Suites de Fibonacci - Mathé .A part les deux premiers carrés de côtés u 1=1 et u 2=1 qui sont

download Suites de Fibonacci - Mathé .A part les deux premiers carrés de côtés u 1=1 et u 2=1 qui sont

of 87

  • date post

    07-Feb-2019
  • Category

    Documents

  • view

    217
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Suites de Fibonacci - Mathé .A part les deux premiers carrés de côtés u 1=1 et u 2=1 qui sont

Suites de Fibonacci("99%" des rsultats noncs ici sont dmontrs ... ici.)

Trois rsultats me semblent indits : le 1.8 de P10, le 2) de P15 et la proprit cite dans l'nonc de l'exercice 20 (fin de P15), mais bon je n'ai certainement pas tout lu sur Fibonacci...

1) Aspect historique Spirale de Fibonacci

2) Dfinition gnrale ; cas

particuliers des suites (F) et (L)

3) Oprations sur les suites de Fibonacci

4) Formule de Binet

5) Applications immdiates de

Binet :lim un+1/un ;

formules explicites pour

Fn et Ln ; cas n

forme 3+2cos(2k/n)

17) Le seul terme de la

suite (F) qui est un carr (autre que 0 ou

1),est F12=144

Annexe : le jeu de Nim-

Fibonacci

P1->Aspect historique : au dbut du 13ime sicle, Leonardo Fibonacci se pose la question suivante : combien de couples de lapins obtiendrions-nous la fin d'une anne si, commenant en dbut de mois avec un couple, chacun des couples, aprs deux mois d'existence, produisait chaque dbut de mois un nouveau couple?

Si on note un le nombre de couples de lapins au dbut du mois n (n1), l'nonc dit que u1=1, u2=1, puis u3=2 (puisque le 1er couple, couple 1, va en produire un autre, le couple 2, au dbut du 3ime mois) ; puis u4=2+1=3 (le couple 1 produit un autre couple, le couple 3, mais le couple 2 ne produit encore rien) ; puis u5=les couples existant (dj) au dbut du mois 4 + le nombre de couples producteurs au dbut de ce mois 5 ; or les couples producteurs sont ceux ayant au moins deux mois d'existence, cad u3, et ainsi u5=u4+u3=3+2=5. En fait, on peut gnraliser ce raisonnement : pour n3, un=les couples existant (dj) au dbut du mois n-1 + le nombre de couples producteurs au dbut de ce mois n ; or les couples producteurs sont ceux ayant au moins deux mois d'existence, cad un-2, et ainsi un=un-1+un-2, cad un est la somme des effectifs des deux mois prcdents. En appliquant cette formule dix fois, on obtient successivement u3=2, u4=3, u5=5, u6=8, u7=13, u8=21, u9=34, u10=55, u11=89, u12=144.

A l'examen des premiers termes de cette suite il semble, notamment, que deux termes conscutifs soient premiers entre eux, et que un divise u2n : cela sera prouv plus loin (exercice 1 et P8).

Cette suite n'est pas arithmtique (un+1-un n'est pas constant), ni gomtrique (un+1/un n'est pas constant). Cependant le rapport un+1/un semble se "stabiliser" vers un nombre approximativement gal 1,618 : u2/u1=1 ; u3/u2=2 ; u4/u3=1,5 ; u5/u4=5/3=1,666... ; u6/u5=8/5=1,6 ; u7/u6=13/8=1,625 ; u8/u7=21/13=1,615... ; u9/u8=34/21=1,619... ; u10/u9=55/34=1,617... u11/u10=89/55=1,618... ; u12/u11=144/89=1,617.... On montrerera effectivement (P5) que la limite en + de un+1/un est le nombre d'or (la dfinition prcise de ce nombre sera donne P4), dont le dveloppement dcimal commence par 1,6180339... ; c'est--dire, pour n grand, la suite de Fibonacci est "presque" gomtrique : on passe d'un terme au suivant en le multipliant par un nombre "presque" gal au nombre d'or. On verra P9 comment on passe exactement de un un+1.

Cette suite peut se reprsenter gomtriquement par ce qu'on appelle la spirale de Fibonacci :

Page 2 sur 87

A part les deux premiers carrs de cts u1=1 et u2=1 qui sont superposs, chaque carr a pour ct la somme des cts des deux carrs prcdents. Dans chaque carr est tra un quart de cercle de rayon le ct du carr et de centre un sommet du carr, cela de telle sorte que ces quarts de cercles se raccordent ("tout le monde" ne met pas un quart de cercle dans le premier carr de ct 1). La juxtaposition de ces quarts de cercles est la spirale de Fibonacci. Compte-tenu que la longueur du quart de cercle inscrit dans le nime carr est un/2, la longueur de la spirale de Fibonacci, arrte au nime carr (compris) est (un+2-1)/2 (voir question 3 de l'exercice 1 situ aprs P4). En faisant une recherche sur Fibonacci et spirale on trouvera beaucoup de liens sur cet aspect. Attention : cette spirale n'est pas la spirale d'or, cela malgr le fait qu'il y a un lien troit entre les suites de Fibonacci et le nombre d'or (voir la formule de Binet P4).

P2->Dfinition gnrale d'une suite de Fibonacci : c'est une suite (u)=(u)nN dfinie par un=un-1+un-2, pour tout n2, u0 et u1 tant donns ; si u0 et u1 sont des entiers relatifs (naturels), il est vident que tous les termes de la suite sont aussi des entiers relatifs (naturels)..

Note : contrairement l'aspect historique, on fait dmarrer ces suites u0 : en prenant u0=0, u1=1, on obtient u2=1 et on retrouve le cas de l'aspect historique : cette suite sera toujours note F; si on prend u0=u1=1, on retrouve aussi le cas de l'aspect historique, mais avec un dcalage, car dans ce cas, pour tout entier naturel n, un=Fn+1.

Une autre suite de Fibonacci particulire est la suite de Fibonacci telle que u0=2 et u1=1 : elle est note (L), et c'est la suite dite de Lucas.

Page 3 sur 87

On verra P7 et P8 de nombreuses relations entre ces deux suites : notamment Fn+Ln=2Fn+1(formule 1) de P7) et FnLn=F2n ( formule 8) de P8).

n -6 -5 -4 -3 -2 -1

Fn -8 5 -3 2 -1 1

Ln 18 -11 7 -4 3 -1

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Fn 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

Ln 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521 843

n 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Fn 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025

Ln 1364 2207 3571 5778 9349 15127 24476 39603 64079 103682 167761

Le lecteur "branch nombres premiers" aura tout de suite observ que F3, F5, F7, F11, F13 sont des nombres premiers! Et aussi F17=1597. Par contre F19=4181 n'est pas premier (37113). Voir P10.

On remarque aussi que F5, F10 et mme F15 sont des multiples de 5 : on verra la question 6 de l'exercice 1 que 5 divise Fn 5 divise n ; on trouvera dans cette question 6 d'autres rsultats analogues. En fait cette divisibilit par 5 "s'largit" : pour tout p1, 5p divise F5p : voir exercice 20 o il y a aussi d'autres rsultats analogues.

Compte-tenu de la formule F2n=LnFn (voir la relation 8 de P8), ce tableau permet d'obtenir F16, ..., F28.

Remarque : rien n'empche de considrer qu'une suite de Fibonacci soit dfinie sur Z, cad de considrer que la relation un=un-1+un-2 est vraie pour tout n dans Z, u0 et u1 tant toujours donns!!

u1=u0+u-1, soit u-1=u1-u0, u0=u-1+u-2, soit u-2=u0-u-1, cad, pour obtenir un terme d'indice ngatif, en ne connaissant que ceux d'indice suprieur, on fait la diffrence des deux termes suivants : le 2ime suivant-le 1er suivant.

Sauf mention contraire, notamment au 1) et 5) de P3, P5.3 (o on donnera une relation entre un et u-n) et au 14) de P8 et P17, on se limitera toujours des indices positifs ou nuls.

P3-> 1) Si (u) et (v) sont deux suites de Fibonacci telles que u0=v0 et u1=v1, alors pour tout n dans N (et mme dans Z) on a un=vn, c'est--dire, il s'agit de deux suites gales (ou identiques).

Une rcurrence vidente le prouve.

2) Une suite de Fibonacci "dcale" reste une suite de Fibonacci :

cad, si (u) est une suite de Fibonacci, k un entier naturel quelconque, la suite (v) dfinie par vn=un+k pour tout entier naturel n, est de Fibonacci.

Page 4 sur 87

3) La somme de deux suites de Fibonacci est une suite de Fibonacci.

4) Une suite de Fibonacci multiplie par une constante est une suite de Fibonacci.

Ces trois derniers rsultats sont immdiats prouver.

5) Si (u) est une suite de Fibonacci considre comme dfinie sur Z (voir Remarque de P2), alors la suite (v) dfinie sur Z par vn=(-1)nu-n est aussi une suite de Fibonacci.

En effet, vn-1+vn-2=(-1)n-2(-u-n+1+u-n+2)=(-1)nu-n=vn.

Remarque : les rsultats 3) et 4) se traduisent par le fait que l'ensemble des suites de Fibonacci est un espace vectoriel sur R (la dimension de cet espace vectoriel sera prcise l'exercice 1).

6) (F) tant la suite de Fibonacci telle que F0=0 et F1=1, (u) tant une suite de Fibonacci quelconque, on a les relations suivantes :

pour tout entier naturel , un+1=u0Fn+u1Fn+1, et donc connaissant les termes de la suite (F), on peut donc obtenir tout de suite ceux de la suite (u).

pour tout nN*, un+1=u1Fn-1+u2Fn pour tout nN, tout pN*, un+p=Fp-1un+Fpun+1.

Pour la 1ire relation, une rcurrence vidente le prouve :

la relation est bien vraie pour n=0 et n=1 supposons la relation vraie jusqu'au rang n(1) :

u0Fn+1+u1Fn+2=u0(Fn+Fn-1)+u1(Fn+1+Fn)=(u0Fn+u1Fn+1)+(u0Fn-1+u1Fn)= un+1+un=un+2, et la relation est vraie au rang n+1.

On peut aussi procder ainsi : pour tout entier naturel n, on pose vn=un+1 et wn=u0Fn+u1Fn+1. Cf le 2) ci-dessus ces deux suites sont de Fibonacci ; or v0=u1=w0 et v1=u2, w1=u0F1+u1F2 =u0+u1=u2, soit v1=w1 et d'aprs le 1) ci-dessus, ces deux suites (v) et (w) sont gales, ce qui prouve le rsultat.

Pour la 2ime relation, u1Fn-1+u2Fn=u1Fn-1+(u0+u1)Fn=u0Fn+u1Fn+1=un+1.

Pour la 3ime relation soit on fait une rcurrence sur p (n est fix), soit on remarque ( n fix) que membre de gauche et membre de droite sont des suites de Fibonacci qui sont gales pour p=1 et p=2.

Remarque : pour prouver des relations sur des suites de Fibonacci, on vient de voir deux mthodes : rcurrence ou utilisation du 1) ci-dessus de P3. La formule de Binet ci-aprs peut donner, si besoin, une 3ime mthode.

7) (F) tant la suite de Fibonacci avec F0=0 et F1=1, alors pour tout p dans N*, tout n dans N, Fp divise Fpn.

Si n=0 et n=1 c'est trivialement vrai. Ensuite, cf le 6) ci-dessus, en prenant (u)=(F), on obtient Fk+p=Fp-1Fk+FpFk+1 : en faisant k=p, on obtient Fp divise F2p, puis en faisant k=2p, on obtient Fp divise F3p"etc" (rcurrence vidente).

Remarque : on verra d'autres preuves la question 9 de l'exercice 1 ci-dessous et P10.