• Réseau : • Ensemble de points (nœuds) de positions :

Ruvw = u a +v b + w c (a, b, c) vecteurs de base, (u, v, w) entiers.

• Maille : • Volume qui pave l’espace sans vide ni recouvrement, en gal parallélépipédique (a,b,c)

• Maille primitive (un nœud), multiple (symétrie) : élémentaire (unit cell)

• Mailles conventionnelles :

Symétrie de position : Ordre périodique

P : primitif F : Faces centrées I : Corps centré A,B,C : Face centrée

a

b

c a

b

g

• Seules les rotations d’ordre 1, 2, 3, 4, 6 sont compatibles avec la périodicité

• Tout axe de symétrie An est orthogonal à un plan réticulaire

• Symétrie d’un plan orthogonal à l’axe An

• BB’ vecteur du réseau • BB’=T-2Tcosa =mT

cosa =p/2

Symétrie ponctuelles dans les réseaux

An

a=2p /n

T

A2 A’2

a=p a=p

T

An

B B’

A’n

a -a

T

An(T) A-n(-T) p cos a a n=2p/a BB'

-2 -1 p 2 3T

-1 -0.5 2p/3 3 2T

0 0 p/2 4 T

1 0.5 p/3 6 0

2 1 0 1 0

• Pavage du plan • Sans vide ni recouvrement • Découvert par Kepler (1571-1630) en 1619 : « Harmonices Mundi »

2 3

4 6

Seules symétries compatibles avec la translation : 1, 2, 3, 4, 6

5 8

Vers un pavage de Penrose

1

Réseaux 2D

Oblique : p Rectangulaire : p Rectangulaire : c Carré : p Hexagonal : p

•À 2D • 4 systèmes (systèmes) • 5 modes de réseau

•À 3D • Empilement de réseaux 2D respectant la symétrie (Ex. carré)

P I

Les réseaux de Bravais Triclinique

a b c

a b g

Monoclinique

a b c a = g = 90°; b

Orthorhombique

a b c a = b = g = 90°

Tétragonal

a = b c a = b = g = 90°

Rhomboédrique

a = b = c a = b = g

Hexagonal

a = b c a=b=90°;g =120°

Cubique

a = b = c a = b = g =90°

P I F C

b

1

2/m

2/mmm

4/mmm

3m

6/mmm

m3m

_

_

_

• À 3D • 7 systèmes (symétrie) • 14 modes de réseau

• Les systèmes de Bravais

32 classes de symétrie

d’orientation

m3 43m m3m

3 4 6=3/m 2=m 1

32 422 622 222

_ _ _ _ _

3 4 6 2 1

4/m 6/m 2/m

3m 4mm 6mm 2mm

3m 42m (4m2) _ _ _

62m (6m2) _ _

4/ mmm 6/ mmm mmm

432 23

_ _ _

Triclinique

Mon

ocliniqu

e

Ort

hor

hom

bique

Trigo

nal

Tétr

ago

nal

Hexago

nal

Cub

ique

• Groupes ponctuels cristallographiques

• Les 7 systèmes cristallins

• Classe holoèdre : ayant la symétrie du réseau

Ex : Tétragonal (4/mmm)

... hémièdres, tétartoèdres

Groupes chiraux (sym. Directes) Groupes centro (classes de Laue) Groupes impropres (sym ind.–inv)

Maille de Wigner-Seitz

• Ensemble des points plus proches de l’origine que de n’importe quel autre point

• Maille primitive, ayant la symétrie ponctuelle du réseau • Dans l’espace réciproque : Zone de Brillouin

Maille conventionnelle

Maille de W-S

Relations entre les 7 systèmes

Hexagonal

Trigonal

Cubique

Tétragonal

Orthorhombique

Monoclinique

Triclinique

• Relations groupe/sous-groupe

• Brisure de symétrie

• Transitions de phases du 2e ordre

4 2 L

L

L

L+e

6 3 L

L

L

L-e

Symétrie de position : groupe d’espace

• Mauritz Cornelis Escher • Graveur néerlandais

(1898-1972)

.

Groupe P4

Nouvelles symétries

Réflexions

Réflexions avec glissement

Réflexions avec glissement

Groupe P4gm

Opérations de symétrie non-symorphiques

T

T/2

M

21 41 42 61 64

• Réflexion avec glissement (M,t) • Après deux opérations M, périodicité T • t=T/2

• Translations hélicoïdales (AN, t) • Après N translations t on retrouve la périodicité : mc • t = mc/N

• Combinaison (O, t) O : Rotation, Réflexion rotatoire

T : translation

• Notation : a, b, c, n, d, g

• Notation : Nm

(AN, mc/N)

Opération de symétrie de position

• Rotations • Réflexions rotatoires

•Translations hélicoïdales

• Réflexion • Réflexions avec glissement

Groupes d’espace

• 230 groupes d’espace

• 7 systèmes cristallins

• Notations • Directions primaire secondaire et tertiaires

• Mode de réseau • Éléments générateurs

• Groupe ponctuel du cristal • Sans translation

I41/amd

4 m m m

Tétragonal corps centré

Unité asymétrique

http://escher.epfl.ch/escher/

Symétrie

• Symétries de position

• Translations • T= u a + v b + w c

• Symétries autorisées

• 1, 2, 3, 4, 6 ( 3, 4, 6) • M, C

• 14 réseaux de Bravais

32 Classes de symétrie d’orientation

• 7 systèmes cristallins

• Translations • Rotations

• Réflexions rotatoires

+ • Translations hélicoïdales • Réflexion avec glissement

230 Groupes d’espace

( 7 systèmes )

• Symétries d’orientation

• Rotations • Réflexions rotatoires

• Conventionnellement

• Rotations (An) • Réflexions (M) • L’inversion (C)

• Inversions rotatoires (An)

Groupes ponctuels

• 7 Groupes limites de Curie

_

_ _ _