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MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 04/03/2012

O

y

x

u

v

d dl

.dl R d

Q

Corrigé Exercice 1 : DEMI-CIRCONFÉRENCE.

Question 1 : Déterminer en O le torseur des actions mécaniques exercées par la pesanteur sur la demi-circonférence.

1 . . . . . . . . pesR m g L g y R g y (car solide homogène ( )Q cste )

, 1 1( )O pes pesl

M OQ dF Q

, 1 . ( . . )O pesl

M R u g dl

, 1 . ( . . . )O pesl

M R u g y dl

, 1 . . . .O pesl

M R g u y dl

, 1 . . . sin( ). .2

O pes

l

M R g z dl

, 1 . . . . cos .O pesl

M R g z dl

, 1 . . . . cos . .O pesM R g z R d

2 2, 12

. . . . sinO pesM R g z

2, 1 2. . . .O pesM R g z

1 2. . . .

2. . . . pes

O

R g y

R g z

T

Question 2 : Déterminer la position du centre de gravité G.

. .

l

L OG OQ dl

. . . . .R OG R u R d

. . .OG R u d

. . (cos . sin . ).OG R x y d

2 2

2 2

. . sin . cos .OG R x y

. .2.OG R x

2..

R OG x

Toujo ur s vérif ier qu e l e résu ltat ob ten uest homogène à un e lo ng ueu r.

To uj ou rs vérif ier qu e le résu ltat ob tenu est ho mo gènepour la 1

ère exp res s ion à une résu lta nt e (N),

pou r la 2 ème

exp ress ion à un momen t (N.m).


2/7



O

y

x

u

v

d ds

. .ds dr r d

Q

Corrigé Exercice 2 : DEMI-DISQUE.

Question 1 : Déterminer en O le torseur des actions mécaniques exercées par la pesanteur sur le demi-disque.

2

1.

. . . . . . .2

pesR

R m g S g y g y (car solide homogène ( )Q cste )

, 1 1( )O pes pess

M OQ dF Q

, 1 . ( . . )O pess

M r u g ds

, 1 . ( . . . )O pess

M r u g y ds

, 1 . . .sin( ). .

2

O pes

s

M g r z ds

, 1 . . . .cos .O pess

M g z r ds

, 1

,

. . . .cos . . .O pesr

M g z r dr r d

2, 1 . . . . . cos .O pes

r

M g z r dr d

car les 2 variables r et sont indépendantes

3

2, 1

0 2

. . . . sin3

R

O pesr

M g z

3

, 1 . . . .23

O pesR

M g z

2

1 3

.. . .

2

2.. . .

3

pes

O

R g y

R g z

T


. .s

S OG OQ ds 2

,

.. . . . .

2r

R OG r u dr r d

22. . . . (cos . sin . ).

2r

R OG r dr x y d

car les 2 variables r et sont indépendantes

2 3

2 2

0 2 2

.. . sin . cos .

2 3

R R r

OG x y

2 3.

. .2.2 3

R R

OG x

4..

3.

R OG x

Toujo ur s vérif ier qu e le résu ltat ob ten u est ho mogènepou r la 1

ère exp res si on à une résu lt an te (N ),

pour la 2 ème

expr ess ion à un momen t (N.m).

To ujo ur s vérif ier qu e l e résu ltat ob tenuest homo gène à un e lo ng ueu r.


3/7



Q

Or

d

d

Z

Y

X

u

Corrigé Exercice 3 : DEMI-SPHÈRE.

Question 1 : Déterminer en O le torseur des actions mécaniques exercées par la pesanteur sur la demi-sphère.

3

1 4. .. . . . . . .2.3

pes R R m g V g y g y (car solide homogène ( )Q cste )

, 1 1( )O pes pesv

M OQ dF Q

, 1 . ( . . )O pesv

M r u g dv

, 1 . ( . . . )O pesv

M r u g y dv

2, 1, ,

. . . cos . sin .(cos . sin . ) . .sin . . .O pes

r

M g r z x y y r d d dr

3, 1

, ,

. . ( cos . sin . cos . ). . sin . . .O pesr

M g x z r d d dr

3 2, 1

,

. . . . ( cos .sin . sin .cos . ). .O pesr

M g r dr x z d d

4

, 1

,0

sin2 1 cos 2. . . ( . .cos . ). .

4 2 2

R

O pesr

M g x z d d

4

, 1

0 0

cos2 sin2. . . . .cos . .

4 4 2 4O pes

R M g x z d

4

, 1 . . . .cos . .4 2

O pesR

M g z d

4

2, 1

2

.. . . sin .

8O pes

R M g z

4

, 1.

. . .4

O pesR

M g z

3

1 4

2. .. . .3

.. . .

4

pes

O

R g y

R g z

T

2 1 cos2cos2

aa

2 1 cos2sin2

aa

sin2cos .sin

2

aa a

Attention aux bornes d'intégration :r varie entre 0 et R varie entre 0 et

varie entre2

et

2


ère expr essi on à une résu lt an te (N ),

pour la 2 ème



4/7




. .

v

V OG OQ dv

32

, ,

2. .. . . .sin . . .

3 r

R OG r u r d d dr

3

3

,

2. .. . . cos . sin .(cos . sin . ) .sin . .

3r

R OG r dr z x y d d

3 4

2

,0

2. .. . cos .sin . sin .(cos . sin . ) . .

3 4

R R r

OG z x y d d

3 4

,

2. . sin2 1 cos2. . . .(cos . sin . ) . .

3 4 2 2

R R OG z x y d d

0 0

3. cos2 sin2

. . .(cos . sin . ) .8. 4 2 4

R

OG z x y d

3.. .(cos . sin . ) .

8. 2

R OG x y d

2

2

3.. sin . cos .

16

R OG x y

3..2.

16

R OG x

donc3.

.

8

R OG x Toujo ur s vérif ier qu e l e résu ltat ob ten u

est homo gène à un e long ueur .


5/7



Corrigé Exercice 4 : BARRAGE POIDS.

Question 1 : Donner la surface S d ’ une section du barrage. Retrouver ce résultat en intégrant un petitélément de surface :

s

S ds .

Surface du triangle2

a hS

On peut retrouver ce résultat par :

,

0 0

.

.

s

x z

x z

a h

S ds

S dx dz

S dx dz

S x z S a h ce qui est complètement faux

Attention, ici x et z ne sont pas indépendants. Voyons 2 méthodes pour calculer cette intégrale.

Pour un x fixé z varie de 0 à .h

x ha

Pour un z fixé x varie de 0 à .

aa z

h

équation de la droite enveloppe

.h

z x ha

ou .( ) .

a a x z h a z

h h

h

z

a

x Obarrage

Q

eau

dx

dz

Donc :

,

.

x z

S dx dz

.

0 0

.

h x h

a aS dz dx

.

00

.

ha x haS z dx

0

. .a

hS x h dx

a

2

02

ah x

S h x a

2

2 2

h a h aS h a S

a

,

.

x z

S dx dz

.

0 0

.

aa z

h hS dx dz

.

00

.

ah a z hS x dz

0

. .h

aS a z dz

h

2

0

.2

ha z

S a z h

2

.2 2

a h a hS a h S

h


6/7



Comme O milieu du barrage, par symétrie, il

n’existera pas de moment suivant x (donccela ne sert à rien de calculer le moment

suivant x qui sera nul).

Question 2 : Déterminer en O le torseur des actions mécaniques exercées par la pesanteur sur le barrage.

.. . . . . . .

2 pes barrage

a hR m g m g z l g z

, ( )O pes barrage pes barrage

v

M OQ dF Q

, ( . . . ) ( . . . )O pes barragev

M x x y y z z g z dv

, . . ( . . . ).O pes barragev

M g x y y x dv

, . . . .O pes barragev

M g y x dv

,

, ,

. . . . . .O pes barrage x y z

M g y x dx dy dz

,

,

. . . . . .O pes barrage

y x z

M g y dy x dx dz

car y indépendant des 2 autres variables.

2,,2

. . . . . .

l

O pes barrage l x z

M g y y x dx dz

,

,

. . . . . .O pes barrage x z

M g l y x dx dz

Attention, ici x et z ne sont pas indépendants. Voyons 2 méthodes pour calculer cette intégrale.

Pour un x fixé z varie de 0 à .h

x ha

Pour un z fixé x varie de 0 à .

aa z

h

équation de la droite enveloppe

.h

z x ha

ou .( ) .a a x z h a z h h

h

z

a

x Obarrage

Q

eau

dx

dz

Donc :

,

,


M g l y x dx dz

.

,

0 0

. . . . . .

h x h

a a

O pes barrageM g l y x dz dx

.

, 00

. . . . . .

ha x ha

O pes barrageM g l y x z dx

,

0

. . . . .( . ).

a

O pes barrage hM g l y x x h dx a

,

,


M g l y x dx dz

.

,

0 0

. . . . . .

aa z

h h

O pes barrageM g l y x dx dz

.2

,

0 0

. . . . .2

aa z h h

O pes barrage x

M g l y dz

2,

0

1. . . . .( . ) .

2

h

O pes barrage

aM g l y a z dz

h

h

z

a

x Obarrage

Q

eau

dx

dz


7/7



3 2

,

0

. . . . . .3 2

a

O pes barrageh x x

M g l y ha

3 2

, . . . .( . . )3 2

O pes barrageh a a

M g l y ha

2

, . . . . .6O pes barragea

M g l h y

3,

0

1. . . . . ( . )

2 3.

h

O pes barrageh a

M g l y a z a h

3 3, . . . . ( . ) ( )

6.O pes barrage

h aM g l y a h a

a h

2

, . . . . .

6

O pes barragea

M g l h y

Donc 2.

. . . .2

. . . . .6

pes barrage

O

a hg l z

ag l h y

T


. .

v

V OG OQ dv

, ,

.. . ( . . . ). . .

2 x y z

a hl OG x x y y z z dx dy dz

2 2

,2

.. . . . . . . .

2 2

l

l x z

y a hl OG x y x y z y z dx dz

,.

. . . . . . . .2 x z

a hl OG x l x z l z dx dz

.2

0

.. . . .

2 2

h x h

a

x

a h z OG x z x z dx

2( . ).

. .( . ). . .2 2

x

h x h

a h h aOG x x h x z dx a

33 2

0

( . ).

. ( . . ). . .2 3 2 3. 2

ah

x ha h h x x a

aOG h x z a h

33 2 ( ).. ( . . ). . .

2 3 2 3. 2

ha h h a a aOG h x z

a h

. .3 3

a hOG x z


ère expr essi on à une résu lt an te (N ),

pour la 2 ème


To ujo ur s vérif ier q ue l erésu ltat ob tenu est

ho mo gène à un e lo ng ueu r.

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