TD Communication Analogique 14

8/3/2019 TD Communication Analogique 14

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Exercices de Tlcommunications Transmission sur des lignes

GTR 2me anne semaine 10

Rappel des notions de propagation

La propagation d'un signal est perceptible si un signal produit en un endroit est observable en d'autres endroits

mais des instants diffrents.

SoientM0,M1,M2 etM3 des points d'un axex, d'abscissesx0,x1,x2 etx3. Un signal est mis l'instant t=0 au point

M0. Ce signal a l'allure suivante :

td

s(t)

t

A

1. Dessinez ce que l'on observe aux pointsMi en fonction du temps si le milieu transmet le signal sansattnuation la vitesse v. Vous prendrez :xi=2 i m et vi=0,5 m.s-12. En dduire que l'expression du signal vu enMi pourrait tre de la forme S t x

v

i

.

Donc un signal qui se propage est une fonction de deux variables:x et t. Un signal s se propage si et seulement si

s vrifie l'quation:

s =0

est l'oprateur

2

2 2

2

2

1

x v t "Dalembertien".

3. Vrifiez que s t xv

satisfait cette quation, alors s tx

v+

obit aussi l'quation du Dalembertien nul.

Quelle est sa signification?Enx=0, un signal priodique est mis. Ce signal est reprsent sur une priode:

T

s(t)

t

A

4. Dessinez l'allure de S t xv

en fonction du temps pour une abscisse x donne.

5. Dessinez l'allure de S t xv en fonction de l'espace pour un instant t donn.6. En dduire que le signal est doublement priodique en temps et en espace. Exprimez la priode spatiale en

fonction de la priode temporelle et de la vitesse de propagation.

Exercice 1

On mesure, la mme frquence, l'impdance d'entre d'une ligne sans perte de longueur l=1,5 m. Lorsque la

ligne est termine par un circuit ouvert, la mesure donne :Z0= -j 54,6 , puis quand la ligne est court-circuite,on obtient :Zcc= j 103 . Dterminez l'impdance caractristique de la ligne ainsi que la longueur d'onde.


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Exercice 2

1. Que reprsentent les ondes ( ) ( )v x t v e j t x, = 0 et ( ) ( )u x t u e j t x, = +0 . A quelle vitesse ces ondes sepropagent-elles ?

2. On considre une ligne semiinfinie. La tension d'entre est : ( )v x t v e j t= =0 0, . Dterminer le signal( )v x t, dans la ligne connaissant la relation de dispersion ( ) .

3. Le signal d'entre est maintenant ( )v x t v e d j t= = 0 01

2

,

. Donnez l'expression de ce signal. Vous

poserez :

02 1

2=

+et

=

2 12

. La relation de dispersion dans cet intervalle

est : ( ) = +0 .4. Calculez la vitesse de phase et la vitesse de groupe.5. Etudiez la propagation du signal.

Exercice 3

Une ligne sans pertes, compose de trois tronons de fils coaxiaux, est relie un gnrateur de frquence

500 MHz. La ligne se prsente comme indiqu cidessous :

A C

Rl=100 Zc=75

110 cm

Zc=50

Airr=1,0

D

Zc=50

Polythylner=2,25

Tflonr=2,0

120 cm 50 cm

B

Rappel : = LC. Dans le cas d'une ligne coaxiale, on a aussi

= =2

00 2

0

c r.

1. Comme par dfinition

=2

, en dduire la longueur d'onde dans chaque tronon.

2. Calculez l'impdance rduite par le tronon 1 ramene en C. En dduire l'impdance rduite par le tronon 2ramene en C.

3. Calculez l'impdance rduite par le tronon 2 ramene en B. En dduire l'impdance rduite par le tronon 3ramene en B.

4. Calculez l'impdance rduite par le tronon 3 ramene en A. En dduire l'impdance ramene en A.

Exercice 4

Une ligne sans perte d'impdance caractristiqueZc est charge par une rsistanceR. On intercale entre la ligne

et la charge un autre tronon de ligne sans perte mais d'impdance caractristiqueZc', de longueur /4 dans le but

d'adapter la ligne. Dmontrez que la condition d'adaptation est Z R Z c c' = .


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Exercices de Tlcommunications Transmission sur des lignes

GTR 2nde anne semaine du 13 Novembre 2000

CORRIG

Rappel des notions de propagation

1.

t2

s(t)

t

td t2+tdt1 t1+td

A

En M1En M2

avec les instants tx

vi

i= .

2. Leur faire comprendre que le terme xvi est une translation dans l'espace des temps et doit correspondre autemps mis par le signal pour atteindrexien partant de 0.

3. Soit u t xv

= .

f

x

f

u

u

x v

f

u= =

1

2

2

1 1

2

2

2

f

x x

f

x v u

f

u

u

x v

f

u=

=

=

f

t

f

u

u

t

f

u= =

2

2

2

2

f

t t

f

t u

f

u

u

t

f

u=

=

=

donc :

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

20

f

x v

f

t v

f

u v

f

u = = .

De mme, s tx

v+

vrifie cette quation. C'est aussi un signal qui se propage, mais maintenant dans le sens

desx dcroissants.

4.

T

s(t)

t

A

5.

L

s(x)

x

A

6. La priode temporelle est T. Le signal se retrouve identique lui-mme aprs un dcalage spatial faisantapparatre un retard T. La priode spatiale est donc : L vT = . Notion de frquence temporelle F=1/Tet defrquence spatiale f=1/L. Leur faire le dessin 3D def(x,t).

Exercice 1

ZR est l'impdance de charge de la ligne. L'impdance ramene en 0 est : ( )( )Z Z Z j Z l

Z j Z lc

R c

c R

0 = ++

tantan

.


4/5

Si la ligne est ouverte, ZR= et ( )Z

co Zc

j l0 =

tan , donc

( )Z

coj

Zc

lj0 54 6= =

tan.

.

Si la ligne est courtcircuite, ZR=0 et ( )Zcc

j Zc l j0 103= =tan .

donc Zc Zco

Zcc2

0 0= , ce qui donne Zc=75 et ( )tan ,

2 0

0

189 lZcc

Zco

= = , ce qui donne lZcc

Zco

= arctan 0

0

donc :

= = =

2 2

0

0

10l

Zcc

Zco

m

arctan

Exercice 2

1. v est une onde sinusodale se propageant dans le sens des x croissants, u dans le sens desxdcroissants.

Pour v : en t=0, le signal rel est ( )( ) ( )Re , cosv x t v t x= 0

En t+dt, le signal a avanc de dx : ( ) ( )( )v t dt x dx0 cos + +La vitesse laquelle se dplace un cos est celle laquelle se dplace sa phase. On suit par

exemple un maximum :

( ) ( )( ) t dt x dx cste+ + = donne:dx

dt=

Pour u, on a la mme vitesse, mais dans le sens x dcroissant. C'est la vitesse de phase.

2. Dans une ligne semiinfinie, il ne peut y avoir de rflexion et le signal qui se propage est uniquement lev de la question 1 :

( )( )

( )v x t v ej t x

, =

0

3. ( ) ( )v x t v e j t d v e j t t= = =0 0 2 01

2

, sinc

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )v x t v e j t x d v e j t x t x, sinc= + = + 0 0 2 0 0 01

2

sinc est la fonction sinus cardinal, sin(x)/x.

Le terme exponentiel est une porteuse sinusodale qui de propage la vitesse de phase( )

0

0et le

reste est l'enveloppe qui se propage la vitesse de groupe 1

.

4. Dessiner un sinus cardinal qui forme l'enveloppe d'une porteuse sinusodale. Les deux composantes sepropagent des vitesses diffrentes (le plus souvent, la vitesse de groupe, celle du sinc, est infrieure

la vitesse de phase, celle du cos).

Exercice 3

1.

= 0

r

et 0 60= =c

fcm

donc: 1 40= cm pour le polythylne


5/5

2 60= cm pour l'air3 42 43= , cm pour le tflon

2. ( )( )

Z Zc

ZR j Zc l

Zc j ZR l

0 =+

+

tan

tan

et

=

2

impdance ramene en C par le tronon 1: si on applique brutalement, on doit faire :

50

100 502

40110

50 1002

40110

25

+

+

=j

j

tan

tan

??

ou encore on remarque que c'est une ligne quart d'onde et ZZc

ZR0

2502

10025= = =

L'impdance rduite estZ

Zc, donc rduite par 1: 0,5 et rduite par 2: 0,333

3. ( )( )

Z ZcZR j Zc l

Zc j ZR l0 =

++

tan

tan

et

=

2

impdance ramene en B par le tronon 2 :

75

25 752

6050

75 252

6050

17557 86 27

+

+

= +j

j

j

tan

tan

. .

impdance rduite par 2: 2,341 +j 1,15 et rduite par 3: 3,5114 + j 1,7254

4. ( )( )

Z Zc

ZR j Zc l

Zc j ZR l0 =

+

+

tan

tan

et

=

2

impdance ramene en A par le tronon 3 :

( )

( )50

175 57 86 27 502

42 43120

50 175 57 86 272

42 43120

0 23 0 42

, . tan,

, , tan,

, ,

+ +

+ +

= +j j

j j

j

Exercice 4

La ligne quart d'onde est un inverseur d'impdance: z(extrmit 1)=1/z(extrmit 2).

L'impdance rduite par le tronon de la charge est z=R/Zc'.

Le tronon doit ramener l'impdance Zc, ce qui donne l'impdance rduite Zc/Zc'.

Donc Zc'/Zc=R/Zc' ce qui donne la relation voulue.

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