Chapitre 9

Analyse des asservissements

continus non linaires

9.1 INTRODUCTION9.1.1 GnralitsAu cours des huit premiers chapitres, nous navons tudi que des systmes dont la principale proprittait la linarit, autrement dit des systmes pour lesquels sappliquent le principe de la conservation, auniveau de sa sortie de la combinaison linaire dentre, chaque si(t) tant la sortie correspondant ei(t) :

e(t) = l1e1(t) + l2e2(t) + + lnen(t)s(t) = l1s1(t) + l2s2(t) + + lnsn(t)

De tels systmes sont rgis par des quations diffrentielles linaires coefficients constants et possdentune fonction de transfert au sens o nous lavons dfinie au chapitre 1.

Pour tre tout fait franc, les systmes physiques rellement linaires nexistent pas. Les quationsdiffrentielles linaires, donc les fonctions de transfert, ne sont que des modles qui correspondent plus oumoins bien la ralit. Partant du principe que tout systme qui nest pas linaire doit tre considr commenon linaire, cela revient dire que tous les systmes physiques, en gnral, sont non linaires.

Il nous faut donc apprcier, lors du choix dun modle, la pertinence de celui-ci au regard de la prcisiondes rsultats quil nous permet de mettre en vidence. Il est alors ncessaire de trouver un compromis entrela justesse (toute relative) du modle et sa complexit. Il est en effet logique de penser que plus un modledoit coller la ralit, plus il sera complexe.

Pour rassurer le lecteur, nous pouvons malgr tout signaler quune majorit de systmes physiquespeuvent tre apprhender comme des systmes linaires, tout du moins sous certaines conditions de fonc-tionnement. Ces conditions, en gnral, sexpriment sous la forme dune limitation des amplitudes dessignaux ou de la restriction un certain intervalle de frquences. Lensemble de ces conditions permet dedterminer ce quon appelle le domaine de linarit dun systme.

Toutefois, lorsque la prcision de ltude le ncessite ou lorsque les phnomnes engendrs par certainssystmes notoirement non linaires ne peuvent tre ngligs, il est ncessaire dapprhender ltude demodles de fonctionnement qui en tiennent compte. Cest ce que se propose de prsenter ce chapitre ainsique le chapitre suivant.

9.1.2 Diffrents types de non-linaritsOn distingue en gnral deux types de systmes non linaires : ceux pour lesquels ces non linarits peuvent tre considres comme gnantes ou parasites ; ceux dans lesquels un organe volontairement non linaire est volontairement introduit pour produire un

effet particulier.

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Ce dernier cas saccomode fort mal, en gnral, dune modlisation linaire. Quant au premier, il peutsen accomoder condition que lon puisse considrer le fonctionnement du systme dans son domaine delinarit ou que lon value comme ngligeable linfluence des non linarits sur les prvisions tires dunmodle linaire.

9.2 TUDE DU DOMAINE DE LINARIT DUN SYSTME9.2.1 Le phnomne de saturationConsidrons un systme physique trs simple, par exemple un amplificateur de gain K (figure 9.1).

Lune des plus frquentes limitations de son modle linaire correspond lincapacit dcrire lquationde fonctionnement s(t) = Ke(t), notamment pour de fortes amplitudes des signaux.

En effet, tout amplificateur possde un intervalle [smin, smax] lintrieur duquel volue obligatoirementle signal de sortie. Cette plage de variation du signal de sortie est appele excursion du signal de sortie etest d, la plupart du temps, des limitations techniques. Dans le cas dun amplificateur, les bornes delalimentation lectrique utilise constituent, en quelque sorte, des limites infranchissables pour le signal desortie.

Figure 9.1 Modle linaire dun amplificateur.

Si lon tente damplifier un signal dentre e(t) possdant une amplitude telle que Ke(t) > smax, le signalde sortie saturera la valeur smax.

On ne peut plus crire : s(t) = Ke(t)La figure 9.2 illustre ce phnomne de saturation dun signal sinusodal pour une entre e(t) possdant uneamplitude trop importante. Le signal de sortie nest plus sinusodal.

Figure 9.2 Saturation dun signal sinusodal.

La figure 9.3 prsente la caractristique entre - sortie dun amplificateur rel avec sa plage de fonction-nement linaire et ses deux plages de saturation.

Remarque : Le phnomne de saturation est souvent symtrique et lon a :

smin = smax

Il est fondamental de bien comprendre que le sige du phnomne de saturation se trouve au niveau dela sortie du systme mais quil se traduit, en pratique, par une limitation de lamplitude du signal dentre.

9.2 tude du domaine de linarit dun systme 175

Figure 9.3 Caractristique relle dun amplificateur avec saturation.

9.2.2 Dtermination du domaine de linarit dun systme asserviLes amplificateurs ne sont pas les seuls organes prsentant un phnomne de saturation. En ralit, tousles systmes physiques, quils soient lectriques, lectroniques, mcaniques, etc. sont caractriss par cephnomne. Ainsi, en mcanique, les butes qui bloquent le mouvement dune pice se traduisent par unesaturation.

Dans une boucle dasservissement compose de plusieurs lments, chacun dentre eux possde sapropre limitation en sortie. Dans lexemple de la figure 9.4, les organes de fonctions de transferts A( p),B( p) et C( p) sont ainsi caractriss par des valeurs maximales de leurs sorties respectives : Amax, Bmax etCmax.

Figure 9.4 Saturations des sorties de chaque lment dune boucle.

Chacune des valeurs maximales de sortie des diffrents lments impose une valeur maximale de sonentre. Au final, toutes ces contraintes imposent une limitation du signal dentre.

En supposant que e, , x, s et s reprsentent les amplitudes de signaux qui sont tous sinusodaux, onpeut ainsi, dans notre exemple, crire les diffrentes contraintes lies aux saturations ventuelles que loncherche, bien videmment, viter :

s < Amax x