Mmoire de Master 2 : Systmes Hamiltoniens Intgrables

Wallez Thomassous la direction de M Popov Georgi

Juillet 2014

Table des matires

1 Introduction. 5

2 Prliminaires. 62.1 Rappels de gomtrie symplectique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Le cas dun espace vectoriel symplectique . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.2 Le cas gnral dune varit symplectique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Rappels de Mcanique Hamiltonienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Le thorme dArnold Liouville. 123.1 Systmes intgrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Premire partie du thorme dArnold Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Seconde partie du thorme dArnold Liouville. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Flots Godsiques Intgrables 204.1 Rappel sur les godsiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Principe de la transforme de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3 Flots godsiques intgrables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3.1 Un exemple de flot godsique intgrable : Les surfaces de rvolution. . . 254.3.2 Le Thorme de Kolokoltsov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1 Introduction.

Je voudrais dabord remercier M Popov Georgi davoir accept de faire ce mmoire avecmoi et davoir t prsent pour rpondre mes questions. Je voudrais aussi remercier mescamarades de prpa agreg de 2013 ainsi que nos "parrains" du bureau 9 pour les momentsmathmatiques, et moins mathmatiques, passs avec eux jusqu maintenant et tout parti-culirement Victor et Julien avec qui jai pass la plupart de ces moments. Finalement, merci Bertrand pour le caf.

La mcanique hamiltonienne a t introduite par Hamilton en 1833 et est une reformulationde la mcanique classique. Il permet de dfinir un systme diffrentiel sur une varit laidedune fonction relle.

Dans ce mmoire, nous allons dabord faire des rappels sur les notions basiques en mca-nique hamiltonienne, ainsi que sur un outil essentiel cette mcanique : la gomtrie sym-plectique. Puis nous noncerons et dmontrerons en deux temps un thorme majeur sur lessystmes hamiltoniens : le thorme dArnold Liouville. Celui-ci va nous permettre de prendreconscience de limportance de lexistence de plusieurs intgrale premire dans ce genre de sys-tme. Finalement nous tudierons la transforme de Legendre qui est un outil qui permettrade faire un lien entre ltude des godsiques et les systmes hamiltoniens. Nous finirons sur unthorme sur les surfaces riemanniennes qui confirmera la difficult de trouver des intgralespremires dans certains cas.

On supposera connues les bases de formes diffrentielles. Dans la suite toute les fonctionsseront supposes C8 sauf cas de mention contraire.

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2 Prliminaires.

Cette section a pour but de rappeler quelques notions de base en gomtrie symplectiquequi seront utiles pour la suite. Elle permettra aussi de mettre en place les conventions denotation.

2.1 Rappels de gomtrie symplectique.

2.1.1 Le cas dun espace vectoriel symplectique

On dfinit la notion despace vectoriel symplectique comme cela :

Dfinition 2.1. Soit E un R-espace vectoriel. Une forme symplectique sur E est une formebilinaire alterne non dgnre.Le couple pE,q est alors appel espace vectoriel symplectique.

Remarque : La non dgnrescence et lantilinarit de implique que la dimension de Eest paire (Puisque toute matrice antisymtrique en dimension impaire est de dterminant nul).De plus on peut exhiber ,comme dans le cas dun produit scalaire, une bijection canoniqueentre les vecteurs de E et le dual de E. En adaptant alors la dmonstration de lexistencedune base orthonorme pour un espace euclidien on peut dmontrer quil existe une baseparticulire pei, fiq ,dite base symplectique, qui vrifie :#

pei, fjq ijpei, ejq pfi, fjq 0

En particulier on observe que, quitte changer de base, il nexiste quune seule structuresymplectique possible.

Exemple fondamental de RnRn : On munit le produit RnRn de la forme symplec-tique suivante :

ppq, pq; pq1, p1qq @p; q1D @p1; qD .o x; y dsigne le produit scalaire canonique sur Rn Rn.La base canonique de Rn Rn est alors symplectique.

Voyons maintenant la notion de morphismes symplectiques. Plus exactement, nous nvo-querons que les symplectomorphismes qui correspondent des changements de variables res-pectant la structure symplectique.

Dfinition 2.2. Soient pE,q et pF, q deux espaces symplectiques. Un symplectomorphismeentre E et F est un isomorphisme f vrifiant :

f .o f est le pull-back de f .

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En particulier si E F , alors la condition devient .

Avant de passer aux varits symplectiques dfinissons la notion dorthogonal symplectiqueet despace isotrope.

Dfinition 2.3. Soit F un sous espace de E un espace symplectique. Lorthogonal symplectiquede F , not F , est dfinie par : F tx P E |@y P F, px, yq 0u .

On a alors la relation dimpF q ` dimpF q dimpEq car F est isomorphe FK t P E |@y P F, pyq 0u .

En particulier un espace isotrope, i.e. qui vrifie F F est de dimension au plus dimpEq2

.

Dans le cas o F est un espace isotrope de dimensiondimpEq

2on dit que F est un sous espace

lagrangien.

2.1.2 Le cas gnral dune varit symplectique.

Abordons maintenant le cas plus gnral dune varit symplectique.

Dfinition 2.4. Une varit symplectique est la donne dun couple pV, q, o V est unevarit diffrentiable de dimension paire et est une 2-forme diffrentielle ferme et nondgnre.

Exemples : Rn Rn (de coordonnes pq; pq) muni de la 2-forme diffrentielle dpi ^ dqi. Le fibr cotangent dune varit diffrentielle peut tre muni de manire canonique

dune structure de varit symplectique.On considre la projection canonique pi : T V V , qui une forme linaire sur lespacetangent en un point x P V associe x. Cette application est diffrentiable. On dfinitalors la forme de Liouville qui est une 1-forme diffrentielle sur T V par :

x,pXq pTpx,qpipXqq,o, px, q P T V , Tpi dsigne la diffrentielle de pi et X P T pT V q.Si on a pqiq comme systme de coordonnes sur la varit et ppiq les coordonnes cano-niquement associes sur le fibr cotangent, alors la structure canonique est donne parla 2-forme d

idpi ^ dqi.

Un rsultat majeur affirme que localement toutes les formes symplectiques sur une varitdiffrentiable sont isomorphes. Ce qui rappelle un rsultat quivalent dans le cas dun espacevectoriel. On a en fait :

Thorme 2.5 (Darboux). Soient pV, q une varit symplectique et x P V . Alors il existedes coordonnes locales pq1, . . . , qn, p1, . . . , pnq centres en x dans lesquelles dpi ^ dqi.

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Ce rsultat est donc trs utile puisquil permet de toujours se ramener localement au cascanonique de Rn Rn quelque soit la varit symplectique considrer.

2.2 Rappels de Mcanique Hamiltonienne.

Nous rappelons maintenant quelques rudiments de mcanique hamiltonienne. On se placedans le cas dune varit symplectique pV, q de dimension 2n.

On a vu prcdemment qu laide de on peut construire une bijection canonique entrele plan tangent en un point de V et les formes linaires sur ce plan tangent. Cette bijectionpermet la dfinition du champ hamiltonien associ une fonction.

Dfinition 2.6. Soit H une fonction relle C8 sur V . On lui associe le champ de vecteursXH , dit champ de vecteurs de hamiltonien H, dfini par la relation :

@px, Y q P V TxV, xpY,XHpxqq pdHqxpY q.On appelle alors systme hamiltonien, tout systme dfini par une relation de la forme :

9xptq XHpxptqq.

Expression dans les coordonnes locales : En coordonnes locales pq, pq telles que dpi ^ dqi, on a lexpression suivante :

XHpq, pq BHBp1 , . . . ,

BHBpn ,

BHBq1 , . . . ,

BHBqn

Le systme hamiltonien associ sexprime donc sous la forme :#

9qiptq BHBpi9piptq BHBqi

Exemples de systmes hamiltoniens : Loscillateur harmonique : Dans R2 on prend pour hamiltonien la fonction : Hpq, pq

a2q2`p22 . Le systme hamiltonien associ est alors :#

9qptq p9pptq a2q

Ce systme se simplifie alors en :q ` a2q 0 i.e. loscillateur harmonique. On peutaussi crer des oscillateurs harmonique en plus grande dimension en prenant comme

hamiltonien la fonction H 12

i

a2i q2i ` p2i

8

Le pendule simple : On considre cette fois lhamiltonien : Hpq, pq 12p2 cos q. Lesystme hamiltonien associ est alors :#

9qptq p9pptq sinpqq

Ce systme tant alors quivalent :q sinpqq i.e. le pendule simple.

Une proprit fondamentale des solutions dun systme hamiltonien est la conservation dela fonction H le long des trajectoires :

Proposition 2.7. Soit pq, pq : t pqptq, pptqq une solution du systme hamiltonien associ H avec pqpt0q, ppt0qq pq0, p0q. Alors pour tout t dans lintervalle dexistence de la solution :

Hpqptq, pptqq Hpq0, p0q.En particulier, les trajectoires du systme hamiltonien sont contenues dans les courbes de

niveaux de H.

Dmonstration. Il suffit en fait dobserver que la drive par rapport t la fonction est nulle.En effet, en coordonnes locales on a la relation :

d

dtHpqptq, pptqq

ni1

dqidt

BHBqi `

dpidt

BHBpi

ni1BHBpi

BHBqi

BHBqi

BHBpi

0

Cette proprit pourra linverse permettre de trouver une formulation hamiltonienne decertains problme physique. Par exemple via la loi de conservation de lnergie en physique.

Enfin, un dernier outil important en mcanique hamiltonienne est le crochet de Poissonqui deux fonctions relles sur une varit symplectique associe une troisime fonction relle.

Dfinition 2.8. Soient f, g deux fonctions sur une varit symplectique V valeurs relles.Le crochet de Poisson du couple pf, gq ,not tf, gu est la fonction dfinie par :

tf, gu pXf , Xgq dgpXf q Xf g.o, Xf est le champ hamiltonien associ f et dg est la diffrentielle de g.

De part sa dfinition, on peut interprter le crochet de Poisson comme tant la drive deg le long du flot du champ Xf .

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Expression dans les coordonnes locales : tf, gu ni1

BfBpi

BgBqi

BfBqi

BgBpi .

A laide de lexpression locale on dduit un certain nombre de proprits essentielles ducrochet de Poisson :

Proposition 2.9.1. Antisymtrie tf, gu tg, fu .2. Drivation tf, ghu tf, guh` g tf, hu .3. Identit de Jacobi tf, tg, huu ` th, tf, guu ` tg, th, fuu 0.4. Relations sur les coordonnes locales tqi, qju tpi, pju 0, tpi, qju ij .Lidentit de Jacobi permet de dmontrer un rsultat important pour ltude des systmes

hamiltoniens en donnant une condition ncessaire et suffisante pour que deux champs hamil-toniens commutent.

Proposition 2.10. Soit f, g deux hamiltoniens sur une varit symplectique pV, q. Alors ona la relation :

rXf , Xgs Xtf,gu.o r., .s dsigne le crochet de Lie entre deux champs de vecteur.

En admettant le rsultat classique que deux champs commutent si et seulement si leurscrochet de Lie est nul (voir [2]) alors ceci peut tre reformul par le fait que deux champshamiltoniens commutent si et seulement si le crochet de Poisson des hamiltoniens est nul.

Dmonstration. Soit h un hamiltonien sur pV, q. On va montrer que rXf , Xgs h Xtf,gu h.La fonction h tant quelconque on aura bien lgalit voulue.

rXf , Xgs h Xf pXg hq Xg pXf hq Xf tg, hu Xg tf, hu tf, tg, huu tg, tf, huu tf, tg, huu ` tg, th, fuu th, tf, guu ttf, gu , hu Xtf,gu h.

De plus la dernire proprit de la proposition 2.9 caractrise les coordonnes adaptes la forme symplectique :

Proposition 2.11. Un systme de coordonnes px, q sur V sera dit symplectique si di ^ dxi.Ceci est quivalent aux relations :

txi, xju ti, ju 0, ti, xju ij .

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Dmonstration. Il est immdiat que si di^dxi alors on a les relations entre les crochetsde Poisson.

Si on a les relations entre les crochets de Poisson. La forme symplectique dans la base px, qsera de la forme :

ijpijdxi ^ dxj ` ijdi ^ djq `

i,j

ijdxi ^ dj .

On va montrer que cette expression se rduit lexpression voulue pour . Pour cela onva valuer cette expression sur les couples des vecteurs Xxi et Xi .

Soient k l, on a dune part pXxk , Xxlq txk, xlu 0.Dautre part,

dxi ^ dxj pXxk , Xxlq dxipXxkq dxjpXxkqdxipXxlq dxjpXxlq

txk, xiu txk, xjutxl, xiu txl, xju

0De la mme faon on vrifie les relations di ^ dj pXxk , Xxlq kilj kjli et dxi ^

dj pXxk , Xxlq 0.Finalement 0 pXxk , Xxlq

ij

ij pkilj kjliq kl. Cette galit tant vraie pourtout k l

De la mme faon on montre que kl 0 pour tout k l en valuant cette fois sur lecouple pXk , Xlq.

Finalement on value sur les couples de la forme pXxk , Xlq. On en dduit alors que kl klpour tout pk, lq.

Ainsi, idi ^ dxi

Ajoutons maintenant un rsultat qui sera trs utile pour la suite. Ce rsultat permet davoirune autre criture dun crochet de Poisson laide dun nouveau systme de coordonnes.

Proposition 2.12 (Changement de variables). Soient f, g deux fonctions relles sur pV, qune varit symplectique avec dpi ^ dqi. Soient pI, q un autre systme de coordonneslocales. Alors :

tf, gu ni1

BgBIi tf, Iiu `

BgBi tf, iu

ni1

BfBIi tIi, gu `

BfBi ti, gu .

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Dmonstration. On passe en coordonnes locales, puis on utilise une formule de changementde variables dans les drives partielles.

tf, gu ni1

BfBpi

BgBqi

BfBqi

BgBpi .

ni1

nk1

BfBIk

BIkBpi `

BfBk

BkBpi

BgBqi

BfBIk

BIkBqi `

BfBk

BkBqi

BgBpi .

nk1

BfBIk

ni1BIkBpi

BgBqi

BIkBqi

BgBpi

` BfBk

ni1BkBpi

BgBqi

BkBqi

BgBpi

nk1

BfBIk tIk, gu `

BfBk tk, gu .

3 Le thorme dArnold Liouville.

Abordons dsormais lun des premiers points important de ce mmoire de ce mmoire,lnonc et la dmonstration du thorme dArnold Liouville qui en substance dcrit le com-portement dune certaine classe de systme hamiltonien. Dfinissons dabord cette classe desystme.

Dans la suite de cette section nous nous placerons dans le cas dune varit symplectiquepV, q de dimension 2n.

3.1 Systmes intgrables

La premire caractristique des systmes intgrables est lexistence dun certain nombredintgrales premires.

Dfinition 3.1. On dit que deux fonctions F et G sont en involution si tF,Gu 0.Une intgrale premire dun systme hamiltonien engendr par H est une fonction F en

involution avec H.

Cette dfinition implique en particulier que la fonction F est constante le long des tra-jectoires de XH . Et donc que les solutions de ce systme sont contenues dans les courbes deniveaux de la fonction F .

Par exemple, la fonction H est elle mme intgrale premire du systme hamiltonien quelledfinit.

Remarque : Si lon connait deux intgrales premires F et G du systme, alors la fonctiontF,Gu en est aussi une daprs lidentit de Jacobi. Ceci peut permettre dans certains cas detrouver de nouvelles intgrales premires.

Enfin dfinissons ce quest un systme intgrable

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Dfinition 3.2. Un systme intgrable sur pV, q est un systme hamiltonien ayant n int-grales premires indpendantes 1 en involution.

Dans le cas de notre varit V de dimension 2n, il ne peut y avoir au plus que n intgralespremires indpendantes en involution. En effet, lespace engendr par les vecteurs des champshamiltoniens est alors un espace isotrope. Donc de dimension au plus n.

Exemples de systmes intgrales : Lexemple dit canonique est celui dun systme dhamiltonien Hpq, pq Hpqq ne d-

pendant que des n premires variables. Dans ce cas, les fonctions des n dernires coor-donnes seront des constantes de mouvements.

Le cas dun systme hamiltonien un degr de libert, i.e. sur une varit de dimension2. En effet, dans ce cas la seule fonction hamiltonienne suffit. Par exemple loscillateur

harmonique dfinit par lhamiltonien Hpq, pq q2 ` p2

2est un cas de systme un

degr de libert. De mme que le pendule dhamiltonien Hpq, pq 12p2 cospqq.

3.2 Premire partie du thorme dArnold Liouville

Le thorme dArnold Liouville est en fait en deux partie. La premire partie stipule quedans le cas dun systme intgrable les trajectoires senroulent sur des tores vitesse constante.

Thorme 3.3 (Thorme dArnold Liouville, partie 1). Soit pV, q une varit symplectiquede dimension 2n. Soit f1 une fonction relle sur M .

On suppose que le systme associ f1 est intgrable. On note pf2, . . . , fnq une familledintgrales premires indpendantes et en involution.

De plus on suppose que les champs Xfi sont complets, i.e. les solutions sont dfinies pourtout t P R.

Alors1. f : m pfipmqqi1,...,n est une submersion de V dans un ouvert de Rn2. Pour tout vecteur a paiqi1,...,n, chaque composante connexe de Va f1paq est

diffomorphe Tk Rnk pour un certain 0 k n. On appelle ces composantes lestores invariants ou tores lagrangiens lorsque k n.

3. Sur ces composantes ils existent des coordonnes 1, . . . , k mod 2pi, y1, . . . , ynk tellesque le systme hamiltonien associ fi scrive :

9m mi, 9ys csi o mi et csi sont des constantes.Dmonstration. Le fait que f soit une submersion sur un ouvert de Rn, i.e. Df de rang n, estune consquence directe de lindpendance des fonctions fi. Ainsi pour chaque a paiqi1,...,n,f1paq est soit une sous varit de V de dimension n note Va, soit lensemble vide.

1. Au sens o leurs diffrentielles sont des applications linaires indpendantes en chaque point.

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Remarquons dabord que Va est invariante par le flot de chacun des fi. En effet, les pfiqtant en involution deux deux, on a tfi, fju 0. Or ceci reprsente justement la variation dela fonction fj le long du flot de fi. Si celui ci est nulle, cest donc que fj est constante le longdu flot de fi. Or Va tant dfinie laide dintersection de lignes de niveaux de ces fonctions,on en dduit quil est invariant par les flots. Soit a P Rn telle que Va ne soit pas lensemblevide.

Les flots commutent entre eux :Xfi , Xfj

0 puisque les fi sont en involutions. Ainsi cesflots dfinissent une action de groupe de Rn sur Va via :

: t ptiqi1,...,n tnn . . . t11 .o i est le flot associ au champ Xfi .Cette action est bien dfinie puisque lon a suppos que les champs taient complets.

Soit m P V , et pmq son orbite sous laction . Montrons que pxq est ouvert et ferm.Lorbite est ouverte daprs le thorme des fonctions implicites. En effet, en considrant

la fonction pt, xq ptqpxq. On observe que sa diffrentielle par rapport t est inversiblepuisque les fi sont indpendants. Donc si lon considre un point y0 P pmq et t0 tels quept0, y0q m alors il existe un ouvert U de Rn Va qui contient pt0, y0q et une fonction rgulire tels que :

@pt, yq P U, pt, yq x pyq tDo, 1ptq est un ouvert de Va contenant y0 et inclus dans pmq. Donc lorbite de m est

ouverte dans Va.On peut adapter ce raisonnement au complmentaire de lorbite de m pour montrer quil

est ouvert et donc que lorbite de m est ferme dans Va. On en dduit donc que laction de est transitive sur chaque composante connexe de Va.

Pour conclure que Va est diffomorphe Tk Rnk on va faire appel un lemme detopologie algbrique que lon admettra (voir [8]) :

Lemme 3.4. Soit une action transitive dun groupe de Lie G sur une varit diffrentielleE. Alors E est diffomorphe G{Sm o m P E et Sm tg P G |gpmq mu est le sous groupedisotropie de laction.

Remarque : Laction tant transitive, les sous groupes disotropies sont isomorphes. Onpeut donc choisir arbitrairement le point m.

Soit m P Va. Il faut donc dterminer le sous groupe Sm tt P Rn |pt,mq mu de Rncorrespondant. En fait, on sait que les sous groupes de R sont soit denses soit discrets. Montronsquici S est discret. On utilise le thorme dinversion locale sur la fonction . En effet, lesfi tant indpendants on en dduit que lapplication |x : t pt, xq est localement undiffomorphisme. Ainsi si lon considre t0 P Sm, il existe t aussi proche que lon veut de t0tel que pt,mq m. Donc Sm est discret dans Rn. Les sous groupes discrets de Rn sont

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des produits de Z. On en dduit ainsi que Rn{Sm Tk Rnk. Et finalement que chaquecomposantes connexes de Va est diffomorphe Rn{Sm Tk Rnk.

Construisons maintenant les variables i vrifiants les proprits nonces dans le thorme.Notons M la composante connexe de Va sur laquelle on se place pour la suite. Considronsdabord la projection suivante :

p : Rn Tk Rnkp1 . . . k, y1, . . . , ynkq p1 . . . k, y1, . . . , ynkq .

o i i mod 2pi.On note alors li, pour i allant de 1 k, le vecteur de Rn dfini par :

li p0, . . . , 2piloomooni-me position

, . . . , 0q.

Ainsi ppliq 0.Reconsidrons maintenant le sous groupe disotropie S prcdemment introduit. On a

montr quil tait isomorphe Zk. Notons peiqi1,...,k une famille gnratrice de S. On peutalors considrer un automorphisme de Rn, A, vrifiant Apliq ei.

On est alors dans la situation suivante :

Rnp,yqA Rnptq

p Tk Rnkp,yq A M

La passage au quotient induit alors un diffomorphisme de Tk Rnk vers M o les jouent le rle voulu.

En effet, on remarque la relation p, yq A1t. Lvolution de ces coordonnes selon leflot de f1 correspond driver par rapport t1. Ainsi,

p 9, 9yq dp, yqdt1

A1

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...

0

do le rsultat pour f1. On fait le mme raisonnement pour les autres flots.

3.3 Seconde partie du thorme dArnold Liouville.

Pour la seconde partie dArnold Liouville, on se place dans le cas dun tore invariant.La seconde partie du thorme stipule que au voisinage de celui ci, le systme a le mme

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comportement. Et fournit lexistence de coordonnes symplectiques bien adapt ltude dusystme : les variables actions-angles. Plus prcisment :

Thorme 3.5 (Thorme dArnold Liouville, partie 2). On reprend les hypothses de lapremire partie du thorme dArnold Liouville. Et lon suppose de plus que la varit Va estconnexe compact. Alors :

1. Il existe un voisinage de Va dans M diffomorphe Rn Tn.2. Sur ce voisinage, il existe un systme de coordonnes symplectique pI, q, dit actions-

angles, tel que les fonctions fi ne dpendent que de I. La structure symplectique deve-nant alors : dIi ^ di.

Remarque : Le thorme implique donc que lon peut se ramener au cas canonique dunsystme hamiltonien intgrable.

Dmonstration. Le premier point est encore une fois d lindpendance des fi. En effet, Vatant connexe compact, il est diffomorphe un tore de dimension n. tant dfini comme uneligne de niveau des fi, on en conclut laide du thorme des fonctions implicites quen prenantles fi comme coordonnes alors on a un voisinage de Va dans V diffomorphe Rn Tn. Oncherche donc trouver des coordonnes pIi, iqi symplectiques. On a vu que ctait quivalent demander que la matrice des crochets de Poisson soit de la forme suivante :

tIi, Iju tIi, juti, Iju ti, ju

0 ij

ij 0

.

Pour le moment notons, Ii fi et prenons i les coordonnes dfinis prcdemment.On a dj, par les hypothses du thorme, que tIi, Iju 0 car les pfiq sont en involutions.

Notons aij tIi, ju et bij ti, ju. Tout le but de la dmonstration va alors consister faire des changements de variables permettant de donner aij et bij la forme voulue.

Remarquons dabord que les aij ne dpendent que des pIiq. En effet il reprsente la drivede j le long du champ hamiltonien engendr par Ii. Or daprs la premire partie du thormedArnold Liouville, on a vu que le long des lignes de champs de Ii, les j ont une driveconstante. Ainsi, les aij sont constants sur Va et donc ne dpendent que des pIiq.

En fait les bij aussi ne dpendent que des pIiq. En effet laide de lidentit de Jacobi on atIm, ti, juu ` ti, tj , Imuu ` tj , tIm, iuu 0

Cest dire,tIm, biju ` ti,amju ` tj , amiu 0

Or on peut montrer que ti,amju et tj , amiu ne dpendent que des pIiq en utilisant laproposition 2.12. Montrons le par exemple pour le second :

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tj , amiu nk1

BamiBIk tj , Iku

nk1

BamiBIk akj .

Or on a dj vu que les paijq ne dpendent que des pIiq donc cette expression ne dpendaussi que des pIiq.

Ainsi le terme mij tIm, biju ne dpend que des pIiq.De plus mij

ns1

BbijBs tIm, su

nk1

BbijBs ams.

Montrons que la matrice des pamsq est inversible. Ce qui permettra daffirmer que les BbijBspeuvent sexprimer en fonction des mij et ams, et donc quils ne dpendent que des pIiq.

On crit la matrice de dans la base B pXI , Xq. De par la dfinition du crochet dePoisson on a :

MatBpq

0 paijqtpaijq pbijq

.

Or tant non dgnre, on sait que son dterminant est non nul. Ainsi, detpaijq 0 etdonc la matrice des paijq est inversible.

On en dduit donc que

bij ti, ju ns1

hsijpIqs ` gijpIq.

Or cette formule tant vraie sur un voisinage du tore, et les bij ntant pas multivaris, onen dduit que les hsijpIq sont nuls. Finalement, bij ne dpend que des pIiq.

On souhaiterais maintenant faire un changement de variable Is IspJ1, . . . , Jnq tel quetJi, ju ij . Pour savoir si il existe un tel changement de variable, on va raisonner paranalyse synthse.

En effet, si un tel changement de variable existe alors par la proposition 2.12 :

aij tIi, ju

ns1

BIiBJs tJs, ju

ns1

BIiBJs sj

BIiBJj .

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On fait alors appel au thorme de Poincar, qui nous permet daffirmer quun tel change-

ment de variable existe si et seulement siBaijBJs

BaisBJj .

En fait cette condition est quivalente :nk1

BIkBJs

BaijBIk

nk1

BIkBJj

BaisBIk , cest dire :

nk1

aksBaijBIk

nk1

akjBaisBIk

Montrons que cette relation est vraie. Daprs lidentit de Jacobi appliqu Ii, j , k ona :

tIi, tj , kuu ` tj , tk, Iiuu ` tk, tIi, juu tIi, bjku ` taik, ju ` tk, aiju 0

Or, le premier terme de la somme est nul. En effet tIi, bjku ns1

BbijBIs tIi, Isu 0.

Ainsi on a la relation :

taik, ju taij , ku ns1

BaikBIs tIs, ju

ns1

BaijBIs tIs, ku

ns1

BaikBIs asj

ns1

BaijBIs ask.

Donc il existe des fonctions Is IspJ1, . . . , Jnq telles que tJi, ku ik. Il faut maintenantvrifier que lapplication dfini est bien un changement de variable, i.e. un diffomorphisme.Mais on la dj vrifier avant puisque lon a vu que la matrice paklq est inversible. Et doncque lapplication Is IspJq a pour matrice Jacobienne une matrice inversible.Cest donc quecette application est un diffomorphisme. On a bien effectu un changement de variable.

Dans la suite, on notera Ji Ii les nouvelles coordonnes.

Finalement, pour que les coordonnes soient symplectiques il suffit davoir bij ti, ju 0. Si tel nest pas le cas, on fait un dcalage de coordonnes. On cherche lexistence de fonctionsphiq, dpendant seulement de I telles que i i ` hipIq vrifient ti, ju 0.

Encore une fois on raisonne par analyse synthse puis par le thorme de Poincar pourconclure. En effet si ces fonctions existent alors :

ti, ju 0 ti ` hi, j ` hju 0 bij ` ti, hju ` thi, ju ` thi, hju 0

En rcrivant les crochets en fonction des variables pIiq, puisque les hi ne dpendent quede ces variables, cette relation se rduit :

bij BhjBIi BhiBIj .

18

Figure 1 Portrait de phase du pendule

Ainsi lexistence de ces fonctions hi sera quivalente la condition que la formei,j

bijdIi ^ dIj

soit ferme daprs le thorme de Poincar.Comme dans la proposition 2.11 on crit dans la base pIi, iqi. Aprs calcul on a la

relation :

ij

bijdIi ^ dIj `i

dIi ^ di.

De l on dduit queij

bijdIi ^ dIj est une forme ferme comme somme de deux formesfermes.

Ceci conclut la dmonstration.

Une illustration de lexistence de ces variables actions-angles est clairement visible si lonobserve le portrait de phase dun pendule. Rappelons que ce systme est dtermin par lqua-tion :

:q sinpqq.Son portrait de phase a lallure suivante donne par limage 1.Ainsi on observe bien sur ce portrait de phase lexistence des tores invariants. La variable

action permettant alors de prciser sur quel tore on se situe.

19

Calculs pratiques des coordonnes actions : Si le thorme nous vend lexistence desvariables actions angles, il reste encore le problme de calculer explicitement ces coordonnes.Il existe une formule gnrale pour les variables dactions.

Remarquons dabord que la forme diffrentiellepidqi Iidi est ferme. En effet, sa

diffrentielle est nulle puisque daprs le thorme dpi ^ dqi dIi ^ di. Le groupefondamentale du tore de dimension n est isomorphe au groupe Zn. Considrons un chemins lun des gnrateurs du groupe fondamentale qui correspondent une variation de 2pi dejuste une des coordonnes dangles et qui dpendent continment des fi. Intgrons la formediffrentielle sur ce chemin :

s

pidqi Iidi

Tnzs

0 0.

Or,s

Iidi 2piIs. On en dduit donc que dans ce cas :

Is 12pi

s

pidqi.

En dimension deux on peux rinterprter cette formule. En effet dans ce cas la variable Ireprsente, une constante prs, laire dlimite par le tore de dimension 1.

4 Flots Godsiques Intgrables

Dans cette partie nous allons aborder la transforme de Legendre. Cet outil fait le lienentre la mcanique lagrangienne et la mcanique hamiltonienne. Les problmes de godsiquesse ramneront alors des problmes de mcanique hamiltonienne. Faisons dabord quelquesrappels sur le problme des godsiques, voir [9] pour plus de prcision.

4.1 Rappel sur les godsiques

La dfinition des godsiques fait appel la dfinition de longueur. Ici nous nous placeronstoujours sur des varits riemannienne pour dfinir la notion de longueur.

Dfinition 4.1. Une varit riemannienne est la donne dun couple pM, gq o M est unevarit diffrentielle et g est une application qui a chaque point m de M associe une formebilinaire gm dfinie positive sur lespace tangent m.

On demande de plus que g soit rgulire au sens o pour tout champ de vecteurs pX,Y qsur M , lapplication m gm pXm, Ymq soit de classe Ck.

On dit que lon a munit M dune mtrique riemannienne.

Remarque : Les espaces tangents sont alors munis dune structure despace euclidien.Exemples : Rn muni du produit scalaire canonique est une varit riemannienne.

20

Sn muni de la mtrique induit par le produit scalaire sur Rn`1. Dune manire gnral, toute sous varit dune varit riemannienne peut tre muni

dune mtrique riemannienne induite par la varit ambiante.

criture en coordonnes locales : Si lon note`x1, . . . , xn

un systme de coordonnes

locales sur une varit riemannienne pM, gq alors on note gijpmq la valeur de g en m sur lecouple de vecteur associ aux coordonnes pxi, xjq. Ceci permet davoir lcriture concise :

g gijpxqdxidxj .

La dfinition de la longueur dune courbe est alors relativement naturelle en sinspirant ducas euclidien.

Dfinition 4.2. Soit : t ptq un chemin sur pM, gq une varit riemannienne. La longueurde est alors :

lpq } 9ptq} dt

o }v} agpv, vqRemarque : La longueur dune courbe sur une varit dpend donc de la mtrique choisie.

Mais pas de la paramtrisation choisie pour la courbe.

Une question naturelle qui apparat maintenant est la question du plus court chemin entredeux point. Les courbes rpondant cette question sont les godsiques.

Dfinition 4.3. On appelle godsique toute courbe sur M ralisant localement le plus courtchemin entre deux points.

Encore une fois, les godsiques dpendent de la mtrique choisie sur la varit.

Exemples classiques de godsiques : Dans Rn muni de la structure riemannienne classique les godsiques sont les lignes

droites. Sur la sphre unit S2 de R3 munie de la mtrique induite, les godsiques sont les

grands cercles. Cest dire les cercles obtenus comme intersection de la sphre S2 etdun plan passant par le centre de la sphre.

Donnons quelques proprits classiques des godsiques :

Proposition 4.4. 1. Pour tout point m P M et pour tout vecteur tangent P TmM , ilexiste une unique godsique telle que p0q m et 9p0q .

2. Si M est compact alors toute paramtrisation des godsiques peut tre prolonge afindtre dfinie sur tout R.

3. Si M est compact et connexe, tout couple de points peut tre reli par une godsique.Il ny a ventuellement pas unicit de la godsique.

21

En fait, le problme des godsiques peut se ramener la rsolution dune quation diff-rentielle :

Proposition 4.5. En coordonnes locales ptq `x1ptq, . . . , xnptq, les godsiques sont exac-tement les solutions de lquation diffrentielle suivante :

d2xi

dt2`j,k

ijkdxj

dt

dxk

dt 0,

o ijkpxq 1

2

sgis

BgsjBxk `

BgksBxj

BgkjBxs

.

Le terme gij dsigne le coefficient la position pi, jq de la matrice inverse de pgklq.En fait cette quation est obtenue dabord laide des quations dEuler Lagrange. Ces

quations montrent que les godsiques sont les trajectoires qui ont une acclration nulle parrapport la varit. Cette quation est alors une rcriture de cette condition en coordonneslocales. Pour plus de dtail voir [9]. En particulier on remarque quune godsique est parcourueavec un vecteur vitesse de norme constante.

4.2 Principe de la transforme de Legendre

La transforme de Legendre va permettre dassocier toute varit riemannienne pM, gq,une fonction hamiltonienneH sur le fibr cotangent deM . Rappelons que ce fibr cotangent estmuni canoniquement dune structure de varit symplectique. Les godsiques pourront alorstre interprtes comme tant les projections des solutions du systme hamiltonien engendrpar H sur la varit.

Dfinition 4.6. Soit pM, gq une varit riemannienne avec pxiq un systme de coordonneslocales sur M et ppiq les coordonnes canoniquement associes sur le fibr cotangent. Lhamil-tonien associ cette varit est la fonction :

Hpx, pq 12

i,j

gijpxqpipj |p|2g

Cest en fait la forme biliniaire induite sur les vecteurs cotangents.

Thorme 4.7. Soit ptq pxptq, pptqq une trajectoire du systme hamiltonien sur T Mengendr par H. Alors la courbe xptq est une godsique, avec

dxiptqdt

gijpxqpjptq.

Inversement, si lon a une godsique xptq sur M , alors la courbe ptq pxptq, pptqq dfiniepar piptq gijpxqdxj

dtest une trajectoire du systme hamiltonien engendr par H.

22

Dmonstration. Considrons une solution pxptq, pptqq du systme hamiltonien engendr parH : $&%

BxiBt

BHBpi

jgijpxqpj

BpiBt

BHBxi

1

2

,

BgBxi pp

.

Montrons que le terme xptq suit bien lquation diffrentielle des godsiques.A laide de la mtrique riemannienne, on peut faire lidentification : pi

jgij 9xj .

En remplaant dans la seconde quation on a :

dpidt

s

d

dt

gisdxs

dt

1

2

,

j, k

BgBxi gk

dxk

dtgj

dxj

dt. (1)

Montrons que,

j, k

BgBxi gk

dxk

dtgj

dxj

dt

j,k

BgjkBxi

dxk

dt

dxj

dt.

Pour cela tudions le terme A j,k

BBxi

,

ggkgjdxkdt

dxj

dt.

Dune part il est gale

A ,

j,k

BgBxi gkgj

dxk

dt

dxj

dtlooooooooooooomooooooooooooonB

`,

j,k

gBgkBxi gj

dxk

dt

dxj

dtlooooooooooooomooooooooooooonC

`,

j,k

ggkBgjBxi

dxk

dt

dxj

dtlooooooooooooomooooooooooooonD

.

Dautre part, A jk

BBxi

kgjdxkdt

dxj

dt

jk

BgkjBxi

dxk

dt

dxj

dt.

En fait on montre aussi que A C D. On en dduit donc que :

A B j,k

BgjkBxi

dxk

dt

dxj

dt.

Ainsi lquation (1) devient :

jk

BgikBxj

dxk

dt

dxj

dt`s

gisd2xs

dt2 1

2

jk

BgkjBxi

dxk

dt

dxj

dt. (2)

23

Puis en utilisant la relation immdiate 2 :j,k

BgikBxj

dxk

dt

dxj

dt

j,k

1

2

BgkiBxj `

BgijBxk

dxk

dt

dxj

dt.

On remplace donc cette expression dans (2) pour finalement obtenir :

s

gisd2xs

dt2` 1

2

j, k

BgkiBxj `

gijBxk

BgkjBxi

dxk

dt

dxj

dt 0.

Il suffit maintenant de considrer le vecteur X pX1, . . . , Xnq P Rn dfini par :

Xi s

gisd2xs

dt2` 1

2

j, k

BgkiBxj `

gijBxk

BgkjBxi

dxk

dt

dxj

dt.

Ainsi que la matrice G pgijq. Alors Y GX 0 puisque chacune des coordonnes de X esten fait nulle. Or justement les coordonnes de Y sont justement les quations des godsiques,do :

d2xi

dt2` 1

2

j,k,s

gisBgsjBxk `

BgksBxj

BgkjBxs

dxj

dt

dxk

dt 0, @1 i n.

Si maintenant on considre une godsique xptq sur M , et piptq gijpxqdxjxt

. Montronsque pxptq, pptqq est une solution du systme hamiltonien engendr par H.

Il suffit donc de vrifier que : $&%dxi

dt BHBpi

dpidt

BHBxi.

On vrifie immdiatement queBHBpi

dxi

dten remplaant pk par

gkj

dxjdt

. Il suffit donc

que de vrifier quedpidt` BHBxi 0. Mais en reprenant les calculs fait prcdemment on voit

que cela est quivalent ce que xptq soit une godsique.Ceci conclut la dmonstration.

On a donc dsormais un outil qui va nous permettre de faire un lien entre les calculs degodsique et des problme de mcaniques hamiltoniennes.

2. Il suffit dobserver que les termes apparaissent deux fois dans la somme puisque la matrice pgijq estsymtrique

24

4.3 Flots godsiques intgrables.

A laide de cette transforme de Legendre, il devient naturelle de se poser la question delexistence de flot godsique intgrable.

Dfinition 4.8. Un flot godsique est intgrale si le systme hamiltonien correspondant viala transforme de Legendre est intgrable.

Voyons dabord un exemple de varit riemannienne dont le flot godsique est intgrable.

4.3.1 Un exemple de flot godsique intgrable : Les surfaces de rvolution.

On se place dans R3 muni de sa structure riemannienne standard, i.e dx2 ` dy2 ` dz2.On se place en coordonnes cylindriques pr, , zq. Une surface de rvolution est donne parune fonction relle positive r rpzq. La surface M correspondante est alors celle obtenue parrotation autour de laxe pOzq. On prend pz, q comme coordonnes locales surM . La mtriqueinduite sur M est alors donne par

1` r12

dz2 ` r2pzqd2. En effet :

dx2 ` dy2 ` dz2 d prpzq cosq2 ` d prpzq sinq ` dz2 r12 cos2 dz2 2rr1 cos sindzd` r2 sin2 d2

`r12 sin2 dz2 ` 2rr1 cos sindzd` r2 cos2 d2 ` dz2

1` r12

dz2 ` r2pzqd2.

Soit donc r rpzq une fonction relle et M la surface de rvolution engendre.Thorme 4.9 (Clairaut). 1. Le flot godsique sur M est intgrable. La fonction r cos

est une intgrale premire du systme, o dsigne langle entre la trajectoire et laparallle 3 de la surface en ce point. On appelle cette intgrale : lintgrale de Clairaut.

2. Si lon paramtrise les godsiques en fonction de z alors elles sont rgies pas lquation

d

dz c

a1` r12

r?r2 c2 ,

o c est un constante telle que |c| supp|r|q.Dmonstration. Tout dabord calculons lhamiltonien associ ce problme de godsique. Onse place donc dans les coordonnes locales pz, q et lon note ppz, pq les coordonnes associessur le fibr cotangent.

3. On appelle parallle les lignes de niveaux de r

25

La matrice de la mtrique riemannienne dans ces coordonnes est1` r12 0

0 r2

.

Do lhamiltonien associ est Hpz, , pz, pq 12

1

1` r12 p2z `

p2r2

. La fonction r ne

dpendant que de z on remarque que H ne dpend pas de . Ainsi la fonction p est uneintgrale premire du systme.

Or ici on est justement dans le cas dune varit de dimension 2, le fibr cotangent est doncde dimension 4. En particulier il suffit de 2 intgrales premires du systme indpendantes eten involution pour que celui ci soit intgrable. H et p tant indpendantes on en dduit quele systme est intgrable. Donc le flot godsique est intgrable.

laide de la mtrique riemannienne on effectue les identifications : pz

1` r12

9z etp r2 9. Soit peq p0, 1q un vecteur tangent une parallle surM . Soit ptq une godsiquesur M . On a dfinit comme tant langle entre e et 9. On a donc la relation :

cos x 9; eyax 9; 9y xe; ey r2 9

r } 9} .

Lidentification permet dcrire cos pr } 9} . Finalement

r cos p} 9} .

Or les godsiques tant parcourue vitesse constante, on en dduit que r cos est uneintgrale premire du systme en tant que fonction dintgrales premires.

Notons c r cos. Cest donc une intgrale premire du systme vrifiant |c| sup |r|.Ainsi

c r2 9b

p1` r12q 9z2 ` r2 92.

Supposons que lon puisse, au moins localement, paramtriser la courbe par z. Alors

c r2d

dz9zc

p1` r12q 9z2 ` r2ddz

2

9z2.

Ce qui aprs simplification donne :

26

d

dz c

a1` r12

r?r2 c2 .

Application de ce thorme :

1. Remarquons que si lon prend la constante c gale 0, et que lon suppose que rpzqnest pas nulle alors cos 0 i.e. pi

2 pi prs. En rinterprtant gomtriquement

ce rsultat on observe que pour toute surface de rvolution, les mridiens 4 sont desgodsiques.

2. On peut donc redmontrer que les godsiques dune sphre sont les grands cercles laide des symtries de la sphre et de la remarque prcdente.

3. Les godsiques dun cylindre sont ses parallles, ses mridiens et les trajectoires enhlices, i.e. dquation pzq z ` p0q.

4. Les parallles qui sont des godsiques sont celles o le rayon est un extremum local.

Nous avons donc vu quil existe des flots godsiques intgrables, puisque les surfaces dervolutions offrent ce type de comportement. Nous allons aborder la question dans lautresens : Quelles sont les obstructions pour quun flot godsique soit intgrable ?

Nous allons voir quil existe des obstructions topologiques.

4.3.2 Le Thorme de Kolokoltsov

La question tant encore ouverte dans le cas gnral nous allons prciser notre question.Nous restons dans le cas de surface riemannienne pM, gq. Comme vu prcdemment, lhamil-tonien H associ tant une intgrale premire du systme il suffit de trouver une deuximeintgrale premire pour en dduire que le flot godsique est intgrable. Cest sur la nature decette seconde intgrale premire possible que nous allons faire des hypothses supplmentaires.

Dfinition 4.10. Une fonction sera considre comme polynme en les moments si elle estcombinaison linaire de terme de la forme :

ipq1, q2qpj1pk2.o pl est le moment conjugu de ql.

On dira quun flot godsique est polynomialement intgrable si il admet un polynme enles moments indpendant de H comme intgrale premire.

4. Les lignes de niveaux de .

27

Il est naturelle de vouloir poser ce genre de restriction afin de faciliter la recherche de laseconde intgrale premire.

La thorme que nous allons nonc affirme que dans le cas gnral, il est impossible detrouver une intgrale premire qui soit un polynme.

Thorme 4.11 (Kolokoltsov). On suppose que la surface M est compact et orientable. Sielle est de genre strictement plus grand que 1, alors elle nest pas polynomialement intgrable.

Rappelons que le genre dune surface orientable est le nombre de trous dans celle ci. Cest dire le nombre de hanse rajouter la sphre pour obtenir une surface diffomorphe M .

Ainsi, les hypothses du thorme stipulent que lon ne se situe pas sur une surface diffo-morphe la sphre ou au tore de dimension 2.

La preuve fournie ici est issue de [10].

Dmonstration. Supposons que M est de genre strictement plus grand que 1.Considrons des coordonnes isothermales 5 sur M , i.e. des coordonnes q1, q2 telles que la

forme quadratique associe g soit de la forme : pq1, q2qpdq21 ` dq22q.On note pp1, p2q les coordonnes canoniquement associes pq1, q2q. On peut alors calculer

H dans ces coordonnes, savoir : H p21 ` p222

. Pour plus de clart on note 1.

Montrons dabord quil suffit de montrer quil nexiste pas dintgrale premire qui soit despolynmes homognes en les moments indpendantes de H.

En effet, soit P pq, pq un polynme en les moments qui soit une intgrale premire. Remar-quons que H est un polynme de degr 2 en les moments. Le crochet de Poisson tP,Hu estaussi un polynme en les moments. De plus il est identiquement nul. Par linarit on en dduitque les crochets de Poisson de H avec les composantes homognes de P sont nuls. Et doncque les composantes homognes de P sont des intgrales premires.

Ceci permet donc de restreindre notre tude lexistence dintgrale premire indpendantde H qui sont des polynmes homognes en les moments.

Supposons lexistence dune intgrale premire polynomiale de la forme :

Fnpq, pq nk0

bkpq1, q2qpnk1 pk2.

Lemme 4.12. La fonction complexe Rnpzq nk0

ikbk, o z q1 ` iq2, est holomorphe.

Remarquons que lon peut rcrire Rn sous la forme Fnpq1, q2, 1, iq pb0 b2` b4 . . . q`ipb1 b3 ` . . . q.

5. Pour lexistence de ces coordonnes, voir : [4]

28

Dmonstration. Il suffit de montrer que Rn vrifie les quations de Cauchy-Riemann, i.e.

BRnBq1 ` i

BRnBq2 0.

Pour cela on calcul le crochet de Poisson entre Fn et H :

tFn, Hu BFnBp1BHBq1

BFnBq1

BHBp1 `

BFnBp2

BHBq2

BFnBq2

BHBp2

nk0

pn kqbkpnk11 pk2

B2Bq1 pp

21 ` p22q

BbkBq1 p

nk1 p

k2

pp1q

`nk0

kbkp

nk1 p

k12

B2Bq2 pp

21 ` p22q

BbkBq2 p

nk1 p

k2

pp2q

nk0

BbkBq1 p

nk`11 p

k2 `

BbkBq2 p

nk1 p

k`12

`

nk0

pn kqbkpnk11 pk2

B2Bq1 pp

21 ` p22q

`

nk0

kbkp

nk1 p

k12

B2Bq2 pp

21 ` p22q

.

Ce crochet est nul puisque lon a suppos que Fn tait une intgrale premire du systme.De plus si lon prend p1 1 et p2 i dans cette expression et en remarquant que esttoujours diffrent de 0 on a :

0 nk0

ikBbkBq1 ` i

k`1 BbkBq2 .

Ce qui correspond exactement aux quations de Cauchy-Riemann pour Rn.

Ainsi nous avons une faon dassocier chaque polynme une fonction holomorphe.

Observons maintenant le comportement de la fonction Rn lors dun changement de variableholomorphe.

Lemme 4.13. Soit z zpwq un changement de coordonnes holomorphe. Alors si lon noteRnpwq la fonction obtenue dans les nouvelles coordonnes w, alors on a la relation :

Rnpzq Rpwpzqqpw1pzqqn.Dmonstration. Notons w Q1 ` iQ2 et P1, P2 les coordonnes canoniquement associes.Lexpression de la forme de Liouville tant indpendante du choix de coordonnes on a lga-lit :

p1dq1 ` p2dq2 P1dQ1 ` P2dQ2.

29

Or dQ1 BQ1Bq1 dq1 `BQ1Bq2 dq2 et dQ2

BQ2Bq1 dq1 `

BQ2Bq2 dq2. Donc par identification et

laide des quations de Cauchy -Riemann appliques w :$&%p1 P1 BQ1Bq1 ` P2

BQ2Bq1

p2 P1 BQ2Bq1 ` P2BQ1Bq1

.

Ainsi, si lon rcrit Fnpq, pq dans les coordonnes pQ,P q on obtient :

FnpQ,P q nk0

bkpzpwqqP1BQ1Bq1 ` P2

BQ2Bq1

nk P1 BQ2Bq1 ` P2

BQ1Bq1

k.

Puis en prenant P1 1 et P2 i, on obtient finalement :

Rnpwq nk0

bkpzpwqqBQ1Bq1 ` i

BQ2Bq1

nk BQ2Bq1 ` i

BQ1Bq1

k

nk0

bkpzpwqqBQ1Bq1 ` i

BQ2Bq1

nkikiBQ2Bq1 `

BQ1Bq1

k

nk0

bkpzpwqqik

BQ1Bq1 ` i

BQ2Bq1

n Rnpzpwqqp BwBq1 q

n.

La fonction wpzq tant holomorphe, BwBq1 w1pzq.

On conclut ainsi que Rnpzq Rnpwpzqqpw1pzqqn.Ce lemme va nous permettre de conclure que Rn est nulle.

Lemme 4.14. Si n 1, alors Rn 0.Dmonstration. Par labsurde, supposons Rnpzq nest pas nulle. Alors on peut considrer lap-plication :

pdzqnRnpzq .

A laide du lemme prcdent, on observe que cette application est invariante par change-ment de variable holomorphe. En effet, pdwqn pw1pzqdzqn donc :

pdwqnRnpwq

pw1pzqdzqn

Rnpzqw1pzqn pdzqnRnpzq .

Une telle application est appel une n-diffrentielle. Un rsultat classique de gomtrieriemannienne est que pour une telle application, la diffrence entre le nombre de zros et le

30

nombre de ples de la fonction mromorphe1

Rnen facteur est gale 2npg1q avec g le genre

de la surface riemannienne. Voir [7]Or on a suppos que le genre de M tait strictement plus grand que 1 et que n tait non

nul. On a aussi fait lhypothse que Rn tait holomorphe non nulle. En particulier la formediffrentielle na pas de zro. Ceci impliquerait donc que le nombre de ple serait strictementngatif, ce qui est impossible.

Finalement Rn 0.Tout ceci tant tabli nous allons pouvoir montrer que finalement Fn nest pas indpendant

de H. En effet on le lemme suivant :

Lemme 4.15. Si n 1 et Rn 0, alors Fn HFn2 o Fn2 est un polynme en lesmoments homogne de degr n 2.

Remarquons qua priori Fn et Fn2 nont pas de lien direct sinon dtre des polynmeshomognes de degr n et n 2 respectivement.

Dmonstration. On note Fn2 n2k0

akpn2k1 p

k2. Calculons le terme Fn2H dans ce cas, puis

observons dans quel cas il est gale Fn.

HFn2 2

`p21 ` p22

n2k0

akpnk1 p

k2

2

n2k0

akpnk1 p

k2 `

nk2

ak2pnk1 pk2

2

a0p

n1 ` a1p1n1p2 `

n2k2pak ` ak2qp1nkpk2 ` an3p1pn12 ` an2pn2

.

Quitte changer ak en

2ak

6, on en dduit que Fn HFn2 si :$&%

a0 b0a1 b1

ak ` ak2 bk pour 2 k n 2an3 bn1an2 bn

.

Cest un systme surdtermin. Et lon peut montrer quil admet des solutions si et seule-ment si

b0 b2 ` b4 0, et b1 b3 ` b5 0.Ce qui correspond exactement la condition que Rn 0. Do le rsultat.

6. Rappelons que nest pas nulle

31

On conclut alors par rcurrence pour dmontrer le thorme de Kolokoltsov. En effet,

supposons que lon ai Fn nk0

bkpq1, q2qpnk1 pk2 une intgrale premire du systme qui soit unpolynme homogne de degr n en les moments.

Si n 0, alors F0 est une constante. En effet, tF0, Hu Bb0Bq1 p1`Bb0Bq2 p2 0. Cette relation

tant vraie pour tout p1, p2 on en deduit queBb0Bq1

Bb0Bq2 0. Donc que b0 est une constante,

et finalement que F0 est une constante. Si n 1, alors R1 tant nulle et gale b0` ib1 on endduit quen fait F1 0.

Puis par rcurrence, on en dduit que si n est impair alors Fn est nul. Si n est pair alorsFn est proportionnel Hn{2.

Ce qui conclut la dmonstration.

En fait, il existe un rsultat encore plus fort que celui-ci. Ce thorme carte une classeencore plus grande de fonction pour tre candidate tre une intgrale premire indpendantede H.

Thorme 4.16 (Kozlov). Si M est de genre strictement plus grande que 1, alors le flotgodsique nadmet pas dintgrale premire indpendante de H qui soit une fonction relleanalytique.

Pour une dmonstration de ce rsultat on pourra consulter [6].

Rfrences

[1] Kozlov & Neishtadt Arnold. Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics.Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 2006.

[2] Vladimir Arnold. Mthodes Mathmatiques de la Mcanique Classique. Mir, 1976.[3] Michle Audin. Les systmes hamiltoniens et leurs intgrabilit. SMF, EDP Sciences,

2001.[4] A.T. Fomenko B.A. Dubrovin, S.P. Novikov. Modern Geometry. Methods and applications.

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Introduction.Prliminaires.Rappels de gomtrie symplectique.Le cas d'un espace vectoriel symplectiqueLe cas gnral d'une varit symplectique.

Rappels de Mcanique Hamiltonienne.

Le thorme d'Arnold Liouville.Systmes intgrablesPremire partie du thorme d'Arnold LiouvilleSeconde partie du thorme d'Arnold Liouville.

Flots Godsiques IntgrablesRappel sur les godsiquesPrincipe de la transforme de LegendreFlots godsiques intgrables.Un exemple de flot godsique intgrable : Les surfaces de rvolution.Le Thorme de Kolokol'tsov