System Logique

8/8/2019 System Logique

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Systmes logiques combinatoires_____________________________________________________________________________________________________

Lyce Vauban, Brest classe de PTSI 1

1 Dfinitions

1.1 Les variables binaires

Une variable a est binaire si elle peut prendre, tout instant, une valeur unique,parmi un ensemble de deux valeurs possibles. Ces valeurs sont notes parconvention 0 et 1.

Exemples : un contact lectrique est ouvert ou ferm, une vanne est ouverte ou ferme, un distributeur pneumatique est positionn droite ou gauche ...

Un ensemble ordonn de nvariables binaires est un mot binairede ndigits ou bits.

Exemple : on note (a,b) ou ab le mot binaire deux variables binaires.

Un ensemble binaire de nvariables peut prendre au plus 2nvaleurs diffrentes.

Exemple : le mot binaire ab peut prendre 4 valeurs notes 00, 01, 10, 11.

La valeur dun mot, un instant donn, est appele tat binairede ce mot.

1.2 La notion de codage binaire

Le choix de laffectation dun tat du mot binaire une valeur de la variable constituelopration de codage. Elle nest jamais unique.

Par exemple, le codage binaire dun chiffre dcimal nest pas unique. Il faut auminimum quatre variables binaires pour coder un chiffre entre 0 et 9. Le tableau cidessous prsente 2 codages binaires usuels en logique combinatoire : le codage

binaire naturel et le codage binaire rflchi (code GRAY).

d n4 n3 n2 n1 r4 r3 r2 r1

0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 0 0 0 12 0 0 1 0 0 0 1 13 0 0 1 1 0 0 1 04 0 1 0 0 0 1 1 05 0 1 0 1 0 1 1 16 0 1 1 0 0 1 0 1

1 La Pascaline , 1re machine calculer, invente en 1643 par Blaise PASCAL (1623-1662). Cette machine futconue par Pascal pour aider son pre dans son travail de rorganisation des finances en Bretagne.

1

L'enseignement devrait tre ainsi : celui qui le reoit lerecueille comme un don inestimable mais jamais commeune contrainte pnible.

Albert Einstein

Systmes logiques combinatoires


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7 0 1 1 1 0 1 0 08 1 0 0 0 1 1 0 09 1 0 0 1 1 1 0 1

La premire colonne est le chiffre dcimal. Les 4 colonnes suivantes correspondent

au codage binaire naturel. On code dans ce codage le chiffre 5 par n4n3n2n1 = 0101 ;la variable n4 est le bit de poids fort et la variable n5 est le bit de poids faible.

Remarquons que : =

=4

1

12i

iind

Les 4 dernires colonnes correspondent au code Gray. Remarquons quavec cecodage, une seule variable binaire change dtat quand on passe dune ligne lasuivante.

1.3 Les fonctions binaires

Une fonction binaire fest une fonction qui, un mot binaire y = xn...x1, associe unevariable binaire z.

Une fonction binaire est combinatoiresi et seulement si ltat de la sortie chaqueinstant ne dpend que de ltat du mot dentre cet instant. Dans ce cas, la fonctionfest indpendante du temps et lon a :

( ) ( )( )= ,s t f e t t

Un systme combinatoire est un systme comprenant plusieurs fonctions

combinatoires. A partir dun mot binaire dentre, le systme labore plusieursvariables de sortie.

Exemple : le transcodage qui associe le code binaire rflchi r4r3r2r1 dun chiffredcimal au code binaire naturel n4n3n2n1 de ce mme chiffre est un systmecombinatoire constitu de 4 fonctions et de 4 variables.

Remarque : une fonction logique de nvariables binaires est une combinaison de ces

nvariables binaires et des lments 0 et 1. Il existe=

=2

22

0

2n

n

n

k

k

C combinaisons de ces

nvariables.En effet, considrons une fonction de nvariables. Le nombre de combinaisons deces nvariables slve 2n ; partir de la table de vrit de ces fonctions, on peutdnombrer :

les fonctions ayant zro un dans la colonne de droite : 102

=nC ;

les fonctions ayant un un dans la colonne de droite : =12

2n nC ;

les fonctions ayant p un dans la colonne de droite : pnC2 ;

les fonctions ayant 2n un dans la colonne de droite : =22

1n

nC .


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Le nombre total de fonction correspond la somme de toutes les fonctionsprcdentes et conduit au rsultat nonc.

Pour le cas o n = 1, il y a 4 fonctions possibles toujours faux , identit , ngation et toujours vrai .

Pour n= 2, il y a 16 fonctions possibles, mais seul un petit nombre intervient dans laralisation technologique associe la structure dalgbre de Boole. Nous donnonsciaprs les fonctions les plus utilises appels oprateurs de base.

2 Algbre de Boole2

Il sagit de lalgbre des variables et des fonctions binaires.

2.1 Les oprateurs de base

Soit la variable binaire a. On dfinit les 2 oprateurs binaires sur cette variable :

loprateur OUI ou identit, loprateur NON ou ngation ou complmentaire

avec

Le tableau cidessus est appel une table de vrit.

Soit les variables aet b. On dfinit les 2 oprateurs binaires sur ces 2 variables :

loprateur OU not + , appel somme logique tel que a+ b= 1 si et seulementsi lune au moins des variables a ou b est gale 1.

loprateur ET not . , appel produit logique tel que a.b= 1 si et seulement siles deux variable a et b sont gales 1.

La table de vrit de chaque fonction est donn par :

loprateur dilemme ou OU exclusif not dfini par la table de vrit

2 George BOOLE, mathmaticien et logicien anglais (1815-1864).

a OUI NON0 0 11 1 0

a b a+b

0 0 00 1 11 0 11 1 1

a b a.b

0 0 00 1 01 0 01 1 1


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On vrifie que : ( ) ( )ba.babababa ++=+=

2.2 Les proprits issues de la structure dalgbre

Proprits: Lensemble des variables binaires muni des oprations NON, OU et ETpossde une structure dalgbre. Les proprits de cette algbre se traduisent par letableau ciaprs :

Ces proprits se dmontrent aisment, en utilisant par exemple, les tables de vritassocies.

Dautres proprits intressantes sont utilises dans cette algbre. Le tableausuivant en font un descriptif.

A titre dexercice, dmontrer ces proprits.

Le thorme de De Morgan se gnralise une expression de nvariables binaires ;on a en effet :

==

=n

i

i

n

ii aa

11

et ==

=n

ii

n

i

i aa11

a b ba0 0 00 1 1

1 0 11 1 0

OU ET

commutativit a+b = b+a a.b = b.aassociativit a+(b+c) = (a+b)+c a.(b.c) = (a.b).cdistributivit a+(b.c) = (a+b).(a+c) a.(b+c) = (a.b)+(a.c)lment neutre a+0 = a a.1 = alment absorbant a+1 = 1 a.0 = 0complmentaire 1=+ aa 0=a.a

OU ET

involution aa = idempotence a+a = a a.a = aabsorption 1 a+ab = a a.(a+b)=aabsorption 2 babaa +=+ ab)ba.(a =+ consensus caabbccaab +=++

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ca.bacb.ca.ba ++=+++ De Morgan b.aba =+ bab.a +=


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2.3 Les systmes complets doprateurs logiques

Cest un ensemble partir duquel il est possible de construire toutes les fonctionslogiques : cet ensemble est appel une base des oprateurs logiques. Il permet deconstruire la structure dalgbre de Boole. On a vu que {NON,ET,OU} rpond cette

dfinition. Il est possible de montrer que les ensembles suivants rpondentgalement la dfinition des bases doprateurs :

{NON,ET}, loprateur OU sexprime en effet avec ces deux oprateurs : b.aba =+ .

{NON,OU}, loprateur ET sexprime en effet avec ces deux oprateurs : bab.a += .Il existe aussi deux oprateurs couramment utiliss dans la pratique industrielle quipossde chacun seul une structure de base doprateurs ; il sagit des oprateursNOR (NON OU) et NAND (NON ET) dfinit de la manire suivante :

oprateur NOR oprateur NAND

Daprs les lois de De Morgan, on a :

b.aba =+ et bab.a +=

Il ny a plus de symbolique utilise pour ces oprateurs

2.4 La dualit

Soit une fonction binaire f. Lexpression duale de fest obtenue en interchangeant lesoprateurs ET et OU dune part et les valeurs 0 et 1 dautre part dans sonexpression.

Cette dualit dcoule des proprits de symtrie de lalgbre binaire par rapport auxfonctions ET et OU dune part, aux valeurs 0 et 1 dautre part.

Exemples : ( ) abaa =+ a pour expression duale : ( ) abaa =+ + =0a aa pour expression duale : a.1 = a

2.5 La forme dcimale dune fonction logique

Une fonction logique peut tre dfinie laide de valeurs dcimales parlintermdiaire du codage binaire naturel. Par exemple, on a :

le mot binaire =3 2 1 110x x x est reprsent en dcimal par = + + =2 1 01 2 1 2 0 2 6d .

Toute fonction logique peut alors scrire comme :

a b ba+ 0 0 10 1 01 0 01 1 0

a b b.a

0 0 10 1 11 0 11 1 0


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somme des tats pour lesquels elle vaut 1 que lon notera : ( )= pd,...,df 1 produit des tats pour lesquels elle vaut 0 que lon notera : ( )= pd,...,df 1

On affecte un poids constitu dune puissance croissante (p1) de 2 la variable

place la place p partir de la droite dans la parenthse reprsentant la fonction.Une variable complmente vaut 0, une variable non complmente vaut sont poidsbinaire (par exemple, une variable place en troisime place vaut 4, une variable en5me place vaut 16).

Exemples :024104120020000

1 cbacbacbacbacba)c,b,a(f ++++= scrit ( )= 653201 ,,,,)c,b,a(f

( ) ( ) ( ) ( )24 2 1 0 0 1 4 0 0

, , )f a b c a b c a b c a b c = + + + + + + scrit ( )= 7412 ,,)c,b,a(f .

Cette criture dcimale est assez pratique, puisquelle diminue les risques derreurdcriture car il est plus facile doublier un trait sur une variable que de transformer un4 en 6 par exemple ; en outre, comme on le verra plus loin lors de la simplificationdes fonctions logiques, lutilisation du tableau de Karnaugh laide de cettereprsentation se rvle assez commode.

3 La reprsentation des fonctions logiques usuelles

3.1 Les logigrammes

Le tableau ciaprs donne les reprsentations schmatiques normaliss des

oprateurs logiques usuels. La 3me

colonne fournit la reprsentation de la normeinternationale IEC (International Electrotechnical Commission) dont les lments sontappels des portes logiques et le 4me colonne celle de la norme amricaine MILSTD 806 B.

Oprateur Fonction logique Norme IEC Norme amricaineOUI aL = 1

a L

a L

NON aL = 1

aL a L

ET baL = &aL

b

a Lb

OU baL += 1aL

b

a L

b NAND babaL +== &a

L

b

a L

b


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NOR babaL =+= 1aL

b

a L

b OU exclusif bababaL +== =1a

L

b

a L

b IDENTITE abbabaL +== =1a

Lb

a L

b

Remarque : lassociation doprateurs logiques pour reprsenter une quationlogique nest pas unique.

Exemple traiter : Reprsenter sous forme de logigramme (schma de portes

logiques) lquation logique cidessous :bdacbaL ++=

3.2 Les circuits contacts et relais

La reprsentation contacts se ralise avec les deux mthodes dont les lments debase sont indiqus ciaprs :

contact travail x

x

contact repos x

x

reprsentations normalise simplifie

De plus, un relais est un lment lectromcanique comportant :

un circuit de commande muni dune bobine dexcitation, et de faible niveaudnergie, un circuit dutilisation indpendant du prcdent comportant un ou plusieurs

contacts repos ou travail ou repos/travail, et de niveau dnergie plus lev que leprcdent.

Le schma cicontre prcise lastructure du relais. Ici, nous navonsconsidr quun seul contactrepos/travail ralis par trois sorties R,T, M comportant un point milieu M.Le fonctionnement est donn par :Lorsque la bobine nest pas excite, lescontacts sont dans la situation repos :

R est ferm, T est ouvert. Quand labobine est parcourue par un courant, la

R

M

T

Circuit de commande Circuit dutilisation


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lame mtallique bascule sur le contact T et le contact R est ouvert. Si lon associeune variable binaire xau contact repos et une variable binaire y au contact travail,on peut reprsenter le fonctionnement du relais par le tableau :

exemple de schma simplifi dune fonction laide de contacts :

Dtermination des quations logiques partir du schma

1 La mthode des chemins

On prend en compte tous leschemins possibles pour aller deP Q (analyse par les 1). Onobtient la 1re forme canonique

(voir suivant). Ici, il y a 4chemins possibles, ce qui donne

lquation du circuit :( ) abdcbadcad,c,b,af +++=

2 La mthode des coupures

On prend en compte toutes lescoupures possibles du circuit entreP et Q et garantissant les

ouvertures des contacts (analysepar les 0). On obtient la secondeforme canonique. Lquation scritmaintenant :

( ) ( )( )( )( )cadcbdabad,c,b,af +++++=

4 Les formes canoniques

4.1 Premire forme canonique : somme de produits canonique dune fonction

cas dune fonction dune variable

commande contacts variables binaires

repos travail x yI= 0 ferm ouvert 1 0I 0 ouvert ferm 0 1

b

a

c

b

c

f(a,b,c)

b

a

a

d

c

P Q

b

a

a

d

c

P Q


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On considre une fonction fde la variable binaire x. Soit f(1) la valeur de la fonctionquand x= 1 et f(0) sa valeur quand x= 0. On vrifie aisment que lon a :

( ) ( ) ( )01 fxfxxf +=

cas dune fonction de deux variables

On considre une fonction de deux variables binaires x et y. A partir du casprcdent, on en dduit la relation :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )00100111 ,fyx,fyx,fyx,fyxy,xf +++=

Les termes f(0,0), f(1,0), f(0,1) et f(1,1) reprsentent les 4 valeurs que peut prendre lafonction pour les tats dentres correspondantes

Toute fonction de 2 variables binaires peut scrire comme lexpression prcdente,cestdire comme la somme de produit de monme. Cette expression constitue lapremire forme canonique de toute fonction logique de deux variables.

On peut tendre un nombre quelconque de variables ; si n est le nombre devariables, la forme canonique comportera 2n produits de monmes.

exemples :

fonction ET: f(0,0) = 0, f(1,0) = 0, f(0,1) = 0 et f(1,1) = 1, on en dduit le rsultat :

f(x,y) = x.y

On a dvelopp la fonction par les 1

fonction OU exclusif: f(0,0) = 0, f(1,0) = 1, f(0,1) = 1 et f(1,1) = 0, on en dduit lersultat :

f(x,y) = yxyx +

4.2 Seconde forme canonique : produit de sommes canonique dune fonction

cas dune fonction dune variable

On considre une fonction fde la variable binaire x. Soit f(1) la valeur de la fonctionquand x= 1 et f(0) sa valeur quand x= 0. On vrifie aisment que lon a :

( ) ( )( ) ( )( )10 fxfxxf ++=

cas dune fonction de deux variables

On considre une fonction de deux variables binaires x et y. A partir du casprcdent, on en dduit la relation :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )11011000 ,fyx,fyx),(fyx),(fyxy,xf ++++++++=


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Les termes f(0,0), f(1,0), f(0,1) et f(1,1) reprsentent les 4 valeurs que peut prendre lafonction pour les tats dentres correspondantes

Toute fonction de 2 variables binaires peut scrire comme lexpression prcdente,cestdire comme le produit de sommes de monme. Cette expression constitue la

seconde forme canonique de toute fonction logique de deux variables.

On peut tendre un nombre quelconque de variables ; si n est le nombre devariables, la forme canonique comportera 2n produits de monmes.exemples :

fonction ET : f(0,0) = 0, f(1,0) = 0, f(0,1) = 0 et f(1,1) = 1, on en dduit le rsultat :

f(x,y) = ( ) ( ) ( )yxyxyx +++

On a dvelopp la fonction par les zros.

fonction OU exclusif : f(0,0) = 0, f(1,0) = 1, f(0,1) = 1 et f(1,1) = 0, on en dduit lersultat :

f(x,y) = ( ) ( )yxyx ++

5 Mthodes de simplification des fonctions logiques

Une fonction peut tre reprsente par plusieurs expressions algbriques diffrentesmais quivalentes. Nous allons appliquer deux mthodes aboutissant minimiser les expressions des fonctions logiques.

5.1 La mthode algbrique

Elle repose sur une application astucieuse des proprits algbriques des variablesbinaires.

On tudie la mthode sur un exemple dune fonction de 4 variables a, b, cet d.Soit la fonction : ( ) ( )= 151412119751 ,,,,,,,d,c,b,af

crite sous forme canonique, on obtient :

( ) abcddabcdcabcdbadcbabcdadcbadcbad,c,b,af +++++++= 1 2 3 4 5 6 7 8

Simplifions cette expression :

* (1+2) donne dca * (3+8) donne bcd* (1+4) donne dcb do le rsultat : ( ) dabacddcbbcddcad,c,b,af ++++= * (5+8) donne acd

* (6+7) donne dab


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On pourrait, en simplifiant dune manire diffrente, montrer que :

( ) dabdbabcddcad,c,b,af +++= ou

( ) acddabbdadcbd,c,b,af +++=

5.2 La mthode des tableaux de Karnaugh

5.2.1 La reprsentation graphique des fonctions boolennes

En algbre classique, il est souvent trs pratique de reprsenter une fonction par ungraphe qui donne en luimme un grand nombre de renseignements sur cettefonction. On a cherch en faire autant avec les fonctions boolennes. Seulement,les fonctions boolennes ne sont pas continues, elles ne peuvent donc sereprsenter que par un nombre fini de points (2n pour nvariables). Il suffira de porter

sur chacun de ces points, images dune combinaison, des variables de lafonction, la valeur de la fonction, cestdire 0 ou 1.

Soit la fonction de 2 variables : baf += , on peut faire un graphe dans un plan, etdfinir ainsi les 4 points images des 4 combinaisons possibles sur a et b; onconviendra, par exemple de mettre une croix dans les cas o f= 1 et un cercle dansle cas o f= 0.

=

b+ab+abaf

baf

pour1=

pour0

On peut agrandir chacun de ces points de faon faire une case carre dans laquelle on crira 0 ou 1et lon obtient un tableau de Karnaugh pour 2

variables.b a 0 10 ab ab1 ab ab

Avec 3 variables, il vient naturellement lesprit de prendre un troisime axe et detravailler dans lespace 3 dimensions.Chaque case devenant un cube, chaque plaque de 4 petits cubes ayant une des3 variables dans le mme tat :

Comme il nest pas trs commodedexploiter une figure spatiale, nous allonsrepasser dans le plan, en dpliant cecube suivant, par exemple, laxe xx. Nous

obtenons le tableau de Karnaugh pour 3variables.

Axe des a

Axe des b

0 1

1

c

a

b

a=0 a=1

c=1

c=0

b=0

b=1

x

x


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Nous voyons que la premire et la dernire colonne, bien que spares dans letableau appartiennent en fait la mme plaque de 4 petits cubes (a= 0) et ont donc

une variable commune. On dit quelles sont adjacentes. Elles le sont rellement danslespace. Cela napparat pas directement sur le tableau.

Audel de 3 variables, il faut thoriquement travailler dans des espaces 4, 5, 6, ...dimensions pour avoir le graphe de la fonction. La remarque faite sur le dpliagepour abaisser le nombre de dimensions reste vraie quelque soit le nombre devariables. Nous obtenons des tableaux de Karnaugh 4, 5, 6, ... variables.

00 01 11 1000 O + + O01 x x

11 x x 10 O + + O

Si lon trace le symtrique par rapport xx, on ajoute une dimension donc unevariable e.

La partie gauche sera le rezdechausse e= 0, la partie droite le 1er tage .

Les conditions dadjacence notes restent les mmes. Il sen ajoute dautres.

Cette faon de considrer le tableau de Karnaugh comme le graphe de la fonctionboolenne, permet de comprendre pourquoi dune part les cases cercles parexemple sont adjacentes, et pourquoi, dautre part, le codage se fait laide du codeGray.

Les tableaux de Karnaugh sont utiliss pour la simplification des quations.

5.2.2 Passage rciproque dune reprsentation algbrique une reprsentationgraphique

Chaque case dun tableau de Karnaugh reprsente un point de la fonction

boolenne, cestdire une combinaison et une seule des variables. Pour ce point,on inscrira dans la case le signe 0 ou 1 selon la valeur prise par la fonction. Puisque

c ab 00 01 11 1001

c

a

b

a=0 a=1

c=1

c=0

b=0 b=1

x

x

a=1 a=0

x

x


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chaque point reprsente une combinaison exclusive des variables on peut crirecette combinaison par une opration ET portant sur toutes les variables, sous formedirecte ou complmente.

Exemple : la case dans laquelle a= 0, b= 1, c= 0, et d= 1 scrira dcba (cest un

minterme ).

Pour obtenir la reprsentation algbrique de la fonction, il suffit de faire la sommelogique (OU) de toutes les combinaisons donnant un 1 la fonction.

Exemple : dcbadbcadcbaf ++=

La fonction est donc bien crite sous forme algbrique. Mais cette forme a uneparticularit : cest une somme de produits, cestdire de monmes ayant toutesles variables qui y figurent. On envisage quelquefois la deuxime forme du tableaude Karnaugh conduisant la seconde forme canonique. Pour reprsenter lexemplecidessus, la case a = 0, b = 1, c = 0, d = 1 scrira dcba +++ . La fonctionscrira algbriquement en faisant le produit de toutes les cases o f= 1.

Exemple : ( )( )( )dcbadcbadcbaf +++++++++=

Mthode de simplification :

Rgle : On peut regrouper 2k cases adjacentes pour lesquelles la fonctionboolenne de nvariables vaut 1 correspondant un monme qui peut scrire enfonction de n kvariables. Il faut respecter les symtries du tableau.

Une expression algbrique irrductible dune fonction fpeut tre obtenue partir deson tableau de Karnaugh en effectuant la somme de tout ensemble de monmes, quivrifie les proprits suivantes :

lunion des cases couvertes par chacun des monmes est gale lensemble descases de valeur 1 (dans le cas contraire lexpression obtenue nest pas quivalente f puisquil existe au moins une case pour laquelle la fonction prend une valeurdiffrente de la somme),

si un monme est supprim alors la proprit prcdente nest plus vrifie (cette

condition signifie quaucun monme nest redondant),

pour aucun monme considr, il nexiste de monme qui linclus (cette conditionsignifie que les monmes sont les plus grands possibles).

Remarques : il faut faire les regroupements les plus gros possibles, afin dobtenirles monmes les plus petits possibles.Il faut galement faire le minimum de regroupement.

Exemples dapplication :

simplification de la fonction cbacbacbacbaf +++=


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c ab 00 01 11 100 1 11 1 1

Le regroupement des 4 cases adjacentes permet de supprimer les variableschangeant de valeurs : ici, on peut supprimer aet c. Puisque b= 0 pour ces 4 cases,il vient :

=f b

simplification de la fonction dcabdabacdbdadcbf ++++=

cd ab 00 01 11 1000 0 0 1 0

01 1 1 1 111 0 1 1 110 0 0 1 0

4 regroupements donnant la simplification : adabbddcf +++= .

Terminons ce paragraphe, en affirmant, par application de la dualit des oprationsET et OU, que tout ce qui a t fait pour les expressions de sommes de produits peuttre transpos pour les expressions de produits de sommes en regroupant les zrosdu tableau de Karnaugh (et en noubliant pas de transformer les 0 en 1 et les 1 en 0).

Si lon regroupe les zros de lexemple prcdent, on trouve :

( )( )( )cbadadbf ++++=

5.2.3 Les fonctions boolennes incompltes

Certaines fonctions ne sont pas spcifies pour toutes les combinaisons desvariables ou certaines combinaisons de variables sont physiquement impossible.Pour ce dernier cas, prenons lexemple dun chariot se dplaant entre deux fins de

course nots a et b : il est vident que la combinaison de variable ab = 11 estphysiquement interdite. On ne peut rien dire pour cette combinaison de variablesquant ltat du chariot. On naffecte aucune valeur de sortie cet tat. Il y aindiffrence de la sortie vis vis de cette combinaison de variables. Dans le tableaude Karnaugh li la fonction boolenne traduisant ltat du chariot, on indique dansla case ab= 11.Si lon sintresse la fonction f traduisant ltat de fin de course du chariot, sontableau de Karnaugh donne :

En regroupant daprs les rgles de simplification, et en prenant = 1, on obtient :

11

001

1a

b


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baf += , et non pas babaf +=

6 Le codage de linformation

6.1 Les systmes de numration

Une base B de numration est un ensemble de B symboles (B entier exprim enbase 10).

Les 3 systmes de base utiliss en sciences industrielles sont les bases 10, 2 et 16appeles respectivement dcimale, binaire et hexadcimale (on utilise parfois labase 8 appele base octale).

Les relations de changement de base sont donnes par :

pour un nombre entier : ( ) ( ) ( ) ( )=

=n

i

Bi

BiBBaN

02 111

pour un nombre non entier : ( ) ( )( ) ( )+

=

=i

Bi

BiBBaQ 1

11 2

on note alors : ( ) ( )( )BnnB a...aaN 01=

exemple : expression dun nombre dcimal en base 2

( ) ( )==n

i

i

iaN 0 1010 2

titre dexercice, montrer que : ( ) ( )11011 272 10= et ( ) ( )73 100100110 2= Le systme hexadcimal comporte 16 symboles : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C,D, E, F.

On a par exemple ( ) ( )EDF 16 103807= .

6.2 Le codage de linformation

Le codage est un lment essentiel de la gestion des flux traversant les systmes ;on doit coder les informations dans de multiples domaines, par exemple, pour le tridu courrier, pour la commande numrique des machines outils, pour lutilisation delINTERNET par le protocole TCP/IP par exemple, ...Cette codification utilise essentiellement la logique binaire, mais il existe dautrecodification base sur des logiques de type floue, par exemple. Nous prsentonsdans la suite des codages trs couramment utiliss dans lindustrie.

6.2.1 Le code binaire naturel

Nous lavons dj prsent au 1.2.


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Il se prte parfaitement au traitement des oprations arithmtiques. Il faut cependantune grande quantit de bits pour exprimer un nombre ds que celuici est lev : unmot binaire de 4 bits ne pourra reprsenter quun nombre compris entre 0 et 15 (cestun quartet). Un mot binaire de 8 bits ne pourra reprsenter quun nombre comprisentre 0 et 255 (cest un octet). Il faudra un mot de 10 bits pour exprimer un nombre

compris entre 0 et 1023 (cest un kilo).

Un autre inconvnient du code binaire naturel est quil peut introduire des erreurs lorsdu codage de grandeurs variant de faon ordonne. Entre deux codes successifs,plusieurs bits pourront alors tre amens changer simultanment (par exempleentre 01 et 10, 2 bits changent simultanment, et physiquement, cest impossible, il ya forcment une transition gnrant un code parasite 00 ou 11 pouvant entraner uneerreur).

6.2.2 Le code binaire rflchi (ou code GRAY)

Ce code a dj t prsent au 1.2.

Il pallie linconvnient que nous venons de signaler, car un seul bit change de valeurquand on passe dun nombre dcimal au suivant.

Le passage du code binaire naturel au code Gray, est donn par la relation :

22BB

G

=

exemple : ( ) ( ) B== 210 01015 , on en tire G=== 011110111110100101

Le code binaire rflchi est utilis dans les codeur absolu (roue codeuse).

6.2.3 Le code DCB (Dcimal Cod Binaire)

On code chaque chiffre selon son quivalent binaire :

0 0000 1 0001 , , 2 0010, ..., 9 1001

exemple : ( ) ( )9708 100110

= 0111 0000 1000DCB

Il est utilis notamment dans le codage de laffichage numrique.

6.2.4 Le code p parmi n

Le code pparmi nest un code nbits dont pbits sont 1 et n pbits sont 0. Lenombre de combinaison rpondant cette dfinition est gal Cn

p .

Ce code est auto correcteur car la lecture du code peut tre associe la vrificationdu nombre de 1 et de 0 dans linformation et permet ainsi la dtection dune

ventuelle erreur.


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Ce code est personnel car il existe Cpn ! arrangements de la codification ce quipermet la personnalisation du code.

Exemple : le code 3 parmi 5 permet 35C = 10 combinaisons est utilis dans le code

postal.6.2.5 Le code ASCII (American Standard Code for Information Interchange)

Cest un code alphanumrique comportant 7 bits dinformations et 1 bit de parit. Ilest utilis en particulier pour les changes dinformations entre une unit centrale(UC) et des priphriques en informatique. Il permet le codage de 128 informationsdiffrentes. Le bit de parit a pour rle davoir la valeur 0 ou 1 afin que le codage sur8 bits des informations contienne un nombre pair de 1.Actuellement le code ASCII est sur 8 bits, le bit de parit est enlev. Un autre codeest envisag, car le code ASCII est devenu insuffisant pour les nouveaux

microprocesseurs extrmement performants (technologies Pentium IV, Celeron,Athlon, Duron,...).

Il existe, bien entendu, de nombreux autres types de codage.

Le passage dun code un autre sappelle le transcodage.

Le saviezvous ? Le microprocesseur a t invent en 1971 parTed Hoff Santa Clara (Californie), dans une rgion qui seraconnue plus tard, sous le nom de Silicon Valley.

Georges BOOLE


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LE CODE ASCII

AmericanStandardCode forInformationInterchange

Table en codage hexadcimal

HEX 0 1 2 3 4 5 6 7

0 (DEL) SP 0 @ P ` p1 (SOH) DC1 ! 1 A Q a q2 (STX) DC2 2 B R b r3 (ETX) DC3 # 3 C S c s4 (EOT) DC4 $ 4 D T d t5 (ENQ) (NAK) % 5 E U e u6 (ACK) (SYN) & 6 F V f v7 BEL (ETB) 7 G W g w8 (BS) CAN ( 8 H X h x9 (HT) EM ) 9 I Y i y

A (LF) SUB * : J Z j zB (VT) ESC + ; K [ k {C (FF) () , < L \ l |D (CR) () = M ] m }E SO () . > N ^ n ~F SI () / ? O _ o

Exemple dutilisation : lettre G code ASCII : 47lettre k code ASCII : 6B


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Le code postal cod par code barres

COURRIER A EXPEDIER

Code utilis par la poste : code 3 parmi 5

Opration de reconnaissance optique de caractres partraitement OCR, puis traduction en code barres sousla forme de btonnets fluorescents imprims sur lecourrier.

COURRIER TRAITE PAR LA POSTE

b4 b3 b2 b1 b00 0 0 1 1 11 0 1 0 1 12 0 1 1 0 13 0 1 1 1 04 1 0 0 1 15 1 0 1 0 16 1 0 1 1 07 1 1 0 0 18 1 1 0 1 0

9 1 1 1 0 0

LYCEE GENERAL ET TECHNOLOGIQUE VAUBAN

Rue de Kerichen BP 35

29 801 BREST CEDEX 9

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13.11.02_11h

29801


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Trois codes barres

Code numrique trs dense, mais dont la moins bonne fiabilitintrinsque oblige l'utiliser soit en longueur fixe, soit avec unecl de contrle (voir annexe). Le code 2 parmi 5 entrelac utilise

la mme codification des caractres que le code 2 parmi 5, maisen entrelaant les caractres deux par deux. Le premiercaractre est cod avec les barres, tandis que le deuxime utiliseles espaces de la mme zone, et ainsi de suite. Les chiffres derang impair sont donc cods avec les barres, tandis que les chiffres de rang pair sont cods avec lesespaces. La consquence est que le code 2 parmi 5 entrelac encode toujours un nombre pair decaractres. Ce code utilise pour chaque caractre cinq lments, dont 2 sont larges, d'o son nom. Comment calculer la longueur d'un symbole en code 2 parmi 5 entrelac ?La formule est la suivante pour un symbole sans cl de contrle :

Longueur = (N(2R+3)+6+R)X

O la longueurreprsente la distance de la premire barre la dernire, marges non comprises.

N= le nombre de caractres utilesR = le ratio barres larges/barres troitesX= paisseur des barres troites.Code numrique trs dense spcifi par le GENCOD pour lesapplications de la grande distribution. Les symboles EAN codent 12ou 8 chiffres, le cas le plus normal tant 12 caractres (toujoursnumriques). En plus de ces caractres, est toujours encode unecl de contrle. Pour certaines applications particulire de ce code,des caractres supplmentaires sont ajouts la droite du symbole de base, spars de celui ci parun espace (identification des journaux et magazines). Le code EAN utilise une technique de dcodage

particulirement adapte aux symboles imprims sur les emballages par les moyens d'imprimerietraditionnels. Aux USA, ce code correspond au code UPC. Pour permettre une lectureomnidirectionnelle plus aise, le symbole peut tre dcod en deux moitis puis reconstitu: ainsi,chaque moiti peut facilement tre plus haute que large.

Code alphanumrique haute densit, permettant comme le code 93de coder le jeu ASCII complet. Deux densits diffrentes sontobtenues suivant que les caractres encods sont numriques oualphanumriques. Une cl de contrle est toujours utilise. Commeles autres codes haute densit, le code 128 est un code continu.Chaque caractre est symbolis au moyen de onze modules (sauf lecaractre de dbut et de fin qui en comprends treize). Chaque caractre est compos de 3 barres et 3espaces (4 et 3 pour le caractre de dbut/Fin). Les barres reprsentent toujours un nombre pair de

modules et les espaces un nombre impair.Le code dit "EAN 128" est en fait un code 128, mais dans lequel un caractre de fonction (Fonction 1)est plac en premire position du message. Ce caractre, lu par le lecteur, n'est pas transmis ausystme. Il permet au lecteur de s'assurer que le symbole lu est un EAN 128 et non un 128 standard.Comment calculer la longueur d'un symbole en code 128 ?La formule est la suivante:

Longueur = X(11N+35)O la longueurreprsente la distance de la premire barre la dernire, marges non comprises. N= le nombre de caractres utiles. Nreprsente soit un caractre alphabtique (lettre ou signespcial), soit deux caractres numriques (chiffres de 0 9). Les caractres de fonctionventuellement ncessaire doivent tre ajouts aux caractres utiles pour le calcul de la longueur.X= paisseur des barres troites

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