Tassements Et Contraintes Dans Un Sol Elastique

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tassements et contraintes dans une couche de sol élastique supportant une charge uniformément répartie présentation F. SCHLOSSER Ingénieur des Ponts et Chaussées Chef de la section " mécanique des sols" du Laboratoire Central L'évaluation des tassements des ouvrages fondés superficiellement est un problème im- portant mais délicat. La difficulté résulte, pour une grande part, de la complexité du comportement des sols, comportement qu'il n'est pas possible de représenter par des lois simples. Les méthodes d'évaluation sont donc nombreuses mais toutes imparfaites, depuis les méthodes utilisant la théorie de l'élasticité linéaire jusqu'aux méthodes plus ou moins empiriques extrapolant au cas réel des résultats d'essais de chargement simplifiés : essais œdométriques, essais sur modèles ou essais de plaques, essais en semi-grandeur, etc. Dans la mesure il n'existe pas de méthode générale, il s'agit dans chaque cas de savoir utiliser non pas celles qui donneront à coup sûr les meilleurs résultats, mais celles qui sont les mieux adaptées à la fols au coût de l'ouvrage et à la précision que l'on demande dans la connaissance des tassements. Ainsi, il sera possible pour certains ouvrages de se contenter d'un résultat à 100 % près, lorsque le tas- sement sera de l'ordre de quelques centimètres, ce qui ne sera pas le cas pour un remblai cons- truit sur un sol très compressible, où le tassement atteindra le mètre ou plus. L'article de MM. Giroud, Watissee et Rabatel donne la résolution complète d'un cas de chargement souvent rencontré dans la pratique : celui d'une couche de sol reposant sur un subs- tratum indéformable et supportant une charge uniformément répartie, un remblai, par exemple. Le sol est supposé obéir à une loi de comportement élastique linéaire. Les résultats concernent à la fois les contraintes et les tassements et sont donnés sous forme d'abaques. S'il est bien certain que le comportement d'un sol n'est jamais élastique et linéaire, cet article présente pour le mécanicien des sols beaucoup d'intérêt et à plusieurs titres : - la connaissance de l'état des contraintes dans le sol de fondation sous un remblai permet, en effet, de s'orienter vers des méthodes plus élaborées que la méthode œdométrlque et utilisant par exemple l'essai triaxial. Ce processus est justifié par le fait que les contraintes sont moins « sen- sibles » que les tassements aux écarts qui peuvent exister entre le sol réel et celui de la théorie élastique ; 97 J.P. GIROUD Ingénieur E.CP. Licencié ès-Sciences Docteur de Spécialité H. WATISSEE Ingénieur E.CP. Docteur de Spécialité A. RABATEL Technicien Laboratoire de mécanique des sols Université de Grenoble Bull. Liaison Labo. Routiers P. et Ch. no 48 - Nov. 1970 - Réf. 925

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tassement

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tassements et contraintes dans une couche de sol élastique supportant une charge uniformément répartie

p r é s e n t a t i o n F. S C H L O S S E R

Ingénieur des Ponts et C h a u s s é e s Chef de la section " mécanique des s o l s "

du Laboratoire Central

L'évaluation des tassements des ouvrages fondés superficiellement est un problème im­portant mais délicat. La difficulté résulte, pour une grande part, de la complexité du comportement des sols, comportement qu'il n'est pas possible de représenter par des lois simples.

Les méthodes d'évaluation sont donc nombreuses mais toutes imparfaites, depuis les méthodes utilisant la théorie de l'élasticité linéaire jusqu'aux méthodes plus ou moins empiriques extrapolant au cas réel des résultats d'essais de chargement simplifiés : essais œdométriques, essais sur modèles ou essais de plaques, essais en semi-grandeur, etc. Dans la mesure où il n'existe pas de méthode générale, il s'agit dans chaque cas de savoir utiliser non pas celles qui donneront à coup sûr les meilleurs résultats, mais celles qui sont les mieux adaptées à la fols au coût de l'ouvrage et à la précision que l'on demande dans la connaissance des tassements. Ainsi, il sera possible pour certains ouvrages de se contenter d'un résultat à 100 % près, lorsque le tas­sement sera de l'ordre de quelques centimètres, ce qui ne sera pas le cas pour un remblai cons­truit sur un sol très compressible, où le tassement atteindra le mètre ou plus.

L'article de MM. Giroud, Watissee et Rabatel donne la résolution complète d'un cas de chargement souvent rencontré dans la pratique : celui d'une couche de sol reposant sur un subs-tratum indéformable et supportant une charge uniformément répartie, un remblai, par exemple. Le sol est supposé obéir à une loi de comportement élastique linéaire. Les résultats concernent à la fois les contraintes et les tassements et sont donnés sous forme d'abaques.

S'il est bien certain que le comportement d'un sol n'est jamais élastique et linéaire, cet article présente pour le mécanicien des sols beaucoup d'intérêt et à plusieurs titres :

- la connaissance de l'état des contraintes dans le sol de fondation sous un remblai permet, en effet, de s'orienter vers des méthodes plus élaborées que la méthode œdométrlque et utilisant par exemple l'essai triaxial. Ce processus est justifié par le fait que les contraintes sont moins « sen­sibles » que les tassements aux écarts qui peuvent exister entre le sol réel et celui de la théorie élastique ;

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J . P . G I R O U D Ingénieur E . C P .

Licencié ès-Sciences Docteur de Spécialité

H. W A T I S S E E Ingénieur E . C P .

Docteur de Spécialité

A . R A B A T E L Technicien

Laboratoire de mécanique des sols Université de Grenoble

B u l l . Liaison Labo. Routiers P. et C h . no 48 - Nov . 1970 - Réf. 925

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- la méthode élastique est l'une des plus appropriées pour évaluer le tassement immédiat sous un remblai, c'est-à-dire celui qui se produit avant toute consolidation ;

- utilisée conjointement avec la méthode œdométrique, la méthode élastique proposée par M. Giroud doit permettre une évaluation plus précise des tassements sous tout le profil du remblai ;

- pour des sols peu compressibles et pour des charges importantes concentrées vis-à-vis de l'épais­seur de la couche de sol, la méthode élastique est certainement assez bien appropriée à l'évaluation des tassements dans la mesure où les modules utilisés sont représentatifs.

Les abaques présentés dans cet article seront certainement un bon outil de travail pour les mécaniciens des sols de nos laboratoires qui effectuent des recherches sur les sols compres­sibles supportant des remblais.

INTRODUCTION

I - BUT DE CET ARTICLE

II est fréquent d'avoir à calculer le tassement d'une charge qui a pour fondation une couche de sol sup­portée par un substratum indéformable. Nous avons donc estimé utile de faire une étude théorique de ce problème, en prenant des condit ions aux limites simples (charge uniforme sur une bande infinie) et en considérant que le sol est linéairement élastique. Les résultats obtenus devraient être utiles aux chercheurs qui étudient les méthodes de calcul des tassements.

En plus des valeurs du tassement, nous donnons, dans une deuxième partie, cel les des contraintes. Il est utile, en effet, de les connaître car el les sont utilisées dans les méthodes c lassiques de calcul du tasse­ment. C e s méthodes sont justif iées [1] [2], parce que les contraintes dépendent assez peu de l'hétérogé­néité ou de la non élasticité du sol alors que, au contraire, les tassements en dépendent beaucoup.

2 - HYPOTHESES

a) Hypothèses relatives au sol de fondation La couche compressib le est limitée par deux plans horizontaux parallèles : la surface du sol (z = 0) et la limite supérieure du substratum rigide (z = H) (fig. 1). L'adhérence entre le substratum et le sol compres­sible est supposée parfaite, autrement dit, le déplacement des points situés à la profondeur z = H est nul.

Nous supposons que le sol compressib le obéit à la loi de Hooke (élasticité linéaire) : il est donc carac­térisé par deux coeff icients (E, module de Young e tv , coefficient de Poisson).

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b) D é f i n i t i o n de la charge

Le calcul est fait pour une couche compressible supportant à sa surface une charge normale uniforme de longueur infinie et de largeur 2a ( f lg . 1). Bien qu'en réalité une longueur ne puisse être infinie, on peut représenter ainsi les charges dont le rapport longueur/largeur est grand pour calculer le tassement ou les contraintes en un point éloigné de l'extrémité de la charge : il en résulte des calculs plus simples (déformation plane) et des résultats plus commodes. Pour avoir un ordre de grandeur de l'approximation ainsi faite, distinguons deux cas : — pour les contraintes, nous avons calculé [3] [4] l 'erreur commise dans le cas d'un massif semi-infini de sol homogène (autrement dit : couche compressible d'épaisseur infinie). S i l 'épaisseur de la couche est finie, l 'erreur est encore plus faible car la présence du substratum diminue l' influence des charges éloi­gnées. Il en résulte que, pour les charges telles que les digues, remblais routiers et semel les filantes, l'erreur faite sur les contraintes en supposant la longueur infinie est très faible ; — pour les tassements, le problème est plus délicat. En effet, il est bien connu que, sur un massif semi-infini, le tassement d'une charge de longueur infinie est infini. Le raisonnement fait pour les contraintes n'est donc plus applicable. On peut seulement affirmer que l'erreur est d'autant plus faible que le rapport longueur/largeur est plus grand et que l'épaisseur de la couche est plus faible ; et if semble logique de présumer que cette erreur est plus grande pour les tassements que pour les contraintes. Une étude en cours à Grenoble [5] permettra plus tard de préciser ce point.

3 - N O T A T I O N S ET C O N V E N T I O N S

• Les notations sont répertoriées comme suit :

- a : demi-largeur de la charge uniforme, - E : module de Young du sol de la couche compressible, - E' : module œdométrique du sol de la couche compressible, - H : épaisseur de la couche de sol compressible, - (I, J) : indices de ligne et de colonne dans la double grille, - k m , k m , k H 2 : coefficients sans dimensions pour le calcul de o-z , T z x et o-x , - p : pression uniforme exercée à la surface du massif, - P H p ' H : coefficients sans dimensions pour le calcul du tassement, • P h « P P : v a ' e u r explicite approchée de p H valable si B est grand, - Ç : forces représentant la charge p, dans le schéma de la double grille,

- t : variable d'intégration, - w, u : composantes du vecteur déplacement, - w', u' : composantes du vecteur déplacement en axes inclinés à 4 5 ° ,

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- x, z : coordonnées du point où l'on calcule les contraintes et le déplacement, - / ? , / ? ' : paramètres sans dimensions liés à l'épaisseui de la couche, - A : côté des mailles de la double grille, - v : coefficient de Poisson du sol de la couche compressible, - « : paramètre de sur-relaxation.

• Les conventions suivantes sont appliquées :

- le tassement, w, est positif vers le bas comme l'axe Oz, - les contraintes normales ( f f

x , a

y , a z ) sont posit ives si ce sont des compressions, - une contrainte tangentielle, exercée sur une coupe de normale intérieure parallèle à un axe de coordon­

nées et de même sens, est posit ive si elle est de même sens que l'autre axe de coordonnées (fig- 2).

% >o Fig. 2 - Conventions de signes

pour les contraintes.

4 - EQUATIONS DU PROBLEME

Les équations qui permettent de résoudre un problème d'élasticité en déformation plane sont - les deux équations de l'équilibre indéfini indépendantes des propriétés du matériau :

ô o - 2 Ô T 2 X _ 0

ô z o x

ô Z dx

- les trois équations de Hooke qui indiquent que le sol est élastique

1+v

E

1+v 1-f-v r T

(2) / Ex = - 1(1 v) a* VOz J 1+v

T 2 X = Tz:

les relations de définition des déformations

ôw 1 /dw o u \ ou

ôz 2 \ ö x dz I ox

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C e s trois composantes de la déformation, dérivant d'un vecteur déplacement (w, u), ne sont pas indépen­dantes ; on en déduit par dérivation la relation de compatibil ité qui existe entre elles :

0 ! £ Z 0 ! E * 2 ò* f2X

(4) H = òx* ò z 8 òzbx

Cette relation traduit la continuité de la déformation du milieu

La solution des systèmes précédents doit satisfaire aux condit ions aux limites indiquées (§ 2a) et dont l 'expression est :

T z x = 0

(5) z = 0 { = t p si | x [ < a T z f 0 si | x | > a

(6) z = H : w = u = 0

5 - PLAN DE L'ARTICLE

Nous avons utilisé dans cette étude deux méthodes de calcul tout à fait différentes : - la première, faisant appel aux séries de Fourier, n'a été utilisée que pour les tassements. Elle a permis d'explorer tout le champ des valeurs de H (épaisseur de la couche) et de v (coefficient de Poisson du sol) ; - la seconde, entièrement numérique, a fourni simultanément les tassements et les contraintes, mais les temps de calcul étant très longs, nous avons dû limiter le champ des valeurs de H et de v examinées. De plus, cette dernière méthode ne nous a pas permis d'étudier le cas du sol volumétriquement incompres­sible ( v = 0,5).

Nous avons donc partagé cet article en deux : - une première partie intitulée « Calcul des tassements » où sera brièvement exposée la méthode des séries de Fourier ; - une deuxième partie consacrée au « Calcul des contraintes » où sera mentionnée la méthode numérique.

C A L C U L DES TASSEMENTS

I - DETERMINATION THEORIQUE DES TASSEMENTS

a) R é s o l u t i o n du p r o b l è m e par les s é r i e s de Fourier

II est classique de montrer, en combinant les équations (1), (2) et (4), que l'on peut ramener un problème de déformation plane élastique à une seule équation biharmonique :

(7) V'«ï> = 0

avec <P (z, x) : fonction de contrainte d'Airy telle que :

o s <ï> d2<ï> ô s <ï> (8) uz = t» = a* =

ô x 2 ôz o i dz2

Il suffit donc de trouver une fonction <t> solution de (7) et satisfaisant aux condit ions aux limites (5) et (6).

loi

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La charge étant symétrique et finie, on peut choisir $> de la forme :

m * - £ [-5- o h (-fr ') + ~jr "h (~jr ' ) + ••<*(Î ' ) + |(-fr ' ) ]<=«= (TT ' )

Les constantes A , B, C et D sont déterminées d'après les conditions aux limites (5) et (6) qui s'expriment respectivement :

ô!«ï> = 0

(10) z = 0

(11) z = H

ôz d x

ô2<ï> j p si | x | < a

ô x 2 ( 0 si | x I > a

\ \ 0 — v) v dz

) Jo L ô x 2 ôz 2 J

Jo L ô * 2 ftx' J = 0

Le calcul de A , B, C et D a été fait par Holl [6] en représentant la charge par une intégrale de Fourier :

2 i* 0 0 fx (*°° (12) P (x) = — \ cos dt \ p (XH) cos (xt) dx

^ Jo H Jo

La fonction q> étant déterminée, les contraintes s'en déduisent par (8), les déformations par (2) et les dépla­cements par intégration de (3). En particulier, pour le tassement de la surface du sol (z = 0), Holl a obtenu :

4 (1 — v 2 ) f " (3 — 4 v) cht sht — t / tx \ / ta \ (13) w = — — ^ p H \ — cos ( ) sin ( - = - ) dt

i tE Jo 1(3 — 4 v) ch 2 t + (1 — 2 v) 2 + t 2] t2 V H / V H /

Nous nous limiterons ici au calcul du tassement en surface à l'aide de la formule (13), mais on voit que cette méthode permet d'obtenir contraintes, déformations et déplacements en tout point de la couche de sol compressible.

b) Calcul des valeurs n u m é r i q u e s du tassement

L'intégrale (13) fournit le tassement de tous les points de la surface du massif. Cependant, il suffit de faire le calcul pour le point situé au bord de la charge, le principe de superposit ion permettant d'en déduire le tassement des autres points. Le tassement au bord de la charge (z = 0, x = a) se calcule à l'aide de l'intégrale suivante déduite de (13) :

(14) w = - A - ! ? - p H

avec

(15) p „ = — — p\ * (v, S, t) dt — v 2 ) r P\ * (v, (3. t)

(3 — 4 v) cht sht — t t (16) q? (v. S, t) = T — sin —

v (3 — 4 v) ch 2 t + (1 — 2 v) 2 + t 2 ] t 2 B

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en posant

L'intégrale (15) ne peut pas être exprimée explicitement : il faut donc la calculer numériquement pour toutes les valeurs intéressantes de v et de /3. L'aire de la fonction <J> (t) (fig. 3) est une série alternée décroissante ; la valeur de l'intégrale est donc finie :

(18) p „ = A , — A 2 + A* — A 4 . . . . ( — 1)n+1 An . . . .

0 (v,/3, t)

Calcul numérique Calcul explicite approché

Fig 3 - Allure de la courbe <t> ( v , /3, i) pour v et P donnés.

Le nombre de boucles de la courbe étant trop grand, un planimétrage manuel était pratiquement impossible. Nous avons donc déterminé ces aires à la calculatrice électronique avec un pas dt = 0,01 en nous arrêtant lorsque A n est inférieur à 0,001 sans toutefois dépasser t = 10. En effet, pour t > 10, on peut écrire, avec une erreur inférieure à 10~4 :

2 (1 — v 2 ) (19) p „ = P lî J0 | (3 — 4v) Chr't + (1

Notons que ce dernier terme ne dépend pas de v.

(3 — 4 v) cht sht — t t — sin — dt +

2 v ) 2 + t 2 ] t2 B

f«= 1 t T \ — sin — dt

.lin t 2 B J

On peut alors écrire

(20) Pu = 2 (1 - v 2 ) (3 — 4 v ) cht sht — t B

H sin [(3 — 4 v) ch 2 t + (1 — 2 v ) 2 + t2] t2 10

Nous avons donc la somme de trois termes : le premier a été calculé numériquement comme il est dit plus haut, le second est explicite et la valeur du troisième (« cosinus intégral ») est donnée dans toutes les tables de fonctions classiques.

Nous avons fait ce calcul pour un grand nombre de valeurs de v et de B et les résultats sont donnés dans le tableau 1 et la figure k.

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C o e f f i c i e n t de P O I S S O N V C o e f f i c i e n t de P O I S S O N V

/$ 0 0,1 0 , 2 0 , 3 0 ,4 0 . 5 f> 0 0,1 0 , 2 0 , 3 0 ,4 0 , 5

0 0 0 0 0 0 0 1 .7 0 , 7 7 7 0 , 7 5 3 0 , 7 0 6 0 , 6 2 6 0 , 5 0 1 0 , 3 1 7 0 , 0 5 0 , 0 2 5 0 , 0 2 4 0 , 0 2 3 0 , 0 1 9 0 , 0 1 2 o 0 0 0 1 , 8 0 , 8 0 9 0 , 7 8 5 0 , 7 3 8 0 , 6 5 5 0 , 5 2 7 0 , 3 3 9 0 , 1 0 , 0 5 0 , 0 4 9 0 , 0 4 5 0 , 0 3 7 0 , 0 2 3 o , 0 0 0 1 . 9 0 , 8 4 0 0 , 8 1 7 0 , 7 68 0 , 6 8 2 0 , 5 5 1 0 , 3 6 0

0 , 1 5 0 , 0 7 5 0 , 0 7 3 0 , 0 6 8 0 , 0 5 6 0 , 0 3 5 0 0 0 0 2 , 0 0 , 8 7 0 0 , 8 4 8 0 , 7 9 6 0 , 7 0 9 0 , 5 7 5 0 , 3 8 1 0 , 2 0 , 1 0 0 0 , 0 9 8 0 , 0 9 0 0 , 0 7 4 0 , 0 4 7 o 001 2 , 5 1 , 0 0 2 0 , 9 7 8 0 , 9 2 5 0 , 8 2 6 0 , 6 8 2 0 , 4 6 8 0,125 0 , 1 2 5 0 , 1 2 2 0 , 1 1 3 0 , 0 9 3 0 , 0 5 9 o 0 0 4 3 , 0 1 , 1 1 2 1 , 0 8 5 1 , 0 2 9 0 , 9 2 6 0 , 7 7 3 0 , 5 4 8

0 , 3 0 , 1 5 0 0 , 1 4 7 0 , 1 3 5 0 , 1 1 2 0 , 0 7 2 o 0 0 7 3 , 5 1 , 2 0 8 1 , 1 8 0 1 , 1 1 5 1 , 0 1 2 0 , 8 5 2 0 , 6 1 9 0 , 3 5 0 , 1 7 5 0 , 1 7 1 0 , 1 5 8 0 , 1 3 1 0 , 0 8 5 o 011 4 , 0 1 , 2 8 9 1 , 2 6 3 1 ,197 1 , 0 8 6 0 , 9 2 0 0 , 6 8 3 0 , 4 0 , 2 0 1 0 , 1 9 6 0 , 1 8 1 0 , 1 5 0 0 , 0 9 9 o 017 5 , 0 1 , 4 2 9 1 , 4 0 0 1 , 3 3 0 1 , 2 1 2 1 , 0 3 6 0 , 7 8 6

0 , 4 5 0 , 2 2 7 0 , 2 2 0 0 , 2 0 4 0 , 1 6 9 0 , 1 1 3 o 023 6 , 0 1 , 5 4 5 1 , 5 1 8 1 , 4 4 5 1 , 3 1 8 1 , 1 3 3 0 , 8 7 0 0 , 5 0 , 2 5 3 0 , 2 4 5 0 , 2 2 7 0 , 1 8 9 0 , 1 2 7 0 031 7 , 0 1 ,641 1 , 6 1 5 1 , 5 4 0 1 , 4 0 5 1 , 2 1 3 0 , 9 4 3 0 , 5 5 0 , 2 7 9 0 , 2 6 9 0 , 2 5 0 0 , 2 0 9 0 , 1 4 3 o 0 3 9 8 , 0 1 , 7 2 2 1 , 6 9 9 1 ,621 1 , 4 7 9 1 ,281 1 , 0 0 7

0 , 6 0 , 3 0 5 0 , 2 9 4 0 , 2 7 2 0 , 2 2 9 0 , 1 5 8 o 0 4 9 9 , 0 1 , 8 0 0 1 , 7 7 0 1 , 6 8 9 1 , 5 4 9 1 , 3 4 7 1 , 0 6 2 0 , 6 5 0 , 3 3 1 0 , 3 1 8 0 , 2 9 5 0 , 2 4 9 0 , 1 7 4 o 0 5 9 1 0 , 0 1 , 8 6 6 1 , 8 3 4 1 , 7 5 0 1 , 6 0 9 1 , 4 0 2 1 , 1 1 2 0 , 7 0 , 3 5 7 0 , 3 4 2 0 , 3 1 8 0 , 2 6 9 0 , 1 9 1 o 0 7 0 1 1 , 0 1 , 9 2 6 1 , 8 9 0 1 , 8 0 5 1 , 6 6 3 1 , 4 5 2 1 , 1 5 7

0 , 7 5 0 , 3 8 2 0 , 3 6 7 0 , 3 4 1 0 , 2 9 0 0 , 2 0 7 o 081 1 2 , 0 1 , 9 7 8 1 , 9 4 2 1 , 8 5 7 1 , 7 1 2 1 , 5 0 0 1 , 1 9 8 0 , 8 0 , 4 0 7 0 , 3 9 1 0 , 3 6 4 0 , 3 1 0 0 , 2 2 4 o 093 1 3 , 0 2 , 0 2 6 1 ,991 1 , 9 0 6 1 , 7 5 9 1 , 5 4 4 1 , 2 3 6 0 , 8 5 0 , 4 3 2 0 , 4 1 5 0 , 3 8 6 0 , 3 3 0 0 , 2 4 1 o 106 1 4 ,0 2 , 0 7 2 2 , 0 3 8 1 , 9 5 2 1 , 8 0 2 1 , 5 8 5 1 , 2 7 1

0 , 9 0 , 4 5 6 0 , 4 3 9 0 , 4 0 8 0 , 3 5 0 0 , 2 5 8 o 118 1 5 , 0 2 , 1 1 5 2 , 0 8 1 1 , 9 9 5 1 , 8 4 3 1 , 6 2 3 1 , 3 0 4 0 , 9 5 0 , 4 8 0 0 , 4 6 4 0 , 4 3 0 0 , 3 7 0 0 , 2 7 5 o 131 2 0 , 0 2 , 3 0 7 2 , 2 6 9 2 , 1 7 3 2 , 0 1 0 1 , 7 7 2 1 , 4 4 2 1 , 0 0 , 5 0 3 0 , 4 8 8 0 , 4 5 2 0 , 3 9 0 0 , 2 9 1 0 144 2 5 ,0 2 , 4 4 9 2 , 4 1 0 2 , 3 0 9 2 , 1 3 9 1 , 8 9 1 1 , 5 4 8

1.1 0 , 5 4 8 0 , 5 3 0 0 , 4 9 6 0 , 4 2 8 0 , 3 2 4 o 170 3 0 , 0 2 , 5 6 5 2 , 5 2 4 2 , 4 2 0 2 , 2 4 4 1 , 9 8 8 1 , 6 3 5 1 .2 0 , 5 9 1 0 , 5 7 0 0 , 5 3 5 0 , 4 6 4 0 , 3 5 6 o 196 4 0 , 0 2 , 7 4 8 2 , 7 0 5 2 , 5 9 6 2 , 4 1 1 2 , 1 4 2 1 , 7 7 2 1 ,3 0 , 6 3 2 0 , 6 1 1 0 , 5 7 4 0 , 4 9 9 0 , 3 8 7 o 222 5 0 , 0 2 , 8 9 0 2 , 8 4 7 2 , 7 3 2 2 , 5 4 0 2 , 2 6 1 1 , 8 7 9

1 , 4 0 , 6 7 1 0 , 6 4 8 0 , 6 1 0 0 , 5 3 3 0 , 4 1 7 o 246 1 0 0 , 0 3 , 3 3 1 3 , 2 8 4 3 , 1 5 6 2 , 9 4 2 2 , 6 3 2 2 , 2 1 0 1 . 5 0 , 7 0 8 0 , 6 8 5 0 , 6 4 3 0 ; 5 6 6 0 , 4 4 6 o 270 1 0 0 0 , 0 4 , 7 9 7 4 , 7 3 5 4 , 5 6 3 4 , 2 7 6 3 , 8 6 3 3 , 3 0 9

1 , 6 0 , 7 4 3 0 , 7 2 0 0 , 6 7 6 0 , 5 9 7 0 , 4 7 4 0 294 00 00 C O 00 O S 00 C O

T A B L E A U 1 - Valeurs du coefficient p H pour le calcul du tassement d'après les formules du tableau 2. C e s mêmes valeurs sont représentées graphiquement sur la figure 4.

Page 9: Tassements Et Contraintes Dans Un Sol Elastique

c) Tassement en un point quelconque de la surface du sol

Nous venons d'indiquer comment a été obtenu le tassement du bord de la charge. Voyons comment on peut en déduire celui d'un point quelconque.

Pour cela, considérons le point M de la figure 5. On voit que son tassement s'obtient à partir du tassement du bord par superposit ion : ceci nous conduit à la formule (24) du tableau 2. S i le point M était à l'exté­rieur de la charge, l 'application du principe de superposit ion se traduirait par une soustraction au lieu d'une addition mais conduirait à la même formule (24).

2 - RESULTATS NUMERIQUES

D'après l'étude (§ 1), le tassement s'exprime par les formules du tableau 2. Notons que, dans ce tableau, les expressions (22) et (23) ne sont que des cas particuliers de l 'expression générale (24).

A partir des formules du tableau 2, on en déduit cel les du tableau 3 en posant :

(21) p ' H = B' p H = _ avec : B = -

2a a+x a-x

F i g. 5 - Tassement d'un point quelconque de la surface du sol déduit du tassement au bord par application du principe de superposition.

T A B L E A U 2

Le tassement est exprimé par : Avec P =

bord 2 an

(22) w = - y p H

H 2 a

centre 2 an

(23) w = p H

H a

point d 'absc isse x (24) w = 1 [ (a + x ) p H | + (a — x) p H ] ]

|a + x\ P 0 U R P H -

|a - x | p 0 U r P H *

Ca lcu l du tassement par les formules du premier type. On peut aussi bien util iser cel les du second type (tableau 3). Les valeurs numériques du coeff i ­cient sans dimensions, p H , sont lues, en fonction de fi, dans le tableau 1 ou la figure 4.

105

Page 10: Tassements Et Contraintes Dans Un Sol Elastique

Les formules du tableau 3 sont plus commodes que cel les du tableau 2 dans le cas d'une couche de faible épaisseur (H petit, ¡3' grand).

T A B L E A U 3

Le tassement est exprimé par : Avec /?' =

bord (25) w = ^ p ' H

2 a " H

centre (26) w - 2

E

P H p ' H

a ÏÏ

(27) w = p H , ± p ' H j

Signe + " | X 1 < 3 a — si | x 1 > a

ja + x| pour p ' H l

pour p ' H l

point d 'absc isse x

(27) w = p H , ± p ' H j

Signe + " | X 1 < 3 a — si | x 1 > a

H

|a — x|

pour p ' H l

pour p ' H l

(27) w = p H , ± p ' H j

Signe + " | X 1 < 3 a — si | x 1 > a H

pour p ' H l

pour p ' H l

Calcu l du tassement par les formules du deuxième type. O n peut aussi bien uti l iser cel les du premier type (tableau 2). Les valeurs numériques du coeffi­cient sans dimensions, p ' H , sont lues, en fonction de /?' , dans le tableau 4 ou la figure 6.

0 1 2 3 4 5 ?>

F i g . 6 • Valeurs numériques du coeffi­cient P ' H pour le calcul du tassement d'après les formules du tableau 3. Ces valeurs numériques figurent également

dans le tableau 4.

106

Page 11: Tassements Et Contraintes Dans Un Sol Elastique

ife

C o e f f i c i e n t d e P O I S S O N , V

0 0,1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , 5

0 0 0 0 0 0 0 0 ,01 0 ,033 0 ,033 0 ,032 0 ,029 0 , 0 2 6 0 ,022 0 ,02 0 ,058 0 ,057 0 ,055 0 ,051 0 ,045 0 ,038

0 ,05 0 ,115 0 , 1 1 4 0 , 1 0 9 0 ,101 0 ,089 0 ,072 0 , 1 0 0 ,187 0 ,183 0 ,175 0 ,161 0 , 1 4 0 0 ,111 0 ,15 0 ,241 0 ,237 0 ,225 0 , 2 1 0 0 ,178 0 ,139

0 , 2 0 0 , 2 8 6 0 , 2 8 0 0 , 2 6 6 0 ,242 0 ,207 0 ,157 0 ,25 0 ,322 0 , 3 1 6 0 , 2 9 9 0 ,271 0 ,230 0 ,171 0 , 3 0 0 ,353 0 , 3 4 4 0 , 3 2 6 0 , 2 9 6 0 ,248 0 ,179

0 , 3 5 0 ,378 0 ,369 0 , 3 5 0 0 ,315 0 ,262 0 , 1 8 6 0 , 4 0 0 ,401 0 ,391 0 , 3 7 0 0 , 3 3 0 0 ,273 0 ,188 0 ,45 0 , 4 2 0 0 , 4 1 0 0 , 3 8 6 0 ,343 0 , 2 8 0 0 , 1 9 0

0 , 5 0 0 ,435 0 , 4 2 4 0 ,398 0 ,355 0 ,288 0 ,191 0 , 6 0 0 ,461 0 , 4 4 6 0 ,419 0 , 3 6 9 0 , 2 9 4 0 ,187 0 , 7 0 0 , 4 7 6 0 , 4 6 1 0 ,43 4 0 ,378 0 ,298 0 , 1 7 9

0 , 8 0 0 ,488 0 ,472 0 , 4 4 4 0 ,384 0 ,298 0 , 1 6 7 0 , 9 0 0 , 4 9 8 0 ,481 0 ,449 0 ,388 0 ,292 0 ,153 1,00 0 ,503 0 ,488 0 ,452 0 , 3 9 0 0 ,291 0 , 1 4 4

1,5 0 , 5 0 8 0 ,493 0 ,455 0 ,387 0 , 2 7 0 0 ,095 2 ,0 0 , 5 0 6 0 ,492 0 ,452 0 , 3 7 8 0 ,254 0 ,062 2 ,5 0 ,503 0 ,489 0 , 4 5 0 0 ,375 0 ,247 0 ,047

3 0 , 5 0 , 4 8 9 0 , 4 5 0 0 ,374 0 ,242 0 , 0 2 9 4 0 , 5 0 ,489 0 , 4 5 0 0 ,372 0 ,236 0 ,014 5 0 ,5 0 , 4 8 9 0 ,450 0 ,371 0 ,233 0 , 0 0 6

10 0 , 5 0 , 4 8 9 0 , 4 5 0 0 ,371 0 ,233 0 100 0 , 5 0 , 4 8 9 0 , 4 5 0 0 ,371 0 ,233 0

00 0 , 5 0 , 4 8 9 0 , 4 5 0 0 ,371 0 ,233 0

T A B L E A U 4 - Valeurs du coefficient p ' H

pour le calcul du tassement d'après les formules du tableau 3. C e s mêmes va ­leurs sont représentées graphiquement

sur la figure 6.

• E X E M P L E 1

Considérons un remblai de grande longueur, de hauteur h = 4 m (13 ft), de largeur de plate-forme L = 10 m (33 ft) et de pentes latérales 2/1, reposant sur une couche de 45 m d'épaisseur d'un sol supposé parfaitement élastique, de module E = 40 bars (58 psi) et de coefficient de Po isson, v = 0,3 (fia. 7). Quel tassement final peut-on estimer sachant que la masse volumique du sol en remblai est :

p = 2 070 kg /m 3 = 129 Ib/cu. ft

8 m 10 m

8 m

4 " = 4 5 m £ - 4 0 bars

V -- 0 , 3

F ig . 7 - Rembla i de l 'exemple 1 dont on calcule le tassement au centre 0 et aux

points B et B ' situés sous la mi-pente.

107

Page 12: Tassements Et Contraintes Dans Un Sol Elastique

On peut estimer avec une bonne approximation que ce remblai exerce sur le sol une contrainte normale uniforme sur une largeur B B ' = 2a = 18 m (59 ft) de valeur :

p = p gh = 2 070 x 9,81 x 4 = 80 000 Pa = 0,8 bar = 129 x 13 = 167,5 Ib/sq.ft. = 11,6 psi

Calcu lons le tassement sous le centre et le bord de cette charge (c'est-à-dire sous la mi-pente du talus réel.

A titre d'exercice, employons les deux types de formules :

- tassement au centre : formule (23) du tableau 2 ou (26) du tableau 3 :

j8 = - H - = 5 ou fi = ~ = 0,2 a H

pour v = 0,3, on lit dans les tableaux 1 et // : p H = 1,212 p H = 0,242

. 0,8 x 18 , 0 1 0 2 x 0,8 x 45 . . . . . . . d ou : w = x 1,212 = x 0,242 = 0,44 m

40 40 11,6 x 59 , „ , „ 2 x 11,6 x 147 . . . . . u c . ,

x 1,212 = ^ - x 0,242 = 1 ft 5 mches 58 58

- tassement du bord : formule (22) du tableau 2 ou (25) du tableau 3 :

¡3 = 2 - g = 2,5 ou fS- = ^ = 0,4

pour v = 0,3, on lit dans les tableaux 1 et 4 : p H = 0,826 p ' H = 0,330

d ou : w = x 0,826 = x 0,330 = 0,30 m 40 40

= .U x 0,826 = VAJLA4! x 0,330 = 1 ft 58 58

3 - REMARQUES SUR LES RESULTATS PRECEDENTS

Les commentaires suivants nous semblent utiles à la fois pour le chercheur et pour l'ingénieur.

a) Tangente à l'origine des courbes de p H

Les petites valeurs de ¡3 représentent une couche d'épaisseur faible ou une charge de grande largeur. Le champ des contraintes et déformations qui règne dans la couche compressible est alors analogue à celui d'un échantillon placé dans un œdomètre et le tassement du centre de la bande s'écrit :

D H E (1 — v) (28) w = t— avec E' = : module œdométrique

E' (1 + v) (1 — 2 v)

En comparant les formules (23) et (28), on voit qu'il en résulte :

(1 + v ) (1 - 2 v)

™ *• - —nr=ô- " Cec i n'est valable que pour les petites valeurs de ¡3 et fournit la tangente à l'origine des courbes de p H . Nous avons contrôlé, en agrandissant la figure 4 au voisinage de l'origine, que les courbes calculées numériquement admettent parfaitement cette tangente. b) Branche infinie des courbes de p H

Les grandes valeurs de ¡3 représentent des couches de grande épaisseur et, lorsque [3 tend vers l'infini, p H

doit tendre vers l'infini puisque, le tassement d'une charge de longueur infinie sur un sol d'épaisseur infinie est infini, comme nous l 'avons rappelé dans l'introduction.

108

Page 13: Tassements Et Contraintes Dans Un Sol Elastique

Pour préciser la branche infinie des courbes de p H , nous avons calculé une valeur approchée du tassement qui tend vers la valeur exacte lorsque l'épaisseur de la couche tend vers l'infini. Pour cela, nous avons intégré, sur une épaisseur H, la valeur de la déformation ez qui existe, dans une couche d'épaisseur infinie, sous le bord de la charge :

(30) (1 + v) p

w = % E

2a 2az 1 2 v) arctg h

z z* + 4a 2 J dz

d'où, après calculs et, avec B = H

2a

(31)

(32)

2ap 1 + v

E (1 v) Ig (1 + P2) + (1 — 2 v) B arctg

P. soit une valeur approchée de p H pour les grandes valeurs de ¡3 :

1 + v ' H a p p (1 - v) Ig (1 + B*) + (1 2 v) B arctg —

P

Le calcul numérique montre que, lorsque B augmente, la différence p H — p H a p p tend vers une valeur à peu près constante qui ne dépend que de v. C e c i est il lustré par la figure 8. L'écart relatif entre p H et P H a p p v a donc en diminuant, comme on le prévoyait.

L'intérêt pratique de cette remarque est que l'intégrale (31) n'est autre que l'application de la méthode « triaxiale » de calcul des tassements au cas d'une couche compressible homogène.

F i g . 8 - Comparaison entre les va­leurs de p H ( ) et de PHapp (-•-). P o u r v — 0,5, les deux courbes

sont pratiquement confondues.

109

Page 14: Tassements Et Contraintes Dans Un Sol Elastique

c) Allure des courbes de p ' H

Le coefficient p ' H étant déduit de p H par la formule d' inversion (21), il en résulte que, pour v donné :

— l'asymptote de p ' H a pour valeur la pente à l'origine de p H ,

— la tangente à l'origine de p ' H est verticale.

d) D é f o r m é e de la surface du massif

A l'aide de la formule (27), nous avons tracé la déformée de la surface du massif pour diverses valeurs de

v et de —— (fig- 9). On notera, en particulier, le soulèvement du sol , surtout pour v = 0,5 : ce cas cor-2a

respond, en pratique, au chargement rapide d'une argile saturée.

S o u l è v e m e n t d u s o l

w E

9 P F i g . 9 - Déformée de la surface du massif pour diverses valeurs de v et de H/2a .

I 10

Page 15: Tassements Et Contraintes Dans Un Sol Elastique

Par ailleurs, la figure 10 montre comment on peut diminuer le tassement en augmentant la charge dans le cas d'un sol incompressible (v = 0,5).

F i g . 10 - Tassement d'un sol incompressible en fonction de la dimension de la charge.

e) D é p l a c e m e n t s des points s i tués à l ' in tér ieur de la couche é l a s t i q u e

Dans le cas où le coefficient de Poisson du sol compressible vaut v = 0,3, nous avons calculé le déplace­ment de tous les points du sol par la méthode numérique de la double grille (Calcul des contraintes § 1). Les résultats ainsi obtenus, pour le tassement en surface, concordent parfaitement avec ceux obtenus par les séries de Fourier comme on le voit en comparant les figures 4 et 11.

111

Page 16: Tassements Et Contraintes Dans Un Sol Elastique

Nous n'estimons pas utile de reproduire ici les valeurs du déplacement horizontal que nous avons également obtenues, avec v = 0,3, pour tous les points du massif [2], En effet, nous avons montré [5] que les charges tangentiel les ont une grande influence sur les déplacements horizontaux alors qu'el les n'en ont pratiquement pas sur les tassements : il faudrait donc, pour étudier valablement les déplacements horizontaux, faire inter­venir l ' inclinaison dés contraintes de contact entre la charge et le sol , ce qui n'a pas été fait ici . Signalons, cependant, que les valeurs obtenues tendent bien, pour H = °°, vers la limite que nous avions indiquée par ailleurs [7].

f) Comparaison de nos r é s u l t a t s avec ceux d'autres é t u d e s analogues

C e s dernières années, plusieurs auteurs ont abordé ce problème, mais de façon moins détaillée qu' ici .

Des résultats très différents des nôtres ont été obtenus par Bendel [8], sauf pour les grandes valeurs de P. Par ail leurs, Harr [9], étendant des travaux de Egorov [10], a cru pouvoir écrire, semble-t- i l , que le coefficient de Poisson, v, intervenait seulement sous forme d'un facteur (1 — v 2 ) dans la formule de tassement. C e c i est vrai pour un milieu semi-infini, mais ne l'est pas pour une couche d'épaisseur finie comme on le voit dans les formules (15) et (19). Les valeurs numériques que nous donnons ( f lg . 6) confirment que (1 — v2) est loin d'être un facteur.

Au contraire, Ueshita et Meyerhof [11] ont publié récemment des résultats qui concordent avec les nôtres et, enfin, dans une remarquable étude générale sur les problèmes de couches compressib les élastiques, Poulos [12 - fig. 42] donne un coefficient de tassement qui permet de retrouver approximativement les valeurs données ici.

Malgré les différences que nous venons d'indiquer avec certains des résultats publiés, nous sommes en droit d'estimer que nos résultats sont exacts. En effet : — dans le cas v = 0,3, nous avons retrouvé les mêmes résultats par la méthode numérique de la double grille,

112

Page 17: Tassements Et Contraintes Dans Un Sol Elastique

— nous avons vérifié que les courbes p H et p H ' admettent bien la tangente à l'origine et la courbe asympto-tique calculées indépendamment et explicitement.

Reconnaissons enfin que la difficulté de ce problème nous avait également fait commettre quelques erreurs dans les premiers calculs faits à Grenoble [13]. Néanmoins, c'est en continuant dans la voie ouverte par Rouget que le calcul des contraintes indiqué dans la deuxième partie de cet article a pu être mené à bien.

CALCUL DES CONTRAINTES

1 - DETERMINATION THEORIQUE DES CONTRAINTES ET DEPLACEMENTS PAR LA METHODE DE LA DOUBLE GRILLE

a) Principe de la m é t h o d e

Nous avons vu (Calcul des tassements § 1 a), qu'une méthode pour résoudre le problème consistait à ramener le système (1), (2) et (4) à une seule équation biharmonique. Une autre méthode consiste à éliminer les (s , 7) et les (o-, T ) dans les équations (1), (2) et (3). On obtient ainsi les équations de Navier-Lamé :

(33)

2 (1 — v) ô 2 w ô 2 w 1 + +

1 - 2 » Ô 2 2 ô x 2 1 - 2 »

u

2 (1 — v) ô 2 u

1 — 2 v ô x2

ô 2 u + + -

ô z2 1

ô z 5 x

1 ô 2 w

- 2 v b z ù x

Si l'on parvient à résoudre ce système de deux équations aux dérivées partielles à deux inconnues, u et w, on en déduit les déformations ( s , 7), par les formules (3) et les contraintes (o-, t ) , par les formules (2). Dans le cas qui nous intéresse, les conditions aux limites sont telles que le système (33) n'admet pas de solution explicite. On utilise alors une méthode numérique qui consiste à représenter le milieu élastique par un double réseau régulier de points masse et de points contrainte (fig. 12). Le principe de cette « méthode de la double grille » est donné en détail par ail leurs [2], [13], [14].

L'écriture de l'équilibre du point masse P (I, J) sous l'action des quatre points contrainte environnant et sa traduction en termes de déplacements par l'utilisation des relations (2) et (3) écrites en différences finies con­duit à :

2 (1 - v)

[ [ w

1 — 2 v L

(34) (

+

2_(1 - v)

1

w' (I + 1, J - 1) + w' (I - 1, J + 1) — 2 w' (I, J)j

] (I + 1, J) — u' (I, J + 1) + u' (l — 1, J) - u' (I, J - 1)

1 — 2 v

+ | w ' (I + 1, J + 1) + w' (I - 1, J - 1) — 2 w' (I, J)

J ~ V ) |fu' (I + 1, J + 1) + u' (I - 1, J - 1) - 2 u' (I, J)J | u - (| + 1, j _ 1) + U ' (I - 1, J + 1) - 2 u' (I, J)j

[w ' (I + 1, J) + w' (I, J + 1) + w' (I - 1, J) — w' (I, J - 1) 1 =

1 - 2 v L J avec : w', u' composantes du déplacement sur les axes inclinés à 45°. On en déduit immédiatement w et u.

113

Page 18: Tassements Et Contraintes Dans Un Sol Elastique

r

Vecteur

déplacement

I =

1 = 1

Q 0 0 Q r r *

-1 J -

\ i

0 J -

\ 4

• 1

1 à

J -

1 à

J e -

1 \ t ' * % * * ' 1 w ' t

M-3 M - 2 M-i M

H

Substratum rigide

F i g . 1 2 - Schéma de principe de la double gril le

C e s dernières relations ne sont autres que l'écriture en différences finies des équations (33) de Navier-Lamé. La double grille permet donc de représenter discrètement un milieu continu élastique. De la même façon, on aurait pu utiliser, au lieu de la loi d'élasticité linéaire de Hooke (2), une autre loi, plus ou moins compliquée (élasticité non linéaire, élasto-plasticité). D'une manière générale, on peut donc dire que la méthode de la double gril le, plutôt qu'une représentation physique du milieu, fournit une schématisation pratique qui permet de retrouver les équations d'équil ibre et de comportement exprimées en différences finies et d'écrire facilement les condit ions aux limites. L'approximation est d'autant meilleure que la maille est plus serrée.

114

Page 19: Tassements Et Contraintes Dans Un Sol Elastique

b) Application au cas d'une charge uniforme reposant sur une couche é l a s t i q u e

Voyons maintenant comment la double grille a été utilisée pour l'étude de notre problème.

— Condit ions aux limites :

• A la surface, la charge est représentée par un ensemble de forces concentrées Q :

i Q = X p pour 1 = 0, — J C < J < Je

(35) J Q = A p/2 pour I = 0, | J | = J C

( Q = 0 pour I = 0, | J | > J c

avec : ~k côté de la maille.

• Sur le fond, la rigidité et la rugosité du substratum font que le déplacement de tous les points est nul :

j w (I = N, J) = 0 (36)

( u (I = N, J) = 0

• L a t é r a l e m e n t , la grille devrait être infinie mais pratiquement, il faut que le nombre de mailles soit inférieur à 1 000 pour que la relaxation ne soit pas trop longue. On doit donc imposer à cette limite artificielle une condi­tion aussi voisine que possible de celle qui existerait si la grille était effectivement infinie. Pour cela, nous avons écrit que, sur la colonne J = M, le déplacement horizontal est nul et le déplacement vertical égal à celui de la colonne J = M — 1 -. nous avons constaté en faisant varier M entre 7 et 10a/), que ceci n'influait pratique­ment pas sur les résultats. Enfin, la symétrie du champ de contraintes par rapport à l'axe 0z permet de limiter la grille à la partie J > 0.

— Résolution :

L'ensemble des relations (34) forme un système linéaire de 2 N M équations à 2 N M inconnues de la forme [A] [X] = [B] . La matrice [A], de rang 2 N M , est tridiagonale par blocs et sa résolution se fait par la méthode itérative de Gauss-Se ide l avec utilisation du paramètre de sur-relaxation, M . La rapidité de la convergence est fonction de la valeur du coefficient de Poisson, v, de la dimension de la grille et de la valeur de w. Nous nous sommes limités au cas v = 0,3 et, pour chaque grille, nous avons déterminé la valeur optimale de M comprise entre 1,5 et 1,8 en utilisant, notamment, les études de Varga [15]. La précision des résultats est fonc­tion de la f inesse du maillage (X/a) et de la grandeur du test de convergence. Nous avons utilisé des gril les de N M = 200 à 1 000 points et obtenu une précision sur les résidus des équations (34) de l'ordre de 10" 3.

— Exploitation des résultats :

Une fois le calcul mené à bien, nous disposons, pour chaque valeur de H/a, des valeurs numériques des contraintes, des déplacements et des déformations en tout point de la couche compressible. Les déplacements ont déjà été donnés dans la première partie de cette étude et les déformations ne sont généralement pas d'un grand intérêt pratique. Nous ne donnerons donc ici que les contraintes et, grâce au principe de superposit ion, nous pourrons condenser les résultats numériques en trois tableaux seulement. En effet, la contrainte en un point quelconque de la couche compressible se déduit de la contrainte à la verticale du coin par une addition analogue à celle indiquée pour les tassements sur la figure 5. (La marche à suivre pour faire ces calculs est précisée dans le Calcu l des contraintes § 2.)

2 - RESULTATS NUMERIQUES

D'après l'étude que nous venons d 'exposer (Chapitre « Calcu l des contraintes » § 1), les contraintes s'expri­ment par les formules du tableau 5. Notons que, dans ce tableau, les expressions (37) à (42) ne sont que des cas particuliers des expressions générales (43) à (45) (Voir plus loin, chapitre « Calcu l des contraintes », § 3 b, pour l'influence du coefficient de Poisson).

115

Page 20: Tassements Et Contraintes Dans Un Sol Elastique

( 4 9 f t ) 15m

( 3 3 f t ) I O m

( 6 5 f t ) 2 0 m

. 1 0 m

B 0

E'-" 50 bars ( 725 psi)

E'= 35 bars (500psi

&£?;E ' = 55bars (800psi)

S ubstratum

F i g . 13 - Coupe du sol supportant le rembla i de l 'exemple 2. Les modules indiqués sont les modules œdométriques. L e tassement est calculé en 0 et B.

• E X E M P L E 2 : Reprenons le remblai de l 'exemple 1, mais en considérant que la couche de 45 m est constituée de trois sous-couches supposées parfaitement élastiques, mais de modules différents (fig. 13).

On demande le tassement. Faisons le calcul en passant par l ' intermédiaire de la contrainte a z (§ 1 de l'introduc­tion). Il faut alors tracer la courbe o- z à la vert icale des points O et B en utilisant les formules (37) et (40) du tableau 5 : on obtient les deux courbes représentées sur la figure 14. On en tire la valeur moyenne de o-2 dans chaque couche, respectivement sous le centre et sous le bord, d'où le calcul du tassement :

Tassement du centre :

w _ 15 x 0,7 10 x 0,44 20 x 0,31 w - + _ 1- — _ o , 4 5 m 50 35 55

49 x 10 33 X 6,3 65 x 4,5 . + zrr^. + r r ^ = 1 ft. 6 inches 800

w

725 510

Tassement des bords :

15 x 0,39 , 10 X 0,34 20 x 0,27 + + 50 35 55

49 x 5,6 , 33 x 4,8 65 X 3,9

= 0,31 m

725 + 510 + 800 = 1 ft.

Notons que ces valeurs sont très vois ines de cel les obtenues dans l'exemple 1 pour une couche homogène de module E = 40 bars.

T A B L E A U 5

Les contraintes sont exprimées par : Avec P

bord

(37) <rz = p k H 0

(38) x z x = p k m

(39) <rx = p k H 2

•i 2 a

centre

(40) «z = 2 p k H o

(41) T Z X = 0

(42) <rx = 2 p k H 2

H a

point d 'absc isse x

(43) az = p [kf f i ± k<fà] (44) T z x = p [ k « j _ k f f l ]

(45) ax = p f K {1) ± K $ ]

0 . ( + si | x | < a Signe . ^

- si x > a

|a + x | p 0 U r ( 1 )

|a - x\ p 0 U r ( 2 )

En tout point : <ry = v (az + o x ) (46)

0,40bar(5 ,8psi) 0,80bor(11,6 psi)

Calcu l des contraintes en tout point (x, z), de la couche élastique. Les valeurs numériques des coeff icients sans dimensions kno- k m et k m sont données en fonction de P et de z /H dans les tableaux 6, 7 et 8 et les figures 15, 16 et 17.

1 5 m

F ig . 14 - D is t r ibut ion des contraintes sous le centre ( ) et sous le point B (—) de l 'exemple 2. L a première courbe est obtenue avec la formule (40) et P = 5 et la seconde avec la formule (37) et

P = 2,5.

116

Page 21: Tassements Et Contraintes Dans Un Sol Elastique

0,5 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3 3,5 4 5 6 7 10 20

0 0 500 0 500 0,500 0 500 0 500 0,500 0,500 0,500 o 500 0 500 0,500 0 500 0 500 o 500 0 500 0 500 0,500 0 , 0 5 o 503 0 502 0,5015 0 501 0 5005 0,499 0,4985 0,498 0 4975 0 497 0,4965 0 496 0 495 0 494 0,494 0 482 0,407 0 .1 o 504 o 5025 0,502 0 5015 0 500 0,498 0,497 0,496 0 4955 0 495 0,492 o 488 o 477 o 472 0 462 0 402 0,275

0 .1 5 0 5035 0 502 0,5015 o 501 o 499 0,497 0,495 0,492 0 490 0 486 0,477 0 472 0 447 o 420 0 397 0 325 0,194 0 .2 o 503 0 5015 0,501 0 500 0 498 0,495 0,490 0,485 0 480 0 472 0,460 0 450 0 407 0 380 0 337 0 267 0,152 0 ,2 S 0 5025 0 501 0,5005 0 499 o 496 0,489 0,481 0,473 0 466 o 453 0,437 0 417 o 369 o 332 0 295 0 225 0,122

0 ,3 0 502 0 5005 0,500 o 497 o 492 0,481 0,470 0,460 0 449 0 430 0,410 0 378 o 333 0 295 0 260 0 195 0,103 0 .3 5 o 502 o 500 0,499 o 495 o 487 0,469 0,457 0,442 0 429 o 407 0,382 0 347 o 303 o 265 0 235 0 170 0,089 0 ,4 0 502 o 499 0,498 0 491 o 480 0,457 0,442 0,425 o 410 o 385 0,358 o 322 0 278 o 240 0 216 0 154 0,080

0 ,4 S 0 5015 0 498 0,4965 0 487 o 473 0,445 0,428 0,409 0 392 0 367 0,338 o 301 0 256 o 220 0 199 0 143 0,072 0 .5 0 501 0 500 0,495 0,482 0 466 0,433 0,414 0,394 0 374 0 350 0,318 0,285 0 240 0 205 0 185 0 132 p,066 0 , 5 5 0 5005 0 499 0,493 0 475 o 458 0,423 0,400 0,380 0 357 0 333 0,303 0 269 0 227 0 191 0 172 0 124 0,061

0 , 6 0 500 0 498 0,491 0 467 o 449 0,412 0,387 0,366 o 343 o 319 0,289 0 256 o 216 o 180 o 162 o 1175 0,058 0 . 6 5 0 500 0 497 0,487 0 460 o 440 0,401 0,375 0,354 0 331 o 308 0,277 0 245 o 205 o 170 0 153 o 112 0,055 0 , 7 0 499 0 495 0,481 0 453 o 430 0,389 0,3634 0,343 0 320 0,298 0,266 0 235 0 196 o 162 0 146 0 107 0,052

0 , 7 5 0 498 0 492 0,475 0 445 0 420 0,379 0,352 0,332 0 310 0 289 0,255 0 225 0 188 0 157 ? o 140 0 1045 0,051 0 , 8 0 497 0 489 0,469 o 437 o 410 0,369 0,342 0,321 0 301 0 280 0,246 o 217 o 181 o 151 o 135 o 1025 0,0505 0 , 8 5 0 496 0,485 0,462 0 428 0 400 0,360 0,333 0,312 0 292 0 271 0,238 0 210 o 175 0 147 0 13(0 0 101 0,050

0 , 9 0 495 0 481 0,454 0 419 0 390 0,350 0,325 0,303 0 283 0 262 0,230 o 204 0 171 o 145 0 1265 0 100 0,050 0 , 9 5 0 4945 0 476 0,446 0 410 0 380 0,340 0,317 0,295 0 275 0 256 0,223 o 200 o 167 o 1425 0,125 0,099 0,0495

1 0 494 0 471 0,438 0 400 0 370 0,332 0,308 0,288 0 269 0 251 0,217 o 197 o 165 o 141 0 124 o 099 0,049

T A B L E A U 6 - Valeurs du coefficient k H o pour le calcul de cz d'après les formules du tableau 5. C e s mêmes valeurs sont représentées graphiquement sur la figure 15.

I 17

Page 22: Tassements Et Contraintes Dans Un Sol Elastique

0,5 0,75 1 1,25 ' ,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3 3,5 4 5 6 7 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 , 0 5 0 , 2 3 4 0 2 4 0 0 246 0 , 2 5 2 0 261 0 , 2 6 7 0 , 2 7 2 0 , 2 8 0 0 2 8 0 0 282 0 284 0 288 0 2 8 9 0 284 0 278 0 269 0 234 0 l1 0 , 2 7 4 0 276 0 27 7 0 278 0 277 0 276 0 276 0 , 2 7 6 0 27 5 0 275 0 275 0 265 0 2 5 9 0 243 0 226 0 2 0 4 0 126

0 , 1 5 0 , 2 6 6 0 267 0 268 0 268 0 267 0 266 0 264 0 , 2 6 2 0 2 5 9 0 256 0 252 0 227 0 2 1 9 0 194 0 172 0 149 0 07 6 0 , 2 0 255 0 256 0 256 0 257 0 255 0 251 0 247 0 , 2 4 2 0 2 3 4 0 227 0 221 0 191 0 17 8 0 , 1 4 8 0 127 0 108 0 0 5 2 0 , 2 5 0 2 4 0 0 241 0 244 0 243 0 2 4 0 0 2 3 4 0 237 0 , 2 1 7 0 207 0 197 0 , 1 9 1 0 156 0 143 0 112 0 , 0 9 3 0 07 7 0 037

0 >3 0 227 0 228 0 2 3 0 0 228 0 224 0 216 0 206 0 , 1 9 3 0 182 0 171 0 161 0 131 0 116 0 , 0 8 6 0 07 2 0 0 6 0 0 02 7 0 . 35 0 212 0 2 1 4 0 , 2 1 6 0 213 0 207 0 198 0 185 0 , 1 6 9 0 158 0 147 0 , 1 3 9 0 109 0 0 9 4 0 0 6 9 0 0 5 8 0 047 0 0 1 9 0 , 4 0 2 0 0 0 202 0 2 0 4 0 198 0 190 0 180 0 164 0 , 1 4 9 0 143 0 136 0 125 0 0 9 1 0 077 0 055 0 0 4 6 0 037 0 0 1 4

0 , 4 5 0 190 0 190 0 189 0 184 0 173 0 162 0 146 0 , 1 2 9 0 117 0 107 0 0 9 9 0 07 6 0 , 0 6 3 0 0 4 4 0 0 3 6 0 0 2 9 0 011 0 > 5 0 181 0 17 9 0 178 0 170 0 157 0 146 0 129 0 , 1 1 1 0 101 0 091 0 0 8 4 0 0 6 5 0 0 5 2 0 0 3 5 0 0 2 8 0 0 2 3 0 0 0 9 0 , 55 0 174 0 171 0 167 0 158 0 143 0 131 0 114 0 , 0 9 6 0 087 0 07 7 0 0 7 1 0 0 5 4 0 0 4 3 0 0 2 9 0 0 2 3 0 0 1 9 0 007

0 7 6 0 168 0 163 0 155 0 145 0 130 0 118 0 102 0 , 0 8 4 0 07 5 0 066 0 0 6 0 0 045 0 0 3 5 0 0 2 3 0 0 1 9 0 015 0 005 0 , 6 5 0 , 1 6 4 0 157 0 146 0 134 0 119 0 , 1 0 5 0 , 0 9 3 0 , 0 8 2 0 0 7 0 0 057 0 0 5 1 0 , 0 3 8 0 0 2 9 0 0 1 7 0 0 1 5 0 0 1 3 0 0 0 4 0 ,1 0 162 0 153 0 139 0 125 0 109 0 0 9 5 0 0 8 0 0 , 0 6 5 0 057 0 0 4 9 0 0 4 4 0 0 3 2 0 023 0 0 1 3 0 0 1 2 0 0 1 0 0 003

0 , 75 0 , 1 6 2 0 151 0 133 0 , 1 1 8 0 101 0 0 8 6 0 07 1 0 , 0 5 7 0 051 0 0 4 4 0 037 0 027 0 0 1 9 0 0 1 1 0 0 0 9 0 007 0 0 0 2 5 0 > 8 0 , 1 6 3 0 150 0 130 0 112 0 0 9 4 0 0 8 0 0 065 0 , 0 5 1 0 045 0 0 3 8 0 032 0 0 2 4 0 017 0 0 1 0 0 0 0 8 0 0 0 6 0 002 0 , 85 0 169 0 153 0 129 0 110 0 0 8 8 0 , 0 7 5 0 061 0 , 0 4 8 0 042 0 0 3 6 0 0 3 0 0 022 0 0 1 6 0 0 0 9 0 007 0 0 0 5 0 0 0 1 5

0 , 9 0 17 8 0 160 0 132 0 114 0 0 9 2 0 075 0 061 0 , 0 4 8 0 0 4 2 0 0 3 6 0 0 2 9 0 0 2 2 0 0 1 5 0 0 0 9 0 007 0 0 0 5 0 0 0 1 5 0 > 9 5 0 193 0 171 0 140 0 119 0 , 0 9 7 0 077 0 0 6 2 0 , 0 4 9 0 043 0 037 0 0 2 9 0 0 2 3 0 015 0 0 0 9 0 007 0 0 0 5 0 0 0 1 5

1 0 2 0 9 0 184 0 , 1 6 3 0 130 0 106 0 0 8 3 0 0 6 5 0 , 0 5 0 0 0 4 4 0 038 0 0 3 0 0 023 0 0 1 6 0 007 0 005 0 0 0 6 0 0 0 1 5

T A B L E A U 7 - Valeurs du coefficient k m pour le calcul de t z x d'après les formules du tableau 5. C e s mêmes valeurs sont représentées graphique­

ment sur la figure 16.

F i g . 16 - Graphique des valeurs de k n i pour le calcul de T 2 x . Signalons que ces courbes sont peut-être imprécises au voisinage du m a x i m u m . V o i r

également le tableau 7.

I 18

Page 23: Tassements Et Contraintes Dans Un Sol Elastique

0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,5 3 3,5 4 5 6 7 10 0 0 500 0 500 0 500 0 500 0 500 0 500 0 500 0 500 0 500 0 500 0 500 0 500 0 500 0,500 0 ,500

0 , 0 5 0 195 0 210 0 221 0 237 0 252 0 272 o 280 0 288 o 291 0 293 0 293 0 265 0 255 0,251 0 195 0,1 0 188 0 192 0 198 0 212 0 222 0 233 0 234 0 224 0 216 0 215 0 196 0 162 0 139 0,109 0 028 0 , 1 5 o 187 0 183 0 188 0 »94 0 199 0 200 0 197 0 178 0,162 0 147 0 121 0 091 0 064 0,032 0 ,006 0 , 2 o 188 o 17 6 0 178 0 177 0 17 6 0 168 0 159 0 133 0 111 0 091 0 074 0 048 0 029 0,004 0 ,0005 0 , 2 5 0 189 0 174 0 168 0 162 0 154 0 140 0 128 0 097 0 073 0 054 0 040 0 025 0 014 0,0015 -0 ,001 0 , 3 0 190 0 173 0 160 0 147 0 134 0 119 0 103 0 070 0 047 0 033 0 021 0 Oil 0 006 0,0005 -0 0015 0 , 3 5 0 191 0 172 0 153 0 136 0 116 0 101 0 084 0 051 0 031 0 020 0 012 0 005 0 003 0 ,000 0 , 4 0 193 0 171 0 147 0 126 0 103 0 086 0 069 0 039 0 021 0 013 0 006 0 0025 0 001 -0,0005 0 , 4 5 0 194 0 170 0 140 0,118 0 093 0 074 0 059 0 033 0 017 0 O i l 0 005 0 0015 0 000 -0,0005 0 , 5 0 195 0 169 0,136 0 113 0 084 0 066 0 053 0 030 0 016 0 009 0 004 0 0025 0 001 0,000 0 , 5 5 0 196 0 169 0 134 0 109 0 078 0 061 0 049 0 030 0 017 0 010 0 006 0 005 0 004 0,002 0 , 6 0 198 0 170 0 135 0 106 0 075 0 060 0 049 0 032 0 020 0 013 0 008 0 0075 0 007 0,004 0 , 6 5 0 200 o 1735 0 138 0 107 0 077 0 062 0 051 0 036 0 023 0 016 0 010 0 010 0 009 0,006 0 , 7 0 202 0 177 0 141 0 111 0 082 0 067 0 056 0 040 0 029 o 022 0 015 0 014 0 013 0,010 0 , 7 5 o 203 0 180 o 146 0 119 0,0905 0,075 o 064 0 047 0 034 0 029 0 021 0 020 0 019 0,014 0 ,8 o 204 0,183 0 154 0 128 0 102 0 087 0 075 0 057 0 043 0,036 0 028 0 027 0 022 0,018 0 ,85 0 206 0 189 0 162 0,138 0 116 0 100 0 088 0 070 0 057 0 048 0 037 0 033 0 028 0,024 0 , 9 0 208 0 194 0 173 0 152 0 132 0 115 0 103 0 086 0 072 0,063 0 049 0 042 0 034 0,029 0 ,95 0 211 o 200 0,183 0 167 0 149 0 133 0 122 0 105 0 091 0 082 0 062 0 052 0 043 0,036

1 o 214 o 206 0 195 0 186 0 167 0 153 o 143 0 125 0 111 0 103 0 080 0 063 0 051 0,043

T A B L E A U 8 - Valeurs du coefficient km pour le calcul de a* d'après les formules du tableau 5. C e s mêmes valeurs sont représentées graphique­

ment sur la figure 17.

F i g . 17 - Graphique des valeurs de kn2 pour le calcul de o-x. V o i r également le tableau 8.

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3 - REMARQUES SUR LES RESULTATS PRECEDENTS

a) Comparaison avec le milieu semi-infini

Pour faire cette comparaison, nous avons tracé les figures 18 et 19 déduites des figures 15 et 17 en chan­geant l'ordonnée.

On voit que les contraintes o-x sont inférieures aux valeurs correspondantes du milieu semi-infini dans la partie haute de la couche et supérieures au voisinage du substratum. C e phénomène local est dû essentiel lement à la rugosité de contact entre la couche compressible et le substratum.

Au contraire, les valeurs de o-z sont toujours supérieures à cel les qui régneraient à la même profondeur dans une couche élastique d'épaisseur infinie. Toutefois, ceci n'est valable que pour les points situés à proximité de l'axe 0 Z . Pour les grandes valeurs de l 'abscisse x, c 'est le contraire qui se produit, comme le montre la figure 20 : CTz est alors plus grand dans le milieu semi-infini que dans la couche d'épaisseur finie. C e c i est tout à fait logique car la somme des contraintes o-z sur le substratum est égale à 2pa par tranche d'épaisseur unité, comme à la profondeur correspondante dans le milieu semi-infini. Donc, un excès en un point doit être com­pensé par un défaut ail leurs.

F i g . 20 • Dis tr ibut ion de o-x au contact de la couche compressible et d u substratum ( ). O n a également tracé la courbe <rz dans un m i l i e u semi- inf ini à la même profondeur (---).

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La comparaison avec le milieu semi-infini est également il lustrée par la figure 21.

Enfin, il nous a semblé utile d'établir une règle simple permettant d'obtenir une valeur approchée de o-z dans une couche d'épaisseur finie à partir des valeurs du milieu semi-infini. C e c i peut intéresser l'ingénieur qui n'a pas sous les yeux le tableau 6, mais qui possède les résultats bien connus du milieu semi-infini. C 'est la règle du tiers et du quart dont le principe est le suivant (fig- 22) :

— on trace la courbe de o-z sous la charge comme si le milieu était semi-infini,

3H — la valeur de o-z pour z = — est reportée à la profondeur z = H, ce qui donne le point C ,

4 — la courbe de o- z dans la couche compressible comprend l'arc A B confondu avec la courbe du milieu semi-infini entre z = 0 et z = H/3 et l'arc B C obtenu par raccordement des points B et C en s'éloignant progres­sivement de la courbe du milieu semi-infini, — notons que ce procédé n'est valable que pour <j7. , v = 0,3 et | x | < a.

H

y B

dans un milieu s e m i -

infini

' 4

Partie commune aux deux courbes

couche

d ' é p a i s s e u r H

F i g . 22 . Règle du tiers et du quart. L a courbe de o 2 dans un m i l i e u semi-infini étant tracée, on en déduit le point C en menant la verticale C ' C . L a courbe de <rz dans la couche

compressible suit le tracé A B C .

b) Influence du coefficient de Poisson sur les contraintes

Les calculs étant très longs, nous nous sommes limités au cas v = 0,3, valeur moyenne généralement admise pour les sols. Quelques essais, faits avec d'autres valeurs de v, nous ont montré que cette influence est assez faible. Cec i est confirmé par Poulos [12], notamment pour o-z où le rôle de v semble être absolument négli­geable.

On pourra donc retenir les valeurs données ici pour les contraintes, et notamment pour o-z, comme une bonne approximation des valeurs réelles quel que soit le coefficient de Poisson du sol , v.

c) Comparaison de nos r é s u l t a t s avec ceux d'autres é t u d e s analogues

Comme pour les tassements, les valeurs que nous avons obtenues sont assez différentes de cel les données par Bendel [8]. Celui -c i présente ses résultats sous la forme du produit (o- z/p) (H/2a) qui serait constant pour une absc isse x donnée. Cec i nous paraît conduire à une absurdité lorsque H/2a est petit.

Au contraire, nos résultats sont vois ins à 10 % près des valeurs données par Egorov [10] pour o-2 au point (a; = 0, z = H) et ils sont en bon accord avec les valeurs que l'on peut calculer pour o-z et T 2 x en tout point à partir des coefficients de Poulos [12 - fig. 32 et 40] .

Nous avons donc tout lieu de croire à la validité de nos résultats, d'autant plus que le même calcul de relaxa­tion a fourni simultanément les valeurs du tassement dont nous avons contrôlé l'exactitude par ailleurs (Calcul des tassements § 3 f).

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C O N C L U S I O N

Nous espérons que cette étude, que nous avons essayé de faire aussi complète que possible, pourra fournir des informations utiles à ceux qui ont à s 'occuper de tassements. Toutefois, il ne s'agit que d'une approche théorique et la possibil ité d'en appl iquer les résultats à des cas concrets devrait faire l'objet d'une d iscus­sion très détaillée. Il nous paraît préférable, pour le moment, de nous limiter à l 'exposé précédent qui paraît déjà suffisamment long.

REMERCIEMENTS

Ce travail a été réalisé dans le cadre de la thèse de Doctorat ès Sciences du premier auteur et de la thèse de Doctorat de Spécialité du second. Les auteurs tiennent à remercier M. M. Rey qui s'est chargé de l'exé­cution des dessins et M. U. Ilker qui a bien voulu relire le manuscrit. Que soient également remerciés M. F. Schlosser, M. E. Leflaive et M. J.M. Runacher qui ont bien voulu nous faire de très nombreuses et très intéressantes suggestions.

B I B L I O G R A P H I E

[1] J.-P. G I R O U D , Fondation rectangulaire linéairement chargée : tassement et contraintes, Annales de VI T.B.T.P., SF 70, 253, (janv. 1969), 79-111.

[2] H . W A T I S S E E , Problèmes bidimensionnels d'élasticité linéaire ou non linéaire traités par le calcul numérique, thèse de Doctorat de Spécialité, Faculté des Sciences de Grenoble, (1969).

[3] J.-P. G I R O U D , Calcul rapide des contraintes provoquées dans le sol par un remblai, Bull. Liaison des Labo. Routiers P. et Ch., 35, (déc. 1968), 83-88.

[4] J.-P. G I R O U D , Calcul pratique des contraintes dans un sol supportant une charge de grande longueur (à paraître).

[5] J.-P. G I R O U D , thèse de Doctorat ès Sciences (soutenance en 1970).

[6] D. L. H O L L , Plane-strain distribution of stress in clastic media, Iowa Engineering Experiment Station, 148, Ames (1941).

[7] J.-P. G I R O U D , Déplacement horizontal d'une droite particulière de la surface d'un massif élastique semi-infini linéairement chargé, Comptes rendus à l'Académie des Sciences, 268, Série A , (27 janv. 1969), 252-255.

[8] H. B E N D E L , Die Berechnung von Spannungen und Verschiebungen in Erddämmen, Mitteilungen der Versuchsanstalt für Wasserbau und Erdbau, 55, Zurich (1959).

[9] M. E . H A R R , Foundations of theoretical soil mechanics, Mc Graw-Hill, New York (1966).

[10] K. E . E G O R O V , Sur la déformation des couches d'épaisseur finie, (en russe), Mekanika Gruntov, 34 Goss-troiizdat, Moscou (1958).

[11] K . U E S H I T A and G. G. M E Y E R H O F , Surface displacement of an elastic layer under uniformly distributed loads, Highway Research Record, 228 (1968).

[12] H. G. P O U L O S , « Stresses and displacements in an elastic layer underlain by a rough rigid base», Geo-technique 17 (dec. 1967), 378-410.

[13] M. R O U G E T , Integration numérique des champs de contraintes et de déformations élastiques par la méthode de la double grille, thèse de Doctorat de Spécialité, Faculté des Sciences de Grenoble (1967).

[14] D. N. de G. A L L E N , Relaxation methods, Mc Graw Hill, New York (1954).

[15] R. S. V A R G A , Matrix iterative analysis, Prentice Hall, Engelwood - Cliffs - New Jersey (1967).

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