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押し掛け文献紹介 @ 名古屋大学 2013 1 25 Supersymmetric Domain Walls Eric A. Bergshoeff, Axel Kleinschmidt, and Fabio Riccioni Phys. Rev. D86 (2012) 085043 (arXiv:1206.5697) 木村 哲士 (立教大学)

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押し掛け文献紹介 @ 名古屋大学 2013年1月25日

Supersymmetric Domain Walls

Eric A. Bergshoeff, Axel Kleinschmidt, and Fabio Riccioni

Phys. Rev. D86 (2012) 085043 (arXiv:1206.5697)

木村 哲士 (立教大学)

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Contents

はじめに

分析1

SUSY Domain Walls と Wess-Zumino 項

分析2

変形された極大超重力理論

Embedding Tensor Formalism

まとめ

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登場人物紹介

p-branes : D次元時空に存在する、空間方向に p次元広がった物体'

&

$

%

p ≤ D − 4 : standard branes

p = D − 3 : defect branes

p = D − 2 : Domain Walls

張力は Tp ∼ (gs)+α で特徴付けられる (ls = 1)'

&

$

%

α = 0 : fundamental

α = −1 : Dirichlet

α = −2 : solitonic

Sp-brane = Tp

∫(時空を這う部分の体積) + (時空上の場とbrane上の場の結合)

Dirac-Born-Infeld type Wess-Zumino type

SUSY Domain Walls - 3 -

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良く知っている例:D = 10 IIA/IIB 型超弦理論

D = 10 p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8 p = 9

α = 0 F1IIA/IIB

α = −1 D0IIA D1IIB D2IIA D3IIB D4IIA D5IIB D6IIA (D7)IIB (D8)IIA (D9)IIB

α = −2 NS5IIA/IIB

SUSY Domain Walls - 4 -

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良く知っている例:D = 10 IIA/IIB 型超弦理論

D = 10 p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8 p = 9

α = 0 F1IIA/IIB

α = −1 D0IIA D1IIB D2IIA D3IIB D4IIA D5IIB D6IIA (D7)IIB (D8)IIA (D9)IIB

α = −2 NS5IIA/IIB

p ≤ 6 については、力学的なテンソル場の sources である:

F1 ∼ B(2), NS5 ∼ B(6), Dp ∼ C(p+1) (p ≤ 3), Dp′ ∼ C(p′+1) (p′ > 4)

dB(2) = ∗10dB(6), dC(p+1) = ∗10dC(7−p) ≡ ∗10dC(p′+1)

'

&

$

%

Dp = standard branes (p ≤ 6) ∼ RR potentials C(p+1)

D7 = defect branes ∼ scalar fields (+α)

D8 = Domain Walls ∼ Romans’ mass (変形パラメータ)

D9 = spacetime-filling branes ∼ I型超弦理論へ

SUSY Domain Walls - 5 -

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動 機� �

低次元超重力理論における Domain Walls の役割は何か?

(10次元では D8-brane ∼ Romans mass だった)� �

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Motivation

極大超重力理論 = 32個(最大)の超対称生成子を持つ重力理論

重力場・グラビティーノ・ベクトルゲージ場・テンソルゲージ場・スピノル場・スカラー場

超対称性によって、スカラー場が住む空間が coset space G0/H に定まっている

D U-duality G0 R-対称性 H dim(G0/H) T-duality

11 1 1 0 1

IIA R+ 1 1 1

IIB SL(2,R) SO(2) 2 1

9 GL(2,R) SO(2) 3 SO(1, 1)

8 SL(3,R)× SL(2,R) SO(3)× SO(2) 7 SL(2,R)× SL(2,R)

7 SL(5,R) Sp(2) 14 SL(4,R)

6 SO(5, 5) Sp(2)× Sp(2) 25 SO(4, 4)

5 E6(6) USp(8) 42 SO(5, 5)

4 E7(7) SU(8) 70 SO(6, 6)

3 E8(8) SO(16) 128 SO(7, 7)

SUSY Domain Walls - 7 -

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Motivation

�Domain Walls は極大超重力理論にどのような変形をもたらすか?

• D8-brane in 10-dim.

Ramond-Ramond potential C(9) の源

∗10dC(9) = m (定数) を与え、IIA型超重力理論を変形する

→ Romans’ massive IIA SUGRA

SUSY Domain Walls - 8 -

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Motivation

�Domain Walls は極大超重力理論にどのような変形をもたらすか?

• D8-brane in 10-dim.

Ramond-Ramond potential C(9) の源

∗10dC(9) = m (定数) を与え、IIA型超重力理論を変形する

→ Romans’ massive IIA SUGRA

• (D − 2)-branes in D-dim.

各次元にいくつの SUSY Domain Walls が存在するのか?

超重力理論における Domain Walls の役割は何か?

SUSY Domain Walls - 9 -

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分 析 1� �

SUSY Domain Walls と Wess-Zumino 項

7次元理論における Domain Walls� �

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D8-brane in 10D

D8-brane 解

ds210 = H98(y) dy2 +H

18(y) ds29 計量

eϕ = H54(y) dilaton

C012···8 = ± 1

H(y), m = ±∂yH(y) RR potential (Romans mass)

“mass” m = 0 のため、RR potentials のゲージ変換が変更される'

&

$

%

δB2 = dΣ1 , δC1 = −mΣ1

→ F2 ≡ dC1 +mB2 : Stuckelberg pairing

gauging C1 B2 C3 C5 B6 C7

m eaten massive massless massless eaten massive

SUSY Domain Walls - 11 -

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D8-brane in 10D

D8-brane に関する場とゲージ変換 (D8 からの back reaction がないとして)

δC9 = dλ8 +H3 ∧ λ6 : RR tensor in bulk

δB2 = dΣ1 : NSNS tensor in bulk

δX = 0 : transverse scalar

δbµ = dΣ0 − Σ1 : D8-brane 上にのみ住む「ゲージ場」'

&

$

%この D8-brane 上には SUSY 多重項が乗っている{X, bµ;ψ} : on-shell (8boson + 8fermion) 自由度

これらを用いて、ゲージ不変でSUSY不変な相互作用項を構成する: Wess-Zumino 項

LWZ = C9 + C7 ∧ F2 + . . . =(C ∧ eF2

)9

F2 = db1 +B2 , H3 = dB2

(注意) 本当は m = 0 で具体的に記述したいが…

SUSY Domain Walls - 12 -

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D次元理論での SUSY DWs を探す

D次元理論における “Wess-Zumino” 項

LWZ ≡ (A ∧ eF)D−1

A : D次元時空を伝播するテンソル場 (超重力理論)

F : Domain Walls 上を伝播するテンソル場

A, F は共に D次元理論のU-duality G0 に対して変換する

1. どの表現に従う (A,F) の組が SUSY 多重項を持ち得るか

2. SUSY多重項が乗る Domain Walls はいくつあるか

SUSY Domain Walls - 13 -

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U-duality G0 における各 form fields の表現

D U-duality G0 1-forms 2-forms 3-forms 4-forms 5-forms 6-forms 7-forms 8-forms 9-forms 10-forms

IIA R+ 1 1 1 − 1 1 1 1 1 1⊕ 1

IIB SL(2,R) − 2 − 1 − 2 − 3 − 4⊕ 2

9 GL(2,R) 2⊕ 1 2 1 1 2 2⊕ 1 3⊕ 1 3⊕ 2 4⊕ 2⊕ 2 –

8 SL(3,R)× SL(2,R) (3,2) (3,1) (1,2) (3,1) (3,2)(8,1)⊕(1,3)

(6,2)⊕(3,2)

(15,1)⊕(3,3)⊕(3,1)⊕(3,1)

– –

7 SL(5,R) 10 5 5 10 24 40⊕ 1570⊕45⊕5

– – –

6 SO(5, 5) 16 10 16 45 144320⊕126⊕10

– – – –

5 E6(6) 27 27 78 3511728⊕27 – – – – –

4 E7(7) 56 133 9128645⊕133 – – – – – –

3 E8(8) 248 3875⊕ 1147250⊕3875⊕248

– – – – – – –

F.Riccioni, D.Steele and P.West, arXiv:0906.1177

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U-duality G0 における各 form fields の表現

D U-duality G0 1-forms 2-forms 3-forms 4-forms 5-forms 6-forms 7-forms 8-forms 9-forms 10-forms

IIA R+ 1 1 1 − 1 1 1 1 1 1⊕ 1

IIB SL(2,R) − 2 − 1 − 2 − 3 − 4⊕ 2

9 GL(2,R) 2⊕ 1 2 1 1 2 2⊕ 1 3⊕ 1 3⊕ 2 4⊕ 2⊕ 2 –

8 SL(3,R)× SL(2,R) (3,2) (3,1) (1,2) (3,1) (3,2)(8,1)⊕(1,3)

(6,2)⊕(3,2)

(15,1)⊕(3,3)⊕(3,1)⊕(3,1)

– –

7 SL(5,R) 10 5 5 10 24 40⊕ 1570⊕45⊕5

– – –

6 SO(5, 5) 16 10 16 45 144320⊕126⊕10

– – – –

5 E6(6) 27 27 78 3511728⊕27 – – – – –

4 E7(7) 56 133 9128645⊕133 – – – – – –

3 E8(8) 248 3875⊕ 1147250⊕3875⊕248

– – – – – – –

Domain walls に結合するテンソル場: (D − 1)-forms

F.Riccioni, D.Steele and P.West, arXiv:0906.1177

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U-duality G0 における各 form fields の表現

D U-duality G0 1-forms 2-forms 3-forms 4-forms 5-forms 6-forms 7-forms 8-forms 9-forms 10-forms

IIA R+ 1 1 1 − 1 1 1 1 1 1⊕ 1

IIB SL(2,R) − 2 − 1 − 2 − 3 − 4⊕ 2

9 GL(2,R) 2⊕ 1 2 1 1 2 2⊕ 1 3⊕ 1 3⊕ 2 4⊕ 2⊕ 2 –

8 SL(3,R)× SL(2,R) (3,2) (3,1) (1,2) (3,1) (3,2)(8,1)⊕(1,3)

(6,2)⊕(3,2)

(15,1)⊕(3,3)⊕(3,1)⊕(3,1)

– –

7 SL(5) 10 5 5 10 24 40⊕ 1570⊕45⊕5

– – –

6 SO(5, 5) 16 10 16 45 144320⊕126⊕10

– – – –

5 E6(6) 27 27 78 3511728⊕27 – – – – –

4 E7(7) 56 133 9128645⊕133 – – – – – –

3 E8(8) 248 3875⊕ 1147250⊕3875⊕248

– – – – – – –

7次元理論で議論しよう

F.Riccioni, D.Steele and P.West, arXiv:0906.1177

SUSY Domain Walls - 16 -

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7次元理論での SUSY DWs

7次元理論での Domain Walls = 5-branes

7Dテンソル場 A G0 = SL(5,R) の表現

A1,[MN ] 1-form 10

AM2 2-form 5

A3,M 3-form 5

A[MN ]4 4-form 10

A5,MN 5-form 24 (adjoint)

A6,(MN) ⊕A[MN ],P6 6-forms 15⊕ 40

(M,N = 1, . . . , 5 of SL(5,R))

SUSY Domain Walls - 17 -

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7次元理論での SUSY DWs

15表現:

L 15WZ ∼ A6,(MN) +A5,(M

P ∧ F1,N)P +A3,(M ∧ F3,N) + . . .

5-brane上の場:

F3,N = db2,N +A3,N 自己双対テンソル場

F1,NP = db0,NP +A1,NP スカラー場

Xy スカラー場

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7次元理論での SUSY DWs

15表現:

L 15WZ ∼ A6,(MN) +A5,(M

P ∧ F1,N)P +A3,(M ∧ F3,N) + . . .

5-brane上の場:

F3,N = db2,N +A3,N 自己双対テンソル場

F1,NP = db0,NP +A1,NP スカラー場

Xy スカラー場

SUSY Domain Walls - 19 -

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7次元理論での SUSY DWs

15表現:

L 15WZ ∼ A6,(MN) +A5,(M

P ∧ F1,N)P +A3,(M ∧ F3,N) + . . .

5-brane上の場:

F3,N = db2,N +A3,N 自己双対テンソル場

F1,NP = db0,NP +A1,NP スカラー場

Xy スカラー場

• M = N(= 1) case : SUSY多重項を持つ5-branesは5通り

b2,N=1 : 4C2/2 = 3

b0,[N=1,P ] : 1× 4 = 4

Xy : 1

←8boson + 8fermion ← 1

2-SUSY!

各 M = 1, . . . , 5 において成立

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7次元理論での SUSY DWs

15表現:

L 15WZ ∼ A6,(MN) +A5,(M

P ∧ F1,N)P +A3,(M ∧ F3,N) + . . .

5-brane上の場:

F3,N = db2,N +A3,N 自己双対テンソル場

F1,NP = db0,NP +A1,NP スカラー場

Xy スカラー場

• M = N(= 1) case : SUSY多重項を持つ5-branesは5通り

b2,N=1 : 4C2/2 = 3

b0,[N=1,P ] : 1× 4 = 4

Xy : 1

←8boson + 8fermion ← 1

2-SUSY!

各 M = 1, . . . , 5 において成立

• M = N case : SUSY多重項を持つ5-branesはない

boson 自由度の和が4の倍数にならない → SUSY 多重項を組めない

SUSY Domain Walls - 21 -

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7次元理論での SUSY DWs

15表現:

L 15WZ ∼ A6,(MN) +A5,(M

P ∧ F1,N)P +A3,(M ∧ F3,N) + . . .

5-brane上の場:

F3,N = db2,N +A3,N 自己双対テンソル場

F1,NP = db0,NP +A1,NP スカラー場

Xy スカラー場

• M = N(= 1) case : SUSY多重項を持つ5-branesは5通り

b2,N=1 : 4C2/2 = 3

b0,[N=1,P ] : 1× 4 = 4

Xy : 1

←8boson + 8fermion ← 1

2-SUSY!

各 M = 1, . . . , 5 において成立5 < 15

Elementary SUSY DWs

• M = N case : SUSY多重項を持つ5-branesはない

boson 自由度の和が4の倍数にならない → SUSY 多重項を組めない

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7次元理論での SUSY DWs

40表現:

L 40WZ ∼ A

[MN ],P6 +A5,Q

P ∧ F1,RS ϵMNQRS +A

[MN ]4 ∧ FP

2 − (· · · )[MNP ] + . . .

5-brane上の場:

FP

2 = dbP1 +AP2 ベクトル場

F1,RS = db0,RS +A1,RS スカラー場

Xy スカラー場

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7次元理論での SUSY DWs

40表現:

L 40WZ ∼ A

[MN ],P6 +A5,Q

P ∧ F1,RS ϵMNQRS +A

[MN ]4 ∧ FP

2 − (· · · )[MNP ] + . . .

5-brane上の場:

FP

2 = dbP1 +AP2 ベクトル場

F1,RS = db0,RS +A1,RS スカラー場

Xy スカラー場

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7次元理論での SUSY DWs

40表現:

L 40WZ ∼ A

[MN ],P6 +A5,Q

P ∧ F1,RS ϵMNQRS +A

[MN ]4 ∧ FP

2 − (· · · )[MNP ] + . . .

5-brane上の場:

FP

2 = dbP1 +AP2 ベクトル場

F1,RS = db0,RS +A1,RS スカラー場

Xy スカラー場

• P =M(= 1 = N) case : SUSY多重項を持つ5-branesは20通り

bP1 : 4

b0,[RS] : 1× 3 = 3

Xy : 1

←8boson + 8fermion ← 1

2-SUSY!

各 M において成立 (5C2 = 20)

• P =M = N case : SUSY多重項を持つ5-branesはない

boson 自由度の和が4の倍数にならない → SUSY 多重項を組めない

SUSY Domain Walls - 25 -

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7次元理論での SUSY DWs

40表現:

L 40WZ ∼ A

[MN ],P6 +A5,Q

P ∧ F1,RS ϵMNQRS +A

[MN ]4 ∧ FP

2 − (· · · )[MNP ] + . . .

5-brane上の場:

FP

2 = dbP1 +AP2 ベクトル場

F1,RS = db0,RS +A1,RS スカラー場

Xy スカラー場

• P =M(= 1 = N) case : SUSY多重項を持つ5-branesは20通り

bP1 : 4

b0,[RS] : 1× 3 = 3

Xy : 1

←8boson + 8fermion ← 1

2-SUSY!

各 M において成立 (5C2 = 20)

• P =M = N case : SUSY多重項を持つ5-branesはない

boson 自由度の和が4の倍数にならない → SUSY 多重項を組めない

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7次元理論での SUSY DWs

40表現:

L 40WZ ∼ A

[MN ],P6 +A5,Q

P ∧ F1,RS ϵMNQRS +A

[MN ]4 ∧ FP

2 − (· · · )[MNP ] + . . .

5-brane上の場:

FP

2 = dbP1 +AP2 ベクトル場

F1,RS = db0,RS +A1,RS スカラー場

Xy スカラー場

• P =M(= 1 = N) case : SUSY多重項を持つ5-branesは20通り

bP1 : 4

b0,[RS] : 1× 3 = 3

Xy : 1

←8boson + 8fermion ← 1

2-SUSY!

各 M において成立 (5C2 = 20)20 < 40

Elementary SUSY DWs

• P =M = N case : SUSY多重項を持つ5-branesはない

boson 自由度の和が4の倍数にならない → SUSY 多重項を組めない

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Elementary SUSY DWs の数

fundamental Dirichlet solitonic (brane’s tension) ∼ (gs)+α

D U T # of EDWs α = 0 α = −1 α = −2 α = −3 α = −4 α = −5

IIA R+ 1 1 1

9 GL(2,R) SO(1, 1) 2 ⊂ 3U 1 – 1

8SL(3,R)×SL(2,R)

SL(2,R)×SL(2,R) 6 ⊂ (6,2)U (1,2)T – 4 ⊂ (3,2)T

7 SL(5,R) SL(4,R)20 ⊂ 40U 4T 4 ⊂ 10T 12 ⊂ 20T

5 ⊂ 15U 4 ⊂ 10T – 1T

6 SO(5, 5) SO(4, 4) 80 ⊂ 144U 8S|T 32 ⊂ 56C|T 32 ⊂ 56S|T 8C|T

5 E6(6) SO(5, 5) 216 ⊂ 351U 16T 80 ⊂ 120T 80 ⊂ 144T 40 ⊂ 45T

4 E7(7) SO(6, 6) 576 ⊂ 912U 32T 160 ⊂ 220T 192 ⊂ 352T 160 ⊂ 220T 32T

3 E8(8) SO(7, 7) 2160 ⊂ 3875U

1T 64T 280 ⊂ 364T 448 ⊂ 832T560 ⊂ 1001T

14 ⊂ 104T448 ⊂ 832T

(α ≤ −6) 280 ⊂ 364T,−6 64T,−7 1T,−8

D = 3, 4, 6 の時のみ S-dual branes あり α′ = −α− 4(D − 1)

D − 2D = 3, 4, 6 の時のみ S-dual branes あり

by D-dim. S-duality (g′µν)S = e−8ϕ/(D−2)(gµν)S((gs)

α

∫dD−2x [NG(gµν)] = (gs)

α′∫

dD−2x [NG(g′µν)]

)

SUSY Domain Walls - 28 -

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String theory origin of Domain Walls in D-dim.

fundamental Dirichlet solitonic α′ = −α− 4(D − 1)

D − 2via S-duality

D α = 0 α = −1 α = −2 α = −3 α = −4 α = −5 α = −6 α = −7 α = −8

IIA C9 [D8]

9 C8 [D7] E9,1,1 [7(0,1)3 ]

8 C7 [D6] E9,2,1 [6(1,1)3 ]

7 C6 [D5]

D6 [NS5]

D7,1 [KK5]

D8,2 [522]

E9,3,1 [5(2,1)3 ] F9,3 [534]

6 C5 [D4] E9,4,1 [4(3,1)3 ] F9,4,1 [4

(3,1)4 ]

5 C4 [D3] E9,5,1 [3(4,1)3 ] F9,5,2 [3

(3,2)4 ]

4 C3 [D2] E9,6,1 [2(5,1)3 ] F9,6,3 [2

(3,3)4 ]

G9,6,2m

G9,6,2m+1

3 B2 [F1] C2 [D1] E9,7,1 [1(6,1)3 ]

F9,7,4 [1(3,4)4 ]

F9,7,1,1 [1(6,0,1)4 ]

G9,7,2m,1

G9,7,2m+1,1H9,7,4+n,n (S3(C2)) (S3(B2))

AD−T,I1+I2,I2-forms : “mixed-symmetry tensors” ↔ p(I1,I2)α -branes

T + p+∑

i Ii = D − 1 with T = 1 : transverse, p : spatial, Ii : isometry directions

E.A. Bergshoeff et al, arXiv:1108.5067, arXiv:1210.1422

SUSY Domain Walls - 29 -

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Elementary SUSY DWs の縮退度

Z(a) : a-form central charge

D R-対称性 H Z(1) Z(2) # of EDWs 縮退度

9 SO(2) 1 2 2

8 SO(3)× SO(2) (1,2) 6 3

7 Sp(2) 5+ 1 20 + 5 4(V), 5(T)

6 Sp(2)× Sp(2) (4,4) 80 5

5 USp(8) 36 216 6

4 SU(8) 36+ + 36− 576 8

3 SO(16) 135 2160 16

# of EDWs =

{(10−D) + 1} · (# of Z(2)) 5 ≤ D ≤ 9

8 D = 4

16 D = 3

(注意) standard branes と central charges とは「1対1」対応

SUSY Domain Walls - 30 -

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Elementary SUSY DWs ではないもの

D # of (D − 1)-forms # of EDWs # of non-EDWs

9 3⊕ 2 2 + 0 1 + 2

8 (6,2)⊕ (3,2) 6 + 0 6 + 6

7 40⊕ 15 20 + 5 20 + 10

6 144 80 64

5 351 216 135

4 912 576 336

3 3875⊕ 1 2160 + 0 1715 + 1

Elementary SUSY DWs (EDWs) と結合しない (D − 1)-forms は、

EDWs の束縛状態な (D − 2)-branes と結合する(詳細省略)#

"

!複数の EDWs が同じ 1

2-SUSY 条件の時 → threshold bound states of EDWs

複数の EDWs が異なる 12-SUSY 条件の時 → non-threshold bound states of EDWs

SUSY Domain Walls - 31 -

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分 析 2� �

変形(ゲージ化)された極大超重力理論

Embedding Tensor Formalism� �

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極大超重力理論

極大超重力理論� �重力場・グラビティーノ・ベクトルゲージ場・テンソルゲージ場・スピノル場・スカラー場� �超対称性によって、スカラー場が住む空間が coset space G0/H に定まっている

D U-duality G0 R-対称性 H dim(G0/H) T-duality

11 1 1 0 1

IIA R+ 1 1 1

IIB SL(2,R) SO(2) 2 1

9 GL(2,R) SO(2) 3 SO(1, 1)

8 SL(3,R)× SL(2,R) SO(3)× SO(2) 7 SL(2,R)× SL(2,R)

7 SL(5,R) Sp(2) 14 SL(4,R)

6 SO(5, 5) Sp(2)× Sp(2) 25 SO(4, 4)

5 E6(6) USp(8) 42 SO(5, 5)

4 E7(7) SU(8) 70 SO(6, 6)

3 E8(8) SO(16) 128 SO(7, 7)

ゲージ場はスカラー場やスピノル場と結合していない

SUSY Domain Walls - 33 -

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Embedding tensor formalism

ゲージ化:embedding tensor ΘMα を導入して、共変微分化

TM ≡ ΘMα tα

tα ∈ LieG0 global

TM ∈ LieG local

∂µ −→ Dµ ≡ ∂µ − gAMµ TM

SUSY Domain Walls - 34 -

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Embedding tensor formalism

ゲージ化:embedding tensor ΘMα を導入して、共変微分化

TM ≡ ΘMα tα

tα ∈ LieG0 global

TM ∈ LieG local

∂µ −→ Dµ ≡ ∂µ − gAMµ TM

[TM , TN ] = −TMNP TP , TMN

P ≡ ΘMα(tα)N

P

[Dµ,Dν] ≡ −gFMµν TM

FMµν ≡ ∂µA

Mν − ∂νAM

µ + gT[NP ]M AN

µ APν

ゲージ群 : 0 = fαβγ ΘM

αΘNβ + (tα)N

PΘMαΘP

γ

SUSY Domain Walls - 35 -

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Embedding tensor formalism

T(MN)PΘP

α = 0

[TM , TN ] = −TMNPTP でも T(MN)

P = 0 である必要はない

δFMµν = 2D[µδA

Mν] − 2g T(PQ)

M AP[µδA

Qν]

ゲージ変換 δAMµ = DµΛ

M に対して共変ではない

tensor gauge fields B(NP )µν を導入して共変化→ “Stuckelberg pairing”

HMµν ≡ FM

µν + g T(NP )MB(NP )

µν

SUSY Domain Walls - 36 -

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Embedding tensor formalism

超対称性 : ΘMα の自由度 dimG× dimG0 に制限が課される(Dµ = ∂µ − gAM

µ ΘMα tα

)添字 M は極大超重力理論にあるゲージ場の数 ← G0 のある表現に属す

SUSY Domain Walls - 37 -

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Embedding tensor formalism

超対称性 : ΘMα の自由度 dimG× dimG0 に制限が課される(Dµ = ∂µ − gAM

µ ΘMα tα

)添字 M は極大超重力理論にあるゲージ場の数 ← G0 のある表現に属す

D U-duality G0 constraints on R(M)⊗R(α)

9 GL(2,R) (2⊕ 1)⊗ (3⊕ 1) = ��1⊕ 2 ⊕ ��2⊕ 3 ⊕ ��4

8 SL(3,R)⊗ SL(2,R) (3, 2)⊗ [(1, 3)⊕ (8, 1)] = (3, 2) ⊕�����(3, 2)⊕

�����(3, 4)⊕ (6, 2) ⊕ ������(15, 2)

7 SL(5,R) 10⊗ 24 = ���10⊕ 15 ⊕ 40 ⊕ ����175

6 SO(5, 5) 16⊗ 45 = ���16⊕ 144 ⊕ ����560

5 E6(6) 27⊗ 78 = ���27⊕ 351 ⊕ �����1728

4 E7(7) 56⊗ 133 = ���56⊕ 912 ⊕ �����6480

3 E8(8) 248⊗ 248 = 1 ⊕ ����248⊕ 3875 ⊕ ������27000⊕ ������30380

F.Riccioni, D.Steele and P.West, arXiv:0906.1177

SUSY Domain Walls - 38 -

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ΘMα は D次元理論の(D − 1)-form場の表現に等しい

SUSY Domain Walls - 39 -

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U-duality G0 における各 form fields の表現

D U-duality G0 1-forms 2-forms 3-forms 4-forms 5-forms 6-forms 7-forms 8-forms 9-forms 10-forms

IIA R+ 1 1 1 − 1 1 1 1 1 1⊕ 1

IIB SL(2,R) − 2 − 1 − 2 − 3 − 4⊕ 2

9 GL(2,R) 2⊕ 1 2 1 1 2 2⊕ 1 3⊕ 1 3⊕ 2 4⊕ 2⊕ 2 –

8 SL(3,R)× SL(2,R) (3,2) (3,1) (1,2) (3,1) (3,2)(8,1)⊕(1,3)

(6,2)⊕(3,2)

(15,1)⊕(3,3)⊕(3,1)⊕(3,1)

– –

7 SL(5,R) 10 5 5 10 24 40⊕ 1570⊕45⊕5

– – –

6 SO(5, 5) 16 10 16 45 144320⊕126⊕10

– – – –

5 E6(6) 27 27 78 3511728⊕27 – – – – –

4 E7(7) 56 133 9128645⊕133 – – – – – –

3 E8(8) 248 3875⊕ 1147250⊕3875⊕248

– – – – – – –

(D − 1)-forms: Embedding Tensors の表現はこれと一致

F.Riccioni, D.Steele and P.West, arXiv:0906.1177

SUSY Domain Walls - 40 -

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ΘMα は D次元理論の(D − 1)-form場の表現に等しい

(D − 1)-form場は DWs に結合する

↓↓↓Elementary SUSY DWs に相当する ΘM

α を選定して

極大超重力理論の変形の様子を理解する

SUSY Domain Walls - 41 -

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ΘMα は D次元理論の(D − 1)-form場の表現に等しい

(D − 1)-form場は DWs に結合する

↓↓↓Elementary SUSY DWs に相当する ΘM

α を選定して

極大超重力理論の変形の様子を理解する

SUSY Domain Walls - 42 -

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ゲージ化された9次元極大超重力理論

ゲージ場: A1, A1,a, A2,a, A3 (a = 1, 2 of GL(2,R))

SUSY Domain Walls - 43 -

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ゲージ化された9次元極大超重力理論

ゲージ場: A1, A1,a, A2,a, A3 (a = 1, 2 of GL(2,R))

embedding tensors:Θa in 2, Θab in 3 ; with constraints

ΘaΘbc ϵab = 0 , Θ(aΘbc) = 0

SUSY Domain Walls - 44 -

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ゲージ化された9次元極大超重力理論

ゲージ場: A1, A1,a, A2,a, A3 (a = 1, 2 of GL(2,R))

embedding tensors:Θa in 2, Θab in 3 ; with constraints

ΘaΘbc ϵab = 0 , Θ(aΘbc) = 0

Stuckelberg pairing

δA1 = dλ0 −Θaλ1,a

δA1,a = dλ0,a − ϵabΘbcλ1,c

δA2,a = dλ1,a − ϵabΘbλ2

δA3 = dλ2

F2 = dA1 +ΘaA2,a

F2,a = dA1,a + ϵabΘbcA2,c

F3,a = dA2,a + ϵabΘbA3

F4 = dA3

SUSY Domain Walls - 45 -

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ゲージ化された9次元極大超重力理論

ゲージ場: A1, A1,a, A2,a, A3 (a = 1, 2 of GL(2,R))

embedding tensors:Θa in 2, Θab in 3 ; with constraints

ΘaΘbc ϵab = 0 , Θ(aΘbc) = 0

Stuckelberg pairing

δA1 = dλ0 −Θaλ1,a

δA1,a = dλ0,a − ϵabΘbcλ1,c

δA2,a = dλ1,a − ϵabΘbλ2

δA3 = dλ2

F2 = dA1 +ΘaA2,a

F2,a = dA1,a + ϵabΘbcA2,c

F3,a = dA2,a + ϵabΘbA3

F4 = dA3

Minimal Gauging を探す (Θa,Θab による最小の変形)

Gauging A1 A1,a=1 A1,a=2 A2,a=1 A2,a=2 A3

Θ1 = 1,Θ2 = 0,Θab = 0 eaten massless massless massive eaten massive –

Θa = 0,Θ11 = 1,Θ22 = ±1 massive eaten eaten massive massive massless –

Θa = 0,Θ11 = 1,Θ22 = 0 massive massless eaten massive massless massless 2通り

SUSY Domain Walls - 46 -

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ゲージ化された8次元極大超重力理論

ゲージ場: A1,Ma, AM2 , A3,a (M = 1, 2, 3 of SL(3,R), a = 1, 2 of SL(2,R))

SUSY Domain Walls - 47 -

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ゲージ化された8次元極大超重力理論

ゲージ場: A1,Ma, AM2 , A3,a (M = 1, 2, 3 of SL(3,R), a = 1, 2 of SL(2,R))

Minimal gauging を与えるもの: (ΘMa in (3,2) に対応する EDWs はないので考えない)

ΘMNa = {Θ11

1,Θ112,Θ22

1,Θ222,Θ33

1,Θ332} in (6,2): 6通り

SUSY Domain Walls - 48 -

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ゲージ化された8次元極大超重力理論

ゲージ場: A1,Ma, AM2 , A3,a (M = 1, 2, 3 of SL(3,R), a = 1, 2 of SL(2,R))

Minimal gauging を与えるもの: (ΘMa in (3,2) に対応する EDWs はないので考えない)

ΘMNa = {Θ11

1,Θ112,Θ22

1,Θ222,Θ33

1,Θ332} in (6,2): 6通り

ΘMN1 に着目する (ΘMN

2 = 0)'

&

$

%

ΘMN1 = diag(1p,−1q, 0r) with p+ q + r = 3

↓CSO(p, q, r) with fMN

P = ϵMNQΘPQ

[T 1, T 2] = Θ331T 3 , [T 2, T 3] = Θ11

1T 1 , [T 3, T 1] = Θ221T 2

Minimal:Θ221 = Θ33

1 = 0 → CSO(1, 0, 2) = Heisenberg algebra

(i = 2, 3)Gauging A1,11 A1,12 A1,i1 A1,i2 A1

2 Ai2 A3,a

Θ111 = 1, others = 0 massless eaten massive massless massive massless massless (i = 2, 3)

SUSY Domain Walls - 49 -

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ゲージ化された7次元極大超重力理論

ゲージ場: A1,MN , AM2 (M = 1, 2, . . . , 5 of SL(5,R))

SUSY Domain Walls - 50 -

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ゲージ化された7次元極大超重力理論

ゲージ場: A1,MN , AM2 (M = 1, 2, . . . , 5 of SL(5,R))

embedding tensors Θ[MN ],P ≡ v[MwN ]P in 40: 20通り#

"

!wNP = diag(1p,−1q, 0r) with p+ q + r = 4

→ minimal gauging = CSO(1, 0, 3)

Gauging A1,ij A1,12 A1,1i A1,2i A12 A2

2 Ai2

Θ12,1 = 1, others = 0 massive eaten massless massless massive massless massless (i = 3, 4, 5)

embedding tensors Θ(MN) in 15: 5通り#

"

!ΘMN = diag(1p,−1q, 0r) with p+ q + r = 5

→ minimal gauging = CSO(1, 0, 4)

Gauging A1,1i A1,ij A12 Ai

2 A3,1

Θ11 = 1, others = 0 massive massless eaten massless massive (i = 2, 3, 4, 5)

SUSY Domain Walls - 51 -

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極小ゲージ化された極大超重力理論

minimal gauging される極大超重力理論は

elementary SUSY Domain Walls によって与えられる

non-minimal gauging な極大超重力理論は

(non)-threshold bound states of EDWs によって与えられる

SUSY Domain Walls - 52 -

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まとめ

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まとめ

D次元時空の Domain Walls (DWs) は不思議な物体

��� 12-SUSY 多重項を持つ DWs (EDWs) の数は、U-dualityのある表現の一部だけ

��� non-EDWs (EDWs の束縛状態)が残りの部分を補完する

��� Central charges との数勘定がズレている (ある一定のルールに従う)

EDWs は極大超重力理論を minimal gauging 変形する

Non-EDWs は極大超重力理論を non-minimal gauging 変形する

SUSY Domain Walls - 54 -

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Elementary SUSY DWs の数

D U T # of EDWs α = 0 α = −1 α = −2 α = −3 α = −4 α = −5

IIA R+ 1 1 1

9 GL(2,R) SO(1, 1) 2 ⊂ 3U 1 – 1

8SL(3,R)×SL(2,R)

SL(2,R)×SL(2,R) 6 ⊂ (6,2)U (1,2)T – 4 ⊂ (3,2)T

7 SL(5,R) SL(4,R)20 ⊂ 40U 4T 4 ⊂ 10T 12 ⊂ 20T

5 ⊂ 15U 4 ⊂ 10T – 1T

6 SO(5, 5) SO(4, 4) 80 ⊂ 144U 8S|T 32 ⊂ 56C|T 32 ⊂ 56S|T 8C|T

5 E6(6) SO(5, 5) 216 ⊂ 351U 16T 80 ⊂ 120T 80 ⊂ 144T 40 ⊂ 45T

4 E7(7) SO(6, 6) 576 ⊂ 912U 32T 160 ⊂ 220T 192 ⊂ 352T 160 ⊂ 220T 32T

3 E8(8) SO(7, 7) 2160 ⊂ 3875U

1T 64T 280 ⊂ 364T 448 ⊂ 832T560 ⊂ 1001T

14 ⊂ 104T448 ⊂ 832T

(α ≤ −6) 280 ⊂ 364T,−6 64T,−7 1T,−8

D R-対称性 H Z(1) Z(2) # of EDWs 縮退度

9 SO(2) 1 2 2

8 SO(3)× SO(2) (1,2) 6 3

7 Sp(2) 5+ 1 20 + 5 4(V), 5(T)

6 Sp(2)× Sp(2) (4,4) 80 5

5 USp(8) 36 216 6

4 SU(8) 36+ + 36− 576 8

3 SO(16) 135 2160 16

SUSY Domain Walls - 55 -

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Embedding tensor を用いてゲージ化された超重力理論

D 32-SUSY 16-SUSY 8-SUSY

9 arXiv:1105.1760 (unknown) –

8 arXiv:1203.6562 (unknown) –

7 hep-th/0506237 (unknown) –

6 arXiv:0712.4277 (unknown) arXiv:1012.1818

5 hep-th/0412173 hep-th/0702084 (unknown)

4 arXiv:0705.2101 hep-th/0602024 arXiv:1107.3305

3 hep-th/0103032 arXiv:0806.2584 arXiv:0807.2841

SUSY Domain Walls - 56 -

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おしまい

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Defect branes

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U-duality G0 における各 form fields の表現

D U-duality G0 1-forms 2-forms 3-forms 4-forms 5-forms 6-forms 7-forms 8-forms 9-forms 10-forms

IIA R+ 1 1 1 − 1 1 1 1 1 1⊕ 1

IIB SL(2,R) − 2 − 1 − 2 − 3 − 4⊕ 2

9 GL(2,R) 2⊕ 1 2 1 1 2 2⊕ 1 3⊕ 1 3⊕ 2 4⊕ 2⊕ 2 –

8 SL(3,R)× SL(2,R) (3,2) (3,1) (1,2) (3,1) (3,2)(8,1)⊕(1,3)

(6,2)⊕(3,2)

(15,1)⊕(3,3)⊕(3,1)⊕(3,1)

– –

7 SL(5,R) 10 5 5 10 24 40⊕ 1570⊕45⊕5

– – –

6 SO(5, 5) 16 10 16 45 144320⊕126⊕10

– – – –

5 E6(6) 27 27 78 3511728⊕27 – – – – –

4 E7(7) 56 133 9128645⊕133 – – – – – –

3 E8(8) 248 3875⊕ 1147250⊕3875⊕248

– – – – – – –

(D − 2)-forms: U-duality group G0 の随伴表現

F.Riccioni, D.Steele and P.West, arXiv:0906.1177

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Wess-Zumino terms for 7-branes in 10D

L WZi ∼ A8,i + F2ΓiA6 + . . .

A8,i : 8-forms in bulk

Γi : SO(2, 1) ∼ SL(2,R) ガンマ行列 (i = +,−, 3)

F2 = (db1, S(db1)) : curvatures of DBI vector and its S-dual / spinor repr. of SO(2, 1)

A6 = (B(6), C(6)) : 6-forms in bulk / spinor repr. of SO(2, 1)

• i = + もしくは i = − のとき

7-brane 上のベクトルかその S-dual を project-out できる

• i = 3 のとき

できない

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Wess-Zumino terms for defect branes in D-dim.

Defect branes ∼ (D − 2)-form potentials ∼ scalar fields

U-duality group G0 の随伴表現を、T-duality group (と R+) で分解する

d = 10−D fundamental Dirichlet solitonic

U T α = 0 α = −1 α = −2 α = −3 α = −4

D ≥ 5 Ed+1(d+1) SO(d, d) Adj|U − spinor|T (Adj+ singlet)|T conj. spinor|T −

D = 4 E7(7) SO(6, 6) Adj|U singlet|T spinor|T (Adj+ singlet)|T conj. spinor|T singlet|T

D = 3 E8(8) SO(7, 7) Adj|U vector|T spinor|T (Adj+ singlet)|T conj. spinor|T vector|T

α′ = −α− 4

by D-dim. S-duality (g′µν)S = e−8ϕ/(D−2)(gµν)S((gs)

α

∫dD−2x [NG(gµν)] = (gs)

α′∫

dD−2x [NG(g′µν)]

)

E.A. Bergshoeff et al, arXiv:1009.4657, arXiv:1102.0934, arXiv:1108.5067

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Defect branes (co-dim. 2) の場合

solitonic defect brane (α = −2) の全てが supersymmetric になるわけではない

fundamental Dirichlet solitonic (brane’s tension) ∼ (gs)+α

D # of SUSY defect branes α = 0 α = −1 α = −2 α = −3 α = −4

IIB 2 ⊂ 3 1 − 1

9 2 ⊂ 33 1 − 1

86 ⊂ (8,1) (2,1) 2 ⊂ (3,1) (2,1)

2 ⊂ (1,3) 2 ⊂ (1,3)

7 20 ⊂ 24 4 12 ⊂ 15 4

6 40 ⊂ 45 8V 24 ⊂ 28 8V

5 72 ⊂ 78 16 40 ⊂ 45 16

4 126 ⊂ 133 1 32 60 ⊂ 66 32 1

3 240 ⊂ 248 14 64 84 ⊂ 91 64 14

E.A. Bergshoeff et al, arXiv:1009.4657, arXiv:1102.0934, arXiv:1108.5067

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String theory origin of defect branes in D-dim.

fundamental Dirichlet solitonic SD-dual of (Dirichlet) SD-dual of (fundamental)

D α = 0 α = −1 α = −2 α = −3 α = −4

IIB C8 [D7] E8 = S10(C8) [73]

9 C7 [D6] E8,1 = S9(C7) [613]

8 C6 [D5]

D6 [NS5]

D7,1 [KK5 = 512]

D8,2 [522]

E8,2 = S8(C7) [523]

7 C5 [D4] E8,3 = S7(C5) [433]

6 C4 [D3] E8,4 = S6(C4) [343]

5 C3 [D2] E8,5 = S5(C3) [253]

4 B2 [F1] C2 [D1] E8,6 = S4(C2) [163] F8,6 = S4(B2) [1

64]

3 [P] C1 [D0] E8,7 = S3(C1) [073] F8,7,1 [0

(6,1)4 ]

p(I1,I2)α -brane� �

AD−T,I1+I2,I2 ↔ (T, p, I1, I2)α with T + p+∑

i Ii = D − 1

Mass(T,p,I1,I2)α = R1 · · ·Rp(Rp+1 · · ·Rp+I1)2(Rp+I1+1 · · ·Rp+I1+I2)

3(gs)α

� �

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Defect branes (co-dim. 2) の場合

D G0/H nP nD nS

IIB SL(2,R)/SO(2) 3 2 2

9 SL(2,R)/SO(2)× R+ 3 + 1 2 + 0 2 + 1

8 SL(3,R)/SO(3)× SL(2,R)/SO(2) 8 + 3 6 + 2 5 + 2

7 SL(5,R)/SO(5) 24 20 14

6 SO(5, 5)/[SO(5)× SO(5)] 45 40 24

5 E6(6)/Sp(8) 78 72 42

4 E7(7)/SU(8) 133 126 70

3 E8(8)/SO(16) 248 240 128

nP = dimG0 : # of (D − 2)-form potentials

nD = dimG0 − rankG0 : # of SUSY defect branes (rankG0 = rankT + 1)

nS = dimG0 − dimH : # of coset scalars in D-dim. maximal SUGRA

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Defect branes (co-dim. 2) の場合

Z(a) : a-form central charge

D R-対称性 H Z(0) Z(1) Z(2) Z(3) nD 縮退度

IIB SO(2) 1 2 2

9 SO(2) 1 2 2

8 SO(3)× SO(2) 3+ 1 6 + 2 2

7 Sp(2) 10 20 2

6 Sp(2)× Sp(2) (10,1)+ + (1,10)− 40 2

5 USp(8) 36 72 2

4 SU(8) 63 126 2

3 SO(16) 120 240 2

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CSO(p, q, r)

CSO(p, q, r) とは、とても粗っぽく言えば jump

CSO(p, q, 0) = SO(p, q)

CSO(p, q, 1) = ISO(p, q)

CSO(p, q, r) ⊃ SO(p, q)× U(1)r(r−1)

2 for r ≥ 2

C.M. Hull, PL 142B (1984) 39, PL 148B (1984) 297, NPB 253 (1985) 650

L. Andrianopoli et al, hep-th/0009048, etc.

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