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Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiaux
Une figure F quelconque présente une certaine symétrie s'il existe une ou plusieurs opérations qui, appliquées aux éléments de la figure, la transforme en une figure F' indiscernable de F.
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpération de
symétrie
Translation
Opération de symétrie effectuée par translation d’un vecteur
T
Ce vecteur doit être une combinaison linéaire des vecteurs de base du réseau pour vérifier la condition d’invariance
Dans un réseau cristallin, les translations ne sont des opérations de symétrie que si le réseau est infini
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpération de
symétrie
Rotation
L’axe de symétrie d’ordre n est noté Cn. Après n rotations autour de Cn, on retrouve la situation initiale.
Opération de symétrie effectuée par rotation d'un angle de =2/n autour d'un axe de symétrie défini par un vecteur
u
n est toujours un nombre entier, c'est l'ordre de l'axe
),u(R
La rotation est notée :
=2/n
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpération de
symétrieRotation
1000cossin0sincos
R
La matrice associée à la rotation R(u,) s’écrit dans un repère orthonormé :
Le réseau cristallin doit être invariant par toute opération de symétrie
N’importe quel vecteur de ce réseau est transformé en un autre vecteur du réseau
wvu
1000cossin0sincos
'w'v'u
Avec u, v, w, u’, v’, w’ nombres entiers
La trace, Tr(R()) doit être un nombre entier
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpération de
symétrieRotationTr(R())=1+2cos=m, avec m entier
1000cossin0sincos
R
-1<cos<1 -1<m<3
Les valeurs de compatibles avecle réseau cristallin doivent satisfaire la relation 1+2cos=m, avec m entier
5 possibilités différentes apparaissent :
Symbole
Ordre : n
m=3
cos=+1
= 0, 2…
Identité
Axe
m=2
= ± 2/6
cos=+1/2
6 Sénaire
C6
m=1
= ± 2/4
cos=0 4 Quaternaire
C4
m=0
= ± 2/3
cos=-1/2 3 Ternaire
C3
m=-1
= ± 2/2
cos=-1 2 Binaire
C2
Notation
Les seuls axes de symétrie compatibles avec le réseau cristallin sont les axes d’ordre 2, 3, 4 et 6
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpération de
symétrie
L’inversion I transforme un vecteur en son opposé. Seul le centre d’inversion est invariant.
Inversion
u)u(I
P
P
u
u
L’objet final est l’image dans un miroir de l’objet initial
On dit que ces deux objets sont énantiomorphes
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpération de
symétrie Produits d’opérations élémentaires
Inversion rotatoire : produit d’une rotation et d’une inversion
),u(RI).,u(R),u(R.I L’inversion rotatoire R correspond à une rotation de 2/n suivie d'une inversion dans un centre situé sur l'axe de rotation.
Ce produit est commutatifLes objets finaux et initiaux sont énantiomorphes
=2/n
On note cette opération de symétrie par les symboles 2, 3, 4, 6 selon l’ordre de la rotation
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpération de
symétrie Produits d’opérations élémentairesLe miroir : produit d’une rotation d’ordre 2 et d’une
inversion
Le produit d’une rotation d’ordre 2 par une inversion dont le centre est situé sur l’axe de rotation est une symétrie par rapport à un plan. On parle de plan miroir
Ce produit est commutatif
Plan miroir
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpération de
symétrie Produits d’opérations élémentairesAxe hélicoïdal : produit d’une rotation et d’une
translation parallèle à l’axe de rotation
=2/n
T
Le produit d’une rotation d’ordre quelconque n par une translation dont le vecteur est co-linéaire à l’axe de rotation est un « axe hélicöidal » (ou un « vissage »)
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpération de
symétrieCatégories d'opérations de symétrie - Congruence - ChiralitéOpérations de première
espèce:Une opération de symétrie est dite de première espèce si la position relative des points de la figure ne change pas lorsque entre l’objet initial est l’objet transformé par l’opération de symétrie considérée
Seules, la rotation et la translation sont des opérations de première espèce
Toute autre opération est dite de seconde espèce
Figures énantiomorphes :
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpération de
symétrieCatégories d'opérations de symétrie - Congruence - Chiralité
Figure non superposables par une opération de première espèce
Chiralité :
Absence d’axe d’inversion
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpérations de symétrie, éléments de symétrie et
réprésentation
Les différentes opérations de symétries d’un cristal sont représentées à l’aide de la projection stéréographique de ses éléments de symétrie
On appelle « élément de symétrie » l’ensemble des éléments invariants (points, droites ou plans) lors d’une opération de symétrie
Quelques exemples
Rotation d’ordre 2
Projection stéréographi
que2
=2/3
Rotation d’ordre 3
Projection stéréographi
que3
Plan miroir
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxOpérations de symétrie, éléments de symétrie et
réprésentationQuelques exemples
Projection stéréographi
que
m
Association d’opérations de symétrie
Projection stéréographi
que
3m
Le plan miroir contient l’axe de rotation
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes ponctuels
cristallographiques
Un ensemble G d'éléments X, Y, Z, … est un groupe si et seulement si :
Structure de groupe, rappels
Groupe de symétrie : lorsqu'une figure possède un ou plusieurs éléments de symétrie, les opérations de symétrie forment un groupe au sens mathématique
On peut le doter d'une loi de composition interne associative qui au couple ordonné (X,Y) fait correspondre un autre élément de G, appelé produit et noté X.Y
Si le produit est commutatif, le groupe est dit abélien
G contient un élément neutre I tel que X G, I.X=X=X.I
A tout élément X de G on peut associer son inverse X-1 tel que X.X-
1=I=X-1.X
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes ponctuels
cristallographiques Structure de groupe, rappels
Quelques exemples
Groupe {I, C2} I : identité ; C2 : rotation d’ordre 2 (d’angle
)Groupes cycliques
Groupe {A, A.A=A2 , A3 …, An = I}
On note que l’ensemble des rotations d’ordre n autour d’un axe donné constituent un groupe cyclique
Groupe {A, A2 , A3 …, An , An =B2=I, B.A=An-
1.B}
Groupes diédraux Dn
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes ponctuels
cristallographiquesTous les éléments de symétrie d'une figure finie se coupent au moins en un point
Les groupes ponctuels cristallographiques sont ceux qui sont compatibles avec la symétrie du réseau cristallin
On distingue 2 types de groupes ponctuels :
On parle de groupe ponctuel
Les groupes propres : ne contiennent que des rotations (déterminants des matrices égaux à +1)
Les groupes impropres : contiennent que des rotations (déterminants des matrices égaux à +1) et des inversions rotatoires (déterminants des matrices égaux à –1)
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes ponctuels
cristallographiquesThéorèmes:
1 - Si un axe d'ordre pair est perpendiculaire à un plan de symétrie, l'intersection est un centre
2 - Si une figure n'a qu'un axe de symétrie, tout plan de symétrie doit contenir l'axe ou lui être perpendiculaire
3 - Lorsqu'un axe d'ordre X est dans un plan de symétrie, il existe X plans de symétrie formant entre eux des angles de /X ( et réciproquement)4 - S'il n'existe qu'un seul axe d'ordre supérieur à 2, tout axe d'ordre 2 doit nécessairement lui être perpendiculaire
5 - Si un axe d'ordre 2 est perpendiculaire à un axe d'ordre X, il existe X axes d'ordre 2 formant entre eux des angles /X, dans un plan perpendiculaire à l'axe d'ordre X
6 - Il n'existe que peu de manières d'assembler en un groupe ponctuel, plusieurs axes d'ordre supérieur à 2. Les seules associations possibles sont 23, 432, 532.
11 groupes impropres contenant l'inversion
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes ponctuels
cristallographiquesLors du dénombrement des groupes ponctuels cristallographiques on a trouvé :11 groupes
propres
Groupes propres
Notation
Schönfies
NotationHermann-Mauguin
Groupes impropres contenant l’inversion
Notation
Schönfies
C2 2 C2h 2/m
C4 4 C4h 4/mC6 6 C6h 6/m
D2 222
D2h mmm
D4 422 D4h 4/mmmD6 62
2D6h 6/
mmmT 23
Th m3O 43
2Oh m3
m
C1 1 Ci 1
C3 3 C3
i
3
D3 32
D3d 3m
NotationHermann-Mauguin
Gi=Gp+I.G
pLe produit de l’inversion par un axe C2n fait apparaître un miroir normal à l’axe de symétrie
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes ponctuels
cristallographiques
32 groupes ponctuels cristallographiques
10 groupes impropres ne contenant pas l'inversion
Groupes impropres ne contenant l’inversion
Notation
Schönfies
NotationHermann-Mauguin
C2v mm2C3v 3mD4v 4mm
C6v 6mm
S1 2 = m
S3 6
D2d 42m
S4 4
Td 43m
D3h 62m
Chacun des 32 groupes ponctuels cristallographiques forme une classe cristalline
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxClasses, systèmes et réseaux
cristallins
Il importe de ne pas confondre la classe de symétrie d'un cristal, liée à la nature de son réseau, avec la symétrie éventuelle des objets qui constituent le motif.
Chacun des 7 systèmes est caractérisé par une métrique particulière qui correspond à la symétrie du réseau.
Parmi les 32 groupes ponctuels cristallographiques, il en existe 7 qui sont associés à un système cristallin.
Les groupes ponctuels cristallographiques étant connus, les groupes ponctuels de réseau sont des groupes ponctuels munis de propriétés particulières (inversion, translation).
Classes cristallines
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxClasses, systèmes et réseaux
cristallins
Système Groupe Eléments Métrique
Triclinique 1 1 centrea bc
/2
Monoclinique 2/m1
direction binaire
a bc/2, /2
Orthorhombique mmm3
directions binaires
a bc/2
Trigonal 3m1 direction
ternairea =b=c
/2
Quadratique 4/mmm1 direction quaternair
e
a =b c/2
Hexagonal 6/mmm1
direction sénaire
a =b c/2,/3
Cubique m3m4
directions ternaires
a =b = c/2
Classes cristallines
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxClasses, systèmes et réseaux
cristallins
Triclinique 1, 1
Monoclinique 2, m, 2/m
Orthorhombique 222, mm2, mmm
Trigonal 3, 3, 32, 3m, 3m
Quadratique 4, 4, 4/m, 4mm, 422, 42m, 4/mmm
Hexagonal 6, 6, 6/m, 6mm, 622, 62m, 6/mmm
Cubique 23, m3, 432, 43m, m3m
Classement des groupes ponctuels en systèmes cristallins
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxClasses, systèmes et réseaux
cristallins Holoédries et mériédries
Triclinique 1, 1
Monoclinique 2, m, 2/m
Orthorhombique 222, mm2, mmm
Trigonal 3, 3, 32, 3m, 3m
Quadratique 4, 4, 4/m, 4mm, 422, 42m, 4/mmm
Hexagonal 6, 6, 6/m, 6mm, 622, 62m, 6/mmm
Cubique 23, m3, 432, 43m, m3m
Les 7 classes ayant le même groupe que le réseau de leur système sont dites classes holoédres
Les autres classes qui ont donc une symétrie inférieure à celle du réseau sont dites classes mériédres
Si la mériédrie est un sous-groupe d’ordre 2 de l’holohédrie, c’est une hémiédrie.
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxClasses, systèmes et réseaux
cristallins Classes de Laue
Parmi les différentes classes cristallines certaines ne diffèrent les unes des autres que par la présence ou l’absence de l’inversion. On peut regrouper ces classes cristallines ensemble. On obtient alors les classes de Laue.
1, 1
2, m, 2/m
222, mm2, mmm
3, 3
4, 4, 4/m
622, 62m, 62m , 6/mmm
23, m3
32, 3m, 3m
6, 6, 6/m
4mm, 422, 42m, 4/mmm
432, 43m, m3m
On dénombre 11 classes de ce type
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxClasses, systèmes et réseaux
cristallins Réseaux de BravaisL'ensemble des opérations de symétrie de translation forme un groupe.
L'ensemble des points (nœuds) forme le réseau, avec ses rangées, plans, mailles …Les réseaux tridimensionnels peuvent être construits en juxtaposant des parallélépipèdes pour lesquels il n'existe que 7 symétries différentes (les systèmes cristallins)
On démontre que les symétries des 7 parallélépipèdes sont réalisées par 14 modes de réseau : les 14 réseaux de Bravais.
7 de ces modes sont bien décrits par les mailles primitives ( mode P)
Pour les 7 autres, c'est une maille multiple qui présente toute la symétrie du réseau.
Mode F: toutes les faces sont centrées (maille quadruple)
Mode I: un nœud au centre de la maille (maille double)Ces mailles multiples sont de 3 sortes:
Mode C (ou A, ou B): 2 faces opposées sont centrées (maille double)
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxClasses, systèmes et réseaux
cristallins Réseaux de Bravais
On peut voir, notamment, qu'une maille ayant deux faces centrées est obligatoirement du mode F.
De même, une maille qui serait à la fois I et C peut toujours être ramenée à une maille C conventionnelle.
Système triclinique : un seul mode P.
Système monoclinique : deux modes: P et C
On convient de choisir b parallèlement à l'axe binaire du prismeAlors le mode B (nœuds au centre des faces obliques) n'offre pas plus de symétrie que le mode PLes modes I et F se réduisent au mode C par un choix judicieux des axes
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxClasses, systèmes et réseaux
cristallins Réseaux de Bravais
Système orthorhombique : quatre modes: P, I, C et F
Les mailles multiples ont plus de symétrie que la maille primitive.
Système hexagonal : un seul mode: P
On utilise quelquefois une maille triple, hexagonale (choix des axes)
Système rhomboédrique : un seul mode: P
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxClasses, systèmes et réseaux
cristallins Réseaux de Bravais
C n'a pas plus de symétrie que P et F pas plus que I. A ou B ne sont pas quadratiques
Système quadratique : deux modes : P et I
Système cubique : trois modes : P, F et I
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes
d’espace
maillemotif réseauUnité
asymétrique
Unité asymétriqu
emotif
Figure périodique
infinie
Translations du réseau
Opérateurs du groupe
ponctuel
L’opération la plus générale qui, dans un cristal, permet de passer d’un point quelconque à un autre point équivalent peut être décrite comme le produit d’une opération de symétrie ponctuelle R par une translation T On appelle groupe d’espace du cristal, l’ensemble GE = {(R, T)} des opérations de symétrie qui transforment un point quelconque du cristal en un point équivalent
maille
motif réseau
Unité asymétriqu
e
A un point de l'unité asymétrique correspond un certain nombre de points équivalents dans le motif, et une infinité dans la figure périodique.
Les points équivalents du motif dérivent du premier point par l'application des opérations de symétrie du groupe ponctuel. Le nombre de points équivalents dans le motif est la multiplicité, caractéristique du groupe d'espace.
La multiplicité est la plus grande lorsque le point occupe une position générale, en dehors des éléments de symétrie. S'il est en position spéciale, sur un élément de symétrie, la multiplicité est plus faible.
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes
d’espace
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes
d’espace Axes hélicoïdaux et miroirs de glissement
=2/n
T
Axes hélicoïdaux des groupes d’espaces
T=[R].t
T doit être une translation du réseau
nt=kc
Translation élémentaire caractéristique du cristal
Axe binaire :n=2 k = 0
ou 1k=0 axe binaire normal
2
k=1 axe binaire hélicoïdal 21
Notation
Axes ternaires :
n=3 k = 0, 1 ou 2
k=0 axe ternaire normal
3
k=1 ou 2 axes ternaires hélicoïdaux
31, 32
Notation
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes
d’espace Axes hélicoïdaux et miroirs de glissement
Axes quaternaires : n=4 k = 0, 1, 2 ou 3
k=0 axe quaternaire normal 4
k=1, 2 ou 3 axes quaternaires hélicoïdaux
41, 42, 43
Axes sénaires :
n=6 k = 0, 1, 2, 3, 4 ou 5
k=0 axe sénaire normal
6
k=1, 2, 3, 4 ou 5 axes sénaires hélicoïdaux
61, 62, 63 64, 65
Axes hélicoïdaux des groupes d’espaces
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes
d’espace Axes hélicoïdaux et miroirs de glissement
Miroir parallèle à un plan particulier et translation t parallèle à une rangée cristallographique dont la périodicité est d
Les plans de glissement avec t = a/2, b/2, c/2 sont notés a, b ou c, respectivement
t = p/2 d
Pour que la périodicité du réseau soit maintenue, on doit avoir 2 t = p d avec p entier, soit
Avec p entier, on peut avoir t = 0, d/2, d, 3/2 d, … et seules les deux premières sont distinctes. Or t = 0 correspond au plan miroir, donc seule t = ½ d est possible.
Les plans de glissement oblique avec t=(a+b)/2, (a+c)/2, (b+c)/2 ou (a+b+c)/2 sont notés nDans une maille multiple, t peut être un autre vecteur de réseau, on notera d.
Exemple: t=(a+b+c)/4 appelé miroir diamant
Miroirs de glissement
Symboles internationaux de Hermann - Maugin
On fait précéder le nom du groupe ponctuel d’une lettre majuscule qui indique le type de réseau: (P, A, B, C, I, F, R)
Symbole dans la classe cristalline
Symboles dans le groupe d’espace
2 2, 21
3 3, 31, 32
4 4, 41, 42, 43
6 6, 61, 62, 63, 64, 65
m m, a, b, c, n, d
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes
d’espace
Dans la notation du groupe ponctuel, on remplace éventuellement les symboles 2, 3, 4, 6 et m par les symboles correspondant aux opérations de symétrie translatoire dans le groupe d’espace considéré:
On compte 230 groupes d’espace – Tables internationales de cristallographie
Ils se répartissent ainsi dans les différents systèmes
Système triclinique 2Système
tétragonal68
Système monoclinique
13Système
hexagonal27
Système orthorhombique
59 Système cubique 36
Système rhomboédrique
25
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes
d’espace
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes
d’espace
Ensemble des structures cristallines
230 groupes d’espace (symétries de position)
14 modes de Bravais 32 classes cristallines
mériédries holoédries
7 mailles de Bravais 7 systèmes cristallins
Réseaux Symétries d’orientation
Symétrie, groupes ponctuels et groupes spatiauxGroupes
d’espaceClassements des structures selon la cristallographie géométrique