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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux

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Une figure F quelconque présente une certaine symétrie s'il existe une ou plusieurs opérations qui, appliquées aux éléments de la figure, la transforme en une figure F' indiscernable de F.

Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpération de

symétrie

Translation

Opération de symétrie effectuée par translation d’un vecteur

T

Ce vecteur doit être une combinaison linéaire des vecteurs de base du réseau pour vérifier la condition d’invariance

Dans un réseau cristallin, les translations ne sont des opérations de symétrie que si le réseau est infini

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpération de

symétrie

Rotation

L’axe de symétrie d’ordre n est noté Cn. Après n rotations autour de Cn, on retrouve la situation initiale.

Opération de symétrie effectuée par rotation d'un angle de =2/n autour d'un axe de symétrie défini par un vecteur

u

n est toujours un nombre entier, c'est l'ordre de l'axe

),u(R

La rotation est notée :

=2/n

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpération de

symétrieRotation

1000cossin0sincos

R

La matrice associée à la rotation R(u,) s’écrit dans un repère orthonormé :

Le réseau cristallin doit être invariant par toute opération de symétrie

N’importe quel vecteur de ce réseau est transformé en un autre vecteur du réseau

wvu

1000cossin0sincos

'w'v'u

Avec u, v, w, u’, v’, w’ nombres entiers

La trace, Tr(R()) doit être un nombre entier

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpération de

symétrieRotationTr(R())=1+2cos=m, avec m entier

1000cossin0sincos

R

-1<cos<1 -1<m<3

Les valeurs de compatibles avecle réseau cristallin doivent satisfaire la relation 1+2cos=m, avec m entier

5 possibilités différentes apparaissent :

Symbole

Ordre : n

m=3

cos=+1

= 0, 2…

Identité

Axe

m=2

= ± 2/6

cos=+1/2

6 Sénaire

C6

m=1

= ± 2/4

cos=0 4 Quaternaire

C4

m=0

= ± 2/3

cos=-1/2 3 Ternaire

C3

m=-1

= ± 2/2

cos=-1 2 Binaire

C2

Notation

Les seuls axes de symétrie compatibles avec le réseau cristallin sont les axes d’ordre 2, 3, 4 et 6

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpération de

symétrie

L’inversion I transforme un vecteur en son opposé. Seul le centre d’inversion est invariant.

Inversion

u)u(I

P

P

u

u

L’objet final est l’image dans un miroir de l’objet initial

On dit que ces deux objets sont énantiomorphes

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpération de

symétrie Produits d’opérations élémentaires

Inversion rotatoire : produit d’une rotation et d’une inversion

),u(RI).,u(R),u(R.I L’inversion rotatoire R correspond à une rotation de 2/n suivie d'une inversion dans un centre situé sur l'axe de rotation.

Ce produit est commutatifLes objets finaux et initiaux sont énantiomorphes

=2/n

On note cette opération de symétrie par les symboles 2, 3, 4, 6 selon l’ordre de la rotation

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpération de

symétrie Produits d’opérations élémentairesLe miroir : produit d’une rotation d’ordre 2 et d’une

inversion

Le produit d’une rotation d’ordre 2 par une inversion dont le centre est situé sur l’axe de rotation est une symétrie par rapport à un plan. On parle de plan miroir

Ce produit est commutatif

Plan miroir

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpération de

symétrie Produits d’opérations élémentairesAxe hélicoïdal : produit d’une rotation et d’une

translation parallèle à l’axe de rotation

=2/n

T

Le produit d’une rotation d’ordre quelconque n par une translation dont le vecteur est co-linéaire à l’axe de rotation est un « axe hélicöidal » (ou un « vissage »)

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpération de

symétrieCatégories d'opérations de symétrie - Congruence - ChiralitéOpérations de première

espèce:Une opération de symétrie est dite de première espèce si la position relative des points de la figure ne change pas lorsque entre l’objet initial est l’objet transformé par l’opération de symétrie considérée

Seules, la rotation et la translation sont des opérations de première espèce

Toute autre opération est dite de seconde espèce

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Figures énantiomorphes :

Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpération de

symétrieCatégories d'opérations de symétrie - Congruence - Chiralité

Figure non superposables par une opération de première espèce

Chiralité :

Absence d’axe d’inversion

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpérations de symétrie, éléments de symétrie et

réprésentation

Les différentes opérations de symétries d’un cristal sont représentées à l’aide de la projection stéréographique de ses éléments de symétrie

On appelle « élément de symétrie » l’ensemble des éléments invariants (points, droites ou plans) lors d’une opération de symétrie

Quelques exemples

Rotation d’ordre 2

Projection stéréographi

que2

=2/3

Rotation d’ordre 3

Projection stéréographi

que3

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Plan miroir

Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpérations de symétrie, éléments de symétrie et

réprésentationQuelques exemples

Projection stéréographi

que

m

Association d’opérations de symétrie

Projection stéréographi

que

3m

Le plan miroir contient l’axe de rotation

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes ponctuels

cristallographiques

Un ensemble G d'éléments X, Y, Z, … est un groupe si et seulement si :

Structure de groupe, rappels

Groupe de symétrie : lorsqu'une figure possède un ou plusieurs éléments de symétrie, les opérations de symétrie forment un groupe au sens mathématique

On peut le doter d'une loi de composition interne associative qui au couple ordonné (X,Y) fait correspondre un autre élément de G, appelé produit et noté X.Y

Si le produit est commutatif, le groupe est dit abélien

G contient un élément neutre I tel que X G, I.X=X=X.I

A tout élément X de G on peut associer son inverse X-1 tel que X.X-

1=I=X-1.X

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes ponctuels

cristallographiques Structure de groupe, rappels

Quelques exemples

Groupe {I, C2} I : identité ; C2 : rotation d’ordre 2 (d’angle

)Groupes cycliques

Groupe {A, A.A=A2 , A3 …, An = I}

On note que l’ensemble des rotations d’ordre n autour d’un axe donné constituent un groupe cyclique

Groupe {A, A2 , A3 …, An , An =B2=I, B.A=An-

1.B}

Groupes diédraux Dn

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes ponctuels

cristallographiquesTous les éléments de symétrie d'une figure finie se coupent au moins en un point

Les groupes ponctuels cristallographiques sont ceux qui sont compatibles avec la symétrie du réseau cristallin

On distingue 2 types de groupes ponctuels :

On parle de groupe ponctuel

Les groupes propres : ne contiennent que des rotations (déterminants des matrices égaux à +1)

Les groupes impropres : contiennent que des rotations (déterminants des matrices égaux à +1) et des inversions rotatoires (déterminants des matrices égaux à –1)

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes ponctuels

cristallographiquesThéorèmes:

1 - Si un axe d'ordre pair est perpendiculaire à un plan de symétrie, l'intersection est un centre

2 - Si une figure n'a qu'un axe de symétrie, tout plan de symétrie doit contenir l'axe ou lui être perpendiculaire

3 - Lorsqu'un axe d'ordre X est dans un plan de symétrie, il existe X plans de symétrie formant entre eux des angles de /X ( et réciproquement)4 - S'il n'existe qu'un seul axe d'ordre supérieur à 2, tout axe d'ordre 2 doit nécessairement lui être perpendiculaire

5 - Si un axe d'ordre 2 est perpendiculaire à un axe d'ordre X, il existe X axes d'ordre 2 formant entre eux des angles /X, dans un plan perpendiculaire à l'axe d'ordre X

6 - Il n'existe que peu de manières d'assembler en un groupe ponctuel, plusieurs axes d'ordre supérieur à 2. Les seules associations possibles sont 23, 432, 532.

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11 groupes impropres contenant l'inversion

Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes ponctuels

cristallographiquesLors du dénombrement des groupes ponctuels cristallographiques on a trouvé :11 groupes

propres

Groupes propres

Notation

Schönfies

NotationHermann-Mauguin

Groupes impropres contenant l’inversion

Notation

Schönfies

C2 2 C2h 2/m

C4 4 C4h 4/mC6 6 C6h 6/m

D2 222

D2h mmm

D4 422 D4h 4/mmmD6 62

2D6h 6/

mmmT 23

Th m3O 43

2Oh m3

m

C1 1 Ci 1

C3 3 C3

i

3

D3 32

D3d 3m

NotationHermann-Mauguin

Gi=Gp+I.G

pLe produit de l’inversion par un axe C2n fait apparaître un miroir normal à l’axe de symétrie

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes ponctuels

cristallographiques

32 groupes ponctuels cristallographiques

10 groupes impropres ne contenant pas l'inversion

Groupes impropres ne contenant l’inversion

Notation

Schönfies

NotationHermann-Mauguin

C2v mm2C3v 3mD4v 4mm

C6v 6mm

S1 2 = m

S3 6

D2d 42m

S4 4

Td 43m

D3h 62m

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Chacun des 32 groupes ponctuels cristallographiques forme une classe cristalline

Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxClasses, systèmes et réseaux

cristallins

Il importe de ne pas confondre la classe de symétrie d'un cristal, liée à la nature de son réseau, avec la symétrie éventuelle des objets qui constituent le motif.

Chacun des 7 systèmes est caractérisé par une métrique particulière qui correspond à la symétrie du réseau.

Parmi les 32 groupes ponctuels cristallographiques, il en existe 7 qui sont associés à un système cristallin.

Les groupes ponctuels cristallographiques étant connus, les groupes ponctuels de réseau sont des groupes ponctuels munis de propriétés particulières (inversion, translation).

Classes cristallines

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxClasses, systèmes et réseaux

cristallins

Système Groupe Eléments Métrique

Triclinique 1 1 centrea bc

/2

Monoclinique 2/m1

direction binaire

a bc/2, /2

Orthorhombique mmm3

directions binaires

a bc/2

Trigonal 3m1 direction

ternairea =b=c

/2

Quadratique 4/mmm1 direction quaternair

e

a =b c/2

Hexagonal 6/mmm1

direction sénaire

a =b c/2,/3

Cubique m3m4

directions ternaires

a =b = c/2

Classes cristallines

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxClasses, systèmes et réseaux

cristallins

Triclinique 1, 1

Monoclinique 2, m, 2/m

Orthorhombique 222, mm2, mmm

Trigonal 3, 3, 32, 3m, 3m

Quadratique 4, 4, 4/m, 4mm, 422, 42m, 4/mmm

Hexagonal 6, 6, 6/m, 6mm, 622, 62m, 6/mmm

Cubique 23, m3, 432, 43m, m3m

Classement des groupes ponctuels en systèmes cristallins

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxClasses, systèmes et réseaux

cristallins Holoédries et mériédries

Triclinique 1, 1

Monoclinique 2, m, 2/m

Orthorhombique 222, mm2, mmm

Trigonal 3, 3, 32, 3m, 3m

Quadratique 4, 4, 4/m, 4mm, 422, 42m, 4/mmm

Hexagonal 6, 6, 6/m, 6mm, 622, 62m, 6/mmm

Cubique 23, m3, 432, 43m, m3m

Les 7 classes ayant le même groupe que le réseau de leur système sont dites classes holoédres

Les autres classes qui ont donc une symétrie inférieure à celle du réseau sont dites classes mériédres

Si la mériédrie est un sous-groupe d’ordre 2 de l’holohédrie, c’est une hémiédrie.

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxClasses, systèmes et réseaux

cristallins Classes de Laue

Parmi les différentes classes cristallines certaines ne diffèrent les unes des autres que par la présence ou l’absence de l’inversion. On peut regrouper ces classes cristallines ensemble. On obtient alors les classes de Laue.

1, 1

2, m, 2/m

222, mm2, mmm

3, 3

4, 4, 4/m

622, 62m, 62m , 6/mmm

23, m3

32, 3m, 3m

6, 6, 6/m

4mm, 422, 42m, 4/mmm

432, 43m, m3m

On dénombre 11 classes de ce type

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxClasses, systèmes et réseaux

cristallins Réseaux de BravaisL'ensemble des opérations de symétrie de translation forme un groupe.

L'ensemble des points (nœuds) forme le réseau, avec ses rangées, plans, mailles …Les réseaux tridimensionnels peuvent être construits en juxtaposant des parallélépipèdes pour lesquels il n'existe que 7 symétries différentes (les systèmes cristallins)

On démontre que les symétries des 7 parallélépipèdes sont réalisées par 14 modes de réseau : les 14 réseaux de Bravais.

7 de ces modes sont bien décrits par les mailles primitives ( mode P)

Pour les 7 autres, c'est une maille multiple qui présente toute la symétrie du réseau.

Mode F: toutes les faces sont centrées (maille quadruple)

Mode I: un nœud au centre de la maille (maille double)Ces mailles multiples sont de 3 sortes:

Mode C (ou A, ou B): 2 faces opposées sont centrées (maille double)

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxClasses, systèmes et réseaux

cristallins Réseaux de Bravais

On peut voir, notamment, qu'une maille ayant deux faces centrées est obligatoirement du mode F.

De même, une maille qui serait à la fois I et C peut toujours être ramenée à une maille C conventionnelle.

Système triclinique : un seul mode P.

Système monoclinique : deux modes: P et C

On convient de choisir b parallèlement à l'axe binaire du prismeAlors le mode B (nœuds au centre des faces obliques) n'offre pas plus de symétrie que le mode PLes modes I et F se réduisent au mode C par un choix judicieux des axes

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxClasses, systèmes et réseaux

cristallins Réseaux de Bravais

Système orthorhombique : quatre modes: P, I, C et F

Les mailles multiples ont plus de symétrie que la maille primitive.

Système hexagonal : un seul mode: P

On utilise quelquefois une maille triple, hexagonale (choix des axes)

Système rhomboédrique : un seul mode: P

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxClasses, systèmes et réseaux

cristallins Réseaux de Bravais

C n'a pas plus de symétrie que P et F pas plus que I. A ou B ne sont pas quadratiques

Système quadratique : deux modes : P et I

Système cubique : trois modes : P, F et I

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes

d’espace

maillemotif réseauUnité

asymétrique

Unité asymétriqu

emotif

Figure périodique

infinie

Translations du réseau

Opérateurs du groupe

ponctuel

L’opération la plus générale qui, dans un cristal, permet de passer d’un point quelconque à un autre point équivalent peut être décrite comme le produit d’une opération de symétrie ponctuelle R par une translation T On appelle groupe d’espace du cristal, l’ensemble GE = {(R, T)} des opérations de symétrie qui transforment un point quelconque du cristal en un point équivalent

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maille

motif réseau

Unité asymétriqu

e

A un point de l'unité asymétrique correspond un certain nombre de points équivalents dans le motif, et une infinité dans la figure périodique.

Les points équivalents du motif dérivent du premier point par l'application des opérations de symétrie du groupe ponctuel. Le nombre de points équivalents dans le motif est la multiplicité, caractéristique du groupe d'espace.

La multiplicité est la plus grande lorsque le point occupe une position générale, en dehors des éléments de symétrie. S'il est en position spéciale, sur un élément de symétrie, la multiplicité est plus faible.

Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes

d’espace

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes

d’espace Axes hélicoïdaux et miroirs de glissement

=2/n

T

Axes hélicoïdaux des groupes d’espaces

T=[R].t

T doit être une translation du réseau

nt=kc

Translation élémentaire caractéristique du cristal

Axe binaire :n=2 k = 0

ou 1k=0 axe binaire normal

2

k=1 axe binaire hélicoïdal 21

Notation

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Axes ternaires :

n=3 k = 0, 1 ou 2

k=0 axe ternaire normal

3

k=1 ou 2 axes ternaires hélicoïdaux

31, 32

Notation

Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes

d’espace Axes hélicoïdaux et miroirs de glissement

Axes quaternaires : n=4 k = 0, 1, 2 ou 3

k=0 axe quaternaire normal 4

k=1, 2 ou 3 axes quaternaires hélicoïdaux

41, 42, 43

Axes sénaires :

n=6 k = 0, 1, 2, 3, 4 ou 5

k=0 axe sénaire normal

6

k=1, 2, 3, 4 ou 5 axes sénaires hélicoïdaux

61, 62, 63 64, 65

Axes hélicoïdaux des groupes d’espaces

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes

d’espace Axes hélicoïdaux et miroirs de glissement

Miroir parallèle à un plan particulier et translation t parallèle à une rangée cristallographique dont la périodicité est d

Les plans de glissement avec t = a/2, b/2, c/2 sont notés a, b ou c, respectivement

t = p/2 d

Pour que la périodicité du réseau soit maintenue, on doit avoir 2 t = p d avec p entier, soit

Avec p entier, on peut avoir t = 0, d/2, d, 3/2 d, … et seules les deux premières sont distinctes. Or t = 0 correspond au plan miroir, donc seule t = ½ d est possible.

Les plans de glissement oblique avec t=(a+b)/2, (a+c)/2, (b+c)/2 ou (a+b+c)/2 sont notés nDans une maille multiple, t peut être un autre vecteur de réseau, on notera d.

Exemple: t=(a+b+c)/4 appelé miroir diamant

Miroirs de glissement

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Symboles internationaux de Hermann - Maugin

On fait précéder le nom du groupe ponctuel d’une lettre majuscule qui indique le type de réseau: (P, A, B, C, I, F, R)

Symbole dans la classe cristalline

Symboles dans le groupe d’espace

2 2, 21

3 3, 31, 32

4 4, 41, 42, 43

6 6, 61, 62, 63, 64, 65

m m, a, b, c, n, d

Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes

d’espace

Dans la notation du groupe ponctuel, on remplace éventuellement les symboles 2, 3, 4, 6 et m par les symboles correspondant aux opérations de symétrie translatoire dans le groupe d’espace considéré:

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On compte 230 groupes d’espace – Tables internationales de cristallographie

Ils se répartissent ainsi dans les différents systèmes

Système triclinique 2Système

tétragonal68

Système monoclinique

13Système

hexagonal27

Système orthorhombique

59 Système cubique 36

Système rhomboédrique

25

Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes

d’espace

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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes

d’espace

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Ensemble des structures cristallines

230 groupes d’espace (symétries de position)

14 modes de Bravais 32 classes cristallines

mériédries holoédries

7 mailles de Bravais 7 systèmes cristallins

Réseaux Symétries d’orientation

Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes

d’espaceClassements des structures selon la cristallographie géométrique