Suites binaires bien autocorrélées
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pp. 333-334 333 Lettre la r6daction Guy ROBIN ** SUITES BINAIRES BIEN AUTOCORRI~L~:ES * Analyse L'auteur dtudie la corrdlation apdriodique de suites binaires. Aprbs avoir montrd que des considdrations thdoriques sont difficilement adaptables gt ce type de problbme, l'auteur ddtermine pour chaque valeur n, 41 <~ n ~ IO0, une suite de longueur n ayant une bonne autocorrdlation. Mots ci6s : S6quence binaire, Autocorr61ation, M6thode empirique. BINARY SEQUENCES WITH GOOD AUTOCORRELATION FUNCTION Abstract The author determinates sequences with good aperiodie autocorrelation function. For n, 41 <~ n <~ 110, the author gives a sequence of length n and the autocorrela- tion value. Key words : Binary sequence, Autocorrelation, Empirical method. Dans de nombreux domaines de la physique moderne (61ectronique, t616communications, radar, ...), il est n6cessaire de calculer la r6ponse impulsionnelle d'un syst6me d6crit par un op6rateur de convolution. Afin de conserver la lin6arit6 du syst6me, on doit limiter la puissance de l'impulsion envoy6e, ce qui exclut l'emploi d'un signal d'essai bref et intense. Pour 6viter cette difficult6, on consid6re une impulsion born6e qui doit cependant permettre de retrouver la r6ponse impulsionnelle. Cette impulsion doit atre telle que son autocorr61ation ait un lobe principal dominant nettement tousles lobes secondaires. La fa~on th6orique la plus simple de proc6der peut se traduire math6matiquement de la faqon suivante. Soit a = (ao, al ..... a,_l) une suite avec a~ ~ {--1, 1}. Pour k = 0, 1..... n-- 1, soit : n-k-1 rk = Y~ a~ai+k , i=0 M(n, a) = max Irk[, k4:0 et M(n) = rain M(n, a). r a d6crivant toutes les suites binaires 5. n 616merits. Aucune solution math6matique n'a permis jusqu'~ ce jour, de trouver la valeur exacte de M(n) [2]. Nous avons cherch6 dans plusieurs directions : --utilisation des suites classiques de {-- 1, 1} en th6orie des nombres, --symbole de Legendre, --transform6e de Fourier discr6te aussi bien complexe qu'arithm6tique. Mais toutes ces recherches ont &6 infructueuses. J. Lindner [1] a fait une recherche exhaustive des suites optimales jusqu'/t n = 40 eta r6alis6 des statis- tiques sur ces suites. 50 jours de travail sur micro- ordinateur lui furent n6cessaires. Cette faqon de pro- c6der ne peut convenir pour n ~> 40. Nous avons alors essay6 de trouver, de fa~on simple, de bonnes suites r6alisant une bonne estimation ~l(n) de M(n) et ce pour n 6 [41, 110]. Le tableau I indique pour chaque valeur de n, la meilleure estimation trouv6e pour M(n), ainsi qu'une suite r6alisant cette estimation. Ces suites sont cod6es en octal comme suit : Ex. :-- 1, 1, 1 , - - 1, 1 n=5 0, 1, 1, 0, 1, 0 3 2 Comment ces suites ont-elles 6t6 d6termin6es ? Supposons connaitre une bonne suite pour une valeur n. Alors pour les valeurs n i I, nous aurons : l~(n 4- 1) ~< l~l(n) § 1, en prenant a,+l = 1. A partir de cette suite de longueur, n 4- 1, nous d6terminons l~I(n 4- 1) pour toutes les suites obtenues en modifiant un seul terme. On obtient souvent alors une estimation acceptable. A partir d'une suite de longueur n + 1, on recommence le processus ci-dessus pour obtenir des r6sultats sur les suites de longueurs net n + 2 (notons que l'on peut parfois obtenir de meilleures suites pour la valeur n puisque l'on a modifi6 -- le plus souvent -- deux coefficients). Un programme -- dcrit en BASle et en PASCAL -- permet de r6aliser ce qui prdc~de. * Cette recherche a 6t6 effectu6e dans le cadre d'un contrat avec le laboratoire central des t616communications de V61izy (France). ** U.E.R. des Sciences de Limoges. D6partement de Math6matiques-Informatique. 123, rue Albert Thomas, 87060 Limoges Cedex (France). 1/2 ANN. TI~Lt~COMMUN., 39, n ~ 7-8, 1984
Transcript of Suites binaires bien autocorrélées
pp. 333-334 333
Lettre la r6daction
Guy ROBIN ** SUITES BINAIRES BIEN AUTOCORRI~L~:ES *
Analyse
L'auteur dtudie la corrdlation apdriodique de suites binaires. Aprbs avoir montrd que des considdrations thdoriques sont difficilement adaptables gt ce type de problbme, l'auteur ddtermine pour chaque valeur n, 41 <~ n ~ IO0, une suite de longueur n ayant une bonne autocorrdlation.
Mots ci6s : S6quence binaire, Autocorr61ation, M6thode empirique.
B I N A R Y SEQUENCES W I T H G O O D A U T O C O R R E L A T I O N F U N C T I O N
Abstract
The author determinates sequences with good aperiodie autocorrelation function. For n, 41 <~ n <~ 110, the author gives a sequence of length n and the autocorrela- tion value.
Key words : Binary sequence, Autocorrelation, Empirical method.
Dans de nombreux domaines de la physique moderne (61ectronique, t616communications, radar, ...), il est n6cessaire de calculer la r6ponse impulsionnelle d 'un syst6me d6crit par un op6rateur de convolution. Afin de conserver la lin6arit6 du syst6me, on doit limiter la puissance de l ' impulsion envoy6e, ce qui exclut l 'emploi d 'un signal d'essai bref et intense. Pour 6viter cette difficult6, on consid6re une impulsion born6e qui doit cependant permettre de retrouver la r6ponse impulsionnelle. Cette impulsion doit atre telle que son autocorr61ation ait un lobe principal dominant nettement t o u s l e s lobes secondaires.
La fa~on th6orique la plus simple de proc6der peut se traduire math6matiquement de la faqon suivante.
Soit a = (ao, al . . . . . a ,_ l ) une suite avec a~ ~ { - - 1 , 1}.
Pour k = 0, 1 . . . . . n - - 1, soit :
n - k - 1
rk = Y~ a~ai+k , i = 0
M(n, a) = max Irk[, k4:0
et M(n) = rain M(n, a). r
a d6crivant toutes les suites binaires 5. n 616merits. Aucune solution math6matique n ' a permis jusqu'~ ce jour, de trouver la valeur exacte de M(n) [2].
Nous avons cherch6 dans plusieurs directions :
- - u t i l i s a t i o n des suites classiques de {-- 1, 1} en th6orie des nombres,
- - s y m b o l e de Legendre,
- - t r a n s f o r m 6 e de Fourier discr6te aussi bien complexe qu'arithm6tique.
Mais toutes ces recherches ont &6 infructueuses. J. Lindner [1] a fait une recherche exhaustive des
suites optimales jusqu'/t n = 40 e t a r6alis6 des statis- tiques sur ces suites. 50 jours de travail sur micro- ordinateur lui furent n6cessaires. Cette faqon de pro- c6der ne peut convenir pour n ~> 40. Nous avons alors essay6 de trouver, de fa~on simple, de bonnes
suites r6alisant une bonne estimation ~l(n) de M(n) et ce pour n 6 [41, 110].
Le tableau I indique pour chaque valeur de n, la meilleure estimation trouv6e pour M(n), ainsi qu 'une suite r6alisant cette estimation. Ces suites sont cod6es en octal comme suit :
Ex. : - - 1, 1, 1 , - - 1, 1 n = 5
0, 1, 1, 0, 1, 0
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Comment ces suites ont-elles 6t6 d6termin6es ? Supposons connaitre une bonne suite pour une
valeur n. Alors pour les valeurs n i I, nous aurons :
l~(n 4- 1) ~< l~l(n) § 1,
en prenant a ,+l = 1.
A partir de cette suite de longueur, n 4- 1, nous
d6terminons l~I(n 4- 1) pour toutes les suites obtenues en modifiant un seul terme. On obtient souvent alors une estimation acceptable. A partir d 'une suite de longueur n + 1, on recommence le processus ci-dessus pour obtenir des r6sultats sur les suites de longueurs n e t n + 2 (notons que l 'on peut parfois obtenir de meilleures suites pour la valeur n puisque l 'on a modifi6 - - le plus souvent - - deux coefficients).
Un programme - - dcrit en BASle et en PASCAL - -
permet de r6aliser ce qui prdc~de.
* Cette recherche a 6t6 effectu6e dans le cadre d'un contrat avec le laboratoire central des t616communications de V 6 1 i z y (France). ** U.E.R. des Sciences de Limoges. D6partement de Math6matiques-Informatique. 123, rue Albert Thomas, 87060 Limoges Cedex (France).
1/2 ANN. TI~Lt~COMMUN., 39, n ~ 7-8, 1984
334 G. ROBIN. - LETTRE A LA Rf/DACTION
C o m m e n t d&erminer une bonne suite pour un cer- tain n ?
- - Pour les valeurs n = 2 m - - 1, les suites pseudo- al6atoires de longueur n, construites par r6currence sur m termes donnent d'assez bonnes est imations [3].
- - On fixe un certain nombre d'616ments de la suite
et o n d6termine les autres de fa~on h avoir /~l(n) convenable .
Physiquement , on ne consid6re pas une impuls ion du type pr6c6dent mais de pr6f6rence le signal obtenu avec une porteuse sinusoidale, modul6e tt 2 6tats de phase, tt partir d'une suite ci-dessus d6termin6e. Les r6sultats obtenus ne semblent pas phys iquement tr6s int6ressants ; on peut donc penser h 6tudier la modula t ion de phase ~t 4 6tats ce qui est techniquement r6alisable par s o m m e de 2 modula t ions tt deux 6tats sur deux porteuses en quadrature. Le probl6me math6mat ique devient alors :
Rechercher une suite a = ( a o , a l . . . . . a n - , } avec ai ~ {1, - - 1, j , - - j } telle que :
M(n, a) = Max al al+k , /r l=O
soit minimal . On peut esp6rer obtenir un gain de l 'ordre de ~/2.
Manuscri t re fu le 1 er mars 1984, accept~ le 26 mars 1984.
B I B L I O G R A P H I E
1] LINDNER (J.). Binary sequences up to length 40 with best possible autocorrelation function. Electron. letters, U K (16th Oct. 1975), 11, n ~ 21.
[2] TORYN (R.). Sequences with small correlation in Mann (H.) (Ed.). Error correcting codes, Wiley, New York (1968).
[3] MACWILLIAMS (F. J.), SLOANE (N. J. A.). Pseudo-random sequences and arrays. Proc. IEEE, USA (1976), 64, pp. 1715- 1729.
TABL. I.
n ff, l(n) Exemple de suite
41 4 !732 705 045 601 46 42 4 346 617 113 250 00 43 4 400 526 447 433 140 44 5 724 302 444 560 146 45 4 400 544 651 643 470 46 5 537 374 157 263 306 0 47 5 536 374 157 263 326 2 48 5 !735 305 022 627 006 3 49 5 1617 745 657 222 462 34 50 6 617 745 657 222 562 34
51 6 735 534 502 262 700 63 52 6 735 656 641 131 340 314 53 6 702 053 475 333 217 630 54 6 752 133 265 676 270 063 55 6 615 516 225 205 460 006 4 56 6 715 516 225 205 460 006 6 57 6 774 064 531 256 647 006 3 58 6 776 473 654 527 323 403 14 59 6 670 664 711 250 263 000 32 60 6 670 664 711 254 263 000 33
61 7 740 671 435 375 504 131 244 62 6 740 671 435 375 504 131 244 63 6 740 671 435 375 504 131 244 64 6 740 671 435 375 504 131 244 4 65 6 740 471 435 175 104 131 244 4 66 6 740 471 435 375 524 131 244 4
n /~l(n) Exemple de suite
76 8 700 602 173 410 541 055 132 314 40 77 8 700 602 173 410 541 055 132 314 40 78 8 775 111 075 506 325 265 420 070 06 79 7 775 111 075 506 325 265 420 070 060 80 8 775 111 075 506 325 265 420 070 062
81 7 775 I l l 075 506 325 265 420 070 063 82 8 775 111 075 506 325 265 420 070 063 4 83 8 775 II1 075 506 325 265 420 070 063 6 84 8 673 663 604 173 023 255 646 615 365 7 85 7 673 663 604 173 023 255 646 615 365 74 86 8 673 663 604 173 023 255 646 615 365 74 87 8 653 621 602 133 023 255 646 615 375 74 88 8 653 621 602 133 023 255 646 615 375 740 89 8 653 621 602 133 023 255 646 615 375 740 90 9 653 621 602 133 023 255 646 615 375 741
91 9 753 621 602 133 023 255 646 615 375 741 0 92 9 653 621 600 133 023 255 646 615 375 741 0 93 9 415 465 064 301 354 736 104 047 455 326 4 94 8 613 423 604 133 023 255 646 615 365 740 O0 95 9 415 465 044 301 354 736 104 047 455 326 42 96 9 524 154 135 644 354 522 131 162 402 036 75 97 8 616 421 624 133 023 255 646 615 365 740 004 98 8 616 421 624 133 023 255 646 615 165 740 004 99 8 616 421 624 133 123 255 646 615 165 740 005
100 8 415 465 044 301 354 736 104 047 451 326 437 4
67 7 740 671 435 355 504 131 244 74 101 68 6 700 471 435 375 524 131 344 40 102 69 6 700 471 475 375 525 131 344 40 103 70 7 470 161 551 622 520 546 000 664 104
105 71 7 700 471 435 375 524 131 344 400 106 72 7 700 471 435 375 524 131 344 400 107 73 7 700 471 435 375 524 131 344 400 4 108 74 7 700 471 435 375 524 131 344 400 4 109 75 7 700 471 434 375 524 131 344 400 5 110
9 616 421 624 133 123 255 646 615 165 740 005 4 9 415 465 044 305 354 736 104 047 455 326 437 0 9 415 465 044 301 354 736 104 047 455 326 437 00 9 415 465 044 305 354 736 104 447 455 326 437 00 9 415 465 044 305 354 736 104 047 455 322 437 00 8 415 465 044 301 154 736 104 047 455 322 437 010 9 415 465 044 301 154 736 104 047 455 322 437 010 9 415 465 044 301 154 736 104 047 455 322 437 012 9 415 465 044 301 154 336 104 047 455 322 437 012 4 9 615 565 044 341 154 736 104 047 455 322 437 012 6
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