Ecole des Mines d’Albi-Carmaux M1/UE CSy - module M1

TD AUTOMATIQUE : MODELISATION DES SYSTEMES LINEAIRESCONTINUS

Exercice 1 :

1ere partie

On se propose d’etudier le systeme hydraulique a ecoulement libre de la Figure 1. Lereservoir est alimente a travers une vanne d’entree a raison d’un debit Qe(t). Le debitde sortie Qs(t) est regle par l’intermediaire de la vanne de sortie d’ouverture s petitedevant la section du reservoir S.

1-1

2-2

H

Fig. 1 –

On va s’interesser a la variation de la hauteur H(t) de liquide en fonction du debitd’entree Qe(t).

1.1) Donner la condition de stabilisation de la hauteur du liquide en fonction de Qe etQs.

1

1.2) En appliquant la relation de Bernouilli (Cf. cours de mecanique des fluides en IFI1)entre les sections 1-1 et 2-2, calculer l’expression du debit Qs en fonction de s etH .

1.3) Etablir la relation qui decrit la variation de niveau dH pendant un temps dt enfonction de Qe et Qs. En utilisant les resultats de la question 1.2), donner l’equationdifferentielle liant la hauteur H(t) (consideree comme la grandeur de sortie) et ledebit d’entree Qe(t) (grandeur d’entree).

L’equation obtenue n’etant pas lineaire, on se propose de la lineariser autour d’un etatd’equilibre correspondant au point de fonctionnement (H0, Qe0, Qs0).

On note :

H = H0 + h∗

Qe = Qe0 + q∗e

1.4) Ecrire l’equation differentielle liant les variations de niveau h∗(t) aux variations dedebit d’entree q∗e(t) dans l’hypothese de petites variations (h∗ ≪ H0).

1.5) En notant H∗(p) = L[h∗(t)] et Q∗

e(p) = L[q∗e(t)], calculer la fonction de transfertH∗(p)

Q∗

e(p). Montrer qu’elle correspond a un systeme du 1er ordre dont on identifiera

les deux parametres caracteristiques. Verifier l’homogeneite des unites.

1.6) Calculer la pente au point de fonctionnement (H0, Qe0) et montrer qu’elle est egaleau gain statique K du systeme linearise.

2eme partie

On remplace maintenant la vanne de sortie par une pompe d’extraction qui assure undebit de sortie constant ne dependant plus de la hauteur de liquide H .

1.7) En repartant de l’equation etablie a la question 1.3) et en supposant une variationde debit q∗e autour d’un point d’equilibre Qe0, etablir la relation donnant H(t).

1.8) Ce systeme est-il autoregulant ?

2

Exercice 2 :

On considere le systeme de la Figure 2 constitue de deux reservoirs en serie.Au repos, le debit d’entree et le debit de sortie sont tous les deux egaux a Q, et le debitentre les deux reservoirs est nul. Les niveaux dans les reservoirs 1 et 2 sont tous les deuxegaux a H .A t = 0, le debit d’entree est modifie de Q a Q + q, ou q designe une petite variationdu debit d’entree. Les variations de niveau (h1 et h2) et de debits (q1 et q2) resultant decette modification sont supposees faibles.On designe par S1 et S2 les sections des reservoirs 1 et 2, respectivement. La resistancea l’ecoulement1 de la valve situee entre les deux reservoirs est designee par R1 et cellede la vanne de sortie est designee par R2.

Caracteristiques du systeme :

S1 = 1 dm2 , R1 = 1 s/dm2

S2 = 1 dm2 , R2 = 1 s/dm2

H + h1

H + h2

q1

R1 R2

Q + q2

Q + q

Fig. 2 – Deux reservoirs en serie

1resistances a l’ecoulement :

R1 =h2 − h1

q1

, R2 =h2

q2

3

2.1) Montrer que la modelisation du systeme conduit aux equations differentielles sui-vantes :

R1S1

dh1

dt+ h1 = h2

R2S2

dh2

dt+

R2

R1

h2 + h2 = R2q +R2

R1

h1

2.2) Calculer les fonctions de transfertH2(p)

Q(p)et

Q2(p)

Q(p).

4

Exercice 3 :

En vue de disposer d’un volume constant de fluide a une temperature desiree, un pro-cessus hydraulique et thermique schematise par la Figure 3 est constitue d’un reservoirde section S equipe d’une resistance chauffante.Les entrees commandables du systeme sont le debit d’entree du fluide Qe et la puissanceelectrique Pu de chauffage. Les sorties sont la hauteur d’eau H dans le reservoir et latemperature Ts de sortie du reservoir. Le debit Qs de sortie du fluide est regi par unecoulement par gravite selon une loi Qs = K

√H (cf. exercice 1) ou K est une constante.

Afin de modeliser le processus, on fait les hypotheses suivantes :– la temperature d’arrivee du fluide Te est constante ;– le reservoir est parfaitement calorifuge et sa capacite thermique est negligeable ;– l’echange de chaleur entre la resistance chauffante et le fluide est instantane.

Fig. 3 – Regulation de niveau et de temperature d’un bac

3.1) En ecrivant les equations de conservation du volume et de la quantite de chaleur,montrer que l’on obtient la modelisation suivante :

dTs

dt=

Pu

SHµ c− Ts − Te

SHQe (1)

dH

dt=

Qe

S− K

S

√H (2)

avec µ : masse volumique du fluidec : chaleur specifique du fluide

3.2) Expliquer en quoi ces equations sont non lineaires.

5

3.3) On se propose de lineariser les equations (1) et (2) autour du point de fonctionne-ment (Qe0

, Ts0, Qs0

, H0, Pu0) en considerant des petites variations autour du regime

nominal (cf. exercice 1).

En adoptant les notations :

Qe = Qe0+ qe

Ts = Ts0+ θ

Qs = Qs0+ qs

H = H0 + h

Pu = Pu0+ pu

montrer que l’on obtient le modele lineaire suivant :

dθ

dt+

Qe0

SH0

θ = −Ts0− Te

SH0

qe + (Ts0− Te)

Qe0

SH0Pu0

pu

Sdh

dt+

Qe0

2H0

h = qe

On adoptera les valeurs numeriques suivantes :

Qe0debit d’entree valeur nominale 20 l/mn

Ts0temperature de sortie valeur nominale 50 oC

H0 hauteur du fluide valeur nominale 600 mmPu0

puissance de chauffe valeur nominale 20 kWQs0

debit de sortie valeur nominale 20 l/mnTe temperature du fluide en entree constante 20 oCS section du bac constante 1 m2

On utilisera les unites suivantes :

h en mm

q en l/mn

θ en oC

pu en kW

3.4) Calculer la fonction de transferth(p)

qe(p)(expression litterale et application nume-

rique).

6

Exercice 4 :

On considere le systeme hydraulique de la Figure 4.

-

?

6

?

Qe

Qs

H

Fig. 4 – Bac

Le reservoir a une surface S = 2 m2 et l’orifice de sortie a une section petite devant S.La grandeur H designe la hauteur de liquide dans le reservoir. On suppose que le debitde sortie Qs est lie a la hauteur de liquide H par la relation Qs = K

√H .

Lorsque le debit d’entree Qe est egal a 0, 015 m3/s, le niveau de liquide est constant etegal a 2, 25 m.

A t = 0, alors que le niveau de liquide est stabilise, la vanne d’entree est fermee.

4.1) Trouver le temps necessaire pour que le reservoir se vide a la moitie de sa hauteurde depart.

7

Exercice 5 :

-

R2

q2

?

6

h2

R1 ?

6

h1

?

q1

Fig. 5 –

Pour les applications numeriques, on prendra :

S1 = 1 m2 , S2 =1

2m2 , R1 =

1

2min/m2 , R2 =

2

3min/m2

Dans tout l’exercice, les variables h1, h2, q1 et q2 designent des variables d’ecart parrapport au point de fonctionnement choisi.

5.1) Ecrire les equations differentielles qui regissent le fonctionnement de ce systeme.

5.2) Calculer les fonctions de transfertH1(p)

Q1(p),

(

H2(p)

Q1(p)

)

q2=0

et

(

H2(p)

Q2(p)

)

q1=0

.

8

Exercice 6 :

Stabilisation d’un pendule inverse

Considerons le schema de la figure 6.L’objectif est en agissant sur le chariot de masse M avec une force f(t) de maintenir lependule, de masse m et de longueur l, a la verticale2.

y(t)

θ(t)

f(t)

m

M

Fig. 6 – Pendule inverse

On note : y deplacement du charioty vitesse de deplacement du chariotθ angle de rotation du pendule par rapport a la verticale

θ vitesse angulaire de rotation du pendule autour de la verticale

En supposant θ petit, les equations relatives a ce systeme peuvent s’ecrire :

(M + m)y + m lθ = f(t)

my + m lθ = m g θ

2Imaginez une fusee (modelisee ici par un pendule) qui, apres avoir ete assemblee dans un hangarsur un chariot, doit etre amenee sur son pas de tir en restant a la verticale pendant tout son trajet.

9

Dans la suite du probleme, on ne s’interesse pas au deplacement horizontal y maisuniquement aux variations θ du pendule. L’objet du probleme est d’asservir le penduleen position verticale.

Pour les applications numeriques, on prendra : M = 2 kg, m = 0, 1 kg, l = 0, 5 m.

6.1) Calculer la fonction de transfert du systemeθ(p)

F (p)et conclure sur la stabilite du

systeme.

10

Exercice 7 :

On considere un pont roulant dont le schema est represente sur la figure 7. Un modelede ce pont roulant peut etre obtenu en considerant comme entree la force horizontale detraction F (t) et comme sortie la position y(t) = xp(t) du prehenseur.

������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

xc

y = xp

θ

Fig. 7 – Modelisation d’un pont roulant

Pour des petites valeurs de l’angle θ, les equations qui modelisent ce pont roulant sont :

(mp + mc) xc + mp l θ = F

xc + l θ + gθ = 0

y = xc + l θ

(3)

l represente la longueur du prehenseur et g l’acceleration de la pesanteur.

Pour les applications numeriques, on prendra :

mc = 1000 kg ; mp = 4000 kg ; l = 10 m ; g = 10 m/s2

7.1) A partir des equations (3), calculer la fonction de transfert du systemeY (p)

F (p)et

11

montrer que cette fonction de transfert peut s’ecrire sous la forme :

Y (p)

F (p)=

K

p2(1 + T 2 p2)

12

Exercice 8 :

On considere le circuit electrique de la figure 8.

C

R

C

R

6

u(t)

6

s(t)

�x1(t)

�x2(t)

Fig. 8

On designe par x1(t) et x2(t) les tensions aux bornes des condensateurs.

8.1) Montrer que les equations du circuit s’ecrivent :

s(t) = u(t) − x1(t) − x2(t)

dx1

dt=

−2

R Cx1 −

1

R Cx2 +

2

R Cu

dx2

dt=

−1

R Cx1 −

1

R Cx2 +

1

R Cu

8.2) En deduire la fonction de transfert du systemeS(p)

U(p).

13

Exercice 9 :

On considere le systeme de la figure 9.

-

R2

6

h2

R1 ?

6

h1

?

q1

Fig. 9 –

On designe par S1 et S2 les surfaces des reservoirs, et par R1 et R2 les resistances a

l’ecoulement

(

q =h

R

)

.

Pour les applications numeriques, on prendra :

S1 = 1 m2 , S2 =1

2m2 , R1 =

1

2min/m2 , R2 =

2

3min/m2

Dans tout l’exercice, les variables h1, h2 et q1 designent des variables d’ecart par rapportau point de fonctionnement choisi.

9.1) Ecrire les equations differentielles qui regissent le fonctionnement de ce systeme.

14

9.2) Calculer la fonction de transfertH2(p)

Q1(p).

15

Exercice 10 :

On considere le systeme mecanique de la figure 10 constitue de 2 masselottes de massesm1 et m2 reliees par un ressort de raideur k et un amortisseur.

x1 x2

fm1 m2

k

b

Fig. 10 – Un systeme mecanique masses/ressort amorti

On designe par x1 et x2 la position de chaque masselotte par rapport a sa positiond’equilibre et par f la force appliquee a la masselotte 1. L’amortisseur introduit uneforce antagoniste proportionnelle a la vitesse de deplacement.

10.1) Montrer qu’en negligeant les frottements, la mise en equation de ce systemeconduit a :

m1 x1 = −b (x1 − x2) − k (x1 − x2) + f (4)

m2 x2 = −b (x2 − x1) − k (x2 − x1) (5)

10.2) Calculer les fonctions de transfertX1(p)

F (p)et

X2(p)

F (p).

16

Exercice 11 :

On considere le systeme de la figure 11 constitue d’une bille en mouvement sur une barreorientable dans le plan vertical dont on peut modifier l’inclinaison (β) par l’intermediaired’un moteur a courant continu couple a un reducteur (motoreducteur).

On souhaite stabiliser la position (x) de la bille a une position de consigne donnee.

Fig. 11 – Asservissement de position d’une bille sur un rail

La barre est un profile en T pouvant pivoter autour d’un axe central. Un potentiometreest monte sur ce meme axe et permet de mesurer la position angulaire de la barre. Labille metallique roule sur deux fils conducteurs tendus entre les extremites de la barre(cf. Figure 12). Ces deux fils et la bille forment un pont de resistances permettant unemesure de la position.

La modelisation du sous-systeme motoreducteur-barre conduit a la fonction de trans-fert (classique) reliant la tension de commande u du moteur a la position angulaire βde la barre :

β(p)

U(p)=

Km

p(1 + Tm p)(6)

ou Km est le gain statique et Tm la constante de temps mecanique.

17

On prendra Km = 2 tr·mn−1·V−1 et Tm = 60 ms.

Le modelisation du sous-systeme barre-bille est plus delicate. Elle conduit a l’equationdifferentielle non-lineaire suivante :

(

m +Ib

r2

)

x +(

Ib

r2

)

β − m x β2 = m g sin β (7)

ou m et Ib designent respectivement la masse et l’inertie de la bille. r designe le rayoneffectif de la bille pour le roulement (cf. Figure 12). g est l’acceleration de la pesanteur.

Fig. 12 – Geometrie de la bille (vue transversale a l’axe de la barre)

En supposant que de faibles variations de l’angle β sont suffisantes pour stabiliser labille en un point donne de la barre, on peut lineariser l’equation (7), ce qui conduit a larelation :

(

m +Ib

r2

)

x = m g β (8)

La bille etant une sphere pleine de rayon R, son inertie est donnee par :

Ib =2

5m R2

L’equation (8) peut s’ecrire alors :

(

1 +2

5

(

R

r

)2)

x = g β (9)

Finalement, les equations (6) et (9) fournissent un modele lineaire du systeme complet.

Par la suite, on posera :

Kb =g

1 + 2

5

(

Rr

)2

18

On prendra Kb = 0,2 m/rad.

11.1) Calculer la fonction de transfertX(p)

β(p)du sous-systeme barre-bille. Quel est le

type de cette fonction de transfert ?

11.2) Calculer la fonction de transfertX(p)

U(p)du systeme complet. Donner son ordre, sa

classe, son gain statique.

19

Exercice 12 :

Modelisation d’un systeme masses-ressorts

On considere le systeme d’entree f et de sortie z1 de la figure 13.

Fig. 13 – Un systeme masses-ressorts : (a) systeme au repos, (b) systeme dans un etatquelconque

Notations :– f : force appliquee sur le deuxieme chariot– zi : ecart du ieme chariot par rapport a sa position d’equilibre– mi : masse du ieme ressort– ki : raideur du ieme ressort– α : coefficient de frottement visqueux

12.1) Montrer que le principe fondamental de la dynamique applique au chariot 2 puisau chariot 1 conduit aux equations :

m2 z2 + α z2 + k2(z2 − z1) = f

m1 z1 + k1 z1 + α z1 − k2(z2 − z1) = 0

12.2) Calculer les fonctions de transfertZ1(p)

F (p)et

Z2(p)

F (p).

20

Exercice 13 :

Asservissement de position d’un moteur lineaire3

Le systeme etudie est un moteur lineaire commandant le deplacement d’une tete delecture d’un lecteur CD (voir Figure 14).

Fig. 14 – Systeme etudie

On note :– u : la commande en tension d’entree du systeme,– L : l’inductance de la bobine mobile,– R : la resistance electrique de la bobine,– e : la force contre-electromotrice,– α : le coefficient liant e a la vitesse de deplacement,– i : le courant dans la bobine,– y : la position de la bobine (correspond a la sortie du systeme),– k : la raideur du ressort,– m : la masse de l’ensemble mobile,– β : le coefficient liant la force appliquee a la bobine et le courant i,– f : le coefficient de frottement.

3d’apres un sujet d’examen de l’Ecole Superieure d’Ingenieurs de Poitiers - specialite AGE, annee2006.

21

Le procede verifie alors le systeme differentiel suivant :

u(t) = R i(t) + Ldi(t)

dt+ e(t)

e(t) = αdy(t)

dt

md2y(t)

dt2= −k y(t) − f

di(t)

dt+ β i(t)

13.1 Calculer la fonction de transfertY (p)

U(p).

22

Exercice 14 :

On considere le schema de la Figure 15 qui represente un systeme de regulation deniveau.

u K Ku

R

V

i

Q0

Q1

Q2

NΘΘ

Cm

h

n2n1

Fig. 15 – Une regulation de niveau

La tension u amplifiee excite un moteur a Courant Continu de resistance R, d’inductancenegligeable et de constantes K1 et K2, i.e. V = K1 θ et Cm = K2 i.

Le moteur modifie l’ouverture d’une vanne a travers un reducteur de rapport N =n1

n2

.

L’ouverture de la vanne permet de regler le debit Q1 du liquide et par la meme le niveauh dans la cuve de section A.

On note J1 et J2 les moments d’inertie du rotor et de la charge dont on neglige lefrottement.

On admet que le debit Q1 est proportionnel a la position angulaire N θ en aval dureducteur (Q1 = K3 N θ).

On admet que le debit Q2 a la sortie est proportionnel a la hauteur (Q2 = K4 h).

On s’interesse au systeme d’entree u et de sortie h.

23

Pour les applications numeriques, on prendra les valeurs suivantes (unites S.I.) :

R = 100, K1 = 0.7, K2 = 100, K3 = 100, K4 = 0.5,K = 50, J1 = 0.1, J2 = 90, A = 5, N = 0.01

14.1) Etablir les equations qui regissent le fonctionnement du systeme4.

14.2) Calculer la fonction de transfertH(p)

U(p).

4L’examinateur sympa rappelle que la variation de hauteur h est liee aux debits Q1 et Q2 parl’equation :

Adh

dt= Q1 − Q2

Expliquer pourquoi.

24

Exercice 15 :

Etude d’une enceinte thermique

Soit l’ensemble suivant :

Ve(t)- ActionneurP (t)

- Enceinteθ(t)

- CapteurVs(t)-

Fig. 16

L’actionneur comprend une resistance chauffante alimentee a travers un triac (une va-riete d’interrupteur electronique) dont on peut commander le nombre d’impulsions degachette par un systeme approprie, sensible a la tension de commande Ve(t).

Nous admettrons que la puissance P (t) est proportionnelle a Ve(t), soit :P (t) = K1 Ve(t) avec K1 = 1 W/V .

Le capteur est sans inertie et il delivre une tension proportionnelle a la temperature,soit Vs(t) = a θ(t) avec a = 2 mV/oC.

L’enceinte a chauffer est a la temperature θ(t) a l’instant t. Elle recoit pendant le temps dtune energie dW = P (t) dt. Une partie de cette energie recue sert a elever la temperaturede l’enceinte de dθ et l’autre partie est perdue par rayonnement.

La capacite calorifique de l’enceinte est mc avec :

m = 0, 1 kg et c = 100 J/kg/oC

On admet que les pertes d’energie (linearisees ) sont proportionnelles a θ et au tempsecoule dt. Le coefficient de proportionnalite est K = 0, 5 W/oC.

15.1) Ecrire l’equation differentielle liant θ(t) et P (t).

15.2) Determiner la fonction de transfert de l’ensembleVs(p)

Ve(p).

25

Exercice 16 :

Une reaction chimique Ak−→ B a lieu dans 2 reacteurs, parfaitement agites, en cascade

comme indique Figure 17.

Le produit A reagit de facon irreversible pour former le produit B.La quantite de reactif A consommee par unite de volume et de temps est proportionnellea la concentration instantanee de produit A dans le reacteur.

On note C1 la concentration de produit A dans le premier reacteur (exprimee en molesde A par unite de volume) et C2 la concentration de produit A dans le second reacteur.La concentration d’alimentation en produit A est notee C0.Le debit d’alimentation en produit A est note Φ.

C0 et Φ sont les variables d’entree qui vont servir a piloter le systeme.

On suppose que les coefficients de reaction k1 et k2 dans chaque reacteur restent constants(operation isotherme).On suppose que les volumes V1 et V2 restent constants.

-Φ

C0

V1

k1

-Φ

C1

V2

k2

-Φ

C2

Fig. 17

Pour les applications numeriques, on prendra les valeurs suivantes :

k1 = 1 min−1, k2 = 2 min−1, V1 = 100 m3, V2 = 50 m3

Le point de fonctionnement (Φ, C0, C1, C2) choisi est donne par :

Φ = 100 m3/min, C0 = 0, 5 molA/m3,

C1 = 0, 25 molA/m3, C2 = 0, 125 molA/m3

26

La modelisation de ce systeme conduit aux equations differentielles suivantes5 :

V1

dC1

dt= Φ (C0 − C1) − k1 V1 C1 (10)

V2

dC2

dt= Φ (C1 − C2) − k2 V2 C2 (11)

Premiere partie

Dans cette partie, on simplifie le probleme en supposant que le debit d’alimentation enreactif est constant (Φ = Φ).

16.1) Calculer la fonction de transfertC1(p)

C0(p).

Application numerique.

16.2) Calculer la fonction de transfertC2(p)

C1(p).

Application numerique.

16.3) En deduire la fonction de transfertC2(p)

C0(p).

Application numerique.

Deuxieme partie

Dans cette partie, le debit d’alimentation en reactif n’est plus constant et devient unevariable de commmande.

16.4) Expliquer pourquoi le systeme d’equations (10) et (11) est maintenant un systemenon-lineaire.

16.5) Montrer qu’une linearisation autour d’un point de fonctionnement (Φ, C0, C1, C2)conduit au systeme lineaire suivant :

V1

dx1

dt= −(Φ + k1 V1) x1 + Φ x0 + (C0 − C1) ϕ

5On peut vraiment dire que l’examinateur est sympa.

27

V2

dx2

dt= Φ x1 − (Φ + k2 V2) x2 + (C1 − C2) ϕ

ou :

x0 = C0 − C0

x1 = C1 − C1

x2 = C2 − C2

ϕ = Φ − Φ

16.6) Calculer l’expression de X1(p) en fonction de X0(p) et ϕ(p).

16.7) Calculer l’expression de X2(p) en fonction de X0(p) et ϕ(p).

28