soit valide ?

    Exercice 22 : Chute dune tartine beurre

    Une tartine paralllpipdique est pose en porte--faux sur le coin dune table (centre de gravit G, masse m, moment dinertie J par rapport (Gy), dpaisseur ngligeable (mme si cela ne parat pas vident sur le schma) , valeur du porte--faux a). Laction de la table se dcompose en une composante normale de module N et une tangentielle de module T, le coefficient de frottement est f. On note langle dont tourne la tartine par rapport sa position initiale horizontale suppose sans vitesse. On tudie le mouvement de bascule de la tartine autour du coin de la table et on suppose que celui-ci seffectue sans glissement. 1. Dans ce mouvement, la tartine est-elle un systme conservatif ?

    2. Dterminer

    ddt

    et

    d 2dt 2

    en fonction de et des constantes du problme.

    3. Mme question pour N et T. 4. Tracer lallure des graphes donnant N et T en fonction de . La tartine dcolle-t-elle de la table avant de glisser ou linverse ?

    g

    F

    z

    x

    a

    G

    N

    T

    mg

  • PC13/14 TD : MECANIQUE DU SOLIDE

    Exercice 23 : Machine dAtwood

    Une poulie de rayon a, de moment dinertie J par rapport son axe supporte, grce un fil inextensible de masse ngligeable et non glissant, dun ct une masse M et de lautre une masse M et une surcharge m (cf figure). Calculer lacclration du systme. On utilisait cette machine en TP de physique en classe de terminale vers la fin des annes 60 pour mesurer lacclration de la pesanteur. Quel intrt par rapport une mesure directe ? La poulie nest pas vraiment un disque homogne et J est difficile valuer. On faisait deux mesures dacclration pour deux valeurs diffrentes de M. Expliquer le pourquoi e2le comment.

    Exercice 24 : Palan

    Calculer, en fonction du module V de la vitesse verticale de la masse M, lnergie cintique du systme form par les masses M et m, les deux poulies identiques de masse , de rayon a et de moment dinertie J par rapport laxe de rvolution et le fil de masse ngligeable, inextensible. Le fil ne glisse pas sur les poulies, celle du haut a un centre fixe et celle du bas slve. En dduire lacclration de la masse M. En profiter pour rappeler lintrt du palan sur la poulie.

    Exercice 25 : Un oscillateur bis

    Dterminer la priode des oscillations du systme ci-contre, le fil tant inextensible et ne glissant pas sur la poulie. On ngligera tout frottement.

    (J, a)

    M M+m

    m

    M

    (, a, J )

    (, a, J )