Taux CHAPITRE de variation - cll.qc.cacll.qc.ca/Professeurs/Mathematiques/Rossa/Calcul...

Chapitre 1 – Taux de variation �

exercices 1.2 1. a) Le taux de variation est la pente du segment de droite, soit :

∆s∆t [0; 3]

= 0,9− 0,0 m3− 0 s

= 0,3 m s.

C’est la vitesse du mobile durant cet intervalle de temps.

b) ∆s∆t [3; 6]

= 0,9− 0,9 m6− 3 s

= 0 m s.

Le taux de variation est nul, le mobile est arrêté.

c) ∆s∆t [6; 10]

= 0,0− 0,9 m10− 6 s

= −0,225 m s.

Lemobileserapprochedupointfixe. d) La distance est croissante durant l’intervalle [0; 3] et décroissante durant l’intervalle [6; 10]. e) La vitesse est constante durant les intervalles [0; 3] et [3; 6] car le graphique est une droite. f) La vitesse est nulle lorsque la position est constante, soit durant

l’intervalle [3; 6].

2. a) ∆v∆t [0; 10]

= 4 − 4 m s10− 0 s

= 0 m s2 .

Le taux de variation est de 0 mètre par seconde par seconde, soit 0 m/s2, l’accélération du mobile est nulle durant cet intervalle de temps, le mobile se déplace donc à une vitesse constante.

b) ∆v∆t [10; 30]

= 10− 4 m s30−10 s

= 0,3 m s2 .

Le mobile accélère et l’accélération moyenne est de 0,3 m/s2.

c) ∆v∆t [30; 50]

= 2−10 m s50− 30 s

= −0,4 m s2 .

Le mobile décélère et l’accélération moyenne est de –0,4 m/s2.L’accélérationestnégative,celasignifiequelavitessediminue.

d) Le graphique représente la vitesse. Celle-ci est donc constante lorsque le graphique est horizontal, soit durant l’intervalle [0; 10].

e) La vitesse est croissante lorsque son taux de variation est positif, soit durant l’intervalle [10; 30]. La vitesse est décroissante lorsque son taux de variation est négatif, soit durant l’intervalle [30; 50].

f) L’accélération est constante lorsque la vitesse est décrite par un segment de droite. Durant l’intervalle [0; 10], l’accélération est de 0 m/s2 et durant l’intervalle [10;30], l’accélération est de 0,3 m/s2. L’accélération est nulle lorsque la vitesse est décrite par un segment de droite horizontal, soit durant l’intervalle [0; 10].

3. Graphiquement, on peut estimer que la charge au temps t = 1 s est de 0,10 C et

au temps t = 2, elle est de 0,15 C. La variation de charge durant cet intervalle de temps est donc de 0,05 C. Le taux de variation moyen est donc :

∆C∆t [1; 2]

= 0,15 − 0,10 C2−1 s

= 0,05 C s.

On trouve 0,05 C/s = 0,05 A = 50 mA. C’est le courant moyen durant cet in-tervalle de temps.

t 2 4 6 8 10(0; 0)

0,6

1,2

1,8s(t)

(3; 0,9) (6; 0,9)

Posit

ion(

m)

Temps (s)

(10; 0)

t 10 20 30 40 50

(50; 2)

8

12v(t)

(30; 10)

4 (10; 4)

Temps (s)

Vite

sse

(m/s)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,10

0,20

0,30

t

Q (t)

Char

ge (C

)

Temps (s)

�CHAPITRETaux

de variationSolutions

� Chapitre 1 – Taux de variation

4. Graphiquement, on peut estimer que la puissance est de 0,25 mW lorsque le courant est de 0,1 mA. Elle est de 3,75 mW lorsque le courant est de 0,4 mA. Le taux de variation moyen est donc :

∆P∆I [0,1; 0,4]

= 3,75− 0,25 mW0,4 − 0,1 mA

= 3,50,3

mW mA =11,666... mW mA.

On peut estimer que le taux de variation moyen est de 11,7 mW/mA.

5. a) ∆V∆t [0; 2]

= 0 L min, ∆V∆t [0; 2]

= 0 L min,

∆V∆t [7; 12]

= 0 L min, ∆V∆t [12; 15]

= −200 3 L min,

∆V∆t [2; 12]

= 50 L min, ∆V∆t [12; 24]

=100 6 L min.

b) ∆V∆t [0; 2]

représente la pente de la droite passant par les points (0; 0) et (2; 0).

∆V∆t [2; 7]


∆V∆t [7; 12]


∆V∆t [12; 15]


∆V∆t [2; 12]


∆V∆t [12; 24]


c)

Déb

it (c

enta

ines

de l

itres

par

min

ute)

Temps (min)

1

– 1

t 102 4 6 8 12 14 16 18 20 22 24

REMARQUE: Aux extrémités des segments de droite, le taux de variation change. Ce changement est plutôt rapide et onnepeutdéfinirunevaleurdonnéepourletauxdevariationàcetinstant.Ainsi,àt = 2, le taux qui était de 0 L/min devientsubitementde100L/min.Onconsidéreraqueletauxdevariation,àcetinstantprécis,n’estpasdéfini.

6. a) ∆h∆t [0; 2,5]

= h(2,5)− h(0,0)2,5− 0

ms= 83,75 m s.

Ce taux de variation est la vitesse moyenne du projectile durant cet intervalle de temps. Il est positif, car le projectile s’élève dans les airs, il s’éloigne du point de référence.

10

Volu

me d

e liq

uide

(c

enta

ines

de l

itres

)

tTemps (min)

2 4 6 8 12 14 16 18 20 22 24

2

4

6

8V(t)

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 I

6

4

2

P (I)

Courant (mA)

Puiss

ance

(mW

)


b) ∆h∆t [3; 6]

= h(6)− h(3)6− 3

ms= 51,9 m s.

Ce taux de variation est la vitesse moyenne du projectile durant cet intervalle de temps. Il est positif car le projectile s’élève dans les airs. Cependant, la vitesse moyenne a diminué parce que le projectile est décéléré.

c) ∆h∆t [10; 15]

= h(15)− h(10)15−10

ms= −26,5 m s.

Ce taux de variation est la vitesse moyenne du projectile durant cet intervalle de temps. Il est négatif car le projectile retombe.

7. a) ∆f

∆x [0; 2]= f (2)− f (0)

2− 0= 1− (−3)

2= 2.

Le taux de variation moyen est positif, en moyenne, la fonction est croissante dans l’intervalle [0; 2].

b) ∆f∆x [1; 4]

= f (4)− f (1)4 −1

= 11− (−4)3

= 5.

Le taux de variation moyen est positif, en moyenne, la fonction est croissante dans l’intervalle [1; 4].

c) ∆f∆x [-2; 1]

= f (1)− f (−2)1− (−2)

= −4 − (−1)3

= −1.

Le taux de variation moyen est négatif, en moyenne, la fonction est décroissante dans l’intervalle [–2; 1].

d) ∆f∆x [−1; 1]

= f (1)− f (–1)1− (−1)

= 4 − 02

= 2.

Le taux de variation moyen est positif, en moyenne, la fonction est croissante dans l’intervalle [–1; 1].

e) ∆f∆x [1; 4]

= f (4)− f (1)4 −1

=

14− 1

13

=− 3

43

= −1 4.

Le taux de variation moyen est négatif, en moyenne, la fonction est décroissante dans l’intervalle [1; 4]. f) ∆f

∆x [–2; 0]= f (0)− f (−2)

0− (−2)= 1−1

2= 0

2= 0.

Le taux de variation moyen est nul, en moyenne, la fonction est constante dans l’intervalle [–2; 0]. Plus précisément, f(–2) = f(0).

8. Non.L’intervalle[–1;1]n’estpasinclusdansledomainedelafonctioncarlafonctionn’estpasdéfinieà0.

9. Cela signifiesurtoutque f(c) = f(d). Dans l’intervalle, la fonction peut avoir divers comportements.

10. Celasignifiesurtoutquef(c) < f(d). Dans l’intervalle, la fonction peut avoir divers comportements.

xc d

f(x)

Taux de variation moyen positif dans l’intervalle [c; d]

xc d

f(x)

Taux de variation moyen nul dans l’intervalle [c; d]


11. Celasignifiesurtoutquef(c) > f(d). Dans l’intervalle, la fonction peut avoir divers comportements.

12. Il est assez simple d’imaginer une fonction dont le taux de variation moyen est nul sur un intervalle [c; d] et dont le taux de variation moyen est positif sur la première moitiédecetintervalleetnégatifsurladeuxièmemoitiédel’intervalle.Lafigureci-contre en est une.

13. a) ∆y∆x [30; 60]

= 4280− 242060− 30

= 62. Le rythme moyen est donc de 62 battements par minute.

b) Le rythme n’est pas stable puisque, par exemple, dans l’intervalle [30; 35], on obtient :

∆y∆x [30; 35]

= 2800− 242035− 30

= 76, soit 76 battements par minute.

exercices 1.4

1. a) En traçant approximativement la tangente à la courbe au point d’abscisse 1,onalafigureci-contre.Enconsidérantdeuxpointsdecettetangente,le quadrillé permet alors d’évaluer la pente de la tangente qui représente le taux de variation ponctuel, ce qui donne :

dVdt 1

200= =400 L2 min

L min .

b) Ce taux de variation ponctuel est le débit à une minute. c) En traçant approximativement la tangente à la courbe au point d’abscisse

5,onalafigureci-contre.Enconsidérantdeuxpointsdecettetangente,le quadrillé permet alors d’évaluer la pente de la tangente qui représente le taux de variation ponctuel, ce qui donne :

dVdt 5

33 3= =200 L6 min

L min, .

d) Le taux est minimal à t = 9 min et maximal à t = 0 min.

2. a) Le taux de variation moyen au voisinage de t = 2 s pour un intervalle detemps∆t = 0,5 s est :

∆s∆t [2; 2,5]

= s(2,5)− s(2)2,5−2

= 129,375−108,4000,5

ms= 41,95 m s.

b) Le taux de variation moyen au voisinage de t=2spourunintervalledetemps∆t = –0,5 s est :

xc d

f(x)

Taux de variation moyen négatif dans l’intervalle [c; d]

xc da

f(x)

Taux de variation moyen nul dans l’intervalle [c; d]

positif sur [c; a] et négatif sur [a; d]

V(t)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

200

400

600

t Temps (min)

Volu

me

(L)

V(t)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

200

400

600

t Temps (min)

Vol

ume

(L)


∆s∆t [2; 1,5]

= s(1,5)− s(2)1,5−2

= 84,975−108,400−0,5

ms= 46,85 m s.

c) ESTIMATION PAR INTERVALLES EMBOÎTÉS

à droite à gauche∆t ∆t

–0,5–0,1–0,01

0,50,10,01

[1,5; 2][1,9; 2][1,99; 2]

[2; 2,5]

[2; 2,1]

[2; 2,01]

46,85 m/s44,89 m/s44,449 m/s

41,95 m/s43,91m/s44,351 m/s

∆s∆t

∆s∆t

Enobservantlesdonnéesdutableau,onconstateque,lorsque∆t s’approche de 0, le taux de variation moyen s’ap-proche d’une valeur comprise entre 44,449 m/s et 44,351 m/s On peut conclure que le taux ponctuel de variation est :

dsdt 2

44 4= , . m s

Ce taux de variation représente la vitesse instantanée du projectile à 2 s. Le taux de variation étant positif, le projectile s’éloigne du sol.

d) ESTIMATION PAR INTERVALLES EMBOÎTÉS


–0,5–0,1–0,01

0,50,10,01

[7,5; 8][7,9; 8][7,99; 8]

[8; 8,5] [8; 8,1][8; 8,01]

–11,95 m/s–13,91 m/s–14,351 m/s

–16,85 m/s–14,89 m/s–14,449 m/s

∆s∆t

∆s∆t

On peut conclure que le taux ponctuel de variation estdsdt 8

14 4= − , . m s

Ce taux de variation représente la vitesse instantanée du projectile à 8 s. Le taux de variation étant négatif, le pro-jectile retombe.

3. a) ≈–0,000028mol/L·s b) ≈–0,000024mol/L·s c) ≈–0,000021mol/L·s d) ≈–0,000016mol/L·s

e) ESTIMATION PAR INTERVALLES EMBOÎTÉS

à droite ∆t

0,50,10,01

[0; 0,5] [0; 0,1][0; 0,01]

–0,00002798 mol/L·s

–0,000027996 mol/L·s

–0,0000279996 mol/L·s

∆C∆t

Onpeutdoncestimerletauxdevariationinstantanéà–0,000028mol/L·s,cequiconfirmeetpréciselerésultatobtenu graphiquement.

f) ESTIMATION PAR INTERVALLES EMBOÎTÉS


–0,5–0,1–0,01

0,50,10,01

[49,5; 50][49,9; 50][49,99; 50]

[50; 50,5] [50; 50,1][50; 50,01]

–0,000024359 mol/L·s–0,000024345 mol/L·s–0,000024342 mol/L·s


∆C∆t

∆C∆t



g) ESTIMATION PAR INTERVALLES EMBOÎTÉS


–0,5–0,1–0,01

0,50,10,01

[199,5; 200][199,9; 200][199,99; 200]

[200; 200,5] [200; 200,1][200; 200,01]



∆C∆t

∆C∆t


4. ESTIMATION PAR INTERVALLES EMBOÎTÉSà droite à gauche

x x

3,53,93,99

4,54,14,01

7,57,97,99

8,58,18,01

x2 – 16x – 4

x2 – 16x – 4

Lorsque x s’approche de 4, que ce soit par la gauche ou par la droite, les images s’approchent de 8. On écrit :

lim .x

xx→

−−

=

4

2 164

8

5. a) À2s,letauxdevariationestpositif,cequisignifiequeladistanceaugmenteparrapportaupointderéférencequiest le sol. Le projectile s’élève à un taux de 20,4 m/s.

b) À5s,letauxdevariationestnégatif,cequisignifiequeladistancediminueparrapportausol.Leprojectileretombeà un taux de 9 m/s.

6. a) Le taux de variation ponctuel à c = –2 est –8. Ce taux de variation est représenté graphiquement par la pente de la tangente au graphique de la fonction au point d’abscisse –2.

b) Le taux de variation ponctuel à c = 0 est –4. Ce taux de variation est représenté graphiquement par la pente de la tangente au graphique de la fonction au point d’abscisse 0.

c) Le taux de variation ponctuel à c = 2 est 0. Ce taux de variation est représenté graphiquement par la pente de la tangente au graphique de la fonction au point d’abscisse 2.

7. a) Le taux de variation ponctuel à c = –3 est 6. Ce taux de variation est représenté graphiquement par la pente de la tangente au graphique de la fonction au point d’abscisse –3.

b) Le taux de variation ponctuel à c = 0 est 0. Ce taux de variation est représenté graphiquement par la pente de la tangente au graphique de la fonction au point d’abscisse 0.

c) Le taux de variation ponctuel à c = 3 est –6. Ce taux de variation est représenté graphiquement par la pente de la tangente au graphique de la fonction au point d’abscisse 2.

8. a) À1s,letauxdevariationestpositif,cequisignifiequeladistanceaugmente,leprojectiles’élèveàuntauxde 137,2 m/s.

b) À6s,letauxdevariationestpositif,cequisignifiequeladistanceaugmente,leprojectiles’élèveàuntauxde 88,2 m/s.

c) Le projectile retombera au sol lorsque sa hauteur sera nulle. On cherche donc t tel que :147t – 4,9t

2 = 0

Ce qui donne t = 0 et t = 30 s. On doit donc trouver la vitesse instantanée à t = 30 s. En suivant la procédure, on trouvev(30) = –147 m/s. La vitesse d’impact est la même que la vitesse initiale mais de sens contraire.

9. a) Lorsque la pression est de 20 po de Hg, le gaz subit une diminution de volume de 4 pouces cubes pour une augmen-tation de la pression de 1 po de Hg.

b) Lorsque la pression est de 80 po de Hg, le gaz subit une diminution de volume de 1/4 de pouce cube pour une aug-mentation de la pression de 1 po de Hg.


10. a) dvdh 4

1 1≈ ⋅, . m s m b) dvdh 2

1 57≈ ⋅, .m s m


x x

8,58,98,99

9,59,19,01

0,169048110,167132220,16671299

0,164414000,166206260,16662040

x – 3x – 9

x – 3x – 9

La limite à gauche est égale à la limite à droite et on peut estimer que cette limite est lim , ...x

xx→

−−

=

9

39

0 1666

12. Lafonctionn’estpasdéfinieàgauchede2puisquelaracined’unnombrenégatifn’existepas.Enétudiantlecompor-tement à droite, on trouve que la limite à droite est 0.

ESTIMATION PAR INTERVALLES EMBOÎTÉSà droite à gauche

x x

1,51,91,99

2,52,12,01

pasdéfini

à gauche

0,707110,316230,10000

x – 2 x – 2


h h

–0,5–0,1–0,01

0,50,10,01

5,3333336,36364

396,03960

–16,00000–44,44444

–404,04040

4h2 – h

4h2 – h

Lorsque hs’approchede0parlagauche,lesimagestendentversl’infini.Lorsqueh s’approche de 0 par la droite, les imagestendentversmoinsl’infiniLLalimiten’existepascarl’infinin’etpasunnombreréel.Onécrit:

lim lim

h hh h h h→ →− +−

= ∞

−

=

0 2 0 24 4 et −−∞.


∆x ∆x

–0,5–0,1–0,01

0,50,10,01

–0,07143–0,06410¬0,06266

–0,05556–0,06098–0,06234

∆x

14 + ∆x

14

–

∆x

14 + ∆x

14

–

Lorsque∆x s’approche de 0, que ce soit par la gauche ou par la droite, les images s’approchent de –0,0625. On écrit :

lim∆x→0

14+∆x

− 14

∆x

= −0,0625...


exercices de synthèse. a) En traçant la tangente par le point (1; 1), on obtient une droite dont on peut tenter de déterminer deux points dont

il est possible d’évaluer les coordonnées. Dans ce cas, la tangente semble passer assez près des points (1/2; 0) et (3; 5). La pente de cette tangente est alors :

dfdx 1

= −

−=

−= = × =5 0

3 12

562

12

552

5 25

2.

On estime donc que le taux de variation ponctuel au point d’abscisse 1 est égal à 2.

En traçant la tangente par le point (2; 4), on obtient une droite dont on peut tenter de déterminer deux points dont il est possible d’évaluer les coordon-nées. Dans ce cas, la tangente semble passer assez près des points (1; 0) et (5/2; 6). La pente de cette tangente est alors :

dfdx 2

= −

−=

−= = × =6 0

52

1

652

22

632

6 23

4.

On estime donc que le taux de variation ponctuel au point d’abscisse 2 est égal à 4.

b) En calculant le taux de variation moyen sur l’intervalle [0,5; 1], on trouve :

∆f∆x [0,5; 1]

= f (1+∆x)− f (1)∆x

= (0,5)2 −12

−0,5=1,5.

En effectuant le même calcul sur des intervalles emboîtés, on obtient les données du tableau ci-contre qui permettent d’estimer que le taux de variation ponctuel au point d’abscisse 1 est égal à 2.

c) La pente de la sécante passant par les points (1; 1) et (x; x2) est donnée

par :

= −

−= −

−fx

f x fx

xxx[1; ]

( ) ( ) .11

11

2

d) En considérant que le point (x; x2) est mobile et s’approche du point (1; 1),

la limite

limx

xx→

−−

1

2 11

représente le taux de variation ponctuel au point d’abscisse 1.

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4–3 –2 –1 x

f(x)

(1/2; 0)

(3; 5)

(1; 1)

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4–3 –2 –1 x

f(x)

(1; 0)

(5/2; 6)

(2; 4)

DÉTECTION DU COMPORTEMENT

Valeur estimée 2

2

Intervalle

à g

auch

eà

dro

ite

∆x

–0,5 –0,1–0,01–0,001

[0,5; 1][0,9; 1][0,99; 1][0,999; 1]

[1; 1,001][1; 1,01][1; 1,1][1; 1,5]

2,0012,012,12,5

1,51,91,991,999

0,0010,010,10,5

∆f/∆x

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4–3 –2 –1 x

f(x)

(x; x2)

(1; 1)


e) On peut estimer cette limite par le tableau ci-contre. On trouve alors que le taux de variation ponctuel est égal à 2.

f) En calculant le taux de variation moyen sur l’intervalle [1,5; 2], on trouve :

∆f∆x [1,5; 2]

= f (2+∆x)− f (2)∆x

= (1,5)2 −22

−0,5= 3,5.

En effectuant le même calcul sur des intervalles emboîtés, on obtient les données du tableau ci-contre qui permettent d’estimer que le taux de variation ponctuel au point d’abscisse 1 est égal à 4.

g) La pente de la sécante passant par les points (2; 4) et (x; x2) est donnée

par :

∆f∆x [2; x]

= f (x)− f (2)x − 2

= x2 − 4x − 2

.

h) En considérant que le point (x; x2) est mobile et s’approche du point

(2; 4), la limite

limx

xx→

−−

2

2 42

représente le taux de variation ponctuel au point d’abscisse 2.

i) On peut estimer cette limite par le tableau ci-contre. On trouve alors que le taux de variation ponctuel est égal à 4.


Valeur estimée 2

à gauche à droite

x

0,50,90,990,999

1,51,91,991,999

2,52,12,012,001

1,51,11,011,001

x2 – 1x – 1 x

x2 – 1x – 1


Valeur estimée 4

4

Intervalle

à g

auch

eà

dro

ite

∆x

–0,5 –0,1–0,01–0,001

[1,5; 2][1,9; 2][1,99; 2][1,999; 2]

[2; 2,001][2; 2,01][2; 2,1][2; 2,5]

4,0014,014,14,5

3,53,93,993,999

0,0010,010,10,5

∆f/∆x


Valeur estimée 4

à gauche à droite

x

1,51,91,991,999

3,53,93,993,999

4,54,14,014,001

2,52,12,012,001

x2 – 4x – 2 x

x2 – 4x – 2

�0 Chapitre 1 – Taux de variation

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