Surfaces en gomtrie riemannienne et discrte,

estimateurs gomtriques, modles dformables discrets

Jacques-Olivier Lachaud1

1Laboratoire de Mathmatiques - UMR CNRS - Universit de Savoie

Runion prparation ANR neige

J.-O. Lachaud (LAMA) 3 dcembre 2009 1 / 30

Plan

1 Surfaces dformables en gomtries riemanienne

2 Surfaces discrtes : gomtrie et surfaces singulires

3 Modles dformables discrets

J.-O. Lachaud (LAMA) 3 dcembre 2009 2 / 30

Plan

1 Surfaces dformables en gomtries riemanienne

2 Surfaces discrtes : gomtrie et surfaces singulires

3 Modles dformables discrets

J.-O. Lachaud (LAMA) 3 dcembre 2009 3 / 30

Problme du suivi d'interface

Problmatique

Simuler l'volution d'une surface ou interface soumise des forces. Celle-cidoit adapter sa topologie ses volutions gomtriques.

Applications

segmentation et reconstruction d'images 3D (modles dformables).

simulation de uides, d'interfaces entre deux milieux (mthodeslevel-set).

J.-O. Lachaud (LAMA) 3 dcembre 2009 4 / 30

Deux grandes approches

Lagrangienne Interface reprsente explicitement

[Kass et. al. 87, Terzopoulos et. al. 88, Cohen 91, Delingette 94, L.

Montanvert 99, Bredno et. al. 03, Duan Qin 04, Pons Boissonnat 07, Abhau

Scherzer 08, . . . ]

Eulrienne Interface reprsente implicitement

> 0 < 0

< 0

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6

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y

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}

~

[Caselles et. al. 93, Malladi et. al. 94, Caselles et. al. 97, Yezzi 97, Tek Kimia

97, Strain 99, Xu et. al. 00, Chan Vese 01, Fedkiw et. al. 03, Segonne 08, . . . ]

Futur ? SIGGRAPH 09 : mlange explicite / implicite : retriangulationmarching cubes

J.-O. Lachaud (LAMA) 3 dcembre 2009 5 / 30

Modles dformables : complexit

Cot de reprsentation des modles dformables

densit de paramtres rsolution souhaite (e.g. image 3D)

Image I , de taille Nd . Forme C d'aire |C |. Pas h. P = |C |hd1

.

catgorie explicite (snakes, etc.) implicite (level-sets)

nb de variables P (Nd1) Nddplacement P Nd [Osher Sethian88]

K1P [Adalsteinson95]

K2P logP [Strain99]changementde topologie

Nd (T-snake, [McIT95,97]) naturel

P (2D, maille simplexe [DM99])P logP (2-3D -snake [LM99])

P logP (2-4D simpliciale [BLS03])

En rsum au mieux (Nd1) au mieux (Nd1)

J.-O. Lachaud (LAMA) 3 dcembre 2009 6 / 30

Modle dformable riemannien : principe

Problmatique

Rduire le nombre de variables, diminuer le nombre d'itrations.

Ide directrice

concentrer l'eort de calcul au voisinage des zones d'intrt

adapter la densit des variables selon la position dans l'image

utiliser la gomtrie riemannienne, qui peut dformer l'espace

(euclidien)

itrations . . .

densit de variables uniforme dans l'espace euclidien

J.-O. Lachaud (LAMA) 3 dcembre 2009 7 / 30

Modle dformable riemannien : principe

Problmatique

Rduire le nombre de variables, diminuer le nombre d'itrations.

Ide directrice

concentrer l'eort de calcul au voisinage des zones d'intrt

adapter la densit des variables selon la position dans l'image

utiliser la gomtrie riemannienne, qui peut dformer l'espace

(riemannien)

itrations . . .

densit de variables uniforme dans l'espace riemannien

densit de variables

adaptative dans l'espace euclidienJ.-O. Lachaud (LAMA) 3 dcembre 2009 7 / 30

Gomtrie riemannienne : dformer l'espace

Norme/produit scalaire variable en tout point de l'espace Rn

dsE =

v1

v2

1

1

1

2

dsR =

euclidien riemannien au point x

ds2 = (dx1 dxn) T (dx1 dxn) (dx1 dxn) G (x) T (dx1 dxn)

o la matrice G , symtrique, dnie positive, dpend de l'origine x dudplacement, de valeurs/vecteurs propres (i , vi ).

application x 7 G (x) appele mtriquelongueur chemin : LR() =

t1

t0

T(t) G ((t)) (t) dt

distance de u v dR(u, v) : plus court chemin riemannien

J.-O. Lachaud (LAMA) 3 dcembre 2009 8 / 30

Gomtrie riemannienne : dformer l'espace

Norme/produit scalaire variable en tout point de l'espace Rn

dsE =

v1

v2

1

1

1

2

dsR =

euclidien riemannien au point x

ds2 = (dx1 dxn) T (dx1 dxn) (dx1 dxn) G (x) T (dx1 dxn)

o la matrice G , symtrique, dnie positive, dpend de l'origine x dudplacement, de valeurs/vecteurs propres (i , vi ).

Dnition de la mtrique G

En tout point de l'image, choix de- n directions orthogonales v1,. . . ,vn- n coecients de dilatation 1,. . . ,n

J.-O. Lachaud (LAMA) 3 dcembre 2009 8 / 30

MD sensible une mtrique

Modle dformable initial [Lachaud Montanvert 99]

Adaptation de topologie base distance euclidienne dEsommets contrainte si non-satisfaite

(u, v) voisins dE (u, v)

(u, v) non-voisins dE (u, v)

Substitution de dE par une mesure riemannienne dR

I sur-estimer distances autour des zones d'intrt densit plus grandeI sous-estimer distances partout ailleurs densit plus faible

J.-O. Lachaud (LAMA) 3 dcembre 2009 9 / 30

Mtrique riemannienne adapte l'image

Construction automatique de la mtrique

Approche contour : structures pertinentes autour contours forts

contour en x mtrique en xintensit scourbures 1, 2directions n, t1, t2

1 s22 1213 221

v1 = nv2 = t1v3 = t2

G (x)

t1t2

n

t1

t2

n

t1

t2

n

t1t2

n

faible densit

J.-O. Lachaud (LAMA) 3 dcembre 2009 10 / 30

Estimation de la gomtrie de l'image

x, calculer gradient sn et courbures 1t1 et 2t2 de l'isophote passant parx sur l'image I .

classiquement ltres drivatifs [Monga et. al. 95, Rieger et. al. 02]diagonalisation tenseur de structure [Kass Witkin 87]Q, : v 7 g (v (g I ))2 vecteurs / valeurs propresQ, : v 7 Tv J, v (w1,w2,w3)/(1, 2, 3)

Theorem (Courbures par diagonalisation)

contour idal de tenseur J, alors

I directions principales (n, t1, t2) = vecteurs propres

I intensit s, courbures principales 1 et 21 = s

2 2 = 2s21

2 3 = 2s22

2

Estimateur robuste au bruit, aussi prcis sinonJ.-O. Lachaud (LAMA) 3 dcembre 2009 11 / 30

Exprimentations

Rduction du nombre de sommets et du nombre d'itrations

Initialisation Itration 100 Itration 200

J.-O. Lachaud (LAMA) 3 dcembre 2009 12 / 30

Inuence de la rsolution

Mme image, chantillonne des frquences croissantes.

1010

3030

100100

400400

0

50

100

150

200

250

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Nombre de sommets sur la maille

NbSommets(rsolution)

J.-O. Lachaud (LAMA) 3 dcembre 2009 13 / 30

Comparaison avec l'approche multi-rsolution

approche classique (densit uniforme, rsolution ne) : 10,14s, 458sommets

it. 100 it. 200 it. 300 it. 400 it. 900

approche multi-rsolution (densit uniforme, rsolution progressive) :9,23s, 392 sommets

approche riemannienne (densit adaptative) : 1,73s, 150 sommets

J.-O. Lachaud (LAMA) 3 dcembre 2009 14 / 30

Comparaison avec l'approche multi-rsolution

approche classique (densit uniforme, rsolution ne) : 10,14s, 458sommets

approche multi-rsolution (densit uniforme, rsolution progressive) :9,23s, 392 sommets

8 8 16 16 32 32 64 64 128 128it. 310 it. +810 it. +760 it. +1020 it. +5100,08s 0,40s 0,87s 3,10s 4,78s

approche riemannienne (densit adaptative) : 1,73s, 150 sommets

J.-O. Lachaud (LAMA) 3 dcembre 2009 14 / 30

Comparaison avec l'approche multi-rsolution

approche classique (densit uniforme, rsolution ne) : 10,14s, 458sommets

approche multi-rsolution (densit uniforme, rsolution progressive) :9,23s, 392 sommets

approche riemannienne (densit adaptative) : 1,73s, 150 sommets

it. 25 it. 50 it. 75 it. 100 it. 280

J.-O. Lachaud (LAMA) 3 dcembre 2009 14 / 30

Evaluation sur scanner

Uniforme n Adaptatif

J.-O. Lachaud (LAMA) 3 dcembre 2009 15 / 30

Evaluation sur scanner

Vue infrieure de lamchoire

Vue latrale de l'oreille

Uniforme Adaptatif

Sommets 142.340 15.936

Itrations 900 500

Temps de calcul 3h22min 22min (+3min 49s)

J.-O. Lachaud (LAMA) 3 dcembre 2009 16 / 30

Discussion

modle hautement dformable densit adaptative : 10 moins desommets, 5 moins d'itrations, entre 3 10 fois + rapidecomplexit dpendante de la gomtrie de l'image

nouvel estimateur de courbure(s) image : robuste, prcis,comparativement rapide

[Medical Image Analysis 1999]

Thse de Benjamin Taton [2004]

[Computer Vision Image Understanding 2005]

[ECCV02,3DIM03,ICPR04]

J.-O. Lachaud (LAMA) 3 dcembre 2009 17 / 30

Plan

1 Surfaces dformables en gomtries