Lycée François Arago

Perpignan

M.P.S.I.

2012-2013

TD d’électrostatique no1

Champs et potentiels électrostatiques

Exercice 1 - Champ sur l’axe d’un doublet de charges opposées.

Deux charges ponctuelles opposées q et −q sont placées respectivement en A et B sur l’axe (Ox), à une distance a de

part et d’autre du point O. On note−→E (M) le champ électrostatique et V (M) le potentiel électrostatique créés par

ces deux charges en un point M de l’axe (Ox).

1 . Quelle est la direction du champ électrostatique−→E (M) ?

2 . Donner l’expression du champ électrostatique−→E (M) en fonction de q, a et x.

3 . Donner l’expression du potentiel électrostatique V (M) en fonction de q, a et x.

4 . Retrouver l’expression du champ électrostatique−→E (M).

5 . Tracer l’allure des courbes V (x) et Ex(x).

6 . Analyser l’existence de positions d’équilibre pour une charge ponctuelle Q mobile sur l’axe (Ox).

xb

Ob

M(x)B

−q

A

q

2. Réponse : pour tout point M de l’axe (Ox) tel que |x| > a, on a−→E (M) =

q

4πǫ0

(

1

(x + a)2− 1

(x − a)2

)

−→ex

pour tout point M de l’axe (Ox) tel que 0 6 |x| < a, on a−→E (M) =

q

4πǫ0

(

1

(x + a)2+

1

(a − x)2

)

−→ex

3. Réponse : V (M) =q

4πǫ0

[

1

|x + a| − 1

|x − a|

]

pour x 6= ±a

6. Réponse : aucune position d’équilibre.

Exercice 2 - Charges placées aux sommets d’un polygone régulier.

Un ensemble de n charges ponctuelles identiques égales à q est réparti dans le plan (Oxy) sur les n sommets d’unpolygone régulier de centre O et de rayon R (sur la figure est représenté le cas d’un hexagone). On note V (M) lepotentiel électrostatique créé en un point M de l’axe (Oz) par cette distribution.

1 . Donner l’expression du potentiel électrostatique V (M) enfonction de n, q, R et z.

2 . En déduire l’expression du champ électrostatique−→E (M).

3 . Tracer l’allure des courbes V (z) et Ez(z).

4 . Existe-t-il des positions d’équilibre pour une charge ponctuelleQ mobile sur l’axe (Oz) ? Analyser leur stabilité.

y

z

x

O

× M(z)

S. Bénet 1

1. Réponse : V (M) =n q

4πǫ0(z2 + R2)1/22. Réponse :

−→E (M) =

n q z

4πǫ0(z2 + R2)3/2

−→ez

4. Réponse : la position z = 0 est une position d’équilibre, stable si Q et q sont de signes opposés.

Exercice 3 - Surface équipotentielle.

Une distribution de charge D est contenue dans un plan (Oxy). Elle est constituée par la charge −q placée au pointA(−1, 0) et par la charge 2q placée au point B(+1, 0). On note V (M) le potentiel électrostatique créé en un pointM(x, y).

1 . Quelle est la relation simple entre AM et BM pour tout point M de l’équipotentielle V = 0 ?

2 . Montrer que l’équipotentielle V = 0 est un cercle C. Déterminer la position de son centre C ainsi que de sonrayon.

1. Réponse : BM = 2 AM 2. Réponse : C(− 5

3, 0) et R = 4

3

Exercice 4 - Équilibre d’une boule chargée.

Deux boules identiques A et B sont distantes de D = 1 m et fixes. Elles portent initialement une même charge q. Onmet en contact avec la boule A une boule C identique aux deux autres, portant initialement une charge nulle.

1 . Quelle est la charge q′ acquise par la boule C ?

2 . Exprimer puis calculer la distance x0 entre la boule A et la boule C lorsque cette dernière est dans une positiond’équilibre.

3 . L’équilibre est-il stable ou instable ?

x

BA C

1. Réponse : q′ =1

2q

2. Réponse : x0 =D

1 +√

2

3. Réponse : il s’agit d’une position d’équilibre stable.

Exercice 5 - Électromètre.

Un électromètre est constitué de deux petites boules conductrices identiques demême masse m, suspendues à deux fils isolants de même longueur ℓ. Au repos- les boules n’étant pas chargées - les fils sont tous deux verticaux et les boulesse touchent. On transmet par contact une charge totale Q aux boules.

1 . Déterminer la relation vérifiée par l’angle α formé à l’équilibre par chacundes fils avec la verticale.

2 . En supposant que α ≪ 1 , calculer α.

bO

AB

αℓℓ

−→g

Données : Q = 10−8 C ; m = 1 g ; g = 9, 8 m · s−2 ;1

4πǫ0

= 9 · 109 N · m2 · C−2.

Réponse :sin3 α

cos α=

Q2

64πǫ0ℓ2mg

S. Bénet 2/4

Exercice 6 - Arc de cercle uniformément chargé.

Un arc de cercle de centre O, de rayon R et d’angle au sommet 2α porte une charge Q uniformément répartie sur sa

longueur. On note (Ox) sa bissectrice et−→E (O) le champ électrostatique créé au point O.

Un point P de la distribution de charges est repéré par l’angle θ indiqué sur la figure.

1 . Quelle est la direction du champ électrostatique−→E (O) ?

2 . Exprimer le champ électrostatique élémentaire d−→E (O) créé en O

par la charge élémentaire portée par l’arc de cercle élémentaire centréP .

3 . En déduire l’expression du champ électrostatique−→E (O) en fonction

de Q, R et α.

4 . Analyser les cas α → 0 et α → π.

x

O

α

C

θ

P

Réponse :−→E (O) =

Q

4πǫ0R2

sin α

α−→ex

Exercice 7 - Demi-cercles portant des charges opposées.

Un cercle de centre O et de rayon R est découpé en deux demi-cercles C1

et C2, portant les charges opposées respectives Q et −Q uniformément

réparties. On s’intéresse au champ électrostatique−→E (O) créé au point

O par cette distribution.

1 . Quelle est la direction du champ électrostatique−→E (O) ?

2 . Déterminer l’expression du champ électrostatique−→E (O) en fonction

de Q et R.

x

y

O

C1 C2

Réponse :−→E (O) =

Q

π2ǫ0R2

−→ex

Exercice 8 - Cercle non uniformément chargé.

Un cercle C de centre O et de rayon R est caractérisé par une densitélinéique de charge λ qui varie en fonction de la position du point P surle cercle, suivant la loi λ(θ) = λ0 cos θ, avec λ0 une constante.

1 . Quelle est la direction du champ électrostatique−→E (O) ?

2 . Exprimer le champ électrostatique élémentaire d−→E (O) créé en O

par la charge élémentaire portée par l’arc de cercle élémentaire centréP .

3 . En déduire l’expression du champ électrostatique−→E (O) en fonction

de λ0 et R.

x

y

O

C

θ

P

Réponse :−→E (O) = − λ0

4ǫ0R−→ex

S. Bénet 3/4

Exercice 9 - Champ sur l’axe d’un segment chargé.

Un segment [A, B] de l’axe (Ox) est chargé uniformément et est caractérisé par sa densité linéique de charge λ, les

points A et B étant situés à une distance a du point O. On note−→E (M) le champ électrostatique et V (M) le potentiel

électrostatique créés en un point M de l’axe (Ox) et situé en dehors du segment chargé.

1 . Quelle est la direction du champ électrostatique−→E (M) ?

2 . En repérant la position d’un point P de la distribution de charge par son abscisse X , exprimer le champ

électrostatique élémentaire d−→E (M) créé en M par la charge élémentaire portée par l’élément de longueur élémentaire

centré en P .

3 . En déduire l’expression du champ−→E (M) en fonction de λ, a et x.

4 . En repérant la position d’un point P de la distribution par son abscisse X , déterminer l’expression du potentielélectrostatique V (M) en fonction de λ, a et x.

5 . Retrouver l’expression du champ électrostatique−→E (M).

6 . Tracer l’allure des courbes V (x) et Ex(x).

7 . Analyser le cas a ≪ x.

xb

Ob

M(x)

BA

2a

3. Réponse :−→E (M) =

λa

2πǫ0 (x2 − a2)−→ex

4. Réponse : pour x > a , on a : V (M) =λ

4πǫ0

ln

(

x + a

x − a

)

Exercice 10 - Expérience de Rutherford.

Une fine feuille d’or (Z = 79) est bombardée par des particulesα, c’est-à-dire des noyaux d’hélium . Ces particules sont projetéesavec une énergie cinétique E0 = 10 MeV . On constate qu’unefaible partie des particules incidentes est renvoyée dans la directionopposée, à cause de leur "rebond" sur les noyaux d’or.

Données : 1 eV = 1, 6 · 10−19 J, e = 1, 6 · 10−19 C,

mproton ≃ mneutron = 1, 6 ·10−27 kg ,1

4πǫ0

= 9 ·109N· m2 ·C−2.

bc bcbcbcbc

bcbc

AB

noyau

d

En traduisant la conservation de l’énergie mécanique entre la position initiale A des particules α et leur positiond’approche minimale B, exprimer la distance d’approche minimale d au noyau en fonction des données. Calculer d.

Réponse : d =2Ze2

4πǫ0 E0

S. Bénet 4/4