Suites Numériques - Etude de Suites Récurrentes

7/24/2019 Suites Numriques - Etude de Suites Rcurrentes

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dit le 29 dcembre 2015 Enoncs 1

Etude de suites rcurrentes

Exercice 1 [ 02304 ][Correction]tudier la suite (un)dfinie par

u0= a Retn N, un+1= u2n


u0 Retn N, un+1 = u2n+ 1


u0 = 1etn N, un+1 =

1 +un


u0 1etn N, un+1 = 1 + ln(un)


u0 Retn N, un+1 = eun 1


u0 > 0 etn N, un+1= 12 +un

Exercice 7 [ 02309 ][Correction]Soit (un)la suite relle dfinie par

u0 = a [2 ; 2 ]etn N, un+1 =

2 un

a) Justifier que la suite (un)est bien dfinie et

n N, un [2 ; 2 ]

b) Quelles sont les limites finies possibles pour (un) ?

c) Montrer que (|un 1|)converge puis que lim |un 1| = 0. En dduire lim un.

Exercice 8 [ 02310 ][Correction]Soit a Ctel que 0 < |a| 0 et

n N, un+1= 12

un+

a

un

a) tudier la convergence de la suite (un).

b) On pose pour tout n Nvn=

un

a

un+

a

Calculervn+1en fonction de vn, puis vn en fonction de v0 et n.

c) Montrer que, si u0 >

a, on a

un a 2u0.v

2n

0

Ainsi,unralise une approximation de

a la prcision 2u0.v2n

0 n

0.

On peut alors par des calculs lmentaires, dterminer une approximation dea.

Exercice 10 [ 02313 ][Correction]On considre lquation ln x+x= 0 dinconnue x >0.

a) Montrer que lquation possde une unique solution .

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b) Former, par lalgorithme de Newton, une suite rcurrente relle (un)convergeant vers.

Exercice 11 [ 02311 ][Correction]Dterminer le terme gnral de la suite (un)dfinie par :

u0 = a > 0, u1 = b > 0 etn N, un+2un= u2n+1 quelle condition (un)converge ?

Exercice 12 [ 02301 ][Correction]Soit a R+. On dfinit une suite (un)par

u0= a etn N, un+1 = n

k=0

uk

a) Dterminer la limite de (un).b) Dterminer la limite de un+1 un.

Exercice 13 [ 00094 ][Correction]tablir

1 +

1 +

1 + = 1 + 1

1 + 1

1+

. ..

Exercice 14 [ 03229 ][Correction]

Soit (un)une suite relle vrifiantn N, un [1/2 ; 1 ]

Soit (vn)la suite dtermine par

v0= u0 etn N, vn+1= vn+un+11 +un+1vn

Montrer que la suite (vn)converge et dterminer sa limite.

Exercice 15 [ 00328 ][Correction]tudier la suite dfinie par

u0 R+ etn N, un+1 = 1 +14

u2n

Exercice 16 [ 00330 ][Correction]Soient a >0,

u1=

a, u2=

a+

a, u3=

a+

a+

a,

Montrer que (un)est convergente.

Exercice 17 [ 00331 ][Correction]Soit

f: x x3 + 1

3

et (un)la suite dfinie par

u0 Retn N, un+1= f(un)

a) Justifier que lquation f(x) = x possde trois racines relles (quonnexprimera pas).

b) tudier le signe de f(x) xainsi que la monotonie de f.c) Prciser le comportement de (un)en discutant selon la valeur de u0.

Exercice 18 [ 00332 ][Correction]

Soientf:x x

3 + 3ax

3x2 +a

(avec a >0) et (un)la suite dfinie par

u0> 0 etn N, un+1= f(un)

tudier les variations de f, le signe de f(x) xet en dduire le comportement de(un).



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Exercice 19 [ 00333 ][Correction]Soient u0 ]0;1[et pour tout n N,

un+1 = un u2nMontrer que (un)est monotone de limite nulle. Dterminer les limites des suitesdont les termes gnraux sont les suivants

nk=0

u2k etn

k=0

(1 uk)

Exercice 20 [ 00334 ][Correction]Soit f: [a ; b] [a ; b]une fonction de classeC1 telle que

x [a ; b], |f(x)|


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Exercice 27 [ 02783 ][Correction]Soit (xn)nN une suite de rels positifs. On pose, pour tout n >0,

yn=

x1+

x2+ +

xn

a) Icixn= apour tout n, o a >0. tudier la convergence de (yn).

b) Mme question dans le cas o xn= ab2n pour tout n, avec b >0.

c) Montrer que (yn)converge si, et seulement si, la suite (x2n

n )est borne.

Exercice 28 [ 03165 ][Correction]Soient (an)une suite relle positive, borne et (un)la suite rcurrente dfinie par

u0> 0 et un+1 = 1

un+an+ 1pour tout n N

Montrer que la suite (un)converge si, et seulement si, la suite (an)converge.

Exercice 29 [ 00844 ][Correction]Montrer que la suite relle (xn)dfinie par x0 [a ; b]et

n N, xn+1 = 12

(f(xn) +xn)

o fest 1-lipschitzienne de [a ; b]dans [a ; b], converge vers un point fixe de f.



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Corrections

Exercice 1 :[nonc]On a u0 = a, u1= a2, u2 = a4, par rcurrence un= a2

n

.Pour|a| 1, un +.

Exercice 2 :[nonc]La suite (un)est bien dfinie et suprieure 1 partir du rang 1 car la fonctionitratricef: x x2 + 1est dfinie sur R et valeurs dans [1 ; +[.un+1 un= u2n un+ 1 0car le discriminant de x2 x+ 1est = 3 0 alors(un)est croissante. Si (un)converge vers un rel alors = e 1donc = 0 .Or(un)est minore paru0 > 0 donc ne peut converger vers 0. Par suite (un)

diverge vers+.Siu0 < 0 alors(un)est croissante et majore par 0 donc (un)converge vers laseule limite finie possible 0.

Exercice 6 :[nonc]La suite (un)est bien dfinie et strictement positive car de fonction itratricef:x 1

2+xdfinie sur R+ et valeurs dans R

+. Si la suite (un)converge, sa

limite vrifie = 12+

et 0donc = 1 + 2.

|un+1 | =

1

2 +un 1

2 +

= |un |

(2 +un)(2 +) 1

4|un |

Par rcurrence, on montre|un | = 14n|u0 |et on conclut un .

Exercice 7 :[nonc]

a) Lapplication x 2 xest dfinie de [2 ; 2 ]vers [0;2] [2 ; 2 ].b) Supposons un . Puisquen 1, un [0;2], la limite [0;2].

La relation un+1=

2 un donne la limite =

2 donc 2 + 2 = 0do = 1 ou = 2.Or 0donc = 1 .



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c)

|un+1 1| = |un 1|1 +

2 un

|un 1|

donc(|un 1|)est dcroissante et par suite converge vers 0.Si >0 alors

1 +

2

un=

|un 1||un+1 1|

1

donc

2 un 0puis un 2. Cest impossible.Ncessairement|un 1| 0et donc un 1.

Exercice 8 :[nonc]Par rcurrence montrons unexiste et|un| 0. La relation de rcurrencedonne alors

un+2un+1

=un+1

un



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La suite (un+1/un)est constante gale u1/u0 = b/a. La suite (un)est doncgomtrique de raison b/a et finalement

un= a

b

a

n

La suite (un)converge si, et seulement si, b a.

Exercice 12 :[nonc]

a) Pour n 1:

un+1 un= n

k=0

uk n1

k=0

uk= unnk=0uk+

n1k=0uk

0

donc(un)n1 est croissante.Supposonsun R. On a u1=

a > 0

En passant la relation prcdente la limite : 0 = +

= 12

. Cest absurde.

Par suite un +.b)

un+1 un= unun+1+un

doncun+1

un 1 = 1

un+1+un 0

Par suite un+1 un et

un+1 un= 1un+1/un+ 1

12

Exercice 13 :[nonc]Posons(un)la suite dtermine par u0 = 1et pour tout n N,un+1 =

1 +un.

La suite (un)est bien dfinie et valeurs positive.Si celle-ci converge, cest vers 0vrifiant = 1 + i.e.

=1 +

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2 (nombre dOr)

On a

|un+1 | =1 +un 1 +

= |un |1 +un+

1 +

|un |2

Par rcurrence, on obtient

|un | 12n|u0 |

et donc un .Ainsi

1 +

1 + 1 + =

Posons(vn)la suite dtermine parv0 = 1et pour tout n N,vn+1 = 1 + 1vn .La suite (vn)est bien dfinie et valeurs suprieures 1.Si celle-ci converge, cest vers 1vrifiant = 1 + 1

. On retrouve =.

On a

|vn+1 | = 1vn

1

|vn ||vn| |vn |


|vn | 1n|v0 |

et donc vn car >1.Ainsi1 +

1

1 + 1

1+. ..

=

Exercice 14 :[nonc]On vrifie sans difficults que la suite (vn)est dfinie et que ses termes sontpositifs.De plus, on vrifie par rcurrence que

n N

, vn 1car

(1 un+1)(1 vn) 0 = vn+un+11 +un+1vn

1

On a alors

vn+1 vn= un+1(1 v2n)

1 +un+1vn 0

et la suite (vn)est donc croissante et majore. Par consquent celle-ci convergevers une certaine limite R.



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Dans le cas o la suite (un)est constante gale 1, on observe que = 1 .Peut-tre est-ce encore vrai dans le cas gnral? Pour le voir, tudions la suite(1 vn). On a

0 1 vn+1 = (1 un+1)(1 vn)1 +un+1vn

12

(1 vn)

donc par rcurrence0 1 vn 1

2n(1 v0)

et on en dduitvn 1

Exercice 15 :[nonc]Si(un)converge sa limite vrifie = 1 + 2/4do = 2 .

un+1 un= 14

(un 2)2 0

(un)est croissante.Siu0 > 2 alors(un)diverge vers +.Siu0 [0;2] alors on vrifie aisment que (un)est majore par 2 et on conclutun 2.

Exercice 16 :[nonc]un+1 undonc (un)est croissante. Par rcurrence montrons un a+ 1. Larelation est vraie pourn = 1 et lhrdit sobtient parun+1 =

a+un

2a+ 1 a+ 1.

Exercice 17 :

[nonc]

a) Il suffit de dresser le tableau de variation de f. On note < < ces troisracines.

b) fest croissante et x

f(x) x 0 + 0 0 +c) un un+1 = f(un) f(un+1)donc u0 f(u0) = (un)croissante.

De mme un un+1 = f(un) f(un+1)donc u0 f(u0) = (un)dcroissante.Les seules limites finies possibles pour (un)sont , ,.

Enfin siu0 (resp.,) alors pour tout n,un (resp.,) et de mmepour.Au final on peut conclure :u0 ] ; [donne (un)dcroissant vers.u0= donne (un)constante gale .u0 ] ; [donne (un)convergeant vers .u0= donne (un)constante gale .u0 ]; +[donne (un)croissant vers +.

Exercice 18 :[nonc]f(x)est du signe de 3(x2 a)2 doncfest croissante et par suite (un)estmonotone.Les racines de lquation f(x) = x sont 0,

aeta. Ce sont les seules limites

possibles pour (un).f(x) xest du signe de ax x3 = x(x a)(x+ a).Siu0 ]0 ;

a]la suite est croissante est majore par

adonc converge vers

a

Siu0 [

a ; +[la suite est dcroissante et minore paradonc converge versa.

Exercice 19 :[nonc]un+1 un= u2n 0donc (un)est dcroissante. Aisment, on montre queun ]0;1[ pour tout n Net donc on peut conclure que (un)converge. Sa limitevrifie

= 2do = 0 .

nk=0

u2k =n

k=0

uk uk+1 = u0 un+1 u0

etn

k=0

(1 uk) =n

k=0

uk+1uk

=un+1

u0 0

Exercice 20 :[nonc]

a) Soit g : [a ; b] Rdfinie parg(x) = f(x) x.gest continue, g(a) 0et g(b) 0donc g sannule en un point qui estalors point fixe de f.Si et sont deux points fixes distincts alors par application du thormedes accroissements finis, il existe c [a ; b]tel que f(c) = 1ce qui estincompatible avec les hypothses.



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b) La fonction x |f(x)|est continue sur le segment [a ; b], elle y admet doncun maximum en un point c [a ; b]et en posant k = |f(c)|on a

x [a ; b], |f(x)| kavec k [0;1[Par lingalit des accroissements finis, f est k lipschitzienne et alors parrcurrence :

n N, |un | kn

|u | 0do le rsultat.

Exercice 21 :[nonc]

un+1 un= (f(un) f(un1)) + (un un1)2

Puisque fest 1 lipschitzienne on a

|f(un) f(un1)| |un un1|doncun+1

un est du signe de un

un1,

(en fait la fonction itratrice est croissante).Par suite (un)est monotone et tant borne elle converge vers un [a ; b].La relation

un+1 =un+f(un)

2

donne la limite

= +f()

2

doncf() = .

Exercice 22 :[nonc]

a) On observe que x 4x x2 est une application de [0;4]dans lui-mme. Parsuiteun [0;4]pour tout n N. Si (un)converge alors, en posant salimite, on a = 4 2 do = 0 ou = 3 .

b) Supposons que un 0. Sil existe un rang n tel que un= 0alors la suite (un)est stationnaire gale 0. Sinon on a un> 0 pour tout n Net doncun+1 un 3un> 0. Ainsi, partir dun certain rang, la suite eststrictement croissante. De mme si un 3sans tre stationnaire gale 3,on observe que la suite|un 3|est strictement croissante partir duncertain rang.

c) On obtient aisment un= 4 sin2 2n. La suite est stationnaire si, et seulementsi, il existe n Ntel que un= 0ou 3 i.e. sin2(2n) = 0,

3/2,

3/2soit

encore2n= k/3avec k Z. Ainsi les u0 pour lesquels la suite eststationnaire sont les sin(k/3.2n)avec k Zet n N.

Exercice 23 :[nonc]

a) z1= ei+

2 = cos

2ei

2 . Par ce principe :

zn= cos

2cos

4 cos

2nei

2n

b) ei

2n 1et

cos

2cos

4 cos

2n =

sin

2n sin 2n

sin

(ou 1 si = 0)

Finalementzn sin .

Exercice 24 :[nonc]On a un vn et un+1 vn, vn+1= max(un+2, un+1)avecun+2 12(un+un+1) vnet un+1 vndonc (vn)est dcroissante.(vn)est dcroissante et minore par 0 donc (vn) converge.On a un+1 vn.

vn+1 max

1

2(un+1+un), un+1

= max

1

2(un+1+un),

1

2(un+1+un+1)

=

1

2un+1+

1

2

donc 2vn+1 vn un+1 vn donc (un)converge vers la mme limite que (un).

Exercice 25 :[nonc]Les suites (un)et (vn)sont bien dfinies et termes positifs.Sachant

a, b R+,

ab a +b2

on an 1, un vn

puisun+1 unet vn+1 vn



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Les suites (un)n1et (vn)n1sont respectivement croissante et dcroissante et ona

n 1, u0 un vn v0Par convergence monotone,(un)et (vn)convergent vers des limites et .En passant la relation

vn+1=un+vn

2

la limite on obtient =.

Exercice 26 :[nonc]

a) Exploiter1 + cos x= 2cos2 x2

et raisonner par rcurrence.

b)

sin

2nvn=

1

2nsin

via sin a cos a= 12

sin 2a. Par suite

vn sin

2n sin(/2n)sin

et aussiun sin

Exercice 27 :[nonc]Notons que la suite (yn)est croissante, elle est donc convergente si, et seulementsi, elle est majore.

a) Iciyn+1 =

a+yn. Soit la racine positive de lquation 2 a= 0 i.e.

=

1 +

1 + 4a

2

On remarque que y1 =

a et on montre par rcurrence yn . La suite(yn)est croissante et majore donc convergente.

b) On observe que la nouvelle suite (yn)est dsormais gale b fois laprcdente, elle est donc convergente.

c) Si(yn)converge vers alors x2n

n yn donc (x2n

n )est borne.Si(x2

n

n )est borne par une certain Malors xn M2n

, la suite (yn)dfiniepar(xn)est alors infrieure celle obtenue par (M2

n

), cette dernire tantconvergente, la suite (yn) converge.

Exercice 28 :[nonc]Posons

M= supnN

an

On vrifie aisment que la suite (un)est bien dfinie et que pour tout n 21

M+ 2un

1

Supposons la convergence de la suite (un). Sa limite est strictement positive. Enrsolvant lquation dfinissant un+1en fonction de un, on obtient

an= 1

un+1 un 1

On en dduit que la suite (an)converge.Inversement, supposons que la suite (an)converge vers une limite , 0.Considrons la suite (vn)dfinie par

v0= 1et vn+1= 1

vn++ 1pour tout n N

On vrifie que la suite (vn)est bien dfinie et termes strictement positifs.Lquation

x= 1

x++ 1

possde une racine L >0 et on a

|vn+1 L| |vn L|1 +L

ce qui permet dtablir que la suite (vn)converge vers L. Considrons ensuite lasuite (n)dfinie par

n= un

vn

On a

n+1 = n+ ( an)

(un+an+ 1)(vn++ 1)

et donc|n+1| k (|n| + |an |)

aveck=

1

m+ 1 [0;1[

o m >0 est un minorant de la suite convergente (vn).



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|n| kn |0|+n1p=0

knp |ap |

Soit >0.Puisque la suite (an)converge vers , il existe p0 tel que

p p0, |ap | et alors

n1p=p0

knp |ap | +k=1

kp = k

1 kPour n assez grand

p01p=0

knp |ap | =Ctekn et kn |0|

et on en dduit

|n| 2+ k1 kAinsin 0et par consquent

un L

Exercice 29 :[nonc]La fonction itratrice de cette suite rcurrente est

g :x 12

(f(x) +x)

On vrifie aisment que cette fonction est dfinie sur [a ; b]et valeurs dans [a ; b].On en dduit que la suite (xn)est bien dfinie et que cest une suite dlments de

[a ; b].On a

xn+1 xn= (f(xn) f(xn1)) + (xn xn1)2

Puisque fest 1-lipschitzienne, on a

|f(xn) f(xn1)| |xn xn1|et donc xn+1 xn est du signe de xn xn1. Par consquent, la suite (xn)estmonotone et sa monotonie dcoule du signe de x1 x0. La suite (xn)tant deplus borne, elle converge vers une certaine limite avec [a ; b].

La relation

xn+1 =xn+f(xn)

2

donne la limite sachant f continue

= +f()

2

donc f() = .


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