1

1

TAS (Heap)

• Tas• Propriétés des Tas• Suppression, insertion, construction• Implémentation de Tas• Implémentation de Files de priorité• Une application: HeapSort

2

Min-Heap

Un tas (heap) est un arbre binaire T qui emmagasineune collection de clés (ou paires clé-élément)comme nœuds internes et qui satisfait les deuxpropriétés suivantes:Propriété d’ordre:

clé(parent) ≤ clé(enfant) pour le tas-min clé(parent) ≥ clé(enfant) pour le tas-max

- Propriété structurelle: arbre binaire complet

2

3

Min-Heap

4

6

207

811

5

9

1214

15

2516

RAPPEL: Arbre binaire complet dans un arbre binaire complet tous les niveaux sontpleins, excepté le dernier niveau

4

Max-Heap

clé(parent) ≥ clé(enfant)

40

26

2017

811

35

19

1214

15

131

3

5

Nous emmagasinons les clés comme nœuds internesseulement

5

915

16

Après ajouter les feuilles , l’arbre résultant est plein

6

Hauteur d’un tas

• Un tas T qui emmagasine n clés a une hauteur h = O(log n)Preuve:– Soit h la hauteur d'un tas stockant les n clés– Puisque il y a 2i clés à la profondeur i = 0, … , h - 2 et au moins une

clé à profondeur h - 1, nous avons n ≥ 1 + 2 + 4 + … + 2h-2 + 1– Ainsi, n ≥ 2h-1 , i.e., h ≤ log n + 1

1

2

2h-2

Au moins 1

clés0

1

h-2

h-1

profondeur

h

4

7

• Nous pourrions utiliser un tas pour implementerune file de priorité

• Nous emmagasinons un item (clé, élément) àchaque nœud interne

(2, Sue)

(6, Mark)(5, Pat)

(9, Jeff) (7, Anna)

removeMin(): -> Enlever la racine

-> Réarranger le tas

Remarque….

8

Suppression dans un Tas

• On supprime la clé racine• La suppression de la clé

racine laisse un trou• Nous devons réparer le

tas• Remplacer le trou par la

toute dernière clé du tas(l’élément du dernierniveau le plus à droite)

• Ensuite, appliquez leprocédure ‘Downheap’ demanière que le tas gardeses propriétés

5

9

Procédure DownheapDownheap compare le parent avec son enfant le plus petit. Si cet enfantest plus petit que le parent, alors on les échange

10

Suite de Downheap

6

11

Suite de Downheap (2)

12

Fin de Downheap

• Downheap se termine quand la clé est plus petite que les clés de sesdeux enfants ou quand on atteint le dernier niveau

• (#échanges total) ≤ (h - 1), qui est O(log n)

7

13

Insertion dans un tas

14

Insertion dans un tasAjoutez la clé à la prochaine position disponible dans le tas: Si le dernier niveau est plein, ajouter l’élément comme enfant gauche de l’élément le plus à gauche du dernier niveau Sinon ajouter l’élément après l’élément le plus à droite du dernier niveau

Réarranger le tas pour garder ses propriétés – Procédure Upheap

8

15

Procédure Upheap

• Échangez (swap) les clés parent-enfant non-ordonnées

16

Suite de Upheap

9

17

Fin de Upheap

• Upheap se termine quand la nouvelle clé est plus grande que la clé deson parent ou quand le haut de tas est atteint

• (#échanges total) ≤ (h - 1), qui est O(log n)

18

Construction du Heap

Nous pourrions insérer les articles un à la fois avec une séquence d'Insertions dans un heap:

Σ log k = O(n log n)k=1

n

Mais nous pouvons faire mieux ….

O(n) avec construction ascendant du heap(bottom-up construction)

10

19

• Nous pouvons construire untas emmagasinant n clésdonnées utilisant uneconstruction ascendante dutas

Construction ascendante du heap

20

Idée : Récursivement réarranger chaquesous-arbre dans le tas commençant avecles feuilles

begin here

HEAP

HEAPHEAP

1st2nd3rd4th

5th6th

begin here

Construction ascendante du heap

11

21

Exemple 1 au tableauclés déjà dans l'arbre

22

Exemple (Max-Heap)

3 ↔ 6

2

4 5

10 87 3

1 9 6

6

3

2

4 5

10 87 6

1 9 3

2

4 5

10 89 6

1 7 3

7 ↔ 9 5 ↔ 10

Je ne dessine plusles feuilles ici maintenant

2

4 10

5 89 6

1 7 3

--- les clés déjà dans l'arbre---

12

23

Ceci n'est pas un tas!

4 ↔ 9

Exemple

9

4

1 7

9

7

1 4

4 ↔ 7

2

9 10

5 87 6

1 4 3

! !

2

4 10

5 89 6

1 7 3

24

Exemple

10

9 8

5 27 6

1 4 3

2

9 10

5 87 6

1 4 3

! !

Finalement: 2 ↔ 10

10

2

5 8

10

2

5 8

2 ↔ 8

13

25

1516 124 76 2023

25

1516

5

124

11

76

27

2023

Exemple 2 Tas-Min (Min-Heap){14,9,8,25,5,11,27,16,15,4,12,6,7,23,20}

clés données une à la fois

26

15

2516

4

125

6

711

20

2723

9

15

2516

4

125

8

6

711

20

2723

Exemple 2 Tas-Min (Min-Heap){14,9,8,25,5,11,27,16,15,4,12,6,7,23,20}

clés données une à la fois

14

27

4

15

2516

5

129

6

7

811

20

2723

4

15

2516

5

129

146

7

811

20

2723

Exemple 2 Tas-Min (Min-Heap){14,9,8,25,5,11,27,16,15,4,12,6,7,23,20}

clés données une à la fois

28

5

15

2516

9

1214

46

7

811

20

2723

Exemple 2 Tas-Min (Min-Heap){14,9,8,25,5,11,27,16,15,4,12,6,7,23,20}

clés données une à la fois

15

29

Analyse de la construction du Heap

(Nous ne considérons pas les noeuds bidones)

2

4 5

10 87 3

1 9 6

niveau 0niveau 1

niveau 2

niveau 3

3 échanges

Niveau i -------- h - i échanges max

h = 3

h est le niveau max

Au max

2 échanges

1 échange

0 échanges

30

level 01

hAu niveau i le nombre d’échanges est

≤ h – i pour chaque noeud

Au niveau i il y a ≤ 2i nodes

Total: ≤ Σ(h – i)·2ii=1

h

Numero d’échanges

Analyse de la construction du Heap

16

31

Soit j = h-i, alors i = h-j et

Σ(h – i)·2i = Σj 2h-j = 2h Σ j 2-j Considère Σ j 2-j :Σ j 2-j = 1/2 + 2 1/4 + 3 1/8 + 4 1/16 + … = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …

17

33

Un tas peut être représenté par un vecteur (tableau) où le nœud aurang i a:

- l’enfant de gauche au rang 2i et - l’enfant de droite au rang 2i + 1

Les feuilles n’ont pas à être emmagasinées

1 2 3 4 5 7

12 3

4 5 6 7

8

6 8

Implémentation d’un heap avecun tableau

34

Exemple

C

9

F

10

G

11

H

12

N

13

AOLEBIDH

87654321

1

32

4 5 6 7

8 9 10 11 12 13

H

D I

B E L O

A C F G H N

i

2i 2i+1

18

35

n = 111

2

4 5 6 7

8 9 10 11

I

3

Rappel…..

feuille? T[i]Le racine

Parent de T[i]

Enfant droit de T[i]

Enfant gauche de T[i] T[2i] si 2i ≤ n

T[2i+1] si 2i + 1 ≤ n

T[i div 2] si i > 1

T[1] si T ≠ 0

VRAI si 2i > n

36

Réalisation d’une File de Prioritéavec un heap

19

37

O(log n)

O(log n)O(1)

(enlève la racine+ downheap)

(upheap)

38

Algorithm PriorityQueueSort(S, P):Input: A sequence S storing n elements, on which a

total order relation is defined, and a Priority Queue P that compares keys with the same relation

Output: The Sequence S sorted by the total order relation

while ¬ S.isEmpty() doe ← S.removeFirst()P.insertItem(e, e)

while ¬ P.isEmpty() doe ← P.removeMin()S.insertLast(e)

Application: Heap-Sort

PriorityQueueSort où la PQ est implémentée avec un HEAP

Build Heap

Remove from heap

20

39

Application: triHeap-Sort

Construire le heap initial O(n)

Enlever la racine O(1)

Réarranger O(log n)

Enlever la racine O(1)

réarranger O(log (n-1))

L M

L

n

fois

40

Quand il y a i nœuds dans la file à priorité: log i

O(n log n) L'algorithme de heap-sorttrie une séquence S de néléments dans un temps O(nlog n)

Le temps d’exécution O(n log n) d’un tri heap-sort estbien meilleur que le temps d’exécution O(n2) d’un tripar sélection, ou par insertion.

i=1

n

Σ log i

= O(n log n)

Tot

21

41

Tri par tas sur place (in place heap-sort)

Au lieu d’utiliser une deuxième structure de données P (espace occupéen plus) pour trier une séquence S, on peut exécuter le tri par tas «surplace» (In-place heap sort) en divisant S en deux partiescomplémentaires: une représentant un tas-max et une autrereprésentant la séquence. L’algorithme comporte deux phases: Phase 1: On commence avec une partie ‘tas-max’ vide et on l’étend àchaque étape i (i=1..n) en lui ajoutant l’élément d’indice i jusqu’à couvrirtout le tableau S. La partie tas doit toujours garder ses propriétés

Phase 2: On commence avec une partie ‘séquence’ vide et on l’étend àchaque étape en supprimant l’élément max du tas et l’ajoutant à lapartie séquence jusqu’à couvrir tout le tableau. A chaque étape i (i=1..n)on supprime le max de la partie tas et on l’ajoute à l’indice n-i. La partietas doit toujours garder ses propriétés

42

Exemples au tableau.

Tri par tas sur place (in place heap-sort)

22

434343

4 7 2 5 3

4 7 2 5 3

4 7 2 5 3

Partie ‘tas max’Partie séquence

7 4 2 5 3

7 4 2 5 3

7 4 2 5 3

7 5 2 4 3

7 5 2 4 3

4

4

7

7

4

2

7

4 2

7

4

5

2

7

5

42

7

5

4 3

Exemple.

444444

Partie ‘tas max’Partie séquence

7 5 2 4 32

7

5

4 33 5 2 4 7 2

3

5

45 3 2 4 7

2

5

3

4

5 4 2 3 72

5

4

33 4 2 5 7

2

3

4

4 3 2 5 7

2

4

32 3 4 5 7

2

3

3 2 4 5 7 3

22 3 4 5 7

2

2 3 4 5 7

Exemple.

23

45

Question: Si je veux implémenter une filede priorité à double sens ??

removeMin() ET removeMax()

Avec Min-heap:

removeMin() est O(log n)

removeMax() est ?

Avec Max-Heap:

removeMin() est ?

removeMax() est O(log n)