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INSTITUT NATIONAL DES TELECOMMUNICATIONS Ingénieurs 2ème Année 2007-2008 COMMUNICATIONS NUMÉRIQUES CORRIGES D'EXERCICES Yann FRIGNAC Roger LAMBERTI Frédéric LEHMANN Marc URO

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INSTITUT NATIONAL DES TELECOMMUNICATIONS

Ingénieurs 2ème Année 2007-2008

COMMUNICATIONS NUMÉRIQUES

CORRIGES D'EXERCICES

Yann FRIGNAC

Roger LAMBERTI

Frédéric LEHMANN

Marc URO

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SOMMAIRE

1 Propriétés & DSP. .............................................................................................................. 1

1.1 Modulation en bande de base..................................................................................... 1

1.2 Codage NRZ, RZ 50%, Biphase ou Manchester. ...................................................... 4

1.3 Modulation étalée..................................................................................................... 11

1.4 Codages Différentiel et Bipolaire. ........................................................................... 12

1.5 Modulations MDP et MSK. ..................................................................................... 22

2 Détection .......................................................................................................................... 25

2.1 Signaux orthogonaux ............................................................................................... 25

2.2 Détection vectorielle ................................................................................................ 34

2.3 Seuils de détection optimaux ................................................................................... 37

2.4 Réception optimale en optique cohérente ................................................................ 41

2.5 Modulation MAQ 8.................................................................................................. 44

2.6 Réponse partielle...................................................................................................... 47

3 Critère De Nyquist ........................................................................................................... 52

3.1 Filtre adapté.............................................................................................................. 52

3.2 Notion de filtre adapté.............................................................................................. 54

3.3 Critère de Nyquist en bande de base........................................................................ 56

3.4 Débits optimaux ....................................................................................................... 58

3.5 Calcul d'énergie........................................................................................................ 60

3.6 Brouilleur sinusoïdal ................................................................................................ 62

4 Modulation Sur Fréquence Porteuse ................................................................................ 63

4.1 Modulations en Phase et en Quadrature................................................................... 63

4.2 Modulation M.S.K. ................................................................................................. 65

4.3 MDP2 Codée et 3MDF2. ......................................................................................... 71

4.4 Modulation Q2PSK. ................................................................................................. 73

5 Canal Non Stationnaire. ................................................................................................. 76

5.1 Évanouissements par trajets multiples. .................................................................... 76

5.2 Canal de Rayleigh & Diversité. ............................................................................... 80

5.3 OFDM sur Canal Dispersif. ..................................................................................... 91

5.4 Diversité de Réception. ............................................................................................ 93

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Exercices préconisés lors des TD :

(Ceci n'empêche pas de faire les autres exercices en travail personnel)

Séance 1 : Exo 1.1 rapidement Exo 1.2 Codes Binaires NRZ et RZ Exo 1.4 differentiel.

But : Revoir et manipuler les propriétés élémentaires des symboles et calculer et

comparer des DSP avec la formule de Bennett.

Séance 2 : Exo 1.5 MDP et MSK

But : Manipuler l’équivalent BdB. Calculer une DSP. Propriété de la MSK.

Séance 3 : Exo 2.5 MAQ-8.

But : Étude des MAQ et optimisation d’une constellation pour le récepteur optimal

BABG, calcul de performances.

Séance 4 : Exos 3.5. et 3.6 Calcul d’énergie et Brouilleur sinusoïdal.

But : Comprendre le Critère de Nyquist en BdB et en Passe Bande. Filtres en cosinus

surélevé.

Séance 5 : Exo 2.1 Signaux orthogonaux. (aller rapidement au début et sauter la question 5

mais finir l'exercice).

But : Définitions des signaux orthogonaux,exemples, calcul de leurs performances en

BABG, tendances asymptotiques.

Séance 6 : Exo 5.2 (questions 1 à 3). Diversité sur canal de Rayleigh.

But : Problème du canal mobile, Principe et intérêt de la diversité. Calcul de

performances.

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1 Propriétés & DSP.

1.1 Modulation en bande de base

Représentation des signaux numériques binaires et quaternaires.

a0 = A a3 = A

a1 = –A a2 = –A

T

2T

3T 4T00–A

At

x(t)

T 2T 3T 4T00

–A

–3A

A

3A

a2 = A

a1 = –A a3 = –3A

a0 = 3A

t

Signal numérique binaire Signal numérique quaternaire

Pour simplifier les notations T=1.

Pour M = 2m puisque dans ce cas le débit binaire et le débit Baud sont reliés par la relation : logb sD D M⋅ 2= , nous avons mb sD D ⋅=

L'énergie associée à un symbole a0 fixé est définie par :

( ) ( )T

aE a g t dt a g t dt a0

⌠ ⌠ ⌡ ⌡

+∞2 2 2 2

0 0 0−∞ 0

= = =

L'énergie moyenne par symbole est définie par :

( )/ ( ) ( )

E EM

s a

p

A A M M ME E a p

M M0

2 222 20

=1

2 2 −1 +1= = = 2 −1 = ⋅6∑ ,

soit : EsM

A2

2 −1= ⋅3

L'énergie moyenne par bit est donnée par : E

Elog log

sb

MA

M M

22

2 2

−1= =3

La puissance moyenne émise est : E Elogb b b s s bM

P D D D AM

22

2

−1= = =3

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Puisque la fonction h(t) est normée, la distance minimale entre deux signaux est définie par :

( )min min j ij i

d Aα α22 2

≠= − = 4 ou mind A= 2

La distance minimale ne dépend pas de la taille de l'alphabet mais la puissance

transmise est proportionnelle à M

Log M

2 −

2

1.

Transmettre un élément binaire supplémentaire par symbole m' m= +1, nécessite un alphabet de taille M' M= 2 et une puissance émise équivalente à

e e( ) log

( )( log )

M MP' P

M M

22

22

4 −1=−1 1+

.

Exemple pour M = 2 :

e eP P15′ =6

, la puissance transmise est environ 3 fois plus importante.

Pour un débit binaire fixé (par le client) et une puissance émise fixée (lors de

l’attribution d’un canal de transmission), le concepteur du modulateur peut déterminer la

modulation telle que la distance minimale entre les signaux soit supérieure à une valeur

minimale fixée.

Seuils

Codeur Canal Décodeur

ÉmetteurPe

Bande pas sante

Affaiblis sement+ Bruit

Db

Détectiondes niveaux

Nombre de NiveauxEch

bk

kTsDs

s(t)

dk ˆ d k

L'énergie moyenne par symbole est définie par : logs bE E M2= avec : eb

b

PE

D=

La valeur de A est définie à partir de Eb par : log

bM

A EM

22

3=−1

La distance minimale est définie par : minlog

bM

d A EM

22

3= 2 = 2−1

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Pour M grand, transmettre un bit supplémentaire par symbole m m′ = +1, conduit à choisir un alphabet à M M′ = 2 symboles.

On obtient ainsi une distance minimale minmin

dd ′ =

2 pour une puissance émise identique.

Exemples pour m = 1 à m = 4 bit/symbole et A constant.

m M s

ME A

22 −1=

3

logbM

E AM

22

2

−1=3

dmin

1 2 A2 A2 2A

2 4 5A2 52A2 2A

3 8 21A2 7A2 2A

4 16 85A2 21.25A2 2A

Exemples pour m = 1 à m = 4 à énergie moyenne par bit constante.

m M logs bE E M⋅ 2= bE minlog

EbM

dM

22

3= 2−1

1 2 bE bE Eb2

2 4 2 bE bE E /b2 2 5

3 8 3 bE bE E /b2 1 7

4 16 4 bE bE E /b2 4 85

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1.2 Codage NRZ, RZ 50%, Biphase ou

Manchester.

Un signal numérique en bande de base est représenté par la relation :

( ) ( )k

k

k

x t g t kT=+∞

=−∞= −∑ et dans le cas de la MIA ( ) ( )

k

k

k

x t a g t kT=+∞

=−∞= −∑ (1)

ka est la suite des symboles transmis. Cette suite de variables aléatoires est

stationnaire, ergodique, de moyenne ma et de fonction de corrélation ( )aR m . ( )g t est la

fonction de mise en forme spectrale, de transformée de Fourier ( )G f . 1/T est le débit Bauds.

La densité spectrale de puissance du signal ( )x t (MIA ou PAM) est exprimée à partir de

la formule de Bennett par :

( ) j( )( ) ( ) e ( )|||

fnT ax a a

Tn

G f mS f R n m t

T T

π2 2

− 221

= ⋅ − ⋅ + − ∑

Le spectre d'un signal numérique comporte une partie continue et un spectre de raie si la

moyenne ma des symboles est non nulle.

1.2.1 DSP des Codes NRZ, RZ 50%, Biphase,

Manchester.

ka est une suite de variables aléatoires Indépendantes à valeurs dans :

a) ,ka ∈ −1 +1 , b) ,ka ∈ 0 1 et de probabilités a priori p & 1-p.

Si /p =1 2 la suite I.I.D. (Indépendantes et Identiquement Distribuées) est de loi uniforme.

Pour les deux ensembles de valeurs a) et b) :

1) Quelle est la densité spectrale de puissance des codes NRZ et RZ50% ?

Il s’agit ici de MIA dont la DSP est donnée par la formule de Bennett.

( ) j( )( ) ( ) e ( )|||

fnT ax a a a

Tn

G f mS f R n m f

T T

πσ

2 2− 222

1≠0

= ⋅ + − ⋅ +

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Un signal NRZ, (Non Retour à Zéro) est défini par : [ , ]

( )ailleurs

A t Tg t

∈ 0= 0

( )( ) SincG f AT fTπ=

Un signal RZ 50%, (Retour à Zéro à la moitié) est défini par : [ , ]

( )ailleurs

TA t

g t

∈ 0= 2 0

( )( ) SincT TG f A fπ= 22

La moyenne de la suite stationnaire ka est a i i

i

m pα2

=1=∑

cas a)

cas b) a

a

m p

m p

=1− 2 = 1−

La fonction de corrélation est ( )a i i

i

R pα2

2

=10 =∑ et ( ) ( )a i j ij a

i j

R n p R nα α2 2

∗ ∗

=1 =1= = −∑∑

Cas a) ,ka ∈ −1 +1 , ( )aR 0 =1 et ( ) E E Ea k k n k k n aR n a a a a m2∗ ∗

− −= = =

( ) ( )( )( ) ( )|||x

T

G f pS f p f

T T

2 22

1 1− 2 = ⋅ 1− 1− 2 +

( )( )x

G fS f

T

2= si symboles équiprobables

Cas b) ,ka ∈ 0 1 ( )aR p0 =1− et ( )( )a aR n m p2 2= = 1−

( ) ( )( )( ) ( )|||x

T

G f pS f p p f

T T

2 22

1 1− = ⋅ 1− − 1− +

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Figure 1. /p =1 2 . Code binaire (0,1) & (-1,+1) de formes NRZ & RZ50%

2) Quelle est la puissance du signal contenue dans les parties du signal ayant

respectivement un spectre de raies et un spectre continu ?

E Es s s b bP D D= ⋅ = ⋅

Binaire (-1,+1) NRZ : E Es bM

A T A T2

2 2−1= = ⋅ =3

& RZ50% : E Es bT

A2= =2

Pas de raies NRZ Es sP D A2= = & RZ50% Es sA

P D2

= =2

Binaire (0,1) NRZ : E E ( )s b A T p2= = 1− & RZ50% : E E ( )s bT

A p2= = 1−2

Puissance moyenne totale NRZ E ( )s sP D A p2= = 1−

Une raie en zéro pour le NRZ de puissance ( )

raie( )

( )G p

P A pT T

2 22 20 1−

= ⋅ = 1−

Si /p =1 2 la moitié de la puissance émise est consommée dans un signal continu qui n'apporte aucune information sur la suite ka

3) Quelle est la densité spectrale de puissance des codes Manchester et Biphase ?

Un code Manchester, est défini par les deux formes s1, s2,

appliquées à du binaire :

[ , ]( )

[ , ]

TA t

s tT

A t T

01

1

∈ 0 2= ∈ 2

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Un code Biphase, est équivalent à un code Manchester avec : A A1 0= − (forme de l'horloge) appliqué à du

binaire symétrique +1, −1.

[ , ]( )

[ , ]

TA t

s tT

A t T

12

0

∈ 0 2= ∈ 2

Le code biphase peut être traité comme une MIA +1, −1 avec une forme unique

[ , ]( )

[ , ]

TA t

g tT

A t T

+ ∈ 0 2= − ∈ 2

ou ( ) ( ) ( )T TTTg t A t A tΠ Π

2 2

3= + ⋅ − − ⋅ −4 4

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T TTT T T Tg t A t t t A t t t tΠ δ δ Π δ δ δ

2 2

3= ⋅ ∗ − − − = ⋅ ∗ + − − ∗ −4 4 4 4 2

( )( ) Sinc e e eT T Tj f j f j fT TG f A f

π π ππ

+ 2 − 2 − 24 4 2

= ⋅ − ⋅ 22

( ) ( )( ) Sinc sinT TG f A T f fπ π2 2 2 2 2= ⋅2 2

( ) ( )e

( )( ) ( )|||Biphas

T

G f pS f p f

T T

2 22

1 1− 2 = ⋅ 1− 1− 2 +

e( )

( )Biphas

G fS f

T

2= si symboles équiprobables

Code Manchester. C’est un code à deux formes ( ), ( )s t s t1 2 , il faut utiliser la formule de la FAC :

( ) ( ) ( ) ( )i i js s i s s s ij

s i n i j

R R p R nT p nT

τ τ τ≠0

1 = ⋅ + − ⋅

∑ ∑ ∑∑

TF( ) ( ) ( ) ( ) ei j

j fnTs s i jR nT S f S f πτ δ τ ∗ − 2∗ − → ⋅ ⋅

( )( ) ( ) ( ) ( )TT

s t A h t B t tΠ δ1 = − ⋅ + ⋅ ∗ −2, ( )( ) ( ) ( ) ( )T

Ts t A h t B t tΠ δ2 = + ⋅ + ⋅ ∗ −

2,

A AA 1 0−=

2,

A AB 1 0+=

2, ( ) ( ) ( )T T

T Th t t tΠ Π2 2

= + + − −4 4

( )( ) ( ) Sinc( ) e j fTS f AH f BT fT ππ −1 = − + ⋅ , ( )( ) ( ) Sinc( ) e j fTS f AH f BT fT ππ −

2 = + + ⋅

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( ) Sinc sin ( )T T

H f jT f f H fπ π ∗ = ⋅ = − 2 2

( ) ( )( ) ( ) ( ) Sinc( ) ( ) Sinc( )S f S f A H f BT fT A H f BT fTπ π∗ ∗1 2⋅ = − ⋅ + ⋅ + ⋅ +

( )( ) ( ) ( ) Sinc( ) ( ) Sinc ( )S f S f A H f ABT fT H f B T fTπ π2∗ 2 2 2 21 2⋅ = − ⋅ − 2 +

( )( ) ( ) ( ) Sinc( ) ( ) Sinc ( )S f S f G f ABT fT H f B T fTπ π2∗ 2 2 22 1⋅ = − + 2 +

( ) ( ) ( ) Sinc ( )S f S f G f B T fTπ2 2 2 2 2 21 2= = + +

La suite est à états indépendants : ( ) ,ij i jp n p p n= ∀ ≠ 0

( ) ( ) ( ),p n p n p p n12 21= = 1− ∀ ≠ 0 . ( ) ,p n p n211 = ∀ ≠ 0 . ( )( ) ,p n p n

222 = 1− ∀ ≠ 0 .

Pour chaque terme de la somme sur n on a donc la même valeur qui se factorise :

( ) ( )( ) ( ) ( ) Sinc ( ) ( ) ( )G f p p p p B T fT p p p pπ2 2 2 2 2 2 2 2⋅ − 2 1− + 1− + ⋅ + 2 1− + 1−

soit ( )( ) Sinc ( )G f p B T fTπ2 2 2 2 2⋅ 1− 2 +

soit pour le spectre ( )( ) ( ) Sinc ( )xT S f G f B T fTπ2 2 2 2⋅ = + +

( )( )( ) Sinc ( ) ( )|||T

G f p B T fT fT

π2 2 2 2 21

1⋅ 1− 2 + ⋅ −1+

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )|||x

T

G f pS f p p G f f B

T Tδ

2 22 2

121− 2

= 4 1− + ⋅ ⋅ + 0

( )e e

( )( ) ( ) ( ) ( )|||Manch st r

T

G f pS f p p f B

T Tδ

2 22

1 1− 2 = ⋅ 4 1− + ⋅ + 0

e e( )

( ) ( )Manch st r

G fS f B

22= + 0 si équiprobables

On retrouve la DSP du Biphase si B = 0 .

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1.2.2 Machine de Moore & chaîne de Markov

1.2.2.1 Utilisation des chaînes de MARKOV

Le calcul des ( )aR m peut être fait rapidement par un calcul sur ordinateur, si le codeur

est représentable par une chaîne de Markov. Un moyen simple consiste à utiliser une

représentation déterministe du codeur sous la forme d'une machine d'états finis à temps discret

et à états discrets. Cette machine “de Moore” est représentable par deux équations :

L'équation d'évolution de l'état et l’équation d’observation qui donne la sortie.

f( , ) g( )k k k k k kb x x b a x−1→ = → =

xk est l'état à l'instant k, à valeurs dans un espace fini Ω. , , , , .k Nx N MΩ ξ ξ ξ1 2∈ = … ≥

kb est une suite de variables aléatoires (parfois Indépendantes et équidistribuées

I.I.D.) à valeurs dans un alphabet fini B.

f(.,.) est une application de Ω×B → Ω

L'équation d'observation : g( )k ka x= . g(.) : Ω → A est une application surjective.

ak est le symbole de sortie du codeur (ou l'observation) à valeurs dans un espace fini A. Il ne

dépend que de l'état xk à l'instant k.

La suite des états xk ,k ∈ 0 +∞ forme une suite stationnaire Markovienne d'ordre 1.

La fonction de corrélation de la suite kb s'exprime par:

( )( ) E Pr ,k k m

a k k m k k m k k m

a A a A

R m a a a a a a

∗ ∗− − −

∈ ∈= = ∑ ∑

* représente le complexe conjugué.

L'application g(.) est surjective, la sommation peut s'exprimer sur l'espace Ω par:

( ) ( ) ( )( ) E g g Pr ,k k m

a k k m k k m k k m

x x

R m a a x x x x

Ω Ω−

∗ ∗− − −

∈ ∈= = ∑ ∑

( )Pr ,k k mx x − est la loi jointe du couple d'états ( ),k k mx x −

( ) ( ) ( )Pr Pr Prk k m k m k mkx ,x x x x− − −=

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1.2.2.2 Rappel des propriétés Markovienne

( ) ( )Pr Prk k k kkx x , x , , x x x−1 −2 0 −1=……

d'où ( ) ( ) ( )Pr Pr PrN N N N N Nx , x , , x x x , x , , x x , , x−1 0 −1 −2 0 −1 0=… … …

( ) ( ) ( )Pr Pr PrN N N N Nx , x , , x x x x , , x−1 0 −1 −1 0=… …

Par récurrence

( ) ( ) ( )Pr Pr PrN

N N k k

k

x , x , , x x x x−1 0 −1 0=1

= ∏…

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Pr Pr Pr Pr Prk k

k k k k k k k k k k

x x

x ,x x ,x ,x x x x x x

Ω Ω−1 −1

−2 −1 −2 −1 −1 −2 −2∈ ∈

= =∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( )Pr Pr Pr Prk i

k k k k k i k i

x

x x ,x x x x

Ω ξ Ωξ ξ

−1

−1 −1 −1∈ ∈

= = = =∑ ∑

On utilise la notation matricielle, qui est plus élégante:

P est la matrice d'éléments ( )/ Pri j k i k jp x xξ ξ−1= = = . P est la matrice des probabilités de

transitions entre états. C'est une matrice stochastique:

La somme des éléments d'une ligne est égale à 1

Les éléments sont positifs ou nuls.

ij

j

p .

pij

=1 ≥ 0

Si la chaîne est régulière :

D est une matrice diagonale d'élément ( )Prj jp x ξ∞= = . jDiag p=D .

La matrice de probabilité de transitions entre k mx − et kx est mP .

Soit a le vecteur de composantes ( )kg x . [ ( ), ( ), , ( )]TNg g gξ ξ ξ1 2= …a .

La fonction de corrélation s'exprime sous forme matricielle par : ( ) T maR m ∗= ⋅ ⋅ ⋅a D P a

Chaîne régulière : x0∞= ⋅p P p , [ ]| | |x0

∞∀ ⇒ =p P p p p⋯

Chaîne stationnaire : ,n n= ⋅ ∀p P p (vecteur propre)

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1.3 Modulation étalée.

On fait un multiplex de 4 voies de données ikb ( , , ,i = 1 2 3 4 ) de même débit Mbit/si bD D= = 1 .

Les voies de données sont binaires ikb ∈ ±1 i.i.d équiprobables et indépendantes entre elles. Chaque voie est étalée spectralement en multipliant chaque bit par la séquence ( )if t de chips

NRZ, ( ( )f t1 = + + + + pour la voie 1, ( )f t2 = + − + − , ( )f t3 = + + − − , ( )f t4 = + − − + pour la voie 4),

puis les voies sont additionnées.

1. Quel est le débit symbole en sortie du modulateur ?

Avec un symbole = 4 Chips : /s b chipD D D= = 4

Avec un symbole = 1 Chip : s chip bD D D= = 4 ⋅

2. Quelle est l’énergie moyenne émise par symbole ?

Un symbole est formé de la superposition des quatre ( )if t (de quatre

chips NRZ ) de même énergie i c bE A T A T2 2= 4 = .

Les signaux ( )if t sont orthogonaux.

Chaque forme est modulée ±1 ce qui fait 42 = 16 possibilités équiprobables.

E ( ) E ( ) ( )

b b bT T T

s i i i i i b

i i j i

E b f t dt b f t dt f t dt A T

24 4 16 42 22 2

=1 =1 =1 =10 00

1 = = = = 4 16

⌠ ⌠ ⌠ ⌡ ⌡⌡∑ ∑ ∑ ∑

La transmission se fait sur un canal idéal BABG.

3. Quelle est la réponse impulsionnelle du filtre adapté de la voie i ?

* ( )Tc tΠ − : Forme NRZ pour le chip et multiplication par la séquence ( )if t appropriée.

4. Ce filtre vérifie-t-il les conditions de Nyquist de non IES ?

(à justifier mathématiquement)

Oui, voir cours (aspect temporel) (ici ( ) ( )cT

h t tΛ2= et ( / ) ( ) /H H1 2 ≠ 0 2 )

1( )f t

1kb

2 ( )f t

2kb

3( )f t

3kb

4 ( )f t

4kb

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1.4 Codages Différentiel et Bipolaire.

1.4.1 Codage Différentiel.

kb est une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans –1,+1 de

probabilités a priori respectives : Pr( )kb p=1 = et Pr( )kb p= −1 =1− .

La suite ka est crée à partir de la suite kb par un codage différentiel défini par la relation

suivante : k k ka a b−1= ⋅ ce qui est équivalent à k k kb a a−1= ⋅ (règle de décodage).

Figure 2. Codeur différentiel.

bk akCodeur

Différentielak = ak−1⋅ bk

formeg(t)

±1 ±1

émisx(t)

1) Quelle est la fonction de corrélation de la suite ka ?

Pr( ) ( ) Pr( ) Pr( ) Pr( )k k k k k k ka P a b /a a b /a−1 −1 −1 −1=1 = =1 =1 =1 + = −1 = −1 = −1

Puisque ka −1 est fonction de , , , ,k k kb b b a−1 −2 0… et grâce à l'indépendance des variables

aléatoires kb et de a0 , Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( )Pr( )k k k k ka a b a b−1 −1=1 = =1 =1 + = −1 = −1 .

En supposant que la suite ka est stationnaire

(ce qui implique en particulier que Pr( ) Pr( )k ka a−1 =1 = =1 )

( )Pr( ) ( ) Pr( ) ( )k k ka P a p a p−1 −1=1 = =1 ⋅ + 1− = −1 ⋅ 1−

d'où : Pr( ) ,kp

a kp

1− 1=1 = = ∀2 − 2 2

Par suite ( )E ( ) ( )ka1 1= ⋅ +1 + ⋅ −1 = 02 2

.

( )( ) Ea kR a20 = =1, ( ) ( )( ) E E ( )a k k kR a a b p p p∗−11 = = = − 1− = 2 −1

pour m > 0 , ( ) ( ) ( )( ) E E ( )E ( )ma k k m k k m k a kR m a a a a b R m b p∗ ∗− −1 −= = = −1 = 2 −1

puisque ( ) ( )a aR m R m∗= − ⇒ ( ) ( ) maR m p= 2 −1

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2) Quelle est la densité spectrale de puissance du signal x(t) défini par (1) ?

On utilisera les fonctions g(t) RZ , NRZ et Horloge.

La densité spectrale du signal codé différentiellement est :

( )( ) ( )x a

G fS f S f

T

2= ⋅

Soit hors formant : ( ) ( ) e ( ) emj fmT j fmTa a

m m

S f R m pπ π− 2 − 2= ⋅ = 2 −1 ⋅∑ ∑

( ) ( ) e ( ) em j fmT m j fmTa

m m

S f p pπ π+∞ +∞

− 2 + 2

=0 =0= 2 −1 ⋅ + 2 −1 ⋅ −1∑ ∑

( )( ) e ( ) e

a j fT j fTS f

p pπ π− 2 + 21 1= + −1

1− 2 −1 ⋅ 1− 2 −1 ⋅

Densité spectrale du code différentiel : ( )

( )( ) cos ( )

ap p

S fp fT pπ 2

4 1−=1− 2 2 −1 2 + 2 −1

Pour Pr( ) /kb p=1 = =1 2 , ( )aS f = 1. Le spectre du signal n'est pas modifié par le

codage différentiel.

Pour p = 0 , kb = −1 , la suite ka alterne systématiquement à la cadence s bD D= .

Le code possède une raie en /sf D= 2 qui correspond à l’horloge associée.

Pour p =1, kb = +1 , le signal transmis est un signal continu qui vaut +1 ou –1 selon les conditions initiales. Il possède une raie en f = 0 .

Calcul de la corrélation par les chaînes de Markov

La suite kb est à valeurs dans l’alphabet ,B = −1 +1

L'état caractérise la valeur du symbole précédent.

L'espace des états tel que , , ,k Nx Ω ξ ξ ξ1 2∈ = … est choisi ici ,Ω = 0 1 .

L'espace des valeurs des symboles codés g( )k ka x= est ,A = −1 +1 .

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L'application f(.,.) de Ω×B → Ω est :

f( , )0 0 =1 f( , )0 1 = 0 f( , )1 0 = 0 f( , )1 1 =1

L'application g(.) est caractérisée par : g( )0 = −1 g( )1 = +1.

0000

bk = +1

1111

bk = +1

bk = −1

bk = −11−p

1−p

pp

Figure 3. Graphe des transitions d'un codeur différentiel.

La matrice de probabilité de transitions est

p p

p p

1− = 1−

P , ( ) ( )( ) ( )

p p

p p

1+ 2 −1 1− 2 −1 1= 1− 2 −1 1+ 2 −12 P

On montre aisément que

( ) ( )( ) ( )

m mm

m m

p p

p p

1+ 2 −1 1− 2 −11 =2 1− 2 −1 1+ 2 −1

P

La matrice diagonale des probabilités à priori est : 1 0 1= 0 12

D

Les valeurs des symboles codés différentiellement sont : −1

= +1 a

Pour m > 0 , la fonction de corrélation des symboles ka est caractérisée par :

[ ] ( ) ( )( ) ( )

( )m m

T ma m m

p pR m

p p

∗ 1+ 2 −1 1− 2 −11 0 −1 1 = ⋅ ⋅ ⋅ = −1 +1 ⋅ ⋅ ⋅ 0 1 +14 1− 2 −1 1+ 2 −1

a D P a

[ ] ( )( )

( )( )m

ma m

pR m p

p

− 2 −11 = −1 +1 ⋅2 = + 2 −14 + 2 −1

Par symétrie ( ) ( )a aR m R m∗= − ⇒ ( ) ( ) maR m p= 2 −1

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Signal sans forme, ( )

( )( ) cos ( )

ap p

S fp fT pπ 2

4 1−=1− 2 2 −1 2 + 2 −1

Figure 4. Fonction ( )aS f du code différentiel ,k k k ka a b a−1= ∈ ±1 .

Signal NRZ différentiel, ( )( ) Sinc ( )x aS f A T fT S fπ2 2= ⋅

Figure 5. DSP du code NRZ différentiel, ka ∈ ±1 . Coupes en . , . .p = 0 4 0 5 0 6

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Signal RZ 50% différentiel, ( ) Sinc ( )x aT T

S f A f S fπ2 2 = ⋅ 4 2

Figure 6. DSP du code RZ différentiel, ka ∈ ±1 . Coupes en . , . .p = 0 4 0 5 0 6 .

Signal Biphase différentiel, ( ) ( )( ) Sinc sin ( )x aT TS f A T f f S fπ π2 2 2= ⋅ ⋅2 2

Figure 7. DSP du code Biphase différentiel. Coupes en . , . .p = 0 4 0 5 0 6 .

On remarque l’annulation du spectre au voisinage de la fréquence zéro. Annulation qui

est due à la forme Horloge ou Biphase.

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1.4.2 Codage Bipolaire.

Le code bipolaire RZ50%, à pour impulsion : [ , ]

( )ailleurs

TA t

g t

∈ 0= 2 0

La suite binaire kb est une suite de symboles indépendants à valeurs dans ,B = +1 −1 .

La suite ternaire ka prend ses valeurs dans , ,A = +1 0 −1 .

Les symboles ak sont définis à partir des symboles kb par un codage bipolaire :

si alors = 1 altenativement

si alors =k k

k k

b a

b a

= +1 ± = −1 0

bk akCodeur Bipolaire bk =1 → ak = ±1bk = −1 → ak = 0⋅

formeg(t)

±1 0,±1

émisx(t)

Figure 8. Codeur bipolaire d’ordre 1.

0

–1

1t

x(t)1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1

0

–1

1t

x(t)1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1

Bipolaire d’ordre 1 forme NRZ Bipolaire d’ordre 1 forme RZ 50%

1) ( )Pr kp b= =1 . Quelle est la fonction de corrélation de la suite kb ?

Ergodisme : la moyenne des symboles ak est nulle puisqu'ils sont alternativement +1 et −1.

( ) Ea kR a p20 = =

( ) ( )( ) E Pr / Prk k

a k k k k k k k

a A a A

R a a a a a a a

−1

∗ ∗−1 −1 −1 −1

∈ ∈1 = = ∑ ∑

Les seuls termes non nuls correspondent aux événements k ka a −1= − , qui sont

caractérisés par k ka a −1 = −1 , ka −1 = ±1 et kb = +1 .

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( ) ( ) ( )Pr / Pr / Prk k k k ka a a a b p−1 −1= +1 = −1 = = −1 = +1 = = +1 =

( ) ( )Pr Pr /k ka a p−1 −1= −1 = = +1 = 2

Soit le cœfficient de corrélation :

( ) ( ) ( ) ( )( ) Pr / Pr Pr / Pra k k k k k kR a a a a a a p2+1 +11 = − = +1 = −1 = −1 − = −1 = +1 = +1 = −

( ) ( )( ) E Pr / Prk m k

a k k m k k m k k m k m

a A a A

R m a a a a a a a

∗ ∗− − − −

∈ ∈= = ∑ ∑

Les seuls termes non nuls correspondent aux événements :

k k ma a −= − , qui sont caractérisés par k k ma a − = −1 , k ma − = ±1 et il y a un nombre pair de 1 dans la suite , ,k k mb b−1 − +1… .

k k ma a −= + , qui sont caractérisés par k k ma a − = +1 , k ma − = ±1 et il y a un nombre impair de 1 dans la suite , ,k k mb b−1 − +1… .

Par symétrie sur la valeur de k ma − ,

( ) ( ) ( )( )( ) Pr Pr / Pr /a k m k k m k k mR m a a a a a− − −= 2 = +1 ⋅ = +1 = +1 − = −1 = +1

( ) ( )

Pr Pr il y a un nombre impair de 1 dans la suite , ,( )

Pr Pr il y a un nombre pair de 1 dans la suite , ,

k k k ma

k k k m

b b bR m p

b b b

−1 − +1

−1 − +1

=1 ⋅ = ⋅ − =1 ⋅

( )( )( ) Pr il y a un nombre pair de 1 dans la suite , ,a k k mR m p b b2−1 − +1= ⋅ 1− 2 …

( )( )

int /2k ( )m

( ) ( )m

mk m ka

k

R m p p p p p2

2 2 −2 2

=0

= ⋅ 1− 2 1− = ⋅ 1− 2

∑ ∁

Pour m ≥ 2 , 2km

!

!( )!

m

k m k=

2 − 2∁ est le nombre de permutations de 2k parmi m.

2) /p =1 2 . Quelle est la densité spectrale du code bipolaire RZ50% ?

Si /p =1 2 alors Il existe le même nombre de suite ayant un nombre pair de 1 que de

suite en comportant un nombre impair donc : ( ) , ( )

( ) et

a a

a

R R

R m m

1 1 0 = 1 = − 2 4 = 0 ∀ ≠ 0 ±1

Il s’agit ici de MIA dont la DSP est donnée par la formule de Bennett.

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GET/INT/CITI 2005-2006 19

( )j j( ) ( ) cos( )( ) e e

fT fT

x

G f G f fTS f

T T

π π π2 22 − 2+1 1 1− 2 = ⋅ − + = ⋅ 2 4 2

Avec la forme RZ 50%, (Retour à Zéro) : [ , ]

( )ailleurs

TA t

g t

∈ 0= 2 0

, ( )( ) SincT TG f A fπ= 22

.

( )( ) Sinc sin ( )xA T TS f f fTπ π

22 2= ⋅24

Tracé en Linéaire. Tracé en décibel.

Figure 9. DSP des Codes Bipolaires NRZ, RZ50% et Binaire 1/2 Baud.

Calcul de la corrélation du code bipolaire par les chaînes de Markov

Le graphe représentant la chaîne de Markov du codeur bipolaire est ci-dessous Figure 10.

Il faut mémoriser si le symbole à transmettre doit être 0, +1 ou −1. Lorsque l'on transmet un +1 ou un −1, il faut se souvenir de la valeur du symbole −1 ou +1 transmis précédemment.

La suite kb est à valeurs dans l’alphabet ,B = +1 −1

L'espace des valeurs des symboles codés g( )k ka x= est , ,A = +1 0 −1 .

L'espace des états tel que , , ,k Nx Ω ξ ξ ξ1 2∈ = … est choisi ici , , ,Ω + −= +1 0 0 −1 .

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L'état noté +0 correspond à l'émission d'un 0 (ou d’un −1 binaire), le 1 (+1 binaire) émis précédemment étant +1.

L'état noté −0 correspond à l'émission d'un 0, le 1 émis précédemment étant −1.

L'état noté +1 correspond à l'émission d'un +1 (+1 binaire).

L'état noté −1 correspond à l'émission d'un −1 (+1 binaire).

L'application f(.,.) de Ω×B → Ω est caractérisée par :

f( , )+ +0 −1 = 0 , f( , )− −0 −1 = 0 , f( , )+0 +1 = −1 , f( , )−0 +1 = +1

f( , )+1 +1 = −1 , f( , ) ++1 −1 = 0 , f( , ) −−1 −1 = 0 , f( , )−1 +1 = −1

L'application g(.) est caractérisée par :

g( )+0 = 0 , g( )−0 = 0 , g( )+1 = +1, g( )−1 = −1.

Les états sont dans l'ordre , , ,+ −+1 0 0 −1

La matrice des probabilités de transitions est :

p p

p p

p p

p p

0 0 1− 1− 0 0 = 0 0 1− 1− 0 0

P

bk = −1

bk = +1

bk = +1

bk = −1

1−p

1−pp

p

+1+1+1+1

−1−1−1−1

0000++++ 0000−−−−

p

p

bk = +1

1−p1−p

bk = +1

Figure 10. Graphe de transition du codeur bipolaire d’ordre 1.

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Pour /p =1 2 :

0 0 1 1 1 1 0 01 = 0 0 1 12 1 1 0 0

P

La matrice des probabilités de deux transitions est : 2 ∞

1 1 1 1 1 1 1 11 = = 1 1 1 14 1 1 1 1

P P

1 0 0 0 0 1 0 01 = 0 0 1 04 0 0 0 1

D est la matrice diagonale des probabilités à priori.

Les valeurs des symboles codés sont : [ ]T = +1 0 0 −1a

Pour m = 0 , la fonction de corrélation des symboles ka est caractérisée par :

[ ]( ) TaR

1 0 0 0 +1 0 1 0 0 01 1 0 = ⋅ ⋅ = +1 0 0 −1 ⋅ ⋅ = 0 0 1 0 04 2 0 0 0 1 −1

a D a

Pour m =1, la fonction de corrélation des symboles ka est caractérisée par :

[ ]

[ ]

( )

( )

Ta

a

R

R

1 0 0 0 0 0 1 1 +1 0 1 0 0 1 1 0 0 01 1 = ⋅ ⋅ ⋅ = +1 0 0 −1 ⋅ ⋅ ⋅ 0 0 1 0 0 0 1 1 08 0 0 0 1 1 1 0 0 −1

−1 +11 1 1 = +1 0 0 −1 ⋅ = − −18 4 +1

a D P a

Pour m >1, la fonction de corrélation des symboles ka est caractérisée par :

[ ]( ) T maR m ∗

1 0 0 0 1 1 1 1 +1 0 1 0 0 1 1 1 1 01 = ⋅ ⋅ ⋅ = +1 0 0 −1 ⋅ ⋅ ⋅ = 0 0 0 1 0 1 1 1 1 016 0 0 0 1 1 1 1 1 −1

a D P a

Par symétrie ( ) ( )a aR m R m∗= −

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GET/INT/CITI 2005-2006 22

1.5 Modulations MDP et MSK.

0( ) ( ) 2 cos( )s kks t g t kT tω φ= − ⋅ ⋅ +∑

En enveloppe complexe, la modulation PSK est définie par :

cos sin kjk k kd j e

φφ φ= + = ( ) 2 4 20, , , , 1) ; 1, ,k iM i MM M Mπ π πφ θ∈ − = =⋯ …

soit 22

1

1E 1i

Mj

ki

d eM

θ

== ⋅ =∑ et 0dm =

La fonction de mise en forme est : ( ) ( )sT

s

Ag t tT

Π= ⋅

Ce qui donne la densité spectrale bilatérale de l'enveloppe complexe d'une modulation

PSK : ( )2( ) Sincs s sS f E fTα π= avec 2 2 2( )s kE E d g t dt A⌠

+∞

−∞= =

Le signal réel associé, centré sur la fréquence porteuse f0, a pour densité spectrale :

( )( ) ( )( )( )

0 0

2 20 0

1( ) ( ) ( )

2

Sinc Sinc2

x xx

s

S f S f f S f f

Ef f T f f T

α α

π π

= − + − −

= − + − −

La densité spectrale à la fréquence porteuse est 0( )2s

xE

S f ≈

Les maxima des lobes secondaires de la fonction sinus cardinal au carré sont à

−13 dB, −17.5 dB , −21 dB et −23 dB. Énergie par élément binaire 32.10 JoulebE

−=

Temps bit 1 msbT = . Temps symbole 2logs bT T M= . ( )0 dB 10( ) 10log 2sS f E=

MDP-2 MDP-4 MDP-8 MDP-16 unités

M 2 4 8 16 états

2logs bE E M= 2. 10−3 4. 10−3 6. 10−3 8. 10−3 Joule

0( ) 2sS f E= 10−3 2. 10−3 3. 10−3 4. 10−3 Joule

( )0 dB 10( ) 10log 2sS f E= −30 −27 −25 −23 dBJ

Lobe Max extérieur −13 −17,5 −21 −24 dB

DSP max extérieur −43 −44,5 −46 −47 dBJ

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GET/INT/CITI 2005-2006 23

Largeur de bande du canal 32.10 HzB =

Pour satisfaire les conditions de densité spectrales −45 dBJ extérieures à la bande du canal, il faut utiliser une modulation MDP-8. Elle sera peu performante.

Le gain obtenu en augmentant le nombre d'états de la modulation n'est pas très

important.

0 0 .25 0 .5 0 .75 1 1 .25 1 .5 1 .75 2-40

-30

-20

-10

0

10

M S K

M D P 4

M D P 2

−15 dBJ

Modulations MDP2, MDP4, MDP8, MDP16 et MSK.

(Densités spectrales des enveloppes complexes, le trait correspond aux – 45 dBJ)

2) Utilisation de la modulation MSK

La modulation MSK, en équivalent en bande de base, est caractérisée par:

2 2 1( ) ( 2 ) ( (2 1) )k k

x k k

k k

t A a g t kT j a g t k Tα=+∞ =+∞

+=−∞ =−∞

= ⋅ − + ⋅ − +

∑ ∑ 1, 1ka ∈ − +

21

( ) cos ( )2 Tt

g t tTT

π Π= ⋅ soit ( )

( )2 2

4 cos 21( )

1 16

T fTG f

T T f

π

π=

La modulation M.S.K., en équivalent en bande de base, peut être représentée par la

relation :

( ) ( )n

x n

n

t A c g t nTα=+∞

=−∞= −∑ avec 2 2k kc a= et 2 1 2 1k kc j a+ += ⋅

La suite nc est I.I.D. on montre que : ,0( )c n n m mR m E c c δ∗−= =

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GET/INT/CITI 2005-2006 24

2 22 2( )s b kE E A E c g t dt A⌠⌡

+∞

−∞= = =

formule de Bennett : ( )

( )2 2 2

2 2 222 2 2

( ) ( ) 16cos 2( )

1 16x c s

G f G f fTS f A A E

T TT f

απ

σπ

= ⋅ = =−

La densité spectrale du signal réel est définie à partir de celle de l'enveloppe complexe

associée:

0 01

( ) ( ) ( )2 x xxS f S f f S f fα α= − + − − ⇒ 0 2

8( ) s

xE

S fπ

32.10 HzB = , 11 kbit/sb sD D

T= = = et 32.10 JoulebE

−=

30 2

8( ) 1.6 10 J 28 dBmJb

xE

S fπ

−≈ = = −

( )5

0 0 2 22

81 80.71 10 J 51.5 dBmJ

2 2551 16

bx x b

EBS f S f E

T ππ− ± = ± ≈ = = = −

La modulation M.S.K. est à enveloppe constante.

Elle satisfait les contraintes de densité spectrale hors bande. D'autre part son spectre

décroît en 4

1

f, plus rapidement que celui d'une modulation MDP.

Il existe, d'autre part, des modulations de fréquence à phase continue ( TFM Tamed

Frequency Modulation, GMSK Gaussian Minimum Shift Keying ) d'indice 1/2, dont la

densité spectrale décroît beaucoup plus rapidement que celle de la MSK. Le récepteur est

équivalent à celui de la MSK et les performances en présence de bruit Gaussien blanc additif

sont également équivalentes.

3) La densité spectrale d'une modulation MAQ est identique à celle d'une modulation

MDP à même nombre d'états.

Remarque: Si on s’affranchit de la contrainte d'enveloppe constante, on peut transmettre

avec une densité spectrale d'émission en cosinus surélevé de densité spectrale nulle en dehors

de la bande 1

sT

ρ+.

La modulation MDP-4 avec un cœfficient de retombé 1ρ = satisfait les contraintes de

densité spectrale hors bande.